MEDIDAS LINEARES E DE SUPERFÍCIE Um Enfoque Histórico e ... · Medidas lineares e de superfície: Um enfoque histórico e matemático. O título do livro, surgiu a partir das pesquisas

MARIA LÚCIA PESSOA CHAVES ROCHA

FRANCISCO FIALHO GUEDES FERREIRA

FRANCISCA JANICE DOS SANTOS FORTALEZA

MEDIDAS LINEARES E DE SUPERFÍCIE

Um Enfoque Histórico e Matemático

BELÉM - PARÁ

outubro 2019

Organizadores Acylena Coelho Costa

Fernando Cardoso de Matos

Reginaldo da Silva

Rocha, M.L.P.C.; Ferreira, F.F.G.; Fortaleza, F.J. dos S.

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Copyright © 2019 by EPAEM- 12º Edição

Revisão de Texto e Bibliográfica: Os autores

Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Belém - Pará - Brasil

Medidas Lineares E De Superfície

Um Enfoque Histórico E Matemático Belém : Sociedade Brasileira de Educação

Matemática - SBEM, 2019.

1. Educação - Finalidade e objetivos

2. Aprendizado 3. Matemática (Ensino fundamental)

4. Matemática - Estudo e ensino 5. Prática de ensino 6. Professores -

Formação 7. Sala de aula – I. Lúcia Pessoa Chaves Rocha, Maria. II. Fialho Guedes Ferreira,

Francisco.III. Janice Dos Santos Fortaleza, Francisca. Belém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI).

93p.

ISBN 978-65-5076-012-0 (V.12)

ISBN 978-65-5076-000-7 (Coleção)

CDD 510.

Índices para catalogo sistemático:

1. Matemática: Estudo e ensino 510.7

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida

sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos

infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei Nº

9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

Comitê Científico - Coleção VI Demetrius Gonçalves de Araújo

José Carlos de Sousa Pereira

José Messildo Viana Nunes

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

Natanael Freitas Cabral

Organizadores

Acylena Coelho Costa

Fernando Cardoso de Matos

Reginaldo da Silva

Coleção VI - Educação Matemática na Amazônia - V. 12

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XII ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

Diretoria Regional da SBEM-PA

Diretor: Fernando Cardoso de Matos

Vice-diretor: Reginaldo da Silva

Secretário: José Carlos de Sousa Pereira

Secretário: José Messildo Viana Nunes

Secretário: Demetrius Gonçalves de Araújo

Secretário: Natanael Freitas Cabral

Tesoureiro: Acylena Coelho Costa

Tesoureiro: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias


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Apresentação

om o intuito de consolidar mais um espaço de divulgação da

produção de conhecimento na região norte, a coleção Educação

Matemática na Amazônia teve o lançamento de sua sexta edição

durante a realização do XII Encontro Paraense de Educação

Matemática – XII EPAEM.

A partir do tema Educação Matemática: Teorias, Práticas e

Reflexões, apresenta-se ao leitor um conjunto de obras

diversificadas, tendo em vista os avanços dos estudos efetivados no

âmbito da Educação Matemática em diversos centros de pesquisa

do país.

Cada um dos 12 volumes apresenta múltiplas discussões e

reflexões sobre teorias e práticas, as quais foram contempladas

durante os minicursos disponibilizados no XII EPAEM. Espera-se,

nesse sentido, que a publicação desse material permita que

estudantes de graduação e pós-graduação, bem como professores

dos níveis básico e superior, ampliem seu olhar crítico no que se

refere à pluralidade de produções relativas à Educação Matemática.

Finalmente, almeja-se que essa coleção inspire reflexões e

provoque transformações na trajetória acadêmica e profissional de

cada um dos leitores.

Boa leitura!

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

(Membro da Diretoria da SBEM-PA)

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MEDIDAS LINEARES E DE SUPERFÍCIE

Um Enfoque Histórico e Matemático

Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha

Francisco Fialho Guedes Ferreira

Francisca Janice dos Santos Fortaleza


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SUMÁRIO

1. UMA VISÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA ................................ 13

1.1. A PROBLEMÁTICA E ALTENATIVAS NO ENSINO DE

MATEMÁTICA ................................................................................... 14

1.2. HISTÓRIA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: CAMINHOS A

PERCORRER ..................................................................................... 20

2. AS UNIDADES DE MEDIDAS: TRAJETÓRIA NO BRASIL ............. 25

2.1. TIPOLOGIA DE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE CONVENCIONAIS ... 28

2.2. TIPOLOGIA DE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE NÃO

CONVENCIONAIS ............................................................................. 32

2.3 RELAÇÃO ENTRE AS MEDIDAS SUPERFÍCIE CONVENCIONAIS E

NÃO CONVENCIONAIS ..................................................................... 35

3.1. CURSO ELEMENTAR DE MATEMÁTICA – I – ARITMÉTICA

(1892) .............................................................................................. 41

3.2. ELEMENTOS DE GEOMETRIA (1895) ......................................... 47

3.3. REGRAS MÉTRICAS (1898) ........................................................ 49

3.4. ARITMÉTICA PRIMÁRIA (1902) ................................................. 52

3.5. CURSO PRIMÁRIO DE ARITMÉTICA ELEMENTAR (1907) ........... 55

3.6. ARITMÉTICA COMPLEMENTAR ([1920?]) .................................. 57

3.7. GEOMETRIA PRIMÁRIA (1957) .................................................. 62

4. APLICAÇÃO EM SALA DE AULA .................................................. 65

4.1. TRABALHANDO COM SITUAÇÕES PROBLEMAS ........................ 65

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................... 85


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CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Medidas lineares e de superfície: Um enfoque histórico e matemático. O título do livro, surgiu a partir das pesquisas desenvolvidas pelos autores, integrantes do Grupo de Estudo e Pesquisa em História e Ensino da Matemática – GEHEM. Nossa intenção foi trazer à tona a evolução histórica das unidades de medidas convencionais e não convencionais e assim procurar preencher a lacuna que hoje pouco se tem conhecimento no ambiente de sala de aula, mas que ainda é praticado por pessoas que vivem na zona rural. Trabalhar a história e não deixar que caia no esquecimento, uma vez que as mesmas foram utilizadas por nossos antepassados desde a colonização do País, foi nossa preocupação durante a pesquisa. Hoje, em razão da eficiência dos equipamentos de medição, medir tornou-se uma ação simples que praticamente tornou-se invisível (SILVA, 2010. p 13).

Uma das linhas de pesquisa que se trabalha no GEHEM são os estudos voltados para o ensino da matemática no estado do Pará, assim, procuramos contemplar no livro a trajetória das unidades de medidas no ensino primário paraense baseados nos livros que circularam no estado no período de 1892 a 1957, bem como o ensino das medidas eram abordados nos referidos livros. Tomamos o livro escolar como um objeto histórico que exprime conteúdo de ensino “segundo uma perspectiva epistemológica ou propriamente didática” (CHOPPIN, 2004, p. 555).

Pensamos o livro escrito por seis mãos e projetado em quatro

capítulos. Os capítulos seguem um fio condutor de leitura, sendo que no primeiro capítulo abordamos a problemática e as alternativas no ensino da matemática e os caminhos a percorrer utilizando a história pelo viés da Educação Matemática. No segundo capítulo, traçamos um enfoque histórico matemático utilizando as medidas agrárias não convencionais, as medidas agrárias convencionais e a relação entre elas voltadas para o Brasil. O terceiro capítulo, voltamos nosso olhar para o estado do Pará,


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visando perceber como as unidades de medidas eram tratadas nos livros da época. E deixamos para o quarto capítulo atividades voltadas para o leitor, em que apresentamos situações problemas que denotam possibilidades de uso das medidas métricas, em que aritmética e geometria são correlacionadas na sua elaboração.

Esperamos que os leitores possam apropriar-se das informações

que estão presentes no livro e que possam a partir da leitura aprofundar a pesquisa ampliando o seu campo de conhecimento do que se refere às unidades de medidas (convencionais e não convencionais) e que norteiem trabalhos relacionados à história da Matemática e da Educação Matemática.


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Capítulo 1

1. UMA VISÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA

É importante que o professor entenda que a

Matemática estudada deve, de alguma forma, ser útil aos alunos, ajudando-os a compreender, explicar ou

organizar sua realidade.

Beatriz D’ Ambrosio

A literatura científica existente hoje que trata do ensino da

Matemática – por meio de textos encontrados em livros, periódicos, teses e dissertações - basicamente tem enfrentados dois desafios: como trabalhar a Matemática em sala de aula e/ou como preparar o professor para tornar o ensino da Matemática menos desgastante diante da comunidade estudantil. O que se busca na literatura, afinal de contas, é a construção de mecanismos e metodologias de ensino que deem um suporte para a Matemática de tal maneira que não comprometa o aprendizado e que não haja desgaste do ensino da matéria. Machado (1999) comenta sobre o assunto, assegurando que:

Ensinar Matemática tem sido, frequentemente, uma

tarefa difícil. Às dificuldades intrínsecas, somam-se as decorrentes de uma visão distorcida da matéria,

estabelecida, muitas vezes, desde os primeiros

contatos. Uma das componentes mais fundamentais de tal visão é a concepção muito difundida, entre leigos e

especialistas, de que o conhecimento matemático possui características gerais de objetividade, de


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precisão, de rigor, de neutralidade do ponto de vista

ideológico, que o universalizam (MACHADO, 1999, p.

9).

A preocupação excessiva com abstrações, a separação da teoria da prática, o grande emprego de símbolos e, segundo Giardineto (1999, p. 3) “a ênfase numa memorização aleatória de resultados conceituais, apresentados sem nexo, como se fossem pré-determinados”, assumem como parcela de contribuição para que o ensino da Matemática seja causa da retenção dos alunos. Repassa-se um amontoado de conteúdo, de forma que o aluno se torna uma verdadeira enciclopédia, deixando-o ainda mais confuso, e esquecendo o lado mais importante que é o de cultivar o espírito matemático e potencializá-lo. Estamos diante de uma problemática a ser enfrentada e as descobertas dos caminhos alternativos para que possamos repensar nossas práticas cotidianas em sala de aula.

1.1. A PROBLEMÁTICA E ALTENATIVAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA

“O que eu acho ruim na Matemática são as fórmulas que temos que decorar (seno, cosseno, área, delta etc.)

muitas vezes sem entender como esta fórmula foi feita...”.

aluno do ensino médio

O relato colocado como forma de citação, trata-se de uma pesquisa realizada por Chamie (1990) na sua dissertação de mestrado e posteriormente publicada na revista ZETETIKE, em parceria com a sua orientadora, Maria Aparecida Bicudo, o artigo “Compreendendo e interpretando as dificuldades sentidas pelos alunos ao estarem diante da matemática” (BICUDO & CHAMIE, 1994). Outros relatos apresentados, relatam as dificuldades em aprender matemática, como: é uma matéria que não tem interpretação, não se pode perguntar o porquê daquilo, o porquê das regras e sim aceitá-las. Relatos muito recorrentes, ainda nos dias atuais, expõem essa problemática e nos fazem refletir como professor sobre o ensino da matemática e como está sendo trabalhada nas escolas.


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Em outra pesquisa, Bicudo e Garnica (2001) relatam diálogos

mantidos com alunos não mais do ensino médio, mas dos cursos de licenciatura e de bacharelado em Matemática e comentam como é comum descreverem as dificuldades que enfrentam ao deparar-se com uma Matemática formalizadora; os tropeços para a demonstração de resultados – por vezes tão claros no enunciado que parecem prescindir de uma prova formalizada – ou para a elaboração de sentenças ou mesmo para a verificação – informal – da validade de proposições. As pesquisas revelam a preocupação tanto na educação básica como na educação superior, o problema é recorrente.

Bicudo e Garnica (2001), vão além, quando descrevem, tão

comum quanto isso, parecem ser as dificuldades de negociação quanto ao modo – tido como correto – de argumentação matemática: os momentos em que um determinado tipo de prova “funciona” e outros em que a nada levam; as vezes em que o exemplo particular – na verdade o contra-exemplo – é aceito como prova; o modo de expressar simbolicamente determinada situação e a utilização específica de alguma ferramenta de apoio; a impossibilidade da tese demonstrando a própria tese – à exceção do que parece ocorrer nas provas por indução finita – etc. (BICUDO & GARNICA, 2001, p. 42).

Muito se tem contribuído para o avanço do ensino da Matemática, por meio de trabalhos científicos, projetos inovadores, dissertações de mestrado, teses de doutorado, mas pouco se tem aplicado. Parece existir ainda um certo fosso entre o que se produz e o que se discute na academia, e a realidade do ensino da Matemática. Há, por assim dizer, uma espécie de ausência de articulação entre os saberes científicos e os profissionais que trabalham diretamente na sala de aula.

Porém, há uma produção científica significativa, as pesquisas na área têm dado passos importantes, todavia, é preciso que essas pesquisas sejam divulgadas para que os professores, ao deterem esses conhecimentos, possam, na prática, verificar sua aplicabilidade. Por desconhecimento e por não estar institucionalmente envolvido academicamente, o professor facilmente divorciar-se do que vem sendo reformulado e atualizado no âmbito do ensino da Matemática. Num ato


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contínuo pode, pois, julgar equivocadamente que o aluno seja incapaz de apreender determinados conteúdos.

E o que se percebe com as pesquisas desenvolvidas, seja por

meio de relatos dos alunos ou por meio das observações dos pesquisadores, é a ação do professor de matemática nas escolas ainda com a mesma postura de antes, reproduzindo suas aulas com poucas modificações, enchendo a lousa ( “quadro negro”) com o conteúdo retirado do livro e listando exercícios repetidos, fazendo apenas algumas alterações para que o aluno sozinho resolva problemas, ou que ele mesmo resolva para que o aluno copie, apesar de utilizar também, as lousas interativas, Datashow, dentre outros. A resistência às mudanças e o reforço do ensino tradicional têm sido práticas comuns.

Micotti (1999, p.154), em seu texto “O Ensino e as Propostas Pedagógicas”, mostra que alguns profissionais elogiam o bom nível do trabalho escolar feito no passado e até rejeitam as mudanças; duvidam da validade da atuação escolar, além do que consideram que os professores hoje são pouco exigentes. Para eles, a escola tradicional era mais exigente.

