Universidade do Estado do Pará

Centro de Ciências Sociais e Educação

Departamento de Matemática, Estatística e Informática

Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática

M Linha de Pesquisa: Metodologia para o Ensino de Matemática no

Nível Médio

JOSÉ AUGUSTO RIBEIRO DA SILVA

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES:

POSSIBILIDADES DE ENSINO POR MEIO DE UMA

SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Belém-PA

2018

José Augusto Ribeiro da Silva

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES:

POSSIBILIDADES DE ENSINO POR MEIO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Dissertação apresentada como requisito para obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da Universidade do Estado do Pará. Linha de pesquisa: Metodologia do Ensino de Matemática no Nível Médio. Orientador: Prof. Dr. Roberto Paulo Bibas Fialho.

Belém-PA

2018

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)

Biblioteca do CCSE/UEPA, Belém - PA

Silva, José Augusto Ribeiro

Sistema de equações lineares: possibilidades de ensino por meio de uma

sequência didática/ José Augusto Ribeiro da Silva; Orientação de Roberto Paulo

Bibas Fialho, 2018

Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Universidade do

Estado do Pará, Belém, 2018.

1. Equações lineares (Ensino médio) 2. Matemática–Estudo e ensino. 3.

Aprendizagem. I. Fialho, Roberto Paulo Bibas (orient.). II. Título.

CDD. 23º ed. 515.35

Dedico este trabalho à minha mãe Maria Pereira da Silva, que mesmo diante

das limitações impostas pelas desigualdades sociais não desistiu da luta incessante

para criar o seu filho que sou eu e ao meu tio Dioclécio Ribeiro da Silva, pelo ícone

que se tornou na minha vida, na falta do meu pai biológico e também a José Pereira

de Brito, meu tio por parte de mãe, pelo dispensado a mim durante parte do Ensino

Fundamental e Ensino Médio em Imperatriz/MA.

Dedico também esse também à minha esposa Geísa Carneiro dos Santos

Ribeiro, pelo apoio durante o curso.

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu tio Dioclécio Ribeiro da Silva, pelo ícone que se tornou na

minha vida, na falta do meu pai biológico e também a José Pereira de Brito, meu tio

por parte da mãe, pela assistência num período importante para que eu chegasse

até aqui.

E para finalizar, agradeço aos componentes da banca, pela contribuição

efetiva na melhoria deste trabalho, e especialmente ao meu orientador prof. Dr.

Roberto Paulo Bibas Fialho, pela paciência no processo de construção dos saberes

necessários para que esse trabalho fosse realizado com sucesso.

Se o aluno conseguir enxergar possibilidades

onde o mundo inteiro disse que não existiam, o

professor cumpriu finalmente a sua missão.

Lídia Vasconcelos (s. d)

RESUMO

SILVA, J. R. Sistema de Equações Lineares: Possibilidades de Ensino por Meio de Uma Sequência Didática. 2018. 184 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2018.

O objetivo deste trabalho é pesquisar, desenvolver e experimentar na sala de aula uma sequência didática para o ensino de Sistema de Equações Lineares. E a motivação para isso surgiu das dificuldades que os alunos têm para assimilar este assunto no Ensino Médio, percebidos pela experiência diária em sala de aula. A pesquisa foi guiada pelos pressupostos da Engenharia Didática da Michele Artigue; A transformação do conteúdo ao modo de assimilação dos sujeitos foi realizada usando a Transposição Didática de Chevallard, a análise qualitativa dos resultados foi feita com o uso da Análise dos Registros e Representação Semiótica de Duval, e em seguida os recursos visuais da estatística descritiva e o teste de hipótese “t” de Student para verificar se o resultado foi significativo. A Sequência Didática é composta de dez atividades, entre elas um jogo de tabuleiro com a função de ajudar na fixação do conteúdo trazendo um pouco de ludicidade antes da atividade de aprofundamento. Antes da aplicação da primeira atividade foi aplicado um teste inicial para verificar o conhecimento inicial dos alunos no assunto, após a aplicação da Sequência Didática, e para finalizar aplicamos um teste final com o objetivo de nos fazer perceber a aprendizagem construída durante o processo, e assim nos assegurar do quanto este produto poderá ajudar os professores em sala de aula. Palavras Chave: Engenharia Didática; Sistemas de Equações Lineares; Jogo de tabuleiro; Transposição Didática; Sequência Didática.

ABSTRACT

SILVA, J. R. System of Linear Equations: Possibilities of Teaching by means of a

Didactic Sequence. 2018. 184 f. Dissertation (Professional Master degree in

Mathematics Teaching) - University of the State of Pará, Belém, 2018.

The objective of this paper is to research, develop and experiment, in the classroom,

a didactic sequence for the teaching of a System of Linear Equations. And the

motivation for this arose from the difficulties that students have to assimilate this

subject in High School, perceived throughout a daily experience in the classroom.

The research was guided by the presuppositions of Didactic Engineering by Michele

Artigue; The transformation of the content to the way subjects could assimilate was

performed using the Chevallard Didactic Transposition, the qualitative analysis of the

results was done by using the Duval’s Registers and Semiotic Representation

Analysis, and then the visual resources of the descriptive statistics and Student's t-

test hypothesis to verify if the result was significant. The Didactic Sequence is

composed of ten activities, among them a board game with the function of helping

the fixation of the content bringing up a bit of playfulness before the activity of

immersion. Before the application of the first activity, an initial test was applied to

evaluate the students’ knowledge of the subject at the beginning, after the application

of the Didactic Sequence, and to wrap up a final test was applied in order to make us

realize the learning built up during the process, and so make sure that this tool can

help teachers in the classroom.

Keywords: Didactic Engineering; Systems of Linear Equations; Board game;

Didactic Transposition; Didactic Sequence.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Sistema possível e determinado.………………………..................... 66

Figura 2 – Sistema possível e indeterminado.................................................... 67

Figura 3 – Sistema impossível........................................................................... 67

Figura 4 – Curva do esquecimento e retenção de Ebbinghaus......................... 72

Figura 5 – Registro semiótico 1 da questão 15................................................. 84

Figura 6 – Registro semiótico 1 da questão 16................................................. 85

Figura 7 – semiótico 2 da questão 16................................................................ 86

Figura 8 – Registro semiótico 3 da questão 16................................................. 86

Figura 9 – Registro semiótico 4 da questão 16................................................. 86

Figura 10 – Registro semiótico 1 da questão 17............................................... 87

Figura 11 – Registro semiótico 1 da questão 18............................................... 88

Figura 12 – Registro semiótico 2 da questão 18............................................... 89

Figura 13 – Registro semiótico 3 da questão 18............................................... 89

Figura 14 – Diagrama de blocos........................................................................ 103

Figura 15 – Círculo cromático............................................................................ 105

Figura 16 – Registro semiótico 1 da questão 3 da atividade de

aprofundamento................................................................................................. 106

Figura 17 – Registro semiótico 1 da questão 4 do teste final........................ 107

Figura 18 – Registro semiótico 1 do primeiro sistema da questão 5 da

atividade de aprofundamento......................................................................... 107

Figura 19 – Registro semiótico 1 do segundo sistema da questão 5 da

atividade de aprofundamento............................................................................ 108

Figura 20 – Registro semiótico 1 da questão 7 do teste final............................ 109

Figura 21 – Registro semiótico 1 da questão 8 do teste final............................ 110

Figura 22 – Registro semiótico 2 da questão 7 do teste final............................ 111

Figura 23 – Registro semiótico 2 da questão 8 do teste final............................ 112

Figura 24 – Registro semiótico 1 da atividade 7, primeiro item......................... 113

Figura 25 – Registro semiótico 2 da atividade 7 segunda parte........................ 114

Figura 26 – Registro semiótico do item c da atividade 8................................... 115

Figura 27 – Registro semiótico 1 da questão 5 da atividade de

aprofundamento................................................................................................ 116

Figura 28 – Registro semiótico 2 da questão 4 do teste final............................ 116

Figura 29 – Registro semiótico 3 da questão 7 do teste final............................ 117

Figura 30 – Registro semiótico 4 da questão 7 do teste final............................ 118

Figura 31 – Registro semiótico 3 da questão 8 do teste final............................ 119

Figura 32 – Registro semiótico 1 da questão 3 do teste final ........................... 120

Figura 33 – Registro semiótico 1 da atividade 7 segundo item......................... 121

Figura 34 – Registro semiótico 1 da questão 5 do teste final............................ 121

Figura 35 – Registro semiótico 1 da questão 6 do teste final............................ 122

Figura 36 – Registro semiótico 2 da questão 4 do teste final............................ 123

Figura 37 – Registro semiótico 2 da questão 5 do teste final............................ 123

Figura 38 – Registro semiótico 4 da questão 8 do teste final............................ 124

Figura 39 – Registro semiótico 1 da questão 2 do teste final............................ 125

Figura 40 – Registro semiótico 2 da questão 6 do teste final............................ 125

Figura 41 – Registro semiótico 5 da questão 7 do teste final............................ 126

Figura 42 – Registro semiótico 6 da questão 7 do teste final............................ 127

Figura 43 – Registro semiótico 3 da questão 5 do teste final............................ 128

Figura 44 – Registro semiótico 2 da questão 2 do teste final............................ 129

Figura 45 – Registro semiótico 4 da questão 5 do teste final............................ 130

Figura 46 – Registro semiótico 3 da questão 4 do teste final............................ 131

Figura 47 – Registro semiótico 5 da questão 5 do teste final............................ 131

Figura 48 – Registro semiótico 7 da questão 7 do teste final............................ 132

Figura 49 – Registro semiótico 6 da questão 5 do teste final............................ 132

Figura 50 – Registro semiótico 8 da questão 7 do teste final............................ 133

Figura 51 – Mapa de notas................................................................................ 138

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Você está ou já esteve em dependência em matemática?............ 71

Gráfico 2 – Você conseguiu compreender as sobre Sistemas Lineares?........ 71

Gráfico 3 – Com que frequência você costuma estudar matemática?............. 72

Gráfico 4 – Você gostou de estudar Sistemas Lineares?................................. 73

Gráfico 5 – Quais as principais formas de avaliação usadas em sala de

aula? ................................................................................................................. 74

Gráfico 6 – Como você se sentiu quando diante da avaliação de Sistemas

Lineares?............................................................................................................ 75

Gráfico 7 – Quando você estudou Sistemas Lineares como foi a maioria das

aulas?................................................................................................................. 76

Gráfico 8 – Para fixar o conteúdo de Sistemas Lineares o seu professor (a):.. 77

Gráfico 9 – Como você gostaria de aprender Sistemas Lineares?................... 78

Gráfico 10 – No que se refere ao grau de dificuldade de aprender Sistemas

Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque um x) ...................................... 79

Gráfico 11 – Você possui acesso à internet? ................................................... 80

Gráfico 12 – Quanto ao uso de recursos tecnológicos quais dos seguintes

equipamentos você costuma utilizar? ............................................................... 81

Gráfico 13 – Qual dos itens abaixo é uma equação Linear? ........................... 82

Gráfico 14 – Dada a equação A: marque uma das equações abaixo que seja

equivalente a:..................................................................................................... 83

Gráfico 15 – Escreva um sistema equivalente ao sistema: ............................. 84

Gráfico 16 – Examinando o anúncio: descubra o preço de

cada colher e de cada faca................................................................................ 85

Gráfico 17 – A respeito do sistema dado, pode-se afirmar que é:.................... 87

Gráfico 18 – Encontre os valores das variáveis x, y e z do sistema: se for

possível. .......................................................................................................... 88

Gráfico 19 – Teste inicial.................................................................................. 101

Gráfico 20 – Teste final ................................................................................ 104

Gráfico 21 – Questão 7 do questionário para professores. Em suas aulas

de Sistemas Lineares, a maioria delas são: ................................................ 135

Gráfico 22 – Questão 4 dos questionário para os professores. Seu alunos

conseguem compreender suas aulas sobre Sistemas Lineares?................. 136

Gráfico 23 – Questão 10 do questionário para os professores. No que se

refere ao grau de dificuldade que seus alunos têm de aprender Sistemas

Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque com um “x”)............................ 136

Gráfico 24 –Teste inicial e final...................................................................... 141

LISTA DE SIGLAS

AAPRI Análise a Priori

AAPST Análise a Posteriori

INEP Instituto Nacional de Estudo e Pesquisas

LDB Lei de Diretrizes e Bases

MDSL Matrizes, determinantes e Sistema Lineares

OBM Olimpíada Brasileira de Matemática

OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas

OCEM Orientações Curriculares do Ensino Médio

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PNL Programa Nacional do Livro

PNLD Programa Nacional do Livro Didático

PNLEM Programa Nacional do Livro de Ensino Médio

SARESP Sistema de Avaliação e Rendimento do Estado de São Paulo

SD Sequência Didática

UNESCO Organização das Nações Unidas para a Educação Ciência e Cultura

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO..................................................................................................... 15 1 REVISÃO LITERÁRIA................................................................................ 17 1.1 Didática e Metodologia da aprendizagem....................................... 17 1.2 Aplicação dos Sistemas Lineares: suas aplicações e

Investigação para o ensino.............................................................. 22

