DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES O que você deve saber sobre A relação entre as matrizes e os sistemas lineares remonta ao século 100 a.C. Desde então,

DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARESDETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

O que você deve saber sobre

A relação entre as matrizes e os sistemas lineares remonta ao século 100 a.C. Desde então, a evolução do uso das matrizes e dos determinantes na resolução de sistemas deu significado relevante a essas fascinantes estruturas matemáticas.

É o valor real associado a toda matriz quadrada obtido a partir de uma série de operações bem definidas com seus elementos.Representa-se o determinante de uma matriz A por det A, ou por barras simples verticais, contendo todos os elementos da matriz.

I. Determinante

DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES


Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único elemento da matriz. Ex: A = [3] e det A = |3| = 3

Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo:

II. Cálculo do determinante

1. Copiam-se, ao lado da matriz,suas duas primeiras colunas.

2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e também o das outras duas filas paralelas e à sua direita. Somam-se os resultados:

3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária; o mesmo deve ser feito com as duas outras filas paralelas e à sua direita. Ao final, somam-se os resultados:


Considere a matriz A =


Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de Sarrus.

4. Obtém-se o determinante pela diferença entre a primeirae a segunda soma:det A = (12 + 25 + 24) – (40 + 6 + 30) = 61 – 76 = –15

Matriz de ordem maior que 3: usa-se o teorema de Laplace, que pode ser utilizado no cálculo do determinante de matrizes cuja ordem seja maior ou igual a 2.



III. Matriz reduzida e cofator

Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a

j-ésima coluna da matriz A.

Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a

primeira coluna da matriz original:

O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por:

Cij = (-1)i + j . |A ij|,

em que |A ij| é o determinante da matriz reduzida A ij.


Considere a matriz A =

O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se

cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu respectivo cofator e adicionando-se os resultados.Exemplo:

IV. Teorema de Laplace


365

142

251

A

Escolhemos a 1a linha para calcular os cofatores.

1. O determinante de uma matriz que tem uma fila (linha ou coluna) nula é igual a zero.

2. Matrizes que possuem duas filas iguais têm o determinante nulo.

3. Numa matriz A, cujo determinante é det A, quando se multiplicam os elementos de uma de suas filas por um valor real k, o determinante passará a ser k . det A.

4. Se uma matriz possui duas filas proporcionais, seu determinante é igual a zero.

5. Trocando-se a posição de duas filas em uma matriz, o determinante da nova matriz passa a ser o oposto do determinante da matriz original.

6. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

V. Propriedades de determinantes


Equação linear: toda aquela do tipo

na qual x1, x2, ..., xn são incógnitas; a1, a2, ..., an são coeficientes

reais das incógnitas e b, também real, é o termo independente. Solução: conjunto ordenado de valores atribuídos às incógnitas que tornam

a igualdade verdadeira. (1, 2, ..., n) é solução da equação linear acima

desde que a1 . 1 + a2 . 2 + ... + an . n = b.

Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações lineares:

VI. Sistemas de equações lineares


em que a11, a12, ... , amn são os coeficientes reais das incógnitas x1, x2, ..., xn e b1, b2, ..., bm

são os termos independentes.

É toda ênupla ordenada que torna verdadeiras simultaneamente todas as equações que compõem o sistema. Em relação às soluções, um sistema pode ser classificado da seguinte forma:

• Possível e determinado (SPD): solução única;• Possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções;• Impossível (SI): sem solução.

VII. Solução de um sistema de equações lineares


1. Substituição: trata-se de isolar convenientemente uma das incógnitas em cada equação e substituí-las em outra equação do sistema, que deve se manter intacta. Por fim, origina-se uma equação equivalente em função de uma das incógnitas. Com o valor de uma das incógnitas, por substituição, obtêm-se as demais.

2. Escalonamento: o objetivo é obter um sistema equivalente,no qual, de cada equação para a seguinte, a quantidade de coeficientes nulos aumente antes do primeiro coeficiente não nulo.

VIII. Resolução de sistemas


• Matriz aumentada associada ao sistema:



3. Regra de Cramer: a partir de um sistema com três equações e três incógnitas, podemos obter algumas matrizes e determinantes:

• Matriz de coeficientes associada ao sistema:

Conjunto solução: envolve o cálculo do determinante da matriz de coeficientes associada ao sistema, denotada por D:

Dx: é o determinante da matriz

de coeficientes associada, mas com a coluna dos coeficientes de x trocada pela coluna dos termos independentes:

O mesmo se faz para Dy e Dz, os

determinantes das matrizes de coeficientes associadas, trocando-se as colunas dos coeficientes de y e z, respectivamente, pela coluna dos termos independentes:

A regra de Cramer configura-se na obtenção da solução de um sistema a partir de:



• se D = 0, o sistema é possível e indeterminado; ou o sistemaé impossível.

• se D 0, o sistema é possível e determinado.

IX. Discussão de um sistema linear


(Fuvest-SP) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00.

Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totalizam R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.

1

DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES – NO VESTIBULAR

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

(Fuvest-SP) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por:

Desse modo:

a) Resolva o sistema para m = 1.b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y) = (, 1), sendo um número irracional.

2EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:


0)12(2

024 2

ymmx

ymx

(Fuvest-SP) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:

Desse modo:

a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes dosistema linear.b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admitesoluções não triviais?c) Calcule as soluções do sistema quando sen2a = 1 e cos2c =

5EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS


51

RESPOSTA:

0)sen()(cos

0)sen()(cos

0)sen()(cos

22

22

22

zcyc

zbybx

zayax

(PUC-RJ) Considere o sistema linear:

a) Resolva o sistema para k = 1.b) Ache o valor de x na solução do sistema para k = 0; k = 2; k = 3 e k = 5.c) Para quais valores de k o sistema não tem solução?

6EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS


RESPOSTA:

1

523

kxy

yx

(Unicamp-SP) Sejam dados, a matriz

a) Encontre o conjunto soluçãoda equação det A = 0.b) Utilizando o maior valor de x que você encontrou no item a, determine o valor de m para que o sistema linear A y = b tenha infinitas soluções.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS10


RESPOSTA:

3

2

1

vetoro,

5

3vetoro,

211

201

111

y

y

y

y

m

b

x

x

xxx

A

(Ufal) A matriz A-1 é a inversa da matriz

Se o determinante de A-1 é igual a , calcule o determinante da matriz A + A-1.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS12


21

RESPOSTA:

.1

42

x

x

(UFRJ)

Dada a matriz A = (aij)2 x 2, tal que

encontre o determinante da matriz A.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS13

RESPOSTA:


jijia

jia

ij

ij

se,3

se,2

(Unifesp) Considere a matriz mostrada adiante, onde x varia no conjunto dos números reais.

Calcule:

a) o determinante da matriz A;b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS17


RESPOSTA:

x

xA

cos20

0sen2

201

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