Parte 7 Trigonometria

Vestibular a 1000 Prof. Carpinelli

231

Parte 7: 80 Questões

Trigonometria Ciclo Trigonométrico sen

Por definição: r = 1 unidade.

90º =

135º 120º 60º =/3 45º = /4

1500 150º 30º = /6

= 180º 2 = 360º cos

210º 330º

225º 240º 300º 315º

3 = 270º

2

Fundamental: sen2 x + cos2 x = 1

Definições: tg x =

cotg x =

sec x =

cossec x =

Decorrentes da fundamental: tg2 x + 1 = sec2 x cotg2 x + 1 = cossec2 x

Fórmulas da Adição:

sen (x + y) = sen x cos y + sen y cos x sen 2x = 2 sen x cos x

cos (x + y) = cos x cos y – sen x sen y cos 2x = cos2 x – sen2 x

tg (x + y) = tg x + tg y tg 2x = 2 tg x

1 – tg x tg y 1 – tg2 x

Fórmulas da Transformação em Produto: Tabela Importante:

sen p + sen q = 2 sen (p + q) cos (p – q) 300 450 600

2 2 sen 1/2 /2 /2

sen p - sen q = 2 sen (p - q) cos (p + q) cos /2 /2 1/2

2 2 tg /3 1

cos p + cos q = 2 cos (p + q) cos (p - q)

2 2

cos p – cos q = -2 sen (p + q) sen (p - q)

2 2


232

Q1. (UFRN) Se um ângulo mede 40º, então sua medida em radianos vale:

a) b) c) 2 d) 3 e) 5

Basta usarmos uma regra de três simples: 1800 ------------ rad

400 ------------ x

Assim: x =

x = 2/9 Resp: c

Q2. (UDF) Calcule o valor numérico de A = 3 sen 450 – 2 cos 1350 -

Veja: sen 450 = /2

cos 1350 = - cos 450 = - /2

Assim: A = 3. /2 -2 (- /2) - A = 3 /2 + 2 /2 -

Logo: A = 3 /2 + 2 /2 - 2 /2 A = 3 /2

Q3. (CESCEA) A expressão

+

é idêntica a:

a) sec 2x b) tg 2x c) tg 4x d) cos 2x e) 1

Achando-se o MMC, temos:

=

Assim, temos:

= tg 2x Resp: b

Q4. (UFSC) Calcule o valor de

- tg2 x

Temos:

-

=

=

=

= 2

Q5. (PUC – SP) Determinar todos os valores de x, de modo que a expressão

sen x =

, exista.

Sabemos que: -1 sen x ≤ 1

Logo: -1 ≤

≤ 1 -3 ≤ 2x – 1 ≤ 3 -2 ≤ 2x ≤ 4 -1 ≤ x ≤ 2

E, a solução é: S = {x ; -1 ≤ x ≤ 2}


233

Q6. (PUC – SP) Calcule o valor numérico de y = cos 4x + sen 2x + tg 2x – sec 8x,

para x = /2

Temos: y = cos 2 + sen + tg - sec 4

Lembre-se: sec 4 =

=

= 1

Então: y = 1 + 0 + 0 - 1 y = 0

Q7. (FGV) Se A + B = 450, calcule o valor de (1 + tg A) (1 + tg B)

Observe que o problema quer o valor de M = 1 + tg A + tg B + tg A tg B

Se A + B = 450 tg (A + B) = 1

Mas: tg (A + B) =

= 1 tg A + tg B = 1 – tg A tg B

Ou, seja: tg A + tg B + tg A tg B = 1

Logo, o valor de M = 1 + 1 M = 2

Q8. (UFPA) Qual a medida, em radianos, de um arco de 13500?

a) /4 b) 3/2 c) 3/4 d) e) 5/4

Achando a 1ª determinação positiva do arco 13500

1350 360

3

2700

Como sabemos: 2700 = 3/2 Resp: b

Q9. (UFC) Resolver a equação sen x + sen2 x + sen3 x +… = 1, 0 ≤ x ≤ /2

Como 0 ≤ x ≤ 0 < sen x < 1

A equação de infinitos termos é uma PG infinita de razão sen x.

