FÍSICA 3 ANO DO ENSINO MÉDIO FRENTE III Turmas Platão e

fisicaprofessordanilocom

1

FIacuteSICA

FRENTE III

Professor Danilo

3 ANO DO ENSINO MEacuteDIO

Turmas Platatildeo e Soacutecrates

Atualizado em 01Jan2022

httpfisicaprofessordanilocom


2

optica

IacuteNDICE OacutePTICA 8

1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3 8

a) AVALIACcedilAtildeO 8

b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO 8

2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA 8

3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA GEOMEacuteTRICA 9

a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS 11

b) TIPOS DE MEIOS 11

c) FENOcircMENOS OacutePTICOS 11

d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO 13

4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA GEOMEacuteTRICA 16

APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA PROPAGACcedilAtildeO

RETILIacuteNEA DA LUZ 17

a) SOMBRA 17

b) PENUacuteMBRA 17

c) CAcircMARA ESCURA 17

d) A LUA 18

e) AcircNGULO VISUAL 19

5 LEIS DA REFLEXAtildeO 21

PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO 21

SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO 21

6 IMAGENS EM ESPELHOS PLANOS 22

IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS 22

IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS 23

7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM ESPELHO PARA SE

VER POR COMPLETO 23

8 CAMPO VISUAL 24

9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO PLANOOBJETO

25

10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO PLANO 29

11 IMAGEM FORMADA POR DOIS ESPELHOS 30

12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS 32


3

a) RAIOS NOTAacuteVEIS 33

RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO 33

RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO 34

b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO 35

c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 39

d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS 41

i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS 41

ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES 42

iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS 42

iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL 42

13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-DESCARTES 45

a) VELOCIDADE DA LUZ 45

b) PRINCIacutePIO DE FERMAT 47

c) LEI DE SNELL-DESCARTES 47

14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO TOTAL 48

Dioptro plano 48

Reflexatildeo Total 50

15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS 51

16 FIBRA OacutePTICA 52

17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE DOS

ASTROS 53

(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros 53

(B) Miragem 53

18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA 55

19 PRISMAS 57

(A) Prisma ndash introduccedilatildeo 57

(B) Dispersatildeo 58

(C) Desvio miacutenimo 59

20 LENTES ESFEacuteRICAS 60

(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO 60

(B) NOMENCLATURA 61

(D) RAIOS NOTAacuteVEIS 66

(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS 70

(F) FOCO SECUNDAacuteRIO 77


4

(G) REFERENCIAL DE GAUSS 78

21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE LENTES 81

22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES 82

23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM ESPELHOS 83

24 OacutePTICA DA VISAtildeO 84

25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA VISAtildeO) 86

26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS 89

------------------------------------------------ -- SEGUNDA PARTE

ONDULATOacuteRIA -- ------------------------------------------------ 94

1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO 94

(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94

(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94

(C) SISTEMA MASSA MOLA 94

2 SISTEMA MASSA-MOLA 95

3 ENERGIA NO MHS 97

4 OUTROS SISTEMAS EM MHS 99

5 PEcircNDULO SIMPLES 99

6 EQUACcedilAtildeO DO MHS 101

(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t) 102

(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t) 103

(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t) 106

(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS 109

(E) ENERGIA NO MHS 110

(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS 113

7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS 117

(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza

em 117

(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de

propagaccedilatildeo 120

8 ELEMENTOS DAS ONDAS 122

9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA 123

10 ONDAS MECAcircNICAS 126

(A) O SOM 126

(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS 126


5

(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS 127

11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS 128

REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS 128

REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E

TRIDIMENSIONAIS 130

12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS 133

(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO 133

PRINCIacutePIO DE HUYGENS 133

(B) POLARIZACcedilAtildeO 135

(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA 137

(D) RESSONAcircNCIA 138

(E) BATIMENTO 141

13 ACUacuteSTICA 141

(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA 141

(B) NIacuteVEL SONORO 144

(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA 145

(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA 146

(E) CONE DE MACH 147

14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS 148

15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS 150

(A) INTRODUCcedilAtildeO 150

(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES 153

(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ 154

16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS 154

TUBOS SONOROS 155

-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE

FIacuteSICA MODERNA -- --------------------------------------------------

157

1 TERORIA DA RELATIVIDADE 157


(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY 163

(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 164

(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA 171

(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO 175


6

(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL 176

2 FIacuteSICA QUAcircNTICA 178

(A) TEORIA DOS QUANTAS 178

(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO 180

(C) NATUREZA DUAL DA LUZ 186

(D) O AacuteTOMO DE BORH 187

(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA 188

(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA 189

(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG 189

3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES 191

(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932) 191

(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924) 192

(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947) 192

(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956) 192

(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962) 194

(F) O MODELO DOS QUARKS (1964) 196


7

NOTA DO AUTOR AOS LEITORES

Este material foi desenvolvido como notas de aula para o ensino

meacutedio do coleacutegio EliteCol Campinas SP

O Conteuacutedo deste material eacute livre para ser utilizado por qualquer

pessoa para fins educacionais A coacutepia e divulgaccedilatildeo eacute livre

O presente arquivo eacute a terceira ediccedilatildeo (primeira em 2018

segunda em 2019 e terceira em 2021) que estaacute sendo revisada

revista e reformulada ao longo de 2021 e vocecirc pode contribuir

com isso enviando e-mail para o professor Danilo para

daniloprofessordanilocom

Se vocecirc viu alguma figura com direitos autorais sem as devidas

referecircncias por gentileza envie e-mail para o endereccedilo acima

que providenciarei o quanto antes a adequaccedilatildeo do material

Campinas 21 janeiro de 2020

Vocecirc tambeacutem pode avaliar as aulas com seu professor no link

httpsformsgleoaRnHxBHQUi3gHA57

NOTA DO AUTOR AOS SEUS ALUNOS

O material de 2021 natildeo seraacute idecircntico ao material de 2019 portanto

apesar deste material estar completo com resumos e figuras

recomendo fortemente que copie o conteuacutedo da sala de aula e

use este arquivo mais como um apoio e para poder visualizar

alguns links utilizados em aula pelo professor

Ao longo do ano conforme as aulas forem sendo dadas o

professor iraacute modificar este material adicionando links figuras e

textos que antes natildeo tinham bem como melhorando ou corrigindo

o conteuacutedo deste arquivo

Vocecirc poderaacute visualizar as melhorias semanais deste material

acessando o link


Erratas e contato com o professor daniloprofessordanilocom



8

OacutePTICA 1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3

a) AVALIACcedilAtildeO bull Apenas provas

b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO bull Frente 3

o Oacuteptica geomeacutetrica Luz Sombras Espelhos Lentes Instrumentos oacutepticos O olho humano

o Ondulatoacuteria o Fiacutesica moderna

bull A Fiacutesica trata do mundo real o O descrevemos usando a Matemaacutetica

2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA FIacuteSICA

o Do grego physis natureza o A Fiacutesica trata do mundo real

O descrevemos usando a Matemaacutetica o Modo de estudo

Princiacutepios

bull Assume-se como verdade sem poder ser demonstrado

Teoremas

bull Podem ser demonstrados Leis

bull Podem ser Princiacutepios ou Teoremas Oacuteptica

o Do grego optikeacute visatildeo o O termo oacutetica (sem ldquoprdquo) estaacute relacionado ao ouvido

(exemplo otite) mas a grafia oacutetica muitas vezes eacute empregada como sinocircnimo de oacuteptica

o Divisotildees Oacuteptica geomeacutetrica

bull O que estudaremos neste semestre

bull Trata a luz como raio

bull Ferramenta principal Geometria Oacuteptica ondulatoacuteria

bull Estudaremos no proacuteximo semestre

bull Trata a luz como uma onda

bull Explica a difraccedilatildeo da luz (se vocecirc apontar um laser verde para um fio de cabelo iraacute obter as figuras a seguir)

Fonte httpwwwscielobrimgrevistasrbefv37n40102-4744-rbef-37-4-

4311-gf04jpg


9

Oacuteptica fiacutesica

bull Veremos no fim do ano

bull Trata a luz como partiacutecula

bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)

3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA

GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais

o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho

percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido

Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura

bull POR

o Ponto objeto real

bull POV o Ponto objeto virtual

bull PIR o Ponto imagem real

bull PIV o Ponto imagem virtual

bull POI o Ponto objeto improacuteprio

bull PII o Ponto imagem improacutepria


10

o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas

estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o

caderno os planetas etc) o A luz pode ser

Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais

cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)

o Velocidade da luz

No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela

letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz

em um ano Isto eacute

8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou

12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er

Mapa mental do que acabamos de ver


11

a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE

b) TIPOS DE MEIOS

Exemplos de meios o Transluacutecidos

Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes

Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos

Cimento lousa madeira etc

c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o

meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho

o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie

plana e polida manteacutem o paralelismo

Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta

VAAVAAV


12

o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma

superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo

bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa

bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz

bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE


13

d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo

o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar

presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor

Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas

Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones

Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos

cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)

Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)

Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)

bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores

(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco

Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo

programa)

Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg

bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das

tintas satildeo Cyan (Ciano)

bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde

Magenta (Magenta)

bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho

Yellow (Amarelo)

bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde


14

blacK (Preto ndash Key)

bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos

bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL

bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO

bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE

bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul

seratildeo absorvidos resultando em preto

bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas

Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros

Isso vale para as demais cores



15


16

4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA

GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados

bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz

o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz

o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos

Aconselho que vocecirc faccedila os

exerciacutecios do volume 2

capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e

195 com especial atenccedilatildeo para

os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16

17 18 19 e 20

Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga

em linha reta

Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para

um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o

mesmo caminho

Quando raios de luz se cruzam eles se interferem

mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada

um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem


17

APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA

PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ

a) SOMBRA bull Fonte pontual

Semelhanccedila de triacircngulos

l hk

L H= =

Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas

2ak

A=

b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa

c) CAcircMARA ESCURA

Novamente semelhanccedila de triacircngulo

i p

o p=


18

d) A LUA bull ECLIPSES

o LUNAR

o SOLAR

bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo

da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos

o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico


19

e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do

objeto e atingem o observador

No SisQ toda a lista de nome

ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da

oacutepticardquo podem ser resolvidos

O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser

resolvido por completo

Sugiro que comece com os exerciacutecios

resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de

reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem

fazer todos os de aprofundamento (44

a 47)

Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina

201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo

incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m


20


21

5 LEIS DA REFLEXAtildeO

PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO

SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO

O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA

REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA

O raio refletido a normal e o raio incidente

estatildeo situados no mesmo plano

O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia

No SisQ faccedila os exerciacutecios 8

18 19 20 21 26 28 29 e 30

da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo


22

6 IMAGENS EM ESPELHOS

PLANOS

IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS



Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da

paacutegina 208 a 211


23

IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS

7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM

ESPELHO PARA SE VER POR

COMPLETO

Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho

Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por

completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d

2

2

H d HMN

dMN= =

E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura

dos meus olhos eacute h

2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL

Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem


ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25

9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO

PLANOOBJETO

APROFUNDANDO O ASSUNTO

TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS

Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a

velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar

o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica

Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica

ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA

Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e

depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho

OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO

Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes


26

Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma

quantidade s Logo concluiacutemos que

objeto imagemV V= (1)

O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do

objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao

espelho

OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO

Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes

Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da

mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que

objeto imagemV Vperp perp

= minus (2)

Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a

velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV

perp e a

velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV

perp

Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)

ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO

Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o

espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem

do caminhatildeo


27

A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem

ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO

Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV

perp O que

acontece com a imagem do caminhatildeo

Observe a imagem acima e note que

isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =

Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto

2imagem espelhoV Vperp perp

= (3)

Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho

SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS

Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento

1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho

e objetoV

perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a

velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e

imagem objetoV Vperp perp

= minus

2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV

perp na direccedilatildeo perpendicular

ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp

=

3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute

imagem objetoV V= (4)

e

2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp

= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28

Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo

eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo

indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com

10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo

e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto

0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =

Agora para a outra direccedilatildeo

0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=

b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho

15 msimagem objetoV V= =

c) Para calcular imagemV

perp usamos a equaccedilatildeo (5)

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=

5(4 3 3) msimagemVperp

= minus

d) Vamos usar a tangente de

tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=

Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV

perp eacute 5(3 3 4)minus

e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras

2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus

Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom

10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO

PLANO


30

11 IMAGEM FORMADA POR DOIS

ESPELHOS

nota importante

Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos

Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste

No SisQ faccedila os exerciacutecios

10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57

ao 60 da lista ldquoOs Espelhos

Planosrdquo






31


32

12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo

bull Elementos do espelho esfeacuterico

bull Representaccedilatildeo usual

bull O ponto C eacute o centro do espelho

bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)

bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do

espelho

bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho

eacute gaussiano


33

a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO

Figura 1 raio incidindo

paralelamente ao eixo principal e saindo

passando pelo foco

Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal

Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz

concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute

apresentado na figura 2

Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo

mesmo caminho

Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio

incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio

refletido) e o eixo principal


34

RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO

Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do

foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco

Figura 6 raio incidindo na

direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente

ao eixo principal

Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos

concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes

Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo

caminho que chegou

Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio




35

b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO

ESPELHO COcircNCAVO

Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a

seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um

raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai

Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute

nenhum dos casos de raio notaacutevel

Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e

determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco

secundaacuterio Vamos ao meacutetodo

bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo

centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o

eixo secundaacuterio

bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal

passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se

encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11

bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido

conforme figura 12

Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho

e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio


36

Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois

este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical

Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser

refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio

Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do

espelho esfeacuterico cocircncavo

ESPELHO CONVEXO

O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo

Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note

que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel

assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai





nenhum dos casos de raios notaacuteveis


37










bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim

obtido conforme figura 16






refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho

esfeacuterico convexo


espelho esfeacuterico convexo


38

RESUMINDO

Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos

espelhos cocircncavos

bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai

passando pelo foco secundaacuterio

bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao


Agora para espelhos convexos


na direccedilatildeo do foco secundaacuterio

bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido

sai paralelo ao eixo secundaacuterio

Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar

como tinha que ser

Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano

ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)

CAIU NO VESTIBULAR

(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos

esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites

retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km

de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma

miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o

receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor

a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da

radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no

refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado

semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta

apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite

b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e

natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre

nas antenas normais Por quecirc

(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute

diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do

sateacutelite)


39

c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO

GEOMEacuteTRICA

Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C

no espelho esfeacuterico cocircncavo

[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]

Figura 18 objeto localizado

exatamente sobre o centro de curvatura

C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real

Orientaccedilatildeo invertida Tamanho

igual]

Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um

espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo

invertida Tamanho maior]

IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o

foco os raios que saiacuterem de um ponto do

objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos

paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro

dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo

imagem

Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria


40

Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho

esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita

Tamanho maior]

Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos

os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave

um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual

Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]

Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de

formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos

A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e

classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico

convexo

IMPORTANTE perceba que toda imagem real

eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita


41

d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS

i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS

Espelho cocircncavo

Espelho convexo


de 1 a 23 da lista ldquoOs

Espelhos Esfeacutericosrdquo

Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2

estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio

na paacutegina 235

Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com

iniacutecio na paacutegina 243


42

ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES

p abscissa do objeto

p abscissa da imagem

y = o ordenada do objeto

y = i ordenada da imagem

f abscissa do foco

2f abscissa do centro do espelho

p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real

p lt 0 Objeto Virtual

p lt 0 Imagem Virtual

Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se

tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que

0i o Imagem Direita

0i o Imagem Invertida

Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho

f gt 0 Espelho Cocircncavo

f lt 0 Espelho Convexo

iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS

1 1 1

f p p= +

iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL

|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43




O 51 eacute um bom desafio

Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2


na paacutegina 250




44


45

13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-

DESCARTES

a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO

o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo

o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz

o Seu valor eacute de 83 10 msc =

o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor

o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a

velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja

cn

v=

Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)

Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html

bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos

bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)

Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo


46

bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo

bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas

bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando

B An n

bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em

relaccedilatildeo ao meio B como

AAB

B

nn

n=


47

b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o

menor tempo

bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir

bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os

iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de

refraccedilatildeo r

bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um

meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um

meio menos refringentes o raio se afasta da normal

c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio

de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber

ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48

14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO

TOTAL

Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas

diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana

bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo

An olha um objeto dentro de um outro meio com

iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de

incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo

Vejamos como

bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto

bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja

= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical


ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-

Descartesrdquo podem ser

resolvidos

Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do

capiacutetulo 11 livro 2

Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre

iacutendice de refraccedilatildeo relativo


49

Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que

sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r

desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos

Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute

= ˆ ˆsen senA Bi n rn

ˆ ˆtan tanA Bi nn r

Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes

=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p

Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano

A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p

Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical


50

Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la

Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio

menos refringente

bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo

bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o

raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r

Assim se =ˆ ˆi L temos


= ˆsen sen90A BL nn

=ˆsen B

A

nL

n

Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar

Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral


51

15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros

planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces

paralelas

bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz

atravessando uma lacircmina de faces paralelas

bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio

lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas

bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral

bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a

seguir

bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas

cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52

16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas

com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel

bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz

bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico

bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de

refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo

revn

bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter

Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas

bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total

(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)


53

17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE

DOS ASTROS

(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros

bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal

(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa

frente eacute quase que como um lago

bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada

bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente


54

bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo

bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total

bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana

bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos

MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)

Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg

Mais fotos Mais uma entatildeo

Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-

contentuploads2015022113-600x450jpg

FATA MORGANA


55

Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650

18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar

isto eacute as cores seratildeo separadas

bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo


56

bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio

bull Por fim isso explica os arco-iacuteris

bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui

bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que


57

19 PRISMAS

(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma

Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1

600prismas-3-728jpg

bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo

No SisQ toda a lista da

apostila 1 de nome ldquoDioptro

plano e reflexatildeo totalrdquo podem

ser resolvidos

Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do



58

Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg

bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma

(B) Dispersatildeo


59

(C) Desvio miacutenimo

bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma

1 1 2 2i r i r = minus + minus

1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +

bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um

valor miacutenimo que chamaremos de


apostila 2 de nome ldquoPrismas

e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem

ser resolvidos



Resolva do 77 ateacute o 86 para uma

revisatildeo


60

20 LENTES ESFEacuteRICAS

(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um

dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora

imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim

selecionamos apenas a interseccedilatildeo

bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de

dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio

de curvatura

bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que

a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada

com os raios de curvatura das partes que formam as lentes


61

(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior

primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63

LENTE PLANO COcircNCAVA

LENTE COcircNCAVA-CONVEXA


64

LENTE CONVEXA-COcircNCAVA

(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO

LENTES DE BORDOS FINOS

LENTES DE BORDOS GROSSOS


65

bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas

delgadas considerando que elas sejam feitas de material

cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo

do meio em que estejam inseridas

bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma

mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de

bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que

em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio

em que se encontra)

LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)

bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar

LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)


66

(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)

bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco

Exerciacutecios do livro texto

2 5 6 e 7 da paacutegina 303


67

bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo

bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando

pelo outro antiprincipal


68

bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio

bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente

(bordos grossos)

bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do

foco


69

bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo

bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo

do outro antiprincipal


70


(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link

httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf

Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo


71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19

20 21 22 23 e 24 da paacutegina

309


77

(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao

eixo principal como proceder

bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)

bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios

bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio


25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78

(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um

referencial

bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo

bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos

o p abscissa do objeto

o p abscissa da imagem

o y o= ordenada do objeto

o y i= ordenada da imagem

o f abscissa do foco

bull Para objetos reais o 0p

bull Para objetos virtuais o 0p

bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas

o 0o

bull Se a imagem for direita em geral temos

o 0i

bull Se a imagem for invertida em geral temos

o 0i

bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal

bull Para imagens reais o 0p


bull Lente convergente o 0f

bull Lente divergente o 0f

bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens


79

Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente

Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente

Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente

Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente


80

bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss

1 1 1

f p p= +

Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto

bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento

Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal

bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e

DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =

bull Como a imagem eacute invertida temos

i p

o p= minus

bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i

Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus

Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na

equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil

i p fA

o p f p= = minus =

minus

Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria

1V

f=


81

21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE

LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes

1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +

Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram

as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo

Faremos um exerciacutecio para melhor entender


36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e

55 da paacutegina 321


82

Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente

dependendo do meio em que se encontra

22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS

Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de

cada lente da associaccedilatildeo

1 2 eq nV V V V= + + +

Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer

Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas

LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS

Faremos um exerciacutecio sobre isso


57 59 60 61 62 63 64 e



83

23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM

ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees

quando estudarmos instrumentos oacuteticos

Aprofundamento pp 334


apostila 2 de nome ldquoLentes

Esfeacutericasrdquo podem ser

resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76

77 e 79 da paacutegina 331


84

24 OacutePTICA DA VISAtildeO

bull Caracteriacutestica da imagem

Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho

bull Note que a imagem eacute real invertida e menor

bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os

bastonetes

bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as

cores

bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais

sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos

diversas cores



85

bull Acomodaccedilatildeo visual

o Um olho humano dito normal tem uma

profundidade entorno de 17 mm

o Ou seja p = 17 mm

o Para que a imagem seja sempre formada na retina

eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada

1 1 1(em mm)

17f p= +

bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve

ser a distacircncia focal

Fonte

httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI

STALINOjpg

bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de

curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela

equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui

bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia

do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o

cristalino

bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos

observar um objeto muito perto

1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +

bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver

com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo

o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de

7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)

bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o

objeto estaacute no ponto remoto

o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto

remoto estaacute no infinito ( p rarr )


86

25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA

VISAtildeO) bull Miopia

o Dificuldade de se enxergar de longe

o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o

olho eacute alongado

o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais

proacuteximo que o ldquonormalrdquo

o A imagem de um objeto distante eacute formada antes

de chegar na retina

Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia


1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87

o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a

divergente pois ela aproxima a imagem

o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D

entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto

ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia

o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois

a imagem eacute virtual

o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia

o Dificuldade de se enxergar de perto

o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o

suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais

curto que o normal

o A imagem de um objeto distante eacute formada depois

da retina

Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg


convergente pois ela afasta a imagem de um objeto

proacuteximo

o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc

com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais


88

o Digamos que um hipermetrope possa ver no

miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm

o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d

para que um hipermetrope possa ver um objeto

localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um

ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo

do hipermetrope

o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e

dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia

o Conhecida como vista cansada

o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como

a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas

o Deve-se usar lentes convergentes (base) e

divergente (topo)

Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-

Progressivapng

bull Outras anomalias

o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89

26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula

Viacutedeo

httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk

Material para impressatildeo

httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-

contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf

Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)


contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf


apostila 2 de nome ldquoOptica

da visatildeordquo podem ser

resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome

ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem

ser resolvidos


93

ENCERRAMOS OacuteTICA

VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA

Exerciacutecios do livro texto 1 3

4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A

partir da paacutegina 353


94

------------------------------------------------

-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --

------------------------------------------------

1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO

(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS

bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc

(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS

bull Definiccedilatildeo de periacuteodo

tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees

tT =

= (1)

o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos

bull Definiccedilatildeo de frequecircncia

nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo

tf =

= (2)

o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo

bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia

1 1T f

f T= = (3)

(C) SISTEMA MASSA MOLA

bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola

bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito

bull Lembremos da segunda lei de Newton

resF m a= (4)

bull Vejamos a lei de Hook

elF k x= minus (5)

bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante


95

m a k x = minus (6)

bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta

o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que

satisfaz a equaccedilatildeo (6)

bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS

bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola

2 SISTEMA MASSA-MOLA

Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml

bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito


96

bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita

bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF

bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook

bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo

Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml

bull O graacutefico na forma escalar seria

Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-

molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola

bull Periacuteodo no MHS

2m

Tk

= (7)

Sendo m a massa do bloco oscilando


97

bull Frequecircncia no MHS

1

2

kf

m=

(8)

bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica

Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-

4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp

3 ENERGIA NO MHS

bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo

bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema

bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica

mec pot cinE E E= + (9)

bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)

bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica

bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica


98

Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php

2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)

bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante

2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)

Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola

bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima


99

bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A

bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial

2

2mec

kE

A= (13)

bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica

2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)

bull Igualando (13) com (14)

22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)

4 OUTROS SISTEMAS EM MHS

Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra

5 PEcircNDULO SIMPLES

bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples

A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute

senmg

A posiccedilatildeo x eacute dada por

x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14

ao 29 A partir da paacutegina 375


100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=

Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como

mgma x

L= minus

Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)

ma kx= minus

Vemos que k mg L= assim temos

2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)

bull Como exerciacutecio extra

Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples

Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante

Na superfiacutecie da Terra

32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =

Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS

3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)

Note que na superfiacutecie da Terra 2 2

GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =

O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute

2

Tt =

Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos

346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st

6 EQUACcedilAtildeO DO MHS

Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo

m a k x = minus (19)

Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t

que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em

funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo

isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima

Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo

Entretanto precisamos saber de duas coisas

1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica

2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e

velocidade angular )


102

Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas

bull Posiccedilatildeo

bull Velocidade

bull Aceleraccedilatildeo

Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto

(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)

Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu

Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim

cos )(x R= (20)

Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por

t

=

Que desenvolvendo chega-se a

0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)

Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma

0( )t t = +

Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo

Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)

0cos( )tx R + =


103

Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial

0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso

identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples

Chamaremos

bull de fase

bull 0 de fase inicial

bull de frequecircncia angular

bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza

que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la

Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo

0( ) cos )( tx t A + = (22)

(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)

Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)

Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu

Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior

Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois


104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)

Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio

para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)

Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)

0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +

Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa

Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir

Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante

Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes


105

Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico

Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio

Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo

correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS


106

Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir

Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos

Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade

(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +

Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto

0( ) sen( )v t A t= minus + (25)

(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)

Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo

Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)

Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute

2mcu

cpV

aR

=

Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos

( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)

Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade


107

Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu

A componente horizontal desta velocidade eacute

cpcos coscp

aa a

a = =

Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos

20cos( )tRa = +

Fazendo a troca de R por A obtemos

20cos( )a A t= +

Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos

Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante


108

Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo

correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS

Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos

Quadrante Sinal da funccedilatildeo

cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo

(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus

Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo

20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109

(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS

Vamos organizar as ideias

bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade

m a k x = minus

bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos

0( ) cos )( tx t A + =

0( ) sen( )v t A t= minus +

20cos( )a A t= minus +

bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito

Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo

m a k x = minus

m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +

2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)

Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que

2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)

E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos

1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110

Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo

podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular

bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees

resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)

Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)

Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS

0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS

Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial

2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =

Cujo graacutefico fica assim


111

Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS

Agora para a energia cineacutetica

2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =

Cujo graacutefico fica

Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS

Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico

Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em

funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS


112

Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos

Total pot cinE E E= +

2 2 22

0

22

To 0tal cos ( ) sen ( )22

mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +

Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria

2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =

Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo

depende do tempo t

Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo

Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS

Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo


113

(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS

Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t

depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos

0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =

Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria

0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =

Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute

2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =

Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo

do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse

Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a

equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica

2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =

Cujo graacutefico seraacute


114

Figura 13 Exemplo de uma elipse

Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que

2 2

2 2 21

x v

A A+ =

representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y

0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao

longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente

Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo

Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade

0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =

Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo

maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim

Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo

BOcircNUS

Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos

0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+

Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente


116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+

Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado

0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=

Somando as duas equaccedilotildees temos

2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +

Como a velocidade maacutexima eacute

maacutexV A=

Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli

2 2maacutexv V ax= +

Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS

No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento

Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos


117

7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS

Comecemos com um exemplo

bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples

bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro

Veja esta simulaccedilatildeo em

httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg

(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em

bull Ondas mecacircnicas

o Ondas governadas pelas leis de newton

o Precisa de mateacuteria para existirem

o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118

Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg

bull Ondas eletromagneacuteticas

o Ondas governadas pelo eletromagnetismo

o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo

299 792 458 msc =

o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo

o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar

o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas

Ondas de raacutedio (AM e FM)

Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)

Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc

Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg


119

bull Ondas de Mateacuteria

o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)

o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome

o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons

Quarks (up down strange charm bottom e top)

Aacutetomos e moleacuteculas

Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas

Fonte httplh3ggphtcom-

zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800


120

(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo

bull Ondas longitudinais

o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)

Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc

Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg

Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-

IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg


httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b

bull Ondas transversais

o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)

Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc


121

Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg

Veja novamente esta simulaccedilatildeo em

httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk

bull Ondas mistas

o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta

o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo

Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc

Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg


122

8 ELEMENTOS DAS ONDAS

bull Comprimento de onda

bull Crista

bull Vale

Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-

ondajpg

bull Periacuteodo (T )

o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original

o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original

o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro


bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute

tv

T

S

= =

bull Frequecircncia ( f )

o Inverso do periacuteodo

1 1f T

T f= =

o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda

EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA

v f=


123

9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA

Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um

graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=

Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=

Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre

Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus

Note que temos que subtrair da variaacutevel


124

Vamos aplicar esta ideia numa onda

Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir

Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda

Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo

( ) cosy x x=

Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo

2( ) cos( 2)y x x= minus

Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada

de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior

Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou

para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)

Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo

depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +

Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo

Notemos o seguinte

bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda

deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs

22

22T

t aa t

T

=

=


125

bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que

11

22

x aa x

T

=

=

Assim chegamos jaacute no seguinte

32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +

Lembremos que a frequecircncia angular eacute

2

T

=

Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda

32

( ) cosy x t x t a

= +

minus

Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k

2k

=

Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo

( )3( ) cosy x t k x t a= minus +

Por fim quem seria 3a

Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de

0

( )0( ) cosy x t k x t= minus +

Falta incluir a amplitude obtendo portanto

( )0( ) cosy x t A k x t minus +=


126

10 ONDAS MECAcircNICAS

(A) O SOM

bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano

bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas

bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre

Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0

(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS

bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear

m

L =

A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por

Fv =

Animaccedilatildeo em

httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh

bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute

v gh=


127


httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri

Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a

velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada

bull Em gases a velocidade da onda eacute

vp

d=

Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o

coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes

(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS

bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo

bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees

bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas

Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua


128

As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda

bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico

Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif

11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS

bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos

bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo

REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS

bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre


129

bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)

bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase

Veja animaccedilotildees

1) Extremidade fixa

httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw

2) Extremidade livre

httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley

bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade

bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer


130

REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS

bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual

Veja animaccedilatildeo em

httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon

bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)

bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana

Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8


131

Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas

httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm

ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES

bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco


132

bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco

bull Eco

o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte

o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda

o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida

o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo

2V

S

t

x

t= =

2x

tV =

bull Reverberaccedilatildeo

o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco


133

o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo

o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia

340 0117 m

2 2

V tx

= = =

bull Refraccedilotildees sucessivas

bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla

12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS

(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO

bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente

bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente

bull Falaremos disso em detalhes mais adiante

PRINCIacutePIO DE HUYGENS

bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda


134

bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio

Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais


135

Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes

(B) POLARIZACcedilAtildeO

bull Soacute podemos polarizar ondas transversais

bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica

bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)


136

bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente

polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute

0E a intensidade que atravessa eacute

0 cospassa EE =

bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico

20 cospassa II =

bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima

bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la

Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever

90 sen cosr i r i+ = =

Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B


137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=

Esta eacute conhecida como lei de Brewster

(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA

bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo

bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a

intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d

onda refletida podemos definir a

Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=

Note que se natildeo houver absorccedilatildeo

0 1T RI I I T R= + = +

O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente


138

O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente

Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg

(D) RESSONAcircNCIA

Veremos por meio de exemplos

Exemplo 1

Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo


139

Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)

O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA

Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio

Exemplo 3

Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito

O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia


140

Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para

A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima

O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias

menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)


141

(E) BATIMENTO

Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave

meacutedia das duas frequecircncias

1 2

2result

ff

f=

+

Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes

altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos

1 2| |batf f f= minus

Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente

13 ACUacuteSTICA

(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA

bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo

bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia

bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual

A intensidade dessa onda em um ponto eacute

PI

A=

Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim

24I

r

P=


142

Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude

2 2I f A=

Exemplo 1

Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a

potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra

2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=

Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula

Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie

= cosI I

Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul

Exemplo 2

Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade

localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma


143

cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa

=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3

Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B

2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144

(B) NIacuteVEL SONORO

Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo

Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro

0log

I

I

=

unidade de medida bel

Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo

e vale

120

2 m10 WI minus=

Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel

010 log

I

I

=

Em decibel

A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia

A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias


145

Sensibilidade auditiva

(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA

bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda

bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador

bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a

onda se aproximando seraacute

som obv v

O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido

bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv

em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade

som fntv v

Mesma regra de sinal anterior


146

bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que

somv

f =

bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador

ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=

Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar

Legenda

somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar

obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar

fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar

obf frequecircncia observada pelo observador

fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o

observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte


httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3

(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA

fntfc

vf

=

Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e

observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte

e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia

emitida pela fonte


147

Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina

Procure por ultrassonografia Doppler

(E) CONE DE MACH

bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)

bull Este cone eacute chamado de cone de Mach

bull A figura a seguir representa tal ideia

Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp

Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)

Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)

acircngulo de Mach

bull Por geometria temos


148

sen S

A

d

d =

bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo

sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH

o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=

bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH

sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =

14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS

Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg


149

Fonte

httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png

Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta

Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila

No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica

83 10 msc

Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio

cv

n=

Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante

Ec

B=

Nunca confunda

Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas

Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica

A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv

Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150

antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)

Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron

Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg

Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X

Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia

15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS

(A) INTRODUCcedilAtildeO

bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees

bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas

bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente


151

bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva

bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva

bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido

Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em

httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610

bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf


Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por

1 2

2result

ff

f=

+

Observe alguns casos de interferecircncias


152

Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias

Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja

2) Interferecircncia Construtiva

httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva

2) Interferecircncia Destrutiva

httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva

Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir


153

A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui

httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt

As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python

(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES

bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute

o Devido agrave diferenccedila de caminho

1 2caminho

|d d |2

minus =

o Devido agraves reflexotildees

reflexatildeo = para cada reflexatildeo

bull A diferenccedila de fase total seraacute

n

o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva

o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva

bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema


154

(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ

bull Dupla fenda de Thomas Young

xD

ky

=

(calculando a espessura de um fio de cabelo)

bull Peliacuteculas (filmes) finas

bull Iridescecircncia

16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS

Mais detalhes em


bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas

bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase

bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada

bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso

1deg Harmocircnico 12

1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =

ndeg Harmocircnico 2

nL

n =

Para o n-eacutesimo harmocircnico temos

2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS

bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica

bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado

DUAS EXTREMIDADES ABERTAS

1deg Harmocircnico 11 1

4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =

UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA


41

4 1

LL

= =

2deg Harmocircnico Natildeo existe


3

L =



nL

n =

bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada


157

--------------------------------------------------

-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --

--------------------------------------------------

1 TERORIA DA RELATIVIDADE


No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade

da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk

Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do

magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a

velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de

permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de

permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu

mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram

ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do

1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave

299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s

magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa

uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo

Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema

da mesma forma que o som se move com uma velocidade da

ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com

velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual

as equaccedilotildees de Maxwell valeriam

TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS

Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos

como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de

Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v

Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave

v relativamente agrave S


158

Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um

referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x

relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de

ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-

y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial

isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S

fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =

Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na

direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo

tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =

Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa

u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja

que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas

tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo

que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do

referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila

0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=

Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que

nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em

outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e

uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas

em todos os referenciais Inerciais

Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=

m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em

y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton

quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas

observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a

massa podem depender do referencial

Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da

Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial

Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram


159

invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem

de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que

sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse

gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma

coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se

propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou

conhecido como Eacuteter

O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS

CARGAS ELEacuteTRICAS

Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q

com velocidade v se move em um campo magneacutetico de

intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por

senmagF q v B=

Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E

se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a

NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160

mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica

entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a

carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia

Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo

de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo

magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um

condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a

produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as

cargas livres em um condutor

O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se

move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se

move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos

que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais

inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia

A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo

comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o

campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico

visto em outro referencial

NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161

Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante

unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a

unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica

Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter

MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER

Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo

ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a

1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e

Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar

entender a ideia principal do experimento Para isso vamos

substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v

paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que

percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de

comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a

seguir representa esta proposta

A L

L

v v

v

c 2 2c vminus 2 2c vminus

c

C

B

Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo

perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L

paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)

NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162

Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A

podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos

triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a

velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o

tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta

1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus

O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva

um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por

2 A C B C 2 2

2L L Lct t t

c v c v c vrarr rarr

= + = + = + minus minus

2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus

Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo

( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1

Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo

122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus

minus minus minus = +

e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =

Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a

diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para

ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A

ateacute C e B e voltarem ao ponto A


163

(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY

Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em

1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz

em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o

problema dos barquinhos descrito acima

O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles

conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um

espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse

e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1

Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir

no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute

formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter

estiver correta quando a fonte estiver se movendo

relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do

problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as

distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria

observar uma diferenccedila de tempo

2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte

Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-

reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)

A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em

algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento

absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso

absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo

Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado

momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a

Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O

experimento descrito seria capaz de determinar este tempo

mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da

Terra em torno do Sol (~30 kms)


164

Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi

0t =

Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o

resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a

velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim

surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados

Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e

inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a

pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando

propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi

publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de

Michelson e Morley

(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees

da onda de Maxwell propocircs dois postulados

1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo

as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo

existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se

de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)

2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos

os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)

Este segundo postulado eacute particularmente interessante se

pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados

experimentais de Michelson e Morley

Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo

discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo

(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema

referencial


165

Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo

um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que

ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados

seratildeo coletados automaticamente por um computador

localizado junto a cada experimento Por simplicidade

assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao

longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de

referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este

laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente

se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo

Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os

computadores localizados nos pontos dos experimentos

x

y S

Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S

Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para

todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos

sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da

luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do

reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber

o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo

gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute

digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber

o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto

pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios

Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios

de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o

esquematizado na figura 5

x

y S

Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na

origem (x = 0 e y = 0)

Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem

esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como

a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante

razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados

utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador

localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine

um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo


166

agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos

localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o

entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de

uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no

laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta

explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da

plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas

letras A e B Por fim suponha que a velocidade do

tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que

esta

Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo

localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se

do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem

no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute

a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na

figura 7

x

y S

Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador

localizado na origem (x = 0 e y = 0)

A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S

Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas

marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso

proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees

chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O


167

Figura 7

(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um

observador localizado na plataforma S

(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso

chega do ponto A

(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente

na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados

simultaneamente

(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O

localizado na origem do referencial S

Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos

para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo

considerados simultacircneos para um referencial localizado no

trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais

diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios

localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em

S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados

x

y S

x

y S

Observado na plataforma

v

Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com

velocidade v

Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados

em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios

em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o

referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver

que os reloacutegios localizados em S para um observador em S


168

possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da

velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e

adiantados quando x gt 0

x

y S

x

y S


vminus

Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda

com velocidade vminus

Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial

anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees

do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos

aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees

2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o

tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade

Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees

acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto

x x v t= minus y y= z z= t t=

Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas

temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre

o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto

esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de

comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial

(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o

referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de

um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao

fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o

comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer

referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois

eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)

seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em


169

relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio

Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o

referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando

medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta

massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida

massa proacutepria

Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar

para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as

grandezas com linha e sem linha

2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus

Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u

na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a

velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode

ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira

2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um

corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto

2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+

Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute

apresentada a seguir

Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo

um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema

a seguir

S

c

t

Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o

espelho eacute dada por c t

utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto


170

O mesmo evento observado por um observador fixo na

plataforma pode ser representado pela figura a seguir

c

t

S

v t

c t

S

v

x

y

Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um

observador na plataforma

Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras

( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +

Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos

2

2

1

tt

v

c

=

minus

Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta

discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso

entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado

utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial

anteriormente apresentadas

Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o

instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)

e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que


171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

t v c x t v c x t v c x t v c xt t t

v v vc c c

+ + + minus minus = minus = minus =

minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus

De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um

objeto de comprimento L quando medido em S e L quando

medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute

2

2 1 vL Lc

= minus

Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas

que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus

Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e

v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual

a massa esteja em repouso)

(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA

Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema

do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados

nenhum pouco intuitivos Satildeo eles

1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os

referenciais Inerciais

2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c

independente da velocidade da fonte ou do observador

Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas

anteriormente ou natildeo

Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo

2

2

11

1v

c

=

minus

Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves

equaccedilotildees


172

CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS

Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento

L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao

longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo

0 L L=

DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS

Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um

determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os

eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo

chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial

se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido

seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA

A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa

3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma

dependecircncia de

0m m=

Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees

1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3

2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute

constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que

veremos a seguir variam dependendo da velocidade

EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA

A energia total de um corpo eacute dada por

2E mc=

Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de

energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute

conservado eacute o equivalente massa-energia


173

De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa

podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um

corpo eacute dada por

2

0E m c=

Ela fica melhor escrita como

2E m c =

Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa

fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da

reaccedilatildeo

Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute

interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi

unificar os conceitos de massa e energia em um soacute

IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear

por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia

pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia

Vejamos alguns mais dois exemplos

1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que

a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas

chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada

como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se

em um eleacutetron e um antieleacutetron

Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a

conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento

simultaneamente

O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa

mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre

muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria


174

2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares

que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se

encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das

partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro

corpo

Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida

muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-

volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um

eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e

x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos

191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=

A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz

mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute

2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=

Algumas massas de partiacuteculas conhecidas

2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =

CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA

3

0mF a=

CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

0Q m v=

MUDANCcedilA DE COORDENADA

Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso

x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA

Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um

referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo

do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma

velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R

Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por

2

1

vv

v

c

+=

+

4 Com velocidade acima da velocidade da luz

(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO

Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia

quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os

reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada

podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo

B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que

em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a

bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente

seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo

exploda

Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz

sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e

exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo

iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas

as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o

evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute

viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a

bomba natildeo poderaacute explodir


176

Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra

luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos

cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal

velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se

v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se

aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito

Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de

repouso5 poderiam passar da velocidade da luz

O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute

de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de

contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade

de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute

O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a

velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila

constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite

superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da

relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a

velocidade de um corpo

5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso

Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso

(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL

O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos

A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados


177

1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS

2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador

Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado


178

2 FIacuteSICA QUAcircNTICA

(A) TEORIA DOS QUANTAS

Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas

eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do

comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que

depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute

chamada de Lei do deslocamento de Wien

maacutex

b

T =

Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a

temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico

abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo

estatildeo contidos numa hipeacuterbole

Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da

composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura

dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja

capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma

radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida

pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro

ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente

Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo

desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais

radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal

problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta

uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de

energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura

abaixo) era absurdamente elevada

A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita

de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela


179

teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na

mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo

Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm

Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo

aparentemente um tanto quanto estranha coincidia

perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que

a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha

que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores

possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de

modo que entendemos que a luz transporta energia em

quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia

transportada por cada foacuteton eacute dada por

E h f=

Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia

associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas

com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da

onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada

de constante de Planck

Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro

httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-

spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml

No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra

como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando

aquecido

Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso

emitido por noacutes seres humanos

Natildeo podiacuteamos deixar de falar que


180

(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO

As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito

embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica

quacircntica

Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da

mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes

natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico

Vamos separar este item em trecircs partes

bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno

bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e

verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno

bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver

que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria

O FENOcircMENO

Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons

ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute

chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)

Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um

experimento que permite fazer algumas medidas o

experimento de Linard

Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um

catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um

anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde

se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado

natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe

mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o

catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente


181

Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este

valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da

tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o

catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo

Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute

apresentado no graacutefico abaixo

Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc

verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i

2i e 3i (quanto

maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)

Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia

cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois

entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum

eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo

Este experimento simples permite calcularmos a energia

cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido

0CmaacutexE q U=

Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade

da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir


182

que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da

intensidade da radiaccedilatildeo incidente

Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente

para cada metal

Substacircncia U0 (V)

rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472

carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais

Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz

incidente importa Com isso montamos uma tabela com os

mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da

qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a

frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou

se corresponde ao ultravioleta

Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa

rubiacutedio 510 Visiacutevel

ceacutesio 520 Visiacutevel

potaacutessio 530 Visiacutevel

soacutedio 550 Visiacutevel

alumiacutenio 980 Ultravioleta

cobre 1140 Ultravioleta

carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico

Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito

anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos

explicar tal fenocircmeno

POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA

Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados

segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria

bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage

com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no

aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma


183

forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os

eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja

removido do material

bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que

quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da

onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por

que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos

bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser

proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como

esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude

e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que

mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria

capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando

aumentar a intensidade da onda

Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos

uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma

frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito

fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia

mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo

ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte

0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da

intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje

(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)

INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA

Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum

ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo

isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a

energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton

(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante

Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas

quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou

contiacutenuo)

Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional

bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse

energia como se fosse bolinhas e a energia destas

bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck

E h f=

Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio


184

bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute

transformado integralmente em energia mecacircnica

Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo

com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute

livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute

chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia

podemos concluir que

foacuteton cineacuteticaE E= +

Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a

parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua

energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia

cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel

de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921

Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo

incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto

maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o

nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea

iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U

Seja PIA

= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que

atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que

atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte

relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =

Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar

a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica

do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento

obteremos um graacutefico linear como o que se segue

Conforme jaacute discutido

0CmaacutexE q U=


185

Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos

escrever

foacuteton cineacute

Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=

Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia

cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a

resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos

medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar

este resultado com a equaccedilatildeo da reta

coeficiente coeficiente angula

eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus

Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a

constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima

(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o

eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas

a partir da anaacutelise deste graacutefico

Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo

incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu

graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck

e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos

materiais

Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados

anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo

trabalho em eV

Substacircncia (eV) Faixa







carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais

Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente

responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-

volt) no lugar de J (joule)

A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos

mais algumas implicaccedilotildees destas ideias


186

Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca

estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui

quantidade de movimento Q

h

Q =

Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria

Efeito Compton

Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e

frequecircncia dando energia ao foacuteton

Efeito Thomson

Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e

natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia

Experimento de Lenard

httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp

hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR

No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de

Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui

apresentados

(C) NATUREZA DUAL DA LUZ

A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo

e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos

Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)

O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da

Complementaridade de Niels Bohr explica

Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como

onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas

simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz

satildeo complementares


187

(D) O AacuteTOMO DE BORH

Ficou conhecido como modelo

planetaacuterio o modelo de aacutetomo de

Bohr Este modelo deveria ser

instaacutevel de acordo com as leis do

eletromagnetismo claacutessico

Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo

deveria obedecer a algumas

regras

Primeiro postulado de Bohr

O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar

Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios

Segundo postulado de Bohr

As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento

angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo

inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=

sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade

do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero

quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro

positivo 1 2 3n =

Terceiro postulado de Bohr

O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para

outro mais interno sendo a energia irradiada dada por

f iE h f E E= = minus

onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron

(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do

eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron

Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e

Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas

httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-

scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml


188

(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA

De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta

como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel

partiacutecula se comportando como onda

De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar

como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um

corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons

etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton

h

Q =

Mas da mecacircnica sabemos que

Q m v=

portanto

v

h

m =

Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia

Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que

eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o

fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem

obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de

eleacutetrons sofre difraccedilatildeo

Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo

httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel

=QuantumAcademy

Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias

no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da

oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero

inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o

segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir


189

Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute

equivalente ao nuacutemero quacircntico principal

(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA

Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos

minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos

acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal

Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr

A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando

aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos

(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG

O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na

medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-

lo em trecircs partes

Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1

Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo

arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma

partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na

quantidade de movimento

4

hx p


190


Isso vale para a energia e o tempo

4

hE t

Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo

de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida

como algo muito mais profundo

Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A

energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula


A energia de um oscilador eacute dada por

11

2E h f

= +

ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula

Texto complementar

httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf


191

3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES

Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em

aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico

para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos

algumas partiacuteculas elementares

Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento

e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no

livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de

Griffiths D

(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)

Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no

ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as

partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por

exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios

catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas

eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)

O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria

deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas

certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria

chegando no famoso modelo de pudim com passas

Posteriormente os o experimento de espalhamento de

Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era

suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o

equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este

passava por uma fina camada de ouro

Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo

abaixo



Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados

experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos

um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com

mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute

temos s descoberta do necircutron em 1932

Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons

proacutetons necircutrons e foacutetons) correto

Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de

novas partiacuteculas descobertas


192

(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)

A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela

quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do

ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma

simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos

isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima

(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)

Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um

aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila

nuclear forte)

Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)

calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem

exatamente este significado)

Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves

como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas

como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)

Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar

atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se

comportam como previsto por Yukawa

O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson

piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi

descoberta o meacuteson (ou muacuteon)

(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)

Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o

poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma

massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva

Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles

simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a

existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro

levando assim agrave ideia de antimateacuteria

Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como

raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como

raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram

sendo chamados de raios beta menos ou raios minus

Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda

partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas

pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas

ainda estava por vir


193

Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton

denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela

mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso

para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)

Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual

diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o

eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron

(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua

antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma

partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela

mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute

a mesma coisa e representado por

Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma

partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron

Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora

vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela

Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque

existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente

partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim

mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria

Partiacuteculas Antipartiacuteculas

Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo

Proacuteton p Antiproacutetons p

Necircutron n Antinecircutrons n

Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+

Muacuteon minus Antimuacuteon +

Foacuteton Foacuteton

A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma

partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um

poacutesitron e um eleacutetron se encontram

e e+ minus+ rarr +

Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso

aqui


194

(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)

Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas

reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como

raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios

(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio

3

1

3

2

3

1H H He eminusrarr ++

Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio

um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute

2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2

necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita

como

2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +

que simplificando fica

n p eminusrarr +

Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um

necircutron em um proacuteton e um eleacutetron

Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias

outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia

esperada para o eleacutetron era de um valor constante

Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a

energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que

aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada

A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons

por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa

aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da

conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui


195

(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma

partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula

deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron

carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal

partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em

1950

O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute

quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um

eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron

simbolizado por e e assim por diante

Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron

outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um

associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon

Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados

Neutrino Antineutrino

e e

6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau

foram colocados aqui apenas para ficar mais completo

Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis

decaimento beta

decaimento do piacuteon

decaimento do muacuteon

e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +

Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por

aqui


196

(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)

Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e

todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais

Leacuteptons Antileacuteptons


Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+

Neutrino do eleacutetron

e Antineutrino do eleacutetron

e

Muacuteon Antimuacuteon

Neutrino do muacuteon

Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau

Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os

barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais

As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo

chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas

Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c

Strange s Antistrange s

Top t Antop t

Botton b Antibotton b

Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks


197

Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios

satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute

constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um

quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1

Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down

Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down

7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron

Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions

mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron

Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes

Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd

Antinecircutrons udd

Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre

formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns

exemplos

Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du

dd 0 ds + us minus su 0

sd


2

optica

IacuteNDICE OacutePTICA 8

1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3 8

a) AVALIACcedilAtildeO 8

b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO 8

2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA 8

3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA GEOMEacuteTRICA 9

a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS 11

b) TIPOS DE MEIOS 11

c) FENOcircMENOS OacutePTICOS 11

d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO 13

4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA GEOMEacuteTRICA 16

APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA PROPAGACcedilAtildeO

RETILIacuteNEA DA LUZ 17

a) SOMBRA 17

b) PENUacuteMBRA 17

c) CAcircMARA ESCURA 17

d) A LUA 18

e) AcircNGULO VISUAL 19

5 LEIS DA REFLEXAtildeO 21

PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO 21

SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO 21

6 IMAGENS EM ESPELHOS PLANOS 22

IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS 22

IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS 23

7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM ESPELHO PARA SE

VER POR COMPLETO 23

8 CAMPO VISUAL 24

9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO PLANOOBJETO

25

10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO PLANO 29

11 IMAGEM FORMADA POR DOIS ESPELHOS 30

12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS 32


3
















Dioptro plano 48





ASTROS 53


(B) Miragem 53


19 PRISMAS 57






(B) NOMENCLATURA 61





4








------------------------------------------------ -- SEGUNDA PARTE







3 ENERGIA NO MHS 97












em 117






(A) O SOM 126



5





TRIDIMENSIONAIS 130







(E) BATIMENTO 141













TUBOS SONOROS 155

-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE


157








6


















7




























acessando o link





8










Princiacutepios


Teoremas













4311-gf04jpg


9










bull POR

o Ponto objeto real







10






o Velocidade da luz




8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou




11


b) TIPOS DE MEIOS










VAAVAAV


12







13













programa)





