PGMEC PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

CISALHAMENTO SIMPLES EM MATERIAL

HIPERELÁSTICO SUBMETIDO A GRANDES

DEFORMAÇÕES

ALEXANDRE LUIZ PEREIRA

JUNHO DE 2013

ALEXANDRE LUIZ PEREIRA

CISALHAMENTO SIMPLES EM MATERIAL HIPERELÁSTICO SUBMETIDO A GRANDES

DEFORMAÇÕES

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya

de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da

UFF como parte dos requisitos para a obtenção

do Grau de Mestre em Ciências em Engenharia

Mecânica

Orientador: Prof. Luiz Carlos da Silva Nunes (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE NITERÓI, 25 DE JUNHO DE 2013

CISALHAMENTO SIMPLES EM MATERIAL HIPERELÁSTICO SUBMETIDO A GRANDES

DEFORMAÇÕES

Esta Dissertação é parte dos pré-requisitos para a obtenção do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos

Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:

Prof. Luiz Carlos da Silva Nunes (D.Sc.)

Universidade Federal Fluminense PGMEC/UFF (Orientador)

Prof.ª Ângela Cristina Cardoso de Souza (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense

PGMEC/UFF

Prof. Silvio Romero de Barros (D.Sc.) Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca

CEFET/RJ

Agradecimentos

A Deus, por minha família e pela oportunidade de estudar na UFF;

Ao meu orientador, Professor Dr. Luiz Carlos da Silva Nunes, pelos ensinamentos técnicos

transmitidos;

A toda equipe do LMTA;

À memória dos meus avós, por cada ensinamento;

Ao meu filho, por sua existência e admiração;

A minha companheira, pela compreensão;

A todos os professores do PGMEC/UFF;

A todos aqueles que, direta ou indiretamente, contribuíram para mais esta etapa de minha

carreira acadêmica.

RESUMO O objetivo principal deste trabalho é estudar o comportamento mecânico do

Polidimethilsiloxano (PDMS) submetido a grandes deformações, considerando a condição de

deformação por cisalhamento simples. A análise teórica foi desenvolvida utilizando o

conceito de energia de deformação, uma vez que o PDMS pode ser considerado como um

material hiperelástico. Os dados experimentais da tensão cisalhante em função da deformação

angular foram obtidos a partir de um ensaio de cisalhamento simples baseado em juntas

colada simples. Neste processo, os valores de deformação angular foram obtidos através dos

campos de deslocamentos, que por sua vez, foram determinados usando o Método de

Correlação de Imagem Digital (DIC). Tal método envolve um procedimento óptico-numérico

que é capaz de determinar campos de deslocamentos sem a necessidade de contato físico.

Finalmente, modelos de densidade energia de deformação clássicos, tais como Mooney-Rivlin

e Ogden, foram ajustados aos dados experimentais com o objetivo de caracterizar o material

estudado. A relação tensão-deformação obtida experimentalmente apresentou um

comportamento não linear, e os modelos que melhor descreveram tal comportamento foram

os modelos de Ogden, Nunes e Yeoh.

Palavras-Chave: Cisalhamento simples, material hiperelástico, energia de deformação,

correlação de imagens digitais.

ABSTRACT The main objective of this work is to study the mechanical behavior of polydimethylsiloxane

(PDMS) under large deformations, considering the condition of the simple shear deformation.

The theoretical analysis was performed using the concept of deformation energy for

hyperelastic material. The experimental data from shear stress as a function of angular

deformation were obtained by a single lap joint test. For this purpose, values of angular

deformation were obtained by displacement fields that were estimated using the Digital Image

Correlation (DIC) method. This noncontact method is based on optical-numerical procedure

used to estimate displacement field. Finally, classical models of strain energy, such as

Mooney-Rivlin and Ogden, were fitted to experimental data in order to characterize the

material. The experimental shear stress-strain relation presented a nonlinear behavior.

Moreover, the best models used to describe that mechanical behavior were Ogden, Nunes and

Yeoh models.

Keywords: Simple shear, hyperelastic material, strain-energy, digital image correlation.

Lista de Símbolos

x, X - coordenadas atual e de referência

dX - elemento material na configuração indeformada

dx - elemento material na configuração deformada

F - gradiente do tensor deformação

γ - deformação angular ou quantidade de cisalhamento

λ - estiramento

B - tensor deformação de Cauchy-Green à esquerda

I - matriz identidade

I 1, I2, I3 - principais invariantes de B

J – Jacobiano de transformação

W - função densidade energia de deformação

p - multiplicador Lagrangiano devido à pressão hidrostática

S - segundo tensor tensão de Piola-kirchhoff

σ - tensor de Cauchy

C, C1, C2 - parâmetros do material

µ - módulo de cisalhamento

Lista de Figuras

Figura 1 – Comportamento tensão-deformação para três tipos de polímeros: frágeis (curva A),

plásticos (curva B) e elastoméricos (curva C)..........................................................................18

Figura 2 – Cisalhamento ao longo das setas. Um bloco de silicone (15x10x1,5 cm3) e um

bloco de tecido muscular (15x10x3 cm3).................................................................................20

Figura 3 – Configuração para cisalhamento simples no estado deformado..............................23

Figura 4 – Geometria da junta colada - adesivo (PDMS) e aderente (ASTM A-36)................33

Figura 5 - Aparato para fabricação das amostras......................................................................33

Figura 6 – Imagem do PDMS no aparato mecânico.................................................................33

Figura 7 – Arranjo experimental para deformação por cisalhamento simples..........................34

Figura 8 – Campo de deslocamento obtido na região central da superfície do PDMS com

carregamento aplicado de 290 N: (a) deslocamento u(x,y) e (b) deslocamento v(x,y)............36

Figura 9 – Gráfico tensão de cisalhamento versus deformação angular – dados experimentais

e modelos de função energia de deformação............................................................................37

Figura 10 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Mooney-Rivlin – (a) 1ª

ordem e (b) 2ª ordem.................................................................................................................38

Figura 11 – Comparação entre os dados experimentais e modelo “Neo-

Hookeano”................................................................................................................................38

Figura 12 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Yeoh – (a) 1ª ordem e (b)

2ª ordem....................................................................................................................................38

Figura 13 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Nunes............................39

Figura 14 – Gráfico tensão de cisalhamento versus estiramento – dados experimentais e

modelo de Ogden (1ª a 6ª ordem).............................................................................................40

Figura 15 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Ogden – (a) 1ª ordem e

(b) 2ª ordem...............................................................................................................................41

Figura 16 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Ogden – (4ª ordem).......41

Figura 17 – Componente tensão de cisalhamento dividida pela deformação angular versus

deformação angular...................................................................................................................43

Figura 18 – Erro residual: comparação entre os modelos de Mooney-Rivlin de 1ª ordem e o de

Nunes........................................................................................................................................44

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Componente de cisalhamento do Tensor de Cauchy associada a cada modelo de

função energia...........................................................................................................................31

Tabela 2 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais....................................39

Tabela 3 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais – Ogden.....................41

Tabela 4 – Comparação do R2 no modelo de Ogden de 1ª a 6ª ordem.....................................42

SUMÁRIO

Capítulo 1: INTRODUÇÃO

1.1 - Considerações Gerais........................................................................................................13

Capítulo 2: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 - Conceitos Fundamentais sobre Polímeros........................................................................16

2.2 - Características do Polidimethilsiloxano (PDMS).............................................................19

2.3 – Cisalhamento simples......................................................................................................20

Capítulo 3. DEFORMAÇÃO FINITA - CISALHAMENTO SIMPLE S

3.1 - Modelo constitutivo para elastômeros..............................................................................22

3.2 – Modelos de função energia de deformação para materiais hiperelásticos.......................26

3.2.1 – O modelo de Mooney-Rivlin (1ª ordem)......................................................................26

3.2.2 – O modelo de Mooney-Rivlin (2ª ordem)......................................................................27

3.2.3 – O modelo “Neo-Hookeano”..........................................................................................28

3.2.4 – O modelo de Yeoh........................................................................................................28

3.2.5 – O modelo de Nunes.......................................................................................................29

3.2.6 – O modelo de Ogden......................................................................................................30

3.3 - Componente da tensão de cisalhamento para os modelos de função energia de

deformação................................................................................................................................30

Capítulo 4: MATERIAIS E MÉTODOS

4.1 – Materiais e métodos.........................................................................................................32

4.2 – Procedimento Experimental - Método de correlação de imagens digitais (CID) na

caracterização de materiais poliméricos...................................................................................34

Capítulo 5: RESULTADOS E DISCUSSÃO........................................................................36

Capítulo 6: CONCLUSÃO.....................................................................................................45

SUJESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS..................................................................46

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................47

APÊNDICE

Resumo publicado e aceito no VII CONEM 2012 (Congresso Nacional de Engenharia

Mecânica) realizado entre 31/julho/2012 e 03/agosto/2012.....................................................51

13

Capítulo 1

Introdução

1.1 Considerações Gerais

Os polímeros estão sendo muito requisitados em diversos segmentos industriais por

serem elementos estruturais altamente deformáveis [1]. Alguns destes segmentos na

engenharia são: indústria onshore e offshore em juntas de tubulações e de dilatação flexível,

revestimento em cilindros, rotores e equipamentos em geral, suporte para máquinas e

construções, serviços de saúde em equipamentos médicos, pneus e vedações para veículos

automotivos, setor aeronáutico, entre outros. Pode-se citar como exemplo que, apenas, quanto

aos tubos de materiais poliméricos, a tonelagem consumida nos EUA aumentou 400 vezes

entre 1948 e 1968 [2].

