ESTUDO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR USANDO O ABAQUS 6.12

STUDENT EDITION – CHAMINÉ COM VARIAÇÃO DE TEMPERATURA

INTERNA E EXTERNA

1. INTRODUÇÃO

1.1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA:

O Método dos Elementos Finitos aplicado à solução de problemas

de campo

Durante o processo de solução de muitos problemas em Engenharia

recai-se na solução de problemas de campos potenciais. Tais campos são

governados pelas equações de Laplace e Poisson, podendo citar entre eles os

problemas de condução de calor, distribuição do potencial elétrico ou

magnético, fluxo em meios porosos, fluxo irrotacional de fluidos ideais, torção

de barras prismáticas além de outros. Este tipo de problemas obedece a

seguinte equação:

onde o escalar Φ é conhecido como potencial escalar. Tal campo é

conhecido como campo conservativo e, portanto, teremos:

Que demonstra que tal potencial escalar satisfaz a equação de Laplace.

O estudo de campos de fluidos incompressíveis irrotacionais e campos

gravitacionais são dois fenômenos para os quais o desenvolvimento acima,

envolvendo a solução da equação de Laplace se aplica e trataremos de

estudar um deles em detalhes: o problema de condução de calor em regime

estacionário.

Com relação às condições de contorno que podem aparecer em

problemas potenciais, podemos subdividi-las em Condições de Contorno de

Dirichlet, Neumann e Cauchy, ou ainda, de primeira, segunda e terceira

espécie, respectivamente. Para problemas submetidos a condições de

contorno de Dirichlet, o valor do potencial é especificado na fronteira δB, ou

seja:

Φ = g em δB

A especificação da voltagem no contorno no caso de um campo de condução

elétrica e da temperatura no caso de um campo de condução de calor são

exemplos desta condição de contorno. Na condição de contorno de Neumann a

derivada normal do potencial é especificada no contorno, ou seja:

Condição de contorno cinemática de um campo de fluidos, no qual a

componente normal da velocidade do fluido na fronteira deve ser igual à

velocidade da fronteira é um exemplo da condição de contorno de Neumann. A

condição de contorno de Cauchy ocorre quando o potencial e sua derivada

normal obedecem a uma relação na forma:

Tipicamente, esta condição ocorre quando existe uma camada resistente no

contorno, como, por exemplo, quando existe uma camada metálica na fronteira

no problema de condução de calor.

Problema da transferência de calor

Estamos interessados em determinar a distribuição de temperatura em

um determinado sólido B. Em geral, as equações que governam a distribuição

de temperaturas, tensões e deformações são acopladas, quer dizer, estas

variáveis estão inter-relacionadas e devem ser determinadas simultaneamente.

No entanto, em numerosos problemas práticos, a influência da tensão e

deformação na distribuição de temperaturas é bastante pequena e geralmente

pode ser deixada de lado. Desta maneira, quando da análise de um problema

de tensões-deformações com efeitos térmicos, podemos como primeiro passo

determinar, independente de outras variáveis a temperatura considerando o

sólido como rígido. O segundo passo consistirá em determinar a distribuição de

tensões e deformações no sólido quando submetido aos efeitos mecânico e

térmico, sendo este último já conhecido.

Mecanismos de transferência de calor

Antes de abordarmos o problema de transferência de calor, devemos nos

recordar que a energia calorífica se transfere de uma partícula para outra de

uma certa matéria quando estas se encontram a diferentes temperaturas. Estas

duas partículas podem ou não fazer parte de um mesmo sólido ou de um

mesmo fluido, dependendo do sistema considerado. Teoricamente neste

sistema deveríamos incluir não apenas o corpo em estudo, mas também todo o

meio que o rodeia. Do ponto de vista prático, sempre será possível detectar

uma região fechada de forma que a influência de todo o meio exterior possa

ser deixada de lado. O mecanismo através do qual a transferência de calor se

realiza entre as partículas depende da natureza (material) do sistema assim

definido e mais especificamente da característica do material e do meio Método

dos Elementos Finitos Aplicado à Engenharia de Estruturas Página 4

ambiente em que estas partículas se encontram. Podemos assim distinguir 3

modos de transferência de calor: condução, radiação e convecção.

Condução: entre duas partículas de um corpo sólido que estão a diferentes

temperaturas, o calor se transfere através de condução, processo que tem

lugar a nível atômico e molecular. A lei linear de condução de calor será dada

por:

q = -K.Δ.θ

onde:

K é o tensor de condutividade térmica;

Φ é o operador gradiente;

Θ é a temperatura;

q é o vetor fluxo de calor.

