CURVAS TCNICASCurvas cclicas. Cicloide. Epicicloide.

Hipocicloide. Pericicloide.Envolvente de la circunferencia

TEMA.

Objetivos y orientaciones metodolgicasPara el estudio de estas curvas se har ver al alumno que todas ellas son la trayectoria que describe un punto

de una lnea que rueda sin resbalar sobre otra. En cada caso se le indicarn la lnea fija (base) y la lnea mvil(ruleta), as como el punto generador de la curva. Igualmente se le indicar la forma tan sencilla de obtenerpuntos de las diversas cclicas. Al menos se le citarn las aplicaciones de estas curvas en mecnica.

La actividad se centrar en dibujar alguna de estas curvas con instrumentos. El desarrollo puede llevarse aefecto durante dos clases.

Aplicacin de las curvas cclicas al trazado del perfil de los dientes de un engranaje.

DIBUJO TCNICO" - Bachillerato 67

1. Curvas cclicas

Se llaman curvas cclicas aquellas que se obtienenpor el movimiento de un punto de una circunfe-rencia o de una recta que rueda sin resbalar sobreotra circunferencia o sobre otra recta.

ella, con lo que se obtienen 01' 02' 3", en la recta decentros, que es la paralela por a la base.

La circunferencia mvil o la recta mvil se llama "ruleta"y la lnea sobre la que se mueven se llama "base".

Las curvas Cclicas tienen gran importancia en dibujoindustrial y en mecnica, sobre todo en el trazado deengranajes. Todas ellas se pueden trazar, como cualquiercurva, por medio de arcos de circunferencia determinandoun nmero suficiente de centros de curvatura, pero loms prctico es determinar una serie de puntos de ellas,unirlos a lpiz a mano alzada y despus pasar a tintacon la plantilla de curvas. De esta forma se han dibujadolas curvas que se estudian a continuacin.

2. La cicloide (Fig. 1)Se llama "cicloide normal" a la curva que describe

un punto P de una circunferencia ruleta que ruedasin resbalar sobre una recta base.

Para su trazado, se rectifica la ruleta de centro yradio O-P sobre la base; se tiene as el segmentoP-P2;este segmento y la ruleta se dividen en un nmero igualde partes iguales, doce en la figura; por los puntos 1',2', 3'" de la base (que son puntos de tangenciainstantneos, llamados centros instantneos decurvatura de la cicloide), se trazan perpendiculares a

Para obtener puntos se opera as: la circunferencia decentro O y radio 0-1' y la paralela por 1 a la base secortan en el punto P, de la cicloide normal. De la mismaforma, la circunferencia de centro en 02y la paralela por2 se cortan en P2; as se obtienen P3' P4' Ps"" P2 y alunirlos se obtiene una arcada de la cicloide normal.

Cicloide acortada. A partir de la cicloide normal seobtiene la cicloide acortada, cuyo punto generador esR, interior a la ruleta y solidariamente unido a ella. Entodas las posiciones se conserva constante ladistancia 0- R.

Se lleva el segmento O-R sobre el radio O-P a partirde O y se tieneR; llevandoO-R sobre 02-P2 se obtieneR2 y as sucesivamente se obtienenR3, R4, R2' puntosde la cicloide acortada.

Cicloide alargada. A partir de la cicloide normal seobtiene la cicloide alargada, cuyo punto generador es0, exterior a la ruleta y solidariamente unido a ella. Entodas las posiciones se conserva constante ladistancia O-o.

Se lleva O-O sobre los radios O-P, 02-P2' etc., a partirde los centros O, 02' etc., y se obtienen los puntos O,02' 3" Si la ruleta sigue rodando, se forma otraarcada de cicloide alargada y se produce un lazo, cuyamitad est dibujada en la figura.

Las tangentes en puntos cualesqueraic, P7 y 07 de las trescurvas son perpendiculares a las rectasfc- 7',P7-7' Y7-7',que son las respectivas normales en los citados puntos.

ACORTADA

68 DIBUJO TCNICO" - Bachillerato

Fig. 1.

3. La epicicloide (Fig. 2)Si imaginariamente se curva la Fig. 1 de forma que

la base se transforme en una circunferencia, se obtienela Fig. 2. Segn esto, las construcciones son similares.

La epicicloide es la curva que describe un puntoP de una circunferencia ruleta que rueda sinresbalar sobre otra circunferencia que hace de basey exteriormente a ella.

La base es la circunferencia de centro O' y radio O'-Py la ruleta exterior es otra circunferencia tangente a ellaenP, de centro O"y radio O"-P

Se divide la ruleta en un nmero de partes iguales,doce en la figura; se llevan estas partes sobre la base,para lo cual se calcula el ngulo central de n grados queabarca la longitud 2nO"-Pde la ruleta, curvificada sobrela base; este ngulo de n? se calcula por medio de unaregla de tres:

NORMAL

ACORTADA

BASE

Fig. 2.

360 -- 2nO'-P

nO 2nO"-P

O" P rc::> nO = 3600 - - 360-

O'-P R

El ngulo central de ri? se divide tambin en docepartes y se opera luego como en la cicloide. Lacircunferencia de centro 01 y radio 01-1' y lacircunferencia concntrica con la base que pasa por 1se cortan enP1 As se obtienen Pz' P3, P6. En la figuraestn dibujadas dos medias arcadas de la curva.