É necessário, desde o projeto básico ao executivo e dimensionamento, o conhecimento

das propriedades mecânicas dos elementos estruturais, para que se tenha uma previsão da

resposta do material frente a possíveis solicitações. Para alguns componentes estruturais

poliméricos são usados modelos da hiperelasticidade [3].

Os materiais poliméricos compreendem os plásticos (termoplásticos e termoestáveis) e

os elastômeros (borrachas) [2]. Dentre os elastômeros existem os materiais hiperelásticos

14

que são capazes de recuperar-se rapidamente de uma grande deformação possuindo uma

relação não-linear entre tensão e deformação [3].

Devido à grande utilização de materiais hiperelásticos em projetos de engenharia,

torna-se necessário ampliar o conhecimento do comportamento mecânico desses materiais.

Entre os polímeros se destacam os elastômeros que possuem características mecânicas muito

importantes [1]. Neste contexto, para este trabalho, utilizamos uma borracha de silicone: o

Polidimethilsiloxano (PDMS). Este polímero pode ser classificado como um material

hiperelástico, o qual se caracteriza por grandes deformações [4]. O PDMS tem como destaque

um baixo custo e outras características como facilidade de fabricação, flexibilidade e

transparência ótica [1], têm uma diversidade de aplicações: nanogeradores de energia,

sensores mecânicos, componentes eletrônicos e equipamentos medicinais.

Para determinar as propriedades mecânicas dos polímeros alguns tipos de testes têm

sido propostos. Dentre esses testes podem-se destacar: cisalhamento simples e cisalhamento

puro [5]. Em trabalho recente, Nunes [5] propôs analisar propriedades mecânicas no PDMS

submetido a grandes deformações por cisalhamento simples, usando o Método de Correlação

de Imagens (CID), que é um método óptico-numérico capaz de determinar campos de

deslocamentos [6].

Para descrever o comportamento mecânico do material hiperelástico, pode ser usada a

função densidade energia de deformação. Na literatura são propostos vários modelos de

função densidade energia de deformação, usando a teoria da elasticidade finita [3,7]. A

maioria das formulações de função densidade energia de deformação é baseada nos modelos

de Mooney-Rivlin e Ogden [7, 8], os quais serão referência para este trabalho.

Diante deste contexto, este trabalho tem como objetivo principal estudar o

comportamento mecânico do elastômero PDMS submetido a grandes deformações e

determinar a distorção angular por meio do método CID [5]. Além disso, os dados

experimentais serão ajustados usando modelos clássicos de energia de deformação para

materiais hiperelásticos. Nesta ordem, um aparato experimental baseado em juntas coladas é

usado na aplicação do carregamento para cisalhamento simples [5]. Os parâmetros do material

são determinados ajustando os modelos de função densidade energia de deformação com os

dados experimentais através do método de Levenberg-Marquardt, método interativo de

mínimos quadrados para resolução de funções não-lineares.

A dissertação é composta por seis capítulos, onde os três primeiros capítulos

apresentam uma introdução e uma revisão bibliográfica a respeito do tema, enquanto que os

15

seguintes referem-se à realização da parte experimental, dos resultados e discussão, das

conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

No capítulo 1 (INTRODUÇÃO), a finalidade é a apresentação da dissertação,

evidenciando a importância do tema, dos objetivos da pesquisa e de seu conteúdo.

Nos capítulos 2 e 3 (REVISÃO BIBLIOGRÁFICA) é apresentada uma revisão dos

conceitos fundamentais sobre polímeros, de algumas características do PDMS, da descrição

analítica de cisalhamento simples para o elastômero em coordenadas cartesianas, modelos de

função densidade energia de deformação para materiais hiperelástico e aplicações de

cisalhamento simples.

No capítulo 4 (MATERIAIS E MÉTODOS) são apresentados os procedimentos para o

experimento e a obtenção dos dados numéricos-experimentais.

O capítulo 5 (RESULTADOS E DISCUSSÃO) traz a apresentação dos principais

resultados encontrados na comparação dos dados experimentais com os modelos de função

densidade energia de deformação.

O capítulo 6 (CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS) é

apresentado às conclusões, considerações finais do trabalho e descreve algumas sugestões

para trabalhos futuros a partir dos resultados obtidos.

16

Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

2.1 Conceitos fundamentais sobre polímeros

Polímero é um material orgânico, que são cadeias de átomos de carbono onde vários

átomos ou radicais estão lateralmente ligados, inorgânico, natural ou sintético. Esta descrição

se origina no vocábulo grego polumeres, palavra constituída por polu que pode ser traduzido

como muitas e meres que significa partes [9].

Os polímeros são constituídos de moléculas organizadas em grandes cadeias

entrelaçadas entre si. Devido ao seu tamanho avantajado, a molécula de um polímero é

chamada de macromolécula. Estas unidades são chamadas de monômeros, do grego uma

parte. A reação que promove a união dos monômeros para formar um polímero é chamada de

polimerização. O monômetro vai, sucessivamente, se unindo a outros, dando o dímero,

trímero, tetrâmero, até chegar ao polímero. Aparentemente, este processo poderia seguir, sem

parar, até produzir uma molécula de tamanho “infinito”, porém, fatores práticos limitam a

continuação desta reação [1,9].

A alta massa molar dos polímeros e a diversidade de estruturas que podem ser

formadas pelo encadeamento dos monômeros conferem a estes materiais propriedades

17

químicas e físicas especiais, como por exemplo: alta viscosidade, elasticidade, resistência à

corrosão e umidade [9].

A principal conquista industrial da química orgânica no século XX foi à fabricação em

grande escala de polímeros sintéticos, como os plásticos, as borrachas e fibras sintéticas [1,9].

Desde o fim da Segunda Guerra Mundial, o campo dos materiais foi revolucionado pelo

aparecimento dos polímeros sintéticos [1]. A maioria dos polímeros sintéticos é de

desenvolvimento bastante recente, quase todos surgiram nos últimos cinquenta anos [2].

Os três grandes grupos de polímeros sintéticos (plásticos, borrachas e fibras), se

diferenciam pelas suas propriedades mecânicas, ou seja, como o material responde quando é

submetido a uma força ou tensão, dentre outras características típicas de cada grupo [9].

Em algumas aplicações em engenharia de construção, peças metálicas e de madeira

foram substituídas por polímeros, que possuem propriedades satisfatórias nesta substituição e

um custo mais baixo, comparado com os materiais tradicionais [1,9].

As propriedades mecânicas dos polímeros são especificadas através dos mesmos

parâmetros usados para os metais, isto é, o módulo de elasticidade, o limite de resistência à

tração e as resistências ao impacto e à fadiga [1].

O módulo de elasticidade e a ductilidade são determinados para os polímeros da

mesma maneira que para os metais, porém, os polímeros são em muitos aspectos,

mecanicamente diferentes dos metais. Por exemplo, o módulo de elasticidade para materiais

poliméricos altamente elásticos pode ser tão reduzido quanto 7 MPa ou tão elevado quanto 4

GPa, polímeros rígidos. Nos metais, os valores do módulo de elasticidade são muito mais

elevados e variam entre 48-410 GPa. Enquanto os metais raramente se alongam de maneira

plástica além dos 100%, alguns polímeros muito elásticos podem experimentar alongamentos

de até 1000%. As características mecânicas dos polímeros são muito mais sensíveis a

mudanças de temperatura na vizinhança da temperatura ambiente [1,9].