Para Carvalho (1994), a visão da Matemática que geralmente

norteia o ensino, refere-se à Matemática como uma área de conhecimento pronta, acabada, perfeita, pertencente ao mundo das ideias e que serve de modelo para outras ciências. Dessa forma, essa concepção gera uma visão distorcida da realidade da sala de aula, em que o professor, no seu papel de dono absoluto do conhecimento, impõe sua autoridade para o aluno passivo, a ser moldado segundo uma “perfeição científica”. Outra consequência apontada é que o sucesso em Matemática representa um critério avaliador de inteligência dos alunos. Uma ciência tão nobre e perfeita, só pode ser acessível a mentes privilegiadas.

A atuação da escola, no contexto atual do ensino da Matemática, é preocupante. O mundo hoje exige novas atuações da escola, para que se possa acompanhar o desenvolvimento técnico e científico. Todavia,


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conforme aponta a maioria dos estudiosos sobre o assunto, o que se tem observado é buscar culpados para o “fracasso” do ensino da Matemática nas escolas, em vez de superá-lo. Nesse sentido, do “fracasso” advém fatos como:

o aluno, que não tem capacidade; o professor, que é

mal preparado; as secretarias de educação, que não remuneram seus professores; as universidades, que

não formam bem o professor; o estudante universitário, que não aprendeu no Ensino Médio o que deveria ter

aprendido e agora não consegue aprender o que os

professores universitários lhe ensinam (CARRAHER, 1995, p.20).

Enfim, estamos diante de vários problemas, que não só são referentes ao ensino da Matemática, mas que se acentuam com ela, quando ainda hoje se encontra o maior índice de reprovação nessa disciplina, segundo as avaliações realizadas pelo Governo Federal. Silva e Alves (2016), advertem, que dentre as diversas questões ligadas ao baixo desempenho em relação à disciplina matemática, dentre os fatores que ocasionam a reprovação e desestímulo na aprendizagem dos conceitos matemáticos, destaca-se a preocupação com a formação inicial do professor de matemática e também com as questões sociais envolvidas, e assim acentua:

Os resultados dessas avaliações mostram que aprender

matemática, na Educação Básica, tem sido uma tarefa

árdua, o que vem à tona com os altos índices de reprovação em matemática e também por meio do

baixo desempenho dos estudantes nos descritores de matemática avaliados pelo Sistema de Avaliação da

Educação Básica (SAEB) (SILVA & ALVES, 2016, p 1)

Diante da problemática aqui levantada, convém introduzir o que pensam alguns autores sobre como melhorar o ensino de Matemática na sala de aula. Entre os matemáticos e os educadores matemáticos tem havido discordâncias quando se trata da pesquisa no ensino da Matemática. Os matemáticos têm uma visão de que só se aprende matemática quando se consegue fazer abstrações e generalizações. Já o educador matemático não tem essa preocupação ou pelo menos não se reduz a essas realizações. Eles se preocupam em melhorar a maneira de como aplicar os conhecimentos matemáticos. Apesar dessas vertentes, o


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escopo deste trabalho volta-se para o grupo de educadores matemáticos, uma vez que esta linha de pesquisa adotada pelos autores está inserida nesse contexto, mas é preciso deixar clara a importância das pesquisas em Matemática Pura e o seu desenvolvimento.

D’Ambrósio (1986), chama a atenção para as mudanças que

ocorrem na sociedade e afetam diretamente o sistema escolar. A oportunidade dada hoje à população para a escolarização leva à esperança de empregos e de melhores condições de vida. Bicudo e Garnica (2001) dizem que a prática científica matemática é tendencialmente conservadora e que a prática pedagógica da Matemática - objeto central da Educação Matemática - busca o contrário de alguns conservadores. A prática pedagógica da matemática, para os autores, tem como característica um pensar reflexivo, sistemático e crítico sobre o contexto sociocultural em que ocorrem situações de ensino-aprendizagem da Matemática.

Nota-se que o ensino de Matemática na sala de aula não toma conhecimento do que os alunos aprendem no seu dia-a-dia. Carraher et all (1995) já mencionavam em seus estudos esse grau de dissociação, quando comentam que o ensino da Matemática se faz sem referência ao que os alunos já sabem, como se estes nada soubessem. Os pesquisadores defendem que:

A Matemática que um sujeito produz não é independente de seu pensamento enquanto a produz,

mas pode vir a ser cristalizada e tornar-se parte de uma ciência, a Matemática, ensinada na escola e aprendida

dentro e fora da escola. (CARRAHER, 1995, p.11).

Ruiz (2001) vai mais além, quando trata a Matemática, a

matemática escolar e o nosso cotidiano. Ao abordar o tema, preocupou-se em mostrar a diferenciação entre elas da seguinte maneira: “Matemática, sob os “olhos” dos matemáticos, sempre foi percebida e enaltecida pela sua beleza e por constituir-se em espaço de liberdade para ousadas criações do espírito humano” (RUIZ, 2001, p.129). A Matemática vista pelo autor mostra a grande distância com a realidade atual. A Matemática escolar apontada produz fortes laços com ideias de fracasso, de sacrifício,


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de punição. Em Polya (1995), observamos o quão é importante entender a problemática e buscar soluções, aproximando os professores da educação infantil:

A Matemática tem a duvidosa honra de ser a matéria

menos apreciada do curso [...]. Os futuros professores passam pelas escolas elementares a aprender a

detestar a matemática[...]. Depois, voltam à escola elementar para ensinar uma nova geração a detestá-la.

(POLYA, 1995, prefácio).

A Matemática escolar, segundo Ruiz (2001), a matematização do

cotidiano, não pertence ao território escolar. No cotidiano, matemática e incerteza são palavras que juntas soam de forma muito estranha, haja vista que, quando alguém aponta tabelas, gráficos e fala de números, parece estar falando de coisas que não podem ser discutidas. Embora a temática levantada sobre o conhecimento escolar e o conhecimento cotidiano seja algo a ser superado, Giardenetto (1999) considera que essa superação não se dá pela supervalorização da vida cotidiana como parâmetro para o desenvolvimento da prática escolar. Para o autor, é necessário promover uma reflexão sobre as especificidades do processo de produção do conhecimento matemático no cotidiano, e assim questionar os condicionantes históricos e sociais que o determinam.

No interior dessa reflexão, evidencia-se, dentre outras coisas, que

na vida cotidiana, o indivíduo se apropria de fragmentos, germens de um conhecimento sistematizado, desenvolvido no contexto histórico-social do qual ele faz parte. Para o autor, trata-se de uma apropriação parcial desse conhecimento, que se revela em função da necessidade que o professor tem de utilizar determinada atividade que ele é obrigado a desenvolver nas relações sociais de exploração, para garantir o mínimo da força de trabalho necessária para o desempenho de sua função (GIARDINETTO, 1999, p. 5-6). O conhecimento da vida cotidiana em relação à matemática ainda é fragmentado e desconectado, apesar dos avanços tecnológicos existentes, ainda precisamos avançar em relação à desigualdade de condições territoriais em relação ao ensino de qualidade e em particular ao aprendizado da matemática, considerada deficitária.

Para Machado (1993) a matemática tem sido ensinada com uma ênfase exagerada na linguagem matemática. Existe entre a matemática e


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a língua materna, segundo o autor, uma relação de impregnação mútua. Desta forma é preciso reconhecer que esta impregnação é essencial e é preciso tê-la como fundamento para propor algumas ações que visem à

superação das dificuldades com o ensino da disciplina.

Procuramos mostrar a problemática que envolve o ensino da

Matemática na visão da comunidade científica, muito preocupada em mostrar caminhos e alternativas que proporcionem ao professor compreender a Matemática como fruto da construção humana e, portanto, deve estar sempre interagindo com o contexto natural, social e cultural.

Baseado no que pensam os pesquisadores da Educação

Matemática, buscamos nos ancorar na História do Ensino da Matemática. Trazemos na próxima seção “História e Educação Matemática: Caminhos a percorrer”, como forma de nos inserir no fazer da prática da sala de aula. Nesse sentido, trazemos em Mendes (2015), que argumenta acerca das formas em que a matemática foi historicamente mobilizada, isto é, como que, historicamente nos seus empreendimentos e fazeres, a sociedade, de forma individual ou coletivamente, usou e criou matemáticas (MENDES, 2015, 136-137).

1.2. HISTÓRIA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: CAMINHOS A PERCORRER

Professor e alunos têm horizontes de compreensão, pois estão situados no mundo. Percebem e percebem-

se. Como seres da História, pertencem à civilização,

herdam, por essa pertença, uma tradição que os une. Bicudo e Garnica, 2001

Tentando desmistificar o ensino da Matemática, encontramos

vários autores que comungam da mesma linha de pensamento em relação ao quadro gritante de “fracasso” no ensino de Matemática. O objetivo principal para esses autores é mostrar pistas transformadoras para que o trabalho nas aulas de Matemática ofereça aos alunos igual


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oportunidade de conhecimento. Na Educação Matemática, há pesquisas que buscam facilitar o aprendizado, justificando a utilização de várias metodologias alternativas o que provoca o professor a pensar: “Qual matemática ensinar na escola?” e “Há conectividade entre a Matemática aprendida na vida e a aprendida na escola?”.

Dos temas abordados nas pesquisas matemáticas o que mais tem

preocupado os educadores matemáticos é a falta de articulação entre a Matemática escolar e a Matemática da vida cotidiana. Este é um fator que tem contribuído para as dificuldades encontradas pelos alunos, no sentido de entender com que finalidade está estudando determinados conteúdos, e para que estes servem.

A Educação Matemática mostra caminhos alternativos para que o

professor possa encontrar saídas possíveis para atenuar as pressões que sofre diuturnamente. O caminho a seguir depende da situação vivenciada pelo profissional. Mas, o que o professor não pode esquecer é que se faz necessário levar em consideração questões centrais que estão no bojo das interações sociais e que, atualmente, devem permear a prática educativa, relacionando-se com a ética, o meio ambiente, a saúde, a pluralidade cultural, a sexualidade, o trabalho, o consumo, que são questões formalmente instituídas como temas transversais previstos nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs). Em conformidade com essa linha paradigmática da legislação educacional brasileira, Campos (1994) acentua que:

O ensino da Matemática não interessa apenas aos

matemáticos ou aos futuros matemáticos, mas a todos. A interpretação de gráficos, a análise de relações, a

mensuração, a modelagem de fenômenos são técnicas

comuns da Matemática utilizadas nos mais diversos contextos (...). (CAMPOS, 1994, p. 3).

Do ponto de vista dos educadores matemáticos, no que diz

respeito à Matemática e à atividade humana, a Matemática praticada na sala de aula é uma atividade humana, não há como seja concebida antagonicamente, pois é a fusão das duas que leva à aprendizagem do aluno, e essa dicotomia precisa ser superada a partir de uma reflexão sobre o processo de produção do conhecimento matemático cotidiano.


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A importância da Matemática como instrumento de análise e previsão, tendo como exemplo a utilização de porcentagem, de proporções e de frações, é fato presente em várias situações vividas pelos alunos e por toda a sociedade humana. Não tem como separar a atividade humana da Matemática, comprometida com as realidades do homem na sociedade. Seria menos alienante relacionar instrumentos matemáticos com outras áreas do conhecimento. Assim enfatiza Bassanezi (2002):

É também nessa capacidade de estabelecer relações

entre os campos da Matemática e os outros, evitando

reproduzir modos de pensar estanques, fracionados, que, a nosso ver, está o futuro da formação de novos

quadros de professor e pesquisadores prontos a enfrentar o desafio de pensar a unidade na

multiplicidade (BASSANEZI, 2002, p. 15).

O uso de recursos computacionais e da calculadora pode ser

realçado, no ensino da matemática, uma vez que estes são considerados como ferramentas usuais e indispensáveis para o enriquecimento das atividades desenvolvidas na sala de aula. A calculadora, tida como “objeto proibido” dentro da sala de aula pelo professor, é indicada nos PCNs como instrumento de auto-avaliação.

As alternativas para a melhora no ensino da Matemática são

encontradas em vários trabalhos dentro das tendências apontadas na Educação Matemática. Neste livro vamos abordar a importância da história no ensino e nos concentrar em um enfoque histórico e matemático das medidas.

Encontramos em Mendes (2015),em seus estudos e evidenciado

em seu projeto de pesquisa intitulado “Cartografias na produção em História da Matemática no Brasil: um estudo centrado nas dissertações e teses defendidas entre 1990-2010”, a história da matemática, história para o ensino da matemática e da Educação Matemática, com grandes contribuições para a prática do professor em sala de aula. Segundo o autor, as reflexões sobre os estudos históricos evidenciam a importância


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do processo formativo na superação de obstáculos encontrados na trajetória dos sujeitos da docência em matemática (MENDES, 2015, p. 150).

As pesquisas relacionadas ao projeto de pesquisa de Mendes

(2015), ofereceu base para o autor assegurar que:

O desenvolvimento histórico das ideias e da cultura

matemática pode contribuir para os estudantes se familiarizarem com a pesquisa sobre as epistemologias

da matemática. Podem, ainda, ganhar autonomia na construção de sua aprendizagem, bem como

habilidades de organizar, analisar e apresentar os

resultados de suas indagações, em um exercício de comunicação oral de suas ideias, apresentação visual e

escrita (MENDES, 2015, p. 143).

É necessário buscar nos alunos o conhecimento histórico da matemática para o trabalho interdisciplinar a ser desenvolvido em sala de aula. Cabe ao professor refletir sobre: Como utilizar a história da matemática? Nesse sentido as informações históricas poderão ser utilizadas para auxiliar o professor de matemática a melhorar o planejamento e a execução de suas explanações durante as aulas de matemática, bem como para justificar os modos de produção matemática no tempo e no espaço (Mendes e Chaquiam (2016).

Uma das opções apresentadas por Miguel e Mendes (2010) como

proposta para a Educação Básica a partir de práticas investigativas refere-se a Unidades Básicas de Problemátização (UBPs)1. Os autores apresentam como opção didática ao professor, para a melhoria do processo de ensino aprendizagem da matemática, opções não encontradas em livros didáticos, que são exclusivamente produzidas com o propósito de se problematizar práticas escolares de mobilização de cultura matemática. Na mesma linha de pensamento, podemos dizer que o uso da história das culturas matemáticas traz grande interesse para o aluno, uma vez que o envolvimento de como era produzido o conhecimento matemático desmitifica o que Chamie (1990) em sua

1 Ver MIGUEL, A.; MENDES, I. A. Mobilizing histories in mathematics teacher

education: memories, social practices, and discursive games. In: ZDM Mathematics Education (2010) 42:381-392.


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pesquisa, coloca como relato dos alunos: “Eu procuro interpretar as coisas e saber o porquê disso ou daquilo, mas em matemática isso não ocorre. Posso dizer odeio matemática”.