1.3 Considerações sobre a revisão literária.......................................... 36 1.4 Síntese das ideias dos autores....................................................... 37 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: Ensino de Matemática por meio de

uma Sequência Didática............................................................................ 39 2.1 Bases Conceituais e Contextualização........................................... 39 2.2 A Transposição Didática de Chevallard.......................................... 44

2.3 Contribuição da Engenharia Didática.............................................. 45

2.4 Fundamentos Metodológicos da Engenharia Didática ................... 47

2.5 Análise dos registros e representação Semiótica........................... 48

2.6 Os Jogos como Estratégia de Ensino............................................ 54 2.7 Das Atividades Articuladas Surge a Sequência Didática................ 53

3 FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA SOBRE SISTEMAS LINEARES...... 59

3.1 Uma Breve História dos Sistemas Lineares.................................... 59 3.2 Representação Algébrica................................................................ 62 3.3 Sistemas Equivalentes.................................................................... 64 3.4 Sistemas Escalonados.................................................................... 64 3.5 Representação Matricial.................................................................. 65

3.6 Representação Gráfica.................................................................... 66 4 ANÁLISE A PRIORI..................................................................................... 69 4.1 Análise das Questões do levantamento prévio............................... 70 4.2 Considerações sobre a análise a priori.......................................... 89 5 SOBRE AS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA............................. 92 5.1 Apresentação.................................................................................. 92 5.2 Planejamento e Aplicação da Sequência Didática.......................... 93 5.3 Aprendizagem Esperada................................................................. 94 5.4 Corrida Sistemática......................................................................... 96 5.4.1 Regras do Jogo............................................................................... 97 5.5 Contextualização e Alcance dos Resultados.................................. 98 6 EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE A POSTERIORI.................................... 99 6.1 Diagrama Qualitativo de Respostas................................................ 101 6.2 Contribuição dos Professores......................................................... 134 6.2 Sobre o Cumprimento dos Objetivos da Sequência Didática.......... 137

6.4 Teste – “t” de Student para as Notas Pareadas............................ 140 6.5 Considerações Sobre a Pesquisa.................................................. 143 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................... 145 7.1 Resultados Alcançados................................................................... 145 7.2 Ponderações e Recomendações.................................................... 146 7.3 Incentivo para Futuros Trabalhos .................................................. 146 8 REFERÊNCIAS........................................................................................... 147

APÊNDICES........................................................................................................ 156 Apêndice - 01: Sequência didática.................................................. 157 Apêndice - 02: Questionário para os alunos................................... 173 Apêndice - 03: Questionário para os professores........................... 176 Apêndice – 04: Teste inicial............................................................. 179 Apêndice – 05: Teste Final.............................................................. 180 ANEXOS.............................................................................................................. 181 Anexo – 01: Atividade B159a do sistema Kumon de Ensino.......... 182 Anexo – 02: Atividade D151a do sistema Kumon de Ensino.......... 183 Anexo -03: Transformações de frações decimais em números

decimais, e vice-versa..................................................................... 184

15

INTRODUÇÃO

Este trabalho apresenta o resultado de uma pesquisa direcionada ao

desenvolvimento de uma sequência didática para o uso do professor em sala, no

ensino de Sistemas Lineares, conteúdo usualmente trabalhado com alunos do 2º

ano do Ensino Médio, pois as dificuldades percebidas no ensino deste assunto nos

levaram a seguinte pergunta: Como podemos ensinar Sistemas Lineares, no

ensino médio, por escalonamento, usando uma Sequência Didática Articulada

como um conjunto de atividades?

Para responder esta questão, apresentamos uma Sequência Didática, (vide

apêndice - 01), sobre Sistemas de Equações Lineares para alunos do Ensino Médio,

usando o método do escalonamento, composta por um conjunto de atividades, cuja

pesquisa pautada nas recomendações da Engenharia Didática de Michele Artigue,

com o objetivo geral de proporcionar a assimilação do conceito de sistemas

equivalentes e a construção das habilidades para resolução de problemas que

podem ser modelados por sistemas lineares. E como objetivos específicos: 1)

Estudar os processos que favoreçam a aplicação das operações básicas nos

sistemas lineares, para a operacionalização de uma sequência didática; 2)

Desenvolver uma sequência didática sobre sistema de equações lineares, para

alunos do 2º ano do Ensino Médio como ferramenta de ensino e aprendizagem

deste conteúdo; 3) Aplicar a sequência didática sobre sistema de equações lineares

usando a Engenharia Didática de Michele Artigue.

No primeiro capítulo, descrevemos nossa trajetória literária, em busca de

aportes teóricos, como: os campos de aplicação dos sistemas, metodologias de

ensino e de experimentação de uma sequência didática, e assim reforçar nossas

ideias gerais sobre o trabalho e principalmente verificar as metodologias mais

recentes do ensino deste assunto.

Para o segundo capítulo, apresentamos os fundamentos teóricos de nossa

Sequência Didática, recebe a influência de Kumon (1914-1995), quando procura

ajudar seu filho a compreender a matemática usando e atividades organizadas com

menor grau de dificuldades, de uma para outra, recebe a definição de Zabala (1998),

quando denomina a Sequência didática como um conjunto de atividades articuladas

com o objetivo de produzir aprendizagem, e em termos conceituais, é fechada com

os elementos de operacionalização em sala de aula descritos por Cabral (2017).

16

Para desenvolver a pesquisa, seguimos as orientações da engenharia

didática de Michele Artigue, adotando a abordagem qualitativa e quantitativa.

Qualitativa, por procurar conhecer os atributos dos sujeitos, diante doas atividades,

tanto do levantamento prévio quanto da experimentação da nossa Sequencia

Didática. E quantitativa, por procurar levantar os percentuais passiveis de mudança

de caracterização dos itens da Sequência.

Como elemento de adaptação dos conteúdos ao contexto de ensino,

usamos a transposição didática de Chevallard, e a análise dos registros e

representações semiótica de Duval, como mecanismo de análise dos registros

deixados pelos alunos. E entre as atividades de exploração do conteúdo e a

atividade de fixação e aprofundamento, veremos um jogo educativo que foi inserido

para ajudar na fixação do conteúdo, de forma mais descontraída.

O terceiro capítulo traz um breve histórico sobre os sistemas lineares,

acrescido de detalhes demonstrativos sobre o escalonamento, e as formas que

podemos apresentar um sistema linear, principalmente as forma usuais encontradas

nos livros didáticos de Ensino Médio, como: a forma algébrica, a forma matricial e

gráfica. No quarto capítulo apresentamos a análise a priori, usando a análise dos

registros e representação semiótica de Duval. E em seguida, no capítulo quinto,

descrevemos como desenvolvemos a nossa Sequência Didática para atingir os

objetivos almejados, a pretensão objetiva de cada atividade.

No sexto capítulo, apresentamos a descrição da experimentação da

sequência didática, a sua a análise a posteriori realizada pela análise dos registros e

representação semiótica de Duval. E para verificar os resultados obtidos pela nossa

Sequência Didática, realizamos o comparativo do teste inicial (antes da aplicação da

sequência), com o teste final (aplicado depois da sequência).

Para finalizar estas notas introdutórias ao longo deste trabalho,

presentamos o cruzamento do ponto de vista dos alunos sobre suas dificuldades de

aprendizagem de Sistemas Lineares, com o ponto de vista dos professores, sobre as

dificuldades de ensinar este conteúdo; para melhor visualização, apresentamos o

emparelhamento dos gráficos de colunas, e os respectivos diagramas qualificativos

de respostas. Para melhor verificação dos resultados, aplicamos o teste de hipótese

“t” de Student com as notas pareadas de cada dupla de sujeito participantes da

pesquisa, constatando a diferença de resultado do teste final em relação ao teste

inicial.

17

1 – REVISÃO LITERÁRIA

Encontram se aqui os aportes teóricos que fazem parte do embasamento a

contribuir para a Sequência Didática a qual será destinada ao ensino de sistemas

lineares. Neste percurso bibliográfico procuramos primeiro conduzir o leitor por

alguns tópicos teóricos para melhor nortear a condução do trabalho na sua

totalidade.

Esta revisão literária é composta das obras que nos embasam teoricamente

na didática e nas metodologias de ensino para poder dentro das orientações

científicas da pedagogia e da didática. E por fim, tratamos dos trabalhos mais

direcionados para o ensino de sistemas lineares.

1.1 – Didática e Metodologia de Ensino e Aprendizagem

Entre os aportes teóricos que nortearam a construção de nossa Sequência

Didática, iniciamos com Moreira (2011, p. 24), quando diz que são duas as

condições para a aprendizagem significativa: a) Os materiais didáticos ou de

aprendizagem como: livros, aulas, aplicativos e outros, precisam ter significados

lógicos e relacionáveis, mesmo assim são apenas potencialmente significativos. b)

O aprendiz deve apresentar disposição e as âncoras necessárias para assimilar o

novo saber (ibid, p. 30), quando o aluno não as possui, é necessário que o use os

recursos instrucionais que estabelece as relações entre o que o aluno sabe e o que

ele quer ensinar. Esses recursos, para (AUSUBEL apud MOREIRA, 2011), “podem

ser resolvidos com os chamados Organizadores Prévios”.

Em relação às orientações construtivistas, citamos Oliveira (2011) e Piaget

(1896-1980). Para Oliveira (2012), a teoria das situações didáticas está no campo da

abordagem construtivista, e dentro dessa abordagem a prática de construção do

conhecimento se dá de duas formas: a forma endógena e a forma dialética. E para

Piaget (1896-1980), o conhecimento se dá da forma endógena, em que o aprendiz

vai mudando de estágio de desenvolvimento, ou seja, a construção do conhecimento

está intimamente ligada ao desenvolvimento pessoal do indivíduo, segundo suas

próprias vivências e experiências. Entendemos aqui que o indivíduo tem estágios de

desenvolvimento interno, e na medida da evolução desses estágios internos, vai

também adquirindo capacidade de entender e se relacionar com as complexidades

18

externas, como diz Piaget (1896 – 1980), nas fases de maturação cognitiva da

criança.

As discursões sobre a Didática Geral e a Didática Específica, segundo

D’Amore (2007), têm produzido debates calorosos sobre qual é a mais importante

que a outra, mas aqui o entendimento é de que a Didática Geral recorre à Didática

Específica para embasar os complementos de sua amplitude orientadora, e a

Didática Específica recorre à Didática Geral para marcar os pontos teóricos, básicos

e referenciais para, a partir destes pontos, planejar e definir os caminhos a investigar

em sua especificidade. Para nos orientar a respeito destas didáticas referendamos

Libâneo (1994), Pilette (2002) e o trabalho dissertativo de Pais (2011), com o aporte

da teoria das situações didáticas de Chevallard (1991).

Para Libâneo (1994, p. 25 - 26), a Didática estuda e desenvolve as teorias

gerais do ensino, portanto, investiga os fundamentos, condições e modos de realizar

as instruções e o ensino, por isso torna se o principal ramo da pedagogia. A ela cabe

transformar objetivos sócio-políticos e pedagógicos em objetivos de ensino,

selecionando conteúdos e métodos de ensino para estabelecer vínculo entre o

ensino e a aprendizagem, buscando potencializar as capacidades mentais dos

alunos.

A Didática e as metodologias específicas dos conteúdos de ensino formam

unidade, mantendo entre si relações recíprocas (ibid, p. 64). Na pedagogia

tradicional, a Didática é normativa, se traduzindo num conjunto de regras que

regulamenta o ensino e tem resistido ao tempo na prática escolar. Na Pedagogia

Renovada, a Didática tem várias correntes, aqui, para facilitar nosso direcionamento

priorizamos a Didática Ativa, que é entendida como direção da aprendizagem, em

que, por meio dela o aluno torna-se sujeito da construção do seu saber, o professor

gerencia e coordena a direção e a qualidade do saber dos alunos (ibid, p. 81). A

tarefa do professor é garantir a unidade didática entre o ensino e a aprendizagem

pelo processo de ensino. O professor planeja, dirige e controla o processo, visando

suscitar e estimular e iniciativa e a criatividade dos alunos para a assimilação dos

saberes, e isso exige uma compreensão clara do processo de aprendizagem.

Para Piletti (2002, p. 43), a Didática estuda os princípios, as normas e as

técnicas que devem regular qualquer tipo de ensino para qualquer tipo de aluno. A

Didática geral dá contexto geral da atividade docente. A Didática especial estuda os

aspectos científicos mais específicos de uma disciplina ou de uma faixa de

19

escolaridade, os problemas e as dificuldades de cada disciplina, apresentando e

sugerindo meios para resolvê-los. Piletti ainda faz uma diferença entre Didática e

Metodologia, a Metodologia estuda os métodos de ensino e sua classificação. A

Didática por sua vez faz o juízo de valor sobre a metodologia.

Segundo Chevallard (1991, apud PAIS, 2011), um determinado conteúdo

selecionado para ser ensinado, sofre um conjunto de adaptações para se tornar

conteúdo de ensino. Nesta linha de entendimento, Pais (2011) nos chama a

atenção para o que denomina de saber escolar e saber científico. O saber escolar

representa o conjunto de conteúdos planejados pelos autores de livros didáticos ou

previstos na estrutura curricular das disciplinas conservadas pelo contexto da

história da educação; já o saber científico é apresentado nos artigos, teses livros e

relatórios. E a atribuição de que trata o trabalho docente de está sempre respaldado

tanto no saber científico como nos saberes de concepção educacional, Pais (2011) a

denomina de: vigilância didática.

