Introdução aos modelos lineares mistoscnaber/aula_Intro_MLM_MLG_1S_2016.pdf · Exemplo 15: Concentra˘c~ao de bilirrubina em recem-nascidos saud aveis Os dados correspondem a um

Introducao aos modelos lineares mistos

Prof. Caio Azevedo

Prof. Caio Azevedo


Introducao

Os dados longitudinais podem ser classificados como

Em relacao as condicoes de avaliacao: regulares - quando o intervalo

entre duas medidas consecutivas e constante; irregulares - caso

contrario (determinacao da escolha da estrutura de covariancia).

Quanto ao planejamento: balanceados - quando as medidas sao

obtidas nos mesmos instantes de avaliacao em todas as unidades

amostrais; nao balanceados - caso contrario (estimacao dos

parametros).

Em relacao as observacoes: completos - quando nao ha observacoes

perdidas ou dados omissos (por alguma razao); incompletos - caso

contrario (estimacao dos parametros).

Prof. Caio Azevedo


Exemplo 15: Concentracao de bilirrubina em

recem-nascidos saudaveis

Os dados correspondem a um estudo realizado na Escola Paulista de

Medicina (UNIFESP), em que foi medida a concentracao de

bilirrubina (µ mol/L) em 89 recem-nascidos a termo (gestacao entre

37 e 42 semanas) saudaveis em aleitamento materno durante 1, 2,

3, 4, 5, 6, 8, 10 e 12 dias apos o nascimento.

O objetivo era explicar a variacao da concentracao de bilirrubina em

funcao da idade.

Prof. Caio Azevedo


Exemplo 15: cont.

A bilirrubina e uma substancia amarelada encontrada na bile, que

permanece no plasma sanguıneo ate ser eliminada na urina. Quanto

mais bilirrubina eliminada na urina, mais amarela ela se torna.

Excesso de bilirrubina (hiperbilirrubinemia) pode indicar problemas

no fıgado, baco, nos rins ou na vesıcula biliar.

Estudo irregular, balanceado e completo (89 observacoes para cada

condicao de avaliacao e 9 por indivıduo).

Prof. Caio Azevedo


Banco de dados (multivariado)

RN Dia

1 2 3 4 5 6 8 10 12

1 2,70 0,40 0,00 0,50 0,60 0,00 0,00 0,50 0,80

2 4,50 5,50 3,90 2,70 2,90 2,00 1,50 1,30 1,70...

......

......

......

......

...

87 3,60 6,60 9,90 8,80 11,50 12,00 12,00 11,30 9,70

88 3,60 3,70 2,80 2,00 1,50 0,00 1,20 1,60 0,50

89 2,60 1,40 1,30 1,00 1,60 0,40 0,00 0,30 0,00

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Banco de dados (longitudinal)

RN Dia Bilirrubina

1 1 2,70

1 2 0,40...

......

1 12 0,80...

......

89 1 2,60

89 2 1,40...

......

89 12 0,60

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Medidas resumo

Dia Media DP Var. CV(%) Min. Med. Maximo n

1 4,44 1,99 3,98 44,95 0,00 4,50 9,10 89

2 5,76 2,92 8,50 50,64 0,00 6,10 11,40 89

3 5,87 3,86 14,92 65,77 0,00 5,80 14,60 89

4 5,59 4,12 16,97 73,76 0,00 4,60 14,30 89

5 5,02 4,02 16,20 80,17 0,00 4,10 14,80 89

6 4,60 3,90 15,25 84,89 0,00 3,30 13,10 89

8 3,99 3,70 13,70 92,73 0,00 2,80 13,50 89

10 3,59 3,39 11,50 94,56 0,00 2,70 13,60 89

12 3,12 2,97 8,85 95,39 0,00 2,10 12,40 89

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Perfil medio

2 4 6 8 10 12

34

56

dias após o nascimento

mé

dia

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Perfis individuais: amostra completa

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2.5 5.0 7.5 10.0 12.5dias após o nascimento

co

nce

ntr

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o d

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ub

ina

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Perfis individuais: amostra completa e perfil medio

0

5

10

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co

nce

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açã

o d

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Perfis individuais: 20 RN selecionados aleatoriamente

0

5

10

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co

nce

ntr

açã

o d

e b

ilirr

ub

ina

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Cont.: 20 RN selecionados aleatoriamente e perfil medio

0

5

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nce

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Perfis individuais centrados: amostra completa

−5

0

5

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nce

ntr

açã

o d

e b

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ub

ina

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Cont.: 20 RN selecionados aleatoriamente

−5

0

5

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co

nce

ntr

açã

o d

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ub

ina

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Box plot

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1 2 3 4 5 6 8 10 12

05

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bin

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Matriz de diagramas de dispersao

V2

0 2 4 6 8

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Prof. Caio Azevedo


Variancias (diagonal), correlacoes (acima) e covariancias

(abaixo)