Magenta (Magenta)


Yellow (Amarelo)



14













15


16











17 18 19 e 20


em linha reta



mesmo caminho





17





l hk

L H= =


2ak

A=




i p

o p=


18


o LUNAR

o SOLAR





19












a 47)





20


21










18 19 20 21 26 28 29 e 30



22


PLANOS







23




COMPLETO




2

2

H d HMN

dMN= =



2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL



ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25


PLANOOBJETO













26






espelho






= minus (2)



perp e a


perp





do caminhatildeo


27




perp O que



isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =



= (3)





e objetoV




= minus




=



e


= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28




10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo


0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =


0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=





2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=


= minus


tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=




2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus



PLANO


30


ESPELHOS

nota importante




10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57


Planosrdquo






31


32







espelho


eacute gaussiano


33




passando pelo foco






mesmo caminho





34






ao eixo principal




caminho que chegou





35


ESPELHO COcircNCAVO
















conforme figura 12




36







ESPELHO CONVEXO











37






















38

RESUMINDO













como tinha que ser



CAIU NO VESTIBULAR

















sateacutelite)


39


GEOMEacuteTRICA








igual]









imagem



40



Tamanho maior]









convexo




41



Espelho cocircncavo

Espelho convexo






na paacutegina 235




42






f abscissa do foco


p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real





0i o Imagem Direita






1 1 1

f p p= +


|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43







na paacutegina 250




44


45


DESCARTES








cn

v=







46




B An n



AAB

B

nn

n=


47


menor tempo










ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48


TOTAL







Vejamos como







resolvidos






49


sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r






=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p


A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p



50



menos refringente







=ˆsen B

A

nL

n




51



paralelas







seguir


cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52







revn






53


DOS ASTROS








54










FATA MORGANA


55






56






57

19 PRISMAS



600prismas-3-728jpg





ser resolvidos




58



(B) Dispersatildeo


59










ser resolvidos




revisatildeo


60








de curvatura





61


primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63




64






65









em que se encontra)





66






67





68



(bordos grossos)


foco


69





70






71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19


309


77







25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78


referencial











o 0o


o 0i


o 0i








79






80


1 1 1

f p p= +





DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =


i p

o p= minus


Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus



i p fA

o p f p= = minus =

minus


1V

f=


81



1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +





36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e



82






1 2 eq nV V V V= + + +






57 59 60 61 62 63 64 e



83








resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76



84






bastonetes


cores



diversas cores



85




o Ou seja p = 17 mm



1 1 1(em mm)

17f p= +



Fonte


STALINOjpg






cristalino



1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +










86









de chegar na retina



1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87








o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia




curto que o normal


da retina




proacuteximo




88







do hipermetrope


dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia





divergente (topo)


Progressivapng


o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89


Viacutedeo











resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome


ser resolvidos


93




4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A



94

------------------------------------------------


------------------------------------------------







tT =

= (1)




tf =

= (2)



1 1T f

f T= = (3)





resF m a= (4)


elF k x= minus (5)



95

m a k x = minus (6)










96










2m

Tk

= (7)



97


1

2

kf

m=

(8)




3 ENERGIA NO MHS





bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)




98


2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)


2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)




99



2

2mec

kE

A= (13)


2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)


22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)






senmg


x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14



100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=


mgma x

L= minus


ma kx= minus


2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)





32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =


3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)


GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =


2

Tt =


346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st














102



bull Velocidade






cos )(x R= (20)


t

=


0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)


0( )t t = +



0cos( )tx R + =


103




Chamaremos

bull de fase






0( ) cos )( tx t A + = (22)







104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)


para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)


0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +






105






106




(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +


0( ) sen( )v t A t= minus + (25)





2mcu

cpV

aR

=


( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)



107



cpcos coscp

aa a

a = =


20cos( )tRa = +


20cos( )a A t= +




108






(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus


20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109




m a k x = minus


0( ) cos )( tx t A + =





m a k x = minus


2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)


2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)


1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110







0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS


2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =



111



2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =







112



2 2 22

0

22


mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +


2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =


depende do tempo t





113




0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =


0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =


2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =





2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =



114



2 2

2 2 21

x v

A A+ =






0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =




BOcircNUS


0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+



116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+


0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=


2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +


maacutexV A=







117











o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118





299 792 458 msc =



o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas



Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc



119




o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons







120














121




bull Ondas mistas






122



bull Crista

bull Vale


ondajpg







tv

T

S

= =



1 1f T

T f= =



v f=


123









124





( ) cosy x x=








depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +


Notemos o seguinte



22

22T

t aa t

T

=

=


125


11

22

x aa x

T

=

=


32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +


2

T

=


32

( ) cosy x t x t a

= +

minus


2k

=





0





126


(A) O SOM







m

L =


Fv =




v gh=


127






vp

d=









128










129




1) Extremidade fixa







130









131






132


bull Eco





2V

S

t

x

t= =

2x

tV =




133



340 0117 m

2 2

V tx

= = =











134




135







136




0 cospassa EE =


20 cospassa II =







137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=







Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=


0 1T RI I I T R= + = +



138



(D) RESSONAcircNCIA


Exemplo 1



139




Exemplo 3




140






141

(E) BATIMENTO



1 2

2result

ff

f=

+





13 ACUacuteSTICA






PI

A=


24I

r

P=


142


2 2I f A=

Exemplo 1



2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=



= cosI I


Exemplo 2




143


=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3


2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144




0log

I

I

=



e vale

120

2 m10 WI minus=


010 log

I

I

=

Em decibel




145







som obv v




som fntv v



146


somv

f =


ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=


Legenda










fntfc

vf

=




emitida pela fonte


147



(E) CONE DE MACH







acircngulo de Mach



148

sen S

A

d

d =


sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH



sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =




149

Fonte


Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta



83 10 msc


cv

n=


Ec

B=

Nunca confunda




Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150












151









1 2

2result

ff

f=

+



152









153







1 2caminho

|d d |2

minus =




n





154



xD

ky

=





Mais detalhes em







1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =


nL

n =


2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS





4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =



41

4 1

LL

= =



3

L =



nL

n =



157

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------
























Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v




158







fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =



tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =







0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=
















159













senmagF q v B=



NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160



















NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161
















A L

L

v v

v


c

C

B




NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162






1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus



2 A C B C 2 2

2L L Lct t t



2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus


( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1


122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus


e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =






163


















2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte














164


0t =










Michelson e Morley
















referencial


165













x

y S















x

y S











166










esta






figura 7

x

y S



A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S






167

Figura 7




chega do ponto A



simultaneamente










x

y S

x

y S


v


velocidade v







168




x

y S

x

y S


vminus







2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus




















169






massa proacutepria




2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus







2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+





a seguir

S

c

t





170



c

t

S

v t

c t

S

v

x

y




( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +


2

2

1

tt

v

c

=

minus






Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o




171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1


v v vc c c


minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus




2

2 1 vL Lc

= minus


que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus















2

2

11

1v

c

=

minus


equaccedilotildees


172





0 L L=







seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA



dependecircncia de

0m m=








2E mc=





173




2

0E m c=


2E m c =



reaccedilatildeo















simultaneamente





174





corpo









2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=




3

0mF a=


0Q m v=



x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA






2

1

vv

v

c

+=

+











exploda










176

























177





178








maacutex

b

T =






















179













E h f=











aquecido





180




quacircntica










O FENOcircMENO















181









2i e 3i (quanto








0CmaacutexE q U=




182




para cada metal


rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472


























183
































contiacutenuo)





E h f=



184



















Seja PIA




relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =






0CmaacutexE q U=


185


escrever


Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=







eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus










materiais



trabalho em eV















186




h

Q =


Efeito Compton



Efeito Thomson








apresentados












187









regras







inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=




positivo 1 2 3n =













188









h

Q =


Q m v=

portanto

v

h

m =









=QuantumAcademy







189



















4

hx p


190



4

hE t








11

2E h f

= +


Texto complementar



191









Griffiths D


















abaixo













192










nuclear forte)






























193































e e+ minus+ rarr +


aqui


194






3

1

3

2

3






como



n p eminusrarr +














195






1950










e e




decaimento beta



e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +


aqui


196









e



Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau





Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c


Top t Antop t




197











Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd




exemplos



sd


3
















Dioptro plano 48





ASTROS 53


(B) Miragem 53


19 PRISMAS 57






(B) NOMENCLATURA 61





4








------------------------------------------------ -- SEGUNDA PARTE







3 ENERGIA NO MHS 97












em 117






(A) O SOM 126



5





TRIDIMENSIONAIS 130







(E) BATIMENTO 141













TUBOS SONOROS 155

-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE


157








6


















7




























acessando o link





8










Princiacutepios


Teoremas













4311-gf04jpg


9










bull POR

o Ponto objeto real







10






o Velocidade da luz




8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou




11


b) TIPOS DE MEIOS










VAAVAAV


12







13













programa)





Magenta (Magenta)


Yellow (Amarelo)



14













15


16











17 18 19 e 20


em linha reta



mesmo caminho





17





l hk

L H= =


2ak

A=




i p

o p=


18


o LUNAR

o SOLAR





19












a 47)





20


21










18 19 20 21 26 28 29 e 30



22


PLANOS







23




COMPLETO




2

2

H d HMN

dMN= =



2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL



ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25


PLANOOBJETO













26






espelho






= minus (2)



perp e a


perp





do caminhatildeo


27




perp O que



isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =



= (3)





e objetoV




= minus




=



e


= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28




10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo


0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =


0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=





2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=


= minus


tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=




2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus



PLANO


30


ESPELHOS

nota importante




10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57


Planosrdquo






31


32







espelho


eacute gaussiano


33




passando pelo foco






mesmo caminho





34






ao eixo principal




caminho que chegou





35


ESPELHO COcircNCAVO
















conforme figura 12




36







ESPELHO CONVEXO











37






















38

RESUMINDO













como tinha que ser



CAIU NO VESTIBULAR

















sateacutelite)


39


GEOMEacuteTRICA








igual]









imagem



40



Tamanho maior]









convexo




41



Espelho cocircncavo

Espelho convexo






na paacutegina 235




42






f abscissa do foco


p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real





0i o Imagem Direita






1 1 1

f p p= +


|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43







na paacutegina 250




44


45


DESCARTES








cn

v=







46




B An n



AAB

B

nn

n=


47


menor tempo










ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48


TOTAL







Vejamos como







resolvidos






49


sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r






=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p


A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p



50



menos refringente







=ˆsen B

A

nL

n




51



paralelas







seguir


cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52







revn






53


DOS ASTROS








54










FATA MORGANA


55






56






57

19 PRISMAS



600prismas-3-728jpg





ser resolvidos




58



(B) Dispersatildeo


59










ser resolvidos




revisatildeo


60








de curvatura





61


primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63




64






65









em que se encontra)





66






67





68



(bordos grossos)


foco


69





70






71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19


309


77







25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78


referencial











o 0o


o 0i


o 0i








79






80


1 1 1

f p p= +





DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =


i p

o p= minus


Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus



i p fA

o p f p= = minus =

minus


1V

f=


81



1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +





36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e



82






1 2 eq nV V V V= + + +






57 59 60 61 62 63 64 e



83








resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76



84






bastonetes


cores



diversas cores



85




o Ou seja p = 17 mm



1 1 1(em mm)

17f p= +



Fonte


STALINOjpg






cristalino



1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +










86









de chegar na retina



1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87








o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia




curto que o normal


da retina




proacuteximo




88







do hipermetrope


dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia





divergente (topo)


Progressivapng


o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89


Viacutedeo











resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome


ser resolvidos


93




4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A



94

------------------------------------------------


------------------------------------------------







tT =

= (1)




tf =

= (2)



1 1T f

f T= = (3)





resF m a= (4)


elF k x= minus (5)



95

m a k x = minus (6)










96










2m

Tk

= (7)



97


1

2

kf

m=

(8)




3 ENERGIA NO MHS





bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)




98


2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)


2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)




99



2

2mec

kE

A= (13)


2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)


22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)






senmg


x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14



100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=


mgma x

L= minus


ma kx= minus


2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)





32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =


3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)


GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =


2

Tt =


346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st














102



bull Velocidade






cos )(x R= (20)


t

=


0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)


0( )t t = +



0cos( )tx R + =


103




Chamaremos

bull de fase






0( ) cos )( tx t A + = (22)







104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)


para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)


0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +






105






106




(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +


0( ) sen( )v t A t= minus + (25)





2mcu

cpV

aR

=


( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)



107



cpcos coscp

aa a

a = =


20cos( )tRa = +


20cos( )a A t= +




108






(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus


20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109




m a k x = minus


0( ) cos )( tx t A + =





m a k x = minus


2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)


2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)


1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110







0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS


2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =



111



2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =







112



2 2 22

0

22


mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +


2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =


depende do tempo t





113




0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =


0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =


2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =





2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =



114



2 2

2 2 21

x v

A A+ =






0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =




BOcircNUS


0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+



116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+


0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=


2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +


maacutexV A=







117











o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118





299 792 458 msc =



o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas



Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc



119




o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons







120














121




bull Ondas mistas






122



bull Crista

bull Vale


ondajpg







tv

T

S

= =



1 1f T

T f= =



v f=


123









124





( ) cosy x x=








depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +


Notemos o seguinte



22

22T

t aa t

T

=

=


125


11

22

x aa x

T

=

=


32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +


2

T

=


32

( ) cosy x t x t a

= +

minus


2k

=





0





126


(A) O SOM







m

L =


Fv =




v gh=


127






vp

d=









128










129




1) Extremidade fixa







130









131






132


bull Eco





2V

S

t

x

t= =

2x

tV =




133



340 0117 m

2 2

V tx

= = =











134




135







136




0 cospassa EE =


20 cospassa II =







137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=







Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=


0 1T RI I I T R= + = +



138



(D) RESSONAcircNCIA


Exemplo 1



139




Exemplo 3




140






141

(E) BATIMENTO



1 2

2result

ff

f=

+





13 ACUacuteSTICA






PI

A=


24I

r

P=


142


2 2I f A=

Exemplo 1



2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=



= cosI I


Exemplo 2




143


=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3


2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144




0log

I

I

=



e vale

120

2 m10 WI minus=


010 log

I

I

=

Em decibel




145







som obv v




som fntv v



146


somv

f =


ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=


Legenda










fntfc

vf

=




emitida pela fonte


147



(E) CONE DE MACH







acircngulo de Mach



148

sen S

A

d

d =


sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH



sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =




149

Fonte


Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta



83 10 msc


cv

n=


Ec

B=

Nunca confunda




Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150












151









1 2

2result

ff

f=

+



152









153







1 2caminho

|d d |2

minus =




n





154



xD

ky

=





Mais detalhes em







1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =


nL

n =


2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS





4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =



41

4 1

LL

= =



3

L =



nL

n =



157

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------
























Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v




158







fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =



tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =







0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=
















159













senmagF q v B=



NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160



















NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161
















A L

L

v v

v


c

C

B




NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162






1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus



2 A C B C 2 2

2L L Lct t t



2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus


( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1


122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus


e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =






163


















2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte














164


0t =










Michelson e Morley
















referencial


165













x

y S















x

y S











166










esta






figura 7

x

y S



A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S






167

Figura 7




chega do ponto A



simultaneamente










x

y S

x

y S


v


velocidade v







168




x

y S

x

y S


vminus







2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus




















169






massa proacutepria




2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus







2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+





a seguir

S

c

t





170



c

t

S

v t

c t

S

v

x

y




( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +


2

2

1

tt

v

c

=

minus






Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o




171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1


v v vc c c


minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus




2

2 1 vL Lc

= minus


que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus















2

2

11

1v

c

=

minus


equaccedilotildees


172





0 L L=







seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA



dependecircncia de

0m m=








2E mc=





173




2

0E m c=


2E m c =



reaccedilatildeo















simultaneamente





174





corpo









2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=




3

0mF a=


0Q m v=



x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA






2

1

vv

v

c

+=

+











exploda










176

























177





178








maacutex

b

T =






















179













E h f=











aquecido





180




quacircntica










O FENOcircMENO















181









2i e 3i (quanto








0CmaacutexE q U=




182




para cada metal


rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472


























183
































contiacutenuo)





E h f=



184



















Seja PIA




relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =






0CmaacutexE q U=


185


escrever


Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=







eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus










materiais



trabalho em eV















186




h

Q =


Efeito Compton



Efeito Thomson








apresentados












187









regras







inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=




positivo 1 2 3n =













188









h

Q =


Q m v=

portanto

v

h

m =









=QuantumAcademy







189



















4

hx p


190



4

hE t








11

2E h f

= +


Texto complementar



191









Griffiths D


















abaixo













192










nuclear forte)






