Lembrando a fórmula da soma infinita de uma PG: S =

Temos:

= 1 2 sen x = 1 sen x = 1/2

Então: S ={/6}


234

Q10. (MACK) Se sen x = /2 e x um arco do 2ª quadrante, calcule o valor da

expressão E = 20 sen (x - /2) cos (x - /2)

Se sen x = /2 (x no 2ª Q) x = 1350

Então: E = 20 sen 450 cos 450 E = 20 /2 /2 E = 10

Q11. (UFC) Resolva a equação sen x = (log 5 + log 2)

, 0 ≤ x ≤ 2

Inicialmente:

(I): log 5 + log 2 = log (5. 2) = log 10 = 1

(II):

= m 5m = (52) 1/4 5m = 5 1/2 m = 1/2

Assim: sen x = 1/2 x = 300 ou x = 1500 S = {/6, 5/6}

Q12. (U.C. Salvador) O valor da expressão (sen ). (cos ) + (tg 2 ) . (sec )

a) -1 b) 0 c) 0,5 d) 1 e) 2

Lembre-se:

sen /2 = 1

cos = -1

tg 2 = tg 0o = 0

sec /4 =

=

=

=

Assim, temos: ( 1 ). ( -1 ) + 0. = -1 + 0 = -1 Resp: a

Q13. (FAAP) Calcule A =

Repare que sen 00 = 0

Portanto, o numerador da fração será igual a zero

Logo: A = 0


235

Q14. (FATEC) Sejam x e y reais. Se x + y = e x – y = .

Calcule M =

Resolvendo o sistema: x + y = 900 e x – y = 300, encontramos: x = 600 e y =300

Assim: M =

M =

= - tg 600 = -

Q15. (UFC) Sejam a um número real e (m,n) o vértice da parábola

y = x2 – ( 2 cos a)x + sen2 a. Calcule o valor de 6m2 + 3n.

Temos: A = 1; B = - 2 cos a; C = sen2 a

Assim: xV = -b/2a xV = cos a m = cos a

Então: yV = cos2 a – 2 cos a cos a + sen2 a yV = 1 – 2 cos2 a n = 1 – 2 cos2 a

Deste modo: 6m2 + 3n = 6 cos2 a + 3 (1 – 2 cos2 a) = 6cos2 a + 3 – 6 cos2 a

Logo: 6m2 + 3n = 3

Q16. (PUC – SP) sen 1200º é igual a:

a) cos 600 b) –sen 60º c) cos 30º d) – sen 30º e) cos 45º

12000 3600

3

1200

Então: sen 12000 = sen1200 =

= cos 300 Resp: c

Q17. (PUC – RJ) Calcule o valor da expressão E = cos 1650º + sen

Veja:16500 = 4. 3600 + 2100 e = 8. 600 = 4800 = 3600 + 1200

Então: E = cos 2100 + sen 1200 = - cos 300 + sen 600

Assim: E = - /2 + /2 E = 0

Q18. (UFRJ) Determine os valores reais de k , de modo que a equação

2 – 3 cosx = k – 4 admita solução.

Veja: -3 cos x = k – 6 cos x =

Logo: -1

1 -3 6 – k 3 -9 k -3

Ou, seja: k -3 e k -9 -9 k - 3

S = {x / -9 k - 3}


236

Q19. (FUVEST) Qual dos números é maior: sen 830º ou sen 1195º?

Veja: 8300 = 2. 3600 + 1100 e 11950 = 3. 3600 + 1150

No ciclo trigonométrico:

sen

110

115

É fácil notar que o maior valor é sen 1100 = sen 8300

Q20. (STA CASA – Adap.) Considere a expressão:

A = cos 12º + cos 25º + ... + cos 155º + cos 168º. Calcule o valor numérico de A.

Escrevendo todos valores da expressão, temos:

A = cos 12 + cos 25 + cos 38 + cos 51 + cos 64 + cos 77 + cos 90 +

cos 168 + cos 155 + cos 142 + cos 129 + cos 116 + cos 103

Logo A = cos 900 A = 0

Q21. (CESGRANRIO) Se cos x = a , então cos (11 - x) vale:

a) a b) –a c) 2a d) -2a e) – a

11 - x x

Eixo dos cos

É fácil que cos x e cos (11 - x) tem o mesmo tamanho e sinais opostos.

Assim: cos x = - cos ( - x) Resp: b

Q22. (FATEC) Se f(x) =

, calcule f(

Temos: f(600) =

Mas, sec x é o inverso de cos x

Então:f(/3) =

. 2 + .

f(/3) = 1 + 2 f(/3) = 3


237

Q23. (UFC) Se senx – cosx = 1/5, calcule o valor de senx . cosx

Elevando-se os 2 membros ao quadrado, temos:(senx – cosx)2 = 1/25

Então: sen2x – 2 senx cosx + cos2 x = 1/25

Logo: – 2 senx cosx = 1/25 – 1 – 2 senx cosx = - 24/52

Ou, seja: senx cosx = 12/25

Q24. (FEI) Se senx – cosx = 1/5, calcule o valor de senx + cosx

Sabemos que: sen2x + cos2x = 1 (I) e sen x = 1/5 + cos x (II)