Dia

Dia 1 2 3 4 5 6 8 10 12

1 3,98 0,82 0,71 0,63 0,55 0,52 0,51 0,50 0,48

2 4,76 8,51 0,90 0,86 0,79 0,76 0,72 0,70 0,68

3 5,47 10,09 14,93 0,95 0,91 0,88 0,85 0,82 0,78

4 5,16 10,32 15,06 16,97 0,95 0,93 0,88 0,85 0,81

5 4,42 9,32 14,09 15,71 16,20 0,96 0,94 0,91 0,85

6 4,05 8,62 13,27 14,92 15,06 15,25 0,96 0,93 0,88

8 3,78 7,79 12,11 13,49 14,01 13,81 13,70 0,98 0,94

10 3,37 6,95 10,79 11,94 12,47 12,28 12,25 11,50 0,96

12 2,87 5,88 9,02 9,90 10,16 10,26 10,31 9,68 8,85

Prof. Caio Azevedo


Variancias em cada condicao

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21

41

6


va

riâ

ncia

da

co

nce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

Prof. Caio Azevedo


Variancias em cada condicao com intervalos de confianca

2 4 6 8 10 12

51

01

52

0


va

riâ

ncia

da

co

nce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Prof. Caio Azevedo


Graficos dos perfis das linhas da matriz de correlacoes

●

●

●

●

● ●●

●

2 4 6 8 10 12

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

lag: distância entre as condições de avaliação

co

rre

laçã

o

●

●

●

●

●●

●

●

●●

●●

●

●●

●

●

●

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●

●

●

●

●

●

●●

Prof. Caio Azevedo


Graficos de Envelope

−2 −1 0 1 2

−2

01

2

dia 1

quantis da N(0,1)

qu

an

tis d

a c

on

ce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

● ● ●●

● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ● ● ● ●●

● ●

−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

2

dia 2

quantis da N(0,1)

qu

an

tis d

a c

on

ce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ● ● ● ●

● ●

−2 −1 0 1 2

−1

01

2

dia 3

quantis da N(0,1)

qu

an

tis d

a c

on

ce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ● ●

● ●●

● ●

−2 −1 0 1 2

−1

.00

.51

.5

dia 4

quantis da N(0,1)q

ua

ntis d

a c

on

ce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●

●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● ● ● ●

●● ●

−2 −1 0 1 2

−1

01

2

dia 5

quantis da N(0,1)

qu

an

tis d

a c

on

ce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ● ● ●

●● ●

●

Prof. Caio Azevedo


Graficos de Envelope (continuacao)

−2 −1 0 1 2

−1

.00

.01

.02

.0

dia 6

quantis da N(0,1)

qu

an

tis d

a c

on

ce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●

●●●●

●●

●●●●●●●

●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●

●●● ● ● ● ●●

−2 −1 0 1 2

−1

01

2

dia 8

quantis da N(0,1)

qu

an

tis d

a c

on

ce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●●

●●●●

●●●●●●

●●●●●●●●

●●

● ● ●●

●

−2 −1 0 1 2

−1

01

23

dia 10

quantis da N(0,1)

qu

an

tis d

a c

on

ce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●

●●●●

●●●●●

●●●●●●●●●●●

●●

● ● ●

●●

−2 −1 0 1 2

−1

01

23

dia 12

quantis da N(0,1)

qu

an

tis d

a c

on

ce

ntr

açã

o d

e b

ilirru

bin

a

● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●

●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●

●●●●

●●●●

●●●●●●

● ●●

●●

●

Prof. Caio Azevedo


Variograma

Para um processo estocastico estacionario {Y (t), t ∈ R}, ou seja,

E(Y (t)) = E(Y (t − u)) e V(Y ) = V(Y (t − u)), ∀t ∈ R e u ∈ R+,

o variograma e definido como:

g(u) =1

2E[(Y (t)− Y (t − u))2

]Definindo, γ(u) = Cov(Y (t),Y (t − u)), temos que

g(u) = γ(0)− γ(u) = σ2(1− ρ(u)). (exercıcio)

Para estimar o variograma e util considerar as observacoes

padronizadas ∆ij =yij−y j

sj(para se obter estacionariedade).

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Variograma (Cont.)

Os pontos componentes do variograma amostral sao calculados a

partir de duas observacoes da mesma unidade amostral como

υijk = 12 (∆ij −∆ik)2.

Plota-se υijk em funcao de uijk = |tij − tik | (distancia entre as

condicoes de avaliacao, tambem conhecido como “lag”).

Estima-se σ2 atraves de

σ2 =1

2Nk

∑i 6=l

∑j,k

1

2(∆ij −∆lk)2 =

1

2Nk

∑i 6=l

∑j,k

υijkl ,

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Variograma (Cont.)

em que k e a quantidade de termos de∑

j,k , υijlk = 12 (∆ij −∆lk)2 e

N e o numero de pares de observacoes obtidas em unidades

experimentais diferentes.