La epicicloide acortada y la epicicloide alargadase engendran por el movimiento de los puntos R yO,respectivamente, ligados solidariamente a la ruleta. Laobtencin de los puntos de estas curvas es la mismaque para la cicloide.

En la figura se trazan las tangentes t, t' Y t" a lascurvas en los puntos P; 05 y R5

RULETA

ALARGADA

O' 6'

DIBUJO TCNICO 11- Bachillerato 69

4. La hipocicloide (Fig. 3)Esta curva est engendrada por el punto P de la

circunferencia "ruleta" de centro que rueda sin resbalarinteriormente sobre la circunferencia base de centro 0'.

Para la obtencin de puntos de esta curva se divide laruleta en partes iguales, doce en la figura; se obtiene elnguloP-0'-P12de la base, cuyo arco tenga una longitudigual a la longitud de la ruleta; esto se consigue como enla curva anterior

Se trazan la ruleta de posicin en1Yla circunferenciade centro O' y que pase por 1; ambas se cortan en elpuntoP

1de la hipocicloide normal; igualmente, la ruleta

de centro 02y la circunferencia concntrica con la baseque pase por 2 se cortan enPz; as se obtienen los puntosP3, P4, P12

Para la hipocicloide alargada se elige el puntogenerador R, exterior y solidariamente unido a la ruleta;se une 01 conP

1y se lleva a partir deP

1el segmentoP-R,

con lo que se obtene P.: igualmente, unendo O, conP2yllevando a partir de P, el segmentoP-R, se obtiene R, asse obtienen los puntos x; R4, R12

Para la hipocicloide acortada se elige el puntogenerador O, interior y solidariamente unido a la ruleta;en la recta 01-P1 se toma 01- 01 = O-OYse obtiene 01; enla recta 02-P2 se lleva O2-02 = O-O y se obtiene O2;igualmente se obtienen los dems puntos de la curva.

rnO= 3600-

Rsiendo r y R los radios de la ruleta y de la base,respectivamente.

Se divide el arcoP-P12 en doce partes iguales, puntos1',2',3', etc., y se unen conO'; estos radios cortan en 01'2,3,etc., a la circunferencia de centro O'y radio 0'-0,que son los centros de las sucesivas posiciones de laruleta.

{

NORMAL

ALARGADA

ACORTADA

RULETA

Fig. 3.

70 DIBUJO TCNICO II - Bachillerato

5. La pericicloide. Normal, alargada yacortada. Tangente y normal en unpunto de cada una de ellas (Fig.4)

La circunferencia base es la de centro O y la ruletaes la de centro O'. Los puntos generadores sonP yRl' 1 1de la normal, alargada y acortada, respectivamente. Paraobtener un punto de la normal, por ejemplo elP4, se trazanla posicin de la ruleta con centro 04 y radio hasta 4 y lacircunferencia de centro Oque pasa por 4', punto corres-pondiente de las divisiones de la ruleta en su posicininicial.

05

En la figura se ha curvificado la base sobre la ruletade forma que el arco 1-2 de la base tiene la mismalongitud que el arco 1-2' de la ruleta.

Para los puntos de la acortada y de la alargada,se lleva, por ejemplo, para el punto P4' sobre la recta04P4' la distancia PIR para la acortada y obtenemos R4y pO para la alargada y obtenemos 04' La normal enP4 es la recta4-P4; eti R es la recta4-R4, y en Q4' la recta4-04 Las tangentes en estos puntos son perpendicularesa las respectivas normales.

RULETA

Fig. 4.

DIBUJO TCNICO II - Bachillerato 71

6. Envolvente de una circunferencia(Fig. 5)

Esta curva se define como el lugar geomtrico de lasposiciones que va ocupando un punto de una recta que,siendo tangente a una circunferencia, camina sin resbalarsobre ella. El punto generador es el punto T; lacircunferencia base es la de centro O y la ruleta es larecta t tangente en el punto T.

Para su trazado se divide la circunferencia en unaserie de partes iguales, cuantas ms, mejor, y se trazanlas tangentes en los puntos obtenidos. Haciendo centroen los puntos de interseccin de cada dos tangentesconsecutivas y con radio hasta el punto anterior obtenido,se traza un arco de la curva. El segmento T-16 sobre latangente en T, resulta ser la longitud de la circunferenciabase.

Esta curva se emplea para el trazado del perfil de losdientes de las ruedas dentadas (mtodo de envolvente).

7. La envolvente de la circunferenciacomo pericicloide (Fig. 6)

La envolvente de la circunferencia se puede construirtambin como una pericicloide. As, en la Fig. 6, sedivide la circunferencia base en un nmero de partesiguales, se rectifica sta sobre la ruletas y se divide estarectificacin en el mismo nmero de partes iguales Unpunto, por ejemplo elP4' se obtiene trazando la tangentea la base en 4 hasta que corte al arco de centro e y radiohasta la divisin 4 de la ruleta. Los dems puntos seobtienen de la misma forma.

2nr

8

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16

Fig. 5.

2nr

72 DIBUJO TCNICO II - Bachillerato

Fig. 6.