Substituindo (II) em (I): (1/5 + cos x)2 + cos2 x = 1

Assim: 1/25 + 2/5 cos x + cos2 x + cos2 x = 1

Ou, seja: 1 + 10 cos x + 50 cos2 x = 25 25 cosx + 5 cos x – 12 = 0

Resolvendo-se a equação do 2ºgrau, temos:

cos x = 3/5......sen x = 4/5 cos x + sen x = 7/5

cos x = -4/5.....sen x = -3/5 cos x + sen x = -7/5 Resp: {7/5, -7/5}

Q25. (UFC- Adap.) Calcule o valor de cotg 1845º + tg ( - 2 cos )

Veja: 18450 = 5. 3600 + 450 e 25/3 = 25. 600 = 15000 = 4. 3600 + 600

Assim, temos: cotg 450 + tg 600 – 2 cos 300

Ou, seja: 1 + + 2. 1/2 = 2 +

Q26. (UECE) Simplificando-se a expressão

, encontramos:

a) sen x b) cos x c) tg x d) sec x e) cossec x

Numerador:

+

=

=

Denominador:

.

=

Assim, temos:

:

=

= sec x Resp: d


238

Q27. (CESGRANRIO) Se cos x = 3/5 e –

, então tg x vale:

a) – 4/3 b) – 3/4 c) 5/3 d) 7/4 e) – 7/4

Observe, primeiramente que x 4º Q, portanto tg x é negativa

Agora, construa um retângulo:

5 É fácil encontrarmos o valor de m = 4

m Assim: tg x = - 4/3

x

3 Resp: a

Q28. Se x = 1000º, calcule o valor da expressão E =

-

Observe que: 2 – sen2 x = 1 + 1 – sen2 x = 1 + cos2 x

Logo: 1 + cos2 x – sen2 x = 1 – sen2 x + cos2 x = 2 cos2 x = 2

cos2x cos2 x cos2 x cos2 x

Q29. (FUVEST) Se tg x = 3/4, com , determine o valor de

y = cosx – senx

Observe, primeiramente que x 3º Q, portanto sen x e cos x são negativos.


m É fácil encontrarmos o valor de m = 5

3 Assim: sen x = - 3/5 e cos x = - 4/5

x

4

Assim, temos:cos x – sen x = - 4/5 – (- 3/5) = - 4/5 + 3/5 = - 1/5

Q30. (PUC – RJ) Sabe-se que é a medida em graus de um dos angulos de um

triangulo retangulo. Se sen =

, cos = k e a hipotenusa mede 20 cm,

determine sua área.

Lembrando que: sen2 x + cos2 x = 1 k2 + 2k + 1 + k2 = 1 5k2 + 2k – 3 = 0

4

Resolvendo a equação: k = -1 e k = 3/5

Então: cos α = 3/5 ou cos α = 12/20 hipotenusa = 20 e cateto adjacente = 12

E, é fácil concluir que o cateto opsto mede 16 (cat2 + cat2 = hip2)

Logo, a área do triângulo é: 12. 16 = 96

2


239

Q31. (UNIP) Se sen x = 1/3, então o valor de cos4 x - sen4 x, é:

a) 7/9 b) 6/9 c) 5/9 d) 1/5 e) 1/9

Fatorando-se a expressão cos4 x – sen4 x = (cos2 x + sen2 x) (cos2 x - sen2 x)

Então: cos4 x – sen4 x = cos2 x - sen2 x = 1 – sen2 x – sen2 x

Assim: cos4 x – sen4 x = 1 - 2 sen2 x = 1 - 2. 1/9 = 1 - 2/9 = 7/9 Rep: a

Q32. (UECE) As raízes da equação x2 + x + (k + 1) = 0 são sen e cos .

Determine k.

Se x’ e x” são as raízes, sabemos que:

(I) x’ + x” = -b/a ou x’ + x” = -1

(II) x’ x” = c/a ou x’ x” = k + 1

Deste modo:

sen α + cos α = -1 sen α = 0 e cos α = - 1 ou sen α = -1 e cos α = 0

Em qualquer um dos casos, temos: sen α cos α = 0

Portanto: k + 1 = 0 k = - 1

Q33. (ITA) Sabendo que cos = -3/7 e tg < 0, calcule o valor de E =


7 É fácil encontrarmos o valor de m = = 2

m Assim: tg = - 2

3

3

Assim: E = (4 ) : (1 – 40/9) E = 4 : (- 31)

3 3 9

Logo: E = - 12

31

Q34. (PUC – SP) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do 1º quadrante, calcule o

valor da expressão 25 sen2 x – 9 tg2 x.