Deixamos para o leitor que tenha interesse em usar a história da

matemática como atividades de ensino na sala de aula, a indicação da Coleção História da Matemática para Professores da Sociedade Brasileira de História da Matemática, publicado pela editora livraria da Física, o livro intitulado: “Publicações sobre História da Matemática”, com indicações bibliográficas e videográficas comentadas, 2013. A publicação tem como objetivo apresentar aos professores da educação básica e superior, e aos estudantes de licenciatura em matemática, temas sobre as relações entre história e Educação Matemática.

Destacamos o livro “História dos Pesos e Medidas”, de Irineu Silva

de 2010 (2ª edição) em que aborda a evolução da metrologia ao longo dos tempos, valorizando o seu conteúdo social e realçando as relações humanas com os pesos e medidas na história, assim como a tese de doutorado de Elenice de Souza Lodron Zuin, intitulada “ Por uma nova Arithimetica: O sistema métrico decimal como saber escolar em Portugal e no Brasil oitocentista”, tema principal deste livro e que será abordado no segundo capítulo.


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Capítulo 2

2. AS UNIDADES DE MEDIDAS: TRAJETÓRIA NO BRASIL

O homem evolui e, com ele, também evoluíram os sistemas de medidas. Porém nem sempre

acompanhando o mesmo ritmo da evolução humana. Irineu Silva, 2010

Iniciamos o capítulo fazendo referência a Silva (2010) que trata

em seu livro sobre a evolução histórica dos Pesos e Medidas, e afirma que: “A ação de medir é uma faculdade inerente ao Homem, faz parte de seus atributos de inteligência. Já a convenção para o uso das medidas é um atributo social. Para si próprio basta o homem a capacidade de medir, mas para a transmissão de valor medido ou para efetuar comparações lhe é necessário uma convenção".

Um dos objetivos desse capítulo, é fazer uma exposição sobre as unidades de medidas decimais e não decimais que também são conhecidas como unidade de medidas convencionais e não convencionais. Outro objetivo do capítulo é fazer com que as unidades de medidas não convencionais, bastante difundidas no interior do Brasil, não caiam no esquecimento, uma vez que as mesmas foram utilizadas por nossos antepassados desde a colonização do país. Procuramos formalizar nossa fala por meio de escritos que comprovem a veracidade do que aqui estamos relatando.

Faremos então esse relato dando um enfoque histórico

matemático, além de desenvolver situações em que procuramos utilizar as medidas agrárias não convencionais, as medidas agrárias convencionais e a relação entre elas. Na atualidade as pessoas que habitam e trabalham o campo utilizam as unidades de medidas, e nossa intenção é apresentar um comparativo entre os resultados fornecidos por


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tecnologias como o Google Earth, por exemplo e as medidas utilizadas pelo o homem do campo. Vale ressaltar que não trataremos de todas a medidas agrárias não convencionais, uma vez que as mesmas se expressam em grande quantidade com pequenas diferenças que ocorrem em regiões ou estados.

De acordo com dados do Ministério da Agricultura (BRASIL, 1948)

em junho de 1940, com a cooperação dos Estados e seus respectivos órgãos de estatística, pelo Serviço de Estatística da Produção se efetuou um levantamento. Esse trabalho surgiu da necessidade de conhecer as unidades não decimais ou não convencionais adotadas no uso popular para a medição de áreas de terra.

Nesse documento percebe-se que dentre outras dificuldades que

se antepõem à interpretação fiel dos algarismos de produção surgem, frequentemente, as que dizem respeito com o sistema métrico adotado nos registros. Neste ponto é notória a confusão reinante em todo o país, na época.

O levantamento procurou esclarecer: quais as unidades agrárias,

não decimais, usadas em território nacional, e as regiões em que se aplicam os seus diferentes tipos; qual a equivalência decimal dessas unidades, qual a sua origem.

O sistema decimal, era ainda bem menos utilizado na medição das

áreas de terra do que as medidas agrárias não decimais. Podemos ver que quase a totalidade dos padrões agrários não decimais em uso no Brasil da época, deriva da braça de 2,20 m que é a unidade fundamental e cujo submúltiplo é o palmo (0,22 m) (BRASIL, 1948). Este documento afirma que:

o emprego da braça, que remonta ao tempo dos

primeiros trabalhos da colonização portuguesa no

Brasil, difundiu-se e propagou-se continuamente no país, ainda mesmo na

vigência plena dos decretos imperiais que instituíram o

uso obrigatório das unidades do sistema métrico

decimal francês e proibiram, sob pena de multa, o


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emprego no comércio, na agricultura e na indústria, de outros quaisquer padrões que lhe fossem estranhos (BRASIL, 1948, p. 9).

As condições locais, a cultura e o modo de viver das pessoas que habitavam o Brasil no período colonial fez surgir e se disseminar o uso dessas unidades, ocorrendo diferenças em cada região, obviamente obedecendo a razões e motivos muito próprios, oriundos das condições locais de vida e trabalho conforme está exposto em BRASIL, 1948.

Aproximando-nos dos tempos atuais, temos o relato de

experiência de vida exposto em Rocha, Sousa e Ferreira, (2019) o qual um dos autores relata uma situação que mostra que as medidas agrárias não decimais ou não convencionais ainda veem sendo utilizadas em tempos próximos dos atuais. E isso ainda permanece ocorrendo muito em função dos motivos supramencionados. Pesquisamos ainda algumas pessoas que habitam a zona rural do estado Pará e Maranhão, intencionando verificar a forma utilizada por elas para medirem superfícies de terras2.

Em conversa com dois cidadãos, habitantes da zona rural do

município de Cidelândia – Maranhão, sendo esses o senhor Eudes, proprietário de uma pequena fazenda, e o senhor Zé Luís, seu funcionário, nos deparamos com a situação:

• O senhor Zé Luís foi contratado para roçar uma área da

fazenda, a qual para medi-la, ele dispunha de um pedaço de madeira de uma braça, sendo esse o instrumento utilizado por ele para calcular a área a ser roçada, dada em linhas3.

• Já o senhor Eudes, um pouco mais avançado tecnologicamente, dispunha de um GPS - Sistema de Posicionamento Global que fornecia o resultado da mesma

2 Terrenos, Roçados, Sítios, Fazendas e etc. 3 No tópico 2.3, detalhes serão dados sobre as medidas não decimais ou não

convencionais.


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superfície em Hectares, metros quadrados e outras medidas que compõem o Sistema Internacional de Medidas.

Diante da situação, vê-se um desentendimento entre as medidas utilizadas, o que nos leva a explorar essas medidas nos tópicos a seguir.

2.1. TIPOLOGIA DE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE CONVENCIONAIS

Na seção anterior, mencionamos que o Sistema Internacional de Medidas, surgiu para nós brasileiros, ainda na época do Império e sua implantação não foi aceita inicialmente. Na atualidade, as medidas de superfície estão presentes em nosso dia a dia, as quais são várias as situações que podemos nos deparar para fazermos uso, como por exemplo em situações relacionadas à compra de um terreno, aquisição de uma casa ou apartamento, pintura de paredes, construção de pisos e etc.

Segundo o Sistema Internacional de Medidas, o metro quadrado

(m²) é a medida mais utilizada na medição de áreas, mas em algumas ocasiões, outras unidades de medidas como o km² são também utilizadas. Podemos citar como exemplo, o cálculo da área de um município ou na medição de uma área desmatada, o km² é considerado uma medida mais adequada, pois, sendo essas superfícies de grandes extensões, o km² é a medida mais usual.

Essas medidas podem ser utilizadas para expressar qualquer

superfície regular ou irregular, na forma de uma região quadrada. Se dissermos que uma área tem medida de 500 m², queremos dizer que essa superfície é composta de 500 quadrados, com lados medindo 1 metro. Da mesma forma, áreas com medidas em km², como por exemplo, 50 km², estamos nos referindo a uma região que comporta 50 quadrados, com lados medindo 1 km. No Brasil, além do m2 e km², temos as medidas agrárias are(a), hectare(há) e alqueire. Essas medidas podem ser diferenciadas, conforme vimos tratando, em medidas agrárias decimais o are(a), hectare(ha), e medidas agrárias não decimais como alqueire, por exemplo.


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A literatura mostra que no sistema métrico decimal, a unidade de medida fundamental linear é o metro, tendo como seus múltiplos o decâmetro (dam), o hectômetro (hm) e o quilômetro (km) e submúltiplos, o decímetro (dm), o centímetro (cm) e milímetro (mm), sendo cada um dez vezes maior que a unidade imediatamente anterior, partindo do “km” ao “mm”.

Já as unidades de medidas de superfície, têm como unidade

fundamental o metro quadrado (m2)4. Tem como múltiplos o decâmetro quadrado (dam2), o hectômetro quadrado (hm2) e o quilômetro quadrado (km2), e como submúltiplos o decímetro quadrado (dm2), o centímetro quadrado (cm2) e milímetro quadrado (mm2), sendo cada um cem vezes maior que a unidade imediatamente anterior, partindo do “km2” ao “mm2”.

Temos por interesse, destacar aqui, as medidas agrárias

convencionais5 que conforme a literatura são o Centiare(ca), o Are(a) – unidade fundamental - e o Hectare(ha), os quais têm as seguintes relações com o sistema métrico decimal:

• O Centiare(ca) – submúltiplo do Are(a) - é uma medida agrária que corresponde a centésima parte de um Are (a), é equivalente a um metro quadrado. Assim,

O centiare pode ser representado geometricamente por um quadrado medindo 1 metro de lado.

4 Medida utilizada na zona urbana conjuntamente com seus múltiplos e submúltiplos. 5 Medidas utilizadas na zona rural.


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Figura 1: O Centiare

Fonte: Elaborado pelos autores

• O are(a) é a unidade fundamental entre as medidas agrárias convencionais e equivale a cem metros quadrados. Desta forma,

O are pode ser representado geometricamente por um quadrado

medindo 10 metros de lado.

Figura 2: O Are

Fonte: Elaborado pelos autores.

• O hectare(ha) – múltiplo do are(a) - corresponde a cem ares ou a dez mil metros quadrados. Logo,


31

O hectare pode ser representado geometricamente por um

quadrado medindo 100 metros de lado. Figura 3: O Hectare

Fonte: Elaborado pelos autores.

Observamos que nessas unidades de medidas agrárias, o padrão

do sistema internacional de medidas se mantém, ou seja, cada unidade de medida agrária, é cem vezes menor que a unidade imediatamente anterior, partindo “ca” ao “ha”.

Figura 4: Relação geométrica entre o Centiare e o Are

Fonte: Elaborado pelos autores no Geogebra


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Observa-se na Figura 4 que o are é 100 vezes maior que o centiare.

Figura 5: Relação geométrica entre o Are e o Hectare

Fonte: Elaborado pelos autores no Geogebra

Observa-se na Figura 5 que o hectare é 100 vezes maior que o

are. Referimo-nos até aqui às medidas pertencentes ao sistema métrico decimal, tanto as utilizadas na zona urbana, como as utilizadas na zona rural. Na próxima unidade trataremos das unidades não decimais utilizadas na zona rural.

2.2. TIPOLOGIA DE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE NÃO CONVENCIONAIS

Durante o período da colonização, os portugueses trouxeram para

o Brasil um sistema de medidas que faziam uso em seu contexto social que se difundiu por todo o país, e como mencionado antes, esse sistema de medidas – que aqui chamamos de não convencional – utilizava de partes do corpo, o qual tem como unidade padrão, o palmo – medida obtida com a mão aberta entre as extremidades dos dedos polegar e mindinho -, derivando para a braça – medida entre as extremidades do braços abertos. A partir dessas medidas derivam a tarefa, a linha, o alqueire, a quadra e outras.


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Em Brasil (1948) podemos ver que esse sistema de medidas foi utilizado livremente no Brasil até a implantação do sistema métrico decimal francês que teve início em 26 de junho de 1862, com a Lei imperial número 1.157 que dispunha em seu art. 1º: "O atual sistema de pesos e medidas será substituído, em todo o Império, pelo sistema francês, na parte referente às medidas lineares, de superfície, capacidade e peso". O art. 2º previa: "0 sistema métrico substituirá, gradualmente, o atual sistema de pesos e medidas em todo o Império, de modo que, em dez anos, cesse, inteiramente, o uso legal dos antigos pesos e medidas". A efetiva implantação do sistema decimal, providências essas consubstanciadas nos decretos-leis números 592 e 886, de 4 de agosto e 24 de novembro· de 1938, respectivamente, e no Decreto nº 4.257, de 6 de junho de 1939.

O Sistema não decimal se difundiu por todas as regiões do Brasil,

existindo algumas diferenças entre essas medidas que perduram até a atualidade, e ainda existem determinadas propriedades rurais que utilizam as medidas agrárias antigas de forma predominante, utilizando-se de técnicas rudimentares de medição de área de terrenos.

O cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da

cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios à sua cultura. (D'AMBRÓSIO, 2002, p. 22). Esses saberes matemáticos, ligados a essas medidas agrárias, fazem parte da cultura desse povo e não podemos negá-los.

Podemos ver no texto de Vizolli e Mendes (2016) que o mesmo

apresenta uma série de unidades de medidas não convencionais: braça, braça quadrada (brasileira), quadro, quarta, tarefa, linha, litro, prato, alqueire; assim como as unidades de medidas convencionais: hectares, ares, metro quadrado, entre outras.

Observamos que as unidades de medidas lineares e de superfície

não decimais que mais se destacaram em todo o território nacional são: o palmo, a braça, a vara, a légua, a tarefa, a braça quadrada, a linha, o


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alqueire, dentre outras (BRASIL, 1948). O quadro a seguir faz uma relação entre o sistema não decimal e o sistema métrico decimal.

Quadro 1: Relação das medidas lineares entre o sistema não decimal e o Sistema Métrico Decimal

Sistema não decimal Sistema Métrico Decimal

Palmo 0,22 m

Braça=10 palmos 2,2 m

Vara = Braça 2,2 m

Légua 6.000 m (Obs: há variações entre

estados)

Fonte: Vizolli e Mendes (2016). No Quadro 1 observamos que no sistema não decimal o palmo

medindo 0,22 metros e a suas derivações, como a braça que corresponde a 10 palmos e, da mesma forma, tem-se a vara, que também é equivalente a 10 palmos e ambos equivalem a 2,20 metros, sendo a braça a unidade fundamental desse sistema. Já a légua, como visto, tem as suas variações, as quais citamos, e que é utilizada com maior frequência na maioria dos estados, e que equivale a 6.000 metros.