Como o processo e estacionario e sob independencia entre as

observacoes de diferentes indivıduos, temos que σ2 e um estimador

nao viciado de σ2.

Como ρ(u) = 1− g(u)σ2 , quanto mais proximos de σ2 forem os valores

de g(u), menor o valor da correlacao para a defasagem u.

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Variograma

2 4 6 8 10

01

02

03

04

05

0

u

Va

rio

gra

m

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Modelagem para os dados (sob independencia)

Yij = β0 + (xij − 1)β1 + ξij ,

j = 1, 2, ...89, (indivıduo), i = 1, ..., 9 (dia (condicao de avaliacao)),

Yij : concetracao de bilirrubina da crianca j no dia i .

xij : dia correspondente ao instante j em que fora medida a concentracao

de bilirrubina da crianca i

β0 : concetracao de bilirrubina esperada para criancas com 1 dia de vida.

β1 : incremento (positivo ou negativo) na concentracao esperada de

bilirrubina para o aumento em um dia na idade da crianca.

ξiji.i.d∼ N(0, σ2)

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Modelagem alternativa

Yij = β0 + (xij − 1)β1 + bj + ξij ,


Admita que: bj⊥ξij , ∀i , j , bji.i.d.∼ N(0, ψ) e Cov(ξij , ξi′j) = ρ e V(ξij) = σ2,

ξjind.∼ N(0,Σj).

Assim,

Cov(Yij ,Yi′j′) =

0, se j 6= j ′

ψ + σ2, se i = i e j = j ′

ψ + ρ, se i 6= i ′, e j = j ′

Se ρ = 0, teremos o chamado modelo de independencia condicional, pois,

condicionado a bj , as observacoes serao independentes.

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Cont.

xij : e o dia (1,2,3,4,5,6,8,10,12), em que a concentracao de bilirrubina,

correspondente ao instante i , foi medida no indivıduo j .

Yij : e a concentracao de bilirrubina no instante i do indivıduo j .

E(Yij |xij = 1) = β0 e a concentracao esperada de bilirrubina no primeiro

dia de vida (perfil marginal).

β1 : e o incremento na concentracao esperada de bilirrubina no intervalo

de um dia.

No entanto, E(Yij |xij = 1, bj) = β0 + bj (perfil condicional).

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Cont.

Yij = β0 + (xij − 1)β1 + bj + ξij ,


Admita agora que: bj⊥ξij , ∀i , j , bji.i.d.∼ N(0, ψ) e

Corr(ξij , ξi′j) = h[d(t ij , t i′j),%] e V(ξij) = σ2λ2(δ, v ij), ξjind.∼ N(0,Σj).

Assim,

Cov(Yij ,Yi′j′) =

0, se j 6= j ′

ψ + σ2λ2(δ, v ij), se i = i e j = j ′

ψ + σ2h[d(t ij , t i′j),%], se i 6= i ′, e j = j ′

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Cont.

Se considerarmos ξiji.i.d.∼ N(0, σ2) e bj ≡ 0, ou de modo equivalente

(ψ ≡ 0), teremos o modelo de regressao linear tradicional

(homocedastico e com as observacoes independentes).

Entretanto, temos indıcios de que e mais apropriado considerar

alguma estrutura de dependencia entre os erros (em relacao as

medidas feitas no mesmo indivıduo) bem como considerar perfis

(individuais) diferentes.

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Modelo normal linear misto

Y j(kj×1) = X j(kj×p)β(p×1) + Z j(kj×q)bj(q×1) + ξj(kj×1) (1)

, j = 1, ..., n (indivıduo)

Y j = (Yj1, ...,Yjkj )′, kj : numero de condicoes de avaliacao em que o indivıduo j

e avaliado.

X j : matriz de planejamento associada aos efeitos fixos para o indivıduo j

(nao-aleatoria e conhecida).

Z j : matriz de planejamento associada aos efeitos aeatorios para o indivıduo j

(nao-aleatoria e conhecida).

β : vetor de efeitos fixos (nao-aleatorio e desconhecido).

bj : vetor de efeitos aleatorios associado ao indivıduo j (aleatorio e

desconhecido), bjind.∼ N(0,Ψ).

ξj : vetor de erros associado ao indivıduo j , ξjind.∼ N(0,Σj ), bj⊥ξj ,∀i .

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Cont.

Efeitos fixos: modelam caracterısticas populacionais.

Efeitos aleatorios: modelam caracterısticas individuais.

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Voltando ao Exemplo 15

Y j =

Y1j

Y2j

...

Y9j

; X j =

1 0

1 1

1 2...

...

1 11

;β =

β0

β1

; Z j =

1

1...

1

; bj = bj ;

ξj =

ξ1j

ξ2j

...

ξ9j

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Cont.

Y =

Y 1

Y 2

...

Y 89

; X =

X 1

X 2

...

X 89

; ξ =

ξ1

ξ2

...