193































e e+ minus+ rarr +


aqui


194






3

1

3

2

3






como



n p eminusrarr +














195






1950










e e




decaimento beta



e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +


aqui


196









e



Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau





Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c


Top t Antop t




197











Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd




exemplos



sd


4








------------------------------------------------ -- SEGUNDA PARTE







3 ENERGIA NO MHS 97












em 117






(A) O SOM 126



5





TRIDIMENSIONAIS 130







(E) BATIMENTO 141













TUBOS SONOROS 155

-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE


157








6


















7




























acessando o link





8










Princiacutepios


Teoremas













4311-gf04jpg


9










bull POR

o Ponto objeto real







10






o Velocidade da luz




8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou




11


b) TIPOS DE MEIOS










VAAVAAV


12







13













programa)





Magenta (Magenta)


Yellow (Amarelo)



14













15


16











17 18 19 e 20


em linha reta



mesmo caminho





17





l hk

L H= =


2ak

A=




i p

o p=


18


o LUNAR

o SOLAR





19












a 47)





20


21










18 19 20 21 26 28 29 e 30



22


PLANOS







23




COMPLETO




2

2

H d HMN

dMN= =



2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL



ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25


PLANOOBJETO













26






espelho






= minus (2)



perp e a


perp





do caminhatildeo


27




perp O que



isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =



= (3)





e objetoV




= minus




=



e


= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28




10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo


0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =


0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=





2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=


= minus


tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=




2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus



PLANO


30


ESPELHOS

nota importante




10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57


Planosrdquo






31


32







espelho


eacute gaussiano


33




passando pelo foco






mesmo caminho





34






ao eixo principal




caminho que chegou





35


ESPELHO COcircNCAVO
















conforme figura 12




36







ESPELHO CONVEXO











37






















38

RESUMINDO













como tinha que ser



CAIU NO VESTIBULAR

















sateacutelite)


39


GEOMEacuteTRICA








igual]









imagem



40



Tamanho maior]









convexo




41



Espelho cocircncavo

Espelho convexo






na paacutegina 235




42






f abscissa do foco


p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real





0i o Imagem Direita






1 1 1

f p p= +


|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43







na paacutegina 250




44


45


DESCARTES








cn

v=







46




B An n



AAB

B

nn

n=


47


menor tempo










ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48


TOTAL







Vejamos como







resolvidos






49


sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r






=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p


A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p



50



menos refringente







=ˆsen B

A

nL

n




51



paralelas







seguir


cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52







revn






53


DOS ASTROS








54










FATA MORGANA


55






56






57

19 PRISMAS



600prismas-3-728jpg





ser resolvidos




58



(B) Dispersatildeo


59










ser resolvidos




revisatildeo


60








de curvatura





61


primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63




64






65









em que se encontra)





66






67





68



(bordos grossos)


foco


69





70






71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19


309


77







25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78


referencial











o 0o


o 0i


o 0i








79






80


1 1 1

f p p= +





DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =


i p

o p= minus


Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus



i p fA

o p f p= = minus =

minus


1V

f=


81



1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +





36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e



82






1 2 eq nV V V V= + + +






57 59 60 61 62 63 64 e



83








resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76



84






bastonetes


cores



diversas cores



85




o Ou seja p = 17 mm



1 1 1(em mm)

17f p= +



Fonte


STALINOjpg






cristalino



1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +










86









de chegar na retina



1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87








o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia




curto que o normal


da retina




proacuteximo




88







do hipermetrope


dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia





divergente (topo)


Progressivapng


o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89


Viacutedeo











resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome


ser resolvidos


93




4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A



94

------------------------------------------------


------------------------------------------------







tT =

= (1)




tf =

= (2)



1 1T f

f T= = (3)





resF m a= (4)


elF k x= minus (5)



95

m a k x = minus (6)










96










2m

Tk

= (7)



97


1

2

kf

m=

(8)




3 ENERGIA NO MHS





bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)




98


2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)


2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)




99



2

2mec

kE

A= (13)


2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)


22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)






senmg


x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14



100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=


mgma x

L= minus


ma kx= minus


2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)





32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =


3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)


GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =


2

Tt =


346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st














102



bull Velocidade






cos )(x R= (20)


t

=


0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)


0( )t t = +



0cos( )tx R + =


103




Chamaremos

bull de fase






0( ) cos )( tx t A + = (22)







104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)


para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)


0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +






105






106




(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +


0( ) sen( )v t A t= minus + (25)





2mcu

cpV

aR

=


( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)



107



cpcos coscp

aa a

a = =


20cos( )tRa = +


20cos( )a A t= +




108






(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus


20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109




m a k x = minus


0( ) cos )( tx t A + =





m a k x = minus


2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)


2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)


1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110







0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS


2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =



111



2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =







112



2 2 22

0

22


mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +


2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =


depende do tempo t





113




0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =


0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =


2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =





2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =



114



2 2

2 2 21

x v

A A+ =






0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =




BOcircNUS


0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+



116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+


0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=


2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +


maacutexV A=







117











o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118





299 792 458 msc =



o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas



Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc



119




o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons







120














121




bull Ondas mistas






122



bull Crista

bull Vale


ondajpg







tv

T

S

= =



1 1f T

T f= =



v f=


123









124





( ) cosy x x=








depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +


Notemos o seguinte



22

22T

t aa t

T

=

=


125


11

22

x aa x

T

=

=


32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +


2

T

=


32

( ) cosy x t x t a

= +

minus


2k

=





0





126


(A) O SOM







m

L =


Fv =




v gh=


127






vp

d=









128










129




1) Extremidade fixa







130









131






132


bull Eco





2V

S

t

x

t= =

2x

tV =




133



340 0117 m

2 2

V tx

= = =











134




135







136




0 cospassa EE =


20 cospassa II =







137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=







Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=


0 1T RI I I T R= + = +



138



(D) RESSONAcircNCIA


Exemplo 1



139




Exemplo 3




140






141

(E) BATIMENTO



1 2

2result

ff

f=

+





13 ACUacuteSTICA






PI

A=


24I

r

P=


142


2 2I f A=

Exemplo 1



2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=



= cosI I


Exemplo 2




143


=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3


2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144




0log

I

I

=



e vale

120

2 m10 WI minus=


010 log

I

I

=

Em decibel




145







som obv v




som fntv v



146


somv

f =


ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=


Legenda










fntfc

vf

=




emitida pela fonte


147



(E) CONE DE MACH







acircngulo de Mach



148

sen S

A

d

d =


sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH



sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =




149

Fonte


Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta



83 10 msc


cv

n=


Ec

B=

Nunca confunda




Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150












151









1 2

2result

ff

f=

+



152









153







1 2caminho

|d d |2

minus =




n





154



xD

ky

=





Mais detalhes em







1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =


nL

n =


2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS





4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =



41

4 1

LL

= =



3

L =



nL

n =



157

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------
























Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v




158







fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =



tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =







0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=
















159













senmagF q v B=



NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160



















NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161
















A L

L

v v

v


c

C

B




NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162






1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus



2 A C B C 2 2

2L L Lct t t



2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus


( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1


122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus


e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =






163


















2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte














164


0t =










Michelson e Morley
















referencial


165













x

y S















x

y S











166










esta






figura 7

x

y S



A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S






167

Figura 7




chega do ponto A



simultaneamente










x

y S

x

y S


v


velocidade v







168




x

y S

x

y S


vminus







2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus




















169






massa proacutepria




2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus







2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+





a seguir

S

c

t





170



c

t

S

v t

c t

S

v

x

y




( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +


2

2

1

tt

v

c

=

minus






Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o




171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1


v v vc c c


minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus




2

2 1 vL Lc

= minus


que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus















2

2

11

1v

c

=

minus


equaccedilotildees


172





0 L L=







seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA



dependecircncia de

0m m=








2E mc=





173




2

0E m c=


2E m c =



reaccedilatildeo















simultaneamente





174





corpo









2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=




3

0mF a=


0Q m v=



x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA






2

1

vv

v

c

+=

+











exploda










176

























177





178








maacutex

b

T =






















179













E h f=











aquecido





180




quacircntica










O FENOcircMENO















181









2i e 3i (quanto








0CmaacutexE q U=




182




para cada metal


rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472


























183
































contiacutenuo)





E h f=



184



















Seja PIA




relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =






0CmaacutexE q U=


185


escrever


Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=







eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus










materiais



trabalho em eV















186




h

Q =


Efeito Compton



Efeito Thomson








apresentados












187









regras







inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=




positivo 1 2 3n =













188









h

Q =


Q m v=

portanto

v

h

m =









=QuantumAcademy







189



















4

hx p


190



4

hE t








11

2E h f

= +


Texto complementar



191









Griffiths D


















abaixo













192










nuclear forte)






























193































e e+ minus+ rarr +


aqui


194






3

1

3

2

3






como



n p eminusrarr +














195






1950










e e




decaimento beta



e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +


aqui


196









e



Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau





Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c


Top t Antop t




197











Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd




exemplos



sd


5





TRIDIMENSIONAIS 130







(E) BATIMENTO 141













TUBOS SONOROS 155

-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE


157








6


















7




























acessando o link





8










Princiacutepios


Teoremas













4311-gf04jpg


9










bull POR

o Ponto objeto real







10






o Velocidade da luz




8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou




11


b) TIPOS DE MEIOS










VAAVAAV


12







13













programa)





Magenta (Magenta)


Yellow (Amarelo)



14













15


16











17 18 19 e 20


em linha reta



mesmo caminho





17





l hk

L H= =


2ak

A=




i p

o p=


18


o LUNAR

o SOLAR





19












a 47)





20


21










18 19 20 21 26 28 29 e 30



22


PLANOS







23




COMPLETO




2

2

H d HMN

dMN= =



2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL



ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25


PLANOOBJETO













26






espelho






= minus (2)



perp e a


perp





do caminhatildeo


27




perp O que



isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =



= (3)





e objetoV




= minus




=



e


= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28




10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo


0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =


0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=





2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=


= minus


tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=




2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus



PLANO


30


ESPELHOS

nota importante




10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57


Planosrdquo






31


32







espelho


eacute gaussiano


33




passando pelo foco






mesmo caminho





34






ao eixo principal




caminho que chegou





35


ESPELHO COcircNCAVO
















conforme figura 12




36







ESPELHO CONVEXO











37






















38

RESUMINDO













como tinha que ser



CAIU NO VESTIBULAR

















sateacutelite)


39


GEOMEacuteTRICA








igual]









imagem



40



Tamanho maior]









convexo




41



Espelho cocircncavo

Espelho convexo






na paacutegina 235




42






f abscissa do foco


p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real





0i o Imagem Direita






1 1 1

f p p= +


|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43







na paacutegina 250




44


45


DESCARTES








cn

v=







46




B An n



AAB

B

nn

n=


47


menor tempo










ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48


TOTAL







Vejamos como







resolvidos






49


sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r






=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p


A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p



50



menos refringente







=ˆsen B

A

nL

n




51



paralelas







seguir


cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52







revn






53


DOS ASTROS








54










FATA MORGANA


55






56






57

19 PRISMAS



600prismas-3-728jpg





ser resolvidos




58



(B) Dispersatildeo


59










ser resolvidos




revisatildeo


60








de curvatura





61


primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63




64






65









em que se encontra)





66






67





68



(bordos grossos)


foco


69





70






71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19


309


77







25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78


referencial











o 0o


o 0i


o 0i








79






80


1 1 1

f p p= +





DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =


i p

o p= minus


Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus



i p fA

o p f p= = minus =

minus


1V

f=


81



1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +





36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e



82






1 2 eq nV V V V= + + +






57 59 60 61 62 63 64 e



83








resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76



84






bastonetes


cores



diversas cores



85




o Ou seja p = 17 mm



1 1 1(em mm)

17f p= +



Fonte


STALINOjpg






cristalino



1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +










86









de chegar na retina



1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87








o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia




curto que o normal


da retina




proacuteximo




88







do hipermetrope


dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia





divergente (topo)


Progressivapng


o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89


Viacutedeo











resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome


ser resolvidos


93




4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A



94

------------------------------------------------


------------------------------------------------







tT =

= (1)




tf =

= (2)



1 1T f

f T= = (3)





resF m a= (4)


elF k x= minus (5)



95

m a k x = minus (6)










96










2m

Tk

= (7)



97


1

2

kf

m=

(8)




3 ENERGIA NO MHS





bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)




98


2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)


2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)




99



2

2mec

kE

A= (13)


2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)


22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)






senmg


x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14



100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=


mgma x

L= minus


ma kx= minus


2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)





32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =


3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)


GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =


2

Tt =


346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st














102



bull Velocidade






cos )(x R= (20)


t

=


0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)


0( )t t = +



0cos( )tx R + =


103




Chamaremos

bull de fase






0( ) cos )( tx t A + = (22)







104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)


para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)


0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +






105






106




(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +


0( ) sen( )v t A t= minus + (25)





2mcu

cpV

aR

=


( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)



107



cpcos coscp

aa a

a = =


20cos( )tRa = +


20cos( )a A t= +




108






(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus


20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109




m a k x = minus


0( ) cos )( tx t A + =





m a k x = minus


2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)


2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)


1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110







0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS


2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =



111



2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =







112



2 2 22

0

22


mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +


2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =


depende do tempo t





113




0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =


0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =


2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =





2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =



114



2 2

2 2 21

x v

A A+ =






0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =




BOcircNUS


0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+



116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+


0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=


2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +


maacutexV A=







117











o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118





299 792 458 msc =



o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas



Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc



119




o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons







120














121




bull Ondas mistas






122



bull Crista

bull Vale


ondajpg







tv

T

S

= =



1 1f T

T f= =



v f=


123









124





( ) cosy x x=








depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +


Notemos o seguinte



22

22T

t aa t

T

=

=


125


11

22

x aa x

T

=

=


32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +


2

T

=


32

( ) cosy x t x t a

= +

minus


2k

=





0





126


(A) O SOM







m

L =


Fv =




v gh=


127






vp

d=









128










129




1) Extremidade fixa







130









131






132


bull Eco





2V

S

t

x

t= =

2x

tV =




133



340 0117 m

2 2

V tx

= = =











134




135







136




0 cospassa EE =


20 cospassa II =







137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=







Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=


0 1T RI I I T R= + = +



138



(D) RESSONAcircNCIA


Exemplo 1



139




Exemplo 3




140






141

(E) BATIMENTO



1 2

2result

ff

f=

+





13 ACUacuteSTICA






PI

A=


24I

r

P=


142


2 2I f A=

Exemplo 1



2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=



= cosI I


Exemplo 2




143


=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3


2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144




0log

I

I

=



e vale

120

2 m10 WI minus=


010 log

I

I

=

Em decibel




145







som obv v




som fntv v



146


somv

f =


ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=


Legenda










fntfc

vf

=




emitida pela fonte


147



(E) CONE DE MACH







acircngulo de Mach



148

sen S

A

d

d =


sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH



sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =




149

Fonte


Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta



83 10 msc


cv

n=


Ec

B=

Nunca confunda




Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150












151









1 2

2result

ff

f=

+



152









153







1 2caminho

|d d |2

minus =




n





154



xD

ky

=





Mais detalhes em







1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =


nL

n =


2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS





4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =



41

4 1

LL

= =



3

L =



nL

n =



157

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------
























Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v




158







fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =



tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =







0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=
















159













senmagF q v B=



NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160



















NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161
















A L

L

v v

v


c

C

B




NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162






1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus



2 A C B C 2 2

2L L Lct t t



2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus


( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1


122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus


e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =






163


















2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte














164


0t =










Michelson e Morley
















referencial


165













x

y S















x

y S











166










esta






figura 7

x

y S



A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S






167

Figura 7




chega do ponto A



simultaneamente










x

y S

x

y S


v


velocidade v







168




x

y S

x

y S


vminus







2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus




















169






massa proacutepria




2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus







2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+





a seguir

S

c

t





170



c

t

S

v t

c t

S

v

x

y




( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +


2

2

1

tt

v

c

=

minus






Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o




171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1


v v vc c c


minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus




2

2 1 vL Lc

= minus


que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus















2

2

11

1v

c

=

minus


equaccedilotildees


172





0 L L=







seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA



dependecircncia de

0m m=








2E mc=





173




2

0E m c=


2E m c =



reaccedilatildeo















simultaneamente





174





corpo









2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=




3

0mF a=


0Q m v=



x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA






2

1

vv

v

c

+=

+











exploda










176

























177





178








maacutex

b

T =






















179













E h f=











aquecido





180




quacircntica










O FENOcircMENO















181









2i e 3i (quanto








0CmaacutexE q U=




182




para cada metal


rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472


























183
































contiacutenuo)





E h f=



184



















Seja PIA




relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =






0CmaacutexE q U=


185


escrever


Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=







eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus










materiais



trabalho em eV















186




h

Q =


Efeito Compton



Efeito Thomson








apresentados












187









regras







inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=




positivo 1 2 3n =













188









h

Q =


Q m v=

portanto

v

h

m =









=QuantumAcademy







189



















4

hx p


190



4

hE t








11

2E h f

= +


Texto complementar



191









Griffiths D


















abaixo













192










nuclear forte)






























193































e e+ minus+ rarr +


aqui


194






3

1

3

2

3






como



n p eminusrarr +














195






1950










e e




decaimento beta



e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +


aqui


196









e



Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau





Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c


Top t Antop t




197











Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd




exemplos



sd


6


















7




























acessando o link





8










Princiacutepios


Teoremas













4311-gf04jpg


9










bull POR

o Ponto objeto real







10






o Velocidade da luz




8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou




11


b) TIPOS DE MEIOS










VAAVAAV


12







13













programa)





