Introdução às Equações Diferenciais

− Um roteiro para estudo −

Luiz Fernando Provenzano − UFMT − Versão 03/2010

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Índice Equações Diferenciais - Um Pouco de História ...............................................................3 A Natureza das Equações Diferenciais ...........................................................................8

Definição e Notações...................................................................................................8 Resolução de uma Equação Diferencial ....................................................................10 Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial........................................................11 Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial..........................12 Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno..............................13 Teorema de Existência e Unicidade ..........................................................................14

Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau ............................................18 Classificação..............................................................................................................18

1o Tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis .......................................18 Sobre a Curva Tractriz ...........................................................................................20 2o Tipo: Equações Diferenciais Homogêneas ........................................................21 3o Tipo: Equações Diferenciais Redutíveis às Homogêneas ou às de Variáveis Separáveis .............................................................................................................25 4o Tipo: Equações Diferenciais Exatas...................................................................27 Fator Integrante......................................................................................................30 Pesquisa de um Fator Integrante ...........................................................................30 5o Tipo: Equações Diferenciais Lineares................................................................32

Algumas Aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias ......................................35 de 1a Ordem e 1o Grau ..............................................................................................35

Exercícios Gerais de Aplicações ............................................................................39 Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior à Primeira.................................43

Tipos Especiais de Equações Diferenciais de 2a Ordem ...........................................43 Problema de Perseguição (Uma aplicação) ..........................................................47

Equações Diferenciais Lineares de Ordem N ............................................................52 Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogêneas e de Coeficientes Constantes.................................................................................................................53 Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Não-Homogêneas e de Coeficientes Constantes.................................................................................................................57 Determinação de uma Solução Particular Experimental (yp) .....................................58 Método dos Coeficientes a Determinar (ou Método de Descartes)............................58

Família de uma função...........................................................................................58 Construção de uma Solução Particular Experimental (yp)......................................59

Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes.................................................................................................................64

Vibrações Mecânicas e Elétricas............................................................................64 Sistemas de Equações Diferenciais ..............................................................................73

Exercícios ..................................................................................................................77 Noções de Equações Diferenciais Parciais ...................................................................82

Sobre a Resolução ....................................................................................................83 Determinação de uma Equação Diferencial Parcial a partir de uma Solução dada. ..84 O Problema de Condução de Calor e o Método de Separação de Variáveis ............86

Anexos ..........................................................................................................................90 Fórmulas Básicas ..........................................................................................................91 Sistemas de Unidades...................................................................................................93 Bibliografia.....................................................................................................................95

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Equações Diferenciais - Um Pouco de História De várias maneiras, as equações diferenciais são o coração da análise e do

cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante para ciências físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim é amplamente aceito que equações diferenciais são importantes em ambas: a matemática pura e a aplicada. A história sobre este assunto é rica no seu desenvolvimento e é isto que estaremos olhando aqui. Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a história deste assunto começa e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento. Existem vários contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise necessários para desenvolver muitas das idéias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram idéias inteiramente novas, inacessíveis à perspectiva do século XVIII de Euler e sofisticadas além do entendimento de apenas uma pessoa.

Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. Daremos uma pequena olhada nas pessoas, nas equações, nas técnicas, na teoria e nas aplicações. A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, Newton, e Leibniz. A partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram entendimento suficiente e notação para a derivada, esta logo apareceu em equações e o assunto nasceu. Contudo, logo descobriram que as soluções para estas equações não eram tão fáceis. As manipulações simbólicas e simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco. A integral (antiderivada) e seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculo ofereceu ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em circunstâncias muito especiais. O método de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. Assim estes pesquisadores iniciais do século 17 focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e técnicas para aqueles que os seguiram.

Ao redor do início do século XVIII, a próxima onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas em astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princípios para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos usando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti (1676--1754) começou um estudo sério de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor usou séries para "resolver" equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas séries para

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vários propósitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das equações diferenciais. No início do século XVIII, este e muitos outros matemáticos tinham acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitas variedades de equações diferenciais. Contudo, muitas equações ainda eram desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de resolução. Cinqüenta anos de equações diferenciais trouxeram progresso considerável, mas não uma teoria geral.

O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes e criar novas e mais poderosas técnicas para atacar grandes famílias de equações. Muitas equações pareciam amigáveis, mas tornaram-se decepcionantemente difíceis. Em muitos casos, técnicas de soluções iludiram perseguidores por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou à cena das equações diferenciais. Euler teve o benefício dos trabalhos anteriores, mas a chave para seu entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. Euler entendeu o papel e a estrutura de funções, estudou suas propriedades e definições. Rapidamente achou que funções eram a chave para entender equações diferenciais e desenvolver métodos para suas resoluções. Usando seu conhecimento de funções, desenvolveu procedimentos para soluções de muitos tipos de equações. Foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e de muitas outras funções elementares. Euler também desenvolveu várias funções novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais de equações diferenciais. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. Em 1739, desenvolveu o método de variação de parâmetros. Seu trabalho também incluiu o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas para quase todas as equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Ele era um mestre que este assunto necessitava para se desenvolver além de seu início primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemática aplicada moderna.

Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das idéias de Euler. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os métodos de Euler para ajudá-lo a estudar oscilações e as equações diferenciais que produzem estes tipos de soluções. O trabalho de D'Alembert em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e explorações por soluções das formas mais elementares destas equações. Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados em mecânica, especialmente equações de movimento (problema dos três corpos) e energia potencial. As maiores contribuições de Lagrange foram provavelmente na definição de função e propriedades, o que manteve o interesse em generalizar métodos e analisar novas famílias de equações diferenciais. Lagrange foi provavelmente o primeiro matemático com conhecimento teórico e ferramentas suficientes para ser um verdadeiro analista de equações diferenciais. Em 1788, ele introduziu equações gerais de movimento para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações de Lagrange. O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avanços, incluindo técnicas numéricas melhores e um melhor entendimento de integração. Em 1799, introduziu as idéias de um laplaciano de uma função. Laplace claramente reconheceu as raízes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia Euler, ele é nosso mestre". O trabalho de Legendre sobre equações diferenciais foi motivado pelo movimento de projéteis, pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como resistência do ar e velocidades iniciais. Lacroix foi o próximo a deixar sua marca. Trabalhou em avanços nas equações diferenciais parciais e incorporou muito dos avanços, desde os tempos de Euler, ao seu livro. A contribuição principal de Lacroix foi

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resumir muitos dos resultados de Euler, Lagrange, Laplace, e Legendre. O próximo na ordem foi Fourier. Sua pesquisa matemática fez contribuições ao estudo e cálculos da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analítica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele fez uso extensivo da série que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilações. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a teoria matemática desta série, a qual era bem conhecida anteriormente por Euler, Daniel Bernoulli, e Lagrange. As contribuições de Charles Babbage vieram por uma rota diferente. Ele desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de Diferença que usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações.

O próximo avanço importante neste assunto ocorreu no início do século XIX, quando as teorias e conceitos de funções de variáveis complexas se desenvolveram. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gauss e Cauchy. Gauss usou equações diferenciais para melhorar as teorias das órbitas planetárias e gravitação. Gauss estabeleceu a teoria do potencial como um ramo coerente da matemática. Também reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a chave para entender muitos dos resultados importantes das equações diferenciais aplicadas. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. Os resultados são agora clássicos em hidrodinâmica. Inventou o método das características, o qual é importante na análise e solução de várias equações diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a definir completamente as idéias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo e equações diferenciais. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a desenvolver a transformada de Fourier para prover soluções algébricas para equações diferenciais.

Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar estas teorias poderosas e aplicá-las a vários ramos da ciência. Os trabalhos iniciais de Poisson em mecânica apareceram em Traité de mécanique em 1811. Aplicou seu conhecimento de equações diferenciais a aplicações em física e mecânica, incluindo elasticidade e vibrações. Muito de seu trabalho original foi feito na solução e análise de equações diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de Green em fundamentos matemáticos de gravitação, eletricidade e magnetismo foi publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism. A matemática de Green proveu a base na qual Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual do magnetismo. Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equações diferenciais à astronomia. Seu trabalho sobre funções de Bessel foi feito para analisar perturbações planetárias. Posteriormente estas construções foram usadas para resolver equações diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava equações diferenciais para desenvolver teorias sobre a condução do calor. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo equações integrais equivalentes, um método refinado por Fredholm e Hilbert no início da década de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funções elementares foi uma contribuição substancial para soluções de equações diferenciais. As investigações teóricas e experimentais de Stokes cobriram hidrodinâmica, elasticidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar. Ele usou modelos de equações diferenciais em todos os campos de estudo.

Na metade do século XIX, uma nova estrutura era necessária para atacar sistemas de mais de uma equação diferencial. Vários matemáticos vieram em socorro. Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformações em uma ferramenta poderosa para avaliar integrais múltiplas e resolver equações diferenciais. A estrutura do

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jacobiano foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito hábil e um perito numa variedade de campos aplicados. Cayley também trabalhou com determinantes e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. Cayley era um amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos para lecionar na Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas áreas da matemática, dinâmica teórica e astronomia. Cayley criou a noção de matrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de matrizes nas décadas posteriores. Josiah Gibbs fez contribuições à termodinâmica, ao eletromagnetismo e à mecânica. Por seu trabalho nos fundamentos de sistemas de equações, Gibbs é conhecido como o pai da análise vetorial.

À medida que o final do século XIX se aproximava, os principais esforços em equações diferenciais se moveram para um plano teórico. Em 1876, Lipschitz (1832--1903) desenvolveu teoremas de existência para soluções de equações diferenciais de primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funções e soluções de equações. À medida que a teoria se desenvolveu, as seis funções trigonométricas básicas foram provadas transcendentais, assim como as inversas das funções trigonométricas e as funções exponenciais e logarítmicas. Hermite mostrou que a equação de quinta ordem poderia ser resolvida por funções elípticas. Enquanto seu trabalho era teórico, os polinômios de Hermite e as funções de Hermite se mostraram posteriormente muito úteis para resolver a equação de onda de Schrödinger e outras equações diferenciais. O próximo a construir fundamento teórico foi Bernhard Riemann. Seu doutorado foi obtido, sob a orientação de Gauss, na teoria de variáveis complexas. Riemann também teve o benefício de trabalhar com o físico Wilhelm Weber. O trabalho de Riemann em equações diferenciais contribuiu para resultados em dinâmica e física. No final da década de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergência e o "fenômeno de Gibbs" da série de Fourier. O próximo contribuinte teórico importante foi Kovalevsky, a maior matemática antes do século XX. Depois de vencer dificuldades consideráveis por causa da discriminação de seu gênero, ela teve oportunidade de estudar com Weierstrass. No início de sua pesquisa, completou três artigos sobre equações diferenciais parciais. No seu estudo da forma dos anéis de Saturno, ela se apoiou no trabalho de Laplace, cujo trabalho ela generalizou. Basicamente, o trabalho de Kovalevsky era sobre a teoria de equações diferenciais parciais e um resultado central sobre a existência de soluções ainda leva seu nome. Ela publicou vários artigos sobre equações diferenciais parciais. Posteriormente, no século XX, trabalhos teóricos de Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas classificações para o entendimento posterior de algumas das mais complicadas famílias de equações diferenciais.

O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos mais robustos e eficientes. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolver as equações diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atômico. Estes métodos numéricos ainda são usados hoje. Ele usou tanta matemática em sua pesquisa que físicos pensaram que fosse matemático, e fez tanta física que os matemáticos pensaram que fosse físico. Hoje seu nome está associado com os métodos de Runge-Kutta para resolver equações diferenciais. Kutta, outro matemático aplicado alemão, também é lembrado por sua contribuição à teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios em aerodinâmica, baseada em equações diferenciais. Na última metade do século XX, muitos matemáticos e cientistas da computação implementaram métodos numéricos para equações diferenciais em computadores para dar soluções rápidas e eficientes para sistemas complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforço.

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Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. Poincaré, o maior matemático de sua geração, produziu mais de 30 livros técnicos sobre física matemática e mecânica celeste. A maioria destes trabalhos envolveu o uso e análise de equações diferenciais. Em mecânica celeste, trabalhando com os resultados do astrônomo americano George Hill, conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa de equações diferenciais não lineares. Muitos resultados de seu trabalho foram as sementes de novas maneiras de pensar, as quais floresceram, tais como análise de séries divergentes e equações diferenciais não lineares. Poincaré entendeu e contribuiu em quatro áreas principais da matemática - análise, álgebra, geometria e teoria de números. Ele tinha um domínio criativo de toda a matemática de seu tempo e foi, provavelmente, a última pessoa a estar nesta posição. No século XX, George Birkhoff usou as idéias de Poincaré para analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelecer uma teoria para a análise das propriedades das soluções destas equações. Na década de 1980, a teoria emergente do caos usou os princípios desenvolvidos por Poincaré e seus seguidores. Fonte: http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htm em setembro de 2008.

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A Natureza das Equações Diferenciais Muitas das leis gerais da natureza, na física, na química, na biologia, na astronomia encontram a sua expressão mais natural na linguagem das equações diferenciais. Aplicações também surgem na matemática em si, especialmente na geometria, na engenharia, na economia, e em muitos outros campos da ciência aplicada. É fácil de entender as razões que estão por detrás desta grande utilização de equações diferenciais. Para tanto, é bom relembrar que se ( )y f x= é uma dada função,

então a sua derivada dydx

pode ser interpretada como a taxa (ou razão) de variação de

em relação a

y

x . Em qualquer processo natural, as variáveis envolvidas e suas taxas de variação

estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos que governam o processo. Quando esta relação é expressa em símbolos matemáticos, o resultado é freqüentemente uma equação diferencial.

Para ilustrar estas observações vejamos o exemplo que se segue. De acordo com a Segunda Lei de Newton do movimento, a aceleração a de um

corpo de massa m é proporcional à força total F agindo sobre ele, com 1m

como a

constante de proporcionalidade, assim, Fam

= ou m a. F= (1)

Suponhamos, por hipótese, que um corpo de massa m cai livremente sobre a influência da gravidade. Nesse caso a única força que age sobre ele é m.g onde g é a aceleração devido à gravidade. Se y(t) é a distância abaixo do corpo para alguma altura

fixada, então sua aceleração é 2

2

d ydt

, e (1) torna-se 2

2 .d ym mdt

= g ou 2

2

d y gdt

= (2)

Se nós alterarmos a situação assumindo que o ar exerce uma

e D D

força de resistência proporcional à velocidade, então a força total

exercida sobre o corpo é . dym g kdt

− e (1) torna-se

2

2 .d y dym m g kdtdt

= − ou 2

2 .d y dym kdtdt

+ = m g (3)

As equações (2) e (3) são as equações diferenciais que xpressam as atribuições essenciais dos processos físicos considerados.

efinição e Notações

efinição: Uma equação envolvendo as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais

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variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial. Exemplos:

1. 13 −= xdxdy ; 6. ( ) ( ) xyyyyy 5''3'' 35 =++ ;

2. ; 7. 0.. =− dxydyx yxdtdy

dtdx

+=+ 2 ;

3. 0652

2

=+− ydxdy

dxyd ; 8. 2

11'x

yx

y =+ ;

4. 122

2

2

=

+

dxdy

dxyde y ; 9. u v

y x∂ ∂

= −∂ ∂

;

5. 32

22 4. . 8. 0d s dst s s

dtdt

− +

= ; 10. 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yz

xz .

Observação: A notação de Leibniz dxdy , 2

2

dxyd , 3

3

dxyd , ... ,

xw∂∂ , 2

2

yz

∂∂ , ... , nos parece ser

mais vantajosa sobre a notação , ... , pois, explicita claramente as variáveis dependentes e as independentes.

''' ,'' ,' yyy

Ordem de uma Equação Diferencial A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da derivada de mais alta ordem que nela aparece.

Grau de uma Equação Diferencial O grau de uma equação diferencial, admitindo-se a mesma escrita na forma racional inteira em relação às derivadas, é dado pelo grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece, ou seja, é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação. Exemplo:

1

3

33

3

=−

dxyd

ydx

yd ⇒ 3

32

3

3

dxydy

dxyd

=−

⇒ 3a ordem e 2o grau.

Preencha o quadro abaixo, com respeito à ordem e o grau, dos dez exemplos apresentados anteriormente:

Exemplo Ordem Grau Exemplo Ordem Grau 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10

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Classificação das Equações Diferenciais As equações diferenciais são classificadas em: a) Equações Diferenciais Ordinárias: são aquelas cuja(s) função(ões) incógnita(s)

depende(m) de uma única variável, e portanto, só apresentam derivadas ordinárias (os oito primeiros exemplos);

b) Equações Diferenciais Parciais: são aquelas cuja(s) função(ões) incógnita(s) depende(m) de mais uma variável, e portanto, as derivadas são parciais (os dois últimos exemplos).

Resolução de uma Equação Diferencial Resolver ou integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que substituídas conjuntamente com as suas derivadas na equação diferencial dada, a verificam identicamente. Tais funções chamam-se soluções, primitivas ou integrais da equação. Exemplos:

1) A função , onde xsencxcy cos 21 += ∈21 , cc ℜ, são ditas constantes arbitrárias, é

solução da equação diferencial 0=2

2

+ ydx

yd , pois,

xcxsencdxdy cos 21 +−= e xsencxc

dxyd cos 212

2

−−= .

Substituindo na equação diferencial dada vem,

0 cos cos?

2121 =++−− xsencxcxsencxc 00 = (Verdade → a igualdade se verificou).

2) A função é solução da equação diferencial 22 yxz += 0=∂∂

−∂∂

yzx

xzy , pois,

xxz 2=∂∂ e y2

yz=

∂∂ . Substituindo estas derivadas parciais na equação dada vem,

022?=− xyxy

00 = (Verdade).

3) Já a função não é solução da equação diferencial 2xy = 32 += xdxdy , pois,

xdxdy 2= e substituindo na equação diferencial dada vem, 2 32 +≠ xx . Logo, não se

verificou a igualdade.

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Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial Uma equação diferencial pode ser abordada de três maneiras diferentes: a analítica, a qualitativa e a numérica. A forma analítica é aquela tradicional onde a solução, uma função explícita ou implícita, é encontrada pelo uso direto do cálculo diferencial e integral. Num primeiro curso de Equações Diferenciais, geralmente, é dado prioridade a este processo analítico na busca da solução de uma equação diferencial.

Aqui, já começa a ficar claro que por este processo analítico não é sempre possível encontrar a solução de todas as equações diferenciais, pois com já sabemos, existem muitas funções que não são integráveis. Já pelo processo qualitativo, discute-se o comportamento das soluções e os aspectos das curvas integrais descritos por meio de campos de direções, isto é, graficamente. Este procedimento, no estudo das equações diferenciais ordinárias de 1a ordem, não envolve cálculos complicados e é baseado na interpretação da derivada. Finalmente, na abordagem numérica, métodos numéricos são utilizados para aproximar soluções de problemas de valor inicial de equações diferenciais de 1a ordem.