Se cossec x = 5/4 sen x = 4/5



4 Assim: tg x = 4/3

x

m Assim: 25. 16/25 – 9. 16/9 = 16 – 16 = 0


240

Q35. (MACK) Se sen = 1/3, então o valor de sen (25 + ) - sen (88 - ) é:

a) 0 b) -1/3 c) 1/3 d) - /2e) e)2/3

sen

α

25 88 cos

25 + α 88 - α

Então: sen (25 + α) = - sen α e sen (88 – α) = - sen α

Logo: sen (25 + ) - sen (88 - ) = - sen α – (- sen α) = 0 Resp: a

Q36. (UFRS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de /12 rad, o

ponteiro maior percorre um arco de:

a) /6 rad b) /4 rad c) /3 rag d) /2 rad e) rad

Primeiramente, transforme /12 rad em graus: 1800/12 = 150

Mas:

O ponteiro pequeno: a cada 60 min percorre um arco de 300.

Assim, para percorrer 150 levará 30 min.

O ponteiro grande a cada 5 min percorre um arco de 300.

Assim, em 30 min percorrerá um arco de 6 x 300 = 1800 = rad Resp: e

Q37. (FGV – Adap.) Se x [0, ], quantas soluções tem a equação

cos2x – 2 sec2x = 1

a) 02 b) 01 c) 03 d) infinitas e) nenhuma

Lembrando que: sec x = 1/cos x, temos:cos 2x -

= 1.

Fazendo-se cos 2x = k, temos: k2 – 1 = k k2 – k – 1 = 0

Resolvendo a equação:

cos 2x =

(pois é maior que 1)

cos 2x =

que é um número negativo e maior que -1.

Assim, a equação possui 02 soluções, uma no 2º quadrante e outra no 3ºquadrante.

Como o problema definiu a condição x [0, ], apenas uma das soluções (2º quadr.)

satisfaz o problema

Resp: b


241

Q38. ( UFBA) Sendo sen (

- x) = 4/5 e x um arco do quarto quadrante, o valor de

Lembre-se que: sen (

- x) = cos x

Então: cos x = 4/5


m Assim: sen x = - 3/5 (4º Q)

x

4

0

No exercício: cos (x - ) = cosx cos + senx sen = - cos x (cos = -1)

sen ( + x) = sen cosx + senx cos = - sen x

Portanto:

=

= 4/5 .(- 5/3) = - 4/3

Q39. (UFC) Se S é a soma das raízes da quação sen2x + senx = 0, para x [0,

2 ], calcule o valor de

.

Lembre-se: sen2x = 2senxcosx

Então: 2senxcosx + senx = 0 senx (2cosx + 1) = 0

Assim:

senx = 0 x = 0 ou x = 1800

2 cosx + 1 = 0 cosx = -1/2 x = 1200 ou x = 2400

Logo: S = 00 + 1800 + 1200 + 2400 S = 5400

Assim:

=

= 15

Q40. (FUVEST) Calcule o valor da expressão (sen22º30’ + cos22º30’)2

Elevando-se ao quadrado, temos: sen2 22030’ + 2 sen22030’ cos22030’ + cos222030’

Assim, ficaremos com: 1 + sen (2. 22030’) = 1 + sen450 = 1 +

=


242

Q41. (Unicamp) Ache os valores de x, com [0, 2 ], tais que:

2 cos2x + 5 senx – 4 0

Temos: 2 (1 – sen2 x) + 5 sen x – 4 ≥ 0 2 - 2 sen2 x - 5 sen x - 4 ≥ 0

Ou, seja: 2 sen2x + 5 senx + 2 ≤ 0

As raízes desta equação são:1/2 e 1

+ - +

Assim, temos: --------------o o----------------

1/2 1

Portanto:1/2 ≤ sen x ≤ 1

1

1500 1/2 300

Assim: 300 ≤ x ≤ 1500 ou S = {/6 ≤ x ≤ 5/6}

Q42. (UFC) Resolva a inequação 2 cos2 x + 3 cos x + 1 > 0, com x [0, 2 ]

Fazendo-se: cos x = k, temos: 2 k2 + 3 k + 1 > 0

As raízes dessa equação são: - 1 e – 1/2

+ - +

Portanto: o o

-1 - 1/2

Assim, temos: cos x < -1 ou cos x > - 1/2

120o

-1/2

2400

Logo: S = {0 < x < 2/3 ou 4/3 < x < 2}


243

Q43. (FEI - SP) Resolva a inequação senx + sen2x – cos2x > 0, com x [0, 2 ]

Temos: senx + sen2x – (1 – sen2x) > 0

Ou: 2 sen2x + senx – 1> 0

As raízes da equação são: senx = -1 e senx = 1/2

+ - +

Assim: o o

-1 1/2

Ou, seja: senx < -1 ou senx > 1/2

1500 300

Logo: S = {/6 < x < 5/6}

Q44. (ITA) Resolva a equação senx + cosx = , no intervalo [0, 2 ]