Magenta (Magenta)


Yellow (Amarelo)



14













15


16











17 18 19 e 20


em linha reta



mesmo caminho





17





l hk

L H= =


2ak

A=




i p

o p=


18


o LUNAR

o SOLAR





19












a 47)





20


21










18 19 20 21 26 28 29 e 30



22


PLANOS







23




COMPLETO




2

2

H d HMN

dMN= =



2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL



ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25


PLANOOBJETO













26






espelho






= minus (2)



perp e a


perp





do caminhatildeo


27




perp O que



isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =



= (3)





e objetoV




= minus




=



e


= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28




10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo


0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =


0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=





2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=


= minus


tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=




2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus



PLANO


30


ESPELHOS

nota importante




10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57


Planosrdquo






31


32







espelho


eacute gaussiano


33




passando pelo foco






mesmo caminho





34






ao eixo principal




caminho que chegou





35


ESPELHO COcircNCAVO
















conforme figura 12




36







ESPELHO CONVEXO











37






















38

RESUMINDO













como tinha que ser



CAIU NO VESTIBULAR

















sateacutelite)


39


GEOMEacuteTRICA








igual]









imagem



40



Tamanho maior]









convexo




41



Espelho cocircncavo

Espelho convexo






na paacutegina 235




42






f abscissa do foco


p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real





0i o Imagem Direita






1 1 1

f p p= +


|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43







na paacutegina 250




44


45


DESCARTES








cn

v=







46




B An n



AAB

B

nn

n=


47


menor tempo










ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48


TOTAL







Vejamos como







resolvidos






49


sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r






=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p


A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p



50



menos refringente







=ˆsen B

A

nL

n




51



paralelas







seguir


cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52







revn






53


DOS ASTROS








54










FATA MORGANA


55






56






57

19 PRISMAS



600prismas-3-728jpg





ser resolvidos




58



(B) Dispersatildeo


59










ser resolvidos




revisatildeo


60








de curvatura





61


primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63




64






65









em que se encontra)





66






67





68



(bordos grossos)


foco


69





70






71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19


309


77







25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78


referencial











o 0o


o 0i


o 0i








79






80


1 1 1

f p p= +





DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =


i p

o p= minus


Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus



i p fA

o p f p= = minus =

minus


1V

f=


81



1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +





36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e



82






1 2 eq nV V V V= + + +






57 59 60 61 62 63 64 e



83








resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76



84






bastonetes


cores



diversas cores



85




o Ou seja p = 17 mm



1 1 1(em mm)

17f p= +



Fonte


STALINOjpg






cristalino



1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +










86









de chegar na retina



1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87








o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia




curto que o normal


da retina




proacuteximo




88







do hipermetrope


dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia





divergente (topo)


Progressivapng


o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89


Viacutedeo











resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome


ser resolvidos


93




4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A



94

------------------------------------------------


------------------------------------------------







tT =

= (1)




tf =

= (2)



1 1T f

f T= = (3)





resF m a= (4)


elF k x= minus (5)



95

m a k x = minus (6)










96










2m

Tk

= (7)



97


1

2

kf

m=

(8)




3 ENERGIA NO MHS





bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)




98


2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)


2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)




99



2

2mec

kE

A= (13)


2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)


22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)






senmg


x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14



100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=


mgma x

L= minus


ma kx= minus


2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)





32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =


3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)


GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =


2

Tt =


346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st














102



bull Velocidade






cos )(x R= (20)


t

=


0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)


0( )t t = +



0cos( )tx R + =


103




Chamaremos

bull de fase






0( ) cos )( tx t A + = (22)







104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)


para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)


0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +






105






106




(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +


0( ) sen( )v t A t= minus + (25)





2mcu

cpV

aR

=


( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)



107



cpcos coscp

aa a

a = =


20cos( )tRa = +


20cos( )a A t= +




108






(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus


20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109




m a k x = minus


0( ) cos )( tx t A + =





m a k x = minus


2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)


2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)


1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110







0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS


2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =



111



2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =







112



2 2 22

0

22


mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +


2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =


depende do tempo t





113




0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =


0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =


2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =





2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =



114



2 2

2 2 21

x v

A A+ =






0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =




BOcircNUS


0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+



116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+


0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=


2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +


maacutexV A=







117











o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118





299 792 458 msc =



o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas



Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc



119




o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons







120














121




bull Ondas mistas






122



bull Crista

bull Vale


ondajpg







tv

T

S

= =



1 1f T

T f= =



v f=


123









124





( ) cosy x x=








depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +


Notemos o seguinte



22

22T

t aa t

T

=

=


125


11

22

x aa x

T

=

=


32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +


2

T

=


32

( ) cosy x t x t a

= +

minus


2k

=





0





126


(A) O SOM







m

L =


Fv =




v gh=


127






vp

d=









128










129




1) Extremidade fixa







130









131






132


bull Eco





2V

S

t

x

t= =

2x

tV =




133



340 0117 m

2 2

V tx

= = =











134




135







136




0 cospassa EE =


20 cospassa II =







137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=







Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=


0 1T RI I I T R= + = +



138



(D) RESSONAcircNCIA


Exemplo 1



139




Exemplo 3




140






141

(E) BATIMENTO



1 2

2result

ff

f=

+





13 ACUacuteSTICA






PI

A=


24I

r

P=


142


2 2I f A=

Exemplo 1



2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=



= cosI I


Exemplo 2




143


=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3


2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144




0log

I

I

=



e vale

120

2 m10 WI minus=


010 log

I

I

=

Em decibel




145







som obv v




som fntv v



146


somv

f =


ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=


Legenda










fntfc

vf

=




emitida pela fonte


147



(E) CONE DE MACH







acircngulo de Mach



148

sen S

A

d

d =


sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH



sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =




149

Fonte


Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta



83 10 msc


cv

n=


Ec

B=

Nunca confunda




Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150












151









1 2

2result

ff

f=

+



152









153







1 2caminho

|d d |2

minus =




n





154



xD

ky

=





Mais detalhes em







1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =


nL

n =


2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS





4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =



41

4 1

LL

= =



3

L =



nL

n =



157

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------
























Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v




158







fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =



tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =







0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=
















159













senmagF q v B=



NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160



















NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161
















A L

L

v v

v


c

C

B




NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162






1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus



2 A C B C 2 2

2L L Lct t t



2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus


( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1


122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus


e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =






163


















2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte














164


0t =










Michelson e Morley
















referencial


165













x

y S















x

y S











166










esta






figura 7

x

y S



A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S






167

Figura 7




chega do ponto A



simultaneamente










x

y S

x

y S


v


velocidade v







168




x

y S

x

y S


vminus







2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus




















169






massa proacutepria




2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus







2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+





a seguir

S

c

t





170



c

t

S

v t

c t

S

v

x

y




( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +


2

2

1

tt

v

c

=

minus






Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o




171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1


v v vc c c


minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus




2

2 1 vL Lc

= minus


que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus















2

2

11

1v

c

=

minus


equaccedilotildees


172





0 L L=







seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA



dependecircncia de

0m m=








2E mc=





173




2

0E m c=


2E m c =



reaccedilatildeo















simultaneamente





174





corpo









2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=




3

0mF a=


0Q m v=



x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA






2

1

vv

v

c

+=

+











exploda










176

























177





178








maacutex

b

T =






















179













E h f=











aquecido





180




quacircntica










O FENOcircMENO















181









2i e 3i (quanto








0CmaacutexE q U=




182




para cada metal


rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472


























183
































contiacutenuo)





E h f=



184



















Seja PIA




relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =






0CmaacutexE q U=


185


escrever


Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=







eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus










materiais



trabalho em eV















186




h

Q =


Efeito Compton



Efeito Thomson








apresentados












187









regras







inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=




positivo 1 2 3n =













188









h

Q =


Q m v=

portanto

v

h

m =









=QuantumAcademy







189



















4

hx p


190



4

hE t








11

2E h f

= +


Texto complementar



191









Griffiths D


















abaixo













192










nuclear forte)






























193































e e+ minus+ rarr +


aqui


194






3

1

3

2

3






como



n p eminusrarr +














195






1950










e e




decaimento beta



e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +


aqui


196









e



Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau





Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c


Top t Antop t




197











Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd




exemplos



sd


7




























acessando o link





8










Princiacutepios


Teoremas













4311-gf04jpg


9










bull POR

o Ponto objeto real







10






o Velocidade da luz




8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou




11


b) TIPOS DE MEIOS










VAAVAAV


12







13













programa)





Magenta (Magenta)


Yellow (Amarelo)



14













15


16











17 18 19 e 20


em linha reta



mesmo caminho





17





l hk

L H= =


2ak

A=




i p

o p=


18


o LUNAR

o SOLAR





19












a 47)





20


21










18 19 20 21 26 28 29 e 30



22


PLANOS







23




COMPLETO




2

2

H d HMN

dMN= =



2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL



ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25


PLANOOBJETO













26






espelho






= minus (2)



perp e a


perp





do caminhatildeo


27




perp O que



isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =



= (3)





e objetoV




= minus




=



e


= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28




10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo


0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =


0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=





2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=


= minus


tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=




2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus



PLANO


30


ESPELHOS

nota importante




10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57


Planosrdquo






31


32







espelho


eacute gaussiano


33




passando pelo foco






mesmo caminho





34






ao eixo principal




caminho que chegou





35


ESPELHO COcircNCAVO
















conforme figura 12




36







ESPELHO CONVEXO











37






















38

RESUMINDO













como tinha que ser



CAIU NO VESTIBULAR

















sateacutelite)


39


GEOMEacuteTRICA








igual]









imagem



40



Tamanho maior]









convexo




41



Espelho cocircncavo

Espelho convexo






na paacutegina 235




42






f abscissa do foco


p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real





0i o Imagem Direita






1 1 1

f p p= +


|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43







na paacutegina 250




44


45


DESCARTES








cn

v=







46




B An n



AAB

B

nn

n=


47


menor tempo










ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48


TOTAL







Vejamos como







resolvidos






49


sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r






=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p


A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p



50



menos refringente







=ˆsen B

A

nL

n




51



paralelas







seguir


cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52







revn






53


DOS ASTROS








54










FATA MORGANA


55






56






57

19 PRISMAS



600prismas-3-728jpg





ser resolvidos




58



(B) Dispersatildeo


59










ser resolvidos




revisatildeo


60








de curvatura





61


primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63




64






65









em que se encontra)





66






67





68



(bordos grossos)


foco


69





70






71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19


309


77







25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78


referencial











o 0o


o 0i


o 0i








79






80


1 1 1

f p p= +





DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =


i p

o p= minus


Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus



i p fA

o p f p= = minus =

minus


1V

f=


81



1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +





36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e



82






1 2 eq nV V V V= + + +






57 59 60 61 62 63 64 e



83








resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76



84






bastonetes


cores



diversas cores



85




o Ou seja p = 17 mm



1 1 1(em mm)

17f p= +



Fonte


STALINOjpg






cristalino



1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +










86









de chegar na retina



1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87








o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia




curto que o normal


da retina




proacuteximo




88







do hipermetrope


dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia





divergente (topo)


Progressivapng


o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89


Viacutedeo











resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome


ser resolvidos


93




4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A



94

------------------------------------------------


------------------------------------------------







tT =

= (1)




tf =

= (2)



1 1T f

f T= = (3)





resF m a= (4)


elF k x= minus (5)



95

m a k x = minus (6)










96










2m

Tk

= (7)



97


1

2

kf

m=

(8)




3 ENERGIA NO MHS





bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)




98


2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)


2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)




99



2

2mec

kE

A= (13)


2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)


22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)






senmg


x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14



100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=


mgma x

L= minus


ma kx= minus


2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)





32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =


3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)


GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =


2

Tt =


346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st














102



bull Velocidade






cos )(x R= (20)


t

=


0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)


0( )t t = +



0cos( )tx R + =


103




Chamaremos

bull de fase






0( ) cos )( tx t A + = (22)







104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)


para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)


0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +






105






106




(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +


0( ) sen( )v t A t= minus + (25)





2mcu

cpV

aR

=


( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)



107



cpcos coscp

aa a

a = =


20cos( )tRa = +


20cos( )a A t= +




108






(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus


20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109




m a k x = minus


0( ) cos )( tx t A + =





m a k x = minus


2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)


2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)


1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110







0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS


2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =



111



2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =







112



2 2 22

0

22


mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +


2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =


depende do tempo t





113




0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =


0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =


2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =





2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =



114



2 2

2 2 21

x v

A A+ =






0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =




BOcircNUS


0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+



116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+


0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=


2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +


maacutexV A=







117











o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118





299 792 458 msc =



o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas



Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc



119




o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons







120














121




bull Ondas mistas






122



bull Crista

bull Vale


ondajpg







tv

T

S

= =



1 1f T

T f= =



v f=


123









124





( ) cosy x x=








depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +


Notemos o seguinte



22

22T

t aa t

T

=

=


125


11

22

x aa x

T

=

=


32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +


2

T

=


32

( ) cosy x t x t a

= +

minus


2k

=





0





126


(A) O SOM







m

L =


Fv =




v gh=


127






vp

d=









128










129




1) Extremidade fixa







130









131






132


bull Eco





2V

S

t

x

t= =

2x

tV =




133



340 0117 m

2 2

V tx

= = =











134




135







136




0 cospassa EE =


20 cospassa II =







137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=







Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=


0 1T RI I I T R= + = +



138



(D) RESSONAcircNCIA


Exemplo 1



139




Exemplo 3




140






141

(E) BATIMENTO



1 2

2result

ff

f=

+





13 ACUacuteSTICA






PI

A=


24I

r

P=


142


2 2I f A=

Exemplo 1



2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=



= cosI I


Exemplo 2




143


=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3


2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144




0log

I

I

=



e vale

120

2 m10 WI minus=


010 log

I

I

=

Em decibel




145







som obv v




som fntv v



146


somv

f =


ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=


Legenda










fntfc

vf

=




emitida pela fonte


147



(E) CONE DE MACH







acircngulo de Mach



148

sen S

A

d

d =


sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH



sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =




149

Fonte


Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta



83 10 msc


cv

n=


Ec

B=

Nunca confunda




Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150












151









1 2

2result

ff

f=

+



152









153







1 2caminho

|d d |2

minus =




n





154



xD

ky

=





Mais detalhes em







1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =


nL

n =


2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS





4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =



41

4 1

LL

= =



3

L =



nL

n =



157

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------
























Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v




158







fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =



tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =







0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=
















159













senmagF q v B=



NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160



















NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161
















A L

L

v v

v


c

C

B




NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162






1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus



2 A C B C 2 2

2L L Lct t t



2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus


( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1


122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus


e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =






163


















2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte














164


0t =










Michelson e Morley
















referencial


165













x

y S















x

y S











166










esta






figura 7

x

y S



A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S






167

Figura 7




chega do ponto A



simultaneamente










x

y S

x

y S


v


velocidade v







168




x

y S

x

y S


vminus







2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus




















169






massa proacutepria




2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus







2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+





a seguir

S

c

t





170



c

t

S

v t

c t

S

v

x

y




( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +


2

2

1

tt

v

c

=

minus






Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o




171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1


v v vc c c


minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus




2

2 1 vL Lc

= minus


que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus















2

2

11

1v

c

=

minus


equaccedilotildees


172





0 L L=







seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA



dependecircncia de

0m m=








2E mc=





173




2

0E m c=


2E m c =



reaccedilatildeo















simultaneamente





174





corpo









2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=




3

0mF a=


0Q m v=



x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA






2

1

vv

v

c

+=

+











exploda










176

























177





178








maacutex

b

T =






















179













E h f=











aquecido





180




quacircntica










O FENOcircMENO















181









2i e 3i (quanto








0CmaacutexE q U=




182




para cada metal


rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472


























183
































contiacutenuo)





E h f=



184



















Seja PIA




relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =






0CmaacutexE q U=


185


escrever


Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=







eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus










materiais



trabalho em eV















186




h

Q =


Efeito Compton



Efeito Thomson








apresentados












187









regras







inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=




positivo 1 2 3n =













188









h

Q =


Q m v=

portanto

v

h

m =









=QuantumAcademy







189



















4

hx p


190



4

hE t








11

2E h f

= +


Texto complementar



191









Griffiths D


















abaixo













192










nuclear forte)






























193































e e+ minus+ rarr +


aqui


194






3

1

3

2

3






como



n p eminusrarr +














195






1950










e e




decaimento beta



e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +


aqui


196









e



Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau





Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c


Top t Antop t




197











Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd




exemplos



sd


8










Princiacutepios


Teoremas













4311-gf04jpg


9










bull POR

o Ponto objeto real







10






o Velocidade da luz




8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou




11


b) TIPOS DE MEIOS










VAAVAAV


12







13













programa)





Magenta (Magenta)


Yellow (Amarelo)



14













15


16











17 18 19 e 20


em linha reta



mesmo caminho





17





l hk

L H= =


2ak

A=




i p

o p=


18


o LUNAR

o SOLAR





19












a 47)





20


21










18 19 20 21 26 28 29 e 30



22


PLANOS







23




COMPLETO




2

2

H d HMN

dMN= =



2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL



ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25


PLANOOBJETO













26






espelho






= minus (2)



perp e a


perp





do caminhatildeo


27




perp O que



isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =



= (3)





e objetoV




= minus




=



e


= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28




10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo


0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =


0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=





2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=


= minus


tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=




2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus



PLANO


30


ESPELHOS

nota importante




10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57


Planosrdquo






31


32







espelho


eacute gaussiano


33




passando pelo foco






mesmo caminho





34






ao eixo principal




caminho que chegou





35


ESPELHO COcircNCAVO
















conforme figura 12




36







ESPELHO CONVEXO











37






















38

RESUMINDO













como tinha que ser



CAIU NO VESTIBULAR

















sateacutelite)