Quadro 2: Relação das Medidas de Superfície entre o Sistema não Decimal e o

Sistema Métrico Decimal

Sistema não decimal Sistema Métrico Decimal

Braça quadrada (2,20 x 2,20) m = 4,84m2= 1

quadrinho

Linha (25 x 25) braças = 625

quadrinhos

Tarefa (25 x 25) braças = 625

quadrinhos

Alqueire Mineiro (100 x 100) braças

Alqueire Paulista (50 x 100) braças

Fonte: Vizolli e Mendes (2016).


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No Quadro 2 vê-se que a braça quadrada com valor de 4,84 m2 é denominado por quadrinho. A Linha e a tarefa são medidas de superfície que, como visto, são de iguais valores, correspondentes a 625 quadrinhos. Além dessas medidas, temos o alqueire mineiro com 10.000 braças quadradas e o alqueire paulista com a metade desse valor, 5.000 braças quadradas.

2.3 RELAÇÃO ENTRE AS MEDIDAS SUPERFÍCIE CONVENCIONAIS E NÃO CONVENCIONAIS

Como visto no tópico anterior temos que uma braça é equivalente a 2,20 metros e que, por sua vez, a braça quadrada mede 4,84 m2 de área ou um quadrinho. Vimos também que uma linha ou uma tarefa é composta de 625 quadrinhos, ou seja, 625 x 4,84 m2 que é igual a 3.025m2, mostrando que uma linha ou tarefa mede 3.025m2 no sistema métrico decimal. Vale ressaltar que no estado do Maranhão essa medida é conhecida como linha, já no estado do Pará essa medida é conhecida como tarefa, podendo mudar de nomenclatura para outros estados.

O alqueire, historicamente, é uma das medidas agrárias não decimais mais utilizadas em todo o território brasileiro. Destacamos os dois tipos de alqueires mais conhecidos, o alqueire mineiro e o alqueire paulista.

O alqueire mineiro é o mais utilizado nos estados do Maranhão e Pará. Suas medidas são de (100 x 100) braças, ou seja, 10.000 braças quadradas, que equivalem a 10.000 x 4,84 m2, igual a 48.400m2 no sistema métrico decimal. Como faz parte do conhecimento dos habitantes da zona rural encontrar esses resultados em linhas ou tarefas, isso significa que um alqueire mineiro tem 16 linhas ou tarefas, ou seja 48.400m2 dividido por 3.025m2 (uma linha ou tarefa). Da mesma forma podemos ver a relação do alqueire paulista – medida de superfície não decimal – com o sistema métrico decimal.

O Quadro 3 mostra que o alqueire paulista mede (50 x 100)

braças, ou seja, 5.000 braças quadradas, que corresponde (5.000 x 4,84m2) = 24.200m2


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Quadro 3: Transformação das medidas não decimais pra SMD em hectares.

Medidas não decimais Sistema Métrico Decimal

(m2) Sistema Métrico Decimal

(Hectares)

Braça quadrada 4,84 0,000484

Linha 3025 0,3025

Tarefa 3025 0,3025

Alqueire Mineiro 48400 4,84

Alqueire Paulista 24200 2,42 Fonte: Vizolli e Mendes (2016).

Na Quadro 3, mostramos as relações entre a braça quadrada, a linha, o alqueire mineiro e o alqueire paulista, com o hectare, por ser essa a medida do sistema métrico decimal mais utiliza na atualidade. Para transformarmos essas medidas para o hectare, pegamos as respectivas medidas e as dividimos por 10.000 m2 que é o valor do hectare.

Neste capítulo pudemos ver quais as unidades de medida foram se

disseminando historicamente pelo território brasileiro desde o Império. No capítulo seguinte, construiremos uma trajetória das unidades de medidas nos livros primários brasileiros, haja vista que foi a partir do ensino primário que a população passou a ter ensino público, podendo, assim, atingir mais pessoas. Com isso, poderemos perceber quais unidades de medidas eram ensinadas nesse nível de ensino, de forma a se propagar na sociedade, mas retratando especificamente o âmbito escolar. 3. TRAJETÓRIA DAS UNIDADES DE MEDIDAS NOS LIVROS

PRIMÁRIOS NO PARÁ Medir, pesar e contar são os três pilares indissociáveis

dos antigos sistemas métricos. Hocquet, 1989

Este capítulo tem por finalidade descrever a trajetória das unidades de medidas no ensino primário paraense. Para estipularmos o


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período a ser abordado, consideraríamos o ano de 1827 como início, por se tratar do ano em que se instituiu a primeira legislação para a escola elementar brasileira, conforme aponta Zotti (2006). Esta lei, de 15 de outubro, “manda crear escolas de primeiras letras em todas as cidades, villas e logares mais populosos do Imperio” (BRASIL, 1827, p. 71). A constituição imperial de 1824 já havia previsto a gratuidade da instrução primária a todos os cidadãos (BRASIL, 1824).

Como marco temporal final seria admitido o ano de 1970, o qual

antecedeu o fim do ensino primário, sendo criada a escola de oito anos com a Lei de diretrizes e Bases da Educação Nacional de 1971 (BRASIL, 1971). No entanto, considerando que para caracterizarmos a trajetória das medidas por meio de livros primários paraenses, temos que ter em conta a disponibilidade de tal material, e então consideramos o período de 1892 a 1957, o qual foi determinado pela disponibilidade do material.

A tese de Trindade (2018) permitiu-lhe concluir sobre as medidas,

em se tratando do ensino primário paulista, mas que podemos estender ao território brasileiro, que estas “se figura de diferentes formas nas orientações para a escola primária, com momentos em que a mobilização se deu como um assunto de ensino e noutros como um aporte imbricado ao ensino de outros saberes” (TRINDADE, 2018, p. 7). A autora caracteriza as finalidades do ensino de medidas6 nas matérias: Aritmética, Geometria e Desenho, e destaca que, como conteúdo a ser ensinado, as medidas compunham as duas primeiras matérias mencionadas. Assim, para caracterizarmos a trajetória das medidas por meio dos livros primários que circularam no estado do Pará recorremos aos livros de Aritmética e Geometria identificados por Machado (2018) e elencados em sua tese de doutoramento que foram localizados, tendo um livro específico de regras métricas.

Neste capítulo, descrevemos a trajetória histórica das unidades de

medida no ensino primário paraense por meio de livros que circularam no estado no período mencionado. Com isso, poderemos notar o que a

6Para saber sobre tais finalidades, consultar Trindade (2018).


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educação elementar pública e obrigatória pontuava como sistemas de medidas para uso da sociedade em geral, haja vista que a escola deveria estar em consonância com as demandas sociais. No entanto, vale destacar que o uso dos sistemas de medida não necessariamente é o mesmo para a sociedade geral e para áreas profissionais que as demandam em proporções maiores e mais específicas. Nesse processo de descrição pudemos destacar também, quando possível, de que forma os livros propunham o ensino das medidas.

Os livros primários referentes às matérias atreladas à matemática,

aos quais tivemos acesso, os quais localizamos as medidas7, sejam de massa (peso), capacidade ou volume, enfatizando as lineares e de superfície, que mais destacamos ao longo deste livro, estão elencados no quadro 4, a seguir, bem como seus respectivos autores e ano de publicação.

Quadro 4: Livros para o ensino primário paraense (1850 – 1957)

Curso Elementar de Mathematica Aarão e Lucano Reis 1892

Elementos de geometria Sabino Henrique da Luz 1895

Regras Métricas ou preceitos

indispensáveis (...) Jeronimo José d’Oliveira 1898

Arithmetica primária Cezar Augusto de Andrade

Pinheiro 1902

Curso elementar de mathemática Aarão Reis 1910

Curso primário de arithmetica

elementar J.M. 1907

Arithmetica Complementar Tito Cardoso de Oliveira [1920?]

Geometria Primária – Para os

cursos primário e comercial Tito Cardoso de Oliveira 1957

Fonte: Adaptado de Machado (2018)

Tomamos esses livros como fontes de pesquisa para escrita deste

texto com a finalidade específica de descrever a trajetória das unidades de medidas na escola primária paraense, não fazendo, aqui, descrição das obras como um todo, dos autores, dos seus respectivos contextos

7O livro de Reis (1910) não será utilizado neste texto devido a segunda e a

terceira edição de Reis e Reis (1892) e ter o mesmo conteúdo deste.


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históricos ou das referências de ensino a que eles se associam8. Mas consideramos o livro escolar como um objeto histórico que exprime conteúdo de ensino “segundo uma perspectiva epistemológica ou propriamente didática” (CHOPPIN, 2004, p. 555).

Dentre os livros mencionados no quadro 4, pudemos identificar

que todos abordam as unidades de medidas, sejam como um conteúdo a ensinar ou como um aporte para o ensino de outros conteúdos, como foi identificado por Trindade (2018) na sua pesquisa de doutoramento a partir de programas, manuais e revistas pedagógicas paulistas de 1890 a 1950. Para realizarmos essa identificação compulsamos cada livro, atentando sobretudo para os sumários e observando se e o que falam sobre as medidas.

Consideramos a ordem cronológica para traçarmos a trajetória das

unidades de medidas nos livros primários paraenses no período indicado. Então, começamos pelo livro dos irmãos Aarão e Lucano Reis de 1892.

8Pesquisas como Machado (2018), Pereira e Fortaleza (2018), Fortaleza e Rocha (2018) abordam alguns dos livros dos quais falamos a partir de outros enfoques.


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Capítulo 3

3.1. CURSO ELEMENTAR DE MATEMÁTICA – I – ARITMÉTICA (1892)

Logo nas definições e ideias gerais, os irmãos Reis (1882) afirmam

que a medição de uma grandeza se dá por sua comparação com outra da mesma espécie, a qual já é conhecida; e essa grandeza tomada como parâmetro para a comparação é chamada de unidade. Assim, conforme os autores, “mede-se o peso comparando-o com outro já conhecido (o kilogramo, por exemplo); mede-se um comprimento comparando com outro já conhecido (o metro, por exemplo)”. E, então, eles indicam que “o metro é a unidade de comprimento geralmente adotada, o kilogramo a de peso, o segundo a de tempo, etc.” (REIS & REIS, 1892, p. 4, grifos dos autores).

Para ensinar sobre potenciação, os autores dão como exemplo o cálculo do volume de uma pedra em forma cúbica, cujas arestas medem 5m de comprimento. Os autores não mencionam, mas nesse caso, eles estão utilizando a unidade de medida linear (5m) e chegando a uma unidade de medida de volume (125 metros cúbico), multiplicando três fatores iguais, como podemos observar na figura 6, que os autores apresentam e mostramos a seguir. Também utilizam o cálculo da área do quadrado para ensinar potência do segundo grau, multiplicando a medida linear 7m por ela mesma e chegando à medida de superfície 45 metros quadrados. Assim, os autores utilizaram as unidades de medidas para ensinar potenciação.


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Figura 6: Cálculo do volume de uma pedra cúbica

Fonte: Reis e Reis (1892)

O Livro I da quinta seção da obra dos irmãos Reis (1892), a qual os autores tratam como aplicações sociais, tem como título Metrologia. Considerando o contexto da época, estes explicam sobre a necessidade econômica das medidas, fazendo uma narrativa histórica e concluindo que as “unidades econômicas são concentradas em unidades materiais, tão fixas e estáveis quanto possível, que possam ser facilmente reconhecidas e verificadas” (REIS & REIS, 1892, p. 629, grifo dos autores); dos padrões de aferição, destacando que sem um parâmetro de comparação já conhecido “todos os meios de comunicação falham” (REIS & REIS, 1892, p. 629); e de um sistema uniforme de medidas para que as sociedades pudessem concordar; acerca do sistema métrico decimal, da trajetória da sua instituição na sociedade francesa em 1846 e posterior adoção por sociedades civilizadas; da inserção do sistema métrico decimal no Brasil em 1874; e das vantagens e objeções de tal sistema.

Também discorrem acerca do sistema métrico e a sua

nomenclatura, quando falam sobre a superioridade do novo sistema de pesos e medidas, justificada por quatro propriedades, a saber: invariabilidades dos padrões, uniformidade do sistema, simplicidade da sua nomenclatura e facilidade dos seus cálculos; acerca das medidas de comprimento, destacando o metro como unidade fundamental do sistema, “grandeza invariável e idêntica para todos os povos e da qual se derivam todas as outras” (REIS & REIS, 1892, p. 647).


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Considerando a forma como se determinou a medida do metro, os

autores afirmam que o metro é “a décima milionésima parte de um quarto do meridiano, isto é, da distância do polo do equador. Esta distância é fundamentada na natureza, é invariável, e comum a todos os povos do mundo” (REIS & REIS, 1892, p. 648).

Os autores afirmam que as demais unidades de comprimento,

assim como outras, derivam-se do metro e apresentam um quadro, ilustrado na figura 7, a seguir, onde destaca os múltiplos e submúltiplos do metro, suas abreviaturas e valor ou equivalência.

Figura 7: Unidades de medida de comprimento

Fonte: Reis e Reis (1892)

Os irmãos Reis (1892) seguem discorrendo sobre áreas,

destacando o metro quadrado como principal unidade das medidas de superfície, caracterizando-o como “a extensão de um quadrado que tem um metro de cada lado” (REIS & REIS, 1892, p. 650). Os autores destacam que “os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado formam-se da mesma maneira que as do metro longitudinal, ou corrente, sendo 100 a relação de duas unidades consecutivas” (REIS & REIS, 1892, p. 650, grifo dos autores). Ademais, explicam que o decâmetro quadrado foi adotado para as medidas agrárias, sendo chamado de “ario” – are – e do qual se formam o hectare, que equivale a 100 are ou 10000m2; o are, que


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corresponde a 1 are ou 100m2; o deciare, que vale 0,1 do are ou 10m2; e o centiare, que equivale a 0,01 de are ou 1m2 (notação dos autores).

Sobre as unidades de medida de volumes, Reis e Reis (1892)

destacam o metro cúbico como unidade principal, caracterizando-o como o “volume de um cubo que tem um metro em cada aresta” (REIS & REIS, 1892, p. 652). De modo análogo, como para os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado, os autores destacam que “a relação entre duas unidades consecutivas [de volume] é 1000” (REIS & REIS, 1892, p. 652). Os autores destacam um aparelho de madeira feito para medir lenha, o qual equivale a um 1 metro quadrado e se chama estéreo.