No caso das equações diferenciais ordinárias, a solução analítica pode ser dos seguintes tipos: a) Solução Geral: É uma solução que contém tantas constantes arbitrárias essenciais

quantas forem as unidades da ordem da equação considerada.

Exemplo: (onde xsencxcy cos 21 += ∈21 , cc ℜ) é solução geral da equação diferencial

02

2

=+ ydx

yd , pois, o número de constantes arbitrárias essenciais é 2, igual às unidades

da ordem da equação diferencial considerada. b) Solução Particular: É a solução que se obtém atribuindo-se valores particulares às

constantes arbitrárias, que figuram na solução geral.

Exemplo: xy cos= é uma solução particular da equação 02

2

=+ ydx

yd ,pois, é uma

solução obtida da solução geral acima, quando 11 =c e .02 =c

c) Solução Singular: É uma solução desprovida de constantes arbitrárias e que não pode ser obtida da solução geral. Também são chamadas de soluções perdidas. Sendo assim, apenas alguns tipos de equações diferenciais apresentam essa solução.

Exemplo: Seja a equação de Clairaut

−=

dxdy

dxdyxy ln

y ln1

. Ela possui solução geral

dada por e solução singular dada por ccxy ln−= x += (verifique!). É fácil notar que a solução singular não pode ser obtida da solução geral.

No caso das equações diferenciais parciais as soluções analíticas são dos seguintes tipos: a) Solução Geral: É uma solução que contém funções arbitrárias.

Exemplo: Dada a equação diferencial parcial 0=∂∂

−∂∂

yzx

xzy , a função arbitrária

é solução geral da equação diferencial, pois, f é uma função de argumento u x , isto é,

)( 22 yxfz +=2 y= + 2 )(ufz = , sendo u , e derivando z em relação a 22 yx +=

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x e a y, tem-se xufxz 2).('=∂∂ e yuf

yz 2).('=∂∂ . Substituindo-se na equação

diferencial dada vem,

0=02).('2).('.?=− yuxfxufy ∴ 0 (Verdade).

b) Solução Completa: É uma solução que contém constantes arbitrárias.

Exemplo: Dada a equação diferencial parcial yz

xz

yzy

xzxz

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

= . ,

a função , onde e b são constantes arbitrárias, é solução completa da equação dada (Verifique).

baybxaz ... ++= a

c) Solução Particular: É a solução obtida da solução completa, atribuindo-se valores às constantes arbitrárias. d) Solução Singular: É uma solução que não resulta nem da solução geral, nem da solução completa.

Assim, uma das mais importantes diferenças entre as soluções das equações diferenciais ordinárias e as soluções das equações diferenciais parciais, é aquela que, enquanto a solução geral de uma equação diferencial ordinária de ordem n contém n constantes arbitrárias de integração, a solução geral de uma equação diferencial parcial contém funções arbitrárias.

Outra particularidade que existe, é de que nem sempre o número de funções arbitrárias ou de constantes arbitrárias traduz a ordem da equação diferencial parcial. Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial Sob o ponto de vista geométrico a solução geral de uma equação diferencial ordinária representa uma família de curvas. Estas curvas chamam-se curvas integrais. Uma solução particular é representada por uma curva desta família.

Exemplo: Seja a equação diferencial xdxdy 2= , cuja solução geral é dada por

. cxy += 2

Esta solução geral nada mais é do que uma Família de Parábolas, todas de concavidade voltada para cima e simétricas em relação ao eixo y, conforme mostra a figura abaixo, para alguns valores de .3 , 5,1 ,1 ,0 ,1 , 54321 ====−= cccccc

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Observação: Existem infinitas parábolas nesta família, onde cada uma delas representa uma solução particular (uma para cada determinado valor de

ℜ). ∈c Exemplos:

1) Verifique se y é solução da equação diferencial 321 ).( cexcc x ++=

02 2

2

3

3

=+−dxdy

dxyd

dxyd .

Solução:

2) Dado cxxy +−=2

3 2

determine a equação diferencial de menor ordem possível

que não contenha nenhuma constante arbitrária. Solução: 3) Dado determine a equação diferencial de menor ordem

possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. xsencxcy 2 2 cos 21 +=

Solução: Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno

Na resolução de equações diferenciais, estamos interessados não somente nas

suas soluções gerais, mas também naquelas soluções que satisfazem certas condições.

Aqui trataremos daquelas condições que são conhecidas como condições iniciais e condições de fronteira (contorno) de equações diferenciais ordinárias. Uma condição inicial é uma condição, na solução de uma equação diferencial, em um único ponto; condições de fronteira (contorno) são condições, na solução de uma equação diferencial, em dois ou mais pontos. A equação diferencial com condição inicial será chamada de um Problema de Valor Inicial; aquela que envolve suas condições de fronteira (contorno) será chamada de um Problema de Valores de Fronteira (contorno).

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Exemplos de Problemas de Valor Inicial: a)

=

=

2)0(y

kydxdy

,

b)

==

=−−

3)0('0)0(

0.2'''

yy

yyy

Exemplo de Problema de Valores de Fronteira (Contorno):

2

2 4. 0

(0) 1

' 22

d y ydxy

y π

+ =

= =

Teorema de Existência e Unicidade

É sempre importante ter-se alguns teoremas básicos que nos habilitem a determinar se uma dada equação diferencial com condições iniciais tem ou não uma solução única. Afortunadamente, existem teoremas que nos ajudarão (nem sempre, contudo) a responder estas questões. Aqui nós abordaremos os Teoremas da Existência para equações diferenciais ordinárias de 1a

e 2a ordem, sem nos preocuparmos com as demonstrações dos mesmos. Teorema 1: Sejam as funções f e

yf∂∂ contínuas num domínio D do plano xy contendo

o ponto (xo , yo). Então, existe um intervalo Io : 0x x h− < , (h>0) [ou xo – h < x < xo + h ],

no qual há uma solução única , y = y(x), satisfazendo a equação diferencial ),( yxfdxdy

=

e a condição inicial y(xo) = yo.

Exemplo: Dado o problema de valor inicial 2.

(1) 1

dy xdxy

= =

.

Seja uma região (cinza) no plano D xy que contém o Fig. I

ponto ( , . Como 0 0 ) (1,1)x y = ( , ) 2.f x y x= e 0fy∂

=∂

são

contínuas em , existe algum intervalo ID o : 1x h− < , (h>0), no qual há uma solução

única , satisfazendo a equação diferencial 2(y x= ) 2.dy xdx

= e a condição inicial (1) 1y =

(Fig.I). Teorema 2: Sejam as funções f,

yf∂∂ e

zf∂∂ contínuas num domínio tridimensional D

contendo o ponto (xo , yo , zo). Então, existe um intervalo Io : 0x x h− < , (h>0) , no qual

14

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

há uma solução única , y = y(x), satisfazendo a equação diferencial e as condições iniciais y(x

)',,('' yyxfy =

o) = yo e 00 )(' zxy = .

ky

yxf=

∂∂ ),(

yf∂∂

0 1x x x h− = − <

Note-se que os teoremas acima não se referem ao tamanho do intervalo Io. Eles meramente afirmam que existe este intervalo. Além disso, estes teoremas não nos indicam um método para encontrar esta solução única. Estes teoremas fornecem aquelas que são conhecidas como as condições suficientes para a existência de uma solução única. Isto é, se as condições estabelecidas nas hipóteses dos respectivos teoremas são satisfeitas, então, nós assumiremos que existe uma única solução para o problema de valor inicial, em algum intervalo Io. Contudo, as condições estabelecidas nas hipóteses destes teoremas não são necessárias, isto é, se estas condições não forem todas satisfeitas, poderá existir uma única solução. Exemplos:

1) Mostre que o problema de valor inicial

=

=

key

kydxdy

)1(

tem uma única solução no intervalo Io : 1x h− < (h>0). Solução:

Aqui, f(x,y) = ky e .

Claramente, ambas as funções f e satisfazem a hipótese do Teorema 1 em todo

plano xy. Em particular, podemos aplicar este teorema em qualquer domínio D contendo o ponto (xo ,yo) = (1,ek). Assim, existe um intervalo Io : , no qual há uma única solução, y(x), satisfazendo a equação diferencial e sua condição inicial. A solução geral é dada por y = c.ek.x onde c é uma constante arbitrária. Desde que y = ek em x = 1, nós encontramos c = 1. Assim, y = ek.x é a única solução do problema de valor inicial no intervalo Io : 1x h− < . Neste exemplo, esta única solução existe sobre o intervalo −∞ < x < ∞

2) Mostre que o problema de valor inicial:

=+=0)0(

4' 2

yyy

tem uma única solução no intervalo Io : x h< . Solução:

Aqui, f(x,y) = 4+ y2 e yy

yxf 2),(=

∂∂ .

As funções f(x,y) e y

yxf∂

∂ ),( , satisfazem a hipótese do Teorema 1 em qualquer ponto

do plano xy. Para um domínio D contendo o ponto (xo,yo) = (0,0) asseguramos, pelo teorema, a existência de um intervalo Io : 0 0x x x x h− = − = < , onde há uma única solução y(x) satisfazendo o problema de valor inicial. A solução para este problema é y = 2.tg 2x (observe gráfico acima). Assim, esta função é a única solução do problema de valor inicial no intervalo Io: x h< .

15

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Neste exemplo, a solução única realmente existe sobre o intervalo 44ππ

<< x− .

Note, contudo, que esta solução única não pode ser estendida além deste intervalo, pois, qualquer intervalo maior conteria os pontos

4π

−=x e/ou 4π

=x , e a função y

dada por y = 2.tg 2x não é definida nestes pontos. 3) Mostre que y = e 2x – e− x é a única solução do problema de valor inicial.

, no intervalo I

==

=−−

3)0('0)0(

0.2'''

yy

yyyo : x h< .

Solução: onde )',,('' yyxfy = '2)',,( yyyyxf += .

Assim, f(x,y,z) = 2y + z e

=∂

∂

=∂

∂

1),,(

2),,(

zzyxf

yzyxf

Claramente, as funções f, yf∂∂ e

zf∂∂ satisfazem a hipótese do Teorema 2. Em

particular, podemos aplicar o teorema para qualquer domínio D contendo o ponto (xo ,yo ,zo) = (0,0,3). Assim, existe um intervalo Io : 0 0x x x x h− = − = < , no qual há uma única solução y(x) satisfazendo a equação diferencial e as condições iniciais dadas acima.

Exercícios

1) Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação diferencial correspondente:

Funções Equações Diferenciais

a) → 221 2 xcxcy ++= 021

2

2

=+−xdx

dyxdx

yd ;

b) → tt ececs 32

21 += − 062

2

=−− sdtds

dtsd ;

c) → 2).( cxcy −= ( ) 08'4' 23 =+− yxyyy ;

d) )2( cos 21 ctcs += → 042

2

=+ sdt

sd ;

e) beay bx

−= . → 02

2

2

=+

−

dxdy

dxdy

dxydy ;

16

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

f) xxx eececy 22

31 3

1−+= − → xey

dxdy

dxyd 22

2

32 =−− ;

g) tsenttsenctcx 3 .213 3 cos 21 ++= → tx

dtxd 3 cos392

2

=+ .

2) Verifique se as funções u = x2− y2 , u = ex.cos y e u = ln (x2+ y2) são soluções da

equação diferencial de Laplace 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yu

xu .

3) Dadas as curvas abaixo, determine para cada uma delas, a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária.

a) Resp.: cyx =+ 22 0=+ ydyxdx ;

b) Resp.: xcey = 0=− ydxdy ;

c) Resp.: )22 y−.(3 xcx =dxdyxyxy 222 =−3 ;

d) Resp.: 321 )( cexccy x ++= 02 2

2

3

3

=+−dxdy

dxyd

dxyd ;

e) Resp.: xx ececy −+= 22

1 022

2

=−− ydxdy

dxyd .

4) Mostre que y = ex+1 – 3.(x+1) é a única solução do problema de valor inicial

para algum intervalo I

=−+=

1)1(3'

yyxy

o : 1x h+ < .

5) Mostre que x

xxxysen1

cos)cos2(+−+

=

x

é a única solução do problema de valor inicial

, para algum intervalo I

==+

1)0( cos sec.'

yxyy

o : x h< .

6) Encontre uma função de modo que ( )r x (ln )y sen x= , , seja solução da

equação diferencial ordinária:

0x >

[ ( ). '] 0d yr x ydx x

+ = .

....................................................

17

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Equações Diferenciais Ordinárias

de 1a Ordem e 1o Grau Como já foi citado anteriormente, nem todas as equações diferenciais possuem solução analítica [podemos até afirmar que não são “muitos” os tipos (classes) de equações diferenciais que as possuem].

Assim sendo, aqui vamos abordar somente alguns poucos tipos de equações diferenciais ordinárias de 1a ordem e 1o grau, para os quais foram criados procedimentos analíticos para se encontrar as suas respectivas soluções.

Muitos desses procedimentos foram descobertos pela necessidade de se conhecer a solução de uma determinada equação diferencial, a qual, na realidade, era o modelo matemático de um problema real, outros procedimentos, foram criados por mera curiosidade matemática.

A habilidade para se encontrar a solução analítica (exata) de uma equação diferencial depende da habilidade em se reconhecer a que tipo (classe) a equação diferencial em questão se enquadra e da aplicação de um método específico para o cálculo da solução, pois, o método que se aplica para resolver um tipo de equação diferencial, não necessariamente serve para resolver outro.

Definição: Diz-se que uma Equação Diferencial Ordinária é de 1a Ordem e 1o Grau se a mesma pode ser escrita na forma

),( yxFdxdy

= ou 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM .

Classificação

Começaremos agora nosso estudo sobre a metodologia de resolução de algumas classes ou tipos de equações diferenciais ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau:

1o Tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis

a) Equações Diferenciais de Variáveis Separadas: São aquelas equações diferenciais que podem ser expressas da forma

0)()( =+ dyyNdxxM .

Se as funções M e N são integráveis, obtemos imediatamente a solução geral da equação diferencial proposta aplicando-se o operador integral (que é um operador linear) a ambos os membros da equação diferencial.

Assim, resulta [∫ =+ cdyyNdxxM )()( ] ∴ ∫ ∫ =+ cdyyNdxxM )()( .

Observe que o c representa a soma algébrica de todas as constantes de integração.

Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial . 0.. =+ dyydxx

Solução:

18

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

b) Equações Diferenciais Redutíveis às de Variáveis Separáveis:

Uma equação diferencial da forma 0).().().().( 2211 =+ dyyNxMdxyNxM , pode ser reduzida a uma equação diferencial de variáveis separadas, mediante a

multiplicação da equação pela expressão 1 2

1( ). ( )N y M x

chamada fator de

integração.

Assim, temos 0)()(

)()(

1

2

2

1 =+ dyyNyNdx

xMxM , que é uma equação diferencial de

variáveis separadas.

Observação: Este tipo de equação diferencial pode também aparecer escrito na

forma de derivada, isto é, )().( yhxgdx

=dy . Assim, multiplicando-se ambos os

membros da equação por )(yh

1 e a seguir por (por definição, dx xdx ∆= é o

acréscimo da variável independente, então, seu valor é constante e diferente de zero), tem-se

dxxgdxdxdy

yh)(

)(1

= (4)

Como dydxdxdy

= (ou , isto é, a diferencial da variável dependente é

igual ao produto da derivada da função pela diferencial da variável

independente) de (4) resulta,

dxxfdy ).('=

dxxgdy )(=yh )(

1 ∴ 0)(

1)( =+− dyyh

dxxg , que é

uma equação diferencial de variáveis separadas, cuja solução poderá ser obtida

por integração, se as funções e )(xg)(

1yh

forem integráveis.

Exemplos: Resolva as seguintes equações diferenciais: 1) 0=+ xdyydx ; Solução:

2) 13 += xdxdy ;

Solução:

3) 04=

−− dy

yxxdx ;

Solução:

19

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

4) yx

ydxdy

).1(1

2

2

++

= .

Solução:

Sobre a Curva Tractriz Suponhamos que um ponto P é arrastado ao longo do plano xy por um fio PT de comprimento constante a, ou seja, T desloca-se a partir da origem na direção positiva do eixo x e P é arrastado a partir do ponto . Nestas condições, determinar o caminho percorrido pelo ponto P ?

)0 ,(a

A curva descrita pela trajetória deste ponto P é chamada de Tractriz (do latim tractum que significa arrastar) ou curva Equitangencial. O Modelo matemático: Das condições do problema e observando a sua representação gráfica ao lado, conclui-se que o segmento de reta PT é tangente à curva no ponto P, e portanto, sua inclinação é dada por

QPQT

dxdy

−= ou 2 2 dy a x

dx x−

= −

que é uma equação diferencial de variáveis separáveis em x e y. A Resolução: Separando-se as variáveis, integrando e usando o fato de que quando 0=y ax = [condição inicial ], obtemos 0)( =ay

2 2

2.ln a a xy a a xx

− −= − − −

2 ou y

que é a equação da Tractriz.

2 22 2.ln a a xa a x

x

+ −= − −

20

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Esta curva é de considerável importância, pois, sua revolução em torno do eixo y gera a superfície que é um modelo para a versão da geometria não-Euclidiana de Lobachevski. Solução Singular (ou Solução perdida): Dada uma equação diferencial de

variáveis separáveis, digamos ( ). ( )dy g x h ydx

= , devemos ter cuidado quando estivermos

separando as variáveis, uma vez que os divisores podem se anular em um ou mais pontos. Especificamente, se r for um zero da função , substituir ( )h y y r= em

( ). ( )dy g x h ydx

= torna nulo ambos os membros; em outras palavras, é uma solução

constante na equação diferencial. Mas, após a separação das variáveis, o primeiro

membro da equação

y r=

( ).( )dy g x dx

h y= fica indefinido em r. Conseqüentemente, y r=

pode não aparecer na família de soluções (solução geral) obtidas após a integração e simplificação. Lembre-se que essa solução é chamada de solução singular.

Exemplo: Resolver 2 4dy ydx

= − .

Solução: Separando as variáveis temos 2 4dy dx

y=

− ou

1 14 4 .

2 2dy dx

y y

− = − + e

integrando vem 11 1ln 2 ln 24 4

y y− − + = +x c ⇒ 2ln 4.2

y x ky−

= ++

⇒

4.22

x ky ey

+−= ±

+ ⇒ 4.2 .

2xy c e

y−

=+

⇒ 4.

4.

1 .2.1 .

x

x

c eyc e

+=

− (Solução Geral).

Agora, se fatorarmos o segundo membro da equação diferencial 2 4dy ydx

= − , teremos

( 2).( 2dy y ydx

= − + ) e é fácil verificar que 2y = e 2y = − são duas soluções constantes.

A solução é uma solução particular, pois, pode ser obtida a partir da solução geral, atribuindo-se para a constante arbitrária c o valor zero. Já, a solução

2y =2y = − é

uma solução singular, pois, não pode ser obtida a partir da solução geral, mediante a atribuição de um valor à constante arbitrária c. Isto indica que esta solução foi perdida no início do processo de solução. A inspeção da equação diferencial

1 14 4 .