E ainda, segundo Pais (2011), é impreterível que se dê atenção para as

duas dimensões Importantes da didática associada à temporalidade: o tempo

didático e o tempo de aprendizagem. O tempo didático é aquele marcado pelos

programas escolares: bimestre, semestre e outros. O tempo de aprendizagem é

aquele mais vinculado com as rupturas e conflitos do conhecimento exigindo todo

tempo uma reorganização de informações que caracterizam as formas complexas de

aprender (ibid, 2011, p. 24-25).

Uma situação didática é estabelecida pelas relações pedagógicas entre o

professor, os alunos e o saber, com a finalidade de desenvolver atividades voltadas

para acontecer de fato o ensino e a aprendizagem de um conteúdo específico, e

esses três elementos da situação didática, formam o conjunto necessário para a

construção do espaço vivo da sala de aula (ibid, 2011, p. 65-66).

A transposição didática, segundo Chevallard (1991), parece ser um recurso

primordial para o ensino, um instrumento que se assemelha ao trabalho da mãe ao

transformar legumes, cereais e alguns outros comestíveis, da forma in natura pelo

cozimento e outros tratamentos, em alimentos para sua família. A transposição

didática exerce uma espécie de função industrial, ou seja, uma pequena indústria

que na biblioteca particular de cada professor, ou na biblioteca da escola que pelo

saber didático do professor, transforma o conteúdo científico na sua forma in natura,

em conteúdo a ser ensinado e consequente mente ser assimilado pelos alunos.

20

Ainda para Pais (2011, p. 17), a transposição didática pode ser entendida

como um caso especial de transposição de sabres, sendo esta entendida como

evolução das ideias, no campo da história da evolução humana, e no caso da

matemática essa evolução acontece sob um controle mais rígido de seus

paradigmas. O autor ainda afirma que o estudo das propriedades que orientam a

prática pedagógica, é também uma das atribuições da didática, que deve fornecer

referências e estabelecer propostas de conteúdo para a educação escolar.

Outro autor que se fez importante para este trabalho foi D’Amore (2007),

principalmente quando nos adverte para o cuidado com a carga excessiva de

conteúdos, que pode até vir a ser desnecessário e com a construção negativa da

matemática por conta das estratégias que escolhemos para ensinar a matemática.

Anatole France (s.d apud D’AMORE, 2007, p.15), afirma: “Não buscai

satisfazer vossa vaidade, ensinando coisa demais aos seus alunos. Despertai neles

a curiosidade”. É suficiente abrir sua mente e não sobrecarrega-la. Colocai apenas a

faísca, se tiver matéria inflamável, o fogo surgirá.

O trabalho de D’more (2007) é repleto de orientações didáticas para o

ensino, porém com específica atenção para a Didática da Matemática, tem uma

abordagem crítica aos métodos excessivamente tradicionais e trata com rigor

considerável as indicações de leituras complementares, na intenção de guiar o

professor a buscar melhor entendimento direto na fonte (ibid, p. 34-38). É o

consenso hoje entre os cientistas da didática. No passado os autores acreditavam

que ensinar era uma arte, fruto das características pessoais (não pode ser aprendida

e nem transmitida). Com essa conclusão, a pesquisa didática se tornaria inútil, pois

esta concepção inviabiliza a evolução de estudos específicos sobre o assunto e

extingue a esperança de melhorar o ensino-aprendizagem.

D’Amores (2007) ainda diz que uma imagem ruim da matemática é nociva

para o próprio professor. Aulas não concluídas, repetitivas, enfadonhas e cansativas,

têm consequências negativas aos alunos, portanto sobre todos os outros

componentes do mundo da escola, trazendo visões negativas para a matemática,

para o professor e para o seu trabalho didático. Para (PEANO apud D’AMORE,

2007, p. 57), a diferença entre nós e os alunos que se encontram em nossa

responsabilidade, é o fato de já termos percorrido um trecho mais longo na parábola

da vida. Se os alunos não entendem, a culpa é nossa, por não saber explicar.

Também não vale culpar o ensino dos anos anteriores.

21

Precisamos aceitar os alunos como eles são, e fazer com que lembrem o

que esqueceram ou estudaram sob outros termos. Se nós atormentarmos nossos

alunos ao invés de conquista-los, incitamos seu ódio contra nós e contra a ciência

que ensinamos. A expressão: a parábola da vida traz conotação de experiências, e

sobre isso, para (BOERO, 1989, apud D’AMORE, 2007, p. 368). Assim entendemos

por campo de experiência um setor da vida (real ou potencial dos alunos) dotada de

características que sob a visão criatividade de um professor, tornam-se adequadas

para atividades de modelagem matemática, proposições e resoluções de problemas

matemáticos.

A publicação de Rosa Neto (2001) se fez importante nesse trabalho, quando

faz um paralelo entre o desenvolvimento da matemática, e os estágios cognitivos da

criança. Seguindo ele, este desenvolvimento foi marcado pelo caminho histórico do

homem em busca de descobrir formas de entender o mundo, e este caminho é

idêntico às etapas ou estágios cognitivos da criança, sugeridos por Piaget (1896-

1980).

Para Rosa Neto (2001, p. 20), a matemática construída a partir da

observação direta dos objetos, vinda do Paleolítico, tornam-se fontes de atividades

para crianças com idade pré-escolar. A matemática construída no período paleolítico

até o Egito, baseadas no cotidiano, sugerem atividades com operações concretas e

atividades prática para crianças de até quinto ano. A matemática marcada pela

revolução grega da demonstração sugere atividades de operações formais para

alunos de sexto e sétimo ano. O mecanismo simbólico desenvolvido para lidar com a

álgebra, deve ser sugerido em atividades para aos alunos de oitavo e nono ano. A

formalização das operações simbólicas de François Viète, deve ser sugerida aos

alunos do 2º Grau, e por fim acrescenta que o Cálculo Diferencial e integral e demais

estruturas simbólicas, para os universitários.

Com o surgimento das teorias da educação matemática, seu ensino ganhou

novos modos de ver o ensino da matemática, e as orientações de (ONUCHIC et al

2014) trouxe novas reflexões, quando nos remete ao currículo, métodos processos,

e a importância de ensinar a matemática de modo que eles possam nos levar a

contextos diversos, sugerindo a resolução de problemas como uma possibilidade

desta realização.

Segundo Allevato e Onuchic (2014), no século XX, em principalmente na

década de 1980, ocorreram mudanças consideráveis na educação matemática

22

como: a) o desenvolvimento de diferentes visões de como ensinar e avaliar, b) de

como identificar como a matemática deveria ser trabalhada, e não perder o foco nas

dimensões do ensino como: currículo, métodos e processos. Para Morais e Onuchic

(2014), o ensino da matemática por resolução de problemas quer destacar que esse

eixo de abordagem tem sustentação na matemática, e o usa como acessório para o

ensino. Nesta visão, embora o conhecimento matemático seja fundamental, o

propósito principal do ensino é levar os alunos a utilizá-la em seus contextos

diversos, como teoria de significado prático, por meio da resolução de problemas.

Isto sugere a inversão da ordem de que primeiro o conteúdo depois a resolução de

problemas.

Estas orientações sobre as didáticas de ensino nos serviram de apoio

teórico para a construção de nossa Sequência Didática. E, a Engenharia Didática de

Michele Artigue (1986) nos orientou sobre as formas de realizar essa pesquisa para

a sua construção.

1.2 – Aplicações dos Sistemas Lineares e Suas Investigações para o Ensino

Os trabalhos de Valiente (2015) e Rangel (2011) marcaram suas

importâncias neste trabalho pelas seguintes razões: a) pela lista de aplicação dos

sistemas lineares nas outras ciências; b) por enfatizar a aprendizagem de sistemas

lineares pelo método interativo. E o segundo, por trazer detalhes de como os

sistemas lineares se tornam significativos na vida dos alunos.

Segundo Valiente (2015), a aplicação dos sistemas lineares em Engenharia,

Ciência da computação, Economia, Biologia e outros, costuma envolver acima de

100 variáveis. Por isso se faz necessário o uso de ferramentas computacionais para

resolver estes problemas. Valiente (2015) enfatiza o método interativo como uma

transformação do sistema original em um sistema equivalete, com o objetivo de

transformá-lo num equivalente mais simples e isto sugere ser um modelo expressivo

das aplicações mais avançadas do que se conhece no ensino médio como método

do escalonamento.

Segundo Bassanezi (2010, p. 16), “a modelagem matemárica consiste na

arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los

interpretando suas soluções na liguagem do mundo real”. No Trabalho de Rangel

(2011), guiado pelas orientações de Bassanezi (2010), encontra-se detalhado um

23

projeto de modelagem em que são aplicados os Sistemas Lineares para resolver

problemas, os quais denominou por tema: 1) Nutrição balanceada: Alimentação

diária e equilibrada; 2) Condicionamento físico: Academia de ginástica; e, 3)

Circuitos elétricos: Correntes e redes elétricas. Cada um desses temas tinha um

conjunto de problemas e todos foram modelados via aplicação dos sistemas

lineares.

O estudo de Neman (2013) apresenta um problema algébrico e sua

resolução com componente geométrico, indispensável para boa assimilação. Suas

observações nos leva a entender que sua metodologia de ensino de sistemas

lineares, em sua essência, defende que o ensino de sistemas lineares torna-se mais

eficaz via raciocínio geométrico, e os artigos da Revista do Professor de Matemática

(RPM), contribuem para a prática educativa no tocante aos sistemas lineares, pois

além de unirem dois grandes campos: Geometria e Álgebra, possibilitam também à

matemática interagir com outras disciplinas como: Biologia, Física, Química e

Sociologia.

Neman (2013) diz que em sua prática diária como professor, os alunos não

conseguiam relacionar os assuntos matemáticos com as outras áreas do

conhecimento, e que os livros didáticos disponíveis não ajudavam muito. E a

motivação do seu trabalho foi a investigação do distanciamento entre o Ensino

Básico e o Superior, e que enquanto o Ensino Superior público no geral tem

qualidade excelente, o Ensino Básico não leva aos alunos os saberes mínimos

necessários para a vida cotidiana, e então escolheu Sistemas Lineares pela sua

relevância na vida cotidiana.

Jordão (2011) relata sua experiência com o 2º ano, em 2007, quando se

deparou com as dificuldades dos alunos em aprender a resolver sistemas 3x3 e a

incerteza de parecer não ter levado os alunos a superar esse problema ao final do

ano letivo. Em agosto de 2008, com o seu ingresso no Mestrado em Educação

Matemática, em uma das reuniões semanais em que discutiam sobre as dificuldades

enfrentadas por professores e alunos no estudo de sistemas lineares, se interessou

pelo tema ao lembrar da experiência trabalhosa com os alunos de 2º ano do Ensino

Médio. A sua pergunta de pesquisa da autora foi: Qual a preocupação para

24

iniciarmos o estudo de sistemas lineares sob o ponto de vista da proposta sugerida

pela dissertação de Battaglioli1?

Jordão (2011) desenvolveu seu trabalho baseado nos estudos de Battaglioli

(2008), e destaca sobre este estudo, a exploração dos registros gráficos na

resolução dos sistema slineares, pois estes podem contribuir para que os alunos

tenha mais familiaridade, não só para entender seu cunjunto de soluções mas

também para classificá-los e discuti-los se necessário. Para nortear sua pesquisa ela

usou treoria das representações semióticas, de Duval (2000), como referencial

metodológico, usando os presupostos da engenharia didática descritos por Artigue

(1996).

No levantamento prévio, a autora aplicou a sequência didática a 45 alunos

do 2º ano do Ensino Médio, porém 7 deles foram selecionados aleatoriamente como

sujeitos da pesquisa, tendo disponibilizadas duas aulas para a abordagem do estudo

de sistemas lineares, realizadas em classe e uma aula no laboratório de informática.

Para a abordagem do estudo de sistemas 3x3, foram ministradas três aulas em

classe e duas no laboratório de informática.

A sua análise a priori foi realizada baseada nos autores que tratam do

assunto e envolvendo as tecnologias digitais, alguns livros didáticos e alguns

softwares a serem usados nas atividades. A experimentação foi aplicada a apenas

25 alunos do 2º ano do Ensino Médio, a diretora precisou de 20 deles para outra

atividade. Na sua análise a posteriori, considera o resultdo satisfatório, por conseguir

verificar a compreenção proposta na questão da pesquisa com a compreenção dos

sistemas lineares 3x3 pelo alunos selecionados, uma vez que são necessário pelo

menos dois registros para resolução de sistema lineares, para que se possa

perceber avanços nas convenções de registros das anotações e relevância da

realização no tratamento algébrico.

Steihost (2011) trouxe o ensino de matrizes com o uso de planilhas, o leitor

que se interessar por esta metodologia de ensino de matrizes, verá melhores

detalhes diretamente em seu trabalho. Aqui, diante da importância da

interdisciplinariadade para o trabalho docente, o trabalho de Steihost tornou-se

bastante significativo para referendar este conceito.