Na figura 1 são encontrados três tipos de comportamento tensão-deformação

tipicamente diferentes para materiais poliméricos. A curva A mostra um comportamento

típico de tensão-deformação para um polímero frágil, onde este sofre fratura enquanto se

deforma elasticamente. A curva B, material plástico, mostra um comportamento semelhante

ao comportamento de muitos materiais metálicos, a deformação inicial é elástica e em seguida

ocorre um escoamento com uma região de deformação plástica. Na curva C, a deformação é

totalmente elástica, típica de borrachas, onde grandes deformações são produzidas sob

pequenos níveis de tensão [1].

18

Figura 1 – Comportamento tensão-deformação para três tipos de polímeros: frágeis

(curva A), plásticos (curva B) e elastoméricos (curva C). (CALLISTER, 2002)

Os polímeros são estruturalmente muito mais complexos que metais ou materiais

cerâmicos. Embora sendo mais baratos e de fabricação mais fácil, eles tem menores

resistência mecânica e não são bons condutores de calor e eletricidade [1,9].

Podem-se dividir os materiais poliméricos em três classes:

1 – Materiais plásticos termoplásticos;

2 – Materiais plásticos termoestáveis (termofixos ou termorígidos);

3 – Elastômeros (borrachas).

Os termoplásticos são constituídos de moléculas que contém centenas e até milhões de

átomos de carbono. Neste tipo de polímero, aumentando a temperatura causa um

amolecimento que vai até a fusão do material, isto se deve a diminuição gradual das forças de

atração intermoleculares [2].

Os termoestáveis são polímeros onde o endurecimento (cura) tem como conseqüência

reações químicas irreversíveis. São materiais insolúveis e infusíveis, não podendo ser

amolecidos pelo calor, pois com o aquecimento as ligações moleculares ramificadas se

quebram, provocando a degradação do material [2].

19

Os elastômeros são materiais elásticos à temperatura ambiente, são obtidos através da

cura do látex. Como propriedade mecânica possui extraordinária elasticidade e flexibilidade,

fazendo com que atinjam a ruptura com uma deformação elástica muito elevada, de 300% a

700%, sem ocorrer deformação permanente [2].

Alguns materiais poliméricos de engenharia são mais caros do que o aço-carbono

comum, duas vezes para os termoplásticos e quatro vezes para os termoestáveis, porém são

mais baratos do que os aços inoxidáveis, 1/5 a 1/10 do valor [2].

Os materiais poliméricos são empregados em serviços com temperatura ambiente a

moderada, com baixo esforço mecânico, e/ou com necessidade de resistência à corrosão [2].

Pode-se citar como exemplo de aplicação que a norma ASME (seção X) para caldeiras

e vasos de pressão admite vaso de pressão construído de dois tipos de material termoestável,

epóxi e poliéster, com reforço de fibra de vidro. Outra norma bastante empregada em

indústria químicas, petroquímicas e refinarias é a norma ASME B31.3, que admite tubulações

de plástico termoestável [2].

2.2 Características do Polidimethilsiloxane (PDMS)

Os silicones (polissiloxenos) são elastômeros de baixo peso molecular e apresentam-se

como um material líquido viscoso [2]. O polímero conhecido como Polidimethilsiloxane

(PDMS) pertence a este grupo de silicone, possuindo características de ser opticamente

transparente, de ser não tóxico e não inflamável.

O PDMS possui alongamento de 100 a 800% e sua faixa útil de temperatura é de -115

a 315ºC. Os elastômeros à base de silicone têm grande flexibilidade a baixas temperaturas (de

até -90ºC), e ainda são estáveis a temperaturas tão elevadas quanto 250ºC. Como aplicações

podem ser usados como isolamento térmico para temperaturas altas e baixas, vedações,

calafetagens, tubos e para fins medicinais. O PDMS, como elastômero, apresenta ligações

cruzadas. São resistentes às intempéries e óleos lubrificantes. Como característica adicional o

PDMS pode curar a temperatura ambiente [1].

20

2.3 Cisalhamento simples

Alguns estudos com aplicações em diversas áreas estão sendo realizados a partir dos

conceitos de cisalhamento simples e função densidade de energia de deformação, como

exemplo em aplicações biológicas de tecidos musculares e elemento finito [10,11]. Existem

trabalhos onde o cisalhamento simples é estudado com combinação e outros esforços, por

exemplo, o cisalhamento simples combinado com a compressão [12]. Cabe também destacar

que o cisalhamento simples não é tão simples, como mostra em alguns estudos [13,14,15].

M. Destrade et al. estudaram os efeitos do cisalhamento simples em tecidos

musculares, mostrando a importância e aplicabilidade do conceito de cisalhamento simples e

de função de densidade energia de deformação na biomecânica [10].

Polímeros sólidos e tecidos musculares biológicos podem ser modelados pela teoria da

elasticidade finita, em ambos podem ocorrer grandes deformações, não linearidade,

incompressibilidade e tensões residuais [10]. Uma diferença entre estes dois tipos de sólidos é

que os elastômeros são essencialmente isotrópicos, enquanto que os tecidos musculares são

anisotrópicos, por causa da presença de fibras de colágeno. M. Destrade et al. consideraram o

efeito de introduzir fibras paralelas numa matriz isotrópica e observaram diferenças entre o

comportamento mecânico do elastômero e do tecido muscular. Ainda em seu trabalho, eles

consideraram uma grande deformação num bloco sólido e observaram o seguinte: quando o

bloco é feito de elastômero, a superfície permanece plana, enquanto se o bloco é feito de

tecido muscular aparecem “rugas” na superfície entre a direção do corte e a direção da fibra

(figura 2). O polímero não apresentou instabilidade na superfície, porém o bloco de tecido

muscular apresentou instabilidade [10].

Figura 2 – Cisalhamento ao longo das setas. Um bloco de silicone (15x10x1,5 cm3) e um

bloco de tecido muscular (15x10x3 cm3). (M.Destrade, 2008)

21

Ainda em seus estudos [10], eles usaram para descrever o comportamento do

elastômero um modelo chamado “Neo-Hookeano” e acharam que a superfície do material não

sofre instabilidade, a menos que, seja submetido a uma quantidade de cisalhamento. O valor

encontrado para a quantidade crítica de cisalhamento foi o 3,09 e para o ângulo crítico de

cisalhamento de 72º [10].

Em outro estudo, M. Destrade et al [13] mostrou que cisalhamento simples não é tão

simples. Eles estudaram a tensão de cisalhamento de Cauchy em materiais isotrópicos,

elástico, não-lineares, compressíveis e incompressíveis. Em seu trabalho [13] foi mostrado

que a deformação não é de cisalhamento simples quando o material for do tipo não-linear, em

contraste com a situação da elasticidade linear. Em vez disso, a deformação é constituída por

estiramentos triaxiais sobrepostos a uma deformação de cisalhamento simples clássica. Em

outras palavras, as faces de um bloco cúbico não podem ser inclinadas por um ângulo maior

do que 45º. Neste caso, a função de energia de deformação não depende do segundo

invariante de deformação [13]. Cabe destacar que, cisalhamento simples não deve ser

confundido com cisalhamento puro [16].

Existem trabalhos onde o cisalhamento simples é combinado com outros esforços.

Métodos disponíveis na literatura são encontrados para resolver problemas de cisalhamento

simples ou compressão. Abdur Rahman Bhuiyan e Ehsan Ahmed [12] estudaram a resposta

de uma borracha submetida à ação combinada de cisalhamento simples e compressão. Este

estudo descreve um modelo analítico de função energia de deformação que com os resultados

experimentais ficaram de acordo com uma análise obtida por elemento finito.

L. Ângela Mihai e Alain Goriely [17] estudaram o efeito Poyting na deformação por

cisalhamento em experimentos com gel de biopolímeros. Eles observaram o inverso do efeito

Poynting, do usual positivo. Demonstraram que em materiais homogéneos isotrópicos sujeitos

a cisalhamento puro, a deformação resultante consiste de um estiramento triaxial combinado

com um cisalhamento simples. Então, para um cubo deformado sob cisalhamento puro, o

efeito Poynting positivo ocorre se as faces do cubo se afastar, enquanto o efeito Poynting

negativo é obtido se as faces do cubo tender a se juntar. Da mesma forma, ocorre para

deformação de cisalhamento simples [17].