2 2dy

y y

− − + dx = indica claramente que precisamos omitir nessas etapas. 2y = ±

2o Tipo: Equações Diferenciais Homogêneas a) Função Homogênea: Diz-se que uma função, digamos, é uma função

homogênea de grau de homogeneidade n, para algum n∈ , em relação às variáveis x e y, se tiver para todo

),( yxfℜ

*+ℜ∈λ

),(.).,.( yxfyxf nλλλ =

21

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exemplos: Verifique se as funções abaixo são homogêneas e dê o grau de homogeneidade:

1) 22),( yxyxf +=

2) yxyxyxf

.),(

33 −=

3) x

yxyxg25),( +

=

4) xy

eyyxh .),( =

5) )1 ln .(ln),( 3 −−= yxxyxf

b) Equação Diferencial Homogênea: É toda equação diferencial que pode ser escrita

da forma 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM , onde M e N são funções homogêneas e de mesmo grau, em relação a x e y.

Assim, se a equação diferencial é homogênea ela pode ser transformada, mediante a substituição xvy .= (ou yvx .= ), em uma equação diferencial de variáveis separáveis em v e x (ou v e y), que depois de encontrada a sua solução geral faz-se

a substituição xyv = (ou

yx

=v ) para se obter a solução geral da equação

diferencial inicial. Observação: Uma equação diferencial também pode ser identificada como

homogênea se ela puder ser escrita da forma

=

xyF

dxdy ou

=

yxF

dxdy .

Exemplos: Encontre a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo:

a) 0).()..(2 22 =+++ dyyxdxyxxSolução:

22

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

b) dxdyyx

dxdyxy .22 =+

Solução:

23

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exercícios

I) Achar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:

a) R: 0).3().2( =−−+ dyxdxy cxy =−+ )3).(2(

b) R: c y0).1(. 2 =+− dyxdxxy 2 2. 1 x= +

c) R: 0).32.().3.( =+−+ dxxydyxx . .( 3)y c x x= +

d) 0.1.1 22 =−−+ dxydyx R: 21.(ln xxcysenarc ++=

e) 0. . =+ θθρρ dtgd R: θρ cos.c=

f) ( R: 0).1 2 =−− dxydyx 1)1.( ln. =− xcy

g) ( 2 R: ). (2 3 ).x y dx x y dy+ + − 0= cyxyx =−+ 22 34

h) ( R: ( 0).64().53 =+++ dyyxdxyx cyxyx =++ )2.()2

i) R: 0.).(2 =++ dyydxyx cx

yxtgarcyxyx =+

−++ 22 22ln21

j) R: 0).75().108( =+++ dyxydxxy cyxyx =++ 32 )2.()(

k) ( R: 0).3().2 =+++ dyyxdxyx cyxyx =++ 22 322

l) 0).21().13.(2 =−++ dzwdwzz R: ( zczw .)31).(12 =+−

m) dxzxdxzdzx .4.2. 22 +=−2 R: 1 04 22 =−+ xccz

n) ( R: 0.2).4 =++ dyxdxyx cyxx =+ 23 6

o) 21.ln.

+

=x

ydydxxy R: cyyyxxx +++=− ln2

21

91ln

31 233

II) Achar a equação da curva que passa pelo ponto e cujo coeficiente angular

é, em qualquer ponto igual a

)0,1(

xxy+−1

2 . R: xxy −=+ 1)1.(

III) Achar a solução particular que é determinada pelos valores de x e y dados.

a) 04 =+x

dyy

dx , , 4=x 2=y R: 324 22 =+ yx

b) , , dyxydxyx .2).( 22 =+ 1=x 0=y R: xxy −= 22

.....................................................

24

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

3o Tipo: Equações Diferenciais Redutíveis às Homogêneas ou às de Variáveis Separáveis

São as equações diferenciais da forma

++++

=222

111

cybxacybxa

Fdxdy , onde

e c são constantes. 22111 ,,,, bacba 2

Para este tipo de equações temos a consideram dois casos:

a) Se det a equação diferencial se reduzirá a uma outra equação

diferencial homogênea.

022

11 ≠

baba

Para tanto, forma-se o sistema , cuja solução admitamos ser

=++=++

00

222

111

cybxacybxa

α=x e β=y . A seguir, realizamos na equação diferencial considerada as seguintes

substituições , com as quais vamos obter uma equação

diferencial homogênea em u e v.

=→+==→+=

dvdyvydudxux

βα

Esta mudança de variáveis, geometricamente, equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto ( ),βα , que é a interseção das retas do sistema acima. Desse modo, as retas com variáveis u e v se interceptarão na origem ( ).021 == cc

Exemplo: Resolver a equação diferencial 23132

−+−−

=yxyx

dxdy

Solução:

25

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

b) Se det , a equação diferencial se reduzirá a uma outra de variáveis

separáveis.

022

11 =

baba

Para tanto, faz-se tybxa =+ 11 (ou tybxa =+ 22 ), sendo t uma função de x. Então, derivando-se em relação a x vem,

−= 1

1

1 adxdt

bdxdy

Substituindo estes resultados na equação diferencial dada, obtém-se uma equação diferencial de variáveis separáveis em t e x.

Exemplo: Resolva a equação diferencial 13612−−+−

=yxyx

dxdy .

Solução:

26

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exercícios Calcular a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:

1) 0).13().32( =−−−− dyyxdxyx R: cxyxy =

−+

−

−−

−

22

732

72.

73.6

72

2) 0).232().132( =+++−+ dyyxdxyx R: 3 3 9.ln 2 3 7x y x y c+ = − + − +

3) 0).52().42( =+−++− dxyxdyyx R: ( )3.()1 3 +−=−+ yxcyx

4) 342

12++++

=yxyx

dxdy R: cxyyx =−+++ 48584 ln

5) 0).56().34( =−−−−− dyyxdxyx R: )23.()12( 2 −−=−− yxcyx

6) 0).32().42( =−+−−+ dyyxdxyx R:

−+=−−

37.)1 3 yxcyx(

7) yxyx

dxdy

++−−

=1

331 R: cyxyx =+−−++ 1ln.23

................................................

4o Tipo: Equações Diferenciais Exatas Uma equação diferencial ordinária de 1a ordem escrita da forma 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM (5)

é dita exata se o 1o membro for uma diferencial total (ou exata), isto é,

dyyUdx

xUdU

∂∂

+∂∂

= (6)

de uma função U . ),( yx Neste caso a equação diferencial (5) pode ser escrita e mediante integração obteremos a solução geral de (5) que é da forma U(x,y) = c.

0=dU

Comparando (5) e (6) vemos que (5) é uma diferencial exata se existe uma

função U(x,y) tal que, xU∂

M ∂= (I) e

yUN∂∂

= (II),

então, xy

Uy

M∂∂

∂=

∂∂ 2

e 2N U

x x y∂ ∂

=∂ ∂ ∂

27

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

e pelo Teorema de Schwartz como 2 2

U Uy x x y∂ ∂

= ⇒∂ ∂ ∂ ∂

xN

yM

∂∂

=∂∂ → (Condição

necessária para que a equação diferencial 0).,( =).,(+ dyyxM yxNdx seja uma equação diferencial exata). Para calcularmos a expressão de U(x,y) vamos integrar (I) em relação a x. Portanto, U , onde Q(y) é uma função só de y (III) ∫ += )(.),( yQdxMyxPara determinarmos Q(y), derivamos (III) em relação a y e usamos (II).

Assim, ( ) NyQdxMyy

U=+

∂∂

=∂∂

∫ )('. ⇒ ( )∫∂∂

−= ).)(' dxMy

NyQ (função só de y).

Fazendo , ∫ = PdxM .yPNyQ∂∂

−=)(' ∴ dyyPNyQ ∫

∂∂

−= .)( e substituindo em (III)

vem, ( , ) .y M dx N= + .P dyy

∂− ∂

PU x , onde ∫ ∫ ∫= dxM .

Como U(x,y) = c, então a solução geral da equação diferencial exata

0).,().,( =+ dyyxNdxyxM será dada por cdyyPNdxM =

∂∂

−+∫ ∫ .. .

Exemplos: Calcular a solução geral de cada uma das equações dadas:

1) ( 0).46().63 3222 =+++ dyyyxdxxyxSolução: 2) 0.2).( 22 =−− dyxydxyxSolução:

28

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exercícios I) Calcular a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: 1) 0).23().12( =−+−+− dyyxdxyx R: cyyxxyx =−++− 22 34222 2) R: 0).2.(. =−+ dyyexdxe yy cyex y =− 2.

3) R: 0). cos2().( 23 =+++ dyyxydxyx cysenxyx=++

42

4

4) 0.1.2)( cos..)( cos. =

+++

+ dy

yxxyxdx

xyxyy R: cyxyxysen =++ ln.2)(

5) yxy

xyxdxdy

2

2

++

−= R: cyyx =++ 222 )1.(

6) 0). cos1(). .1( =−++ dyxdxxseny R: cxyyx =−+ cos.

7) 0324

22

3 =−

+ dyy

xydxyx R: c

yyx

=−1

3

2

8) R: 0).2 cos..2(). cos.( 22 =+−+− dyyxyxexdxxyye yy 2 2. yx e sen xy y c− + =

9) R: 0).42().32( 22 =++− dyyxdxxy cyxyx =+− 4322

10) 22 . 6xdyx x e y xdx

= − + R: cxeexxy xx =−+− 322.2

II) Resolva os problemas de valor inicial (determine a solução particular):

1) ( ) 0. .. cos.2 2 =−− dyysenxdxeyx x , 0=x R: 1 cos.2 −=− yeyx

2) 2

2

cos . .(1 )

dy xy x sen xdx y x

−=

− , 2)0( =y R: cxxy =−− 222 cos)1.(

3) eydyyxxsenydxxyxxy ==+−+−− )0( , 0). ln .2().23 cos.( 322

R: 2 3 2. .ln y sen x x y x y y y 0− − + − =

...............................................................

29

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Fator Integrante

Quando multiplicamos uma expressão dyyxNdxyxM ).,().,( + , que não é

diferencial exata, isto é, xy ∂

≠∂

NM ∂∂ , por uma função ),( yxλ e ela se transforma em uma

expressão diferencial exata, a esta função chamamos de Fator Integrante.

Exemplo: Seja a equação diferencial 0.. =− dyxdxy , onde yyxM =),( e

, tem-se, xyxN −=),( 11 −=∂∂

≠=∂ xy∂ NM , e portanto, a equação não é uma equação

diferencial exata.

Porém, se multiplicarmos essa equação diferencial por 2

1x

ou 2

1y

ou 22

1yx +

,

ela se converterá em uma equação diferencial exata (Verifique!).

Logo, 2

1x

, 2

1y

e 22

1yx +

são fatores integrantes da equação diferencial dada.

Pesquisa de um Fator Integrante Vamos supor que ( y),xλ seja um fator integrante da equação diferencial

. Se multiplicarmos ambos os membros desta equação por 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM),( yxλ , temos 0.... =+ dyNdxM λλ (7)

λ Como por suposição, é fator integrante da equação (7), então, ela é uma

equação diferencial exata e, portanto, xN

yM

∂∂

=∂

∂ )()( λλ .

Calculando as derivadas parciais temos x

NxN

yM

yM

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ λλλλ

∂∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂

yM

xN

xN

yM .λλλ (8)

A equação (8) é uma equação diferencial de derivadas parciais de 1a ordem em λ , e por enquanto a sua solução não pode ser calculada. Assim, para simplificar esta equação vamos supor que λ é apenas uma função de x ou . y

Supondo que λ seja uma função apenas de x , 0=∂∂

yλ e (8) se transforma em

∂∂

−∂∂

=∂∂

−y

MxN

xN .λλ (9)

Dividindo ambos os membros de (9) por N.λ− , temos

∂∂

−∂∂

=∂∂

xN

yM

Nx11 λ

λ (10)

A equação (10) só terá sentido se o 2o membro for função só de x . Desse modo,

)(1 xdxd ψλ

λ= ∴ dxxd ).(ψ

λλ= ∴ ∫∫ = dxxd ).(ψ

λλ ∴

∴ ∫= dxx).(ln ψλ ∴ . ∫=dxx

e).(ψ

λ

30

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Analogamente, supondo que λ seja uma função apenas de , y 0=∂∂

yλ e (8) se

transforma em

∂∂

−∂∂

=∂∂

yM

xN

My11 λ

λ, que só terá sentido se o 2o membro for função

só de . Desse modo, y )(1 ydyd φλ

λ= ∴ dyy).(φ

λ= ∴ ∫= dxx).(ψ

λ∫dλ ∴ dλ

∴ ∫= dyy).(ln φλ ∴ . ∫=dyy

e).(φ

λ

Observemos que, pelo processo adotado, podemos determinar um fator integrante e não todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa desse fator. Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais, transformando-as em equações diferenciais exatas, através da multiplicação por um fator integrante.

1) 0).1(.2 =++ dyxydxy

Solução:

2) ( 0.2).22 =+− dyxydxyx

Solução:

31

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exercícios I) Verifique se cada uma das equações diferenciais dadas não é exata. A seguir, pesquise um fator integrante e calcule a solução geral de cada uma delas.

1) R: dxexdxydyx x .... 2=− xexxcy .. +=

2) R: dyxdxydyy ..2 =+ 2 .y x c+ = y

3) 0). ln( 3 =−+ dyxydxxy R: ycyx .ln. 3 =+2

4) ( R: 0). 22 =−+ dyxdxxyx ln yx cx

− =

5) ( R: dyxxdxy ).().1 22 +=+ cx

xytg ++

=1

ln arc

Nota: Nesta última equação não é possível encontrar, por este processo, um fator integrante que seja função apenas de x ou de y. Identifique a qual tipo esta equação diferencial pertence e resolva-a.

II) Resolva o problema de valor inicial dado encontrando um fator integrante:

, 0).4(. 2 =++ dyyyxdxx 0)4( =y R: 20)4( 22

=+xe y

.........................................................

5o Tipo: Equações Diferenciais Lineares

São aquelas que podem ser escritas na forma QyPdxdy

=+ . , onde P e Q são

funções de x . Se Q = 0, é denominada a equação diferencial linear homogênea ou incompleta. Observação: Aqui o sentido de homogênea é diferente daquele descrito nas equações

diferenciais do 2o tipo. Encontra-se a solução geral de uma equação deste tipo, utilizando-se o Método da Substituição (ou Método de Lagrange) ou transformando-a, em uma equação diferencial exata, por meio da multiplicação de um fator integrante. Método da Substituição ou Método de Lagrange

Seja a equação diferencial QyPdxdy

=+ . (11)

Antes vamos examinar dois casos particulares:

1o) Se P = 0 ⇒ Qdxdy

= ∴ dxQdy .= ∴ ∫ += cdxQy .

32

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

2o) Se Q = 0 ⇒ 0. =+ yPdxdy ∴ dxP

ydy .−= ∴ cdxPy +−= ∫ . ln ∴

.P dx cy e− +∫= ∴ . .P dx cy e e−∫= ∴ . ∫=− dxP

eky.

.

Em cada um destes casos percebe-se que a equação diferencial resultante é sempre uma equação diferencial de variáveis separáveis. Agora, vamos nos ater para o caso geral, quando P e Q são ambas funções não nulas. Neste caso, pelo Método da Substituição, vamos fazer , onde z e t são funções de x, sendo z a nova função incógnita e t a função a determinar.

tzy .=

Assim, dxdzt

dxdtz

dxdy .. += e substituindo em (11) vem QtzP

dxdzt

dxdtz =++ ....

∴ QdxdzttP

dxdtz =+

+ .. (12)

Se conseguirmos obter os valores de z e t, obviamente teremos a solução geral de (11) que é uma equação diferencial linear dita completa, já que . Assim, pesquisaremos em (12) um modo de calcular estas duas funções, z e t. Isto pode ser feito impondo-se as seguintes condições, em (12):

tzy .=

=

=+

Qdxdzt

tPdxdt 0.

Resolvendo a equação diferencial 0. =+ tPdxdt , resulta t e levando-se este

resultado em

∫=− dxP

ek.

1.

Qdxdz

=t temos Qdxdzek

dxP=∫− ..

.1 ∴ Qe

kdxdz dxP

..1 .

1

∫= ∴

Qdxek

dzdxP

..1 .

1

∫=

e integrando, 2.

1

..1 kdxQek

zdxP

+∫= ∫ .

Como, ⇒ tzy .=

∫

+∫=

−

∫dxPdxP

ekkdxQek

y.

12.

1

....1

⇒

+∫∫= ∫

−cdxQeey

dxPdxP...

..

que é a solução geral de (11).

Exemplos: Resolva as equações diferenciais:

1) xxy

dxdy

=− ;

Solução:

33

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

2) 0 cot=−+

xxg

xy

dxdy .

Solução:

Exercícios

1) Resolver as seguintes equações diferenciais:

a) 2−=− xxy

dxdy R: ) ln.2.( cxxxy +−=

b) xsenxtgydxdy . =− R:

+= cxsenxy

2 . sec

2

c) xyxtgdxdy cos). ( += R: 1 1 2 .sec

2 4y x sen x c = + +

x

d) 44' xyx

y =+ R: 54 9

1 xxcy +=

e) R: 0.5' =− yy xecy 5.=

2) Resolva os problemas de valor inicial:

a) 0=−+ xeydxdyx , R: bay =)(

xeabey

ax −+=

b) , xsenyy ' =+ 1)( =πy R: ( )xxseney x cos 21

−+= −π

3) Pesquise um fator integrante para a equação diferencial linear QyPdxdy

=+ . . A

seguir resolva o exercício 1) a) por este processo.

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Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Algumas Aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau

Com freqüência, desejamos descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno do mundo real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, econômicos, sociológicos e mesmo biológicos. A representação idealizada deste sistema ou fenômeno envolvendo símbolos matemáticos é chamada de modelo matemático ou simbólico. A construção de um modelo matemático que represente o comportamento de um sistema ou fenômeno pode não ser uma tarefa fácil, pois, o mesmo deve envolver um grande número de variáveis, e cabe a quem estiver modelando identificar quais delas são realmente significativas ao comportamento do sistema, bem como, saber qual a relação que deve existir entre elas. Às vezes, também se faz necessário que certas imposições sejam agregadas para facilitar a construção do modelo, bem como a sua resolução. Assim, podemos concluir que, aqueles que quiserem se dedicar a esta tarefa de modelar deverão possuir “muita” experiência e uma “boa” capacidade de análise e síntese, qualidades estas que podem começar a ser adquiridas a partir do estudo de alguns modelos clássicos. 1) Problemas de Variação de Temperatura: A lei empírica de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente (constante).

Então, a taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo é dtdT , e a lei

de Newton relativa à variação de temperatura de um corpo pode ser formulada como

)( mTTkdtdT

−= , onde k é uma constante de proporcionalidade.

Exemplo: Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100°C em um quarto com temperatura constante de 0°C. Se, após 20 min a temperatura da barra é de 50°C, determine:

a) o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25°C e, b) a temperatura da barra após 10 min.