Podemos escrever: cosx = - senx cosx = (1 – senx)

Substituindo-se esse valor na fórmula fundamental (sen2x + cos2x = 1), temos:

sen2x + 3 (1 – 2 senx + sen2x) = 1 4 sen2x – 6 senx + 2 = 0

Ou, ainda: 2 sen2x – 3 senx + 1 = 0

As raízes dessa equação são: senx = 1 e senx = 1/2

Para senx = 1 cosx = 0 x = /2

Para senx =1/2 cosx = /2 x = /6

Portanto: S = {/6, /2}

Q45. (MAUÁ – SP) Dados sen x = 3/5, com x no 2ºQ, calcule o valor da

expressão: A = 25 sen2x + sen (x/2)

Primeiramente, pelo triângulo retângulo, é fácil concluir que cos x = - 4/5 (2º Q)

Agora, de cos 2a = 1 – 2 sen2 a, fazendo-se 2a = x, temos: cos x = 1 – 2 sen2 (x/2)

Então: 2 sen2 (x/2) = 1 – (-4/5) sen2 (x/2) = 9/10

Logo: sen (x/2) = 3 /10 ou sen (x/2) = - 3 /10 (x no 2º Q)

Deste modo: A = 25. 2 senx cosx + . 3 /10

A = 25. 2. (3/5). (-4/5) + 3 A = -24 + 3 A = - 21


244

Q46. (FUVEST) Resolva a equação cosx sen2x = senx (1 + cos2x)

Veja: cosx. 2 senx cosx = senx + senx cos2x

Então: 2 senx cos2x = senx + senx (1 – 2 sen2x)

Ou, ainda: 2 senx (1 – sen2x) = senx + senx – 2 sen3x

E, finalmente: 2 senx – 2 sen3x = 2 senx – 2 sen3x (IDENTIDADE)

Logo, qualquer valor real de x satisfa a equação. S =

Q47. (Uberlândia - Adap) Calcule cos73ºcos17º - sen73ºsen17º

Lembre-se da fórmula: cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b

Assim, temos: a = 730 e b = 170 a + b = 900

Logo: cos73ºcos17º - sen73ºsen17º = cos (730 + 170) = cos 900 = 0

Q48. (PUC – SP) Se cos (A + B) = 0, o valor de sen (A + 2B) é igual a:

a) cos A b) cos B c) sen A d) sen B e) 0

Primeiramente, veja: cos (A + B) = 0 A + B = 900 ou A + B = 2700

Para A + B = 900 sen (A + B) = 1 (I)

Para A + B = 2700 sen (A + B) = - 1 (II) 0

A expressão sen (A + 2B) = sen [(A + B) + B] = sen (A + B) cos B + sen B cos (A + B)

Para A + B = 900 (I): sen (A + 2B) = cos B = sen A (pois A + B = 900)

Para A + B = 2700 (Ii): sen (A + 2B) = - cos B = sen A (pois A + B = 2700)

Resp: c

Q49. (UFAM) Calcule o valor de E =

Lembrando das fórmulas de adição, fica fácil.

E =

=

= 1

Q50. (UFPE) Sabendo que x – y = rad, calcule o valor da expressão

A = (senx + seny)2 + (cosx + cosy)2

Efetuando-se: A = sen2x + 2 senx seny + sen2y + cos2x + 2 cosx cosy + cos2y

Ou: A = 2 + 2 (cosx cos y + senx seny)

Então: A = 2 + 2 cos (x – y) A = 2 + 2 cos 600 A = 2 + 2. 1/2

Assim: A = 2 + 1 A = 3


245

Q51. (FUVEST) Se tg = 2, calcule o valor de M =

Lembre-se: tg 2α =

Assim: tg 2 =

tg 2 = -4/3 (2 no 2º Q ou no 4ºQ)

m = 5

3

2

4

Para 2 no 2º Q, temos: sen2 = 3/5 e cos 2 = -4/5

Assim: M =

M = (-4/5) (5/8) M = -1/2

Para 2 no 4º Q, temos: sen2 = -3/5 e cos 2 = 4/5

Assim: M =

M = (4/5) (5/2) M = 2

Q52. (UFMG) Se é um número do intervalo [0, 2 ], tal que tg 2 = 4/3, determine

cos

Temos:

= 4/3 4 – 4 tg2 α = 6 tg α

Ou: 2 tg2 α + 3 tg α – 2 = 0 tg α = 2 ou tg α = 1/2

Para tg α = 2

2 m =

α cos α = /5

1

Para tg α = 1/2

1 m =

α cos α = 2 /5

2


246

Q53. ((MACK) O valor da expressão y = 1 + tg 16º + tg 16º tg 61º é:

a) tg 45º b) tg 16º c) tg 61º d) tg 77º e) tg 32º

Note que: tg 610 = tg (450 + 160) tg 610 =

(tg 450 = 1)