22

Capítulo 3

Deformação finita: cisalhamento simples

3.1 - Modelo constitutivo para elastômeros

A cinemática descreve o movimento de um corpo ou uma estrutura, sem fazer

considerações das causas desta mudança de posição ou configuração. A posição do corpo é

uma função contínua que faz correspondência única entre o ponto material e sua coordenada

no espaço em relação a um referencial. O movimento ou mudança de configuração é uma

função que associa a posição inicial e a atual de um ponto material [3,18].

Existem dois tipos de descrição para se expressar o movimento: A Lagrangiana, ou

material, o qual utiliza como variáveis independentes as coordenadas materiais, que

caracteriza a mudança de configuração de um corpo em relação às coordenadas materiais e ao

tempo e a Euleriana, ou espacial, o qual utiliza como variáveis independentes as coordenadas

espaciais, que caracteriza a alteração de forma em relação às coordenadas espaciais e ao

tempo [18]. Neste trabalho, foi usada a formulação Euleriana, que descreve a curva real do

gráfico tensão-deformação.

Um elemento material representado por dX na configuração de referência (inicial ou

indeformada) pode ser transformado em um elemento material representado por dx na

configuração corrente (atual ou deformada), usando para isto o gradiente do tensor

deformação F. A relação entre estes elementos é dada por dx = FdX [3].

23

Figura 3 - Configuração para cisalhamento simples no estado deformado

Considere um bloco retangular sujeito a um cisalhamento simples, como ilustrado na

figura 3. As componentes da posição atual em relação ao referencial podem ser dadas por:

x1 = X1 + γ X2

x2 = X2 (1)

x3 = X3

onde γ é a deformação angular, ou seja, tg θ . = γ /1. Usando a equação (1), o tensor

gradiente de deformação F [19], pode ser expresso como:

F = x∇ =

100

010

01 γ (2)

Apesar da simplicidade, este tensor de deformação é pouco utilizado, devido à matriz

não ser simétrica e não ser invariante com movimentos do corpo rígido [18,20]. Da equação

(2), utilizaremos o tensor deformação de Cauchy-Green a esquerda B, B=FFT, tensor de

deformação simétrico e invariante em relação ao movimento do corpo rígido [3,18].

B = FFT =

γ 2 +1 γ 0

γ 1 0

0 0 1

(3)

24

As deformações principais são obtidas pela equação característica det (B - λ I ) = 0,

onde I é a matriz identidade. Esta equação pode ser resolvida para valores de λ que

satisfaçam a igualdade. Os valores λ são os autovalores do tensor B, também chamados

estiramentos, alongamento ou extensão. Resolvendo a equação característica, encontramos:

3λ - (3+ 2γ ) 2λ +(3+ 2γ ) λ -1 = 0 (4)

A solução da equação cúbica (4) em λ , são os autovalores iλ , onde i = 1, 2 e 3.

Dois estiramentos, 1λ e 2λ , são tomados no plano de interesse e o terceiro estiramento

3λ é determinado pela condição 321 λλλ = 1. Esta relação é para volumes que não mudam

durante a deformação, característica de materiais incompressíveis [3].

Considerando 3λ = 1, reduz para γλλ =− −1 , com 12−λ ≡

1λ = λ ≥ 1 e 1λ > 2λ , sem

perda de generalidade. Consequentemente, os autovalores para cálculo das tensões internas,

podem ser dados por:

1λ = 4

12

122 γγγ +++ e 2λ =

41

21

22 γγγ +−+ (5)

Os invariantes principais que são os escalares do tensor deformação de Cauchy-Green

a esquerda podem ser determinados como:

I1 = trB = 2γ + 3

I2 = 2

1[tr2(B)-tr(B)2] = 2γ + 3 (6)

I3 = J = detB = 1

Para deformação por cisalhamento simples, são obtidos I1 = I2 = 2γ + 3 e I3 = 1. Além

disso, para materiais incompressíveis o Jacobiano da transformação, J = 1 [3,21].

Uma função de densidade de energia de deformação W é uma função que depende

somente dos componentes de deformação. Ela representa o acúmulo de energia mecânica no

corpo quando este sofre deformação [4]. Para materiais hiperelásticos, isotrópicos e

25

incompressíveis, a função W pode ser expressa como um conjunto de invariantes do tensor

deformação de Cauchy-Green a esquerda B, dado por:

W = W[I1(B),I2(B)] - 2

1p(I3 - 1) (7)

onde o escalar p pode ser interpretado como um multiplicador Lagrangiano, que pode ser

identificado como uma pressão hidrostática [3,21].

O segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff S, medida de tensão sem interpretação

física, porém de grande importância para o cálculo da energia e suas derivadas [18], é dado

por:

S = 2BBBBBBBB

∂∂ )(W

(8)

O tensor de Cauchy σ pode ser expresso em termos do segundo tensor tensão de

Piola-Kirchhoff, S, onde esta relação é dada por:

σ = J -1FSFT (9)

Por meio de operações matemáticas e usando o tensor deformação de Cauchy-Green a

esquerda B, o tensor de Cauchy σ pode ser reescrito como [3]:

σ = 2J-1

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂ −1

23

133

22 BBBBBBBBIIII

I

WI

I

W

I

WI

I

WI (10)

O estado de deformação simples não leva a um estado de tensão de cisalhamento

simples. Existem as outras componentes da tensão, que podem ser achadas resolvendo o

tensor de Cauchy σ escrito da seguinte forma [3]:

σ = 1111----BBBB2222 ---- BBBB2222 IIII21 I

W

I

Wp

∂∂

∂∂+− (11)

26

σ =

+−−

∂∂

+

∂∂+

−100

01

01

100

01

01

100

010

0012

21

γγγ

γγγ

I

W

I

Wp 2222 ---- 2222

2222

(12)

Substituindo as equações (3) e (6) em (10), a componente da tensão de cisalhamento

pode ser dada por [22]:

12σ = 2 γ

∂∂+

∂∂

21 I

W

I

W (13)

Em seguida serão descritos alguns modelos de função densidade de energia de

deformação W para materiais hiperelásticos [7], que podem ser funções lineares e não-

lineares. Tais modelos serão comparados com os dados experimentais obtidos no ensaio de

cisalhamento simples para o polímero PDMS.

3.2 – Modelos de função de energia de deformação para materiais hiperelásticos

A forma de W é a chave para toda a elasticidade [3,7,23,24,25,26]. Por exemplo,

pode-se supor que W seja uma função do gradiente de deformação F, porém este tensor não é

invariante com movimentos de corpo rígido [3,7,24]. Assim, a melhor forma de se expressar

W é como uma função de um dos tensores de deformação de Cauchy-Green ou do tensor de

Green [3].

As borrachas são normalmente modeladas como materiais elásticos, isotrópicos e

incompressíveis. Como são materiais elásticos, considera-se que haja uma função energia de

deformação W que representa o acúmulo armazenado de energia mecânica no corpo [3,7]. Os

invariantes de um tensor são grandezas que não variam com rotações do sistema coordenado

[3]. Expressando W através dos três invariantes do tensor deformação, estaremos descrevendo

um material isotrópico e a expressão de W fica:

W = ƒ(I1, I2, I3) (14)

27

Sendo o material incompressível, podemos escrever, detB = 1. Daí, detB = det(F2) = 1,

então para o terceiro invariante: I3 (B) = 1. Como conseqüência, a função densidade energia

de deformação depende de apenas dois invariantes:

W = ƒ(I1, I2) (15)

3.2.1 – O modelo de Mooney-Rivlin (1ª ordem)

O modelo de Mooney-Rivlin [3,7] é uma série polinomial, baseado nos invariantes I1 e

I2:

W = ( ) ( )∑∞

==

−−0,0

21 33ji

jiij IIC (16)

onde Cij são parâmetros do material e C00 = 0. A série é geralmente truncada para termos de

primeira, segunda ou terceira ordem. Como exemplo, para terceira ordem é necessário

determinar nove parâmetros de material. Esta forma de função energia de deformação é

amplamente usada para problemas de grandes deformações [7,27]. O modelo para primeira

ordem é descrito como:

W(I1,I2) = C10(I1-3)+C01(I2-3) (17)

onde C10 e C01 são parâmetros do material, I1 e I2 são os invariantes de deformação. A

subtração de três é para a energia ser nula na posição inderformada [3,28]. O módulo de

cisalhamento é µ = 2(C10+C01) [7].