Também, dentro das medidas de volume, apresentam unidades de

medida para líquidos e cereais, medida de capacidade, sendo o litro a unidade fundamental, a qual corresponde a um decímetro cúbico. Os múltiplos e submúltiplos do litro formam-se do mesmo modo que nas outras unidades, sendo que a relação entre duas unidades consecutivas é 10, como podemos notar na tabela apresentada pelos autores e que organizamos no quadro 5, a seguir:

Quadro 5 – Unidades de medida de líquidos

Nomenclatura

Valor, ou equivalência

Designação Em

algarismos

Múltiplos

Quilolitro Mil litros 1000

Hectolitro Cem litros 100

Decalitro Dez litros 10

Unidade Litro Unidade. Decímetro cúbico 1

Submúltiplos

Decilitro Décima parte de um litro 0,1

Centilitro Centésima parte de um litro 0,01

Mililitro Milésima parte de um litro 0,001

Fonte: Elaborado pelos autores a partir de Reis e Reis (1892).

No que se refere ao que o autor chama de peso, a unidade principal considera é o grama, o qual os autores denotam ser “o peso de um centímetro cúbico de água destilada no grau máximo de densidade” (REIS &


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REIS, 1892, p. 556). Os múltiplos e submúltiplos do gramo, conforme apontam os autores, são obtidos como nas outras unidades, como se pode notar no quadro 6, a seguir.

Quadro 6 – Unidade de medida de peso

Nomenclatura

Valor, ou equivalência

Designação Em

algarismos

Múltiplos

Myriagrama Dez mil gramas 10000

Quilograma Mil gramas 1000

Hectograma Cem gramas 100

Decagrama Dez gramas 10

Unidade Grama Unidade 1

Submúltiplos

Decigrama Décima parte de uma grama 0,1

Centigrama Centésima parte de uma grama 0,01

Miligrama Milésima parte de uma grama 0,001

Fonte: Elaborado pelos autores a partir de Reis e Reis (1892).

Notemos que usualmente não temos o múltiplo myriagrama entre

aqueles estudados nos livros escolares atualmente. Os autores advertem que no comércio da época costumava-se usar como unidade de medida o quintal métrico, o qual equivale a 100kg, ou então a tonelada métrica, a qual corresponde a 1000kg.

Os irmãos Reis (1892) também falam sobre circunferência, tempo

e moeda no Livro I da quinta seção. Sobre circunferência eles destacam que se adotou a divisão desta em 360 graus, o grau em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos, o que atualmente prevalece. A unidade de tempo que os autores destacam é o dia, tendo por múltiplos a semana, o mês, o ano, o lustro e o século, e por submúltiplos a hora, o minuto e o segundo. Sobre a moeda da qual os autores falam, não consideramos relevante discorrermos aqui. Ao final do capítulo eles apresentam uma sinopse do sistema métrico decimal, a qual sintetiza as ideias discutidas no capítulo de forma interessante e útil para a compreensão das diferentes unidades de medidas.

Para terminar o Livro I de metrologia os autores apresentam

cálculo das medidas métricas, explicando sobre a leitura e a escrita de tais medidas; como passar de uma a outra unidade de uma mesma


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espécie, de metros a quilômetros ou de metro quadrado a centímetro quadrado, por exemplo; como proceder para realizar as operações fundamentais entre unidades de medidas, esclarecendo que na adição e na subtração “os números dados, que devem ser da mesma espécie, é necessário que sejam referidos à mesma unidade (quando não o estiverem)” (REIS & REIS, 1892, p. 666).

Na multiplicação, apontam o autores, “o produto é, geralmente, da

mesma espécie do multiplicando, e vem referido à mesma unidade”, mas alertam para duas exceções, quando os fatores forem unidade de comprimento, dois fatores o produto será unidade de área e três de volume, e se forem dois fatores, um de unidade de área e outro de comprimento, o produto será unidade de volume, enfatizando que “em qualquer destes casos é necessário reduzir os fatores à mesma unidade, e esta virá referido o produto” (REIS & REIS, 1892, p. 666).

Para a divisão de medidas, os autores apresentam dois casos,

quando os números são da mesma espécie e quando não o são. Eles explicam que, se dividendo e divisor forem da mesma, a operação será feita normalmente e o quociente representará a unidade determinada pela questão; se forem de espécie diversas, “o quociente será, em geral, da espécie do dividendo; excetuam-se os casos em que o dividendo exprime unidades de volume, ou de área, e o divisor exprime unidades de área, ou de comprimento” (REIS & REIS, 1892, p. 666).

Para terminar o capítulo que encerra o Livro II os autores

apresentam as medidas e pesos que, na época, eram antigos no Brasil, indicando a correspondência com as medidas do, então novo, sistema métrico decimal. Os irmãos Reis (1892) afirmam ser útil conhecer esses pesos e medidas antigos “e que, infelizmente, são ainda algumas vezes usados entre particulares, mormente no interior” (REIS & REIS, 1892, p. 666-667).

Os antigos pesos e medidas incluem tonelada, arroba, braça, vara

e légua, conforme os autores. Como podemos observar, essas são medidas que atualmente ainda fazem parte do vocabulário de muitas pessoas, sobretudo aquelas que moram em setores predominantemente rurais, onde


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a utilização dessas medidas se passa de geração a geração através da prática do seu uso. Isso faz notar que mais de um século depois, a afirmativa dos autores destacada acima ainda faz sentido, as medidas que são aprendidas pelos livros escolares, as “oficiais” não são necessariamente as mesmas utilizadas em determinados setores da sociedade. As unidades de medidas que são explicadas no referido Livro I da quinta seção são posteriormente utilizadas pelos autores na elaboração de problemas que culminam com o ensino de regra de três, por exemplo.

3.2. ELEMENTOS DE GEOMETRIA (1895)

O segundo livro em que buscamos as unidades de medidas, a

princípio como conteúdo a ser ensinado ou também como aporte para o ensino de outros conteúdos, foi o de Elementos de Geometria de Sabino da Luz de 1895. Nas definições iniciais o autor faz menção às unidades de medidas ao falar da superfície mista, que com duas dimensões tem “sua medida expressa em unidade quadrada”, sem nomear tal unidade e quando fala da extensão do volume, com três dimensões e “a sua unidade é expressa em unidade cúbica” (LUZ, 1895, p. 9-10), também sem indicar a espécie de tal unidade.

No comando dos exercícios sobre circunferência e círculo, capítulo

III, a unidade de medida que é usado pelo autor é a fundamental do comprimento, o metro, já apresentada pelo livro dos irmãos Reis (1892). Luz (1895) utiliza as unidades de medidas para ensinar sobre as propriedades de círculo e circunferência, mas podemos perceber a equivalência entre as notações dos autores, 4m,25, por exemplo, e a aplicação das propriedades voltadas às operações fundamentais com unidades de medida. Calculando o comprimento da circunferência, observamos que “o produto é, geralmente, da mesma espécie do multiplicando, e vem referido à mesma unidade” (REIS; REIS, 1892, p. 666): “2x4m,25x3,1416=8m,5x3,1416=26m,7036 que se lê 26 metros e 7036 decimilímetros” (LUZ, 1895, p. 29).

Quando este autor fala das medidas dos ângulos, menciona que a

circunferência tem 360º, decompondo o grau em 60 minutos e o minuto


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em 60 segundos, medidas oficiais também mencionadas pelos irmãos Reis (1892) e que conhecemos e temos nos livros escolares do nível de ensino equivalente ao ensino fundamental I atualmente.

O livro de Luz (1895) volta a utilizar as unidades de medida

apenas no penúltimo capítulo, o XXX intitulado de superfícies, quando trabalha com medição de áreas das figuras planas. Nesse ponto, os conteúdos a serem trabalhados são as áreas das diferentes figuras planas, mas para isso o autor utiliza medidas lineares e de superfície. As medidas das figuras, como o triângulo e o quadrado, são, geralmente, dadas em metros, mesmo que a medida real não corresponda a tal unidade linear, sendo mais comum o seu submúltiplo centímetro. A utilização do metro deve ter ocorrido por essa ser a unidade fundamental do comprimento. Com o cálculo de área também foi utilizado o metro quadrado como unidade fundamental de área, em que foi possível observar as propriedades da multiplicação e da divisão que Reis e Reis (1892) explicaram e mencionamos anteriormente.

No entanto, quando Luz (1895) apresenta exercícios com

aplicações agrárias, as medidas utilizadas são outras. Ele pede para calcular a área de um terreno triangular “que mede 18 braças e 8 palmos de frente ou base e 5 braças e 3 palmos de comprimento ou altura” (LUZ, 1895, p. 113). Em outro exercício o autor dá as medidas do terreno retangular em braças e palmos e pede a resposta em metros quadrados. Assim, percebemos que o autor mobiliza a compreensão de transformação entre unidades de espécies diferentes.

Também podemos perceber que no contexto agrário uma das

medidas usadas, tanto de acordo com o livro de 1892 quanto pelo livro de 1895 permanecem, é a braça, o que atualmente se mantém. Mas, Luz (1895) trabalha a necessidade de se saber o quanto essas medidas equivalem no sistema métrico decimal, o oficial. Então, encerra-se a utilização das unidades de medidas pelo autor. Como podemos perceber, diferentemente do livro de aritmética (REIS & REIS, 1892), que explicava sobre as diferentes unidades de medidas, suas propriedades operatórias, o livro de geometria (LUZ, 1895), nesse caso, se ateve a utilizar as medidas como aporte para o ensino de outros conteúdos.


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Por outro lado, o próximo livro que comporá a trajetória que aqui queremos descrever, trata especificamente de regras métricas. O autor é José Jerônimo d’Oliveira e a publicação data de 1898. Nela, o autor apresenta praticamente os mesmos conteúdos que os irmãos Reis apresentam na sua publicação de seis anos antes, com a diferença da extensão das explicações e das ilustrações apresentadas.

3.3. REGRAS MÉTRICAS (1898)

O livro de D’Oliveira (1898) está dividido em duas partes. A

primeira trata especificamente do sistema métrico, findando no estudo do franco, pois essa moeda francesa, no contexto da escrita do livro, era a unidade da moeda francesa, cujo peso correspondia a cinco gramas, com múltiplos e submúltiplos, os quais eram respectivamente: simplesmente 10, 100, 200, 300, 400, 500, et., e décimo e centésimo. Ao final da segunda parte volta a falar do sistema métrico relacionando-o às medidas que o autor chama de antigas.

No capítulo I D’Oliveira (1898, p. 3) define sistema métrico como

“um conjunto de medidas e pesos, baseados todos no metro” e caracteriza o metro, na prática, como “uma décima milionésima parte da distância do polo ao equador pela meridiano de Paris, e serve de base a todas as medidas deste sistema (o métrico)” (D’OLIVEIRA, 1898, p. 3). Assim, o autor também assinala o metro como unidade fundamental do sistema métrico decimal, assim como o fizeram os irmãos Reis (1898). Também, as medidas de massa (peso) e capacidade, cujas nomenclaturas não são graficamente identitárias do metro, são decorrentes deste e componentes do referido sistema. A unidade fundamental de massa (peso) corresponde a “um centímetro cúbico d’água destilada, pesada no vácuo e na temperatura de 4 graus acima de zero no termômetro centígrado” (D’OLIVEIRA, 1898, p. 52); e a de capacidade a um decímetro cúbico.

O autor explica como a medida do metro foi determinada pelos

geógrafos. Segundo D’Oliveira (1898, o. 5), “para determinar o metro, dividiram os geógrafos o quadrante ou 5.130.740 toesas (unidade de medida antiga) em dez milhões de partes iguais”. E, a partir dessa


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divisão, foi chamada de metro (medida) uma “décima milionésima parte do quadrante terrestre” (D’OLIVEIRA, 1898, p. 5).

Este autor destaca quatro vantagens do sistema métrico decimal,

as quais correspondem às justificativas que os irmãos Reis (1892) usam para explicar sua superioridade. Embora D’Oliveira as ordene diferentemente dos irmãos, da seguinte forma: uniformidade, simplicidade de sua nomenclatura, facilidade que há na solução de cálculos e sua invariabilidade, a qual se justifica pelo fato de que “o metro, base de todas, é inalterável como o globo terrestre de onde ele é tirado” (D’OLIVEIRA, 1898, p. 5).

Então, por que o sistema métrico decimal é assim denominado?

“Porque estes (conjunto de regras e preceitos) ligam-se uns aos outros e, baseando-se no metro e na divisão de dez em dez, tendem todos ao mesmo fim”, afirmou D’Oliveira (1898, p. 6). Assim, formam-se os múltiplos do metro.

Conforme D’Oliveira (1898, p. 8, grifo do autor), cada espécie de

grandeza precisa de uma unidade adequada para ser medida, sendo: “o metro linear para os comprimentos, o metro quadrado para as superfícies, o metro cúbico para os volumes, o litro para as capacidades, o grama para os pesos, e o franco para as moedas”. Assim, D’Oliveira (1898) faz notar quais são as unidades de medida fundamental para as grandezas acima relacionadas. No entanto, ele adverte que os múltiplos e submúltiplos também podem ser usados como unidade principal, a depender da quantidade a ser medida. Como exemplo, o autor destaca que para medir a distância entre duas cidades o quilômetro é a unidade que se usa, para uma folha de zinco o centímetro.

Sobre a formação dos múltiplos e submúltiplos, como também

acerca da nomenclatura, D’Oliveira (1898) infere que os múltiplos e submúltiplos são, respectivamente o conjunto de 10.000, 1.000, 100 e 10 unidades e a divisão da unidade em 10, 100, 1.000, etc., partes iguais. Mas observemos as diferenças para as medidas de área e volume. Para superfície, move-se “de duas em duas casas no mesmo sentido (para a direita ou esquerda), quando precisamos reduzir a uma unidade principal,


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a seus múltiplos e submúltiplos” (D’OLIVEIRA, 1898, p. 21); para volume move-se de três em três.

Todas as nomenclaturas têm como prefixo as seguintes palavras

gregas: “myria, kilo, hecto, deca, (unidade), deci, centi, mili, etc., que compõem o nome da unidade principal, como: myriametro, kilometro, hectometro, decametro, metro, decimetro, centímetro, milimetro, etc.” (D’OLIVEIRA, 1898, p. 8). O autor adverte que a ordem dessas palavras deve se manter sempre a mesma. Observemos que atualmente a primeira palavra, ou múltiplo do metro, não é usual no âmbito escolar.

A partir de tais explicações poderemos escrever os múltiplos e

submúltiplos de: comprimento, cuja unidade fundamental é o metro; capacidade, que a unidade é o litro; e de massa, a qual tem o grama como unidade de referência. Superfícies e volume assemelham-se, acrescentando quadrado e cúbico, respectivamente, nas nomenclaturas do metro linear.