Então: tg 610 (1 – tg160) = 1 + tg160

Ou, seja: tg 610 – tg 610 tg 160 = 1 + tg 160

E, podemos escrever: tg 610 tg 160 = tg 610 – tg 160 – 1

Assim: y = 1 + tg 160 + tg 610 – tg 160 – 1

Logo: y = tg 610 Resp: c

Q54. (PUC – SP) Calcule o valor de tg 22,5º

Veja: 22,50 = 450/2

Então, se α = 22,50 2α = 450

Em tg 2α =

tg 450 =

Fazendo m = tg 22,50

Temos:

= 1 1 – m2 = 2m m2 + 2m – 1 = 0

Logo: m = -2 + 2 m = – 1 tg 22,5º = – 1

2

Q55. (UERGS) O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de

cada um: mais baixo no período da colheita, mais alto na entresafra. Suponha

que o preço P, em rais, do quilograma de tomates seja dado pela função

P(t) = 0,8 . sen

+ 2,7, na qual t é o número de dias.

a) Qual o menor preço e qual o maior preço do quilograma de tomates?

b) os valores de t para os quais o preço P seja igual a R$ 3,10?

a)

Teremos o menor preço para sen = -1 P(t) = 0,8. (-1) + 2,7 P(t) = R$ 1,90

Teremos o maior preço para sen = 1 P(t) = 0,8. (1) + 2,7 P(t) = R$ 3,50

b)

Temos: 0,8 . sen

+ 2,7 = 3,10 0,8 . sen

= 0,4

Ou: sem

= 1/2

Portanto: t – 101 = 30 t = 131 dias ou t – 101 = 150 t = 251 dias


247

Q56. (FUVEST) Se cos (x/2) = 3/4, calcule o valor de cos x.

Da fórmula: cos 2a = cos2 a – sen2 a, escrevemos: cos 2a = 2 cos2 a – 1

Fazendo-se: x/2 = a x = 2a

Então: cos a = 3/4 cos 2a = 2 cos2 a – 1

Logo: cos x = 2 (3/4)2 – 1 cos x = 9/8 – 1 = 1/8

Q57. (UFC) Calcule o valor numérico da expressão y = 8 sen ( ) cos(

)

Faça: y = 4. 2. sen (13/12) cos (11/12)

Da fórmula: sen p + sen q = 2 sen (

) cos (

)

Logo: p + q = 13 /6 e p – q = 11 /6 p = 2 e q = /6

Então, teremos: y = 4 ( sen 2 + sen /6)

Assim y = 4( 0 + 1/ ) y = 2

Q58. (Fuvest – Adap) Sendo x um arco do 1º quadrante, determine o valor de tg x

sabendo que: log3 (1 – cos x) + log3 (1 + cos x) = -2

Temos: log3 [(1 – cos x) (1 + cos x)] = -2

Ou, seja: log3 (1 – cos2x) = -2 log3 sen2x = -2 sen2x = 3 -2

Portanto: sen2 x = 1/9 sen x = 1/3 (x no 1º Q)

1 3

x

m

Sendo fácil calcular m = 2

Assim: tg x =

tg x =

Q59. (FAAP) Resolva a equação sen3 x cos x + sen x cos3 x = 1/4.

Fatorando-se: sen x cos x (sen2 x + cos2 x) = 1/4

Então: 4 sen x cos x = 1 ou 2. 2 sen x cos x = 1

Logo: 2 sen 2x = 1 sen 2x = 1/2 2x = 300 ou 2x = 1500

Assim: x = 150 ou x = 750

S { x ; x = /12 + 2k ou x = 5/12 + 2k}


248

Q60. (PUC – RJ) Se tg 3x = 2, calcule tg 6x

Lembrando-se da fórmula: tg 2a = 2 tg a

1 – tg2 a

Temos: tg 6x = 2. 2 tg 6x = - 3/4

1 - 4

Q61. Resolva a inequação tg x <

, para x [0, 2 ]

Analisando-se graficamente, temos: Eixo tg x 90

/3 30 210

270

Assi: S = { x ; 0 ≤ x < /6 ou /2 < x < 7/6 ou 3/2 < x < 2}

Q62. (UNESP) Seja a expressão f(x) = sen (2x) – cotg (x), considerando o

conjunto dos reais.

a) Em encontre o valor de f(x) para x =

b) Resolva a equação f(x) = 0, para x [0, 2 ]

a) f (5/3 ) = sen (10/3 ) – cotg (5/3 )