3.2.2 – O modelo de Mooney-Rivlin (2ª ordem)

O modelo de Mooney-Rivlin para segunda ordem é descrito como:

28

W(I1,I2) = C10(I1-3)+C01(I2-3)+C20(I1-3)2+C11(I1-3)(I2-3)+C02(I2-3)2 (18)

onde C10, C01, C20, C11 e C02 são parâmetros do material, I1 e I2 são os invariantes de

deformação. Esta forma apresenta mais três parâmetros do material, onde permite um melhor

ajuste para o polinômio [29]. Mais termos podem ser adicionados a equação (16), mas

normalmente não produzem apreciáveis melhorias [29]. O módulo de cisalhamento é

∑=ij

ijC2µ [29].

3.2.3 – O modelo “Neo-Hookeano”

Este modelo foi proposto por Treloar [7], sua forma é um caso especial da função

densidade energia de deformação de Mooney-Rivlin, com C01 = 0. O modelo considera

materiais “Neo-Hookeano” e depende do primeiro invariante I1 de deformação [30,31]. Este

modelo é usado para deformações abaixo de 50% [9]. O módulo de cisalhamento é µ =2C10

[7].

W = C10(I1-3) (19)

onde C10 é o parâmetro do material.

Este modelo proporciona um comportamento linear para o caso de cisalhamento

simples [7,32].

3.2.4 – O modelo de Yeoh

O modelo constitutivo proposto por Yeoh [3,33], para materiais hiperelásticos e

incompressíveis, assume a independência do segundo invariante I2. Este modelo teve como

base o modelo de Mooney-Rivlin. Sua forma fica:

W= ( )∑=

−N

n

nn IC

11 3 (20)

29

onde Cn, n=1,2,3 são os parâmetros do material e I1 é o primeiro invariante de deformação. O

modelo para primeira ordem é descrito como:

W(I1) = C1(I1-3) (21)

onde o módulo de cisalhamento é µ =2C1 [7]. Este modelo é igual ao modelo “Neo-

Hookeano” para n = 1. O modelo de Yeoh para n = 2 e n = 3, ficaram respectivamente:

W(I1) = C1(I1-3)+ C2(I1-3)2 (22)

W(I1) = C1(I1-3)+ C2(I1-3)2 + C3(I1-3)3 (23)

onde os módulos de cisalhamento são µ =2C1 + 4C2(I1-3) para n=2 e µ =2C1 + 4C2(I1-3) +

6C3(I1-3)2 para n=3.

3.2.5 – O modelo de Nunes

Em um trabalho recente, Nunes [5,34] propôs um modelo que descreve o

comportamento não-linear do polímero hiperelástico PDMS, submetido a deformação por

cisalhamento simples. O modelo é:

W= ( ) ( )

−+− 4

3

21 332

1ICIC (24)

onde C1 e C2 são os parâmetros do material e I = I1 = I2 são os invariantes de deformação

[5,34]. O módulo de cisalhamento é µ = ( ) 4

1

21 34

32 −−+ ICC

30

3.2.6 – O modelo de Ogden

Ogden [3,7], em 1972, propôs derivar a função densidade energia de deformação em

termos das três extensões principais iλ , i = 1,2,3. A função energia de deformação foi

expandida através de uma série de potências reais e descrita como função dos estiramentos

principais:

W ( 1λ , 2λ , 3λ ) = ( )∑=

−++N

n n

n nnn

1321 3ααα λλλ

αµ

(25)

O módulo de cisalhamento é ∑=

=N

nnn

12

1 αµµ , com a seguinte condição de estabilidade,

nnαµ > 0, n=1,N. Para primeira ordem o módulo é 1

1

2

αµµ = . Este modelo é usado para

problemas de grandes deformações [7]. Os modelos para primeira e segunda ordem são

descritos abaixo, com 3λ = 1 e 12−λ ≡

1λ .

W ( 1λ , 2λ , 3λ ) = ( )3111321

1

1 −++ ααα λλλαµ

(26)

W ( 1λ , 2λ , 3λ ) = ( )3111321

1

1 −++ ααα λλλαµ

+ ( )3222321

2

2 −++ ααα λλλαµ

(27)

3.3 - Componente da tensão de cisalhamento para os modelos de função energia de

deformaçao

Substituindo as equações (17), (18), (19), (22), (23), (24), (26) e (27) na equação (13),

teremos a componente cisalhamento do tensor de Cauchy ( )12σ , associada com os modelos de

Mooney-Rivlin (1ª e 2ª ordem), “Neo-Hookeano”, Yeoh, Nunes e Ogden (1ª e 2ª ordem) na

tabela 1 a seguir, com I1=I2=2γ +3, 3λ = 1 e 1

2−λ ≡

1λ .

31

Tabela 1 – Componente de cisalhamento do Tensor de Cauchy associada a cada modelo

de função energia

Modelos de Função

Energia de Deformação (W)

Componente de Cisalhamento

do Tensor de Cauchy ( )12σ

Mooney-

Rivlin

(1ªordem)

C10(I1-3)+C01(I2-3) ( ) µγγ =+ 01102 CC

Mooney-

Rivlin

(2ªordem)

C10(I1-3)+C01(I2-3)+

+C20(I1-3)2+

+C11(I1-3)(I2-3)+C02(I2-3)2

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] γ

−+−++−+−++

332

33

202120

21110110

ICIC

IICCC

“Neo-

Hookeano” C10(I1-3) γ102C

Yeoh

(2ªordem) C1(I1-3)+ C2(I1-3)2 ( )[ ]γ322 121 −+ ICC

Yeoh

(3ªordem) C1(I1-3)+C2(I1-3)2+C3(I1-3)3 ( ) ( )[ ]γ2

13121 33322 −+−+ ICICC

Nunes ( ) ( )

−+− 4

3

21 332

1ICIC γγ 21 4

32 CC +

Ogden

(1ªordem) ( )3111

3211

1 −++ ααα λλλαµ

( )11

1121

111

αα λλλ

λµ −−+

Ogden

(2ªordem) ( )3111

3211

1 −++ ααα λλλαµ

+ ( )3222321

2

2 −++ ααα λλλαµ

( )11

1121

111

αα λλλ

λµ −−+

+

+ ( )22

1121

12 1

αα λλλ

λµ −−+

32

Capítulo 4

Materiais e Métodos

4.1 – Materiais e métodos

Para a realização deste trabalho, foi utilizado o polímero Polidimethilsiloxano

(PDMS), a fim de avaliar seu comportamento mecânico na condição de cisalhamento simples

para grandes deformações.

Foi usada uma junta colada para transferir o carregamento aplicado do substrato para o

adesivo [34,35]. Esta junta foi feita com o substrato de aço ASTM A-36 e adesivo a base do

PDMS, sendo a configuração adequada para proporcionar uma deformação por cisalhamento

simples. É importante destacar que a rigidez do substrato (ASTM A-36) era muito maior do

que o adesivo (PDMS), a fim de garantir que o substrato não deformasse e somente o adesivo

(PDMS) deforme por cisalhamento simples [34,35].

As dimensões da junta colada são ilustradas na figura 4. Os seguintes dados foram

considerados: a força aplicada (F) de 290 N; o comprimento do sistema de retenção contra o

movimento transversal de 25 mm; segmento do comprimento do substrato (D) de 50 mm;

comprimento do adesivo (L) de 42 mm; largura do substrato e do adesivo (w) iguais a 25,4

mm; espessura do substrato e do adesivo (t e ta) iguais a 1,6 mm.

33

Figura 4 – Geometria da junta - adesivo (PDMS) e aderente (ASTM A-36) (Nunes, 2010)

A região colada do substrato recebeu um tratamento superficial. Este procedimento

consistiu em desgastar as superfícies do substrato na região sobreposta com uma lixa fina e

limpar com acetona antes da aplicação do adesivo. Para garantir a espessura do adesivo, a

amostra foi fabricada num molde, conforme a figura 5. O tempo de cura foi de 48 h na

temperatura ambiente. A figura 6 mostra o adesivo PDMS no aparato mecânico antes de

sofrer o esforço, os pontos pretos que aparecem no adesivo foram aplicados com spray de

tinta, para obter um padrão aleatório para o método de correlação de imagens digital (CID).

