Calculo 4 2014.12aLista de Exercıcios Prof. Cleide Martins

1. Resolva as seguintes EDO’s e PVI’s

a) y(4) + 3y′′ − 4y = 0

b) 2y′′′ − 3y′′ − 2y′ = 0; y(0) = 1; y′(0) = −1; y′′(0) = 3

c) 9y′′′ + 11y′′ + 4y′ − 14y = 0 sabendo que y = e−xsen x e solucao.

d) 6y(4) + 5y′′′ + 25y′′ + 20y′ + 4y = 0 sabendo que y = cos 2x e solucao.

e) y(5) + 2y′′′ + 2y′′ = 3x2 − 1 (so uma solucao particular)

f) y(4) − y = 5; y(0) = y′(0) =; y′′(0) = y′′′(0) = 0

g) x3y′′′ + 2x2y′′ − 4y = 0

h) y′′′ + 4y′ = cotg 2x

i) x3y′′′ + 5x2y′′ + 2xy′ − 2y = x4

j) 24x3y′′′ + 46x2y′′ + 7xy′ − y = 24x3 sabendo que a solucao geral da homogenea associada eyh = C1x

1/2 + C2x1/3 + C3x

1/4

1. Ache uma representacao em serie de potencias para cada uma das funcoes e o respectivo raio deconvergencia.

a) f(x) = senhx b) f(x) = sen2x2 c) f(x) = (1 + x2)−32 d) f(x) = ln(1+x2)

xe) f(x) = x√

9+x3

2. Encontre as solucoes gerais em potencias de x para as EDOs abaixo, exibindo, em cada caso, arelacao de recorrencia para o termo geral e o intervalo de convergencia.

a) (x2 + 2)y′′ + 4xy′ + 2y = 0 b) y′′ − x2y′ + 2xy = 0c) (2− x2)y′′ − xy′ + 16y = 0 d) y′′ − x2y′ − 3xy = 0e) (4− x2)y′′ + 2y = 0 f) (1− x)y′′ + xy′ − y = 0

3. Use series de potencias para resolver os problemas de valor inicial:

a) y′′ + xy′ − 2y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0

b) (x2 − 6x+ 10)y′′ − 4(x− 3)y′ + 6y = 0; y(3) = 2, y′(3) = 0

c) (4x2 + 16x+ 17)y′′ = 8y; y(−2) = 1, y′(−2) = 0

4. Encontre os tres primeiros termos nao nulos em cada uma das solucoes linearmente independentes,substituindo as funcoes envolvidas por suas respectivas series de Taylor, com um numero suficiente determos para o calculo dos coeficientes.

a) (cosx)y′′ + y = 0 b) y′′ + e−xy = 0 c) xy′′ + (senx)y′ + xy = 0

5. Ache duas solucoes linearmente independentes em serie de Frobenius (para x > 0) para as EDO’s

a) 2xy′′ + 3y′ − y = 0

b) 2x2y′′ + xy′ − (3− 2x2)y = 0

c) 3x2y′′ + 2xy′ + x2y = 0

6. Encontre os tres primeiros termos nao nulos em cada uma das solucoes linearmente independentesem serie de Frobenius

a) 2x2y′′ + x(x+ 1)y′ − (2x+ 1)y = 0

b) 2x2y′′ + (senx)y′ − (cosx)y = 0