Então: f (5/3 ) = sen 6000 – cotg 3000

Logo: f (5/3 ) = sen 2400 – 1 / tg 3000

Assim: f (5/3 ) = - /2 – ( - /3) f (5/3 ) = 5 /6

b) 2 sen x cos x = cos x 2 sen2x cosx – cosx = 0 cos x (2 sen2 x – 1) = 0

sen x

E, temos: cos x = 0 ou sen2 x =1/2 sen x = /2 ou sen x = - /2

Então: para cos x = 0 x = 900 ou x = 2700

E, para sen x = /2 x = 450 ou x = 1350 ou x = 2250 ou x = 3150

S = {/4, /2, 3/4, 5/4, 3/2, 7/4}


249

Q63. (FUVEST) Resolver a inequação cos2x > cosx, no intervalo [0, ]

Veja: cos2 x – cos x > 0

Então: cos x ( cos x – 1) > 0 cox = 0 ou cos x – 1 = 0 cos x = /2

0-------------0

+ 0 - /2 +

90

45

180 0 /2 0 cos

315

270

Logo: S = {x ; 0 ≤ x ≤ /4 ou /2 ≤ x ≤ }

Q64. (FUVEST) Um arco de circunferência mede 3000 e seu comprimento é 2 km.

Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros?

Lembre-se:

α k α = k/r (α em radianos)

r

No problema: α = 3000 α = 5/3 rad k = 2000 m

Assim: 5 = 2000 r = 1200/

3 r

Adotando – se = 3,14, temos r = 1200 / 3,14 r = 382,1

Assim, o número inteiro mais próximo é r = 382 m

Q65. (CESCEM) Considere a equação senx + sen2x = 2. Então:

a) Existem soluções, todas irracionais

b) Existem soluções, todas racionais

c) x = /2 + 2k ou x = /4 + k, k

d) Não exite x que satisfaça a equação

Lembre-se que o maior valor fa função f(x) = senx é 1

Assim, a equação só teria solução se houvesse x, tal que senx = sen2x = 1

Como não exite este valor, a solução é impossível Resp: d


250

Q66. (PUC – Campinas) Na função y = - 3 + sen (x - /4) o período e a imagem

são, respectivamente:

a) /5 e [2,4] b) 2 e [-4,-2] c) 2 e [-1,1] d) 9/4 e [-1,1]

Na função f(x) = A + sen (Bx + C), o coeficiente que altera o período é B

Como, no problema B = 1, o período não se altera e é 2

Quanto a imagem, sabemos que: -1 ≤ senx ≤ 1

Podemos escrever: - 3 - 1≤ - 3 + senx ≤ - 3 + 1

Assim, temos: -4 ≤ y ≤ - 2 e Im: [-4,-2] Resp: b

Q67. (UFC) Sejam A = cos4x + sen4x – 6 sen2xcos2x; B = cos2x – sen2x e

C = 2 cos 4x. Então, para todo x real, temos:

(01) A – B = C

(02) A + B + C = 4 cos 4x

(04) A + B = cos 4x

(08) 2B = C

(16) C – A = B

Observe que: A = cos4x – 2 sen2xcos2x + cos4x – 4 sen2xcos2x

Assi/m A = (cos2x – sen2x)2 – (2 senxcosx)2 A = cos22x – sen22x A = cos4x

Da mesma forma: B = cos4x e C = 2 cos4x

Assim, são verdadeiras: 02 + 08 + 16 = 26 Resp: 26

Q68. (FAAP) Determine, no 1º quadrante, a solução de /2 senx + 1/2 cosx =

/2

Note que: cos300 = /2 e sen300 =1/2

Assim, podemos escrever: senx cos30 + sen30 cosx = sen (x + 30) = /2

Deste modo, temos: x + 300 = 600 ou x + 300 = 1200

Então: x = 300 ou x = 900 Resp: /6 rad

Q69. (CESCEA – SP) Transforme em produto y = sen700 + cos300

Inicialmente, faremos: y = sen70 + sen60

Então: p = 700 e q = 600

= 650 e

= 50

Desta forma:y = sen70 + cos30 y = 2 sen650 cos50


251

Q70. (UFC) Seja S a soma, em radianos, das raízes da equação:

1 + cosx + cos2x + cos3x = 0, x [0,]. Calcule 6S/

Lembre-se que cos00 = 1

Assim, podemos escrever: cos3x + cosx + cos2x + cos00

Usando a fórmula da transformação em produto:

2 cos2x cosx + 2 cosxcosx = 0 2 cosx (cos2x + cosx) = 0

Logo: cosx = 0 x = /2 ou

cos2x + cosx = 0 2cos2x – 1 + cosx = 0

Ou, ainda: 2 cos2x + cosx – 1 = 0 cosx = -1 ou cosx = 1/2

Para cosx = -1 x =

Para cosx = 1/2 v = /3 ou x = 5/3

Então: S = /2 + + /3 S = 11 / 6

Logo o valor de 6S/ = 11

Q71. (MACK) Calcule o valor de M = tg [2 arc sen /2]