Figura 5 – Aparato para fabricação das amostras (Nunes, 2010)

Figura 6 – Imagem do PDMS no aparato mecânico

34

4.2 – Procedimento Experimental - Método de correlação de imagens digitais (CID) na

caracterização de materiais poliméricos

O método de correlação de imagens digital (CID) pode ser usado para determinar o

campo de deslocamento do PDMS. CID é uma técnica óptico-numérica capaz de determinar

campos de deslocamentos através de um sistema que captura as imagens da superfície da

amostra antes e depois de sofrer o esforço, ou seja, na posição não deformada e na posição

deformada. Este procedimento tem o mérito de medir o campo de deslocamento sem ter

contato com a amostra, é um aparato ótico simples, não precisa de preparação especial das

amostras e não precisa de iluminação especial [6,29].

O teste de cisalhamento simples foi feito num aparato mecânico desenvolvido para

aplicar um carregamento quase estático na junta colada com o adesivo PDMS. O sistema de

aquisição é composto por uma câmera de captura de imagens (CCD) posicionada

perpendicularmente a amostra e um computador para capturar e processar as imagens. O

aparato mecânico e o sistema de aquisição são apresentados na figura 7.

Figura 7 – Arranjo experimental para deformação por cisalhamento simples (Nunes,

2010)

O arranjo experimental empregado tem uma configuração relativamente simples,

consistiu no polímero PDMS (amostra) em uma junta colada, a célula de carga e a CCD

câmera.

35

A CCD câmera usada foi uma Sony XCD-SX910 com resolução de 1376x1024 pixels.

Um pixel da câmera, para este experimento, correspondia a uma área aproximadamente de

4,65µ m x 4,65µ m da amostra [34].

36

Capítulo 5

Resultados e Discussão

As figuras 8 (a) e 8 (b), mostram os resultados dos campos de deslocamentos, u(x,y) e

v(x,y), obtidos quando a carga de 290 N foi aplicada. Estes mapas são obtidos na superfície da

região central do adesivo, isto é, na região analisada da figura 6. Este exemplo foi escolhido

para mostrar que o deslocamento v(x,y) pode ser desconsiderado quando comparado com o

deslocamento u(x,y). O campo de deslocamento u(x,y) varia na direção y.

(a) (b)

Figura 8 – Campo de deslocamento obtido na região central da superfície do PDMS com

carregamento aplicado de 290 N: (a) deslocamento u(x,y) e (b) deslocamento v(x,y)

37

O teste de cisalhamento simples foi realizado, considerando a região colada da junta

(L) igual a 42 mm. Com isso, a componente do tensor de Cauchy σ , também conhecido

como tensão verdadeira, foi definida como força por unidade de área deformada.

Foi aplicado o carregamento e o deslocamento foi determinado usando o método CID.

A figura 9 ilustra o ajuste dos modelos de função energia de deformação, que dependem da

deformação angular, com os dados experimentais. Foi considerada 1ª e 2ª ordem no modelo

de Mooney-Rivlin e 2ª e 3ª ordem no modelo de Yeoh.

Figura 9 – Gráfico tensão de cisalhamento versus deformação angular – dados

experimentais e modelos de função energia de deformação

Para uma melhor visualização, os dados experimentais são comparados com cada

modelo da função energia de deformação apresentados acima. As figuras 10, 11, 12 e 13,

representam o ajuste dos modelos de função energia de Mooney-Rivlin de 1ª e 2ª ordem,

“Neo-Hookeano”, Yeoh de 2ª e 3ª ordem e Nunes aos dados experimentais.

38

(a) (b)

Figura 10 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Mooney-Rivlin

(a) 1ª ordem e (b) 2ª ordem

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Deformação angular, γ

Ten

são

de c

isal

ham

ent

o, σ 12

(MP

a)

Dados experimentais

Modelo Neo-Hookeano

Figura 11 – Comparação entre os dados experimentais e modelo “Neo-Hookeano”

(a) (b)

Figura 12 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Yeoh – (a) 2ª ordem

e (b) 3ª ordem

39

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Deformação angular, γ

Ten

são

de c

isal

ham

ent

o, σ 12

(MP

a)

Dados experimentais

Modelo de Nunes

Figura 13 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Nunes

É possível observar um comportamento não linear na deformação do polímero PDMS

no ensaio de cisalhamento simples. Para os modelos de função energia de deformação que

dependem da deformação angular, o modelo que obteve a melhor concordância com os dados

experimentais foi o de Nunes. Os modelos clássicos de Mooney-Rivlin, “Neo-Hookeano” e

Yeoh apresentaram discrepâncias. Em todos os casos, os parâmetros do material presente nas

equações foram estimados usando o método de Levenberg-Marquardt, que é um método para

resolver problemas não-lineares de mínimos quadrados.

Foi usado o R2, R-square, uma medida estatística que mostra o melhor ajuste das

curvas para a variação dos dados, o valor mais próximo de 1 (100%) indica um melhor ajuste

da curva. Estes parâmetros do material e o R2 são mostrados na tabela 2.

Tabela 2 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais

Modelos Parâmetros do material (MPA) R2

Mooney-Rivlin (1ª ordem) µ = 2,112× 105 0,9435

Mooney-Rivlin (2ª ordem) C10 = -1,18× 107

C01 = 1,19× 107

C20 = 2,76× 107

C11 = -1,28× 107

C02 = -1,48× 107

0,9818

“Neo-Hookeano” C1 = 2,112×105 0,9435

Yeoh (2ª ordem) C1 = 1,33× 105

C2 = -1,45× 104

0,9831

40

Tabela 2 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais (Continuação)

Modelos Parâmetros do material (MPa) R2

Yeoh (3ª ordem) C1 = 1,48× 105

C2 = -4,35× 104

C3 = 1,39× 104

0,9922

Nunes C1 = 1,178× 105

C2 = 1,216× 105

0,9994

Os valores do parâmetro do material e do R2 nos modelos de Mooney-Rivlin (1ª

ordem) e “Neo-Hookeano” foram os mesmos, enquanto que os valores das constantes nos

modelos de Mooney-Rivlin (2ª ordem), Yeoh (2ª e 3ª ordem) e Nunes apresentaram variações.

O R2 do modelo de Nunes foi o que mais se aproximou de 1, seguidos dos modelos de Yeoh

(3ª ordem), Yeoh (2ª ordem), Mooney-Rivlin (2ª ordem), Mooney-Rivlin (1ª ordem) e “Neo-

Hookeano”.

A figura 14 ilustra o ajuste do modelo de Ogden, que depende do estiramento, aos

dados experimentais. Foi considerada neste modelo a 1ª até a 6ª ordem.

Figura 14 – Gráfico tensão de cisalhamento versus estiramento – dados experimentais e

modelo de Ogden (1ª a 6ª ordem)

41

Para uma melhor visualização, as figuras 15 e 16 representam os dados experimentais

comparados com o modelo de Ogden na 1ª, 2ª e 4ª ordem.

(a) (b)

Figura 15 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Ogden – (a) 1ª

ordem e (b) 2ª ordem

Figura 16 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Ogden (4ª ordem)

Tal como visualizado nas figuras 14 e 16, o modelo de Ogden de 4ª ordem foi o que

obteve melhor concordância com os dados experimentais. Nas tabelas 3 e 4, são representados

os parâmetros do material e o R2 para 1ª a 6ª ordem, respectivamente.

Tabela 3 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais – Ogden

Modelo Parâmetros do material (MPa)

Ogden (1ª ordem) =1α 0,0507, 1µ =9,84, µ = 0,249

Ogden (2ª ordem) =1α 0,123x106, =2α 0,121x106

1µ = 2,226x106, 2µ = 1,869x106, µ = 0,249x1012

42

Tabela 3 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais – Ogden

(continuação)

Modelo Parâmetros do material (MPa)

Ogden

(3ª ordem)

=1α 0,117x108, =2α 0,118x108, =3α 0,112x108

1µ = 1,414x108, 2µ = 1,463x108, 3µ = 1,437x108

µ = 0,249x1016

Ogden

(4ª ordem)

=1α 0,358x107, =2α 0,945x107, =3α 0,355x107, =4α 0,368x107

1µ = 2,226x107, 2µ = -2,297x106, 3µ = 2,461x107, 4µ = 2,841x107

µ = 0,125x1015

Ogden

(5ª ordem)

=1α 0,393x107, =2α 0,389x107, =3α 0,389x107, =4α 1,047x104,

=5α 0,389x107

1µ = 0,981x107, 2µ = 1,616x107, 3µ = 1,578x107, 4µ = -1,683x105,

5µ = 1,731x107

µ = 0,814x1015

Ogden

(6ª ordem)

=1α 0,098x107, =2α 0,093x108, =3α 0,085x107, =4α 0,093x107,

=5α 0,093x107, =6α 0,093x107

1µ = 1,040x108, 2µ = 0,874x108, 3µ = 1,116x108, 4µ = 0,781x108,

5µ = 0,707x108, 6µ = 0,867x108

µ = 0,249x108

Tabela 4 – Comparação do R2 no modelo de Ogden de 1ª a 6ª ordem

Modelo R2

Ogden (1ª ordem) 0,9798

Ogden (2ª ordem) 0,9798

Ogden (3ª ordem) 0,9798

Ogden (4ª ordem) 0,9876

Ogden (5ª ordem) 0,9865

Ogden (6ª ordem) 0,9798

43

O modelo de Ogden na 4ª ordem foi o que obteve melhor ajuste com os dados

experimentais, teve o R2 mais próximo de 1. O modelo de Ogden na 1ª, 2ª, 3ª e 6ª ordem

tiveram os R2 iguais.

