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INSTITUTO FEDERAL DE GOIAS, FEVEREIRO 2015 1
Analise dos Pontos deEquilibrio e Sensibilidade de SistemasJoao Carlos Almeida, Engenharia de Controle e Automacao
Resumo—Este relatorio tem como objetivo o estudo de sistemas nao lineares, analisar os pontos de equilıbrio utilizando
metodo de Quase-Newton e tambem estudar as sensibilidade das variaveis envolvidas no sistema.
Keywords—sistemas, quase-newton, sensibilidade, analise.
F
1 Introducao
O s sistemas nao lineares esta presente emtodos os lugares, a determinacao de um
ponto de equilıbrio de um sistema e essencial paradefinicao de sua area de estabilidade. Isso ocorrequando conhecemos a equacao que define o sis-tema para conseguirmos fazer mudancas e verifi-car as variaveis que podem ser denominadas comoconstantes. Neste trabalho estudaremos algumasequacoes dadas e sera analisado as mudancas emsuas variaveis.
2 Metodologia
Para o experimento em questao sera utilizado osoftware matematico MATLAB R© e tambem comauxilio do script utilizando metodo fminsearchque e uma ferramenta para determinar o ponto deequilıbrio de um dado sistema atraves de um chuteinicial. Tambem sera analisado as mais diferentesvariacoes nas variaveis do sistema, verificando suainterferencia no todo.
3 Pontos de Equilibrio
3.1 Sistema 1{u1 = u2
u2 = − gLsin(u1) − k
mu1
• Joao Carlos, Engenharia de Controle e Automacao, Insti-tuto Federal de Goias, Goiania, Goias.E-mail: [email protected]
Tabela 1: Dados Inseridos e Obtidos 1o Equacao
Simu. X Y Valor PE X PE Y1 pi 12 0.00773 6,1779 0.0000042 2*pi 5 0.00763 6,1779 0.00000073 9 5 0.00780 6,1779 -0.00000234 33 1 0.00682 3,0863 -0.0000005
6.1779 6.1779 6.1779 6.1779−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4x 10
−5Relação entre as variaveis
x1
x2
0 10 20 30−1
0
1
2
3
4
5
6
7Saida do sistema
Tempo [s]
Res
post
a do
sis
tem
a
Figura 1: Pontos de Equilıbrio Obtidos 1o Equa-cao3.2 Sistema 2{u2 = µu1 + u2 − u33u2 = −u1
Tabela 2: Dados Inseridos e Obtidos 2o Equacao
Simu. X Y Valor PE X PE Y1 6 8 1,79773E+11 -0.1241 0.04747232 44 1 2,19704E+11 0.0612 -0.15016173 4*pi 33 97761545669 0.7388 -0.00773044 56 100 1,53526E+11 0.1131 0.0123578
INSTITUTO FEDERAL DE GOIAS, FEVEREIRO 2015 2
−5 0 5 10
x 10−7
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6x 10
−7Relação entre as variaveis
x1
x2
0 10 20 30−6
−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−7 Saida do sistema
Tempo [s]
Res
post
a do
sis
tem
a
Figura 2: Pontos de Equilıbrio Obtidos 2o Equa-cao
3.3 Sistema 5{Y1 = −0.1Y2Y2 = −0.064Y1
Tabela 3: Dados Inseridos e Obtidos 5o Equacao
Simu X Y Valor PE X PE Y1 11 4 2,57075E+11 0.1535 0.12531012 pi 2 1,67575E+11 0.9437 0.63146913 22 1 1,05551E+11 -0.5366 -0.47199934 2 45 2,33215E+11 0.1335 0.0908497
−1 −0.5 0 0.5 1
x 10−6
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7x 10
−7Relação entre as variaveis
x1
x2
0 10 20 30−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−7 Saida do sistema
Tempo [s]
Res
post
a do
sis
tem
a
Figura 3: Pontos de Equilıbrio Obtidos 5o Equa-cao
