UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁSESCOLA DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE

COMPUTAÇÃO

CÁLCULO 1 – SÉRIE DE TAYLOR

ANDRÉ CAMPOS RODOVALHO - 064896

GOIÂNIAJUNHO - 2009

Série de Taylor

Também conhecido por Polinômio de Taylor, trata-se de uma série infinita de uma função, a qual o valor dessa função pode ser calculado algebricamente por uma soma infinitamente aproximada (ou exata, dependendo do valor e do tamanho da série).

Definição:Polinômio de Taylor de Ordem n

Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio:

.)(!

)(...)(

!

)(...)(

!2

)´´())(´()()(

)()(2 n

nk

k

n axn

afax

k

afax

afaxafafxP −++−++−+−+=

Série de Taylor

Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em x = a é:

...)(!

)(...)(

!2

)´´())(´()()(

!

)( )(2

0

)(

+−++−+−+=−∑∞

=

nn

k

k

k

axn

afax

afaxafafax

k

af

Simplificadamente este polinômio tem a seguinte forma:

A constante a é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (Colin Maclaurin).

Resto de um Polinômio de Taylor

Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por:

)()()( xRxPxf nn +=

O valor absoluto )()()( xPxfxR nn −= é chamado de erro associado à aproximação.

Teorema de Taylor

Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que:

),()(!

)(...)(

!2

)´´())(´()()( )(

)(2 xRax

n

afax

afaxafafxf n

nn

+−++−+−+=

Onde:

.)()1(

)()( 1

)1(+

+

−+

= nn

n axn

cfxR

Teorema da Estimativa do Resto

Se existirem constantes positivas M e r tais que 1)1( )( ++ ≤ nn Mrtf para todo tentre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade:

.)!1(

)(11

+−

≤++

n

axrMxR

nn

n

Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convirja para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

cuja série de Taylor é:

Série de Taylor para as funções mais comuns

Onde: Bs são números de Bernoulli.