ξ89

Z =

Z 1 0 . . . 0

0 Z 2 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . Z 89

Y = Xβ + Zb + ξ,b = (b1, ...bn)′

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Algumas propriedades do modelo

E(Y j |bj) = X jβ + Z jbj .

E(Y j) = X jβ.

Cov(Y j |bj) = Σj .

Cov(Y j) = V j = Z jΨZ ′j + Σj .

Y j |bj ∼ Nkj (X jβ + Z jbj ,Σj). Alem disso, como

Y j |bj ∼ N(X jβ + Z jbj ,Σi )

bj ∼ N(0,Ψ)

portanto

Y j ∼ Nkj (X jβ,Z jΨZ ′j + Σj)

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Estruturas para as matrizes de covariancia

Diferentes escolhas para Ψ e Σj induzem diferentes estruturas de

dependencia para o vetor de respostas.

Por exemplo, quando Σj = σ2I kj , tem-se o modelo de independencia

condicional homocedastico. Modelos de independencia condicional

sao bastante considerados em psicometria (Teoria de Resposta ao

item).

Por outro lado, quando Σj = σ2I kj e Ψ ≡ 0, tem-se o modelo de

regressao linear usual (homocedastico e com as observacoes

independentes).

Dependendo da importancia dos efeitos aleatorios para o estudo,

podemos pensar em diferentes estruturas de covariancia para eles.

Existem diversas tecnicas para sugestao/escolha de matrizes de

covariancias.

Prof. Caio Azevedo


Modelos para a estrutura de covariancia

Podemos, essencialmente, escolher para Ψ e Σj alguma das opcoes

ja vistas anteriormente.

A covariancias do vetor de resposta sera, portanto, uma combinacao

das matrizes escolhidas para os erros e para os efeios aleatorios.

Naturalmente, as escolhas sao limitadas pelo recurso computacional

a ser utilizado.

Em geral a matriz Ψ e assumida ser nao estruturada ou diagonal.

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Estimacao

Sob a otica frequentista, em geral, trabalha-se com a distribuicao

marginal de Y j em relacao a bj , ou seja Y j ∼ N(X jβ,Z jΨZ ′j + Σj)

Alternativa: algoritmo EM utilizando a distribuicao conjunta de

(Y ,b).

Tambem existem metodos Bayesianos.

Suposicao : Σj = g(θ1) e Ψ = h(θ2) de modo que θ1 e θ2 nao

possuem componentes comuns.

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Cont.

Log-verossimilhanca (marginal) para n observacoes:

l(β,θ) = −1

2ln(2π)

n∑j=1

kj −1

2

n∑j=1

ln |V j |

+ −1

2

n∑j=1

(Y j − X jβ)′V−1j (Y j − X jβ) (2)

V i ≡ V i (θ) = Z jΨ(θ2)Z ′j + Σj(θ1), θ = (θ′1,θ′2)′.

Se θ for conhecido, o estimador de MV (que corresponde ao

estimador de MQG) de β e dado por:

β =

n∑j=1

X ′jV−1j X j

−1 n∑j=1

X ′jV−1j Y j

(3)

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Cont.

Para estimar (θ), substituimos (3) em (2), obtendo uma

log-verossimilhanca perfilada:

l(θ) = −1

2ln(2π)

n∑j=1

kj −1

2

n∑j=1

ln |V j |

− 1

2

n∑j=1

(Y j − X j β

)′V−1

j

(Y j − X j β

)(4)

A maximizacao da log-verossimilhanca (4) tem de ser feita atraves

de metodos iterativos como os algoritmos de Newton-Raphson,

Escore de Fisher, Gauss-Newton, BFGS.

Uma vez que tais estimativas forem obtidas, as inserimos em (3).

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Cont.

As distribuicoes assintoticas dos estimadores podem ser obtidas

atraves do TCL.

Os erros-padrao assintoticos podem ser obtidos atraves das inversas

das informacoes de Fisher para (para θ) e atraves de uma formula

analıtica (para β).

Os estimadores de MV para β sao nao viesados, mas o mesmo nao

acontece com os estimadores de MV de θ.

Alternativa: estimadores de MV restritos (MVR) (tambem

chamados de estimadores MV residuais).

Prof. Caio Azevedo


Algoritmo (estimacao por MV)

Estima-se θ atraves de algum algoritmo de maximizacao conveniente

(NR, RF, Gauss-Newton, BFGS), resolvendo-se o sistema de

equacoes dado por:

S(θk) =∂l(θ)

∂θk= −1

2

n∑j=1

∂ ln |V j |∂θk

− 1

2

n∑j=1

tr

[∂V−1

j

∂θk

(Y j − X j β

)(Y j − X j β

)′

+ V−1j

∂(Y j − X j β

)(Y j − X j β

)′∂θk

]= −1

2

n∑j=1

tr

[V−1

j

∂V j

∂θk

]

− 1

2

n∑j=1

tr

[∂V−1

j

∂θk

(Y j − X j β

)(Y j − X j β

)′

+ V−1j

∂(Y j − X j β

)(Y j − X j β

)′∂θk

]

Prof. Caio Azevedo


Algoritmo (estimacao por MV)

A notacao∂V j

∂θrepresenta a derivada de V j com relacao a cada

compomente de θ o que resulta, para cada componente, numa

matriz.