1 Carla dos Santos Moreno Battaglioli, autora que a inspirou na escolha do direcionamento do trabalho Jordão

2011.

25

O experimento da planilha, no estudo de Steinshorst (2011) consiste na

aplicação de situações problemas envolvendo lista de compras. Um exemplo que

entendemos aqui que usou uma planílha que trazia uma coluna coms os nomes das

mercadorias, seguida das colunas com as quantidades e os custos mensais, para

descobrir a inflação de um mês para outro. Não houve necessidades de usarmos

planílhas nos moldes sugeridos por Stainhost (2011), mas nos deixou mas seguros

para o uso de tabelas na nossa Seqência Didática (vide apêndices)

A respeito da interdisciplinaridade, Stainhorst (2011) recorre a Fazenda

(1991) para dizer que um trabalho interdisciplinar acontece pela intensidade das

trocas entre os especialistas e pela integração entre as disciplinas no mesmo

projeto. Então, a característa de uma abordagem interdisciplinar é o tratamento de

um determinado conteúdo sob visões de várias disciplinas, e o objetivo de trabalhar

problemas envolvendo temas interdissiplinares é uma forma de desenvolver o

conhecimento dos alunos de forma interativa, desafiando suas curiosidades e dando

lhes um aformação crítica e criativa.

Sua pesquisa foi desenvolvida em dois momentos, e os sujeitos foram 36

alunos do ensino médio, de forma que uma turma utilizou uma planilha para auxiliar

na resolução de problemas interdisciplinares que envolveram conteúdos de Matrizes

Determinantes e Sistemas Lineares - MDSL. No segundo, a outra turma teve os

mesmos conteúdos desenvolvidos, mas sem recurso computacional.

Após esse procedimento, o processo se inverteu para que as duas turmas

fossem analizadas em relação aos dois métodos. Durante esses processo, foram

aplicados questionários em momentos distintos e uma entrevista. Ao final de cada

etapa, cada turma recebeu um método diferente, de forma que todos passaram por

todos os itens.

Depois da aplicação de três questionários, os alunos participaram de um

projeto interdisciplinar, que foi a realização de um campeonato de futebol. O projeto

envolvia Biologia, Física e Educação Física. Terminadas as atividades esportivas, as

duas turmas voltaram para o laboratório de informática para trabalhar com os

elementos da coleta do campeonato com as planílhas os dados foram colocados na

forma matricial e ali foram executadas as operações com matrizes e as turmas

executaram o projeto.

Depois foram aplicados mais 4 novos questionários sobre variáveis

sociográficas, sobre informática, e sobre a aula e o rendimento da apredizagem

26

matemática. Depois foram aplicadas mais oito situações problemas que os alunos

resolviam, fazendo revesamento. Enquanto uma estava resolvendo com lápis e

papel, a outra estava no laboratório de informática.

Segundo o autor, o trabalho pedagógico com planílha para auxiliar os

conteúdos de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares (MDSL) foi uma

experiência bastante positiva, pois deu a ela a certeza de que os resultados de

aprendizagem obtidos pelos alunos fora muito superies aos resultados sem a

planílha. Isto o fez afirmar que irá continuar as pesquisas com outros conteúdos da

matemática, principalmente em projetos interdisciplinares, e que hoje não ver mais

sentido ensinar matemaática sem relacionar com a tecnologia e outras disciplinas.

E o esino deste assunto, com o auxilio da planílha motivou os alunos, até

mesmo os mais inibidos em estudar matemática. As atividades fizeram com que eles

participassem mais e melhor das aulas e ver sentido nos conteúdos sendo

aprendidos, por vivenciar a aplicação dos mesmos.

A importancia do trabalho de Steinhorst (2011) para este trabalho se tornou

evidente, quando diz que: a interdissiplinaridade se dá pela interação entre as

disciplinas no mesmo projeto, e pela inserção da planílha nos calculos de inflação.

Entendemos aqui pela exposição da autora que a planílha potencializa o foco dos

alunos na atividade.

Chiari (2011), desenvolveu seu trabalho baseada nos seguintes problemas

de aprendizagem:

Dificuldades em usar operações aritméticas elementares para resolver problemas verbais envolvendo Equações e Sistemas de Equações; - Dificuldade em converter a linguagem escrita para uma linguagem matemática; - Os alunos não costumam verificar as respostas encontradas durante o processo de resolução dos Sistemas e, por isso, não têm clareza do que elas representam (HERRERO, 2004, apud PANTOJA, 2008, p. 19)

Entre os fatores que originam estes problemas Chiari (2011) destaca o alto

teor de abstração com o qual é tratado o assunto no Ensino Básico, deixando de

trabalhar os significados encontrados pelos alunos. A partir destes problemas a

mesma pautou seu objetivo de pesquisa em investigar o uso dos escalonamento de

sistema lineares por alunos do Ensino Médio, e como inspiração metodológica usou

a engenharia didática para desenvolver seu trabalho.

Na primeira parte sua pesquisa foi dividida em etapas, que reunem a

investigação histórica do conteúdo, definição, métodos usados para resolução,

27

conceitos usados em relação aos sistemas lineraras e ao processo do

escalonamento, documentos oficiais, analisaram três livros didáticos incluindo o

adotado pela escola e por fim, um apanhado dos trabalhos mais recentes sobre os

obstáculos epistemológicos em relação à álgebra e em especial aos sistemas

lineares.

A segunda parte, foi baseada nos trabalhos de Battaglioli (2008) e livros

didáticos do Programa Nacional do Livro Didático - PNLD (2009) para desenvolver

as atividades da experimentação. A terceira parte, que é a experimentação, foi

iniciada com apenas os seis sujeitos da pesquisa, divididos em três duplas, e nos

dias seguintes apareceram mais alunos, os quais formaram mais duplas. Os

sistemas lineares, elementos de investigação da pesquisa poderiam ter coeficientes

inteiros ou não. As atividades foram distribuidas por ordem crescente de grandeza,

começando pelos mais simples de forma que os alunos pudesse resolver até

mentalmente.

Na tentativa de responder a questão de pesquisa, realizou a experimentação

por meio de uma sequência didática inspirada nos métodos da Engenharia Didática,

envolvendo as operações elementares, com as equações do sistema, no sentido de

desenvolver o conceito de sistemas equivalentes. Em seguida, foram analisadas as

dificuldades no uso das tranformações para resolver os sistemas.

A sequência didática foi desenvolvida em três Grupos: 1) o Grupo das

variáveis didáticas, que tinha como objetivo de propor a resolução de um problema

que envolvndo a resolução de um sistema linear; 2) o Grupo das operações

elementares, que buscava adquirir sistemas equivalentes; e 3) o grupo com o

objetivo de promover a construção do escalonamento como método da resolução de

sistemas linerares.

O foco do trabalho de Chiari (2011) foi analisar o escalonamento dos

sistemas, considou que o processo foi realizado, mas alerta que: o saber fazer em

matemática, no seu ponto de vista construído nessa experimentação, não é o

suficiente para uma aprendizagem significativa. E diz também que no momento da

experimentação alguns alunos não haviam chegado, reforçando ainda mais a ideia

de que o trabalho em relação aos sistemas lineares não deve parar por aqui.

O trabalho de Freitas (2013) vem reforçar alguns trabalhos já mensionaram:

as advertências sobre as dificuldades dos alunos em resolver problemas de

matemática envolvendo sistemas lineares, constatando que os alunos não fazem a

28

diferença entre parâmetro e incógnita, causando insegurança para comunicar

resultados; falta de habilidades de interpretação e conversção das representações

semióticas que podem ser envolvidas na resolução de um sistema linear e o

detalhamento do caminho que os presupostos da engenharia didática proporcionou

para seu trabalho.

Para Freitas (2013), na prática docente percebe-se nos alunos concluintes

do Ensino Básico a dificuldade de resolver problemas de matemática envolvendo

sistemas de equações lineares, e artigos e documentos oficiais reforçam essa

constatação. Desta situação surgiu a seguinte questão que se tornou suas questão

de pesquisa: é possível que os alunos do Ensino Médio consigam resolver sistemas

de eauações lineares 2x2 em que a abordagem proposta favoreça a conversão e o

tratamento de registros de representação semiótica?

O objetivo da pesquisa de Freitas (2013), foi: desenvolver uma sequência

didática para investigar como os alunos do terceiro ano do Ensino Médio de uma

Escola Pública da Rede Estadual na cidade de São Bernardo do Campo, no Estado

de São Paulo, resolvem sistemas lineares 2x2 em que a abordagem proposta

favoreça a conversão e o tratamento de registros de Representação Semiótica de

Duval (2009).

Então a sequência didática deveria contemplar a resolução de sistemas,

fazendo as ligações da conversão do registro da linguagem natural para o registro

algégrico, do registro algébrico para a resolução gráfica, e do registro gráfico para o

algébrico. E para a resolução algébrica e gráfica, uma discussão dos sistemas de

acordo com a posição das retas de cada equação dos sistemas, tomando como

base, além do presuposto da Engenharia Didática de Michele Artigue (1996), a

teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2009).

Freitas (2013) tomou como suporte prévio para seu trabalho, um problema

citado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática, do Terceiro e do

Quarto Ciclo (BRASIL, 1998), quando diz que nos últimos anos do Ensino

Fundamental, os procedimentos não algébricos são deixados de lado na resolução

de problemas e a álgebra é utilizada mesmo não sendo necessária, e ainda

acrescenta que os problemas não são desafiadores e as situações problemas

privilegiam a aplicação da linguagem algébrica.

Ainda para Feitas (2013), os estudos de Traldi Jr (2002) falam das

dificuldades apresentadas pelos alunos na conversão das linguagens para

29

comunicar os resultados das resoluções dos problemas. Battaglioli (2008) fala das

necessidades da abordagem do tema com recurso gráfico, para diminuir as

dificuldades dos alunos em entender a resolução de Sistema Linear e sua

classificação. Por sua vez, Almouloud e Bianchini (2005), no seu artigo analisam a

natureza dos erros de aprendizagem dos alunos na resolução de sistemas linerares,

como: fazer a diferença entre o parâmetro e a incógnita de um sistema linear e na

apresentação de soluções para sistemas determinados e indeterminados e

impossíveis, e que isso sugere a criação de sequência de aprendizagem que

promova a diminuição dos erros.

Na análise a priori, foram analisados documetos oficiais como: Orientações

Curiculares para o Ensino Médio (2006) e os Parâmetros Curriculare de 5ª a 8ª série

(1998), trabalhos sobre o assunto como o de Battaglioli (2008), Jordão (2011) e

Traudi (2002), caderno do professor, caderno do aluno e livros didáticos.

A sequência didática de Freitas (2013) foi desenvolvida com base na

metodologia da Engenharia Didática e aplicada aos alunos do terceiro ano do Ensino

Médio de uma escola pública de São Paulo. Como a pesquisa está centrada nos

registros, as atividades envolvem apenas números inteiros, pois a intenção é avaliar

a conversão e o tratamento das representações semióticas. Os sujeitos já tinham

familiaridade com o software Geogebra no estudo da Geometria Analítica e a

sequência era composta de seis atividades.

Aconclusão de Freitas (2013) foi que a introdução de uma atividade que

permita a tramitação dos sistemas lineares nos vários registros de representação

semiótica e o reconhecimento de tais alterações feitas no registro algébrico provoca

mudanças no registro gráfico, facilita o aprendizado, pois os alunos apresentam

melhora significativa no desempenho. As lacunas na aprendizagem de Sistemas

lineares detectadas pelos estudos de Freitas (2013) nos levou ao conecimento de

que estes problemas de aprendizagem se encontram em outros pontos do Brasil,

assim como percebidos por nosso levantamento prévio.

O Estudo de Rodrigues (2011) tornou-se relevante para esses trabalho pelo

fato de trazer sua preocupação com os problemas de aprendizagem que os alunos

ainda trazem sobre sistemas lineares, comprometendo a prendizagem das

disciplinas do ensino superior que dependem deste connecimento de forma

significativa.

30

Segundo Rodrigues (2011), com base nos estudos de Almouloud e Bianchini

(1996), os Sistemas de Equaçoes Lineares são pré-requisito para o ensino de

Álgebra Linear no terceiro grau. O problema de pesquisa deste autor foi construído

com base nos estudos destes autores, os quais aplicaram uma atividade para saber

as dificuldades dos alunos com sistemas de equações Lineares, e constataram as

dificuldades dos estudantes do Primeiro ano do curso de Ciências da Computação

em encontrar a solução de sistemas indeterminados e também faziam confusão

entre parâmetro e incógnita.

Por meio dos estudos de Bisognin e Cury (2009), o autor também constata

dificuldades quase que idênticas nos estudantes calouros da Matemática do Ensino

Superior, em apresentar soluções de sistemas indeterminados e impossíveis e

realizar cálculos algébricos incorretos, porém a motivação principal foi quando

observou nos relatórios do Sistema de Avaliação e Rendimento do Estado de São

Paulo – SARESP (2009) de apontamentos das dificuldades dos alunos de 9º ano do

Ensino Fundamental e 3º anos do Ensino Médio em solucionar problemas

envolvendo Sistemas de Equações Lieares (BISOGNIN e CURY, 2009, apud

RODRIGUES, 2011). Por isso, Rodrigues (2011) escolheu como objetivo investigar

como é abordado o conteúdo de Sistemas de Equações Lineares nos Cadernos do

Professor de Matemática da Rede Pública de São Paulo, de 2008 e 2009.