Solução:

35

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

2) Problemas de Crescimento e Decrescimento: Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento. Se

admitirmos que dtdN , taxa de variação da quantidade de substância é proporcional à

quantidade de substância presente, então NkdtdN .= , onde k é a constante de

proporcionalidade. Observação: Uma das primeiras tentativas de modelagem matemática para o crescimento populacional humano foi realizada pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. O modelo por ele criado foi este descrito acima, mas não se mostrou confiável para se estimar o crescimento de populações humanas em “longos” intervalos de tempo. São raras as populações que crescem segundo esse modelo; entretanto, pode ser usado para o crescimento de pequenas populações em um “curto” intervalo de tempo, por exemplo, crescimento de bactérias. Exemplos: 1) Sabe-se que a massa de certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade de massa presente. Se, inicialmente, a quantidade de massa de material radioativo é de 50 mg, e observa-se que, após 2 horas, perderam-se 10% da massa original, determine: a) a função para calcular a massa de substância restante em qualquer tempo t; b) a massa restante após 4 horas; c) o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade. Solução: 2) Sabe-se que a população de um bairro cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se no segundo ano de existência do bairro a população é o dobro da inicial, e no terceiro ano é de 20.000 habitantes, determine a população inicial. Solução:

36

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

3) Problemas de Diluição: Consideremos um tanque, como na figura abaixo, com uma quantidade inicial de Vo litros de salmoura contendo a gramas de sal. Despeja-se no tanque uma outra solução de salmoura com b gramas de sal por litro, à taxa (razão) de e litros por minuto, enquanto, simultaneamente, a solução resultante, bem misturada, se escoa do tanque à taxa de f litros por minuto. O problema consiste em determinar a quantidade de sal presente no tanque no instante t. Seja Q a quantidade de sal (em gramas) presente no tanque em um instante qualquer. A taxa de variação

de Q, dtdQ , é igual à taxa a qual o sal entra no tanque,

menos a taxa a qual o sal se escoa do tanque. Ora, o sal entra no tanque à taxa b.e litros por minuto. Para determinar a taxa de saída do sal, devemos primeiro calcular o volume de salmoura presente no tanque no instante t, que é o volume inicial Vo mais o volume adicionado e.t menos o volume escoado, f.t. Assim, o volume de salmoura no instante t é V tfte ..0 −+

A concentração de sal no tanque, em um instante qualquer, é

portanto, o sal sai do tanque à taxa de tfteV

Qf..

.

0 −+ gramas po

Logo, tfeV

QfebdtdQ

).(.

0 −+−= , cuja solução Q(t) determ

presente no tanque em qualquer instante t. Exemplo: Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmourNo instante t = 0, começa-se a deitar (derramar) no tanque ágpor minuto, enquanto a mistura resultante se escoa do Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. Solução:

dada por tfteV

Q..0 −+

e,

r minuto.

ina a quantidade de sal

a com 20 gramas de sal. ua pura à taxa de 5 litros tanque à mesma taxa.

37

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

4) Circuitos Elétricos: Seja um circuito simples do tipo RL (Fig. I), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (f.e.m) E (em volts). Aplicando-se a segunda lei de Kirchhoff obteremos a equação diferencial que rege a quantidade de corrente I (em ampères) neste circuito

LEI

LR

dtdI

=+ Fig. I

Seja um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz E, e sem indutância (Fig. II), ligados em série. Pela

segunda lei de Kirchhoff temos que ECqRI =+ . Como a relação entre q e I é dada

por dtdqI = , substituindo-se este resultado na equação anterior obteremos a equação

diferencial que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor

REq

RCdtdq

=+1

Exemplo: Um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistê1 henry. A corrente inicial é zero. Determine a corrente

Solução:

Fig. II

ncia de 50 ohms e indutância de no circuito no instante t.

38

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exercícios Gerais de Aplicações 1) Um corpo à temperatura de 50°F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 min a temperatura do corpo é de 60°F, determine: a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75°F; R: 15,4 min. b) a temperatura do corpo após 20 min. R: 79,5 °F. 2) Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30°F. Se, após 10 min, a temperatura do corpo é 0°F e após 20 min é 15°F, determine a temperatura inicial. R: − 30°F. 3) Sabe-se que certa substância radioativa diminui de massa a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente, a quantidade de material é 50 mg, e após 2 horas se observa a perda de 10% da massa original, determine: a) a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t; b) a massa restante após 4 horas; R: a) ; R: b) . 0,053.( ) 50. tN t e−= mgN 5,40=c) o tempo necessário para que a massa restante fique reduzida à metade. R: 13 horas. 4) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 1 hora, observaram-se 1.000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3.000 núcleos. Determine: a) uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t; b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura. R: a) . 0,366.( ) 694. tN t e= R: b) 694. 5) Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com uma grama de sal. No instante , adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de sal por litro, à razão de 3 litros por min, enquanto a mistura resultante se escoa à mesma taxa. Determine:

0=t

a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t; R: Q t . 0,03.( ) 100 99. te−= −b) o instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal. R:0,338 min 6) Um tanque de 50 galões de capacidade contém inicialmente 10 galões de água pura. Quando , adiciona-se ao tanque uma solução de salmoura com 1 libra ( ) de sal por galão, à razão de 4 galões por min, enquanto que a mistura se escoa à razão de 2 galões por min. Determine:

0=t gramas453,95≅

a) o tempo necessário para que ocorra o transbordamento; R: 20 min. b) a quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento. R: 48 libras 7) Um circuito elétrico RL tem f.e.m. (em volts) dada por , resistência de 10 ohms, indutância de 0,5 henry e corrente inicial de 6 ampères. Determine a corrente no

circuito no instante t. R:

tsen .2 .3

20. 30101

t609 3 2. cos 2.101 101

I e s= + en t− − t .

8) Um circuito RC tem f.e.m. (em volts) dada por , resistência de 100 ohms e capacitância de 10

t.2 cos.400-2 farad. Inicialmente, não existe carga no capacitor. Determine a

corrente no circuito no instante t. R: tsente t .2 58.2 cos

516

54

−+= −tI )( .

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Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

9) Coloca-se um corpo à temperatura de de 0°F em um quarto mantido à temperatura constante de 100°F. Após 10 min a temperatura do corpo é de 25°F, determine: a) o tempo necessário para que a temperatura do corpo atingir 50°F; R: 23,9 min. b) a temperatura do corpo após 20 min. R: 44°F. 10) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de 0°F. Se após 20 min a temperatura do corpo é 40°F e após 40 min é 20°F, determine a temperatura inicial do corpo. R: T(0 )= 80°F. 11) Um corpo à temperatura de 50°C é colocado em um forno cuja temperatura é mantida a 150°C. Se após 10 min a temperatura do corpo é 75°C, determine o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 100°C. R: 23,9 min. 12) Certa substância radioativa decresce a um taxa proporcional à quantidade presente da substância. Se, para uma quantidade inicial de substância de 100 mg, se observa um decréscimo de 5% após dois anos, determine: a) uma expressão para a quantidade restante no tempo t; R: . 0,026.( ) 100. tN t e−=b) o tempo necessário para uma redução de 10% da quantidade inicial. R: 4,05 anos 13) Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Observa-se que após uma hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a “meia-vida” da substância. R: 6,6 horas. Observação: Meia-vida é o tempo necessário para que a massa da substância se

reduza pela metade. 14) Sabe-se que a população de uma determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial.

R: 16.620 habitantes. 15) Um tanque contém inicialmente 10 galões de água pura. No instante , começa-se a adicionar ao tanque uma solução de salmoura com 0,5 libra de sal por galão, à razão de 2 galões por min, enquanto a mistura se escoa do tanque à mesma taxa. Determine:

0=t

a) a quantidade de sal no tanque no instante t; R: Q t . 0,2.( ) 5. 5te−= − +

b) a concentração de sal no tanque no instante t. R: ( )0,2.1 12

tQ eV

−= − .

16) Um tanque contém inicialmente 80 galões de solução de salmoura com 1/8 libra de sal por galão. No instante ,começa-se a adicionar ao tanque outra solução de salmoura com 1 libra de sal por galão, a taxa de 4 galões por min, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à taxa de 8 galões por min. Determine a quantidade de sal no tanque quando este contém exatamente 40 galões de solução.

0=t

R: Q libras. 5,22)10( = 17) Um circuito RC tem f.e.m. de 5 volts, resitência de 10 ohms, capacitância de 10 2− farad e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine:

a) a corrente transitória; R: 10.992

te−− .

b) a corrente estacionária. R: 0 .

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Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

18) Um circuito RL sem fonte de f.e.m. tem uma corrente inicial dada por Io. Determine

a corrente no instante t. R: .

.R tL

oI I e−

= . 19) Um circuito tem f.e.m. dada (em volts) por , resistência de 100 ohms, indutância de 4 henries, e corrente inicial zero. Determine a corrente no instante t .

tsen .4

R: ( )ttsene t cos .256261 .25 −+− .

20) Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária, que afirma ter ligado imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver. Uma hora depois o detetive prende a secretária. Por quê? Dados: A temperatura do escritório era de 20°C. Quando a polícia chegou, mediu a temperatura do defunto, achando 35°C; uma hora depois, mediu novamente obtendo 34,2°C. E por último suponhamos que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de 36,5°C. 21) Uma cidade é abastecida de água por um lago cujo manancial é de 108 litros e que é alimentado por um rio cuja vazão é de 200 litros por minuto. Algumas fábricas localizadas à beira desse rio o poluem (há muito tempo) na ordem de 60 gramas por litro. A quantidade máxima de poluente admissível, por decisão das autoridades sanitárias, é da ordem de 25g/l. O Prefeito Municipal, muito preocupado com as constantes reclamações da população que coloca em xeque a sua reeleição, pede ao engenheiro responsável pelo abastecimento de água da cidade, que resolva este grave problema em um prazo máximo de 4 meses (para que não ultrapasse o dia das eleições). O engenheiro resolve desviar o curso de outro rio (considerando-se que condições impeçam que seja desviado o curso rio poluído) cujas águas estão com um grau de poluição de 10 g/l, fazendo com que o mesmo alimente o lago com uma vazão de 800 l/min. Desprezando-se a evaporação, chuvas e outros fatores que viessem a alterar o volume do manancial (considerando-o, portanto, constante), pergunta-se: “O Prefeito se reelegerá?” R: ≅ 144 dias. 22) A população de uma cidade é de 1.000.000 habitantes. Houve uma epidemia e 10% da população contraiu o vírus. Em sete dias esta porcentagem cresceu para 20%. O vírus se propaga por contato direto entre os indivíduos enfermos e sãos (logo é proporcional ao número de contatos). A partir destes dados e supondo que o modelo seja fechado, isto é, a população mantendo-se constante, sem nascimento, morte ou migração, e os indivíduos tendo toda a liberdade de interagir, calcule: a) a proporção de indivíduos enfermos e sãos, como uma função do tempo; b) o tempo necessário para que a porcentagem de indivíduos enfermos seja de 50%. Sugestões: →x proporção de indivíduos enfermos proporção de indivíduos sãos → y totalidade da população 1 →=+ yx 23) Um ator de cinema que pesa 120 Kg precisa fazer um severo regime para emagrecer, em virtude do seu num novo filme a ser rodado. O diretor exige que ele perca a terça parte do seu peso no máximo em três meses, segundo uma dieta racional que o emagreça proporcionalmente ao peso de cada dia. Nestas condições, sabendo-

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Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

se que, iniciada a dieta, o artista emagreceu 20 Kg em 40 dias, quanto tempo será necessário para que ele comece a atuar no filme? R: ≅ 87 dias. 24) Um investidor aplicou na bolsa de valores determinada quantia que triplicou em 30 meses. Em quanto tempo essa quantia estará quadruplicada, supondo-se que o aumento é proporcional ao investimento feito, e continuando neste mesmo ritmo? R: ≅ 37,8 meses. 25) Uma conta bancária ganha juros continuadamente a uma taxa de 5% do crédito corrente, por ano. Suponha que o depósito inicial foi de R$ 1.000,00 e que não foram feitos outros depósitos ou retiradas. a) Escreva a equação diferencial satisfeita pelo crédito em conta; b) Resolva a equação diferencial e faça um gráfico da solução. 26) O ácido valpróico é uma droga usada para controlar epilepsia; sua meia-vida no corpo humano é de cerca de 15 horas.

a) Use a meia-vida para achar a constante k na equação diferencial QkdtdQ .= .

b) Qual o tempo para que restem 10% da droga? 27) O birtartarato de hidrocondone é usado para suprimir a tosse. Depois que a droga foi completamente absorvida, a quantidade da droga no corpo decresce a uma taxa proporcional à quantidade que resta no corpo. A meia-vida do birtartarato de hidrocondone no corpo é de 3,8 horas e a dose é 10 mg. a) Escreva uma equação diferencial para a quantidade Q da droga no corpo no tempo t, desde que a droga foi completamente absorvida; b) Resolva a equação dada no item (a); c) Use a meia-vida para achar a constante de proporcionalidade k; d) Quando da dose de 10 mg resta no corpo após 12 horas? 28) A morfina é uma droga que alivia a dor. Use o fato de ser a meia-vida da morfina no corpo de 2 horas para mostrar que a magnitude da constante de proporcionalidade para a taxa à qual a morfina deixa o corpo é 347,0≅k . 29) O corpo de uma vítima de assassinato é encontrado, ao meio dia, numa sala com temperatura constante de 20°C; 2 horas depois a temperatura do corpo é de 33°C. Quando o corpo foi encontrado, ao meio dia, a sua temperatura era de 35°C. a) Ache a temperatura T do corpo como função de t, o tempo em horas desde que foi encontrado; b) Esboce um gráfico de T(t); c) O que acontece com a temperatura do corpo ao longo do tempo? Mostre isto no gráfico e algebricamente; d) À hora do assassinato o corpo da vítima tinha a temperatura normal, 37°C. Quando ocorreu o crime? 30) Foi encontrado um osso fossilizado que contém um milésimo da quantidade original de C−14 (isótopo carbono 14). Faça uma estimativa para a idade deste osso. Dado: A meia-vida do C−14 é de aproximadamente 5.600 anos. R: ≅ 55.800 anos.

............................................................

42

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior à Primeira

Tipos Especiais de Equações Diferenciais de 2a Ordem

a) Equação Diferencial do Tipo: )(2

2

xfdx

yd=

Para encontrar a solução geral de uma equação diferencial que pode ser escrita

desta forma, faz-se a substituição dxdyp = , sendo p é uma função de x .

Assim, 2

2

dxyd

dxdp

= e substituindo na equação diferencial dada vem )(xfdxdp

=

que é uma equação diferencial de 1a ordem e de variáveis separáveis em p e x. Portanto,

1)( ).( ).( cxFpdxxfdpdxxfdp +=∴=∴= ∫ ∫ , se for integrável. )(xf

Substituindo dxdyp = no resultado anterior, obtém-se 1)( cxF

dxdy

+= que

também é uma equação diferencial de 1a ordem e de variáveis separáveis em y e x. Resolvendo esta equação diferencial tem-se [ ] [ ] 2111 .).( .)( cxcF(x).dxydxcxxFdydxcxFdy ++=∴+=∴+= ∫∫∫ .

Exemplo: Resolver a equação diferencial 2

22 cos 2xd y e x

dx= + .

Solução:

43

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

b) Equação Diferencial do Tipo:

=

dxdyxf

dxyd ,2

2

Aqui também, para se encontrar a solução geral de uma equação diferencial que

pode ser escrita desta forma, faz-se a substituição dxdyp = , sendo p uma função de x .

Assim, 2

2

dxyd

dxdp

= e substituindo na equação diferencial dada vem ),( pxfdxdp

=

que é uma equação diferencial de 1a ordem em p e x. Exemplo: Resolver cada uma das equações diferenciais:

a) 2

2

2

4

=−

dxdy

dxyd

Solução:

b) 0)1 2

2

=++dxdy

dxydx(

Solução:

44

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

c) Equação Diferencial do Tipo: )(2

2

yfdx

yd=

Aqui, para se encontrar a solução geral de uma equação diferencial que pode

ser escrita desta forma, faz-se também a substituição dxdyp = , sendo p é uma função

de x .

Assim, dydpp

dxdy

dydp

dxdp

dxyd

=×==2

2

e substituindo na equação diferencial dada

resulta )(yfdydpp = que é uma equação diferencial de 1a ordem e de variáveis

separáveis em p e y. Resolvendo esta equação diferencial tem-se

1

2

)(2

.)(. ).(. cyFpdyyfdppdyyfdpp +=∴=∴= ∫∫ .

Substituindo dxdyp = no resultado anterior, obtém-se 1

2

)(21 cyF

dxdy

+=

∴

1

2

)(.2 kyFdxdy

+=

∴ 1)(.2 kyF

dxdy

+±= que são duas equações diferenciais de

1a ordem e de variáveis separáveis em y e x, ambas levando a mesma solução geral. Portanto, basta resolvermos uma delas, digamos, aquela com sinal positivo.

Exemplo: Resolver a equação diferencial 0.22

2

=+ ykdx

yd .

Solução:

45

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

d) Equação Diferencial do Tipo:

=

dxdyyf

dxyd ,2

2

De maneira análoga ao tipo anterior, tiramos ),( pyfdydpp = que é uma equação

diferencial de 1a ordem em p e . Resolvendo-a em relação a y p e substituindo pelo

seu valor dxdy , obtém-se uma outra equação de diferencial de 1a ordem e de variáveis

separáveis em y e x.

Exemplo: Resolver a equação diferencial 2

22

2

.

+=

dxdy

dxdyy

dxydy .

Solução:

Exercícios

I) Calcule a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:

1) xexdx

yd x cos.2

2

+= R: 21. cos.2. cxcxeexy xx ++−−=

2) xdx

yd 12

2

= R: 21. ln. cxcxxy ++=

3) adxdyx

dxydx =+2

22 R: 21

2 ln.ln.21 cxcxay ++=

4) 2

2

2

=

dxdy

dxydy R: xcecy .

12.=

5) R: 0'''. =++ xyyx 212 ln.

41 cxcxy ++−=

.......................................................

46

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Problema de Perseguição (Uma aplicação) Suponhamos que uma lebre começa a correr a partir da origem do sistema xy, na direção positiva do eixo y com velocidade constante a. No mesmo instante, uma raposa parte do ponto (c, 0) com velocidade b e está constantemente corrigindo seu rumo, de modo que a cada instante corre diretamente em direção ao ponto em que a lebre se encontra (Fig. I). Qual é o caminho a ser percorrido pela raposa? Solução: i) O Modelo Matemático No tempo t, a partir do instante em que ambos começam a correr, a lebre estará no ponto (0, . )R a t= e a raposa em

( , )P x y= (Fig. I). Uma vez que, a reta que passa pelos pontos eP R é tangente ao caminho percorrido pela raposa, nós temos

.dy y a tdx x

−= ou . '' .x y y a= − t (1)

A seguir, vamos eliminar t. Para tanto,

diferenciamos (1) em relação a x , e

obtemos . '' ' ' dtx y y y adx

+ = − ou

. '' dtx y adx

= −

Desde que ds bdt

= 1 (velocidade da raposa), apli

dt dt dsdx ds dx

= × (3)

Mas, (Fig. II) 2 2( ) ( ) ( )ds dx dy= + 2

+2 2

2 2

( ) ( ) 1( ) ( )ds dydx dx

= + ou 2

1ds dydx dx

=

(4)

Assim, substituindo (4) em (3), vem 2

.dt dybdx dx

= − +

1

(5)

(o sinal de menos aparece porque a curva

é decrescente, s cresce enquanto x decresce)

A seguir, substituindo (5) em (2) temos,

1 s = s(x) é o comprimento do arco da curva y = y(x), medido entre do

Fig. I

(2)

cando a regra da cadeia, temos

.

is pon

Fig. II

tos dados [como na Fig. II ].