A fim de melhorar os resultados da discordância entre os dados experimentais e os

modelos clássicos de energia de deformação, a tensão de cisalhamento foi dividida pela

deformação angular. Este resultado foi feito para os dados experimentais, o modelo proposto

por Nunes e o modelo de Mooney-Rivlin de 1ª ordem e é mostrado na figura 17.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Deformação angular, γ

σ 12/ γ

(M

Pa

)

Dados Experimental

Modelo de NunesModelo de Mooney-Rivlin, 1ª ordem

Figura 17 – Componente tensão de cisalhamento dividida pela deformação angular

versus deformação angular.

Pode ser visto que o modelo de Nunes é mais apropriado que o modelo clássico de

Mooney-Rivlin de 1ª ordem. Os ensaios experimentais foram realizados sob condições de

carregamento quase estático. O PDMS é um material hiperelástico e os efeitos da taxa de

deformação são comumente observados. Além disso, o PDMS é um material macio, o qual é

muito sensível a cargas baixas. É importante salientar que o método CID baseia-se em duas

imagens, uma com carga zero e a outra com os estados de carregamento. Também para

melhorar a compreensão dos resultados pode ser obtido um gráfico traçando o erro residual do

valor da componente tensão de cisalhamento. Este erro residual de um modelo ajustado pode

ser definido como uma diferença entre os dados experimentais e os modelos de função

energia de deformação ajustados. Os erros residuais para os modelos de Nunes e o de

44

Mooney-Rivlin de 1ª ordem são ilustrados na figura 18. É possível visualizar, que o erro

residual no modelo de Nunes é menor do que o do modelo Mooney-Rivlin de 1ª ordem.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Deformação angular, γ

Re

sid

ua

l,| σ

12E

xp -

σ12

Mod

el| (

MP

a)

Modelo de Nunes

Modelo de Mooney-Rivlin, 1ª ordem

Figura 18 – Erro residual: comparação entre o Modelo de Mooney-Rivlin de 1ª ordem e

o de Nunes.

45

Capítulo 6

Conclusão

Um simples teste de cisalhamento foi realizado no polímero PDMS e o campo de

deslocamento foi determinado pelo método de correlação de imagens (CID). Com base nos

resultados encontrados, os valores da distorção angular e a componente tensão de

cisalhamento foram obtidos.

O trabalho visa mostrar que nas teorias clássicas em geral para alguns modelos de

função energia de deformação são consideradas funções lineares na curva tensão de

cisalhamento versus deformação angular ou estiramento, para materiais isotrópicos e

hiperelásticos. Os modelos de energia de deformação, apresentados neste trabalho, foram

ajustados aos dados experimentais obtidos no teste de cisalhamento simples para o polímero

PDMS, onde a curva encontrada foi não-linear. A fim de encontrar um melhor modelo de

função energia de deformação para os dados experimentais, os modelos clássicos de função

energia de deformação de Mooney-Rivlin, “Neo-Hookean”, Yeoh, Ogden e o modelo de

Nunes foram investigados. Como foi observado, os modelos de Nunes, Yeoh e o modelo de

Ogden foram os que mais se aproximaram aos dados experimentais, os quais são modelos de

funções energia de deformações não-lineares.

46

Sugestões para Trabalhos Futuros

A partir dos resultados obtidos neste trabalho, podem ser sugeridos como trabalhos

futuros:

1) Efetuar o mesmo estudo de cisalhamento simples para outros tipos de

polímeros;

2) Estudar o comportamento mecânico do polímero PDMS num ensaio de

relaxação;

3) Realizar o mesmo estudo de deformação por cisalhamento simples no polímero

PDMS e comparar com um modelo de energia de deformação baseado num

programa de elementos finitos;

4) Efetuar o mesmo estudo de cisalhamento simples para o polímero PDMS ou

outros tipos de polímeros com condições de temperaturas diferentes;

5) Analisar as componentes de tensões normais tendo em vista que o

cisalhamento simples não é tão simples.

47

Referências Bibliográficas

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51

Apêndice

Resumo publicado e aceito no VII CONEM 2012 (Congresso Nacional de Engenharia Mecânica) realizado entre 31/julho/2012 e 03/agosto/2012

INVESTIGATION OF SIMPLE AND PURE SHEAR FROM HYPERELASTIC MATERIAL BASED ON DIGITAL IMAGE

CORRELATION METHOD

A.L. Pereira, alexandrelp_eng@yahoo.com.br1

D.C. Moreira, debora@id.uff.br1

L.C.S Nunes, luizcsn@mec.uff.br1

1Laboratory of Opto-Mechanics (LOM/LMTA), Department of Mechanical Engineering

(TEM/PGMEC), Universidade Federal Fluminense, Rua Passo da Pátria, 156, Bloco E,

Niteroi-RJ, CEP: 24210-240, Brazil.

Abstract. This paper describes and analyzes the mechanical behavior of a hyperelastic

material in two different conditions, i.e., simple and pure shear deformations. The

experimental procedure is carried out using the Digital Image Correlations (DIC) method,

which is an available optical-numerical approach to estimate full-field displacements. The

simple shear deformations are obtained by single lap joints testing, while the pure shear is

carried out by means of planar tension testing. Moreover, classical constitutive models are

employed to describe the mechanical behavior of the hyperelastic material. The main goal is

to analyze the difference between simple and pure shear behaviors.

Keywords: Simple shear, pure shear, hyperelasticity, Digital Image Correlation

52

1. INTRODUCTION

Several experimental tests have been developed to investigate mechanical behavior

and properties of polymeric materials (Ward and Sweeney, 2004; Brown, 2002). Guélon et al.

(2009) proposed a new characterization method for rubber, which consists of performing only

one heterogeneous mechanical test. The first experiment for providing pure shear deformation

on a thin sheet of rubber was proposed by Treloar (1945). Moreover, experiments on the pure

shear of large elastic deformations of incompressible isotropic material was developed by

Rivlin and Saunders (1951). Nunes (2010 and 2011) have studied the mechanical behavior of

Polydimethylsiloxane under small and large simple shear deformations.

For some authors, there is no essential difference between simple and pure shear

deformations. The simple shear configuration is assumed to be superposition of pure shear

deformation associated with simple rigid body rotation. However, for large deformation this

concept is not well defined. Many studies have been produced over the last decade to explain

these two deformation states (Tikoff and Fossen, 1993; Destrade et al; Segal, 2002; Holzapfel,

2008; Ogden, 1997).

Hyperelastic behavior is commonly observed in some polymers, mainly the long chain

polymers, like as elastomers (or rubbers) that are characterized by flexibility and stability.

Polydimethylsiloxane (PDMS) is a silicone rubber, which has a wide range of applications in

mechanical sensors (Kim et al., 2008; Lin et al., 2009), electronic components (Tiercelin et

al., 2006; Lee et al., 2009) and medical devices (Lawrence et al., 2009).

The main goal of the present work is to compare the mechanical behavior of

Polydimethylsiloxane under large simple and pure shear deformations. In order to do that, two

experimental approaches are performed: single lap joints under tensile for simple shear and

thin sheet under tensile for pure shear. The displacement fields are estimated by means of DIC

method. Using this information, principal stretches are evaluated to investigate both cases.