Com as estimativas de θ, digamos θ, obtem-se as estimativas de β,

atraves de:

β =

n∑j=1

X ′jV j(θ)−1X j

−1 n∑j=1

X ′jV−1j (θ)Y j

A matriz de covariancias de β e dada por

Σβ =(∑n

j=1 X ′jV j(θ)−1X j

)−1

e uma estimativa e dada por:

Σβ =(∑n


)−1

.

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Para o estimador θ uma aproximacao da matriz de covariancias

pode ser obtida atraves da inversa da matriz −H(θ) = − ∂l(θ)∂θ∂θ′ e

uma estimativa e dada pela inversa de: −H(θ) = − ∂l(θ)∂θ∂θ′

∣∣∣θ=θ

,

respectivamente Σθ = −H(θ)−1 e Σθ = −H(θ)−1.

Os erros-padrao dos estimadores β e θ correspondem a raiz

quadrada dos elementos da diagonal principal das respectivas

matrizes de covariancia.

Prof. Caio Azevedo


A distribuicao dos estimadores (exata ou assintotica) pode ser

obtida atraves de um dos seguintes metodos:

Convergencia em distribuicao dos estimadores de maxima

verossimilhanca (β ≈ Np (β,Σβ) e θ ≈ Nr (θ,Σθ)), para n

suficientemente grande.

Metodos de reamostragem.

Metodo Delta (para funcoes, nao lineares, dos parametros, que sejam

de interesse).

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Maxima verossimilhanca restrita (ou residual)

MVR: consiste em maximizar a verossimilhanca de uma

transformacao ortogonal do vetor de respostas, ou seja, da

verossimilhanca induzida por Y ∗j = U jY j ,

Em geral, U j = I kj − X j(X ′jX j)−1X ′j .

Assim, Y ∗j ∼ N(0kj ,U jV jU ′j), em que

V j = Cov(Y j) = Z jΨZ ′j + Σj .

Os estimadores de MVR de β sao nao viesados enquanto que o vies

do estimadores de MVR de θ sao menores em comparacao com os

estimadores de MV.

O nome “residual” vem do fato de que a matriz U j gera os resıduos

no ajuste por mınimos quadrados ordinarios.Prof. Caio Azevedo


Cont.

A log-verossimilhanca residual ou restrita e dada por

lR(θ) = −1

2ln(2π)

n∑j=1

kj −1

2

n∑j=1

ln |U jV jU j |

− 1

2

n∑j=1

(Y ∗j)′U jV−1

j U j

(Y ∗j).

Prof. Caio Azevedo


Cont.

A log-verossimilhanca residual ou restrita pode ser escrita como

lR(θ) = −1

2ln(2π)

n∑j=1

kj −1

2

n∑j=1

ln |V j |

− 1

2

n∑j=1

(Y j − X j β

)′V−1

j

(Y j − X j β

)

− 1

2ln

∣∣∣∣∣∣n∑

j=1

X ′jV−1j X j

∣∣∣∣∣∣+ const. (5)

em que β e dado em (3).

Uma vez que os estimadores de MVR de θ forem obtidos,

maximizando-se (5) (numericamente), os estimadores de MVR de β

podem ser obtidos inserindo aqueles em (3).Prof. Caio Azevedo


Cont.

As distribuicoes exatas ou assintoticas dos estimadores de MVR

podem ser obtidas de modo semelhante aos dos estimadores de MV.

Lembrem-se de que estamos lidando com um conjunto de vetores

aleatorios independentes mas nao identicamente distribuıdos

Y jind.∼ Nkj (X jβ,V j).

TLC’s que levem tal estrutura em consideracao devem ser utilizados.

Prof. Caio Azevedo


Algoritmo (estimacao por MVR)

Estima-se θ atraves de algum algoritmo de maximizacao conveniente

(NR, RF, Gauss-Newton, BFGS), resolvendo-se o sistema de

equacoes dado por:

S(θk) =∂lR(θ)

∂θk= −1

2

n∑j=1

tr

[V−1

j

∂V j

∂θk

]

− 1

2

n∑j=1

tr

[∂V−1

j

∂θk

(Y j − X j β

)(Y j − X j β

)′

+ V−1j

∂(Y j − X j β

)(Y j − X j β

)′∂θk

]−1

2

n∑i=1

tr

[V−1

j X ′iV−1j

∂V−1j

∂θkV−1

j X i

]

Prof. Caio Azevedo


Algoritmo (estimacao por MVR)

Com as estimativas de θ, digamos θR , obtem-se as estimativas de

βR , ou seja:

βR =

n∑j=1

X ′jV j(θ)−1X j

−1 n∑j=1

X ′jV−1j (θ)Y j

A matriz de covariancias de βR e dada por

ΣβR=(∑n


)−1

e uma estimativa e dada por:

ΣβR=(∑n


)−1

.