Entre os resultados obtidos por Rodrigues (2011) foram que: apesar da

Orientações Curriculares do Ensino Médio - OCEM (2008) recomendar a extinção da

regra de Cramer, foi observado nos materiais analisados. Nenhum documento

recomenda a utilização da representação gráfica para os sistemas de equações

Lineares 3x3 contradizendo as recomendações de algumas pesquisas. E apesar de

algumas delas recomendar, a Coleção Matemática e Realidade os sistemas de

equações estão contemplados no 7º, 8º e 9º ano e o tema se inicia por uma situação

problema e um certo déficit nos exercícios que promova de forma plena a converção

das representações semióticas.

Como o leitor verá a seguir, a importância do trabalho destes dois autores se

evidencia ao enfatizar o valor das habilidades que o aluno precisa ter no domínio do

conteúdo de sistemas lineares no tocante à interpretação de ou apresentação das

respostas em diferentes linguagens.

Para Traldi e Rosa (2010), a ruptura unilateral, pode criar obstáculos sérios

para a aprendizagem e em relação ao ensino e apredizagem, uma corrente ainda

31

presente nas nossas aulas de matemática é que ainda identifica o ensino como

transmissão de conhecimento.

Traidi e Rosa Neto (2010) tiveram como referencial teórico a Teoria dos

Registros de Representação Semiótica de Duval (1999), apresentando uma

abordagem com Sistemas Lineares para alunos do segundo ano do ensino médio,

com o objetivo de saber como transitam os diversos registros no aprender deste

assunto.

Esses autores analizaram um livro didático recomentado pelo Programa

Nacional do Livro de Ensino Médio - PNLEM (2009), pesquisas já realizadas como

as de Machado (1996), Freitas (1999), Karrer (2006) e documentos oficiais como:

Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (2002) e OCEM (2006) entre outros. E

sobre o livro didático, a questão foi a seguinte: em quais registros de representação

semiótica estão sendo abordados os sistemas lineares no livro didático “Matemática

Ensino Médio” de Amole e Diniz (2007)? Quais as conversões de resgistros

apresentadas nos exercícios resolvidos e nos propostos?

Ainda em relação ao trabalho de Traldi e Rosa Neto (2010) sua pesquisa de

campo foi realizada por meio de um questionário de quatro questões aplicadas a 100

alunos do Ensino Médio da rede estadual de São Paulo, procurando saber se o

aluno consegue visualizar sistemas lineares em problemas e desenvolver usando

diversos registros. Como resultado, segundo o autor, quando aplicaram a mesma

questão os resultados foram superiores aos levantados por Karrer (2006).

Quanto ao livro didático analisado, Traldi e Rosa Neto (2010) fizeram uma

avaliação positiva destes materiais, entre as quais diz que: além de trabalhar em

espiral, também demonstra e resolve atividades com mudança de registro, não

comenta o tipo de abordagem metodológica dos professores, mas diz que os alunos

não tiveram dificuldade para resolver sistemas. E observou-se também a grande

importância da tecnologia no processo. Traldi e Rosa Neto nos nos puseram em

contato com a teoria dos Registros e Representação Semiótica, de Duval (1998) a

qual usamos pasra analisar de forma mais detalhada os registros deixados pelos

alunos nas respostas dos questionamentos.

O trabalho de Sonía Rufato (2014), logo abaixo, veio eforçar o quanto a

resolução de sistemas lineares é indispensável para a vida cotidiana dos alunos, e

que a metodologia utilizada em sua pesquisa proporcionou maior interesse e

32

entusiasmo pela matemática e afirma que os conceitos construídos de forma correta

viabilizam a aplicação em outros contestos da matemática.

Rufato (2014) trouxe como objetivo do seu trabalho, destacar o quanto pode

ser significativo do estudo dos sistemas linerares no Ensino Médio por meio das

aplicação cotidianas, e assim tornar significativo este saber.

A não aplicação dos saberes escolares conduz os alunos a um aprendizado mecânico e desprovido de reflexão, pois eles não cosenguem relacioná-los com o seu dia-a-dia. Na verdade o estudo sem contextualização pode não permitir a exploração do caráter indagador que ele possui, daí, em muitos casos, não possibilitar a construção significativa do conhecimento (RUFATO, 2014, p. 17)

Nessa perspectiva, a autora consolida o objetivo do seu trabalho, por

observar que o alunado demonstra dificuldade de relacionar as situações problemas

do dia-a-dia aos conteúdos aprendidos.

Rufato (2014) estruturou seu trabalho em três capítulos, o primeiro expõe

com detalhes as definições de equação linear e de sistemas lineares, com exemplos

e resoluções em diferentes liguagens com uso das digitais para produzir os gráficos,

e nas resoluções deu ênfase para o método de resolução de Gauss. No segundo,

ela relata três exemplos de aplicações de sistemas lineares: na corrente elétrica, no

balanceamento de equações químicas e no controle de trânsito numa rua de mão

única nos dias em que o trânsito está acelerado. No terceiro ela trata da aplicação

de uma sequência didática para o ensino de sistemas lineares aplicado no

condicionamento físico, de caráter investigativo e ao mesmo tempo esclarecer aos

alunos que sistemas lineares não é um assunto restrito, e ainda realçar a

importância da atividade física.

Para a realização da pesquisa, a turma foi dividida em grupos de cinco

alunos, de forma que as atividades profissionais ficassem mais entrelaçadas

possível, para que compartilhassem suas experiências uns com os outros nos

contextos sugeridos pelas atividades, e anotando os rendimentos de cada um numa

tabela. Com essa sequência, segundo a autora, foi possível as seguintes

conclusões:

- Maior interesse e entusiasmo pelas aulas de matemática;

- Que o conteúdo abordado através de situações problemas possibilita um

conhecimento matemático mais significativo;

33

- A aplicação dos sistemas lineares direcionados às situações reais fez com

que os alunos enxergassem a importância da matemática no cotidiano;

- Essa metodologia nas aulas de matemática além de servir para motivar os

alunos a criar novas idéias, também facilita a compreensão e a interpretação dos

problemas reais onde estão inseridos.

O ponto importante do autor a seguir, para este trabalho, foi o enfoque na

resolução de problemas, que no nosso caso pode ser devidamente orientado passo

a passo por uma seqência didática, assim como também chama a atenção para a

paciência que o professor precisa ter na construção dos conceitos por parte dos

alunos. Por Rufato (2014), nos asseguramos da importancia dos Sistemas Lineares

na vida cotidiana dos aluno e do ensino contextualizado.

Para Antoniassi (2013), apesar de muitos professores reconhecerem a

importância da resolução de situações-problema para o ensino da matemática,

muitos deles não desenvolvem um trabalho satisfatório, usando quase sempre o livro

didático sem obedecer as etapas propostas pela metodologia da resolução de

problemas. Por conta desta constatação, escolheu como objetivo do seu trabalho:

elevar o número de acerto dos alunos na resolução de problemas, e assim poder

viabilizar melhores condições aos alunos do ensino fundamental II para interpretar,

compreender e resolver situações problemas relacionadas ao ensino de sistemas de

equações lineares com duas incógnitas.

A metodologia da resolução de problemas tem grande importância no processo ensini-aprendizagem, já que o ser humano é desafiado a resolver problemas a todo momento em seu cotidiano. Com a prática da resolução de problemas nas aulas de matemática, os alunos têm a oportunidade de desenvolver e sistematizar os conhecimentos matemáticos dando significados aos conteúdos trabalhados (ANTONIASSI, 2013, p. 13).

O autor iniciou seu trabalho descrevendo: tópicos hitóricos da escola como

berço do desenvolvimento da pesquisa; depois, adotou a Engenharia Didática para

guiar seu estudo; na etapa do levantamento prévio aplicou questionários aos alunos

e aos professores, constatando os seguintes problemas de aprendizagem: 1)

dificuldade de compreensão do texto da situação apresentada; 2) não percebiam os

dados importantes do enunciado; 3) tinham dificuldades de identificar o significado

da operação matemática envolvida na resolução e 4) apresentavam dificuldade de

identificar os conceitos matemáticos que deviam ser utilizados na situação problema.

34

Baseado nesta situação, Antonissi (2013) desenvolveu sua sequência

didática, proporcionando a exploração das liguagens escrita e gráfica, sendo que

para alguns gráficos foi usado os recursos do Geogebra, e como resultado concluiu

que: A resolução de problemas surge como alternativa metodológica para auxiliar

o professor em sala de aula; no caso de sistemas de equações de primeiro grau com

duas incógnitas, a sequência didática deve levar o aluno a construir os conceitos

corretos de sistema para viabilizar a aplicação em outros contextos, concretizando

assim a aprendizagem significativa; a metodologia requer tempo e paciência,

principalmente por parte do professor e também, que o professor que trabalha com

a metodologia da resolução de problemas, dispõe de um importante recurso para

desenvolver, facilitar e aprimorar o processo ensino-aprendizagem.

Aqui não tratamos específcamente da resolução de problemas, mas

percebemos em seu trabalho a aplicação da Engenharia Didática como guia para a

realização de sua pesquisa, e que o desenvolvimento de sua pesquisa nos ajudou

como forma de modelo mais aproximado da nossa realidade, para a realização da

nossa.

Outro trabalho considerado influente no nosso trabalho foi o artigo de

Roratto, Nogueira e Kato (2009), quando insistem que a matemática ainda é rotulada

como difícil, e que os professores acham mais fácil abordar o conteúdo de forma

dedutiva, repetindo um processo pronto, chamando a atenção para os fatores de

aprendizagens de Ausubel e para o ensino por meio de uma sequência didática.

Segundo Roratto, Nogueira e Kato (2009, p. 775 - 786), a matemática

sempre foi rotulada como difícil, e de forma incontestável, é muito mais fácil para o

professor abordar um conteúdo pela forma dedutiva, pronta para ser repetida,

apresentando se uma sequência nítida de um processo pronto, restando ao mesmo

apenas replicar a estrutura para os alunos. E observando os fatores da

aprendizagem significativa de Ausubel (2003 apud HORATO, NOGUEIRA E KATO,

2009), que são: a) a existência de conhecimentos prévios relevantes; b) a existência

de um material potencialmente significativo; c) disposição para se aprender

significativamente.

Os pesquisadores Roratto, Nogueira e Kato (2009, p. 775 - 786),

desenvolveram uma sequência didática para o ensino de funções para uma turma se

8º ano de Paranavaí/PR, partindo de conceitos dos mais simples que colaboraram

com a compreensão e a formalização como: a relação qualitativa, relação

35

quantitativa de dependência, os padrões, as variável, e representações gráficas e

algébricas que se constituem nessa ordem para a formalização do conceito de

função.

Esses três autores elaboram uma atividade para cada um deles, para que

passo a passo, os alunos viessem a alcançar a formalização final. A Sequência foi

aplicada em uma turma de alunos com perfis sociais e rendimentos escolares

bastante variados, também de difícil controle, e que ainda não tinham estudado o

conteúdo de funções. Sendo assim, estariam estudando pela primeira vez, por meio

da sequência didática.

Pelo fato da sequência permitir esse processo de subsunção superordenada, em que cada conceito serve de base para o aprendizado do próximo, que, por sua vez, está relacionado com seu precedente de uma maneira não trivial, ela constitui-se em um material potencialmente significativo, segundo a teoria de Ausubel (2003, apud RORATTO, NOGUEIRA E KATO, 2009, p. 775 - 786).

Por esta análise, esperavam um resultado melhor, mas no final da aplicação

desta sequência não tiveram os resultados esperados em relação aos demais

métodos já usados. Porém, com base nas observações detalhadas do

comportamento da turma durante a aplicação, destacam que: o ensino de

Matemática, assim como a educação brasileira, em geral, forma estudantes com

pouca iniciativa e pressa excessiva para buscar soluções, e consequentemente, não

desenvolvem a autonomia suficiente para a aprendizagem por descoberta. E isso

tende a não se restringir apenas à vida acadêmica, ela avança para a vida

profissional e social.

E assim concluíram os estudos acreditando que se a metodologia for

aplicada aos estudantes desde as séries iniciais, desenvolverá nos alunos a

participação efetiva típica de um estudante ativo e participativo na investigação, no

qual lhes são necessário o ato de pensar, e não apenas o de reproduzir.

O trabalho desses autores reforça o que exploramos em nossa Sequência

Didática. O conceito de que a sequência didática formaliza a ordenação conceitos, e

que cada um deles baseia se no conceito anterior, e nos chama atenção para a

construção de uma sequência didática que venha promover a autonomia dos alunos

no desenvolvimento das atividades.

36

1.3 - Considerações Sobre a Revisão Literária

Este levantaménto literário trouxe informações significativas para o

desenvolvimento de nossa Sequências Didática, no momento em que apontou os

problemas de aprendizagem sobre Sistemas lineares, a importancia do seu ensino,

as aplicações em diversas áreas do conhecimento, as formas trabalhadas pelos

autores consultados e as orientações para o ensino por via de suas pesquisas e

experimentações em sala de aula.