2. DIGITAL IMAGE CORRELATION

The Digital Image Correlation (DIC) method is a powerful optical-numerical method

developed to estimate full-field surface displacement, being well documented in the literature

(Dally and Riley; 2005; Sutton et al., 2009). This method has been considerably improved

over the last years. The well-known principle of the DIC method is to match maximum

53

correlation between small zones (or subsets) of the specimen in the undeformed and deformed

states. The specimen surface is coated by a random pattern in order to provide a grayscale

distribution with sufficient contrast. To determine the displacement of each point, a square

reference subset, f, of (2M+1) x (2M+1) pixels from undeformed image is chosen and it is

used to find the corresponding on the target subset of (2N+1) x (2N+1) pixels from deformed

image, g. M and N are positive integers, being M < N. For this purpose, the minimization of

the correlation coefficient is taken into account. From a given image-matching procedure, the

in-plane displacement fields designated by u(x,y) and v(x,y) associated with x- and y-

coordinates can be computed. Figure 2 illustrates the scheme of the DIC method.

Figure 1. Scheme of the Digital Image Correlation method.

3. DEFORMATION STATE

In this section, two states of deformation are presented, i.e., simple and pure shear.

The idea is to describe the behavior associated with those two different states. In order to do

that, a material element defined by dX in the reference configuration can be transformed into

a material element dx in the current configuration, using the deformation gradient tensor F

and taking into account the relation given by dX = Fdx.

Two stretches, defined by λ1 and λ2, are taken at the plane of interest and the third

stretch λ3 is determined by the condition 1321 =λλλ . This relationship is assumed when the

volume does not change during the deformation, which is a characteristic of incompressible

materials.

54

3.1 Simple shear

Firstly, Let us consider the case of simple shear deformation, as illustrated in Fig. 2.

This case is characterized by an angular distortion of a rectangular block, in which the

horizontal line elements remain fixed in length and direction. In this way, the rectangular

Cartesian coordinate of any point of deformed element in the current configuration can be

written as a function of reference configuration,

x1 = X1 + γX2 ; x2 = X2 ; x3 = X3 (1)

where γ is the amount of shear. Using Eq. (1), the deformation gradient tensor for simple

shear, F, can be expressed as

F =1 γ 0

0 1 0

0 0 1

(2)

From Eq. (2), the right Cauchy-Green deformation tensor for simple shear, C, can be

written as

C = FT F =1 γ 0

γ γ 2 +1 0

0 0 1

(3)

Considering 13 =λ , the characteristic equation ( ) 0det 2 =− IC λ reduces to λ − λ−1 = γ ,

since we may take λ2−1 ≡ λ1 = λ ≥ 1 without loss of generality. Consequently, the principal

stretches can be given by

λ1 = 1+ γ2

2

+ γ 1+ γ4

2

and λ2 = 1+ γ2

2

− γ 1+ γ4

2

(4)

Figure 2. Simple shear deformation

55

3.2 Pure shear (planar)

One way to obtain the pure shear deformation state is to consider a thin sheet under

uniaxial extension. A state of pure shear exists in the rectangular sheet at an angle of 45o to

the stretching direction, assuming that the volume remains constant. The pure shear

deformation occurs only in the central part of the sheet. Figure 3 illustrates a small region at

central part of rectangular sheet of material along a parallel pair of clamped edges. A pure

shear deformation may be achieved using the configuration of plane deformation, in which

x1 = λ1X1; x2 = X2 ; x3 = 1

λ1

X3 (5)

The associated principal stretches are defined as a function of initial and final length

(L0 and L) in the stretched direction. These expressions are given as

λ1 = L

L0

, λ2 = 1 and λ3 = λ1−1 (6)

Figure 3. Pure shear deformation

4. EXPERIMENTAL SETUP

Two different experimental tests were performed to investigate the mechanical

behavior of Polydimethylsiloxane under shear deformation. In this way, full-field

displacements were measured by means of the digital image correlation method, which basic

principle was previously presented in section 2.

A single lap joint was made with adherends of steel A36 and adhesive of

Polydimethylsiloxane, being a suitable configuration to provide a simple shear deformation. It

is important to remark that the adherends stiffness is much greater than the adhesive, in order

to guarantee that the adherends do not deform and the adhesive only deform in shear. Figure 4

56

shows the experimental arrangement of single lap joint. The associated dimensions are as

follows: the length of restraint against transversal motion of 25 mm; segment of length, D =

50 mm; joint length, L, equal to 51 mm; joint width, w = 25.4 mm; adherend and adhesive

thicknesses, t = 1.6 mm and ta = 1.6 mm, respectively.

Figure 4. Experimental arrangement for simple shear deformation

To provide pure shear deformation, a planar shear test was carried out. This test is

based on a rectangular sheet of Polydimethylsiloxane under tensile in its plane normal to the

clamped edges. Figure 5 illustrates the rectangular specimen under tensile and the DIC

system. In the experiment, a sheet of Polydimethylsiloxane with dimensions of 170x70x5

mm3 was employed. It is important to emphasize that the width of specimen was at least 10

times wider than the length in the stretching direction. As a result, the specimen must remain

perfectly constrained in the lateral direction and all specimen thinning occurs in the thickness

direction.

57

Figure 5. Experimental arrangement for pure shear deformation

5. RESULTS AND DISCUSSION

Figure 6 illustrates full-field displacements associated with horizontal and vertical

direction, i.e., u(x,y) and v(x,y), respectively, for simple shear deformation. These results

were obtained under a shear stress equal to 0.21MPa. It is important to remark that full-field

displacements were taken on surface area at central region of adhesive. The results were

obtained by means of DIC method, considering the experimental arrangement for simple

shear deformation. Note that u-displacement varies linearly along the vertical direction, while

the v-displacement remains practically in the same value. The upper adherend was fixed and,

as a consequence, the superior displacement of u(x,y) tends to zero.

Figure 6. Full-field displacement for simple shear deformation: ττττ = 0.21 MPa

58

The full-field displacements of a small rectangle on the surface at central region of the

PDMS sheet were also estimated through the DIC method. In this case, results were obtained

using the experimental arrangement for pure shear deformation (see Figure 5). The u- and v-

displacements of the selected region for an applied stress of 0.27 MPa are illustrated in Fig. 7.

In pure shear results, u-displacement field does not present significant variation and v-

displacement field varies linearly with the vertical direction.

Figure 7. Full-field displacement for pure shear deformation: σσσσ = 0.27 MPa

In order to determine the principal stretches, full-field displacements for simple and

pure shear deformations were used. Moreover, Eqs. (4) and (6) were also considered. Firstly,

to estimate the principal stretches for simple shear case, the angular distortion was calculated

taking u- and v-displacement fields. In this way, the amount of shear was determined and, by

means of Eq. (4), the principal stretches were achieved. For evaluating the principal stretches

for pure shear case, the initial and final size of the small area at central region of PDMS sheet

were taken into account. The size variations were determined by DIC program. Using these

results and Eq. (6), the principal stretches were achieved.

It is important to emphasize that the results present in Figs (6) and (7) are for only one

applied load. Figure 8 shows the comparison of principal stretches for simple and pure cases,

considering several loads. The idea is to analyze the variance in both stretches for the two

cases. Clearly, it can be noted that the orthogonal stretch λ2 does not vary significantly with

an extension of the principal stretch λ1 in plane normal to the edges for pure shear

deformation. However, in simple shear case, the stretch λ2 decreases monotonically with

increasing principal stretch λ1 under shear load condition.

59

Figure 8. Principal stretches comparison: simple shear and pure shear

6. CONCLUSION

The aim here was to compare simple and pure shear configurations under large

deformation. In this way, the mechanical behavior of Polydimethylsiloxane under shear

deformation was investigated by means of two different experimental approaches: a single lap

joint under tensile and a thin sheet under normal tensile, providing simple and pure shear

deformation, respectively. Full-field displacements were estimated through the Digital Image

Correlation method and the principal stretches were estimated in both cases. The results of

simple shear case show that the stretch λ2 decreases with increasing principal stretch λ1,

while, for pure shear, the stretch λ2 remains constant with increasing principal stretch λ1.

Therefore, it is clear that there are some differences between the two shear cases, which are

clearly seen in this work. Finally, it should be mentioned that these are preliminary results and

further investigations will follow this work.

7. ACKNOWLEDGEMENTS

The authors would like to express their gratitude to the Ministry of Science and

Technology. The present paper received financial support from Brazilian agencies CNPq and

FAPERJ.

60

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9. RESPONSIBILITY NOTICE

The authors are the only responsible for the printed material included in this paper.