Prof. Caio Azevedo


Para o estimador θR uma aproximacao da matriz de covariancias

pode ser obtida atraves da inversa da matriz

ΣθR= −HR(θ) = −∂lR (θ)

∂θ∂θ′ e uma estimativa e dada pela inversa de:

−HR(θ) = −∂lR (θ)∂θ∂θ′

∣∣∣θ=θ

, respectivamente ΣθR= −HR(θ)−1 e

ΣθR= −HR(θ)−1.

Os erros-padrao dos estimadores βR e θR correspondem a raiz

quadrada dos elementos da diagonal principal das respectivas

matrizes de covariancia.

Prof. Caio Azevedo


A distribuicao dos estimadores pode ser obtida atraves de um dos

seguintes metodos:

Convergencia em distribuicao dos estimadores de maxima

verossimilhanca.

Metodos de reamostragem

Metodo Delta.

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Cont.

Preditores para os efeitos aleatorios podem ser obtidos atraves da

distribuicao condicional (a posteriori), de bj |y j , ou seja

p(bj |y j) =p(y j |bj)p(bj)∫

<q p(y j |bj)p(bj)db

a qual corresponde a

bj |y j ∼ Nq

(ΨZ ′jV

−1j

(y j − X jβ

),(Z jΣ

−1j Z ′j + Ψ−1

)−1)

Assim, um preditor para bj seria sua media condicional (a posteriori)

ou seja, bj = ΨZ ′j V−1

j

(y j − X j β

), em que . denota um dos

estimadores vistos anteriormente (MV ou MVR).

Prof. Caio Azevedo


Cont.

Medida de precisao de bj − bj , Cov(bj − bj) = Ψ− Cov(bj). Em

que

Cov(bj) = ΨZ ′j

(V−1

j − V jX j

(∑nj=1 X ′jV jX j

)−1

X ′jW j

)X jΨ

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Intervalos de Confianca

Seja ϑ o componente de interesse do vetor β ou do vetor θ e EP(ϑ)

um estimador consistente (como aqueles apresentados) do respectivo

erro-padrao.

IC assintotico com coeficiente de confianca de γ

ϑ± z(1+γ)/2EP(ϑ)

P(Z ≤ z(1+γ)/2) = 1+γ2

Prof. Caio Azevedo


Testes de Hipotese

Seja Σβ um estimador consistente da matriz de covariancias de β

(como aqueles apresentados).

Desejamos testar H0 : Cβ = M vs H1 : Cβ 6= M

Podemos usar a seguintes estatıstica (do tipo Wald)

Q =(C β −M

)′ (CΣβC ′

)−1 (C β −M

)para n suficientemente grande, temos que Q ∼ χ2

(r(C),δ),

δ = (Cβ −M)′(CΣβC ′

)−1(Cβ −M)

Prof. Caio Azevedo


Comentarios

Em relacao aos testes de hipotese para θ, podemos proceder de

modo analogo ao que fizemos para β.

Note, contudo, que existem tres tipos de parametros em θ:

parametros de variancia (σ2), de correlacao (ρ) e de covariancia

(σ1). Para os parametros de variancia, faz-se necessario testes mais

especıficos quando M = 0.

Para outros detalhes, veja as referencias.

Prof. Caio Azevedo


Selecao de modelos: Teste da razao de verossimilhancas

Seja θi o estimador de maxima verossimilhanca obtido sob o modelo

i e θi sua respectiva estimativa.

Denote por Li (θi ) e li (θi ) o maximo da verossimilhanca e da

log-verossimilhanca do modelo i , respectivamente, avaliados nos

respectivos estimadores de MV, enquanto que Li (θi ) e li (θi ) sao os

respectivos maximos avaliados nas estimativas de MV.

No caso dos modelos mistos usa-se a log-verossimilhanca marginal.

Prof. Caio Azevedo


Teste da razao de verossimilhancas (cont.)

A estatıstica do TRV e dada por ∆ = L1(θ1)

L2(θ2).

Rejeita-se H0 se ∆ ≤ δc , em que δc e um valor crıtico adequado.

Alternativamente, rejeitamos H0 se

Λ = −2ln(∆) = −2(l1(θ1)− l2(θ2)

)≥ λc ,

em que P(Q ≥ λc) = α, Q ≈ χ2(γ) e

γ = numero de parametros do modelo M2 - numero de parametros

do modelo M1.

Nesse caso, p− valor ≈ P(Q ≥ λ|H0), em que λ e o valor observado

da estatıstica Λ e Q ∼ χ2(γ). Assim, rejeita-e H0 se p − valor ≤ α.