Como resultado da revisão literária as ideias apresentadas pelos autores são

descritas conforme o conhecimento (Didática e metodologia; aplicações dos

Sistemas Linearess), Depois os autores trabalhados e as indicações dos pontos

importantes destacados por eles em relação ao ensino e aprendizagem, bem como

os métodos de ensino apresentados por eles.

Entre os especialistas em didática, aqui consultados, (vide Revisão literária

p. 20), pelo fato de se tratar da construção de um produto de ensino, procuramos o

que de mais relevante de D’Amore (2007), Libâneo (1994), Pilet (2002) e Pais (2011)

e Chevallard (1991), que nos embasou para a construção do mesmo. No entanto,

abordamos um pouco mais das ideias de Chevallard (1991), pela abordagem prática

orientadora na transformação de um conteúdo da sua escrita científica, e a este

procedimento, ele o chamou de Transposição Didática, procedimento imprescindível

entre os conhecimentos do professor para que possa transpor o conteúdo não só da

escrita científica, mas da escrita de outra realidade para o cotidiano dos seus alunos.

Dos autores referenciados até aqui, Alguns, deles aproveitamos suas

contribuições em relação aos problemas de aprendizagens de Sistemas Lineares,

por eles levantados, os quais inspiraram nossa investigação; outros contribuíram

com o elenco das áreas de aplicação, onde compreendemos que para levarmos

estas aplicações ao dia a dia dos alunos, usamos as orientações da Transposição

Didática para tornar o assunto acessível às situações simples da realidade dos

alunos; outros nos auxiliaram com orientações para o ensino, e os demais com

orientações didático-metodológicas mais generalizadoras que nos formam para o

ensino em geral, conforme a síntese a seguir. Dos autores desta revisão literária,

alguns usaram a Engenharia Didática como guia de sua pesquisa, porém tratamos

com mais detalhes na seção 3.3 do capítulo seguinte.

37

1.4 – Síntese das Ideias dos Autores

Contribuição Autor Pontos importantes

Didática e metodologia

Chevallard (1991), A transposição didática parece ser para o ensino, um instrumento primordial que se assemelha ao trabalho da mãe ao transformar produtos comestíveis, da forma in natura pelo cozimento e outros tratamentos, em alimentos para sua família.

Libâneo (1994, p. 25 -26),

A tarefa do professor é garantir a unidade didática entre o ensino e a aprendizagem pelo processo de ensino.

Piletti (2002, p. 43) Piletti ainda faz uma diferença entre Didática e Metodologia, a Metodologia estuda os métodos de ensino e sua classificação. A Didática por sua vez faz o juízo de valor sobre a metodologia.

Pais (2011, p. 17) A transposição didática pode ser entendida como um caso especial de transposição de saberes,

Anatole France (s.d., apud D’Amore, 2007, p.15),

“Não buscai satisfazer vossa vaidade, ensinando coisa demais aos seus alunos. Despertai neles a curiosidade”. É suficiente abrir sua mente e não sobrecarrega-la. Colocai apenas a faísca, se tiver matéria inflamável, o fogo surgirá.

Rosa Neto (2001, p. 20)

A formalização das operações simbólicas de François Viète, deve ser sugerida aos alunos do 2º Grau.

Onuchic (2014), Sobre o ensino por resolução de problemas, o propósito principal dessa abordagem de ensino é levar os alunos a utilizá-la em seus contextos diversos, como teoria de significado prático.

Valiente (2015) Segundo Valiente (2015), a aplicação dos sistemas lineares em Engenharia, Ciência da computação, Economia, Biologia e outros

Rangel (2011) E o segundo, por trazer detalhes de como os sistemas lineares se significativo na vida dos alunos.

Bassanezi (2010), A modelagem matemátrica, consiste na arte de transformar problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.

Neman (2013) No tocante aos sistemas lineares, pois além de unirem dois grandes campos: geometria e Álgebra, possibilitam também à matemática interagir com outras disciplinas como: Biologia, Física, Química e Sociologia.

Aplicações

Jordão (2011) Os problemas de aprendizagem que o produto objeto deste trabalho tem o objetivo de minimizá-lo, como: dificuldade para resolver sistemas 3x3, ou classifica-los quanto a sua solução.

Chiari (2011) Destacou as dificuldades dos alunos no estudo de sistemas lineares como: dificuldades para usar as operações elementares na resolução de equações e sistemas de equações.; dificuldades na conversão da linguagem escrita para a linguagem matemática; não verificar as respostas e não ter clareza do que elas representam.

38

dos sistemas lineares e metodologia de ensino.

Freitas (2013) Os alunos não fazem a diferença entre parâmetro e incógnita, faltam lhes habilidades de interpretação e converção das representações.

Rodrigues (2011) As dificuldades dos estudantes calouros da Matemática do Ensino Superior, em apresentar soluções de sistemas indeterminados e impossíveis.

Rufato (2013) A resolução de sistemas lineares é indispensável para a vida cotidiana dos alunos

Fonte: Autoria própria (2018)

Nesta síntese, reunimos os pontos relevantes do estado da arte, em síntese,

que serão nesta dissertação, os guias para o desenvolvimento do produto e sua

metodologia de experimentação em sala de aula. E ainda dentro deste quadro

percebemos autores que assumem a vanguarda do nosso trabalho, como:

Chevallard (1991) e Pais (2011), com a importância da transposição didática para o

ensino, quando procuramos encaminhar o assunto a ser ensinado pelas vias de

interesse dos alunos; Valiente (2015) e Rangel (2011), quando enumeram as áreas

de aplicação dos sistemas lineares; Freitas 2013 e Rodrigues (2011), quando

enumeram os problemas de aprendizagem que os estudantes não conseguem sanar

no ensino básico.

Em nossa revisão literária encontram se autores comtemplados diretamente

que não se encontra neste quadro, mas que junto com estes se torna guia para este

trabalho, pelo método da Análise dos Registros e Representações Semióticas,

tratado no capítulo seguinte.

39

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E METODOLÓGICA DO ENSINO: Ensino de

Matemática por Meio de Sequência Didática.

2.1- Bases Conceituais e Contextualização

Desenvolvemos esse capítulo para abordar os pontos de maior

especificidade dos autores consultados, no apoio e sustentação do desenvolvimento

da sequência didática para o ensino dos sistemas lineares pelo método do

escalonamento ou como diz Lawson (1997), a eliminação gaussiana se baseia na

simplificação de equações pela eliminação de suas variáveis, uma de cada vez, de

equações sucessivas. E assim o sistema simplificado é equivalente ao anterior.

A Sequência Didática entra nesse trabalho como uma sequência de

atividades planejada e articulada para que possam caminhar por vias conceituais ou

habilidades mais simples até chegar aos conceitos ou habilidades desejadas, pois,

Buscando os elementos que as compõe, nos damos contas de que são um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos alunos como pelos professores (ZABALA, 1998, p. 18).

Por este autor, entendemos a Sequência Didática como um conjunto de

atividades articuladas de modo a proporcionar ao aluno chegar aos objetivos

almejados pela Sequência, conhecidos e esperado pelo professor. Quanto ao aluno,

esse deve saber que precisa chegar lá, como objetivo de sua aprendizagem. E é

nesse momento que a contribuição do “ensino de matemática por atividades”2, como

se torna importante na articulação da Sequência Didática, sendo que:

Essa forma de abordagem de ensino pressupõe uma colaboração mútua entre professor e aluno durante o ato de construção do saber, pois a característica essencial desse modo de encaminhar as atividades de ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos estão por serem redescobertos pelo próprio aluno durante o processo de busca que é conduzido pelo professor até que ele seja incorporado na estrutura cognitiva do aluno (SÁ e JUCÁ, 2014, p. 146).

Por meio das atividades articuladas, nos encaminhamos para a montagem

da Sequência Didática para a aprendizagem de conceitos e aquisição de habilidades

2 Expressão usada por Ivanilde Apoluceno de Oliveira, no prefácio de Sá e Jucá (2014, p. 9), para denominar

uma experiência com regra de três, realizada numa turma de 30 alunos de uma escola pública do bairro Guamá em Belém.

40

para interpretação e resolução de problemas possíveis de serem modelados por

sistemas Lineares.

A articulação de um conjunto de atividades, para juntas propor a

aprendizagem de conceitos e consolidar habilidades parece ter seu embrião no

Japão, especificamente em 1954, na região de Osaka, em que o professor Toru

Kumon, descobrindo que seu filho estava tendo sérias dificuldades para

compreender a matemática, resolveu cuidadosamente articular as atividades para

que o seu filho Takeshi pudesse, fazer as atividades (vide anexo - 01), partindo de

problemas mais simples, para aos poucos chegar ao mais complexo, até deduzir os

conceitos inerentes e consolidar as habilidades exigidas por aquelas atividades,

como assim diz: Kumon (2001, p. 14), “nesse horário, logicamente não me era

permitido ensinar meu filho, a solução foi preparar exercícios à mão, no dia anterior,

para que minha esposa os entregasse a Takeshi”.

Olhando as atividades do método Kumon percebe-se que existem pequenas

diferenças no grau de dificuldade de um item anterior para o seguinte, isso para

permitir que o aluno aos poucos ganhe autonomia para resolver as atividades.

Vejamos que a atividade D151a, (anexo - 02), fornece um exemplo da transformação

de uma fração imprópria em um número misto, em seguida, nos dois primeiros itens,

pede para o aluno descobrir o numerador da fração do número misto. Do terceiro ao

décimo primeiro item, observamos que a atividade já pede o registro completo do

número misto correspondente à fração imprópria dada, e vai aumentando o

numerador da fração. E no final da atividade ele orienta como se lê a fração e o

número misto, e nesta informação estão fornecendo elementos que irão formalizar

algo mais abrangente, que é conceito das frações impróprias.

Então, pela literatura consultada, entendemos que Kumon articulou as

atividades para seu filho, graduando as de forma que entre um item e outro não

houvesse grande exigência cognitiva, e assim, seu filho, ao terminar o item anterior,

não encontrasse muitas dificuldades para fazer o item seguinte, por isso em nossa

Sequência Didática, procuramos aproximar o máximo possível cada item, para que o

aluno possa ligar a compreensão de um item com o outro.

Para Almeida, Oliveira e Florêncio (2008 apud SÁ, MAUÉS E MUNFORD,

2014), “o ensino por investigação é uma estratégia de ensino que engloba atividades

centradas no aluno, possibilitando o desenvolvimento da autonomia e da capacidade

de tomar decisões, de avaliar e de resolver problemas”. Então, analisando as

41

atividades do Sistema Kumon de Ensino, e o Ensino de Matemática por atividade, os

dois modelos buscam aproximar cada item da atividade, para que os alunos não se

percam de um item para o outro no caminha do entendimento para a formalização

dos conceitos envolvidos no processo.

Para melhor visualização desta análise, vejamos a atividade de Sá e Jucá

(2014), (vide Anexo 03), quando expõem uma sequência de frações para os alunos

dividirem o numerador pelo denominador e observar a posição da vírgula nos

resultados e ligar a posição da vírgula com a quantidade de zeros à direita da

unidade do denominador.

Nesta mesma linha de pensamento, Azevedo (2010, apud ALMEIDA,

OLIVEIRA e FLORÊNCIO 2014, p. 6758) diz que “utilizar atividades investigativas

como ponto de partida para desenvolver a compreensão de conceitos é a forma de

levar o aluno a participar de seu processo de aprendizagem e sair de uma postura

passiva”.

Segundo Azevedo (2010, apud ALMEIDA, OLIVEIRA e FLORÊNCIO 2014,

p. 6758), entendemos que a interação entre o sujeito e o objeto, que no caso, o

objeto é uma atividade com o objetivo de ensinar algo aprendiz, este torna se o

catalizador da aprendizagem. Então, quando o ensino deixa de partir das definições

e explicações antecipadas, para partir de um conjunto de atividades articuladas em

direção ao construto de compreensões do que se quer ensinar, nos levou a crer que

o ensino por atividade inspirou o nosso modelo de Sequência Didática, e por isso

deve conter algo que motive o aluno a aprender, para isso a contextualização

precisa pautar em algo do dia-a-dia do aluno, em seu desejo, em alguma outra

disciplina escolar que ele se identifique, ou mesmo em algum conhecimento

matemático que o aluno já saiba. Em relação ao dia-a-dia do aluno, para Silva

(2009, p. 60): “é necessário que o conhecimento escolar seja relacionado com o

conhecimento da vida diária do ano”.

Essa é apenas uma das dimensões da contextualização, pois a

complexidade da vida humana não cabe apenas em um tipo. Para isso o professor,

no âmbito do seu domínio área, pode usar como elemento catalizador da

aprendizagem, algo que os alunos praticam com entusiasmo e descontração como:

brincadeira e jogos.

42

Por sua dimensão lúdica o jogar pode ser visto como uma das bases sobre a qual se desenvolve o espírito construtivo, a imaginação, a capacidade de sistematizar, abstrair e a capacidade de interagir socialmente. [...] Esse aspecto lúdico faz do jogo um contexto natural para o surgimento de situações problemas cuja superação exige do jogador alguma aprendizagem e certo esforço na busca por sua solução (SMOLE et al, 2008, p. 10).

