Universidade Federal do Paraná Engenharia Mecânica Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Guilherme Augusto Pianezzer Segunda Prova

Instruções 1. A prova é composta de 5 questões.

2. A interpretação das questões é parte do processo de avaliação.

3. As respostas e o desenvolvimento devem ser bem argumentados.

4. A duração da prova é de 2 horas.

5. As questões não precisam ser respondidas na ordem.

Questões Questão 1. (20 pontos) O comprimento

de um lado de um triângulo está

aumentando a uma taxa de , o

comprimento de um outro lado está

diminuindo a uma taxa de e o

ângulo entre eles está aumentando a

uma taxa de Quão

rapidamente está variando a área do

triângulo quando

Questão 2. A temperatura em um ponto

é dada por

Onde T é medido em °C e em

metros.

(10 pontos)Determine a taxa de variação

da temperatura no ponto em

direção ao ponto

(5 pontos) Qual é a direção e sentido de

maior crescimento da temperatura em P?

(5 pontos)Encontre a taxa máxima de

crescimento em P.

Questão 3. Um prédio retangular está

sendo projetado para minimizar a perda de

calor. As paredes leste e oeste perdem

calor a uma taxa de por

dia, as paredes norte e sul, a uma taxa de

por dia, o piso, a uma taxa

de por dia e o teto, a uma

taxa de por dia. Cada

parede deve ter pelo menos de

comprimento, a altura deve ser no mínimo

, e o volume, exatamente

(5 pontos) Determine e esboçe o domínio

da perda de calor como uma função dos

comprimentos dos lados.

(10 pontos) Encontre as dimensões que

minimizam a perda de calor.

(5 pontos) Você poderia poderia projetar

um prédio com precisamente menos perda

de calor ainda se as restrições sobre os

comprimentos das paredes fossem

removidas?

Questão 4. (20 pontos) Determine o

volume do sólido situado abaixo da

superfície e acima do triângulo do

plano com vértices e

Questão 5. (20 pontos) Calcule a seguinte

integral, convertendo-a antes para

coordenadas polares.

∫

∫

√