47

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

2. '' 1 ( ' )ax y yb

= +

Assim, obtemos o problema de valor inicial,

2

'' 1.a dyy

b x dx = +

; ( ) ( ) 0dyy c cdx

= = (6)

ii) A Resolução

A equação diferencial dada em (6) é uma equação diferencial de 2a ordem do tipo

(especial) 2

2 ,d y dyf xdxdx

=

.

Já sabemos que para resolver uma equação diferencial deste tipo, devemos fazer dy pdx

= , sendo p uma função de x e, portanto, 2

2

d y dpdxdx

= .

Substituindo em (6) fica 21.

dp a pdx b x

= + , que é uma equação diferencial de 1a ordem

de variáveis separáveis em p e x.

Assim, separando as variáveis, temos x

dxba

pdp

=+ 21

e integrando, vem

21

dp a dxb xp

=+

∫ ∫

Resolvendo por substituição trigonométrica, obtemos ( )211 lnaln p p x

bk+ + = + (7)

Como dy pdx

= e 0dydx

= quando x c= [condição dada (Fig. I), a curva tangencia o eixo

x], logo, e, de (7) obtemos, 0p = 10 lna c kb

= + ∴ b 1 lnak cb

= − .

Portanto, substituindo em (7), fica 1k ( )21 ln lna aln p p xb b

+ + = − c ∴

( )21 lna xp pb c

+ + =ln ∴ ( )21 lnab

ln xp pc

+ + = .

Como x e c são não negativos,

( )2ln 1 lnabxp p

c + + =

∴ 21abxp p

c + + =

. (8)

Mas dypdx

= e, de (8) vem,

2

1abdy dy x

dx dx c + + =

∴ 2

1abdy x dy

dx c dx + = −

∴

22 a

bdy x dydx c dx

+ = −

1 ∴

22 2

1 2.a a

b bdy x x dy dydx c c dx dx

+ = − +

∴ 2.

2. 1a abx dy x

c dx c =

b−

∴

48

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

2.

1 1

2.

ab

ab

dy xdx cx

c

= −

∴ 12

a abdy x c

dx c xb

= −

, que é uma equação diferencial

de variáveis separáveis em x e y.

Separando as variáveis e integrando, obtemos, 1 .2

a ab bx cy d

c xx

= − ∫ . (9)

Para encontramos y como uma função explícita de x, devemos ter informações adicionais sobre a e b.

Por exemplo, se a=b (ou 1ab= ), isto é, se a velocidade da lebre for igual a velocidade

da raposa, (9) ficará da forma 1 .2

x cyc x

= − ∫ dx ,e integrando o 2o membro, vem

2

2ln4. 2x cy

cx k= − + . (10)

Como [condição dada (Fig. I)], de (10) temos ( ) 0y c =2

20 ln4. 2c c c k

c= − + ∴

2ck = ln

2 4c c − , e substituindo em (10), vem

2 1ln ln4. 2 2x cy x

c = − − +

c

+∞

.

Por hipótese, e , assim, quando , significando, portanto, que a raposa nunca alcançará a lebre (Fig. III).

0c > 0x > 0 , x y+→ →

A curva do gráfico abaixo mostra o caminho a ser percorrido pela raposa, em perseguição à lebre, quando ambos correm à mesma velocidade, a lebre partindo da origem dos eixos e se deslocando na direção positiva do eixo y e a raposa partindo do ponto (5, 0).

2 5 ln ln 520 2 2xy x= − − +

1 [curva que descreve o caminho percorrido pela raposa]

Fig. III

49

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

A seguir, analisaremos a situação em que as velocidades da raposa e da lebre são

diferentes, isto é, a b≠ (ou 1ab≠ ).

Assim, de (9)

1 .2

a ab bx cy d

c x

= − ∫ x

∴ 1 1.

22.

a a ab b b

ab

y x dx c x dxc

−

= −∫ ∫ . ∴

1 1

21 1

21 12.

a aab bb

ab

x xy ca a

c b b

−+ +

= −−

+ +k+ ∴ 2

1 12

2.

a b a bab bb

ab

x xy ca b a b

c b b

+ − +

k= − ++ − +

∴

222.

a bab bb

ab

b xy ca b

c

+ − +

= −+ − +

a b

a bb x k+

Mas como (condição inicial), ( ) 0y c =

222.

a b a bab bb

ab

b c b cca b a b

c

+ − +

= −+ − +

0 k+ ∴ 2 22.

b a a ba b bb

ab

b c b cb a a b

c

− +

= −− +

k c

∴ 2 2

2. 2.

a b a b b a a ba ab b bb b

a ab b

b x b x b c b cy c ca b a b b a a b

c c

+ − + −

= − + −+ − + −

b+

+

⇒

.

2( ).

a b a b ab b ba b a b

b b

ab

c c xb x cy

b aa b c

− −

+ +

− − = + − +

O gráfico ao lado mostra o caminho percorrido pela raposa, quando esta parte do ponto )0,5(e sua velocidade é o dobro da velocidade da lebre [ c e b ]. Note-se que, a curva 5= a.2=que descreve este caminho, no intervalo [0,5],

é 21

21

23

23

).5(553

5 xxy −+×

−= .

Logo, a raposa alcançará a lebre no ponto

310,0 .

50

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Já, o gráfico ao lado, mostra o caminho percorrido pela raposa quando esta parte do ponto ( e )0,5sua velocidade é a metade da velocidade da lebre

[ c e 5=2a

=b ]. Assim, a curva que descreve este

caminho, no intervalo (0,5], é

+−

×−

=x

xy2

2

33 55535

21

e, quando , [a raposa nunca alcançará 0→x +∞→ya lebre]. Como conseqüência do que foi visto anteriormente, a raposa só alcançará a lebre se a sua velocidade for maior que a velocidade da lebre, isto é, . ab >

...................................................

..................

51

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Equações Diferenciais Lineares de Ordem N

São as equações diferenciais da forma:

ByAdxdyA

dxydA

dxydA

dxydA nnn

n

n

n

n

n

=+++++ −−

−

−

−

. ... 12

2

21

1

10 (13)

onde e nAAAA , ... ,,, 210 B são funções apenas de x .

Nota: A equação diferencial linear (13) é dita homogênea se B é identicamente nula ( ) e não-homogênea no caso contrário. 0≡B

dy Se 0=B , temos 0. ... 12

2

21

1

10 =+++++ −−

−

−

−

yAdx

Adx

ydAdx

ydAdx

ydA nnn

n

n

n

n

n

(14)

que é uma equação linear e homogênea de ordem n. A solução geral desta equação diferencial contém n constantes arbitrárias. Se

forem soluções particulares da equação (14) e designarem constantes, a expressão

nyyy , ... ,, 21 nccc , ... ,, 21

nn ycycycy . ... .. 2211 +++= também será solução de (14). Este é o chamado Princípio da Superposição.

De fato, por hipótese, cada niyi , ... ,2,1 , = é uma solução particular de (14) então,

=+++

=+++

=+++

−

−

−

−

−

−

0. ...

...........................................................

...........................................................

0. ...

0. ...

1

1

10

212

1

12

0

111

1

11

0

nnnn

n

nn

n

nn

n

n

n

nn

n

n

n

yAdx

ydA

dxyd

A

yAdx

ydAdx

ydA

yAdx

ydAdx

ydA

Multiplicando-se essas equações, ordenadamente por c e somando membro a membro resulta

ncc , ... ,, 21

( ) ( ) ... . ... ... ... .. 22111

1

122110 ++++++++ −

−

ycycycdxdAycycyc

dxdA nn

n

nn

n

( ) 0. ... ... ... 2211 =++++ ycycycA nn

Logo, também é solução da equação diferencial (14). nn ycycycy . ... .. 2211 +++=

Observação: Se forem soluções particulares da equação (14), a expressão

nyyy , ... ,, 21

nn ycycycy . ... .. 2211 +++= (15)

será solução geral de (14) desde que as funções sejam linearmente independentes, isto é, desde que não se tenha

nyyy , ... ,, 21

... . 22 + 0.. 11 =++ nn ycy ycc , a não ser para todas as constantes nulas.

52

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

De fato, nesse caso a solução (15) contém n constantes arbitrárias, número esse que não pode ser reduzido porque as funções são linearmente independentes, ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das demais.

nyyy , ... ,, 21

Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogêneas e de Coeficientes Constantes São as equações diferenciais que tem a forma

0. ... 12

2

21

1

10 =+++++ −−

−

−

−

yAdxdyA

dxydA

dxydA

dxydA nnn

n

n

n

n

n

, (16)

onde são constantes. nAAAA , ... ,,, 210

Para determinarmos a solução geral de (16), vamos considerar, inicialmente, o

caso em que n . Assim, temos 1= 0.10 =+ yAdxdyA que é uma equação diferencial de

variáveis separáveis, cuja solução geral é 1

0

.A

xAy c e

−

= e fazendo rAA

=−0

1 resulta

. xrecy ..=Para n qualquer, consideremos agora a expressão e derivemos em

relação a

xrecy ..=x até a n-ésima ordem:

xrecrdxdy ...= ; xrecr

dxyd .22

2

..= ; xrecrdx

yd .33

3

..= ; ... ; xrnn

n

ecrdx

yd ...= .

Levando-se esses resultado na equação (16) e colocando o termo em evidência, obteremos:

xrec ..

( ) 0 ... .... 110

. =+++ −n

nnxr ArArAec

Daí, concluímos que sendo c , então (17) 0. . ≠xre 0 ... .. 110 =+++ −

nnn ArArA

A equação (17) é chamada de equação característica de (16).

Exemplo: Determinar a equação característica da equação diferencial linear abaixo:

2

2 5 6.d y dy ydxdx

− + = 0 → equação característica:

Uma vez que a solução de (16) é obtida a partir das raízes de (17), faz-se necessário examinarmos três casos:

1o Caso: A Equação Característica Admite Raízes Reais e Distintas Se r ,, são as raízes reais e distintas da equação característica, então a solução geral da equação diferencial correspondente é

nrr , ... 21

xrn

xrxr necececy ..2

.1 . ... .. 21 +++=

onde c são as constantes arbitrárias. ncc , ... ,, 21

53

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais:

1) 2

2 5 6d y dy ydxdx

− + = 0

Solução:

2) 03613 2

2

4

4

=+− ydx

yddx

yd

Solução:

3) 01243 2

2

3

3

=−−+ ydxdy

dxyd

dxyd

Solução:

4) 01272

2

=+− ydxdy

dxyd

Solução:

...............................................

2o Caso: A Equação Característica Admite Raízes Complexas Distintas Consideremos a equação diferencial homogênea de 2a ordem

0.212

2

0 =++ yAdxdyA

dxydA onde ibarp .+= e ibarq .−=

são as raízes da equação característica, então,

54

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

é solução da equação diferencial dada. xibaq

xibap ececy )..()..( .. −+ +=

Agora, xibxaq

xibxap eeceecy ...... .... −+= ∴ ( )xib

qxib

pxa ececey ..... ... −+=

Pelas fórmulas de Euler temos:

−=+=

− θθθθ

θ

θ

. cos . cos

.

.

seniesenie

i

i

)]. .. .(cos). .. .(cos.[. xbsenixbcxbsenixbcey qpxa −++=

bxsenccixbccey qpqpxa )..(. cos)..[(. −++= ]

). .. cos..( 21. xbsenkxbkey xa += → solução geral

Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais:

1) 02

2

=+ ydx

yd

Solução:

2) 04

4

=− ydx

yd

Solução:

3) 054 2

2

3

3

=+−dxdy

dxyd

dxyd

Solução:

4) 075 2

2

3

3

=+−dxdy

dxyd

dxyd

Solução:

3o Caso: A Equação Característica Admite Raízes Múltiplas

Consideremos a equação diferencial homogênea de 2a ordem

0.212

2

0 =++ yAdxdyA

dxydA (18)

e sejam e as duas soluções desta equação. 1y 2y

55

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Estas soluções são ditas linearmente independentes se num determinado

intervalo I a relação 2

1

yy não é constante 1

2

yk

y

≠ . Caso contrário, as soluções se

denominam linearmente dependente

== 21

2

1 .ou ykykyy .

Suponhamos agora que a equação característica de (18) apresenta raiz dupla e suponhamos que seja uma solução particular de (18), calculada

do modo visto no 1rrr == 21

xrey .1 =

o caso. Precisamos encontrar outra solução particular, a qual, juntamente com a solução forme um conjunto linearmente independente. xrey .

1 = Assim, procuramos uma segunda solução particular, da forma (20) xrexuy .

2 ).(=sendo u uma função incógnita a se determinar. )(x A solução geral de (18) será 2211 .. ycycy += . Para encontrar u , derivemos (20) até a ordem da equação dada: )(x

xrxr eureudxdy ..2 ..'. += ; xrxrxr eureureu

dxyd .2..

2

22

..'...2'.' ++=

).'.().'..2''.( 12

0 +++++ uruAururuA

, que substituindo em (18)

vem, [ 0].. .2 =xreuA

Como 0≠e e ordenando temos, .xr

(21) 20 0 1 0 1 2. '' (2. . ). ' ( . . ). 0A u r A A u A r A r A u+ + + + + =

Observando (21) percebemos que , pois, é a própria equação

característica. Resolvendo esta vem,

0.. 212

0 =++ ArArA2

1 1

0

4.2.

A Ar

A− ± −

= 0 .A A2 . Como por suposição

r é raiz dupla, 21 0 24. . 0A A A− = e, portanto,

0

1

.2 AAr −

= que substituindo no 2o termo de

(21) resulta 0.2 10 =+ AAr.2

2.0

110

−=+

AAAA .

Assim, como os coeficientes de u e u são nulos, então, de (21) resulta . Como

'0''.0 =uA 00 ≠A [para que a equação (18) seja de 2a ordem] temos 0'' =u ∴

1' ku = ∴ . 2k+1.xku =Logo, . xrekxky .

212 .)..( +=

Agora, como a solução geral de (18) é 2211 .. ycycy += ∴ xrxr ekxkcecy .

212.

1 )...(. ++= ∴ ou . xrxr excecy .*2

.*1 ... += * *

1 2( . ) r xy c c x e= + ..

A propriedade se estende às equações de ordem superior.

Assim, para a equação diferencial 0. ... 12

2

21

1

10 =+++++ −−

−

−

−

yAdxdyA

dxydA

dxydA

dxydA nnn

n

n

n

n

n

1 2 1 ... , , ... , p p nr r r r r+

,

onde as raízes da equação característica são: = = = ,

sua solução geral será . xrn

xrp

xrpp

xrxr np ececexcexcecy ..1

.1.2

.1 ... .. ... ... 1111 ++++++= +

+−

56

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais:

1) 0442

2

=+− ydxdy

dxyd

Solução:

2) 0962

2

=++ ydxdy

dxyd

Solução:

3) 016208 2

2

3

3

=−+− ydxdy

dxyd

dxyd

Solução:

4) 02 2

2

4

4

=++ ydx

yddx

yd

Solução: Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Não-Homogêneas e de Coeficientes Constantes São, como já sabemos, as equações diferenciais da forma:

ByAdxdyA

dxydA

dxydA

dxydA nnn

n

n

n

n

n

=+++++ −−

−

−

−

. ... 12

2

21

1

10 ,

onde são constantes e B é uma função de nAAAA , ... ,,, 210 x ; ).(xhB =

57

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

A solução geral de tais equações diferenciais é dada por:

y = yh + yp

onde yh → solução geral da equação diferencial homogênea associada )0( =B , e é a parte da solução geral y que tem por objetivo principal suprir as constantes arbitrárias.

yp → uma solução particular, e é a parte da solução geral y que vai satisfazer o 2o membro da equação diferencial.

Determinação de uma Solução Particular Experimental (yp)

Método dos Coeficientes a Determinar (ou Método de Descartes)

Consiste em utilizando a própria equação diferencial, instituir uma solução particular, a priori conhecida, a menos de certas constantes que são calculadas por aplicação do Método dos Coeficientes a Determinar. Este método só é utilizado para equações diferenciais lineares de ordem n com coeficientes constantes e quando )(xhB = for constituído de um número finito de termos da forma ( m e inteiro), ou , ou , ou cos , ou uma composição na forma de soma e/ou produto de duas ou mais destas funções.

mx 0≥ xa.e xbsen . xk.

Para o emprego deste método será útil o conceito exposto a seguir.

Família de uma função

Denomina-se família de uma função ao conjunto constituído por esta função e suas derivadas sucessivas, a menos de coeficientes, com as quais podemos formar combinações lineares de funções linearmente independentes.

)(xf

Portanto, para as funções descritas acima temos,

)(xf Família de )(xfmx }1 ,, ... ,,{ 1 xxx mm −

xae . }{ .xae xbsen . }. cos ,. { xbxbsen xk. cos }. ,. {cos xksenxk

Observação: A família de uma constante é {1}. Exemplo: Determinar a família de cada uma das funções dadas abaixo:

)(xf Família de )(xf2.2 x

xe .2.3 − x.3 cos.5−

xsen 7−

58

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

A família de uma função produto de n funções dos tipos citados acima é constituída dos produtos de n fatores obtidos associando-se cada elemento da família de um dos fatores aos elementos das famílias de cada um dos outros fatores.

Exemplo: Determinar a família da função xsenxxf .3 ..3)( 2=Solução:

Construção de uma Solução Particular Experimental (yp)

Tendo-se obtido a solução geral yh da equação diferencial homogênea associada, institui-se uma solução particular experimental yp do seguinte modo:

a) Determina-se a família de cada termo de )(xhB = e suprime-se a família que estiver contida em outra.