Pelas orientações dessa autora, entendemos que uma Sequência Didática

pode perfeitamente conter algum tipo de jogo, desde que com estratégia e objetivos

definidos, para que a culminância seja atingida.

Em relação à contextualização em outras disciplinas, como: História, Física,

Biologia, Química, vejamos o que diz Silva (2009):

A contextualização de conteúdos matemáticos no âmbito de conteúdos de outras disciplinas é uma das formas de se mostrar a contribuição da matemática na leitura dos diversos fenômenos naturais e sociais em que outras ciências se apresentam. (SILVA, 2009, P. 66)

Das contextualizações apresentadas por esse autor, uma sequência Didática

pode contextualizar também os fenômenos sociais bastante contundentes numa

comunidade como: a história o comércio, o trânsito urbano e a gestão pública.

Entre os contextos históricos para a inserção no ensino da matemática, a

própria história da matemática vem sendo recomendada como um possível

incentivador da aprendizagem de alguns conteúdos, partindo da motivação que

culminou na descoberta e no aperfeiçoamento de determinado conteúdo. E além de

poder traçar um paralelo entre o aparecimento do assunto movido pelo contexto

histórico da época,

O professor deverá explicar ao aluno que determinados assuntos em matemática, são ensinados devido serem muito uteis para determinadas profissões. Logo conhecer tal assunto poderá lhes ampliar as possibilidades na escola da carreira e lhes dará mais segurança em relação à matemática que terá de aprender futuramente (MENDES e CHAQUIAM, 2016, p. 25).

Nessa perspectiva, a historicidade dos conteúdos, poderá incentivar os

alunos que se identificam com a história, incentivando o interesse para assimilar os

conteúdos de um produto de ensino. Outro mecanismo de contextualização para o

ensino da matemática, é a contextualização na própria matemática. Isto significa que

alguns assuntos matemáticos, para que os alunos avancem no conhecimento e

aperfeiçoem seu poder de abstração, é necessário o exercício da matemática dentro

43

da própria matemática, para que possam compreender a sua estrutura lógica

interna, pois se a matemática não tivesse essa estrutura consistente, não seria

capaz de guiar as outras ciências com a segurança que as ciências precisam para

dá o suporte de qualidade que a vida moderna demanda.

Para este trabalho, procuramos introduzir no contexto das atividades as

rodadas de açaí na tigela, item forte da alimentação local. Nesse ponto entendemos

que os contextos envolvem outros meios sociais em situações informais, como uma

rodada de açaí na tigela, frequentes nas lanchonetes da região.

Outro modelo de contextualização que usamos, foi quando tivemos que

recorrer aos assuntos mais elementares que os alunos precisavam saber para que

pudessem assimilar o novo conteúdo, como: as operações com monômios, no

momento de aplicar as operações básicas nas equações do sistema, para adquirir

sistemas equivalentes.

Situar o raciocínio do aluno a partir de um conceito que seja uma forma mais elementar daquele conhecimento considerado. [...] Da mesma forma que podemos desenvolver um conhecimento matemático mais elevado por intermédio da manipulação de conceitos mais simples e conhecido do aluno, podemos a partir de um dado conteúdo mais complexo melhorar a compreensão de outro já conhecido (SILVA, 2009, p. 69, 73)

De acordo com o que entendemos de Silva (2009), podemos articular as

atividades e uma sequência didática também para a compreensão de conceitos já

conhecidos pelos alunos. E tratando da nossa Sequência Didática se enquadra

neste entendimento quando articulamos suas atividades usando conceitos simples,

como: o de equações equivalentes, para proporcioná-los as possibilidades de

construir os conceitos de sistemas lineares equivalentes. E na prática de cada uma

delas, desenvolvem também as habilidades para resolver problemas modelados por

Sistemas Lineares.

2.2 - A Transposição Didática de Chevallard

Para melhor explanar as âncoras teóricas sobre a Transposição Didática,

revemos a aplicação desta palavra partindo de uma situação discutida a nível

popular para isso esperamos que o leitor já tenha ouvido falar na palavra

“transporte”, substantivo abstrato, originário de transportar, verbo transitivo direto

que significa levar algo de um lugar para outro. O termo transposição também vem

44

do ato de transportar, porém neste caso trata se de algo mais complexo, como:

Mudar a direção da correnteza de um rio, como a transposição do rio São Francisco,

assunto bastante discutido pela política brasileira nas últimas duas décadas. Então a

ideia da transposição didática de Chevallard (apud MENDONZA, 2005, p. 87), trata

se de um processo de aproximação entre o saber descoberto pela ciência e o saber

a ser ensinado. No intuito de explicar melhor o fenômeno da transposição didática,

dizemos que:

A ideia se vale de um exemplo de transposição, que se faz numa peça musical tocada no violino, para se tocar no piano: é a mesma peça, é a mesma música, porém ela está escrita de maneira diferente, para poder ser interpretada com outro instrumento (MENDONZA, 2005, p. 6).

Então, com os conteúdos ocorre algo semelhante, onde o assunto escrito na

linguagem rebuscada no rigor da ciência é transposto didaticamente por meio de

linguagens acessíveis aos profissionais de outras áreas da ciência, e gradualmente

vai ganhando adequações didáticas sucessivas, a caminho de atender aos demais

níveis cognitivos do ensino básico respectivamente, pois para D’Amore (2007, p.

226), “a transposição didática consiste em extrair um elemento de saber do seu

contexto (universitário, social etc.) para contextualizá-lo no âmbito sempre singular e

sempre único da própria classe”.

As orientações de D’amore (2007) nos leva a comparar a Transposição

Didática como um redutor de distâncias, sendo que por meio da transformação de

linguagens, em que um conteúdo sai dos meios resolutivos da ciência para se tornar

conteúdo de ensino teórico e prático no contexto escolar.

A transposição didática de um conteúdo, segundo os autores consultados, é

o processo de transformação da sua linguagem científica para uma linguagem mais

simples, porém sem perder o seu significado prático ou mesmo teórico no

entendimento do aprendiz.

Esta transformação simplificadora deve adquirir as características atrativas

para cada nível de entendimento em que se encontram os grupos de aprendizes,

onde não há necessidades de conhecer as estruturas conceituais pertencentes aos

níveis mais específicos da ciência. E no caso específico do escalonamento dos

sistemas lineares, o procedimento que sustenta o escalonamento é a fatoração LU,

mas pelo fato deste assunto não influenciar diretamente na assimilação dos

procedimentos de escalonamento e aplicação e resolução de um sistema linear, o

45

filtro da transposição didática a deixa a cargo dos estudantes que venham

futuramente se interessar na investigação dos fundamentos científicos dos

tratamentos mais avançados dos sistemas e das matrizes futuramente.

Quando estudamos aritmética, aprendemos que: fatorar um número inteiro é

transformá-lo em produto de outros fatores, e é por isso que podemos reescrever o

número 6, com o produto dos seus fatores, entre eles o produto: 2x3. Agora, quando

queremos ensinar um grupo de estudantes a resolver problemas modelados por

sistemas lineares, os procedimentos numéricos envolvidos para transformar a matriz

dos coeficientes das variáveis de um sistema em produto de duas matrizes

triangulares, demanda de um volume de operações que onera o processo de

assimilação dos sistemas, tanto no tempo quanto na mobilização pré-requisitos que

os alunos ainda não os têm.

Então, o leitor que observa um sistema escalonado, e pode perceber

também que a matriz formada pelos coeficientes configura-se num matiz triangular, e

um dos fatores da matriz original. E é nesse momento, não só em matemática, mas

em outras disciplinas, que a transposição didática de Chevallard entra em cena

como um processo de filtragem do conteúdo, levando ao estudante apenas aquilo

que ele deve e pode aprender naquele momento, sem prejuízos de conceitos.

Em nosso trabalho, entendemos que a transposição didática de Chevallard

aparece de maneira mais nítida quando no desenvolvimento de nossa Sequência

Didática, reestruturamos o conteúdo de Sistemas Lineares em atividades que passo

a passo orientam os alunos nos procedimentos de reconhecimento de uma equação

equivalente, obtenção de sistemas equivalentes com a aplicação das operações

básicas, além de inserir elementos da realidade deles, como a culinária local e

objetos do seu dia a dia, no sentido de facilitar a compreensão do assunto.

2.3 – Contribuição da Engenharia Didática

Nessa parte do nosso texto dissertativo em que traçamos um viés histórico e

ao mesmo tempo orientador dos passos de nossa pesquisa, buscamos o apoio

teórico em (CARNEIRO, 2005)

A expressão: Engenharia didática de Artigue (1994, 1996) criada na área da

didática da matemática, na França, na década de 80, foi inspirada no trabalho dos

engenheiros em que no dia-a-dia do que fazem precisam sólidos conhecimentos

46

científicos básicos para enfrentar as diversidades de sua prática. A origem desta

teoria surgiu da busca em cunhar novas ideias para a educação, sem perder de vista

o saber prático do professor. Então esta teoria veio para atender: as relações entre

pesquisa e ação no sistema de ensino; e consolidar o lugar reservado para as

realizações didáticas entre pesquisa e ensino. Dessa forma, ela tem duplo papel:

Enquanto produz ferramentas para o ensino, desenvolve metodologia específica de

pesquisa a partir das experiências em sala de aula. Esta linha de pesquisa se apoia

na articulação prática do ensino e na teoria da Engenharia Didática.

A Engenharia Didática de Artigue (1994, 1996) é extensa e detalhada,

porém, para o nosso trabalho, recortamos os fragmentos compostos dos

pressupostos principais e suficientes para guiar a pesquisa que dará suporte teórico

ao nosso produto de ensino, pois:

Nessa linha prática de ensino é articulada com prática de investigação. A teoria da Engenharia Didática pode ser vista como referencial para o desenvolvimento de produtos para o ensino, gerados na junção do conhecimento prático com o conhecimento teórico (CARNEIRO, 2005, p. 85-118)

Para (ARTIGUE, 1996; apud CARNEIRO, 2005, p. 87-118), a pesquisa

guiada por uma Engenharia Didática possui quatro fases.

1ª) Análises prévias. Esta fase, entendemos como o levantamento prévio e

o nosso levantamento foi realizado por meio de um questionário, (Vide apêndice 01),

aplicados a alunos que já haviam estudado Sistemas Lineares, em que levantamos

alguns problemas de aprendizagem que se encontram descritos em detalhes na

análise a priori.

2ª) Concepção e análise a priori. Nesta fase, analisamos as respostas dos

respondentes, no levantamento prévio, à luz dos autores que estudam o assunto. E

como parte desta análise, planejamos a Sequência Didática.

3ª) Implementação da experiência. Esta fase, entendemos como a fase da

aplicação ou experimentação do produto de intervenção. O nosso produto, que ao

mesmo tempo é a nossa Sequência Didática.

4ª) Análise a posteriori e validação da experiência. Nesta quarta e última

fase, entendemos como análise dos resultados finais, confecção de mapas ou

relatórios a serem validados e apresentados como resultado da pesquisa. Neste

trabalho.

47

2.4 – Fundamentos Metodológicos da Engenharia Didática

A Engenharia Didática Surgiu no início de 1980, quando a noção da

Engenharia Didática aparece na didática da Matemática, comparando o trabalho

didático ao trabalho de um engenheiro que enfrenta os problemas com todas as

ferramentas que dispõe. (SOUZA e CORDEIRO, 2016).

As etapas da pesquisa deste trabalho estão pautadas seguindo as

fundamentações teóricas da Engenharia Didática, segundo Artigue (1988), por

perceber que esta metodologia, aqui descrita resumidamente, se enquadra nos

nossos paradigmas de pesquisa, como: a) levantar os dados, b) analisar estes

dados buscando apostes teóricos para entender os possíveis fenômenos

detectados e desenvolver o uma possível solução, c) experimentar a solução

planejada, e por último, d) avaliar a solução.

O levantamento prévio, primeira etapa da pesquisa, foi realizado por meio da

aplicação de um questionário (vide apêndice - 02) aplicado a alunos de uma escola

pública que já estudaram Sistemas Lineares, em uma escola pública do Ensino

Médio na cidade de Aurora/PA, que já haviam estudado Sistemas Lineares, para

aferir por descrição estatística in loco as dificuldades enfrentadas por estes sujeitos,

para aprender este conteúdo. A outra parte foi realizada por meio de um

questionário (vide apêndice-03) aplicado à professores de matemática do ensino

médio para aferir as dificuldades enfrentadas no dia-a-dia escolar para ensinar

Sistemas Lineares aos seus alunos, entendemos que o nosso produto para os

alunos, que é uma ferramenta para o professor, por isso julgamos necessário

verificar os dois polos do processo ensino-aprendizagem, nas figuras do professor e

do aluno.

Na segunda etapa realizamos a análise a priori, nesta fase de nossa

pesquisa foram consultados autores, como: Duval (1991), Chevallard (1993), Zabala

(1998) e Cabral (2017), que nortearam a nossa análise e a elaboração da Sequência

Didática que é o produto de ensino a ser validado.