39


GEOMEacuteTRICA








igual]









imagem



40



Tamanho maior]









convexo




41



Espelho cocircncavo

Espelho convexo






na paacutegina 235




42






f abscissa do foco


p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real





0i o Imagem Direita






1 1 1

f p p= +


|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43







na paacutegina 250




44


45


DESCARTES








cn

v=







46




B An n



AAB

B

nn

n=


47


menor tempo










ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48


TOTAL







Vejamos como







resolvidos






49


sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r






=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p


A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p



50



menos refringente







=ˆsen B

A

nL

n




51



paralelas







seguir


cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52







revn






53


DOS ASTROS








54










FATA MORGANA


55






56






57

19 PRISMAS



600prismas-3-728jpg





ser resolvidos




58



(B) Dispersatildeo


59










ser resolvidos




revisatildeo


60








de curvatura





61


primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63




64






65









em que se encontra)





66






67





68



(bordos grossos)


foco


69





70






71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19


309


77







25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78


referencial











o 0o


o 0i


o 0i








79






80


1 1 1

f p p= +





DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =


i p

o p= minus


Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus



i p fA

o p f p= = minus =

minus


1V

f=


81



1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +





36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e



82






1 2 eq nV V V V= + + +






57 59 60 61 62 63 64 e



83








resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76



84






bastonetes


cores



diversas cores



85




o Ou seja p = 17 mm



1 1 1(em mm)

17f p= +



Fonte


STALINOjpg






cristalino



1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +










86









de chegar na retina



1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87








o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia




curto que o normal


da retina




proacuteximo




88







do hipermetrope


dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia





divergente (topo)


Progressivapng


o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89


Viacutedeo











resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome


ser resolvidos


93




4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A



94

------------------------------------------------


------------------------------------------------







tT =

= (1)




tf =

= (2)



1 1T f

f T= = (3)





resF m a= (4)


elF k x= minus (5)



95

m a k x = minus (6)










96










2m

Tk

= (7)



97


1

2

kf

m=

(8)




3 ENERGIA NO MHS





bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)




98


2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)


2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)




99



2

2mec

kE

A= (13)


2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)


22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)






senmg


x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14



100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=


mgma x

L= minus


ma kx= minus


2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)





32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =


3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)


GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =


2

Tt =


346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st














102



bull Velocidade






cos )(x R= (20)


t

=


0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)


0( )t t = +



0cos( )tx R + =


103




Chamaremos

bull de fase






0( ) cos )( tx t A + = (22)







104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)


para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)


0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +






105






106




(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +


0( ) sen( )v t A t= minus + (25)





2mcu

cpV

aR

=


( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)



107



cpcos coscp

aa a

a = =


20cos( )tRa = +


20cos( )a A t= +




108






(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus


20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109




m a k x = minus


0( ) cos )( tx t A + =





m a k x = minus


2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)


2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)


1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110







0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS


2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =



111



2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =







112



2 2 22

0

22


mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +


2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =


depende do tempo t





113




0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =


0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =


2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =





2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =



114



2 2

2 2 21

x v

A A+ =






0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =




BOcircNUS


0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+



116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+


0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=


2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +


maacutexV A=







117











o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118





299 792 458 msc =



o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas



Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc



119




o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons







120














121




bull Ondas mistas






122



bull Crista

bull Vale


ondajpg







tv

T

S

= =



1 1f T

T f= =



v f=


123









124





( ) cosy x x=








depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +


Notemos o seguinte



22

22T

t aa t

T

=

=


125


11

22

x aa x

T

=

=


32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +


2

T

=


32

( ) cosy x t x t a

= +

minus


2k

=





0





126


(A) O SOM







m

L =


Fv =




v gh=


127






vp

d=









128










129




1) Extremidade fixa







130









131






132


bull Eco





2V

S

t

x

t= =

2x

tV =




133



340 0117 m

2 2

V tx

= = =











134




135







136




0 cospassa EE =


20 cospassa II =







137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=







Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=


0 1T RI I I T R= + = +



138



(D) RESSONAcircNCIA


Exemplo 1



139




Exemplo 3




140






141

(E) BATIMENTO



1 2

2result

ff

f=

+





13 ACUacuteSTICA






PI

A=


24I

r

P=


142


2 2I f A=

Exemplo 1



2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=



= cosI I


Exemplo 2




143


=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3


2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144




0log

I

I

=



e vale

120

2 m10 WI minus=


010 log

I

I

=

Em decibel




145







som obv v




som fntv v



146


somv

f =


ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=


Legenda










fntfc

vf

=




emitida pela fonte


147



(E) CONE DE MACH







acircngulo de Mach



148

sen S

A

d

d =


sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH



sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =




149

Fonte


Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta



83 10 msc


cv

n=


Ec

B=

Nunca confunda




Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150












151









1 2

2result

ff

f=

+



152









153







1 2caminho

|d d |2

minus =




n





154



xD

ky

=





Mais detalhes em







1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =


nL

n =


2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS





4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =



41

4 1

LL

= =



3

L =



nL

n =



157

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------
























Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v




158







fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =



tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =







0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=
















159













senmagF q v B=



NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160



















NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161
















A L

L

v v

v


c

C

B




NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162






1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus



2 A C B C 2 2

2L L Lct t t



2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus


( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1


122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus


e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =






163


















2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte














164


0t =










Michelson e Morley
















referencial


165













x

y S















x

y S











166










esta






figura 7

x

y S



A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S






167

Figura 7




chega do ponto A



simultaneamente










x

y S

x

y S


v


velocidade v







168




x

y S

x

y S


vminus







2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus




















169






massa proacutepria




2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus







2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+





a seguir

S

c

t





170



c

t

S

v t

c t

S

v

x

y




( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +


2

2

1

tt

v

c

=

minus






Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o




171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1


v v vc c c


minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus




2

2 1 vL Lc

= minus


que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus















2

2

11

1v

c

=

minus


equaccedilotildees


172





0 L L=







seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA



dependecircncia de

0m m=








2E mc=





173




2

0E m c=


2E m c =



reaccedilatildeo















simultaneamente





174





corpo









2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=




3

0mF a=


0Q m v=



x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA






2

1

vv

v

c

+=

+











exploda










176

























177





178








maacutex

b

T =






















179













E h f=











aquecido





180




quacircntica










O FENOcircMENO















181









2i e 3i (quanto








0CmaacutexE q U=




182




para cada metal


rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472


























183
































contiacutenuo)





E h f=



184



















Seja PIA




relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =






0CmaacutexE q U=


185


escrever


Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=







eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus










materiais



trabalho em eV















186




h

Q =


Efeito Compton



Efeito Thomson








apresentados












187









regras







inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=




positivo 1 2 3n =













188









h

Q =


Q m v=

portanto

v

h

m =









=QuantumAcademy







189



















4

hx p


190



4

hE t








11

2E h f

= +


Texto complementar



191









Griffiths D


















abaixo













192










nuclear forte)






























193































e e+ minus+ rarr +


aqui


194






3

1

3

2

3






como



n p eminusrarr +














195






1950










e e




decaimento beta



e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +


aqui


196









e



Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau





Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c


Top t Antop t




197











Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd




exemplos



sd


9










bull POR

o Ponto objeto real







10






o Velocidade da luz




8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou




11


b) TIPOS DE MEIOS










VAAVAAV


12







13













programa)





Magenta (Magenta)


Yellow (Amarelo)



14













15


16











17 18 19 e 20


em linha reta



mesmo caminho





17





l hk

L H= =


2ak

A=




i p

o p=


18


o LUNAR

o SOLAR





19












a 47)





20


21










18 19 20 21 26 28 29 e 30



22


PLANOS







23




COMPLETO




2

2

H d HMN

dMN= =



2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL



ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25


PLANOOBJETO













26






espelho






= minus (2)



perp e a


perp





do caminhatildeo


27




perp O que



isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =



= (3)





e objetoV




= minus




=



e


= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28




10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo


0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =


0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=





2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=


= minus


tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=




2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus



PLANO


30


ESPELHOS

nota importante




10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57


Planosrdquo






31


32







espelho


eacute gaussiano


33




passando pelo foco






mesmo caminho





34






ao eixo principal




caminho que chegou





35


ESPELHO COcircNCAVO
















conforme figura 12




36







ESPELHO CONVEXO











37






















38

RESUMINDO













como tinha que ser



CAIU NO VESTIBULAR

















sateacutelite)


39


GEOMEacuteTRICA








igual]









imagem



40



Tamanho maior]









convexo




41



Espelho cocircncavo

Espelho convexo






na paacutegina 235




42






f abscissa do foco


p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real





0i o Imagem Direita






1 1 1

f p p= +


|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43







na paacutegina 250




44


45


DESCARTES








cn

v=







46




B An n



AAB

B

nn

n=


47


menor tempo










ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48


TOTAL







Vejamos como







resolvidos






49


sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r






=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p


A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p



50



menos refringente







=ˆsen B

A

nL

n




51



paralelas







seguir


cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52







revn






53


DOS ASTROS








54










FATA MORGANA


55






56






57

19 PRISMAS



600prismas-3-728jpg





ser resolvidos




58



(B) Dispersatildeo


59










ser resolvidos




revisatildeo


60








de curvatura





61


primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63




64






65









em que se encontra)





66






67





68



(bordos grossos)


foco


69





70






71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19


309


77







25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78


referencial











o 0o


o 0i


o 0i








79






80


1 1 1

f p p= +





DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =


i p

o p= minus


Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus



i p fA

o p f p= = minus =

minus


1V

f=


81



1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +





36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e



82






1 2 eq nV V V V= + + +






57 59 60 61 62 63 64 e



83








resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76



84






bastonetes


cores



diversas cores



85




o Ou seja p = 17 mm



1 1 1(em mm)

17f p= +



Fonte


STALINOjpg






cristalino



1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +










86









de chegar na retina



1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87








o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia




curto que o normal


da retina




proacuteximo




88







do hipermetrope


dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia





divergente (topo)


Progressivapng


o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89


Viacutedeo











resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome


ser resolvidos


93




4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A



94

------------------------------------------------


------------------------------------------------







tT =

= (1)




tf =

= (2)



1 1T f

f T= = (3)





resF m a= (4)


elF k x= minus (5)



95

m a k x = minus (6)










96










2m

Tk

= (7)



97


1

2

kf

m=

(8)




3 ENERGIA NO MHS





bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)




98


2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)


2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)




99



2

2mec

kE

A= (13)


2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)


22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)






senmg


x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14



100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=


mgma x

L= minus


ma kx= minus


2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)





32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =


3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)


GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =


2

Tt =


346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st














102



bull Velocidade






cos )(x R= (20)


t

=


0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)


0( )t t = +



0cos( )tx R + =


103




Chamaremos

bull de fase






0( ) cos )( tx t A + = (22)







104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)


para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)


0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +






105






106




(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +


0( ) sen( )v t A t= minus + (25)





2mcu

cpV

aR

=


( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)



107



cpcos coscp

aa a

a = =


20cos( )tRa = +


20cos( )a A t= +




108






(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus


20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109




m a k x = minus


0( ) cos )( tx t A + =





m a k x = minus


2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)


2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)


1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110







0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS


2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =



111



2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =







112



2 2 22

0

22


mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +


2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =


depende do tempo t





113




0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =


0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =


2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =





2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =



114



2 2

2 2 21

x v

A A+ =






0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =




BOcircNUS


0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+



116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+


0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=


2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +


maacutexV A=







117











o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118





299 792 458 msc =



o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas



Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc



119




o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons







120














121




bull Ondas mistas






122



bull Crista

bull Vale


ondajpg







tv

T

S

= =



1 1f T

T f= =



v f=


123









124





( ) cosy x x=








depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +


Notemos o seguinte



22

22T

t aa t

T

=

=


125


11

22

x aa x

T

=

=


32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +


2

T

=


32

( ) cosy x t x t a

= +

minus


2k

=





0





126


(A) O SOM







m

L =


Fv =




v gh=


127






vp

d=









128










129




1) Extremidade fixa







130









131






132


bull Eco





2V

S

t

x

t= =

2x

tV =




133



340 0117 m

2 2

V tx

= = =











134




135







136




0 cospassa EE =


20 cospassa II =







137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=







Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=


0 1T RI I I T R= + = +



138



(D) RESSONAcircNCIA


Exemplo 1



139




Exemplo 3




140






141

(E) BATIMENTO



1 2

2result

ff

f=

+





13 ACUacuteSTICA






PI

A=


24I

r

P=


142


2 2I f A=

Exemplo 1



2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=



= cosI I


Exemplo 2




143


=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3


2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144




0log

I

I

=



e vale

120

2 m10 WI minus=


010 log

I

I

=

Em decibel




145







som obv v




som fntv v



146


somv

f =


ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=


Legenda










fntfc

vf

=




emitida pela fonte


147



(E) CONE DE MACH







acircngulo de Mach



148

sen S

A

d

d =


sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH



sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =




149

Fonte


Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta



83 10 msc


cv

n=


Ec

B=

Nunca confunda




Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150












151









1 2

2result

ff

f=

+



152









153







1 2caminho

|d d |2

minus =




n





154



xD

ky

=





Mais detalhes em







1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =


nL

n =


2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS





4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =



41

4 1

LL

= =



3

L =



nL

n =



157

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------
























Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v




158







fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =



tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =







0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=
















159













senmagF q v B=



NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160



















NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161
















A L

L

v v

v


c

C

B




NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162






1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus



2 A C B C 2 2

2L L Lct t t



2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus


( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1


122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus


e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =






163


















2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte














164


0t =










Michelson e Morley
















referencial


165













x

y S















x

y S











166










esta






figura 7

x

y S



A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S






167

Figura 7




chega do ponto A



simultaneamente










x

y S

x

y S


v


velocidade v







168




x

y S

x

y S


vminus







2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus




















169






massa proacutepria




2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus







2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+





a seguir

S

c

t





170



c

t

S

v t

c t

S

v

x

y




( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +


2

2

1

tt

v

c

=

minus






Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o




171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1


v v vc c c


minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus




2

2 1 vL Lc

= minus


que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus















2

2

11

1v

c

=

minus


equaccedilotildees


172





0 L L=







seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA



dependecircncia de

0m m=








2E mc=





173




2

0E m c=


2E m c =



reaccedilatildeo















simultaneamente





174





corpo









2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=




3

0mF a=


0Q m v=



x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA






2

1

vv

v

c

+=

+











exploda










176

























177





178








maacutex

b

T =






















179













E h f=











aquecido





180




quacircntica










O FENOcircMENO















181









2i e 3i (quanto








0CmaacutexE q U=




182




para cada metal


rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472


























183
































contiacutenuo)





E h f=



184



















Seja PIA




relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =






0CmaacutexE q U=


185


escrever


Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=







eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus










materiais



trabalho em eV















186




h

Q =


Efeito Compton



Efeito Thomson








apresentados












187









regras







inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=




positivo 1 2 3n =













188









h

Q =


Q m v=

portanto

v

h

m =









=QuantumAcademy







189



















4

hx p


190



4

hE t








11

2E h f

= +


Texto complementar



191









Griffiths D


















abaixo













192










nuclear forte)






























193































e e+ minus+ rarr +


aqui


194






3

1

3

2

3






como



n p eminusrarr +














195






1950










e e




decaimento beta



e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +


aqui


196









e



Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau





Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c


Top t Antop t




197











Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd




exemplos



sd


10






o Velocidade da luz




8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1

s c= =

Ou




11


b) TIPOS DE MEIOS










VAAVAAV


12







13













programa)





Magenta (Magenta)


Yellow (Amarelo)



14













15


16











17 18 19 e 20


em linha reta



mesmo caminho





17





l hk

L H= =


2ak

A=




i p

o p=


18


o LUNAR

o SOLAR





19












a 47)





20


21










18 19 20 21 26 28 29 e 30



22


PLANOS







23




COMPLETO




2

2

H d HMN

dMN= =



2

2

h d hMC

dMC= =


24

8 CAMPO VISUAL



ao 7 9 11 ao 15 22 24 25

34 ao 38 40 ao 42 49 e 56







25


PLANOOBJETO













26






espelho






= minus (2)



perp e a


perp





do caminhatildeo


27




perp O que



isd d d d+ + = +

2 2 isd d+ =

2 2( )i ed ds s+ + =

2i es s =



= (3)





e objetoV




= minus




=



e


= minus

2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+= (5)


28




10 ms Determine

a)

objetoV e objetoV

perp

b) imagemV

c) imagemV

perp

d) O acircngulo


0 senobjetoV v=

130

2objetoV =

15 msobjetoV =


0 cosobjetoV vperp

=

330

2objetoV

perp=

15 3 msobjetoVperp

=





2

imagem objeto

espelho

V VV

perp perp

perp

+=

15

2

310

imagemVperp

+=


= minus


tany imagem

x imagem

v

v =


29

| |tan

| |

imagem

imagem

V

Vperp

=

15tan

5(3 3 4) =

minus

3

3 3a ctan

4r

minus

=




2 2 2

imagem imagemiv V V

perp= +

( )2

2 215 5(4 3 3)iv = + minus

2 2225 25(4 3 3)i

v = + minus

2 225 25(16 12 3 27)i

v = + minus +

2 225 400 300 3 675i

v = + minus +

2 1300 300 3i

v = minus

10 13 3 3 msi

v = minus



PLANO


30


ESPELHOS

nota importante




10 16 17 23 27 31 32 33

39 43 ao 48 50 ao 55 e 57


Planosrdquo






31


32







espelho


eacute gaussiano


33




passando pelo foco






mesmo caminho





34






ao eixo principal




caminho que chegou





35


ESPELHO COcircNCAVO
















conforme figura 12




36







ESPELHO CONVEXO











37






















38

RESUMINDO













como tinha que ser



CAIU NO VESTIBULAR

















sateacutelite)