Exemplo: xxsenexxh x cos .4.53.2)( +−++=

b) Se um elemento de uma família pertencer a yh multiplica-se cada elemento dessa família pela menor potência de x , com expoente inteiro e positivo, de tal modo que desfaça esta situação. Exemplo: Admitamos que para uma dada equação diferencial linear se tenha:

e , então, xexxh x cos.4.52.3)( 2 −++= xxh ececxcy −++= ... 321

c) Toma-se como expressão experimental yp , uma combinação linear de todos os elementos das famílias resultantes dotados de coeficientes literais a serem determinados pela condição de que essa expressão verifique a equação diferencial dada. Assim para o exemplo acima tomaríamos: yp = Exemplos: Resolver as equações diferenciais:

1) 1.265 22

2

−=+− xydxdy

dxyd

Solução:

59

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

2) xexxdxdy

dxyd .2 cos.41.23

3

+−+=−

Solução:

3) xseneyy x ..10'' =+Solução:

60

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

4) 3

2.3 4 3. 2. 2xd y dy e x sen

dxdx+ = − − .x

Solução:

5) ( ) xexydx

yd 322

2

.29 +=+

Solução:

61

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

6) xseneydxdy

dxyd x .962

2

=+−

Solução: 7) Resolva o problema de valor inicial: ; ; 0''''' =+ yy 2)0( =y 1)0(' =y ; . 1)0('' −=ySolução:

62

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exercícios

I) Resolver as seguintes equações diferenciais lineares:

a) R: 0'.3''.2''' =−− yyy 3.1 2 3. .x xy c c e c e−= + +

23 ydydb) 0106 23 =++dxdy

dxdx R: ) .cos..( 3

2

.31 xsencxcecy x ++= −

c) xx eexyyy 3.2.2.3'.2'' −+=−− − R: xxxx exexxececy .3.321 .

21.

41

94

32.. −−+−+= −−

d) xsenydxdy

dxyd

dxyd .42

2

3

3

=−+− R: xsenxcxxcecy x ).( cos).(. 321 −+++=

e) R: 2.2 .'.4''' xxsenexyy x ++=− +−−+++= −

812 cos

51..

3.2

3.2

21xxxececcy xx

).3.2(32

22

xxe x

−+

f) R: xsenyy 2.10'' =− xececy xx .2 cos5.. 21 +−+= −

II) Resolva os problemas de valor inicial:

a) 0.42

2

=+ ydx

yd ; 1)( =πy ; 4)(' −=πy R: xsenxy .2 .2.2 cos −=

b) 044 2

2

3

3

=+−dxdy

dxyd

dxyd ; 1)0( =y ; 2)0(' =y ; 8)0('' =y R: xexy .2..21+=

c) xdxdy

dxyd

=+ 43

3

; 0)0(')0( == yy ; 1)0('' =y R: 2

81).2 cos1(

163 xxy +−=

d) xx eedxdy

dxyd .23

3

.3.4 +=− − ; 0)0( =y ; 1)0(' −=y ; 2)0('' =y

R: xxx eexey .2

21..2.4

29

+++−= −−

..........................................................

63

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes

Vibrações Mecânicas e Elétricas

Uma das razões por que é interessante estudar as equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é que elas servem como modelos matemáticos de alguns processos físicos importantes. Duas áreas importantes de aplicações são as vibrações mecânicas e elétricas. Por exemplo, o movimento de uma massa presa um uma mola, as torções de uma haste com um volante, o fluxo de corrente elétrica em um circuito simples em série e muitos outros problemas físicos são bem descritos pela solução de um problema de valor inicial da forma

0 1 2. '' . ' . ( )A y A y A y h t+ + = , 0(0)y y= , (1) 1'(0)y = y Isso ilustra uma das relações fundamentais entre a matemática e a física, ou seja, aquela de que muitos problemas físicos têm o mesmo modelo matemático e, portanto, se resolvermos este problema de valor inicial (1), basta apenas interpretarmos adequadamente as constantes , e , e as funções y e h, para obtermos soluções de problemas físicos distintos.

0A 1A 2A

Molas Vibrantes: A figura abaixo ilustra um sistema composto por uma mola, cuja massa é desprezível, fixada por sua parte superior a uma trave, e possuindo um corpo de massa m preso à sua extremidade inferior e que se encontra em repouso. O sistema é então posto em movimento puxando-se a uma distância abaixo da posição de equilíbrio e soltando-o, com uma velocidade inicial , ou seja, aplicando-se à massa do corpo uma força externa ( ) no sentido “para baixo”.

0y

0vF t

Por conveniência, escolhemos como positivo o sentido “para baixo”, e tomamos como origem do sistema o centro de gravidade da massa do corpo na posição de equilíbrio (vide figura abaixo). Além disso, vamos admitir que a resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade do corpo. Mola não Posição de Em estendida equilíbrio movimento

64

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Assim, no instante t , existem três forças atuando no sistema:

1) ( ) , uma força externa agindo sobre a massa do corpo, medida no sentido positivo; F t

2) uma força restauradora da mola, dada pela Lei de Hooke como , com > 0, representando a constante de proporcionalidade chamada de módulo da mola e

y o seu alongamento (quanto maior for o valor de k , mais rígida é a mola);

1.rF k= − y

y

1k

1

3) uma força devido à resistência do ar dada por 2 . 'aF k= − , onde > 0 e é a constante de proporcionalidade, assim, é diretamente proporcional à velocidade do corpo.

2k

aF

Note-se que a força restauradora sempre atua em um sentido tal que tende a fazer o sistema voltar à posição de equilíbrio, isto é, se o corpo está abaixo da posição de equilíbrio, então é positivo e y 1.k y− é negativo, enquanto se o corpo está acima da posição de equilíbrio, então é negativo e y 1.k y− é positivo. Note-se também que, como > 0, a força devida à resistência do ar atua no sentido oposto ao da velocidade, tendendo assim a retardar, ou amortecer, o movimento do corpo.

2k

Ora, pela Segunda Lei de Newton ( . )m a F= , temos ,

ou

1 2. '' . . ' ( )m y k y k y F t= − − +

2 1 ( )k k F tym m

='' 'y ym

+ + (2)

F tSe definirmos ,0 1A = 21

kA

m= , 1

2k

Am

= , e ( )( )m

=h t , e como o sistema começa em

com velocidade inicial e a partir de uma posição inicial , temos, juntamente com (2) as condições iniciais

0t = 0v 0y

0(0)y y= e 0 10)y v'( y= = de (1). Quando 0≠F [existe uma força externa atuando sobre o sistema], dizemos que o movimento é forçado.

)(t

A força de gravidade não aparece explicitamente em (2), porém está presente, e foi automaticamente levada em conta quando medimos a distância a partir da posição de equilíbrio do sistema. Se quisermos explicitar a gravidade, então a distância deve ser medida a partir da extremidade inferior do comprimento natural da mola. Assim, o movimento da mola vibrante deve ser dado por

2 1 ( )'' 'k k F ty y y gm m m

+ + = +

se a origem, , é o ponto correspondente à extremidade da mola não distendida, antes de se anexar o corpo de massa m.

0y =

Movimento Livre não Amortecido: Nesse caso, vamos supor que não haja forças de retardamento sobre o sistema e que a massa do corpo vibre sem a ação de outras forças externas, Assim, e ( ) 0F t ≡ 2 0k = , e a equação diferencial (2) se escreve

1'' 0k

y ym

+ = (3)

65

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

As raízes da equação característica de (3) são 11

kmλ = e 1

2k

mλ −= − , ou,

como tanto como m são positivos, 1k 11 . k

miλ = e 12 . k

miλ = − . Assim, a solução geral de (3) é 1

1 2.cos . . .kmy c t c sen= + 1k

m t (4) Aplicando as condições iniciais 0(0)y y= , 0'(0)y v= , obtém-se 1c y0= e

12 0 . k

mc v= . Assim, a solução particular de (3) é

1

10 0.cos . . . .k mm ky y t v sen= + 1k

m t (5) Além disso, pode-se simplificar a solução (5), utilizando-se da identidade trigonométrica

[ou cos( ) cos .cos . a b a b sen a sen b+ = − bsenabasenbasen . cos cos. )( +=+ ], para obter-

se, então, ( 1.cos .kmy A )t φ= − [ou ( )φ+= tsenAy m

k . . 1 ] (6)

onde 1

2 20 0 . m

kA y v= + [note que 22

21 ccA += ] e o ângulo de fase φ é dado

implicitamente por 0cosyA

φ = e 10 .

mkv

senA

φ = [ou Ay0 =φsen e

A

v km

1.0

= φcos ].

Esta simplificação é importante porque quando 01 ≠c e , a amplitude real A da vibração livre não é óbvia com base no exame da equação (5).

02 ≠c

Observação: É mais fácil verificar, do que encontrar (6). Qualquer movimento descrito por (4) é chamado de movimento harmônico simples. A freqüência circular de tal movimento é dada por 1k

n mω = , enquanto a freqüência natural, ou número de oscilações completas por segundo é,

11 .

2. 2.kn

n mfωπ π

= = .

O período do sistema, ou seja, o tempo necessário para completar uma oscilação, é

1

1 2. . mk

n

Tf

π= = .

Exemplo: Um corpo com 2 libras de peso distende uma mola em 6 polegadas. Em

, o corpo é solto de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma

velocidade de

0t =43

pés/seg para cima. Determine a equação do movimento livre.

Solução: Como estamos usando o sistema de unidades da engenharia [veja a tabela Sistemas de Unidades nos Anexos], as medidas dadas em polegadas devem ser

convertidas em pés: 16 . 2

pol pé= ; 28 .= 3

pol pé . Além disso, precisamos converter as

unidades de peso dadas em libras, em unidades de massa.

De Wmg

= , temos 2 1 .32 16

m s= = lug

66

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Também, da Lei de Hooke,

=

21.1k2 implica que a constante da mola é .

Logo, (3) resulta em

pélbk / 41 =

0.4''161

=+ yy ou 0.64 '' =+ yy , cuja solução geral é

tsenc.tcy .8 .8 cos. 21 +=

Aplicando as condições iniciais, 32)0( =y ,

34)0(' −=y , onde o sinal negativo é uma

conseqüência do fato de que é dado ao corpo uma velocidade inicial na direção

negativa ou para cima, obtemos 32

1 =c e 61

2 −=c , e a equação do movimento será

tsenty .8 61.8 cos

32

−=

Esta solução pode também ser escrita na forma simplificada (alternativa)

( )1.cos .kmy A t φ= − [ou ( )φ+= tsenAy m

k . . 1 ]

O cálculo da amplitude é direto péA 69,0617

3617

61

32 22

≅==

+

= , mas devemos

tomar algum cuidado quando calcularmos o ângulo de fase φ . Assim, temos

( 816,1.8 cos617

−= ty ) [ou ( )816,18 617

+= .tseny ].

O período desta função é 48

.2 ππ==T .

A figura abaixo ilustra o exemplo resolvido. Nota: O conceito de

(3) sob a hipódo corpo em vácuo perfeitoem decorrênc

Movimento Livre Asuspenso em um mconforme mostram a

movimento harmônico livre é irreal, pois, é descrito pela equação tese de que nenhuma força de retardamento age sobre a massa movimento. A não ser que este corpo esteja suspenso em um , sempre haverá pelo menos uma força contrária ao movimento

ia do meio ambiente.

mortecido: Neste caso, vamos considerar um corpo de massa m eio viscoso ou conectado a um dispositivo de amortecimento,

s figuras a seguir.

67

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Pelo fato do movim

se escreve

As raízes da equaçk

1

−=λ

Aqui distinguiremos Caso I:

é

..4 122 − mkk

onde t

mk

e.

.22−

, 0.22 >m

k

é grande quandsuperamortecido,oscilatório; o desloabaixo representa d

2k

Caso II: ..4 1

22 − kk

Diz-se que este siforça de amortecimdescrevendo movi

ento ser livre (de forças externas), apenas e a equação (2)

0)( ≡tF

0''' 12 =++ ymk

ymk

y (7)

ão característica associada a são

mmkk

.2..4 1

222 −+

e m

mkkk.2

..4 1222

2

−−−=λ

três casos possíveis, dependendo do sinal algébrico de . mkk ..4 122 −

as raízes são reais e distintas e a solução correspondente

0>

+=

−−−− tm

mkt

mmk

tmk

ececey.

.2..4

2

..2

..4

1

..2

1221

222

...λλ

é o fator de amortecimento. Como o coeficiente de amortecimento

o comparado com a constante da mola k , dizemos que o sistema é pois, esta equação representa um movimento suave e não camento da massa fica desprezível após um longo período. A figura ois gráficos possíveis de y(t).

1

0=m

stema éento re

mentos d

as raízes são reais e iguais e a solução correspondente é

( )tcceyt

mk

.21

..2

2

+=−

criticamente amortecido, pois, qualquer decréscimo na sulta em um movimento ondulatório. Duas curvas típicas o sistema são apresentadas no gráfico abaixo.

68

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Caso III: k as raízes são complexas e a solução correspondente é 0..4 122 <− mk

−+

−=

−

tm

mkksenct

mmkk

ceyt

mk

..2

..4..

2..4

cos..22

2

22

1

..2

2

Dizemos que este sistema é subamortecido , pois o coeficiente de amortecimento é pequeno quando comparado com a constante da mola. O movimento deste sistema é

oscilatório; mas, por causa do fator t

mk

e.

.22−

, as amplitudes de vibração tendem a zero quando t . Observe o gráfico abaixo. ∞→

1) Uma bola de aço de 12mola, que, em conseqüêncseu comprimento natural. deslocando-se 6 polegadaDesprezando-se a resistênc

a) a posição da bola no tem

b) a freqüência natural;

c) o período.

2) Uma massa de 10 quilo0,7 metro além do seu comda posição de equilíbrio, comovimento subseqüente, se

R: ; 0.14'.9'' =++ yyy y =

3) Uma massa de 41 slug ac

de seu comprimento naturade equilíbrio, com uma veloo movimento subseqüente d

R: ; 0.25'.8'' =++ yyy

Exercícios

8 lb (1 libra ≅ 453,54 gramas) acha-se suspensa de uma

ia, sofre uma distensão de 2 pés (1 pé ≅ 30,48 cm) além de Põe-se a bola em movimento, sem velocidade inicial,

s (1 pol ≅ 2,54 cm) acima de sua posição de equilíbrio. ia do ar, determine:

po 12π

=t s. ; R: ty 4cos.21

−= ; 41

12−=

πy pé.

R: π2

=nf ciclos/s.

R: 2π

=T s.

gramas acha-se suspensa de uma mola, distendendo-a de primento natural. Põe-se o sistema em movimento, a partir m uma velocidade inicial de 1 m/s “para cima”. Determine o a resistência do ar é dada por '.90 y− N.

( )tt ee .2.7

51 −− − .

ha-se suspensa de uma mola, distendendo-se 1,28 pé além

l. Põe-se a massa em movimento, a partir de sua posição cidade inicial de 4 pés/s no sentido “para baixo”. Determine a massa se a resistência do ar é dada por lb. '.2 y−

tseney t .3 ..34 .4−=

69

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

4) Uma massa de 10 Kg se acha suspensa de uma mola cuja constante é 140 N/m. Põe-se a massa em movimento, a partir da posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de 1m/s no sentido “para cima” e com uma força externa aplicada tsentF .5)( = . Determine o movimento subseqüente da massa se a resistência do ar é dada por

N. '.90 y−

R: tsenyyy .21.14'.9'' =++ ; ( )ttseneey tt cos.9 .13.99.90

5001 .7.2 −++−= −−

5) Um peso de 16 lb é atado a uma mola de 5 pés de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de 8,2 pés. Se o peso for puxado para cima e solto do repouso, de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio, qual será o deslocamento se sabe-se ainda que o meio ambiente oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea?

)(ty

R: ; 0.10'.2'' =++ yyy

−−= − tsentety t 3 .

323cos.2.)( ou ).391,4.3( ..

310.2)( += − tsenety t

...................................

Circuitos Elétricos em Série: A figura abaixo ilustra um circuito elétrico em série onde R é a resistência em ohms, C é a capacitância em farads, L é a indutância em henries, E(t) é a força eletromotriz (f.e.m.) em volts e I é a corrente em ampères. Sabe-se que as quedas de voltagem através de uma resistência, de um capacitor e de

indutor são, respectivamente, qC

RI 1 , e dtdIL onde é a carga no capacitor em

coulomb. A queda de voltagem através de f.e.m. é –E(t).

q

Assim, pela lei de Kirchhoff, temo

Lembrando que

e levando esses valores em (1) o

2

2

dtqd+

As condições iniciais para sãoq

Agora, para obter a derivamos (1) em relação a t eresultante.

s 0)(1=−++ tEq

CdtdILRI (1)

2

2 dq dI d qIdt dt dt

= → = (2)

btemos

)(11 tEL

qLCdt

dqLR

=+ (3)

: 0)0( qq = e 00

)0( IIdtdq

t

===

.

equação diferencial que rege a corrente, primeiro , em seguida, levamos (2) diretamente na equação

70

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

A nova equação é dt

tdEL

ILCdt

dILR

dtId )(112

2

=++ (4)

A primeira condição inicial é 0)0( II = . A segunda condição inicial se obtém de (1)

isolando dtdI e fazendo em seguida .0=t Assim, 00

0

1)0(1 qLC

ILRE

LdtdI

t

−−==

Vê-se que a corrente no circuito pode ser obtida seja resolvendo (4) diretamente, seja resolvendo (3) em relação à carga e em seguida derivando a carga para obter a corrente. Exemplos:

1) Um circuito RCL tem ohms, 180=R2801

=C farad, 20=L henries, e uma voltagem

aplicada de . Admitindo que não haja carga inicial no capacitor, mas uma corrente inicial de 1 ampère em

t sentE .10)( =0=t quando se aplica inicialmente a voltagem,

determine a carga subseqüente no capacitor. Solução:

2) Um circuito RCL tem ohms, farad, 10=R 210−=C21

=L henry, e uma voltagem

aplicada de volts. Admitindo que não haja corrente inicial nem carga inicial quando , ao se aplicar inicialmente a voltagem, determine a corrente subseqüente no sistema.

12)( =tE0=t

Solução:

71

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exercícios 1) Um circuito RCL com ohms, 6=R 02,0=C farad, 1,0=L henry, e uma voltagem aplicada de volts. Supondo que não haja corrente inicial nem carga inicial quando t , ao se aplicar inicialmente a voltagem, determine a carga subseqüente no

capacitor e a corrente no circuito. R:

6)( =tE0=

10012

10015.50 −t

1003

= −eq .10 +− te , ( )tt eeI .50.10

23 −− −= .

2) Um circuito RCL com ohms, 6=R 02,0=C farad, 1,0=L henry, não tem voltagem aplicada. Determine a corrente subseqüente no circuito se a carga inicial no capacitor é

101 coulomb e a corrente inicial é zero. R: ( )tt ee .10.50

45 −− −=I .

3) Um circuito RCL com ohms, farad, 5=R 210−=C81

=L henry, não tem voltagem

aplicada. Determine a corrente estacionária subseqüente no circuito. Observação: Condições iniciais desnecessárias. R: Zero.

4) Um circuito RCL com ohms, C farad, 5=R 210−=81

=L henry, tem uma voltagem

aplicada de . Determine a corrente estacionária no circuito. tsentE )( =

Observação: Condições iniciais desnecessárias. R: 1 (6.392.cos 320. )640.001

t sen+ t .

...................................................................

72

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Sistemas de Equações Diferenciais Define-se sistema de equações diferenciais ao conjunto de equações diferenciais com as mesmas funções incógnitas e que se verificam para as mesmas soluções. Exemplos:

a)

−=

−=

yxdycdtdy

yxbxadtdx

...