Em particular, a densidade de fluxo por unidade de superfície de normal n será

dada por:

q = q.n = -K.Δ.θ.n

Sendo que q(P) nos indica a quantidade de calor que passa no ponto P por

unidade de superfície orientada segundo a normal n. Observa-se que se

q(P)<0 indica que está sendo retirada energia calorífica da parte do corpo

limitado pela superfície normal. Esta lei foi estabelecida por Fourier baseada

em observações elementares e atualmente podemos obtê-la por aplicação dos

Princípios da Termodinâmica;

Radiação: se as partículas que trocam calor estiverem separadas por vazio, a

transferência de calor não poderá se realizar através de condução, mas sim por

radiação. Se as partículas estão separadas por um meio material também

ocorrerá radiação, porém se este meio é um sólido ou um fluido esta radiação é

desprezível. Já não ocorre o mesmo se o meio é um gás quando a

transferência de calor por radiação pode ser importante. Algumas exceções

ocorrem em sólidos como o quartzo e o vidro.

Convecção: Como vimos, em um fluido a transferência de calor se produz

através dos mecanismos de condução e radiação, sendo em geral, o primeiro

mecanismo predominante. Porém, se o fluido está em movimento ocorre um

incremento na transferência de calor em virtude de porções deste fluido

estarem a diferentes temperaturas mesmo que suficientemente próximas.

Quando o movimento do fluido se deve exclusivamente à diferença de Método

dos Elementos Finitos Aplicado à Engenharia de Estruturas Página 5

densidade pela diferença de temperatura, o processo é chamado convecção

natural. Se o movimento do fluido se efetua por outro mecanismo, se chama

convecção forçada.

Condução de calor em regime estacionário

Seja um corpo ocupando a região limitada e regular B do espaço

euclidiano tridimensional pontual ξ, com densidade de energia calorífica r por

unidade de volume prescrita ao corpo por radiação, com temperatura prescrita

θ na fronteira ∂Bθ com densidade de fluxo de calor q prescrita ao corpo por

unidade de superfície ∂B-∂Bθ

Pretende-se encontrar o campo de temperaturas q para o qual:

Onde é válida a seguinte equação constitutiva:

Determinação do campo de temperaturas

Pretende-se com este exemplo estudar a variação de temperatura em

uma chaminé industrial constituída de um material que possui condutividade

térmica de k=1.4W/m.K, como mostra a figura abaixo. A temperatura interna é

Tg=100ºC enquanto a temperatura externa é Ta=30ºC com um coeficiente

h=20W/m².K.

Figura 1. Esquema da chaminé a ser analisada

1.2. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS

Como na figura:

a = 0.6 m

b = 0.2 m

1.3. PROPRIEDADES DO MATERIAL

Condutividade térmica = k = 1.4 W/m.K

Coeficiente de transferência térmica = ho = 20 W/m².K

Temperatura interna = Tg = 100ºC = 373.15 K

Temperatura externa = Ta = 30ºC = 303.15 K

2. RESOLUÇÃO

O procedimento de resolução pode ser demonstrado no seguinte

fluxograma (a ordem pode eventualmente ser quebrada em pontos específicos

por conveniência):

PRÉ-PROCESSAMENTO

Início da Análise

Criação da geometria base (Parts) Definir Tipo de Elementos

Atribuição das propriedades das seções das barras (Sections)

Atribuição das propriedades dos materiais (Materials)

Associação das Seções, geometria base, materiais... (Section Assignments) (Assembly)

Aplicarção das condições de contorno

Apoios (BCs)

Cargas (Loads)

Criação da geometria da malha (Mesh)

Elementos cálculaveis pelo método dos elementos finitos. Aproximação da estrutura real.

Definição das Variáveis de Saída (Field Output Requests)

PROCESSAMENTO Solução, Cálculos

Computacionais (Jobs)

PÓS-PROCESSAMENTO Análise dos resultados

Variavéis de saída

Análise gráfica

2.1. INÍCIO DA ANÁLISE

Se você ainda não iniciou o programa Abaqus/CAE, digite cmd no

Menu Iniciar para abrir o Prompt de Comando e nele digite

abq6122se cae para executar o Abaqus.

Em Create Model Database na caixa Start Session que aparece,

selecione With Standard/Explicit Model.

2.2. PRÉ-PROCESSAMENTO

No menu Model à esquerda, clique com o botão direito em Model-1 e

selecione Rename. Digite Chaminé.

No menu Model à esquerda, dê duplo clique em Parts, no campo Name

digite Chaminé, e selecione as opções: 3D, Deformable, Shell,

Planar. Em approximate size digite 2. Clique em Continue...

Clique em Create Lines: Rectangle (4 lines) na caixa de ferramentas e

insira as seguintes coordenadas 0,0 – 0.6,0.6 – 0.2,0.2 – 0.4,0.4. Em

seguida, desative a função Create Lines: Rectangle (4 lines) e clique

em Done.

Na caixa de ferramentas, clique em Partition Face: Sketch. Selecione

a aresta externa direita. Na caixa de ferramentas selecione Create

Lines: Connected e através dela particione a chaminé como na

imagem. Clique em Done.

