Sistemas Lineares

Equao linear

Equao linear toda equao da forma:a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1

em que a11, a12, a13, ... , a1n so nmeros reais, que recebem o nome de coeficientes das incgnitas; x1, x2,x3, ... , xn, so as incgnitas; e b1 um nmero real chamado termo independente (quando b=0, a equao recebe o nome de linear homognea).

Soluo de uma equao linear

Uma sequncia de nmeros reais (r1,r2,r3,...,rn) soluo da equao lineara11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1

se trocarmos cada xi por ri na equao e este fato implicar que o membro da esquerda identicamente igual ao membro da direita, isto :a11r1 + a12r2+ a13r3 + ... + a1nrn = b1

Um conjunto de equaes lineares da forma:

um sistema linear de m equaes e n incgnitas.A soluo de um sistema linear a n-upla de nmeros reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que , simultaneamente, soluo de todas as equaes do sistema.

Sistema linear

Matrizes associadas a um sistema linear

matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incgnitas do sistema

matriz completa: matriz B que se obtm acrescentando matriz incompleta uma ltima coluna formada pelos termos independentes das equaes do sistema.

Matrizes associadas a um sistema linear

Classificao de um sistema quanto ao nmero de solues

SPD: sistema possvel e determinado(soluo nica)SPI: sistema possvel e indeterminado (infinitas solues)SI: sistema impossvel (no tem soluo)

Sistema normalUm sistema normal quando tem o mesmo nmero de equaes (m) e de incgnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema diferente de zero.

Se m = n e det A 0, ento o sistema normal.

Todo sistema normal tem uma nica soluo dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi o determinante obtido pela substituio, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Regra de Cramer

Exemplo: Resolver o sistema de equaoes aplicando a regra de Cramer

Regra de Cramer

Discusso de um sistema linearSe um sistema linear tem n equaes e n incgnitas, ele pode ser:SPDSPISI

Discusso de um sistema lineara) possvel e determinado, se D = det A 0; caso em que a soluo nica.

b) possvel e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n = 2.

Se n 3, essa condio s ser vlida se no houver equaes com coeficientes das incgnitas respectivamente proporcionais e termos independentes no-proporcionais.Um sistema possvel e indeterminado apresenta infinitas solues.Discusso de um sistema linear

Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0

Assim, o sistema possvel e indeterminado, tendo infinitas solues. Discusso de um sistema linear

c) impossvel, se D= 0 e existe Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema no tem soluo.

Como D= 0 e Dx 0, o sistema impossvel e no apresenta soluo Discusso de um sistema linear

Referncias Bibliogrficashttp://www.somatematica.com.brhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistemas.htm

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