... , b)

3.

dy z ydxdz y zdx

= − = − −

, c) cos

cos

dzy xdx

dy z x sedx

+ = + + = −

sen x

n x

No presente estudo nos ateremos a Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau em que o número de funções incógnitas de uma mesma variável é igual ao número de equações. Neste caso o sistema é dito canônico e, se ele puder ser posto na forma explícita, em relação às derivadas de maior ordem, é denominado normal, ou seja,

11 1 2

22 1 2

1 2

( , , , ... , )

( , , , ... , )

........................................

( , , , ... , )

n

n

nn n

dyF x y y y

dxdy

F x y y ydx

dyF x y y y

dx

= = =

(1)

Quando todas as funções forem lineares com relação às variáveis dependentes , isto é, se tiverem a forma

nFFF , ... , , 21

11 1) .y a y an21

1 1( , ,F x y =yyy , ... , ,

n2 12 2 1 1, ... , . ... . ( )n ny y a y f x+ + + +

2 1 2 21 1 22 2 2 2( , , , ... , ) . . ... . ( )n nF x y y y a y a y a y f xn= + + + + ....................................................................................

1 2 1 1 2 2( , , , ... , ) . . ... . ( )n n n n nn nF x y y y a y a y a y f xn= + + + +

o sistema (1) é dito linear. Os coeficientes , i n e ija 1,2,...,= 1,2,...,j n= podem depender de x e juntamente

com ( )if x devem ser funções contínuas num intervalo comum I. Quando ( ) 0if x = , i∀ , o sistema será chamado homogêneo; e, em caso contrário, de não-homogêneo. Referimo-nos, usualmente, às equações (1) como a um sistema de n equações diferenciais de 1a ordem. Equações deste tipo aparecem com frequência em aplicações na biologia, na física e descrevem sistemas complicados, pois, a derivada de uma determinada variável não depende só de iy x e , mas igualmente de todas as outras variáveis.

iy

A solução geral do sistema descrito em (1) é um conjunto de n funções que contém p constantes arbitrárias (1 2( ), ( ), ... , ( ),ny x y x y x p n≤ ) e que verificam todas

as n equações. Uma solução particular é o conjunto de n funções obtidas atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias na solução geral.

73

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Sistemas de equações diferenciais de 1a ordem também se originam de

equações diferenciais de ordem mais elevada numa única variável . Toda equação diferencial de n-ésima ordem na única variável pode ser convertido num sistema de

n equações de 1

)(xyy

a ordem nas variáveis yxz =)(1 , dxdyxz =)(2 , ... , 1

1

)( −

−

= n

n

n dxydxz .

Exemplo: Converter o problema de valor inicial:

xeydxdy

dxyd

=+

+ .3

2

3

3

; 1)0( =y , 0)0( =dxdy , 0)0(2

2

=dx

yd

num problema de valor inicial nas variáveis dxdyy , e .2

2

dxyd

Solução:

Fazendo z = , yx)(1 dxdyxz =)(2 , 2

2

3 )(dx

ydxz = e derivando todas em relação a

temos dxdy

dxdz

=1 , 2

22

dxyd

dxdz

= , 3

33

dxyd

dxdz

= (2)

Como )(2 xzdxdy

= , )(32

2

xzdx

yd= e da equação diferencial dada

)(.3)]([ 12

23

3

xzxzedx

yd x −−= , substituindo em (2) temos o seguinte sistema de equações

diferenciais de 1a ordem, não linear

−−=

=

=

12

23

32

21

.3)( zzedxdz

zdxdz

zdxdz

x

Além disso, as funções , e satisfazem as condições iniciais , 1z 2z 3z 1 ( ) 1z x = 2 (0) 0z = e . 3 (0) 0z = Sistemas de Equações Diferenciais Lineares com coeficientes constantes

Os sistemas de equações diferenciais lineares podem ser resolvidos, tal como os sistemas de equações algébricas, por processos de eliminação, adição ou substituição. Para tanto, vamos usar a notação operacional

1 21 2 1( ) . . ... + .n n n

n nP D D a D a D a D a− −−= + + + +

onde designam constantes e é o símbolo de derivação (operador diferencial ).

1 2, , ... , na a aD

D

Assim, um sistema de três equações diferenciais pode ser escrito da seguinte forma:

74

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( ). ( ). ( ).( ). ( ). ( ).( ). ( ). ( ).

P D x Q D y R D zP D x Q D y R D zP D x Q D y R D z

1

2

3

φφφ

+ + = + + = + + =

onde x, y e z são funções de uma variável u, representando as incógnitas do sistema, e 1 , 2φ φ e 3φ são funções de u, conhecidas.

Procedendo-se, como nas equações algébricas, através de regras de eliminação, pode-se reduzir este sistema a um equivalente na forma triangular superior, como o que se segue, (3) (4) (5) 2 2

N D

1 1 1 1

2

3 3

( ). ( ). ( ).( ). ( ).

( ).

L D x M D y N D z TM D y N D z T

z T=

+ + = + =

onde T e T são funções de u. 1 , T2

2

3

Fazendo a retrosubstituição, isto é, integrando sucessivamente (5), (4) e (3) e designando C e como constantes arbitrárias, encontramos a solução geral. 1 , C 3C Exemplos: Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais:

a) cos

cos

dzy xdx

dy z x sendx

+ = +

+ = −

sen x

x

Solução: Utilizando no sistema a notação operacional, temos

cos cos

y Dz x sen xDy z x sen x+ = +

+ = −

Aplicando na 1a equação o operador " e multiplicado a 2"D a por (−1), obtemos

2 os )

Dy D z x sen x

Dy z x sen x +− − +

(ccosD+ =

==

ou 2 cos

cos Dy D z sen x x

Dy z x sen x + = − +− − = − +

Somando, membro a membro as equações, resulta 2 0D z z− = ou 2( 1).D z 0− =

que é uma equação diferencial linear, de 2a ordem, homogênea e de coeficientes constantes, com equação característica

2 1 0r − = e cujas raízes são 1

2

11

rr=

= −.

Como as raízes são reais e distintas, 1 2. .xz C e C e x−= + . (6) Substituindo , na 11 2. .xz C e C e−= + x a equação, temos,

75

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

1 2( . . ) cos x xy D C e C e x sen x−+ + = + ∴ 1 2. . cosx xy C e C e x sen x−+ − = + xentão,

(7) 1 2. . cosx xy C e C e x sen−= − + + +

Assim, as funções 1 2. .x xz C e C e−= + e são a solução do sistema de equações dado, que é de 2

1 2. . cosx xy C e C e x sen−= − + + + xa ordem.

Note-se que, ao calculamos a função incógnita , esta foi substituída na 1

1 2. .xz C e C e−= + x

a equação do sistema, isto porque, para a determinação da função incógnita não haverá a necessidade de integração, evitando assim, o aparecimento de mais uma constante arbitrária. Porém, se resolvêssemos substituir na 2

yz a equação

teríamos 1 2. . cosx xC e C e x sen x−+ + = − Dy ∴ e integrando

1 2. . cox xe C e x−− + sDy C sen x= − −

31 2. . cosx xy C e C e sen x x C−= − + + + + Para determinarmos C , substituímos a expressão de e a nova expressão de em uma das equações do sistema, digamos na 1

3 z ya, e teremos,

1 2 3 1 2. . cos ( . . ) cos x x x xC e C e sen x x C D C e C e x sen x− −− + + + + + + = +

1 2 3 1 2. . cos . . cos x x x xC e C e sen x x C C e C e x sen x− −− + + + + + − = + ∴ 3 0.C =

Portanto, a função incógnita , calculada da 2y a maneira, coincide com (7), àquela calculada da 1a maneira. Também, após obtermos a função incógnita , podemos calcular a função incógnita através de processo de eliminação, sem utilizar a função incógnita já calculada.

1 2. .xz C e C e−= + x

y

Para tanto, voltamos ao sistema,

cos cos

y Dz x sen xDy z x sen x+ = +

+ = −,

aplicamos o operador " na 2"D a equação, multiplicamos a 1a equação por (−1) e obtemos

2

cos cos

y Dz x sen xD y Dz sen x x− − = − −

+ = − −

Somando, temos que é uma equação diferencial linear de 2

2( 1) 2. 2.cosD y sen x− = − − xa ordem, com coeficientes constantes não-homogênea, cuja equação

característica da equação homogênea associada é 2 1 0r − = , com raízes 1 1r = e (reais e distintas). 2 1r = −

A solução geral da equação diferencial homogênea associada é . 3 4. .x x

hy C e C e−= +Observe-se que apareceram duas novas constantes arbitrárias. Calculando solução particular, temos cos py x sen x= +

cos x sen x+ +

e, como a solução geral é , temos que . hy y y= + p 3 4. .x xy C e C e−= +

Assim, substituindo-se 1 2. .x xz C e C e−= + e em uma das duas equações do sistema, digamos na 1

3 4. . cosx xy C e C e x sen x−= + + + a, por exemplo, vem

76

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

3 4 1 2. . cos ( . . ) cos x x x xC e C e x sen x D C e C e x sen x− −+ + + + + ≡ +

3 4 1 2. . cos . . cos x x x xC e C e x sen x C e C e x sen x− −+ + + + − ≡ +

3 1 4 2( ). ( ).x xC C e C C e− 0+ + − ≡ Como e e são funções linearmente independentes, x xe−

3 1 0C C+ = e 4 2 0C C− = ∴

3C 1C= − e C C4 2= . Substituindo-se e C em obtém-se, 3C 4 3 4. . cosx xy C e C e x sen x−= + + +

x1 2. . cosx xy C e C e x sen−= − + + + confirmando a solução obtida anteriormente.

Exercícios Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais:

a) 2 0

2. 0

dy dz y zdx dx

dy dz zdx dx

− − + =

+ − =

Resp:

3 3 3 33 3

1 2

3 3 3 33 3

1 2

. .

(2 3). . (2 3). .

x x

x x

z C e C e

y C e C e

+ −

+ −

= +

= − + +

b)

5.

2.

4.

2. 3.

x

x

dy dz y z edx dxdy dz y z edx dx

+ − − =

+ − − =

Resp:

55. 2.2

1

55. 2.2

1

3. .52. . 2.5

x x x

x x x

z C e e e

y C e e e

= − −

= + −

Aplicações de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Problemas de Diluição (Mistura) Exemplo: Suponhamos que um tanque A contém 50 litros de água na qual estão dissolvidas 25 gramas de sal, e um tanque B que contém 50 litros de água pura. Líquido é bombeado para dentro e para fora dos tanques, como mostra a figura abaixo; vamos supor também que a mistura trocada entre os dois tanques e o líquido bombeado para fora do tanque B esteja bem misturado.

77

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Desejamos modelar o problema formulado acima, bem como, determinar a quantidade de sal Q e nos tanques A e B, respectivamente, no instante t. )(tA )(tQB

Solução: De maneira similar aos problemas de diluição estudados nas Aplicações de Equações Diferenciais de 1a Ordem e 1o Grau, a taxa de variação da quantidade de sal no tanque A é determinada pela equação diferencial

tfeeVQfebeb

dtdQ

A

AA

).(...

1210

12211 −++−+= (taxa de entrada do sal menos a taxa de

saída).

Aqui, 0=b (gramas de sal por litro [água pura]), 1 31 =e (litros de mistura por min),

502BQb = (gramas de sal por litro [concentração de sal no tanque B]), (litro de

mistura por min), V (litros de mistura [volume inicial no tanque A]) e

12 =e

1500 =A 4=f (litros de mistura por minuto).

Assim, t

QQdt

dQ ABA

).413(50.4

150

30−++

−×+×= ∴ 25.2

50ABA QQ

dtdQ

−=

Analogamente para o tanque B, tfefV

Qfefbdt

dQ

B

BB

).().(.

2210

2213 −−+

+−= (taxa de entrada

do sal menos taxa de saída).

tQQ

dtdQ BAB

).314(50).31(

450 −−+

+−×= ∴

50.4

50.4 BAB QQ

dtdQ

−= ∴

25.2

25.2 BAB QQ

dtdQ

−= .

Assim, obtemos o seguinte sistema de equações diferenciais lineares com condições iniciais:

−=

−=

25.2

25.2

25.2

50BAB

ABA

QQdt

dQ

QQdt

dQ

, 25)0( =AQ gramas , grama 0)0( =BQ

Resolução:

78

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Exercícios 1) Qual é o sistema de equações diferenciais do exemplo anterior se, em vez de água pura , for bombeada uma solução salina contendo 2 gramas de sal por litro para dentro do tanque A? Resolva-o. 2) Construa os modelos matemáticos para cada um dos problemas abaixo, usando as

informações apresentadas em cada uma das respectivas figuras. a) c) d) Note-secondiçõ

, b)

que em nes iniciais

, ,

enh e te

um deles são dadas condiçõentar resolvê-los ou só calcula

....................................

s iniciais. [O leitor poderá sugerir as r a solução geral].

............

79

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Problemas de Redes Elétricas O modelo matemático para uma rede elétrica com mais de uma malha é um sistema de equações diferenciais lineares de 1a ordem e 1o grau. A figura abaixo, ilustra uma rede, onde a corrente bifurca-se nas duas direções mostradas a partir do nó

1 ( )i t

1B . Pela 1a lei de Kirchhoff, temos

i t1 2 3( ) ( ) ( )i t i t= + (8) Esta rede elétrica possui duas malhas, a saber,

e , nas quais aplicaremos a 2

1 1 2 2 1A B B A A 1 1 1 2 2 2 1A B C C B A Aa lei de Kirchhoff, respectivamente. Na malha

somando as quedas de voltagem em cada parte, obtemos

1 1 2 2 1A B B A A

21 1 1 2 2( ) . .

diE t i R L i R

dt= + + (9)

Analogamente, na malha , encontramos 1 1 1 2 2 2 1A B C C B A A

31 1 2( ) .

diE t i R L

dt= + (10)

Substituindo (8) para eliminarmos i em (9) e (10), obtemequações diferenciais lineares de 1

1a ordem e 1o grau

21 1 2 2 1 3

32 1 2 1 3

( ). .

. . ( )

diL R R i R i E

dtdi

L R i R i E tdt

+ + + = + + =

( )t

Exercícios

1) Mostre que o sistema de equações diferenciais que de na rede (figura abaixo) contendo um resistor, um ind2 ( )i t

12

22 1

. (

. 0

diL R i E t

dtdi

R C i idt

+ = + − =

)

[Sugestão: 3dq idt

= ].

2) Mostre que o sistema de equações diferenciais que de na rede elétrica (mostrada na figura abaixo), é 3 ( )i t

os o seguinte sistema de

screve as correntes e utor e um capacitor, é

1 ( )i t

screve as correntes i t e 2 ( )

80

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

321 2

321 2 3

. (

1 0

didiL L R i E

dt dtdidi

R R idt dt C

+ + =

− + + =

)t

3) Determine um sistema de equações de 1a ordem na rede elétrica mostrada na figura abaixo: 3 ( )i t

.......................................

que descreva as correntes e 2 ( )i t

...........

81

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Noções de Equações Diferenciais Parciais

As Equações Diferenciais Parciais surgem ligadas a várias aplicações físicas e geométricas, quando as funções envolvidas dependem de duas ou mais variáveis independentes. Estas variáveis podem ser o tempo e/ou uma ou mais coordenadas espaciais. Aqui neste estudo, além dos conceitos básicos, nos concentraremos na resolução de um tipo especial e muito importante, a equação diferencial parcial linear e homogênea de 2a ordem que rege a difusão (condução) do calor. Conceitos Básicos Uma equação que envolve uma ou mais derivadas parciais de uma função incógnita de duas ou mais variáveis independentes é chamada uma Equação Diferencial Parcial. Assim, como nas equações diferenciais ordinárias, a ordem é dada pela ordem da derivada de mais alta ordem presente na equação.

Exemplos: 1) uyu

xuy 22 =

∂∂

+∂∂3 (1a ordem)

2) 0),( 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yuyxf

xu (2a ordem)

3) xeyz

yxz

xz

=∂∂

+∂∂

∂−

∂∂ 2

2

2

3 (2a ordem)

Também, como no caso das equações diferenciais ordinárias, dizemos que uma Equação Diferencial Parcial é linear se a variável dependente e suas derivadas parciais ocorrem somente no 1o grau, não apresentando produto entre elas. Se cada termo de tal equação contiver ou a variável dependente ou uma de suas derivadas parciais, a equação é dita homogênea; caso contrário ela será dita não-homogênea. Exemplos:

1) 0),( 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yuyxf

xu , 2) u

yu

xuy 23 2 =

∂∂

+∂∂

Equações diferenciais parciais lineares e homogêneas.

3) 22

2

2

uyu

xu

=

∂∂

+∂∂u Equação diferencial não linear.

Uma solução de uma equação diferencial parcial em uma região R do espaço das variáveis independentes é uma função que conjuntamente com todas as derivadas parciais que figuram na equação a satisfaz em todos os pontos de R. Exemplos importantes de equações diferenciais parciais lineares de 2a ordem:

1) 2

22

2

2

xuc

tu

∂∂

=∂∂ (equação da onda, unidimensional)

82

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

2) 2

22

xuc

tu

∂∂

=∂∂ (equação do calor, unidimensional)

3) 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yu

xu (equação de Laplace, bidimensional)

4) ),(2

2

2

2

yxfyu

xu

=∂∂

+∂∂ (equação de Poisson, bidimensional)

5) 02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zu

yu

xu (equação de Laplace, tridimensional)

onde c é uma constante, t é o tempo e x,y,z são as coordenadas cartesianas retangulares. A equação (4), com f(x,y)≠ 0, é não-homogênea, enquanto que todas as outras são homogêneas. Em geral, a totalidade das soluções de uma equação diferencial parcial é muito grande. Assim, por exemplo, as funções u = x2− y2 , u = ex.cos y e u = ln(x2+ y2) são apenas três funções que são soluções da equação de Laplace (3) [verifique!].

Exercícios

i) Mostre que as seguintes funções são soluções da equação da onda (1), para algum valor adequado de c:

a) u = x2 + t2 , b) u =cos t .sen x , c) u = sen t .sen x

ii) Verifique se as seguintes funções são soluções da equação de Laplace:

a) u = x3− 3x.y2 , b) u = ex.sen y , c) xyarctg=u , d) u = sen x.cosh y

iii) Verificar que u(x,y)= a.ln(x2+ y2)+b satisfaz a equação de Laplace e determinar a e b de modo que u satisfaça as condições de contorno u = 0, sobre a circunferência x2+ y2 =1 e u = 3 sobre a circunferência x2+ y2 = 4.

.................................................................. Sobre a Resolução Geralmente, a resolução de equações diferenciais parciais apresenta-se como um problema muito mais difícil do que aquele de resolver equações diferenciais ordinárias e, a não ser para certos tipos especiais de equações diferenciais parciais lineares, nenhum método geral de resolução é viável. A dificuldade na resolução de uma equação diferencial parcial linear, além de depender da ordem da equação, depende fortemente do número de variáveis independentes envolvidas.