Após apresentar as medidas do sistema métrico decimal, no caso

de medidas de superfície e volume, o autor discorre sobre um antigo sistema de medida, em relação ao sistema métrico, mas que ainda hoje é utilizado. No caso de superfície: o are, que é uma unidade usada nas medidas agrárias e corresponde a 100mq, na notação do autor. Seus múltiplos e submúltiplos são apenas, respectivamente, o hectare (10.000mq) e o centiare (1mq), conforme também apresentaram Reis e Reis (1892). No caso do volume: o stero, unidade de volume para a medição de lenha, que tem capacidade correspondente a um metro cúbico.

Para terminar o seu livro, D’Oliveira (1898) apresenta outras

medidas antigas e sua equivalência com o sistema métrico decimal, assim como o fizeram os irmãos Reis (1892). Além de are e seus múltiplos, o autor apresenta as correspondências com vara, braça, léguas e arroba, por exemplo, as quais, mesmo com a adoção oficial do sistema métrico, ainda são muito utilizadas, sobretudo em áreas agrárias.


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3.4. ARITMÉTICA PRIMÁRIA (1902)

A primeira menção que Pinheiro (1902) faz a unidades de medidas

é ao definir quantidade ou grandeza, quando as exemplifica como tempo, extensão e peso. Ademais, o autor apresenta um capítulo intitulado Sistema Métrico Decimal, o qual é definido como “a reunião de todos os pesos e medidas que têm por base o metro” (PINHEIRO, 1902, p. 37, grifo do autor). Diferentemente dos irmãos Reis (1892) e de D’Oliveira (1898), Pinheiro (1902) destaca o are e o stere como unidade métrica para superfície e volume, respectivamente.

O autor também explica como os múltiplos e submúltiplos das

unidades de medida se formam, e as palavras que os denotam, analogamente a D’Oliveira (1898). O metro é destacado como a unidade fundamental de comprimento, cuja medida corresponde à “décima milionésima parte do quarto do meridiano terrestre” (PINHEIRO, 1902, p. 38). A forma como os submúltiplos do metro é apresentada pelo autor deixa claro como eles se formam em relação ao metro. Diz-se:

Divide-se o metro em dez partes iguais, cada uma das quais se clama decímetro ou a décima parte do metro;

o decímetro se divide também em dez partes iguais, e cada parte uma desta se chama centímetro ou a

centésima parte do metro; o centímetro se divide ainda

em dez partes iguais, e cada uma delas se chama milímetro ou a milésima parte do metro (PINHEIRO,

1902, p. 38, grifo do autor).

O modo como os múltiplos se formam em relação ao metro não é explicada, mas podemos perceber que é de maneira análoga aos submúltiplos, sendo a operação a multiplicação. Os múltiplos são apresentados pelo autor na seguinte ordem: decâmetro, hectômetro, quilômetro e myríametro, medida que, como já mencionado, não costumamos mais ver nos livros escolares.

A próxima unidade do sistema métrico da qual o autor fala é a de

capacidade, que tem o litro como unidade fundamental e como múltiplos o decalitro (10 litros), hectolitro (100 litros) e o quilolitro (1000 litros); e como submúltiplos o decilitro (0,1 do litro), centilitro (0,01 do litro) e


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mililitro (0,001 do litro). O litro é definido pelo autor diferentemente dos anteriores, sem mencionar a relação com decímetro cúbico, até porque o autor toma como unidade fundamental de volume o stere. A definição afirma que “litro é a unidade de capacidade, tanto de líquidos como de secos e tem, por comodidade, no comércio a forma cilíndrica” (PINHEIRO, 1902, p. 39). Os instrumentos dessas medidas estão na figura 8, a seguir.

Figura 8 – Instrumentos de medida de capacidade

Fonte: Pinheiro (1902)

Como podemos observar na figura 8, esses instrumentos ainda são muito utilizados no comércio paraense. O primeiro para medir açaí e o segundo para medir farinha, por exemplo. Logo em seguida o autor dá destaque para a relação entre o litro e outras medidas que ele adjetiva como antigas. Essas relações estão no quadro 7, a seguir:


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Quadro 7 – Relação entre unidades de medidas antigas e o litro

Para secos

Moio (15 fangas) 2175,2 litros

Fanga (4 alqueires) 145,08 litros

Alqueires (4 quartas) 36,27 litros

Quarta 9,07 litros

Selamin 2.27 litros

Para líquidos

Tonel (2 pipas) 1597,2 litros

Pipas (25 almudes) 798,6 litros

Almudes (2 potes) 31,994 litros

Pote (6 canadas) 15,96 litros

Canada (4 quartilhos) 2,66 litros

Quartilho 0,332

Fonte: Elaborado pelos autores a partir de Pinheiro (1902).

Das medidas expressas pelo autor e anotadas neste quadro, a que tem uso mais comum atualmente é a quarta, sobretudo no contexto de receitas, para medir alimentos secos.

Diferentemente do conceito de litro, para o de grama, o autor

relaciona-o à medida de volume, que tem o metro cúbico como unidade fundamental. Segundo Pinheiro (1898, p. 40, grifo do autor), “grama é o peso de água pura contida, em seu máximo de densidade, em um centímetro cúbico”.

O autor chama a atenção para que se entenda que, como o grama

é muito pequeno, a unidade ordinária de peso (massa) é o quilograma, o qual tem mil gramas. Os múltiplos e os submúltiplos do grama, como Pinheiro (1898) apresenta, são: decagrama (10 gramas), hectograma (100 gramas), quilograma (1000 gramas) e myriagrama (10000gramas); e decigrama (0,1 do grama), centigrama decigrama (0,01 do grama) e miligrama decigrama (0,001 do grama).


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No caso do grama, as medidas que Pinheiro (1902) chama de antigas e relaciona a ele são: a tonelada (793,152 gramas), o quintal (58,752 gramas), a arroba (14,688 gramas), a libra (0,460 gramas) e a quarta (0,110). Diante desses valores de tonelada e quintal, o autor adverte que “o peso de mil quilogramas chama-se tonelada métrica, e o de cem quilogramas, quintal métrico” (PINHEIRO, 1902, p. 39, grifo do autor).

O autor também trata o franco como unidade de medida métrica,

a qual corresponde a cinco gramas de prata. Mas, vamos focar mais na próxima unidade de medida, que Pinheiro (1902) considera como métrica, o are. Sobre ela, o autor fala apenas que “é a medida de superfície, representada por um decâmetro quadrado ou cem metros quadrados. Tem só um múltiplo que é o hectare e um submúltiplo que é o centiare” (PINHEIRO, 1902, p. 43).

A unidade de medida de volume, que o autor atribui ao sistema

métrico é o stere, o qual corresponde a um metro cúbico, conforme Pinheiro (1902). Este destaca que o stere não é muito utilizado no Brasil, onde, conforme o autor, é usado metro cúbico como unidade fundamental para volumes.

Pinheiro (1902) também explica como fazer conversões das

medidas antigas para o novo sistema métrico, apresentado aplicações que ele denomina de úteis, que envolvem transformações de unidades como vara, jarda, côvado, libra para o metro e vice-versa. Ademais, o autor lança mão de unidades de medidas de peso (massa) para elaborar aplicações práticas com regra de três. Após terminar o livro o autor apresenta como anexo a relação do metro com as medidas antigas, tabela das unidades antigas correspondentes às do novo sistema, medidas para líquidos, pesos e moedas.

3.5. CURSO PRIMÁRIO DE ARITMÉTICA ELEMENTAR (1907)

O próximo livro a partir do qual falaremos acerca das unidades de

medidas é intitulado Curso Primário de Aritmética Elementar, de autoria de J.M. A primeira menção que localizamos no livro do autor foi na lição V, quando ele apresenta problemas envolvendo operações entre números


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inteiros. Nessa ocasião ele utiliza a unidade de medida linear metro para elaborar o problema, assim como nas lições XIII, XXI, XXIV e XXV, inclusive para medidas agrárias. Já na lição XII J.M. (1907) utiliza-se da unidade de medida de massa (peso), o quilo, para compor os problemas; e, também unidades de medida de capacidade: nas lições XVII, XXVII a unidade fundamental de capacidade, o litro, e na XXV o alqueire.

As lições XXXII, XXIII e XXXIV abordam especificamente as

unidades de medida de comprimento, capacidade e peso (massa), respectivamente. Não observamos ao longo do livro lições que tratem das unidades de medidas de superfície e volume.

A definição que J.M. (1907, p. 71) apresenta para metro se detém

a dizer que “o metro é a unidade com que se medem ou avaliam os comprimentos”, diferentemente de autores como os irmão Reis (1892), D’Oliveira (1892) e Pinheiro (1902) que relacionam a medida do metro à medida do meridiano terrestre.

O autor fala dos décimos e centésimos do metro, mas não

menciona o milésimo ou os múltiplos do metro. No entanto, chama atenção para uma questão ainda não citada: “quando a unidade é o metro de sempre escrever – m. – sobre o algarismo que está na casa das unidades” (J.M., 1907, p. 72, grifo do autor), exemplificando: 34,25 – lê-se trinta e quatro metros e vinte e cinco centésimos; 34m,25 – lê-se trinta e quatro unidades e vinte e cinco centímetros. Para finalizar o estudo do metro o autor deixa problemas envolvendo o assunto.

Assim como Pinheiro (1902), J.M. (1907) deixa claro que o litro é

unidade de medida de líquidos e secos, como farinha e feijão, não relaciona a medida de capacidade a de volume. Também fala apenas dos décimos e centésimos, e da necessidade de escrever “l” sobre o algarismo que está na casa das unidades, para que se identifique que se trata de medidas de capacidade. Mas, diferentemente de como fez na lição sobre metro, os problemas que sucedem a lição acerca de litros não fazem menção a ele ou seus múltiplos e submúltiplos.

Sobre o grama, J.M. (1907, p. 76) o trata como “a unidade que

serve para avaliar o peso”. Assim como nos livros de que falamos


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anteriormente, ele destaca que “como o gramo é muito pequeno emprega-se ordinariamente para avaliar o peso o kilo ou kilogramo, que é uma medida mil vezes maior que o gramo” (J.M., 1907, p. 76-77). O autor não menciona todos os múltiplos e submúltiplos do quilo, mas novamente chama a atenção da notação das unidades de medida de peso (massa). Do mesmo modo que para o litro, essas unidades não são utilizadas na elaboração dos problemas referentes à lição do gramo.

Depois da lição sobre o grama, da lição XXXIV a LXXX as unidades

de medidas, de comprimento, capacidade e massa (peso) são utilizadas por J.M. (1907) apenas na composição dos problemas de algumas lições.

3.6. ARITMÉTICA COMPLEMENTAR ([1920?])

O último livro de aritmética que compulsamos em busca de

construir uma trajetória das unidades de medidas nos livros primários paraenses foi um de autoria de Tito Cardoso de Oliveira, intitulado aritmética complementar, sendo essa publicação a oitava edição, com data aproximada de 1920.

A primeira menção que o autor faz à unidades de medidas é logo

nas definições preliminares, quando fala de quantidade e, entre os exemplos desta, cita 4 metros de corda; e volta a usar o metro na elaboração de problemas de divisão, de redução à unidade e de mínimo múltiplo comum; e utiliza-se da unidade de medida de massa (peso) quilo para a composição de problemas acerca de fração.

Diferentemente de autores como Pinheiro (1902), Oliveira

([1920?]) designa unidades de medida como légua, vara e tonel de números complexos, os quais ele afirma que “são originados dos antigos sistemas de pesos e medidas formando uma numeração especial cuja base é irregular e extremamente variável” (OLIVEIRA, [1920?], p. 164), diferentemente do sistema métrico, como apontam os irmão Reis (1892) e D’Oliveira (1898) que falam de características como a uniformidade e invariabilidade desse sistema que o tornam superior e vantajoso.

As unidades de números complexos que Oliveira ([1920?])

apresenta são de tempo (século, ano, mês, semana, dia hora, minuto,


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segundo; quadriênio triênio, semestre ...); da circunferência (grau, minuto e segundo); de comprimento (légua, milha, braça, vara, palmo, polegada, linha, ...);de capacidade (para líquidos: tonel, pipa, almude, canada; para secos: moio, fangas, alqueire e quarta); de pesos (tonelada, quintal, arroba, libra, ..., quilate, ...).

As unidades de superfície deveriam ser das mesmas de

comprimento elevadas ao quadrado. Como exemplo, o autor apresenta “25 palmos quadrados é a medida de uma superfície que tem 5 palmos de comprimento e 5 palmos de largura [...] 5palx5pal=25 palmos quadrados” (OLIVEIRA, [1920?], p. 166). As unidades de volume seriam calculadas analogamente às de superfície, elevando as unidades de comprimento ao cubo. O autor também fala sobre unidades monetárias da época e conversão de números complexos e operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) entre eles.

Em seguida, Oliveira ([1920?], p. 176, grifo do autor) fala do

sistema métrico decimal “desenvolvido”, determinando-o como “o sistema de pesos e medidas que tem por base o metro”, o qual o autor diz que também pode ser chamado de sistema legal de pesos e medidas. Conforme o autor, as medidas que compõem tal sistema “recebem do metro as suas dimensões, e dividem-se em reais e calculadas” (OLIVEIRA, [1920?], p. 176, grifos do autor). As medidas reais são aquelas cujas dimensões são originadas do metro e possuem instrumentos que representam sua espécie.

O metro (unidade de medida de comprimento), o litro (unidade de

medida de capacidade), o grama (unidade de medida de peso), o stereo (unidade de medida especial para lenha) e o franco (unidade monetária) são unidades de medidas reais. As calculadas “são as que, recebendo do metro as suas origens, não têm instrumentos que representem suas espécies e só aparecem nos cálculos” (OLIVEIRA, [1920?], p. 176). As medidas calculadas correspondem ao metro quadrado, que é a unidade de medida para pequenas superfícies; o are, para grandes superfícies e o metro cúbico, para volumes.

O autor destaca o metro como “a base fundamental do sistema

métrico e o seu comprimento é mais ou menos igual à décima


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milionésima parte da distância do equador ao polo” (OLIVEIRA, [1920?], p. 177, grifo do autor). Os múltiplos e submúltiplos do metro são dados do mesmo modo como em livros de que falamos anteriormente, tal como Pinheiro (1902), mas o autor completa informando que “no Brasil adota-se o metro com todos os seus múltiplos e submúltiplos e usa-se o quilômetro (mil metros) como unidade de medidas itinerárias” (OLIVEIRA, [1920?], p. 178).