3.4 Sistema 6{ξ1 = ξ1+e−ξ2ξ2 = −ξ2
Tabela 4: Dados Inseridos e Obtidos 6o Equacao
Simu X Y Valor PE X PE Y1 13 2*pi 1,22834E+18 -0.0877 11.372 1 0 1.3004477 -0.9956 0.00863 55 pi 6.735729e+02 -0.1682 5.904 0 4*pi 5.350701e+03 -0.0189 52.5
−1 −0.5 0−10
0
10
20
30
40
50
60Relação entre as variaveis
x1
x2
0 10 20 30−10
0
10
20
30
40
50
60Saida do sistema
Tempo [s]R
espo
sta
do s
iste
ma
Figura 4: Pontos de Equilıbrio Obtidos 6o Equa-cao
4 Analise de Sensibilidade
4.1 Sistema 1{u1 = u2
u2 = − gLsin(u1) − k
mu1
Tabela 5: Dados Inseridos e Obtidos 1o Equacao
Simu. Valor X1 X21 1.514692729951758e+03 11 32 2.420817501936941e+04 77 33 6.722529106209190e+03 5 114 5.763283749088348e+04 5 995 1.416716856903018e+03 5 3
INSTITUTO FEDERAL DE GOIAS, FEVEREIRO 2015 3
4 5 6 7 8−6
−4
−2
0
2
4
6Relação entre as variaveis
x1
x2
0 10 20 30−6
−4
−2
0
2
4
6
8Saida do sistema
Tempo [s]
Res
post
a do
sis
tem
a
Figura 5: Sensibilidade da 1o Equacao
4.2 Sistema 2{u2 = µu1 + u2 − u33u2 = −u1
Tabela 6: Dados Inseridos e Obtidos 2o Equacao
Simu. Valor X1 X21 1.520849198179590e+03 11 32 8.120789212799611e+03 77 33 1.720921108074716e+03 5 114 1.014293085522622e+04 5 995 9.209952600586939e+02 5 3
−2 0 2 4 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Relação entre as variaveis
x1
x2
0 10 20 30−1
0
1
2
3
4
5Saida do sistema
Tempo [s]
Res
post
a do
sis
tem
a
Figura 6: Sensibilidade da 2o Equacao
4.3 Sistema 5{Y1 = −0.1Y2Y2 = −0.064Y1
Tabela 7: Dados Inseridos e Obtidos 5o Equacao
Simu. Valor X1 X21 6.471899776179222e+03 11 32 6.535270453198315e+04 77 33 8.139049298150088e+03 5 114 1.083015180802797e+05 5 995 1.217326627473549e+03 5 3
2 4 6 8−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3Relação entre as variaveis
x1
x2
0 10 20 30−6
−4
−2
0
2
4
6
8Saida do sistema
Tempo [s]
Res
post
a do
sis
tem
a
Figura 7: Sensibilidade da 5o Equacao
4.4 Sistema 6{ξ1 = ξ1+e−ξ2ξ2 = −ξ2
Tabela 8: Dados Inseridos e Obtidos 6o Equacao
Simu. Valor X1 X21 1.209585066277694e+16 11 32 8.264577463483518e+16 77 33 5.440511277430631e+15 5 114 5.355474104843635e+15 5 995 5.682221210771642e+15 5 3
INSTITUTO FEDERAL DE GOIAS, FEVEREIRO 2015 4
0 2 4 6
x 1013
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Relação entre as variaveis
x1
x2
0 10 20 300
1
2
3
4
5
6x 10
13 Saida do sistema
Tempo [s]
Res
post
a do
sis
tem
a
Figura 8: Sensibilidade da 6o Equacao
Atraves do metodo eurıstico pode-se constatarque para o sistema 1 as variaveis X1 e X2 possuema mesma sensibilidade para seu resultado final nosistema, o sistemas 2 e 6 pode-se observar queX1 quando alterado e capaz de provocar umapertubacao muito grande quando comparada comX2. Ja o sistema 5 X2 quando alterado provocauma reacao maior que X1 mas considerado baixoquando comprada com outros sistemas.[1]
5 ConclusaoAtraves dos resultados obtidos pelo
MATLAB R© dos graficos gerados pelo script,pode-se conhecer outra alternativa para sedeterminar o(s) ponto(s) de equilıbrio de umsistema e tambem ver as sensibilidade dasvariaveis de entrada.
Referencias[1] B. de Barros Neto, “Como fazer experimentos,”Sao Paulo,
2001.