39


GEOMEacuteTRICA








igual]









imagem



40



Tamanho maior]









convexo




41



Espelho cocircncavo

Espelho convexo






na paacutegina 235




42






f abscissa do foco


p gt 0 Objeto Real

p gt 0 Imagem Real





0i o Imagem Direita






1 1 1

f p p= +


|| | | |

| | | |

| | |

| o | | |

io i

p

p

p p ==

i p

o p= minus

= = minus =minus

i p fA

o p f p


43







na paacutegina 250




44


45


DESCARTES








cn

v=







46




B An n



AAB

B

nn

n=


47


menor tempo










ˆ ˆsen senA B

i n rn =


48


TOTAL







Vejamos como







resolvidos






49


sen

sen

ˆ ˆ ˆtan

ˆ ˆ ˆtan

i i i

r r r






=

=

ˆtan

ˆtan

xi

p

xr

p


A B

x xnn

p p

A

B

n p

n p



50



menos refringente







=ˆsen B

A

nL

n




51



paralelas







seguir


cos

sen

ˆ

ˆ )(

er

xd

i rx

=

minus

=

cos

d x sen

ˆ

ˆ )(

ex

r

i r

=

minus

=

( )ˆ ˆsen

cos( )

i rd e

r

minus=


52







revn






53


DOS ASTROS








54










FATA MORGANA


55






56






57

19 PRISMAS



600prismas-3-728jpg





ser resolvidos




58



(B) Dispersatildeo


59










ser resolvidos




revisatildeo


60








de curvatura





61


primeiro

LENTE BICONVEXA


62

LENTE BICOcircNCAVA

LENTE PLANO-CONVEXA


63




64






65









em que se encontra)





66






67





68



(bordos grossos)


foco


69





70






71


72


73


74


75


76


9 10 12 13 15 17 18 19


309


77







25 28 30 31 32 33 e 34 da

paacutegina 315


78


referencial











o 0o


o 0i


o 0i








79






80


1 1 1

f p p= +





DEV | | | | | |

| |

o i i p

p p o p= =


i p

o p= minus


Ao

=

Assim i p

Ao p

= = minus



i p fA

o p f p= = minus =

minus


1V

f=


81



1 2

1 1 11lente

meio

nV

f n R R

= = minus +





36 37 39 40 41 43 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 e



82






1 2 eq nV V V V= + + +






57 59 60 61 62 63 64 e



83








resolvidos


68 69 70 71 72 74 75 76



84






bastonetes


cores



diversas cores



85




o Ou seja p = 17 mm



1 1 1(em mm)

17f p= +



Fonte


STALINOjpg






cristalino



1 2

1 1 11

1 1 1

17

lente

meio

n

f n R R

f p

= minus + rarr

= +










86









de chegar na retina



1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e



87








o Por Gauss

1 1 (grau da

1 1 1lente no SI)V

f Df D = =

+

minus=

minus

bull Hipermetropia




curto que o normal


da retina




proacuteximo




88







do hipermetrope


dioptrias seraacute

1 1 1

025

1 4 1(di)

dV

f d f d

minus == +

minus=

bull Presbiopia





divergente (topo)


Progressivapng


o Astigmatismo

o Estrabismo

o Daltonismo


89


Viacutedeo











resolvidos


14 15 17 18 19 20 e 21 da

paacutegina 349


90


91


92


apostila 2 de nome


ser resolvidos


93




4 5 6 8 10 11 12 13 16 17

18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A



94

------------------------------------------------


------------------------------------------------







tT =

= (1)




tf =

= (2)



1 1T f

f T= = (3)





resF m a= (4)


elF k x= minus (5)



95

m a k x = minus (6)










96










2m

Tk

= (7)



97


1

2

kf

m=

(8)




3 ENERGIA NO MHS





bull Lembremos que

2

2cin

m vE

= (10)




98


2 2

x F x kxAacuterea

= =

2

2pot

xE

k = = (11)


2 2

2 2mecE

k x m v = + (12)




99



2

2mec

kE

A= (13)


2

2m

mecaacutexm v

E

= (14)


22

2 2maacutexm vk A

=

maacutexk

v Am

= (15)






senmg


x L

Para pequenos

sen


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14



100

Com isso

senx

ma mgmg maL

=


mgma x

L= minus


ma kx= minus


2 L

2m m

k mgT = =

2L

Tg

= (16)

Ou se preferir

1

2

g gf

L Le =

= (17)





32 2 2

3

33

4

4

3

3

4Mx

GM m G Gmg m m

x xx

Rd

= = =

3 3

GMmm

GMmg x x

Rm

Rg= =


3

GMmma x

R= minus

ma kx= minus

Vemos que 3

GMmk

R= com isso


101

32

RT

GM= (18)


GMmmg

R

GMg

R == logo

2

12 2

RT R T

gGM R= = =


2

Tt =


346400 10

64 1010

Rt

g

= = = 2513 st

41min 53 st














102



bull Velocidade






cos )(x R= (20)


t

=


0

0t t

minus =

minus

0( )t t = + (21)


0( )t t = +



0cos( )tx R + =


103




Chamaremos

bull de fase






0( ) cos )( tx t A + = (22)







104

mcumcu

sen nse vV

Vv

= = (23)


para uma volta

mcu mcu2 2

VS R

t T TV R

⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =

=

mcuV R= (24)


0sen( )v R t= +

0sen( )v A t= +






105






106




(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo + minus

Terceiro minus +

Quarto minus +


0( ) sen( )v t A t= minus + (25)





2mcu

cpV

aR

=


( )2

cp

2 2Ra

R

R

R

= =

2mcu

cpV

aR

= (26)



107



cpcos coscp

aa a

a = =


20cos( )tRa = +


20cos( )a A t= +




108






(encontrada)

Primeiro + minus

Segundo minus +

Terceiro minus +

Quarto + minus


20( ) cos( )a t A t= minus + (26)


109




m a k x = minus


0( ) cos )( tx t A + =





m a k x = minus


2m kminus = minus

2 k

m =

k

m = (27)


2 2T

T

= =

2Tm

k= (28)


1f

T=

1

2

k

m =

(29)


110







0

0

20

( ) co )

( ) sen( )

s(

2

1

2

( ) cos( )

t

v t A t

a t A

x t A

m a k x m

k k

m

t

k

m

T

+

= minus +

= minus +

=

= minus =

=

=

(E) ENERGIA NO MHS


2

pot2

k xE

=

( )02

potcos(

2

)tk AE

+ =

Lembremos que

2kk

mm

= =

Assim

2

pot 02

2cos (

2)t

mAE

+ =



111



2

cin2

m vE

=

( )02

cinsen

2

( )mE

A tminus + =

2

cin

22

0sen ( )2

tmA

E

+ =







112



2 2 22

0

22


mA mAt tE

+ ++ =

( )2

2Total

22

0 0c ) sens )o (2

(t tmA

E

= ++ +


2 2cos 1sen + =

Entatildeo

2

Total

2

2

mAE =


depende do tempo t





113




0

0

)

( ) sen(

) os(

)

( c t

v

x t A

t A t

+

= minus +

=

0

0

)

sen(

c

)

os(x

tAv

tA

+ =

+ =


0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =

Temos

2 2

2 2 21

x v

A A+ =


2 2

2 2

( ) ( )1c cx x y y

a b

minus minus+ =





2 2( 2) ( 2)1

4 1

x yminus minus+ =



114



2 2

2 2 21

x v

A A+ =






0

20

( ) sen( )

(t) cos( )

v t A t

a A t

= minus +

= minus +


115

0

0 2

sen( )

cos( )

vt

A

at

A

+ = minus

+ = minus

( )

( ) ( )

22

0 2

22

0 22

2 2

2 22

sen ( )( )

cos ( )

1

vt

A

at

A

v a

A A

+ =

+

+ =

+ =




BOcircNUS


0

0

20

)

( ) sen( )

( ) cos( )

( ) cos( t

v t A t

a t A t

x t A +

= minus +

= minus

=

+



116

0

0

0 2

)

sen( )

cos

cos(

( )

t

vt

A

x

A

at

A

+

+ = minus

= minus

=

+


0 2

22

2

0 2

)

sen

c

(

s

)(

(

)

oa

tA

vt

x

A

A

+

= minus

+ =

0 2

22

2

0 2

)( )

s

c

en (

os (

)( )

axt

A

vt

A

+

+ =

minus

=


2

2 21

( ) ( )

v ax

A Aminus =

2

21

( )

v ax

A

minus=

2 2( )v A ax= +


maacutexV A=







117











o Exemplos

Ondas do mar

Ondas sonoras

Ondas em uma corda

Ondas siacutesmicas

Ondas em uma mola

Etc


118





299 792 458 msc =



o Exemplos

Luz

Raio X

Raio gama ( )

Micro-ondas



Radar

Infravermelho

Ultravioleta

Etc



119




o Exemplos

Eleacutetrons

Proacutetons

Necircutrons







120














121




bull Ondas mistas






122



bull Crista

bull Vale


ondajpg







tv

T

S

= =



1 1f T

T f= =



v f=


123









124





( ) cosy x x=








depende de

1 2

depende d

3

e

( ) cos( a )

x t

y x t a a= minus +


Notemos o seguinte



22

22T

t aa t

T

=

=


125


11

22

x aa x

T

=

=


32 2

( ) cosy x t x t aT

= minus +


2

T

=


32

( ) cosy x t x t a

= +

minus


2k

=





0





126


(A) O SOM







m

L =


Fv =




v gh=


127






vp

d=









128










129




1) Extremidade fixa







130









131






132


bull Eco





2V

S

t

x

t= =

2x

tV =




133



340 0117 m

2 2

V tx

= = =











134




135







136




0 cospassa EE =


20 cospassa II =







137

sen senA Bn i n r =

sen cosA Bn i n i =

tg B

A

ni

n=







Transmitacircncia

0

TITI

=

E

Refletacircncia

0

RIRI

=


0 1T RI I I T R= + = +



138



(D) RESSONAcircNCIA


Exemplo 1



139




Exemplo 3




140






141

(E) BATIMENTO



1 2

2result

ff

f=

+





13 ACUacuteSTICA






PI

A=


24I

r

P=


142


2 2I f A=

Exemplo 1



2

9 2

24

4

13674 (150 10 )

386 10 W

PI

r

P

P

=

=



= cosI I


Exemplo 2




143


=

=

=

cos

2 500 2

2 500 W

I I

I

I

Exemplo 3


2 24 4 (2 )

1004

400 W

A B

A B

B

B

I I

P P

x x

P

P

=

=

=

=


144




0log

I

I

=



e vale

120

2 m10 WI minus=


010 log

I

I

=

Em decibel




145







som obv v




som fntv v



146


somv

f =


ob fnt

som fntsom ob

ob fnt

v vv v

f f=

=

ob

som ob som fnt

fntff

v v v v=


Legenda










fntfc

vf

=




emitida pela fonte


147



(E) CONE DE MACH







acircngulo de Mach



148

sen S

A

d

d =


sen senA

A

tS

S

dd d

d tt

= =

senS

Av

v =

bull Unidade MACH



sen senS S

A Sv v

v n v= =

1 1sen

senn

n= =




149

Fonte


Vermelho

Alaranjado

Amarelo

Verde

Azul

Anil

Violeta



83 10 msc


cv

n=


Ec

B=

Nunca confunda




Frequ

ecircn

cia

Co

mp

rimen

to d

e on

da


150












151









1 2

2result

ff

f=

+



152









153







1 2caminho

|d d |2

minus =




n





154



xD

ky

=





Mais detalhes em







1

L =


155


2

LL = =


3

L =


24

LL = =


nL

n =


2n

n n

Lv

FFv

fn

f

=

=

= =

2n

n

FLf =

2nf

n F

L=

TUBOS SONOROS





4 42

4 2 2 1

L LL

= = =


156


44

4 2 2

LL

= =


2 3

L =


4

L =


nL

n =



41

4 1

LL

= =



3

L =



nL

n =



157

--------------------------------------------------


--------------------------------------------------
























Galileu

z

x

y

z

x

y

S S

u v




158







fazemos

x x v t

y y

z z

t t

= minus

=

= =



tempo

d 0 0

d

0 0

x x v tu u v

t t t

y y

t t

z z

t t

= minus = minus

= =

= =







0

u u va a ma ma

t t t

= minus = minus =

F F=
















159













senmagF q v B=



NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL


160



















NOS

NORTE

SUL

NORTE

SUL

NO

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


161
















A L

L

v v

v


c

C

B




NOR

SNORTE

SUL

NORTE

SUL


162






1 A B B A2 2 2 2

L Lt t t

c v c vrarr rarr

= + = + minus minus

122

1 2

21

L vt

c c

minus

= minus



2 A C B C 2 2

2L L Lct t t



2 2

2

2 1

1

Lt

vc

c

=

minus


( )1 1n

x nx+ + se x ltlt 1


122 2 2

2 2 2

1 11 1 1

2 2

v v v

c c c

minus


e

12 2

2 2 2

2

11 1

1

v v

v c c

c

minus

= minus +

minus

Portanto

2 2

2 1 2 2

2 2 11 1

2

L v L vt t t

c c c c

= minus + minus +

2

3

Lvt

c =






163


















2

3

Lvt

c =

E1

E2

ES

O

Fonte














164


0t =










Michelson e Morley
















referencial


165













x

y S















x

y S











166










esta






figura 7

x

y S



A O B A O B

(a)

v

A O B A O B (b)

v

A O B (c)

S S

S S

A O B v

S S

A O B (d) A O B

v S

S






167

Figura 7




chega do ponto A



simultaneamente










x

y S

x

y S


v


velocidade v







168




x

y S

x

y S


vminus







2

2

1

x v tx

v

c

minus=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus




















169






massa proacutepria




2

2

1

x v tx

v

c

+=

minus

y y= z z= 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

+=

minus







2

2

1

x v tx u t

v

c

minus= =

minus

e 2

2

2

( )

1

t v c xt

v

c

minus=

minus

Obtemos 2

1

u vu

u v c

+=

+





a seguir

S

c

t





170



c

t

S

v t

c t

S

v

x

y




( ) ( ) ( )2 2 2

c t c t v t = +


2

2

1

tt

v

c

=

minus






Sabendo que 2

ff

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

e que 2

ii

2

2

( )

1

t v c xt

vc

+=

minus

sendo ft eacute o




171

2 2 2 2

f i f if i

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1


v v vc c c


minus minus minus

f i

2

2

1

t tt

vc

minus =

minus2

2

1

tt

vc

=

minus




2

2 1 vL Lc

= minus


que eacute dada por

0

2

21

mm

v

c

=

minus















2

2

11

1v

c

=

minus


equaccedilotildees


172





0 L L=







seraacute maior

0t t =

AUMENTO DA MASSA



dependecircncia de

0m m=








2E mc=





173




2

0E m c=


2E m c =



reaccedilatildeo















simultaneamente





174





corpo









2

2

EmE mc

c ==

2

1 eV[ ] m

c=




3

0mF a=


0Q m v=



x

x v t= +

( )x x v t= minus

x

x

y y S S

x

x

v t

v


175

VELOCIDADE RELATIVA






2

1

vv

v

c

+=

+











exploda










176

























177





178








maacutex

b

T =






















179













E h f=











aquecido





180




quacircntica










O FENOcircMENO















181









2i e 3i (quanto








0CmaacutexE q U=




182




para cada metal


rubiacutedio 211

ceacutesio 215

potaacutessio 220

soacutedio 228

alumiacutenio 406

cobre 472


























183
































contiacutenuo)





E h f=



184



















Seja PIA




relaccedilatildeo

foacuteton

I In

E h f= =






0CmaacutexE q U=


185


escrever


Cmaacutex

Cmaacutex

tica

h f

E f

E

h

E

E

= +

=

+

minus

=







eixo

r linea

y eixo x

r

Cmaacutex

hE f= minus










materiais



trabalho em eV















186




h

Q =


Efeito Compton



Efeito Thomson








apresentados












187









regras







inteiro de 2

h=

Isto eacute 2

hmvr n=




positivo 1 2 3n =













188









h

Q =


Q m v=

portanto

v

h

m =









=QuantumAcademy







189



















4

hx p


190



4

hE t








11

2E h f

= +


Texto complementar



191









Griffiths D


















abaixo













192










nuclear forte)






























193































e e+ minus+ rarr +


aqui


194






3

1

3

2

3






como



n p eminusrarr +














195






1950










e e




decaimento beta



e

e

e

p e

e

e

n minus

minus minus

minus minus

+ +

+ +

rarr + +

rarr

rarr

+

+

+ +

+

rarr

rarr +


aqui


196









e



Antineutrino

do muacuteon

Tau Antitau

Neutrino do tau

Antieutrino

do tau





Quarks Antiquarks


Up u Antiup u

Down d Antidown d

Charm c Anticharm c


Top t Antop t




197











Proacuteton uud

Antiproacuteton uud

Necircutron udd




exemplos



sd

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FÍSICA 3 ANO DO ENSINO MÉDIO FRENTE III Turmas Platão e