Assim como os irmãos Reis (1892) e D’Oliveira (1898), o autor

apresenta o litro como a unidade de medida de capacidade relacionando-a a sua dimensão a de um decentímetro cúbico. Também afirma que “o instrumento que representa o litro é uma caixa de madeira ou metal, tendo no seu interior um decímetro de largura, um decímetro de comprimento e um decímetro de altura”. O autor ainda informa que, principalmente para líquidos, o litro pode ser medido por um instrumento de forma cilíndrica. Os múltiplos e submúltiplos do litro são dados do mesmo modo como em livros de que falamos anteriormente, tal como Pinheiro (1902).

Do mesmo modo que autores mencionados anteriormente, Oliveira

([1920?], p, 179) apresenta o grama como unidade fundamental de medida de peso (massa), acrescentando que “como todas as outras medidas do sistema métrico, [o gramo] recebe do metro a sua origem”, destacando que seu peso real é igual a um centímetro cúbico de água destilada nas mesmas condições citadas por D’Oliveira (1898), por exemplo. Mas o autor acrescenta que “o gramo e alguns de seus múltiplos e submúltiplos são representados por blocos, ou placas de metal, chamados comumente – pesos” (OLIVEIRA, [1920?], p. 179). Os múltiplos e submúltiplos do gramo são dados do mesmo modo como em livros de que já falamos, tal como Pinheiro (1902), mas o autor apresenta a balança como instrumento para medir o gramo e demais pesos.

Segundo Oliveira ([1920?], p. 180-181, grifo do autor), “o gramo é

usado como unidade de peso para medicamentos nas farmácias ou artigos de valor como o ouro, a prata, etc.; sendo usado o quilogramo,


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como unidade de medida de peso para artigos do mesmo valor”. Como unidades de medidas de peso (massa), o autor também apresenta na sequência o quintal métrico (100 quilos) e a tonelada métrica (1000 quilos), e o stereo tendo o decastereo como único múltiplo e o decistereo como único submúltiplo, como unidade especial para medição de lenha, a qual também é apresentada por D’Oliveira (1898) e Pinheiro (1902), por exemplo, mas reitera que esta medida é pouco usada no Brasil.

O metro quadrado é tratado no livro de Oliveira ([1920?]) como a

unidade fundamental para se medir superfície, mas não tem padrão que a represente, sendo, por isso, chamada de medida calculada. Conforme o autor, metro quadrado “é imaginado como um quadrado que tem um metro de lado; e somente nos cálculos é que se cogita essa medida” (p. 182), e os múltiplos do metro quadrado são: decâmetro quadrado (100 metros quadrados); hectômetro quadrado (10.000 metros quadrados); quilômetro quadrado (100.000.000 metros quadrados) e myriâmetros quadrados (10.000.000.000 metros quadrados); e os submúltiplos: decímetro quadrado (centésima parte do metro quadrado); centímetro quadrado (decimamilésima parte do metro quadrado) e milímetro quadrado (milionésima parte do metro quadrado).

A unidade fundamental de volume que Oliveira ([1920?], p. 183)

apresenta é o metro cúbico, o qual, por não ter padrão que o represente, “é imaginado como um volume que tem um metro de largura, um metro de comprimento e um metro de altura; e somente nos cálculos cogita-se desta medida”. Os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico são dados pelo autor conforme a figura 9, a seguir:

Figura 9 – Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico


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Fonte: Oliveira ([1920?])

Outra unidade de medida de superfície que Oliveira ([1920?], p. 183) apresenta é o are, a qual é utilizada para medir superfícies grandes. Como o metro quadrado e o metro cúbico, o are não tem padrão de representação e é imaginado. ”O are é geralmente usado para medir terrenos; e como cada lado do are tem 10 metros, usa-se para medi-lo de uma medida especial formada por uma cadeia de elos de metal, que tem 10 metros de comprimento” (OLIVEIRA, [1920?], p. 184, grifos do autor). Conforme o autor, essa cadeia de elos de metal chama-se decâmetro e está ilustrada na figura 10, a seguir.

Figura 10 – Decâmetro para medir are

Fonte: Oliveira ([1920?])

Como destaca o autor, o are possui apenas um múltiplo e apenas um submúltiplo, os quais são, respectivamente, o hectare (100 ares) e o centiare (centésima parte do are), como também apresentaram os irmãos Reis (1892), por exemplo. Ratificando o que já estava em livros de anos anteriores, o autor afirma que “no Brasil adota-se o are, com seu múltiplo e


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submúltiplo, para as medidas agrárias” (OLIVEIRA, [1920?], p. 185, grifos do autor).

Como J.M. (1907), Oliveira, [1920?] dá destaque para as formas

de escrever as medidas métricas, e ainda usa a notação de 13 anos antes, por exemplo, 2m,14 (dois metros e 14 centímetros) e 5l,3 (5 litros e 3 decilitros). Também é explicado sobre as operações com quantidades métricas, como o fez os irmãos Reis (1892), por exemplo, mas destacando que estas devem ser feitas seguindo as mesmas regras de operações sobre frações decimais. E ainda sobre o sistema métrico decimal, o autor discorre acerca da redução de múltiplos a submúltiplos e vice-versa; sobre a relação entre as medidas antigas e as métricas, e a conversão entre elas. As medidas antigas a que ele se refere são aquelas que ele chamou de números complexos, das quais falamos anteriormente. Tanto as unidades de medidas chamadas de antigas quanto do sistema métrico decimal são utilizadas pelo autor na elaboração de problemas nos capítulos posteriores do livro, como em tarefas sobre regra de três.

3.7. GEOMETRIA PRIMÁRIA (1957)

O segundo livro de geometria que localizamos e o último que

compõe a trajetória das unidades de medidas nos livros primários paraenses é de autoria de Tito Cardoso de Oliveira, intitulado Geometria primária, cuja edição compulsada é a 38º, publicada em 1957.

Assim como o primeiro livro de geometria de que falamos (LUZ, 1895), as primeiras menções de Oliveira (1957) relacionadas a unidades de medidas dá-se ao falar sobre as extensões de duas e três dimensões, quando usa como unidade de comprimento a unidade fundamental do sistema métrico, o metro. Com isso, o metro cúbico é utilizado como unidade para medir volume e o metro quadrado para mensurar superfícies. Sempre que o autor utiliza unidades de comprimento é o metro que ele utiliza para fazer referência à medição, do comprimento de uma circunferência, por exemplo.

O autor volta a mencionar as unidades de medidas quando discorre acerca de áreas em geral. Embora Oliveira (1957) aborde sobre figuras geométricas tridimensionais, ele não apresenta cálculos de volume, e, assim, não menciona mais as unidades de medidas de volume.


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Por outro lado, o autor destaca que “a unidade de medida geralmente adotada na determinação das áreas é o metro quadrado” (OLIVEIRA, 1957, p. 78, grifo do autor) e utiliza sempre o metro como unidade de medida dos lados das figuras planas, resultando assim numa área expressa na unidade fundamental de superfície. Vale destacar que a notação usada por Oliveira (1957) já equivale a que utilizamos atualmente, 24m2, diferentemente de Luz (1895), que usava 18m2, ou D’Oliveira (1898), que apresentava 80mq, por exemplo.

Diferentemente de Luz (1895), Oliveira (1957) não dá destaque a

medidas que eram chamadas de antigas e usadas comumente em áreas agrárias, o que pode mostrar que, ao longo do século XX, tais unidades de medidas, como are, hectare, braça e vara, foram desaparecendo dos livros primários e posteriormente dos níveis de ensino equivalente.

Como podemos perceber ao longo deste capítulo as unidades de

medidas sempre estiveram presentes nos livros primários paraenses no período que tratamos, 1892 a 1957. Desde o primeiro livro que tivemos acesso, de 1892, o sistema métrico decimal aparece como o oficial, sendo destacadas como unidas de medidas antigas o are e seus múltiplos e submúltiplos, a braça, a vara, a tonelada, alqueire e fanga, por exemplo.

A notação para a representação dos valores das unidades de

medidas métricas foram mudando ao longo desse período, sendo que na edição de 1957 já equivalia a que aparece nos livros do nível de ensino de atualmente. O que pudemos notar também é que os livros de aritmética e o de relações métricas ensinam de fato sobre as unidades de medidas, enquanto os de geometria apenas lançam mão das medidas para ensinar os conteúdos geométricos.

O próximo capítulo trará situações problemas que denotam

possibilidades de uso das medidas métricas, em que aritmética e geometria são correlacionadas na sua elaboração.


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Capítulo 4 4. APLICAÇÃO EM SALA DE AULA

4.1. TRABALHANDO COM SITUAÇÕES PROBLEMAS

No capítulo 2 deste texto nos deparamos com a seguinte situação:

• O senhor Zé Luís foi contratado para roçar uma área da fazenda, a qual para medi-la ele dispunha de um pedaço de madeira de uma braça, sendo esse o instrumento utilizado por ele para calcular a área a ser roçada dada em linhas.

• Já o senhor Eudes, um pouco mais avançado tecnologicamente, dispunha de uma fita métrica de 50 metros e um GPS - Sistema de Posicionamento Global, o qual fornece o resultado da mesma superfície em Hectares, metros quadrados e outras medidas que compõem o Sistema Internacional de Medidas.

• Para intermediar a negociação propomos a utilização do cálculo da área utilizando a fórmula de Heron.

Vele ressaltar que os três métodos utilizados são modelos matemáticos, sendo o primeiro, utilizado pelo senhor Zé Luís, um modelo que vem se propagando desde a época da colonização brasileira, trazido pelos portugueses, e que vem fazendo parte do contexto cultural conforme definido por D'Ambrósio (2002).

O segundo modelo matemático, utilizado pelo senhor Eudes está

implementado em uma ferramenta tecnológica – o GPS - capaz de fornecer resultados com um grau de aproximação aceitável, conforme definições expostas em Gomes (2010).


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Já o terceiro modelo, a fórmula de Heron, - aqui proposto como intermediador da situação problema - é um modelo matemático pouco divulgado, em que as suas utilizações estão muito bem definidas em Paulanti (2014).

Figura 11: Material utilizado na empiria

Fonte: Arquivo pessoal dos autores

A Figura 11 mostra o material utilizado na empiria, o qual é

composto por uma vara medindo uma braça (2,20m), uma fita métrica de 50 metros e um GPS. Os resultados do experimento estão expostos na Figura 12, onde o próposito é calcular a aréa em linhas ou tarefas, em alqueire mineiro e em hectares, utilizando os três instrumentos, e três métodos de resolução: I - O método tradicional utilizado no meio rural exposto em Rocha, Sousa e Ferreira (2019). II – Utilizando a formula Heron, conforme exposto em Paulanti (2014); III – Utilizando um GPS.


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Quadro 8: Medidas em metros e em braças encontradas na empiria.

Distância Metros (Fita métrica) Braças (Vara)

AB 156,8 71,3

BC 189,8 86,3

CD 89,0 40,5

DE 85,4 38,8

EF 117,3 53,3

FG 150,1 68,2

GH 141,2 64,2

AH 42,0 19,1

BG 32,4 14,7

CF 82,5 37,5

AG 162,4 73,8

BF 154,3 70,1

CE 111,1 50,5 Fonte: Dados da empiria

O Quadro 4 mostra todas medidas encontradas no experimento

em metros e em braças, incluindo as digonais que estão exposta na

Figura 8.

Figura 12: Medidas do terreno da situação problema dada em braças.


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Fonte: Elaborado pelos autores com auxílio do Google Earth e Paint

I – Método tradicional: Primeiro expomos as medidas em braças (vara). Para calcular a

área da Figura 12, utilizaremos o método exposto em Rocha, Sousa e Ferreira (2019, p. 47-50). que em Vizolli e Mendes (2016) mostra que no dia a dia dos habitantes da zona rural este método é conhecido como cubar a terra.

A Figura 12 está dividida em três partes, a área 1, a área 2 e a área 3.

Primeiro calculamos a área 1. Calculamos a média dos lados opostos, obtendo as medidas de um

retângulo, com aproximação de uma casa decimal, da seguinte forma:

e .

Logo por são medidas de um retângulo. Assim podemos

dizer que esse retângulo tem 1.111,1 braças quadradas ou quadrinhos (ver Quadro 2).

Segundo calculamos a área 2. Calculamos a média dos lados opostos, obtendo as medidas de um


e .


dizer que esse retângulo tem 2.017,5 quadrinhos. Terceiro, calculamos a área 3. Calculamos a média dos lados opostos, obtendo as medidas de um


e .


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dizer que esse retângulo tem 1.791,6 quadrinhos. Calculamos agora a área total em braças quadradas efetuando a soma das áreas 1, 2 e 3. Assim,

Sabemos que uma linha tem 625 quadrinhos (ver Quadro 2). Fazendo 4.920,2 quadrinhos dividido por 625 quadrinho(uma linha ou tarefa) , temos 7,9 linhas ou tarefas aproximadamente. Como o alqueire é composto de 16 linhas, temos que o terreno da situação problema mede aproximadamente (7,9/16) alqueire, ou seja, quase meio alqueire mineiro. Essas são medidas utilizadas historicamente, como já foi comentado anteriormente, como sendo medidas não decimais ou não convencionais.

Faremos agora a transformação dessas unidades para as unidades

do sistema métrico decimal. Temos como resultado para a área total da Figura 7, 4.920,2 quadrinhos. Sabemos do Quadro 2 que uma braça quadrada ou quadrinho mede 4,84 m2. Desta forma, a área total correponde a (4.920,2 x 4,84m2), que é igual a 23.813,8 m2, confirmando o que já haviamos concluído, que a área total corresponde a aproximadamente a metade do alqueire mineiro, que mede 48.400 m2.

Nos resta agora, ver o resultade em hectares, que é a medida de

superficie mais utilizada na atualidade, tanto na zona urbano, quanto rural. Como um hectare mede 10.000 m2 e 23.813,8 m2 é a medida da área da Figura 7, temos que (23.813,8 m2/10.000m2), corresponde a 2,4 hectares aproximadadmente.

II – Pela fórmula de Heron:

Segundo Paulanti (2014) a Fórmula de Heron é capaz de determinar a área de um triângulo somente através das medidas dos lados, descartando a utilização da altura do triângulo, diferente de outras expressões matemáticas para a mesma finalidade.