Veja: A = arc sen /2 sen A = /2 (A no 1º Q) A = 600

Então: M = tg (2. 600) M = tg 1200 M = -

Q72. (UFC) Se y = tg (arc sen 3/5 + arc cos 4/5), encontre o valor de 6 + 14y

A = arc sen 3/5 senA = 3/5 (A no 1ºQ) cosA = 4/5 e tgA = ¾

B = arc cos 4/5 cos B = 4/5 (B no 1ºQ) senB = 3/5 e tgB = 3/4

Assim: tg (A + B) = tgA + tgB tg (A + B) = 3/4 + 3/4 = 3/2 = 24/7

1 – tgA tgB 1 – 9/16 7/16

Logo: 6 + 14. 24/7 = 6 + 48 = 54

Q73. (UFC) Sabendo-se que cos2x = 1/8, determine op valor de 88

Lembre-se que: cos2x = 2 cos2x – 1 2 cos2x = 1/8 + 1

Então: cos2x = 9/16 e = 3/4

Desta forma: 88. 3/4 = 66


252

Q74. (FGV) Resolva a equação cos2x – 2 sec2x = 1, com 0 < x <

Fazendo-se m = cos2x, temos a equação: m + 1/ m – 1 = 0 ou m2 – m – 2 = 0

As raízes dessa equação são: m = -1 e m = 2

Mas: cos2x = -1 (impossível) e cos2x = 2 (impossível)

Assim, a equação não tem solução

Q75. (UECE) Se E = sen150 + cos150 , calcule o valor de 8. E2

Veja: E2 = (sen15 + cos15)2 E2 = sen215 + 2sen15cos15 + cos215

Então: : E2 = 1 + sen300 E2 = 1 + 1/2 = 3/2

Dessa forma: 8. 3/2 = 12

Q76. Determine o valor de sen3x, em função de senx.

Veja: sen3x = sen (2x + x) = sen2x cosx + senx cos2x

Então: sen3x = 2senx cosx cosx + senx (1 – 2 sen2x)

Assim: sen3x = 2 senx cos2x + senx – 2 sen3x

E, escrevemos: sen3x = 2 senx (1 – sen2x) + senx – 2 sen3x

E, finalmente: sen3x = 3 senx – 4 sen3x

Q77. (UFC) Seja R a raiz positiva da equação x2 + x –3/4 = 0.

Se R =

onde 0 < A < 900. Calcule o valor de A

Inicialmente, resolva a equação x2 + x – 3/4 = 0 ou 4x2 + 4x – 3 = 0

Suas raízes são: x = -3/2 e x = 1/2 R = 1/2

Calculando o determinante: senA cos11 – sen11 cosA = sen (A – 110)

Assim: sen (A – 110) = 1/2 A – 110 = 300 A = 410

Q78. (MACK) A função f(x) =

tem período e imagem,

respectivamente:

a) 2 e [-1,1] b) /2 e [-4,4] c) /4 e [-1,1] d) /2 e [-2,2] e) /4 e [-4,4]

Resolvendo o determinante (Sarrus), encontramos: f(x) = - 8 sen2x cos2x

Ou: f(x) = - 4. 2 sen2x cos2x f(x) = - 4 sen4x

Assim a imagem é o intervalo [-4,4] e o período é dado por p = 2/4 p = /2

Resp: b


253

senA cosA 0 1

Q79. (FUVEST) A matriz senA cosA 0 0

senA 1 0 0

0 0 1 0

É inversível, se e somente se:

a) A ≠ n, n Z b) A ≠ 2n, n Z c) A ≠ /2 + n, n Z

d) A Z

Resolvendo o sistema por La Place ((4ª coluna), encontramos:

Det = (-1)

= senA cosA – senA

Sabemos que uma matriz é inversível se seu det for diferente de zero.

Assim: senA cosA – senA ≠ 0 senA (1 – cosA) ≠ 0

Ou, seja: senA ≠ 0 e cosA ≠ 1 A ≠ 0 + 2n Resp: b

Q80. (UFC) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa a e o cateto b satisfazem a

relação log2 a + log2 b ≥ 6. Se o seno do ângulo oposto ao cateto b é igual a /2,

determine o valor mínimo que a área do triângulo pode assumir.

B

Seja o ret em A

c a

A b C

Temos: senB = /2 B = 600 e C = 300

A área do é dada por: S = a b sen C S = a b/4 (sen C = sen 300 = 1/2)

2

Mas: log2 a + log2 b ≥ 6 log2 ab ≥ 6 ab ≥ 64

Como o problema pede a área mínima, então S = 64

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Parte 7 Trigonometria