Fatoração de Cholesky

Fatoração de Cholesky

A resolução de sistemas lineares em que a matriz A é simétrica, definida positiva, é frequente

em problemas práticos e tais matrizes podem ser fatoradas na forma :

De forma que: A = G x Gt

G:n x n é uma matriz triangular inferior com elementos da diagonal estritamente positivos. Esse

tipo de fatoração é conhecida por fatoração de cholesky.

É dada A: n x n, matriz simétrica e definida positiva:

Fator G: n x n triangular inferior com diagonal positivaserá obtido a partir da equação matricial.

A = G x Gt

Aplicando a definição de produtos de matrizes obtemos:

Coluna 1:

Dessa forma: g11=√a11e gj1=aj1/g11, j=2,.....,n;

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Coluna 2:

Então: g212 + g222 = a22 ⇒ g22 = √a 22−g 212

E gj1g21+gj2g22=aj2. j=3,....,n.

Os elementos gj1 já estão calculados; assim, Gj2= (aj2-gj1g21)/g22 j= 3,....,n

Coluna k:

Para obter os elementos da coluna k de G: (0... gkk gk+1k... gnk) , k=3,...,n, usa-se a equação

matricial:

Analisando a matriz anterior tem-se:

akk = gk12 + gk22 + ... + gkk 2

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E ajk=gj1gk1+gj2gk2+...+gjkgkk, j=(k+1),...,n Com todos os elementos gik, i=,...,(k-1) já estãocalculadas, tem-se:

Exemplo:

A = 1 1 01 2 −10 −1 3

a.) Verificar se A pode ser decomposta em G.G tb.) Decompor A em G.G tc.) Calcular o determinante de A.

d.) Resolver o sistema Ax = b onde b= 215

Resolução: a.) A é simétrica. Devemos verificar se é positiva definida. Temos:det (A1) = 1 > 0det (A2) = 1 > 0det (A3) = det (A) = 2 > 0Logo A pode ser decomposta em G.G t

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b)

c.)

det (A) = (g11 g22 g33)2 = 2

d.) Devemos resolver dois sistemas:d1.) Gy = b

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Portanto:

d.2.) G t. x = y

Portanto:

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