Prof. Caio Azevedo


Estatısticas de comparacao de modelos

O TRV e apropriado na comparacao somente de modelos encaixados

(o modelo com menor numero de parametros e um caso particular

do modelo com maior numero de parametros).

Alem disso, ele nao leva em consideracao (diretamente) o numero de

parametros do modelo (somente na distribuicao da estatıstica).

Existem varias alternativas, em termos de estatısticas para comparar

modelos, que “penalizam” a verossimilhanca em relacao ao numero

de parametros, tamanho da amostra entre outros fatores.

Veremos o AIC e o BIC.

Prof. Caio Azevedo


Estatısticas de comparacao de modelos (cont.)

O AIC e BIC, para o i-esimo modelo, sao dados, respectivamente,

por:

AICi = −2li (θi ) + 2k

BICi = −2li (θi ) + k ln(n)

que li (θi ) denota a log-verossimilhanca do i-esimo modelo avaliada

em alguma estimativa (p.e. maxima verossimilhanca), k e o numero

de parametros e n e o numero de observacoes.

Portanto, o modelo que apresentar os menores valores, sera o

modelo “melhor ajustado” aos dados.

Prof. Caio Azevedo


Funcao “lme” pacote “nlme”

Ajusta a classe de modelos (32) por MV ou MRV, permitindo

heterocedasticidade (entre as condicoes de avaliacao e/ou grupos)

sob diversas estrturas de correlacao.

Seja µ(c)ij = E(Yij) = X ′ijβ + Z ′ijbj (media condicional),

µ(m)ij = E(Yij) = X ′ijβ (media marginal), em que X ′ij e i-esima linha

da matriz X j e o equivalente em relacao a matriz Z ′ij .

A funcao lme trabalha com a estrutura Cov(Y j) = V j =

σ2Z jD(θD)Z ′j + σ2R j = σ2Z jD(θD)Z ′j + σ2ΛjC jΛj , em que

σ2 > 0 e um parametro de escala, Λj e uma matriz diagonal com

elementos positivos (para permitir heterocedasticidade) e C j e uma

matriz de correlacoes (como aquelas vistas anteriormente).Prof. Caio Azevedo


Temos ainda que

R j(µij ,θ; v ij) =

R j(θ; v ij) = Λj(δ; v ij)C j(%)Λj(δ; v ij)

Λj(µij , δ; v ij)C j(%)Λj(µij , δ; v ij)

em que θ = (δ′,%′)′, δ e um vetor de parametros de variancia e v ij

e um vetor de covariaveis (conhecidas) das variancias.

Portanto, a variancia de cada observacao e dada por

V(Yij) = σ2Dj +

σ2λ2(δ; v ij)

σ2λ2(µij , δ; v ij)

em que Dj e o j-esimo elemento da diagonal principal de

Z jD(θD)Z ′j .

Prof. Caio Azevedo


Cont.

Especificacao da matriz de covariancias dos efeitos aleatorios (Ψ) na

notacao do pacote lme (D).

Nome Descricao

pdIdent ψI q

pdDiag diag(ψ1, ..., ψq)

pdCompSymm uniforme

pdLogChol nao estruturada com parametrizacao log-Cholesky (default)

pdSymm nao estruturada com parametrizacao SVD (decomposicao)

pdNatural nao estruturada com parametrizacao “natural”

pdBlocked matriz bloco diagonal com os blocos definidos como uma das classes

acima

Prof. Caio Azevedo


Modelagem para os dados do Exemplo 15 (bilirrubina)

Yij = µij + ξij ,

(1)µij = β0 + β1(xij − 1)I(i∈{1,2}) + β2(xij − 1)I(i∈{3,4,5,6,7,8,9}) + b1j .

; (2)µij = β0 + β1(xij − 1)I(i∈{1,2}) + β2(xij − 1)I(i∈{3,4,5,6,7,8,9}) + b1j

+ b2jxij .

(1)V(Yij) = σ2 (homocedastico);

(2)V(Yij) = σ2i = σ2 exp (xijδ), i = 1, 2, ..., 9 (heterocedastico) (note

que xij = xij′ ,∀i , j , j ′.

Corre(ξij , ξi ′j) (1) AR(1), (2)(ARMA(1,1)).

b1ji.i.d∼ N(0, ψ1), (b1j , b2j)

