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Prof.ª Dr.ª Donizete Ritter

MÓDULO III – PARTE I:

Conjuntos e Diagramas Lógicos

Bacharelado em Sistemas de Informação

Disciplina: Lógica

Teoria de Conjuntos

Conceitos Primitivos (não-definidos):

A idéia de conjunto é a mesma de coleção.

Conjuntos

Elementos

1. Tabular

Representação de um Conjunto

forma de tabela

entre chaves { } e separados por vírgula.

A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}

É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... .

2. Diagramas de Venn

Representação de um Conjunto

Elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples.

A B

• 1

• 2

• 3

• 4

• a

• e

• i

• o

• u

Representação de um Conjunto

Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por:

A = {x | x tem a propriedade p}.

Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.

3. Propriedade

Exemplo:

B = {x | x é número natural par}

o conjunto B é formado por todos os números naturais pares

Representação através de uma propriedade

Relação de Pertinência

A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}

u é elemento do conjunto A e

não é elemento do conjunto B.

u A (lê-se “u pertence a A”) e

u B (lê-se “u não pertence a B”)

Relação de Pertinência

De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, só se pode usar os símbolos:

(pertence) e (não pertence)

Tipos de Conjuntos

Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.

Exemplos:

(a)C = {5}

(b) B = { x | x é estrela do sistema solar}

1. Conjunto unitário

Tipos de Conjuntos

Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por ou { }.

Exemplos:

D = {x | x é número e x . 0 = 5} =

E = {x | x é computador sem memória} = { }

2. Conjunto vazio

Tipos de Conjuntos

Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de seus elementos.

Exemplos:

B = {1, 2, 3, 4}

D = {x | x é brasileiro}

H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}

3. Conjunto finito

Tipos de Conjuntos

Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da contagem.

Exemplos:

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

A = { x N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}

4. Conjunto infinito

Conjuntos Iguais• Dois ou mais conjuntos são iguais quando

possuem os mesmos elementos.

temos A = B.

os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos.

• Se A não é igual a B, escrevemos A B (lê-se “A é diferente de B”).

A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e}

B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a},

Conjunto Universo

Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.

Conjunto Universo

Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado.

Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais: conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.

Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares: conjunto solução S = {0, 2, 4}.

Subconjunto

Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.

Notação: A B (lê-se “A está contido em B”), ou ainda, por B A (lê-se “B contém A”).

A B x (x A → x B)

SubconjuntosConjunto B, formado por todos os brasileiros.

Com os elementos de B podemos formar

o conjunto A, dos homens brasileiros,

e

o conjunto C, das mulheres brasileiras.

Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B.

Subconjuntos

{2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9}

{6, 9, 6, 5} {9, 6}

{2, 8} {2, 8}

Pertinência e Inclusão

1 – A relação de inclusão () é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B: B A.

2 – A relação de pertinência () é usada

exclusivamente para relacionar um elemento x

com um conjunto A que possui x como

elemento: x A.

1. Conjunto contido em outro conjunto

Tipos de Relações entre conjuntos

O conjunto B está contido no conjunto A completamente. E não podemos dizer o mesmo da situação inversa.

Exemplos:

a) Toda televisão é um eletrodoméstico, mas nem todo eletrodoméstico é uma televisão.

b) O cigarro é uma droga, mas nem toda droga é cigarro.

c) Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural.

(A B) (B A)

A

B

2. Conjuntos que possuem uma parte dos elementos em comum

Tipos de Relações entre conjuntos

Os conjuntos A e B possuem alguns e somente alguns elementos em comum. Podemos dizer que “algum” elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa.

Exemplo: Motocicletas e automóveis possuem vários elementos em comum. (como as rodas por exemplo).

(A B) ≠ A B

3. Conjuntos que não possuem elementos em comum

Tipos de Relações entre conjuntos

Os conjuntos A e B não possuem nenhum elemento em comum. Podemos dizer que nenhum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa.

Exemplo: O conjunto dos números pares não tem elementos em comum com o conjunto dos números ímpares.

(A B) =

A B

Interseção entre dois conjuntos

Problemas que podem ser resolvidos com diagramas lógicos

Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente:

• 17% têm casa própria;

• 22% têm automóvel;

• 8% têm casa própria e automóvel.

Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

a) 31% b) 69% c)23%

d) 13% e) 25%

CarroCasa própria

8%9% 14%

69%

Interseção entre três conjuntos

Problemas que podem ser resolvidos com diagramas lógicos

Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre,

• 20 alunos praticam vôlei e basquete;

• 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete;

• 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei;

• O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei;

• 17 alunos praticam futebol e vôlei;

• 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:

a)93 b)110 c)103 d)99 e)114

FutebolBasquete

Vôlei

15

5 2

3015 13

13

6

Propriedades

1 – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: A, A

Exemplos:

{1, 2, 3}

2 – Todo conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subconjunto de si mesmo:

A A, A

Não é Subconjunto

Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se:

A B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B A ( lê-se “B não contém A”)

Exemplo:

(a) {a, b, c} {a, b, d}

Conjuntos cujos elementos são conjuntos

Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos:

P = {, {a}, {b}, {a, b}}

Nesse caso, é elemento de P e, portanto, escrevemos

P e não P.

{a} P,

{b} P,

{a, b} P.

Alguns subconjuntos de P:

{} P; {{a}} P; {{a, b}} P; {{a}, {b}} P.

Conjunto das Partes de um Conjunto

Conjunto A = {1, 2}. Escrevendo os subconjuntos de A:

com nenhum elemento:

com um elemento: {1}, {2}

com dois elementos: {1,2}

Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, P(A), ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.

P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.

Conjunto das Partes de um Conjunto

Conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):

P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}

Número de Elementos de P(A)

• A = {1, 2}. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.

P(A) tem 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos.

• B = {m, n, p}, P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}

P(B) tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos.

• Se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n.