No menu Model à esquerda, dê duplo clique em Materials. Na janela

Edit Material. Selecione Thermal>Conductivity e digite 1.4 em

Conductivity. Clique em OK.

No menu Model à esquerda, dê duplo clique em Sections. No campo

Name: digite SeçãoChaminé, em Category selecione Shell, e em

Type selecione Homogeneous. Clique em Continue...

Na janela Edit Section, digite 0.02 em Shell thickness: Value:, e

clique em OK.

No menu Model à esquerda, abra Parts>Chaminé e dê duplo clique em

Section Assignments. Selecione a chaminé por inteiro e clique em

Done. Clique em OK.

No menu Model à esquerda, abra Assembly, dê duplo clique em

Instances e clique em OK na janela Create Instance.

No menu model à esquerda, dê duplo clique em Steps. Digite

Transferência de Calor no campo Name: e selecione Procedure type:

General>Heat transfer. Clique em Continue... Na janela Edit Step,

marque Steady-state em Response: e clique em Dismiss no aviso:

“Deafult load variation with time has changed to Ramp linearly over

step.”. Clique em OK.

No menu model à esquerda, dê duplo clique em Loads. Na janela

Create Load selecione o Step Transferência de Calor, em Types for

Selected Step selecione Surface heat flux e clique em Continue...

Selecione toda a chaminé, clique em Done e então em Brown. Na

janela Edit Load, digite 20 no campo Magnitude: e clique em OK.

No menu model à esquerda, dê duplo clique em BCs. Na janela Create

Boundary Condition, altere o campo Name para Temperatura Externa,

Step para Transferência de Calor e Types for Selected Step para

Temperature. Clique em Continue....

Selecione as arestas externas e clique em Done. Digite 303.15 no

Campo Magnitude na janela Edit Boundary Condition e clique em

OK.

Repita para criar a condição de contorno da Temperatura Interna que

possui magnitude de 373.15.

Na barra de contexto, em Module, selecione Mesh, e em Object,

selecione Part. Na barra do menu principal, clique em Mesh>Element

Type e selecione com o mouse toda a chaminé. Clique em Done,

Abrirá a janela Element Type. Em Family, selecione Heat Transfer e

em Geometric Order, selecione Linear. Clique em OK.

Na barra do menu principal, clique em Seed>Part e altere approximate

global size para 0.04. Clique em OK.

Na barra do menu principal, clique em Mesh>Part. Aparecerá a

pergunta “OK to mesh the part?”, clique Yes. Perceba que a Chaminé

fica na cor azul.

2.3. PROCESSAMENTO

No menu model à esquerda, dê duplo clique em Jobs e clique em OK.

Abra Jobs (1), clique com o botão direito em Job-1 e clique em

Submit. Nas janelas que se abrem, clique em OK e em Yes. Aguarde.

2.4. PÓS-PROCESSAMENTO

No menu model à esquerda, em Jobs, clique com o botão direito em

Job-1 e clique em Results. Na caixa de ferramentas, clique em Plot

Contours on Undeformed Shape.

Na barra de ferramentas no canto superior à direita, selecione

HFL>Magnitude. Na barra de menus principal, clique em

Viewport>Viewport Annotation Options... Na janela aberta, selecione

a aba Legend. Clique em Set Font. Na nova janela, altere Size para

14. Clique OK nas duas janelas abertas.

Na caixa de ferramentas, clique em Plot Symbols on Undeformed

Shape.

Na barra do menu principal, clique em File>Save As.... Dê um nome ao

arquivo e clique em OK (É possível também salvar o arquivo com os

resultados já calculados - job-1.odb).

Determinação do campo de tensões gerado pela variação de temperatura

interna e externa

Muitas vezes estamos interessados em obter o campo de tensões do corpo

gerado pelo campo de temperaturas devido a diferença de temperatura interna

e externa. Temos um problema "termo-elástico" para solucionar. O programa

ABAQUS nos permite solucionar o problema. A solução desse problema

envolve a execução dos mesmos passos do problema apenas térmico,

seguindo os passos a seguir:

Altere Material-1, adicionando as características:

Mechanical>Expansion [Expansion Coeff alpha = 1E-5] e

Mechanical>Elasticity>Elastic [Young’s Modulus = 2.1E9 / Poisson’s

Ratio = 0.15]

Recrie Step – Type: Coupled temp-displacement

Recoloque as Temperaturas externa e interna (BCs) – Type:

Temperature

Recoloque a condição de fluxo de calor (Loads) - Type: Surface heat

flux

Apague a malha anterior e recrie uma nova malha de elementos (Mesh)

– Mesh>Element Type: Family: Coupled Temperature-Displacement,

Geometric Order: Linear.

Reprocessamento.