Nós aqui, por ser um curso introdutório, enfocaremos apenas um método particular de resolução, tomando como exemplo a equação diferencial parcial linear e

83

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

homogênea de 2a ordem, em duas variáveis, da condução (difusão) do calor que é de um grau de dificuldade matemática intermediário entre as equações diferenciais ordinárias e as equações diferenciais parciais de três ou mais variáveis independentes.

Relembrando o caso das equações diferenciais ordinárias lineares e homogêneas, uma combinação linear de duas ou mais soluções da equação é também uma solução. Assim, um resultado semelhante aplica-se às equações diferenciais parciais lineares e homogêneas, e se u1 ,u2, ... ,un são n soluções diferentes desta equação diferencial em algum domínio dado, então u = c1.u1+ c2.u2+ ... + cn.un também é uma solução no mesmo domínio, onde os coeficientes c1, c2, ... , cn são constantes arbitrárias. Este resultado denomina-se princípio da superposição, e tem um papel importante no método de resolução conhecido como método de separação de variáveis (que será utilizado mais adiante).

Determinação de uma Equação Diferencial Parcial a partir de uma Solução dada.

É sempre possível deduzir de uma função dada uma equação de derivadas

parciais que admite aquela função como solução.

Exemplos: 1) Seja z = f(x2+y2), onde f é uma função arbitrária de argumento u = x2+y2, isto

é, z = f(u), sendo u = x2+y2.

Derivando z em relação a x e a y, tem-se xufxz 2).(' =∂∂ e yuf

yz 2).(' =∂∂

Dividindo membro a membro, elimina-se u. Assim,

yufxuf

yzxz

2).(' 2).('

=

∂∂∂∂

⇒ 0=∂∂

−∂∂

yzx

xzy

é a equação de 1a ordem que admite como solução a função arbitrária z = f(x2+y2). Observe-se que a equação foi obtida pela eliminação de uma função arbitrária.

2) Seja z = ).().( xayxay −Ψ++Φ onde a é uma constante e e Φ Ψ são

funções arbitrárias dos respectivos argumentos u = y + a.x e v = y − a.x. Derivando z em relação a x e a y respectivamente, tem-se

aaaxz ).''('.'. Ψ−Φ=Ψ−Φ=∂∂ e '' Ψ+Φ=

∂∂yz

Como ainda não foi possível eliminarmos as funções arbitrárias, derivemos novamente:

)''''.('.''.' 2222

2

Ψ+Φ=Ψ+Φ=∂∂ aaax

z e ''''2

2

Ψ+Φ=∂∂y

z

⇒ 2

22

2

2

.y

zax

z∂∂

=∂∂ (*)

84

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

é a equação diferencial parcial de 2a ordem que foi obtida pela eliminação das duas funções arbitrárias.

Note-se que, por Φ e serem funções arbitrárias, também são soluções de (*) z

Ψ = (x + a.y)3+ tg (x − a.y) e z = sen (x+a.y)+e x− a.y . [Verifique!].

3) Seja z = a.x + b.y + a.b, sendo a e b constantes.

Derivando z em relação a x e y, tem-se axz=

∂∂ e b

yz=

∂∂ .

Levando estes resultados à equação dada, temos yz

xz

yzy

xzxz

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

= . .

que é uma equação de derivadas parciais de 1a ordem e que foi obtida eliminando-se duas constantes arbitrárias na relação z = a.x + b.y + a.b, que é a solução.

Observe-se que existem dois tipos de solução, uma que contém funções arbitrárias e denomina-se geral, e outra que contém constantes arbitrárias e denomina-se completa. Tal como nas equações diferenciais ordinárias, há certas equações que admitem as soluções singulares que são aquelas que não resultam nem da solução geral nem da solução completa.

Assim, percebemos agora uma das mais importantes diferenças entre as soluções das equações diferenciais parciais e as soluções das equações diferenciais ordinárias, qual seja, enquanto a solução geral de uma equação diferencial ordinária contém constantes arbitrárias de integração, a solução geral de uma equação diferencial parcial contém funções arbitrárias.

Outra particularidade que notamos, a partir dos exemplos apresentados, é aquela de que nem sempre o número de funções arbitrárias ou de constantes arbitrárias traduz a ordem da equação diferencial parcial.

Exercícios: Obter as equações de derivadas parciais que apresentem as seguintes soluções:

a)

=

xyfz ; b) z = ey.f(x− y) ; c) z = a.x.y+b ; d) x.z = f(x+y) ;

e) z = f(x)+ey.g(x);

onde f e g são funções arbitrárias e a e b constantes arbitrárias.

..................................................

Agora, mencionaremos aqui novamente, que o termo “condições de fronteira” (condições de contorno) é usado na literatura com diferentes significados. O termo é obviamente apropriado quando uma equação tem que ser resolvida dentro de uma dada região R do espaço, com valores da variável dependente dados sobre a fronteira de R. Além disso, a fronteira não precisa envolver um volume finito (caso em que parte da fronteira estará no infinito). No caso das equações diferenciais parciais em que uma das variáveis independentes é o tempo t, os valores da variável dependente e muitas vezes sua derivada em relação ao tempo em algum instante, digamos t = 0, podem ser

85

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

dados. Tais condições são usualmente chamadas de “condições iniciais”. As condições iniciais, no entanto, podem ser pensadas como condições de fronteira no diagrama espaço-tempo, onde um dos eixos representa a coordenada tempo. No caso da equação diferencial parcial em duas variáveis independentes, por exemplo, uma variável de espaço x e uma variável tempo t, podemos exigir uma solução dentro da região R (conforme figura abaixo). Aqui as condições iniciais em t = 0 são condições de fronteira ao longo da fronteira OA.

O Problema de Condução de Calor e o Método de Separação de Variáveis

Uma das equações diferenciais parciais clássicas da física matemática é a

equação que descreve a condução de calor num corpo sólido. O estudo desta equação teve origem por volta de 1800 (a primeira investigação importante foi desenvolvida por Joseph B. Fourier) e continua a demandar a atenção dos cientistas atuais. Por exemplo, a análise da dissipação e transferência de calor de suas fontes em maquinaria de alta velocidade é freqüentemente um importante problema tecnológico.

Consideremos agora o problema de condução de calor para uma barra reta de seção transversal uniforme e de material homogêneo. Escolhemos o eixo x de modo a se situar ao longo do eixo da barra e sendo x = 0 e x = l os extremos da barra. Vamos supor ainda que os lados da barra estejam perfeitamente isolados, de modo que nenhum calor os atravessa. Consideremos também que as espessuras das seções transversais sejam tão pequenas que a temperatura u pode ser considerada constante em qualquer seção transversal dada. Então, u é somente função da coordenada axial x e do tempo t.

A variação de temperatura nesta barra é descrita pela equação diferencial

parcial denominada equação de condução (difusão) de calor e que tem a forma

2

22 .

xuc

tu

∂∂

=∂∂ , 0<x<l , t > 0 , (1)

86

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

onde c2 é uma constante conhecida como difusibilidade térmica. O parâmetro c2

depende somente do material de que é feita a barra e é definido por σρkc =2 , onde

k é a condutibilidade térmica, σ é a densidade (massa específica do material do corpo) e ρ é o calor específico do material da barra. As unidades dimensionais de c2 são (comprimento)2/tempo. Aqui, estudaremos o caso em que as extremidades x = 0 e x = l da barra se encontram na temperatura zero. Assim, as condições de contorno são u(0,t) = 0 , u(l,t) = 0 para qualquer t. (2) Seja f(x) a temperatura inicial da barra. Então a condição inicial é

u(x,0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l (3) onde f(x) é uma função dada. Determinaremos uma solução u(x,t) de (1) que satisfaz a (2) e (3).

O problema descrito por (1), (2) e (3) é um problema de valor inicial para a variável t; uma condição inicial é dada, e a equação diferencial descreve o que acontece mais tarde. Entretanto, com relação à variável espaço x, o problema é de um tipo diferente, conhecido como um problema de valor de contorno. A solução da equação diferencial é desejada num certo intervalo, e condições (de contorno) são impostas nos extremos do intervalo. Alternativamente, podemos considerar o problema como um problema de valor de contorno no plano xt. A solução u(x,t) de (1) é procurada na faixa semi-infinita 0 < x < l, t > 0 sujeita à condição de que u(x,t) deve admitir um valor prescrito em cada ponto no limite desta faixa.

A equação diferencial parcial que rege este problema de condução de calor é

linear, homogênea e de 2a ordem. Isto sugere que poderíamos aproximar o problema procurando soluções da equação diferencial e das condições de contorno e, então, superpondo-as para satisfazer a condição inicial. Para encontrar as soluções de que necessitamos, usamos uma técnica conhecida como o método de separação de variáveis.

Este método se baseia na idéia de encontrarmos certas soluções da equação diferencial (1) da forma

u(x,t)=F(x).G(t).

Derivando e substituindo em (1), obtemos (4) GFcGF '.' .' . 2=

onde ' indica a derivada ordinária de G em relação a t e indica a derivada ordinária (2

G '' Fa) de F em relação a x. A equação (4) é equivalente a

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Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

F

FGc

G '' .'

2 = (5)

Como o primeiro membro depende unicamente de t e o segundo membro somente de x, ambas as expressões devem ser iguais a uma constante, digamos − p2 (por conveniência), e assim de (5) obtém-se,

F

FGc

G '' .'

2 = = − p2 (6)

e daí as duas equações diferenciais (7) 0.'' 2 =+ FpF

e G . (8) 0..' 22 =+ Gpc

A equação (7) é uma equação diferencial ordinária, de 2a ordem, linear e homogênea de coeficientes constantes, cuja solução geral é

F(x)=A.cos (p.x) + B.sen (p.x) (9) De (2) decorre que 0)().0(),0( == tGFtu

),( tx)0,(x

e se esta equação for satisfeita escolhendo-se para todo t, então u será identicamente nula. Isto é inaceitável, já que não satisfaz a condição inicial u

0)( =tG)(xf= . Assim, u )().0(),0( tGFt = deve ser

satisfeita exigindo-se que . Analogamente, a condição de contorno x0)0( =F = l exige que . 0)( =lF Em vista de (9), F(0) = A. Então, A = 0, e portanto, F(l) = B.sen (p.l). Devemos ter B ≠ 0, já que de outro modo F ≡ 0. Assim, a condição F(l) = 0 conduz a sen (p.l) = 0

ou l

np π.= , (n inteiro). Fazendo B = 1 obtemos um número infinito de soluções

F(x) = Fn(x),

Fn(x) = sen l

xn ..π , n = 1,2, ...

de (7) que satisfazem as condições de contorno (2). [Para n inteiro negativo, obtemos essencialmente as mesmas soluções, a menos de um sinal negativo, isto porque sen(−y)= − sen y].

Para os valores l

np π.= , n = 1,2, ... , a equação (8) apresenta a forma

, onde 0.' 2 =+ GG nλ lnc

nπλ ..

= [equação diferencial linear e homogênea de 1a ordem ou

equação diferencial de variáveis separáveis de 1a ordem] cuja solução geral é tn .2λ

nn eBtG .)( −= , n=1,2, ... , onde Bn é uma constante. Assim as funções

un(x,t)=Fn(x).Gn(t)=Bn.sen tnel

xn .2

... λπ − , n = 1,2, ... (10)

são soluções da equação do calor (1) que satisfazem (2). Utilizando o princípio da superposição, vem

u(x,t)= sen∑ ∑∞

=

∞

=

=1 1

.),(n n

nn Btxu tnel

xn .2

... λπ − , onde lnc

nπλ ..

= . (11)

Para determinarmos uma solução que satisfaça também (3) devemos ter

u(x,0)= sen.1∑∞

=nnB )(.. xf

lxn=

π .

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Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Assim para (11) satisfazer (3), os coeficientes Bn devem ser escolhidos de modo que u(x,0) seja um desenvolvimento de meio período de f(x), a saber, a série de Fourier em seno de f(x),

Bn= ∫ t

0 ).(2 xf

l sen dx

lxn ..π , n=1,2, ... .

Observação: Para realizarmos um estudo mais detalhado sobre a escolha desses Bn ,

n = 1,2, ... , necessitaríamos, como pré-requisito, de conhecimentos sobre Séries de Fourier.

..........................................

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Anexos

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FÓRMULAS BÁSICAS

ÁLGEBRA EXPOENTES E RADICAIS VALOR ABSOLUTO 1) 1) nmnm aaa +=× dxddx <<−⇔< , (d > 0)

2) ( )mnn mnm

aaa == 2) dxdxdx >−<⇔> ou

3) 3) ( ) nmnm aa .= baba +≤+ (desigualdade triangular)

4) nnn baba .. = 4) aaa ≤≤−

5) ( ) nnn baba .. = DESIGUALDADES

6) n

nn

ba

ba= 1) cacbba >>> então , e Se

7) n

nn

ba

ba

=

2) cbcaba +>+> então , Se

8) mnn m aa .= 3) cbcacba .. então , 0 e Se >>>

9) nmn

m

aaa −= 4) cbcacba .. então , 0 e Se <<>

10) nn

aa 1

=− FÓRMULA QUADRÁTICA

LOGARITMOS Se 0≠a , as raízes da equação 0.. 2 =++ cxbxa

1) xaxy ya =⇒= log são

acabbx

.2..42 −±−

=

2) yxyx aaa loglog.log += PRODUTOS NOTÁVEIS

3) yxyx

aaa logloglog −= ( ) 222 ..2 yyxxyx +±=±

4) xkx ak

a log.log = ( )( ) 22. yxyxyx −=−+

5) 01log =a ( ) 32233 ..3.3 yyxyxxyx ±+±=±

6) 1log =aa FÓRMULA BINOMIAL

7) xx 10log log = ( ) ... . . 222

11 +++=+ −− yxCyxCxyx nnnnnn

8) , xx elog ln = nkknnk yyxC +++ − ... . ...

9) ax

xb

ba log

loglog = onde

! )(! !

knknn

k −=C

TRIGONOMETRIA

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Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS

1) hipotenusa

opostocatetosen =θ 4) opostocateto

hipotenusa

sec =θcos

2) hipotenusa

cateto adjacente cos =θ 5) djacente

acateto

hipotenusa=θsec

3) adjacentecateto

catetotg

oposto =θ 6) opostocateto

adjacentecatetog

=θcot

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1) tsen

t

1 seccos = 14) vsenuvusenvusen . cos cos. )( −=−

2) t

t cos

1 sec = 15) vsenusenvuvu . cos. cos)( cos +=−

3) ttag

tg

1 cot = 16) vtgutg

vtgutgvutg . 1

)( +

−=−

4) ttsenttg cos = 17) 2. 2. .cos sen u sen u u=

5) tsenttg cos cot = 18) 1cos.2.21cos2 cos 2222 −=−=−= uusenusenuu

6) 19) 1cos22 =+ ttsen 1

.2.2 2utgutgutg

−=

7) 20) 1sec 22 =− ttgt )]( )( [21 cos. vusenvusenvusen −++=

8) 21) 1cotseccos 22 =− tgt )]( )( [21 . cos vusenvusenvsenu −−+=

9) 2

.2 cos12 ttsen −= 22) )]( cos)( [cos

21 cos. cos vuvuvu −++=

10) 2

.2 cos1cos2 tt += 23) )]( cos)( [cos

21 . vuvuvsenusen −−−=

11) 24) vsenuvusenvusen . cos cos. )( +=+ tsentsen )( −=−

12) 25) vsenusenvuvu . cos. cos)( cos −=+ tt cos)( cos =−

13) vtgutg

vtgutgvutg . 1

)( −

+=+ 26) ttgttg )( −=−

TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER

27) ˆ ˆ a b c

sen Bsen A sen C= = ˆ

A

(Lei dos senos)

28) (Lei dos cossenos) 2 2 2 ˆ2. . .cosa b c b c= + −

FÓRMULAS DE DERIVADAS FÓRMULAS DE INTEGRAIS

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1) 0=cdxd , onde c é uma constante 1) ∫ ∫−= duvvudvu ...

2) dxdv

dxduvu

dxd

±=± )( , u e v funções de x 2) cnuduu

nn +

+=∫

+

1.

1

, 1−≠n

3) dxduv

dxdvuvu

dxd

+=).( 3) 1 ln du u cu

= +∫

4) 2

du dvv ud u dx dxdx v v

− =

4) ∫ += cedue uu .

5) [ ]{ } [ ] )('.)(' )( xgxgfxgfdxd

= 5) ca

aduau

u +=∫ ln.

6) dxduunu

dxd nn 1. −= 6) ∫ +−= cuduusen cos.

7) dxduee

dxd uu = 7) ∫ += cusenu cos

8) dxduaaa

dxd uu ln.= 8) ∫ += cutgduu .sec2

9) dxdu

uu

dxd 1 ln = 9) cugduu +−=∫ cot.seccos 2

10) dxdu

auu

dxd

a ln.1log = 10) ∫ += cuduutgu sec. . sec

11) dxduuusen

dxd cos = 11) ∫ +−= cuduugu seccos. cot. seccos

12) dxduusenduu

dxd . cos −= 12) cucuduutg +=+−=∫ sec ln cos ln.

13) dxduuutg

dxd 2sec = 13) cusenduug +=∫ ln. cot

14) dxduuug

dxd 2seccos cot −= 14) ∫ ++= cutguduu sec ln. sec

15) dxduutguu

dxd . sec sec = 15) ∫ +−= cuguduu cot seccos ln. seccos

16) dxduuguu

dxd cot. seccos seccos −= 16) c

ausenarcdu

ua+=

−∫ 1

22

17) dxdu

uusenarc

dxd

211 −

= 17) cautgarc

adu

ua+=

+∫ 1122

18) dxdu

uuarc

dxd

211 cos −

−= 18) c

auarc

adu

auu+=

−∫ sec 1

.1

22

19) dxdu

uutgarc

dxd

211 +

= 19) cauau

adu

ua+

−+

=−∫ ln

.211

22

20) dxdu

uuuarc

dxd

1.1 sec

2 −= 20) cauudu

au+−+=

−∫ 22

22 ln1

Sistemas de Unidades

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Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Sistemas de unidades

Comprimento Massa Tempo Força Força da

Gravidade (g)

C.G.S. centímetro , cm grama, g segundo, s dina, dyn 980 cm/s2

M.K.S. metro, m quilograma, kg segundo, s newton, N 9,8 m/s2

Engenharia (inglês) Foot, ft slug segundo, s pound, lb 32 pés/s2

1 ft = 30,480 cm = 0,3048 m 1 slug = 14.594 g = 14,594 kg 1 lb = 444.822 dyn = 4,44822 N

.......................................................

94

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

95

Bibliografia

ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, São Paulo,

Pioneira Thomson Learning Ltda, 2003. BOYCE, William E. & DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas

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1982. BASSANESI, Rodney C. & FERREIRA Jr, W. C. Equações Diferenciais com

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1979. BRONSON, Richard. Moderna Introdução às Equações Diferenciais, São Paulo,

McGrawn-Hill, 1980. KREYSZIG, Erwin. Matemática Superior, Vol. 1 e 3, Livros Técnicos e Científicos

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Editora da USP, São Paulo, 1975. SIMMONS, George F. Diferential Equations - With Applications and Historical Notes,

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.................................................................