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Fonte: Paulanti (2014) A expressão que representa a fórmula de Heron é dada por:

Onde: “s” é o semi-perímetro (metade da soma dos lados do triângulo); “a”, “b” e “c” os lados do triângulo. O semi-perímetro é dado por:

A Figura 8, mostra o resultado do nosso experimento,

acrescentando as diagonais em cada uma das áreas. Assim vamos colocar em prática a fórmula de heron iniciando os cálculos pela área 1, depois a área 2 e em seguida a área 3.

Figura 14: Medidas do terreno da situação problema com diagonais, dadas em braças.

Figura 13: Fórmula de Heron de

Alexandria


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Fonte: Elaborado pelos autores com auxílio do Google Earth e Paint

Na área 1 observamos que ao acrescentar a diagonal AG, o quadrilátero ABGH, se transforma em dois triângulos, ABG e AGH, os quais nos possibilitam a utilização da fórmula de Heron. No Triângulo ABG, temos:

De posse de e das medidas dos lados do triângulo ABG,

aplicamos na fórmula de Heron, obtendo:


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No Triângulo AGH, temos:

De posse de e das medidas dos lados do triângulo AGH,


Portanto,

Na área 2 observamos que ao acrescentar a diagonal BF, o quadrilátero BCFG, se transforma em dois triângulos, BCF e BFG, os quais nos possibilitam a utilização da fórmula de Heron. No Triângulo BCF, temos:

De posse de e das medidas dos lados do triângulo BFG,



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No Triângulo BFG, temos:



Portanto,

Na área 3 observamos que ao acrescentar a diagonal CE, o quadrilátero CDEF, se transforma em dois triângulos, CDE e CEF, os quais nos possibilitam a utilização da fórmula de Heron. No Triângulo CDE, temos:




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No Triângulo BFG, temos:



Portanto,

Portanto, a área total da Figura 14, é dada por:


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Transformando para metros quadrados, temos o resultado a seguir:

III – Pelo uso do GPS – Sistema de Posicionamente Global:

Fonte: Google Hearth

A Figura 15 representa as figuras anteriores mostradas no Google

Earth, cujos pontos em amarelo representam as coordenadas Universal Transversa de Mercator (UTM) que segundo Rocha, Sousa e Ferreira, (2019, p. 44) utiliza um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional para dar localizações na superfície da Terra. Essas coordenadas podem ser vistas no Quadro 9. Vale Ressaltar que as distâncias encontradas no experimento podem ser calculadas utilizando a fórmula de Pitágoras (distância entre dois pontos) amplamente estudada no terceiro ano do ensino médio. Por

Figura 15: Área demarcada pelo GPS

https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesianas

https://pt.wikipedia.org/wiki/Bidimensional

https://pt.wikipedia.org/wiki/Terra


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exemplo, se quisermos saber qual a distância entre os pontos A e B, da Figura 8, basta usarmos a fórmula,

,

que fazendo as devidas substituições com os valores dos pontos dados no Quadro 5, e efetuando os calculos, temos:

As demais medidas BC, CD e etc. da Figura 14, podem ser

calculadas da mesma forma.

Quadro 9: Coordenadas do terreno em UTM - Universal Transversa de Mercator

Pontos x y

A 197356,00 9422789,00

B 197480,00 9422693,00

C 197656,00 9422622,00

D 197735,00 9422581,00


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E 197682,00 9422514,00

F 197585,00 9422580,00

G 197462,00 9422666,00

H 197347,00 9422748,00 Fonte: GPS e Google Earth

Essas coordenadas foram encontradas caminhando pelo perímetro

do terreno da situação problema, marcando os pontos com o GPS exposto na Figura 15, conforme apresentado no Quadro 9 e Figura 14. O valor da área gerado pelo GPS foi de 21.930,5 m2.

Segundo Gomes, (2010) podemos considerar que a precisão do

resultado do levantamento feito pelo GPS, é inversamente proporcional ao tamanho da área, isto é, quanto menor a área maior o erro e quanto maior a área menor o erro. Por exemplo, em uma área de até 1 hectare o erro médio é de 10% enquanto em uma área de até 25 hectare o erro passa a ser de 2%.

Para finalizar vamos construir um quadro comparativo entre os 3

métodos utilizados para o cálculo da área da situação problema.

Quadro 10: Comparação dos resultados gerados pelos três métodos.

Medidas Método

tradicional Pela fórmula de

Heron Pelo uso do GPS

m2 23813,8 21784,4 21.930,5

Quadrinhos 4920,2 4500,9 4531,1

Tarefas ou Linhas 7,9 7,2 7,2

Alqueire Mineiro 0,49 0,45 0,45

hectares 2,4 2,2 2,2


A partir do Quadro 10, vale observar que dentre os três métodos

aqui apesentados, aquele que apresenta um resultado preciso é o que utiliza a fórmula de Heron o qual pode-se mostrar matemáticamente da seguinte forma:


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Considere o quadrado da Figura 15 o qual foi divido em dois

triângulos e através da diagonal

Figura 16: Quadrado


No triângulo consideremos por

pitágoras. O semi-perímetro é dado por,

Fazendo as substituições devidas na fórmula de heron, temos:


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Portanto é a metade da área do quadrado. Como

a é de igual valor, somando a área dos dois triângulos, temos

que a área do quadrado é , como queríamos mostrar.

Tomando o método, no qual onde utilizamos a fórmula de Heron,

como referência, vamos compará-lo com os outros dois, objetivando ver o erro cometido, uma vez que ocorreu diferenças entre os três resultados.

• Entre a fórmula de Heron e o método tradicional.

Esse resultado mostra um erro de 9%. • Entre a fórmula de Heron e o GPS.

Esse resultado mostra um erro de 0,7%. Conforme exposto em Gomes (2010) em uma área de até 1

hectare o erro médio é de 10%, enquanto em uma área de até 25 hectare, o erro passa a ser de 2%. Os resultados mostram que o GPS é uma excelente ferramenta para o cálculo de área. O problema que se apresenta aqui, é o difícil acesso para o homem do campo para a obtenção desta ferramenta (GPS).

O método tradicional, mesmo mostrando nesta situação um erro

de 9%, considerado grande para o caso, - em que o aceitável é 2% - ainda se faz uma excelente alternativa para quem habita a zona rural, por se tratar de um método fácil e de rápida resolução, além de ser uma ferramenta acessível para o homem do campo. 4.2 ATIVIDADES PARA O PROFESSOR

Na Figura 17, mostra uma área demarcada pelos pontos A, B, C e D, formando um quadrilátero.


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Figura 17: Área nas proximidades da Cidade de Tracuateua/Pa.

Fonte: Google Earth

O Quadro11 expõe as coordenadas UTM da Figura 17.

Quadro 11: Coordenadas dos pontos A, B, C e D da Figura 17

Pontos X Y

A 288526 9881783

B 289049 9881830

C 289030 9881461

D 288474 9881464 Fonte: Google Earth

Usando todas as ferramentas aqui expostas, preencha os espaços vazios do Quadro 12.


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Quadro 12: Resultados gerados pelos três métodos

Medidas Método

tradicional Pela fórmula de

Heron Pelo uso do

GPS

m2

Quadrinhos

Tarefas ou Linhas

Alqueire Mineiro

hectares


CONSIDERAÇÕES FINAIS

Para a construção do livro, tínhamos como objetivo apresentar ao leitor as unidades de medidas, tanto as convencionais como as não convencionais, e como era trabalhado nas escolas paraenses por meio dos livros direcionados ao ensino primário. Amenizar a falta de significados concretos apresentados, no que tange aos conceitos de medidas de comprimento e de áreas agrárias decimais e não decimais ou não convencionais foi um dos nossos propósitos quando pensando na construção do texto no sentido de diminuir a lacuna quanto à temática. Para a empiria, foram apresentados três métodos que foram utilizados como modelos matemáticos, sendo as medições todas feitas utilizando a braça: o primeiro método o tradicional, utilizado na zona rural em que chamam de cubar a terra, a segunda medição foi feito com o GPS e a terceira medição foi utilizado a fórmula de Heron.

O método tradicional ainda se faz uma excelente alternativa para quem habita a zona rural, por se tratar de um método fácil e de rápida resolução, além de ser uma ferramenta acessível para o homem do campo, uma vez que utilizar fórmula matemática de Heron ou o acesso ao GPS se tornam inacessíveis.


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Em relação aos sete livros primários referentes às matérias

atreladas à matemática, localizamos as unidades de medidas, sejam de massa (peso), capacidade ou volume, em que enfatizavam as medidas lineares e de superfície. Em síntese, a pesquisa aponta para a seguinte conclusão: livros de aritmética e o de relações métricas ensinam de fato sobre as unidades de medidas, enquanto os de geometria apenas lançam mão das medidas para ensinar os conteúdos geométricos.

Neste sentido é que, por meio da pesquisa procuramos aguçar os leitores no sentido de ter um olhar para a história e suas contribuições no ensino da matemática. Parafraseando Zuin (2007), em que finaliza sua tese com as seguintes palavras: conseguimos apenas antever uma tênue luz. Que esta pequena claridade possa auxiliar outros pesquisadores em suas investidas que tenham como objeto a matemática.


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TRINDADE, D. de A. As artes de medir: Saberes matemáticos no ensino primário de São Paulo, 1890-1950. Tese (Doutorado em Ciências) – Programa de Pós-Graduação em Educação e Saúde na Infância e na Adolescência, Universidade Federal de São Paulo, Guarulhos, 2018.


90

VIZOLLI, I.; MENDES, A. N. Braça, Quadro e Tarefa: Um modo de

efetuar medidas de Terra. Vydia, Santa Maria, v. 36, p. 69-80, jan/jun

2016. ISSN 2176-4603.

ZOTTI, S. A. Organização do ensino primário no brasil: uma leitura da história do currículo oficial. In: SEMINÁRIO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS, 7., 2006, Campinas. Anais [...]. Campinas: UNICAMP, 2006. Tema: História, Sociedade e Educação no Brasil. Disponível em: http://www.histedbr.fe.unicamp.br/acer_histedbr/seminario/seminario7/. Acesso em: 14 ago. 2019.

ZUIN, E. de S. L. Por uma nova Arithimetica: O sistema métrico

decimal como saber escolar em Portugal e no Brasil oitocentista.

Tese de doutorado, PUC/SP, 2007.

http://www.histedbr.fe.unicamp.br/acer_histedbr/seminario/seminario7/


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SOBRE OS AUTORES

aria Lúcia Pessoa Chaves Rocha é bacharel em Ciências Econômicas

pelas Faculdades Integradas Colégio Moderno. Licenciada em

Ciências de 1º Grau e em Licenciatura Plena em Matemática, pela

Universidade Federal do Pará. Pós-Graduação Lato Sensu em

Educação, pela Universidade Metodista de Piracicaba (UNIMEP)-

São Paulo. Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Educação

em Ciências e Matemáticas, do Núcleo de Pesquisa e

Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica, da

Universidade Federal do Pará. Doutorado pelo Programa de Pós-

Graduação em Educação, da Universidade Federal do Rio Grande

do Norte (2010). Professora Titular do Instituto Federal de

Educação, Ciência e Tecnologia do Pará (aposentada) e atualmente

é Professora Colaboradora do Programa de Pós-Graduação em

Educação em Ciências e Matemáticas (PPGECM) do Instituto de

Educação, Matemática e Científica (IEMCI) da UFPA.

rancisco Fialho Guedes Ferreira é Licenciado Pleno em Matemática

(2001) e especialista em Estatística Aplicada as Ciências (2007)

pela Universidade Estadual do Maranhão. Mestre em Estatística

pela Universidade Federal do Pará (2009). Professor do Instituto

Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará -IFPA.

Doutorando em Educação Matemática pelo Programa de Pós-

Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas (PPGECM) da

M

F


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Universidade Federal do Pará no período de 2018 a 2022, com linha

de pesquisa em História e Ensino da Matemática.

rancisca Janice dos Santos Fortaleza é Licenciada em Matemática pela

Universidade Federal do Pará (2013), Mestre em Educação em

Ciências e Matemática – área de concentração: Educação

Matemática pelo Programa de Pós-Graduação em Educação em

Ciências e Matemáticas da Universidade Federal do Pará (2017).

Atualmente cursa doutorado na mesma área pelo referido

programa.

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Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VI

Volume 1 – Ensino da matemática por meio da geometria dinâmica com o desmos.

Autores: Demetrius Gonçalves de Araújo, Fábio José da Costa Alves e Gilvan Lira Souza.

Volume 2 – A noção do raciocínio combinatório nos anos iniciais do ensino fundamental a

partir da teoria antropológica do didático.

Autores: Guilherme Motta de Moraes, José Carlos de Souza Pereira e José Messildo Viana

Nunes.

Volume 3 – Educação Matemática e Educação Hospitalar: um paralelo entre o solo oncológico e

solo geométrico.

Autores: Marcos Evandro Lisboa de Moraes, Felipe Moraes dos Santos, Elielson Ribeiro Sales.

Volume 4 – Altas habilidades em matemática no contexto escolar: reflexões iniciais.

Autores: Maria Eliana Soares, Elielson Ribeiro de Sales e Edson Pinheiro Wanzeler.

Volume 5 – Pelas trilhas históricas do pesar e do medir.

Autora: Elenice de Souza Lodron Zuin.

Volume 6 – O uso de materiais manipuláveis e suas perspectivas na atividade matemática.

Autores: Fernando Cardoso de Matos, Reginaldo da Silva e Wellington Evangelista Duarte.

Volume 7 – O ensino de Frações por atividades.

Autores: Pedro Franco de Sá e Kamilly Suzanny Felix Alves.

Volume 8 – Criatividade na história da criação matemática: potencialidades para o trabalho do

professor.

Autor: Iran Abreu Mendes.

Volume 9 – Sequências didáticas: olhares teóricos e construção.

Autores: Acylena Coelho Costa e Natanael Freitas Cabral.

Volume 10 – Limite de uma função: História e atividades para o ensino

Autores: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias e João Cláudio Brandemberg.

Volume 11 – O ensino de fatoração algébrica por atividaes.

Autores: Glaucianny Amorim Noronha e Pedro Roberto Sousa da Silva.

Volume 12 – Medidas Lineares e de Superfície: um enfoque histórico e matemático.

Autores: Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha, Francisco Fialho Guedes Ferreira e Francisca Janice

dos Santos Fortaleza.

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MEDIDAS LINEARES E DE SUPERFÍCIE Um Enfoque Histórico e ... · Medidas lineares e de superfície: Um enfoque histórico e matemático. O título do livro, surgiu a partir das pesquisas