i.i.d∼ N2(0,Ψ),Ψ =

ψ1 ψ0

ψ0 ψ2

Prof. Caio Azevedo


Modelos

Modelo Variancia Correlacao Efeitos aleatorios

HAR1I Homocedastico AR(1) intercepto

HAR1ICA Homocedastico AR(1) intercepto, coeficiente angular

HARMA11I Homocedastico ARMA(1,1) intercepto

HARMA11ICA Homocedastico ARMA(1,1) intercepto, coeficiente angular

HEAR1I Heterocedastico AR(1) intercepto

HEAR1ICA Heterocedastico AR(1) intercepto, coeficiente angular

HEARMA11I Heterocedastico ARMA(1,1) intercepto

HEARMA11ICA Heterocedastico ARMA(1,1) intercepto, coeficiente angular

Prof. Caio Azevedo


Modelos

Modelo AIC BIC

HAR1I 2926,41 2954,51

HAR1ICA 2930,41 2967,87

HARMA11I 2920,82 2953,59

HARMA11ICA 2924,82 2966,95

HEAR1I 2854,91 2887,69

HEAR1ICA 2858,91 2901,05

HEARMA11I 2852,96 2890,41

HEARMA11ICA 2856,96 2903,78

O MMM selecionado foi HEARMA11 (mesma funcao de variancia e com

regressao segmentada): AIC= 2871,71; BIC=2904,48Prof. Caio Azevedo


Estimativas dos parametros

MLM

Parametro Estimativa EP IC(95%) Estatıstica p-valor

β0 5,37 0,40 [4,59 ; 6,15 ] 13,48 <0,0001

β1 0,32 0,14 [0,05 ; 0,59 ] 2,33 0,0198

β2 -0,21 0,02 [-0,26 ; -0,16 ] -8,36 <0,0001

Prof. Caio Azevedo



MLM

Parametro Estimativa IC(95%)

σ2 13,20 [9,45 ; 18,44 ]

δ -0,08 [-0,10 ; -0,07 ]

ψ1 6,45 [4,29 ; 9,68 ]

OBS: No modelo com intercepto e coeficiente aleatorio, semelhante ao modelo

escolhidos, ψ2 =< 0, 0001 (indicando uma nao significancia do efeito aleatorio).

Prof. Caio Azevedo



MLM

Parametro Estimativa IC(95%)

φ 0,84 [0,78 ; 0,89 ]

OBS: No modelo ARMA(1,1), semelhante ao modelo escolhido,

θ1 = 0, 086[−0, 002; 0, 173] (indicando uma contribuicao menos significativa

desse coeficiente).

Prof. Caio Azevedo


2 4 6 8 10 12

34

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mé

dia

da

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ntr

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Observado

Predito

Prof. Caio Azevedo


2 4 6 8 10 12

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5


va

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Observado

Predito

Prof. Caio Azevedo


Correlacoes observadas e estimadas

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1.0

índice

co

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Observado

Predito

Prof. Caio Azevedo


Valores individuais preditos: Ybj = X jβ + Z j bj

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observado

pre

dito

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Perfis individuais preditos e observados

0

5

10

15


con

cen

tra

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de

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variable

observado

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Prof. Caio Azevedo


Efeitos aleatorios●

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efeito aleatório

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índice

efe

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Prof. Caio Azevedo


Analise de resıduos para modelos mistos

Existem duas fontes de variacao: os efeitos aleatorios b e os erros

(marginais) ξ.

Tipos de erros:

Erros condicionais: ξj = Y j − X jβ − Z jbj

Erros marginais: ε = Y j − X jβ = Z jbj + ξj

Efeitos aleatorios: Z jbj = E(Y j |bj)− E(Y j).

Respectivos resıduos (valores preditos):

Resıduos condicionais: ξj = Y j − X j β − Z j bj

Resıduos marginais: εj = Y j − X j β = Z j bj + ξj

Prof. Caio Azevedo


Tipos de resıduos

Segundo Hilden-Minton (1995)

Resıduo puro (para um especıfico tipo de erro): se ele depende

apenas das componentes fixas e do erro que ele pretende predizer.

Resıduo confundido: depende de outros tipos de erros.

Prof. Caio Azevedo


Tipos de resıduos

Na funcao “lme”

Resıduo condicional normalizado: ξ∗j = (σU (c)j)

−1ξj

Resıduo marginal normalizado: ε∗j = (σU (m)j)−1εj

em que U (c)j e a matriz triangular superior da decomposicao de

Cholesky de R j = U′(c)j U (c)j e U (m)j e a matriz triangular superior da

decomposicao de Cholesky de V j = U′(m)j U (m)j .

Prof. Caio Azevedo


Tipos de resıduos

Segundo Pinheiro and Bates (2000), pagina 239, e Schabenberger

(2004), respectivamente, ξ∗j e ε∗j devem seguir, aproximadamente

uma distribuicao N(0,1), no caso do modelo estar bem ajustado.

No entanto, Nobre and Singer (2007) sugerem a utilizacao do

resıduo de confundimento mınimo proposto por Hilden-Milton

(1995), veja tambem Nobre (2004).

Prof. Caio Azevedo


Usando os resıduos ξ∗j

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Mais material

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//www.ime.unicamp.br/~cnaber/Material_ADL_POS_2S_2015.htm

e referencias apresentadas no site.

Prof. Caio Azevedo


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Introdução aos modelos lineares mistoscnaber/aula_Intro_MLM_MLG_1S_2016.pdf · Exemplo 15: Concentra˘c~ao de bilirrubina em recem-nascidos saud aveis Os dados correspondem a um