A terceira etapa foi composta pela coleta de dados produzidos a partir da

experimentação do referido produto de ensino, de forma que primeiramente,

aplicamos um teste individual (apêndice 01), sem consulta, para formalizar e conferir

o ponto inicial em que os alunos não sabiam nada do assunto; em seguida iniciamos

a aplicação do produto de ensino, parte experimental do trabalho. Depois do teste

48

inicial, não foi possível aplicar a Sequência Didática, logo de imediato, pois antes de

aplicar as atividades da mesma, tivemos que ensiná-los as operações básicas as

equações. E também fazer intervenções intermediárias no decorrer das atividades.

A quarta e última etapa, foi realização da análise a posteriori das atividades

da Sequência Didática após a experimentação, e sua possível validação. Estas

atividades foram analisadas pelos critérios das Representações Semióticas de

Duval, em razão do considerável volume de respostas discursivas, abordando

linguagens representativas de suas respostas e as conversões de uma linguagem

para outra.

2.5 – Análise dos Registros e Representações Semióticas

De acordo com o Dicionário do Aurélio.com, é a “ciência dos modos de

produção, de funcionamento e de recepção dos diferentes sistemas de sinais de

comunicação entre indivíduos ou coletividades”. E conforme a teoria da análise e

representações semióticas de Duval (2009), aplicamos neste trabalho como

instrumento da análise a priori e a posteriori usamos a análise semiótica de Duval

(2009), para Interpretar os sinais escritos deixados pelos alunos.

Como componentes dessa teoria, Durval (2009) introduz a conversão e o

tratamento. A conversão, ele define como a mudança de um registro para outro,

como: interpretar um enunciado na linguagem materna e passar para a linguagem

algébrica. O tratamento, ele define como: os procedimentos realizados sem mudar

de registro.

No estudo da atividade cognitiva é necessário levar em consideração a importância das representações semióticas presente na matemática, pelos seguintes motivos: em relação às possibilidades de tratamento (não é qualquer tipo de registro de representação que permite um determinado tipo de tratamento); pelo fato de que os objetos matemáticos não são diretamente observáveis (visto que eles não têm existência física e sua apreensão só é possível por meio de registros de representação); e também pelo fato de que existe uma grande variedade de representações semióticas possíveis para serem utilizadas (língua natural, gráficos, linguagem algébrica, figuras geométricas, entre outras). Duval (2004, 2009, apud DIONÍZIO E BANDT, 2012, p. 3)

As atividades da primeira etapa desta sequência seu encaminhamento é

predominantemente discursivo, portanto exigiu dos sujeitos da pesquisa os registros

das linguagens utilizadas por estes sujeitos, para expressar suas respostas. Por isso

49

percebemos a necessidade do uso da análise das representações semióticas de

Duval (2012).

Optamos pela análise das representações semióticas de Duval (2012), pela

riqueza de termos que podemos utilizar nas etapas dos procedimentos discursivos,

que os alunos usam para a obtenção das respostas, a teoria de Duval traz um

detalhamento mais adequado, que compreendemos se adaptar melhor ao volume e

à diversidade de registros das nove atividades escritas, aplicadas as 13 duplas, por

ocasião da experimentação.

As representações mentais recobrem o conjunto de imagens e, mais globalmente, as conceitualizações que um indivíduo pode ter sobre um objeto, sobre uma situação e sobre o que lhe é associado. As representações semióticas são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representações que tem inconvenientes próprios de significação e de funcionamento (DUVAL, 2012, p. 266-297)

No âmbito da interpretação dessas linguagens, que os sujeitos usaram nas

resoluções, tanto das questões Sequência Didática como nos testes de aferição de

saberes, a Análise das Representações Semióticas, conforme este autor, nos leva a

compreender que pelas linguagens expressas dos respondentes, as representações

mentais que gerara as representações expressas, que podem ser na linguagem

comum, ou em algumas das linguagens matemáticas, como: a algébrica, a

geométrica ou mesmo aritmética, pois, para Duval (2012), “uma figura geométrica,

um enunciado em língua natural, uma fórmula algébrica, um gráfico são

representações semióticas que exibem sistemas semióticos diferentes”. Na busca de

interpretar um conjunto de registros semióticos registrado por um respondente,

temos que associar as unidades elementares desses registos, para compreender o

que o referido respondente estava pensando naquele momento.

O funcionamento cognitivo do pensamento humano se revela inseparável da existência de uma diversidade de registros semióticos de representação. Se é chamada semiose a apreensão ou a produção de uma representação semiótica, e noesis a apreensão conceitual de um objeto, é preciso afirmar que a noesis é inseparável da semiose (ibid, DUVAL, 2012).

Aqui entendemos que a semiótica compõe-se de semiose e noesis, a

semiose é a representação semiótica e a noesis, o conceito associado à aquele

50

registo, mas existem as unidade menores que compõe um registro, ou seja um

registro semiótico é composto por unidades menores que são os signos.

A semiótica enquanto ciência da semiose é tão distinta da semiose como qualquer ciência o é do seu objeto. Se x funciona de tal modo que y se dá conta de z através de x, então, pode-se dizer que x é um signo, e que x designa z, etc.; mas aqui 'signo' e 'designa' são signos numa ordem superior de semiose referindo-se ao processo original e inferior de semiose (MORRIS, 1976, p. 11).

Segundo Morris (1976) entendemos que numa relação que envolve as

variáveis descritas pelo mesmo para expressar sua orientação, cada variável, cada

palavra, cada traço, as pontuações, são os signos que reunidos nas diversas ordens

expressam diversos registros semióticos que expressam as deias, e são estas ideias

que buscamos interpretá-las quando analisamos as respostas dos alunos por meio

dos registros deixados por eles.

2.6 – O s Jogos como Estratégia de Ensino

Os jogos como recurso motivador do ensino não são coisa recente, pelo

contrário, acompanham a humanidade desde tempos remotos.

Existem jogos há dezenas de séculos, sendo provavelmente responsáveis pelas primeiras atividades estritamente mentais que o homem inventou (descobriu). Alguns deles contêm noções de matemática recreativa, como os Mancala, cujos tabuleiros se assemelham a ábacos, instrumentos usados na contabilidade antiga para executar operações aritméticas (PEDRO NETO e SILVA, 2004, p. 14).

As afirmações destes autores ainda devem parecer estranhas diante de

grande parte de nós, pelo fato de até em torno de três décadas atrás, os alunos para

serem considerados capazes teriam que vencer as barreiras da exposição verbal

dos conteúdos, e assimilá-los apenas com as explicações do professor. E na busca

de melhorar a acessibilidade aos saberes, é que pesquisadores do ensino vêm

desenvolvendo estratégias que sem tirar a seriedade do ato de ensinar, vêm

recomendando o uso dos jogos no trabalho didático.

Na segunda etapa da nossa Sequência Didática, introduzimos uma atividade

lúdica, um jogo, com o objetivo de fixar o conteúdo trabalhado na primeira etapa,

pois, para Gil (2017, p.18), a utilização de um jogo como “fixação de conteúdos, é a

abordagem mais comum, avaliando a possibilidade de um reforço do conteúdo

51

estudado”. E além do jogo ser útil como atividade articulada para a fixação de

conteúdos, como diz a autora, outras características favoráveis à aprendizagem são

citadas por outros autores, como:

O jogo do ponto de vista pedagógico é desafiador, e permite a apresentação dos conteúdos de modo atrativo, favorece a criatividade na elaboração de estratégias e a persistência na busca de solução, motivada pela vontade de ganhar a partida (ITACARAMBI, 2013, p. 21)

Nessa perspectiva, em se tratando de Sistemas Lineares, conteúdos que no

geral as atividades de fixação são abordadas com extensos cálculos algébricos

feitos à mão, aqui presamos pela compreensão do procedimento para obter

sistemas equivalentes. E para não perder a dinâmica do tempo de jogo, os alunos

podem usar a calculadora para executar as operações de forma rápida.

A ideia da inserção de um jogo como recurso lúdico para elevar a motivação

na participação nas atividades, veio da possibilidade que o joga traz de promover a

alegria e a descontração aos alunos enquanto jogam.

O ato de jogar desde muito cedo acompanha a civilização. Normalmente este termo é usado para descrever duas atividades distintas: a brincadeira, desenvolvida a partir de um conjunto de ações sem regras fixas, e o jogo propriamente dito, onde as regras na sua definição (PEDRO NETO e SILVA, 2004, p. 15)

No nosso caso, o jogo tem regras, e o jogo com regras para traz a

conotação de melhor adequação pedagógica ao Ensino Médio por vi com

incumbências também de solidificar o tom de responsabilidade dentro das

convenções do jogo.

52

“Rabelais (1483 – 1553) critica o formalismo da escolástica excessivamente

livresca e sugere que a afeição e o interesse relativos ao ensino deveriam ser

estimulados por meio dos jogos, mesmo os de cartas e fichas” (ALVES, 2003, p. 17).

E todas estas recomendações culminaram potencializaram nossa decisão de incluir

um jogo nas atividades de nossa sequência para reforçar a aprendizagem do

conteúdo, objeto de nossa experimentação, pelo fato do jogo quebrar o tom formal

da natureza algébrica que os Sistemas Lineares costumam ser apresentado. E a

utilização de elementos da culinária regional tem propósito de captar a atenção e o

interesse dos alunos, por entender que o contato com o contato com elementos que

valorizam a sua cultura tem o poder de motivar a participação, como diz Gil:

Trabalhar numa perspectiva multicultural, neste caso, na elaboração e construção de jogos matemáticos regionalizados, implica no reconhecimento de inúmeros processos de matematização como forma de registro e materialização do pensamento humano, e por isso recorrente em diferentes culturas e muito presente na cultura paraense (GIL, 2014, p. 10).

E por esse contexto de cultura inserida na culinária paraense, abordado pela

autora, inserimos no nosso jogo a culinária paraense, elemento cultural reconhecido

em todo Brasil e em muitos países do mundo, e objeto de orgulho paraense e

consequentemente brasileiro, no sentido de motivar os alunos a se envolverem

nesta atividade, e ainda com potencialidade de inspirar outros professores a inserir

os elementos de interesse local como catalizador da aprendizagem de suas

disciplinas.

Para Aguilà (2014, p. 10), existem seis categorias de jogos para aguçar a

inteligência: “Jogos de cálculo matemático e inteligência numérica; Jogos de

capacidade, raciocínio lógico e agilidade mental; Jogos de estratégia e paciência;

Jogos de memória e observação; Jogos de inteligência verbal e jogos mentais e

enigmas”. Pela classificação deste autor, entendemos que o jogo que inserimos

para fixação do conteúdo a ser trabalhado nesta Sequência Didática, é da categoria:

jogos de cálculo matemático e de inteligências numérica, pois cada rodada do jogo,

os jogadores são provocados pelas questões sobre o conteúdo. São perguntas

teóricas ou resolver algum cálculo para avançar rumo à vitória no jogo. E este

entendimento torna se mais evidente quando (SOUZA, 2006, apud OLIVEIRA

JUNIOR; et al, 2013, p. 4) diz que:

53

Os jogos podem ser utilizados para introduzir, fixar ou concluir um conteúdo, ou seja, é preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados. Assim, um dos motivos para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos alunos que temem a matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la (SOUZA, 2006, apud OLIVEIRA JUNIOR; et al, 2013, p. 4).

Dentro da perspectiva dos autores que recomendam os jogos como

estratégias de ensino, o jogo aqui proposto para fixação da aprendizagem é um jogo

de tabuleiro, chamado de Corrida Sistemática (vide apêndice 04), e com a dinâmica

recreativa que o jogo tem, os alunos descansaram um pouco para no outro dia fazer

a atividade de aprofundamento.

2.7 – Das Atividades Articuladas à Nossa Sequência Didática

As atividades humanas, historicamente se revelam como elementos

propulsores na aquisição de saberes, experiências e habilidades.

O objeto da atividade pedagógica é a transformação dos indivíduos no processo de apropriação dos conhecimentos e saberes; por meio dessa atividade – teórico e prática –, é que se materializa a necessidade humana de se apropriar dos bens culturais de constituição humana. (RIGON, ASBAHR, MORETTI, apud CARDOSO et al, 2012, p. 3)

Por estes autores, entendemos que a presença de um professor na vida de

um aprendiz se torna significativa na medida do direcionamento intencional das

atividades do que se quer ensinar. A atividade é o elemento que promove a

interação materializadora da necessidade humana. E ainda nessa linha teórica, para

Azevedo (2010, apud ALMEIDA, OLIVEIRA e FLORÊNCIA, 2014, p. 6758 - 6764),

“utilizar atividades investigativas como ponto de partida para desenvolver a

compreensão de conceitos é forma de levar o aluno a participar de seu processo de

aprendizagem e sair de uma postura passiva”. E então, por nestas orientações

entendemos o quanto devemos desenvolver atividades que movam com

entusiasmos e os nossos alunos para os saberes significativos e necessários a

promoção da para a qualidade de suas vidas, e da qualidade de vida das futuras

gerações.

54

Apesar das diferenças de natureza que separam a vida orgânica, a inteligência prática ou a inteligência reflexiva, a adaptação em todos os casos é possibilitada pela assimilação dos objetos (que também são de naturezas diferentes) pelo sujeito. E a partir daquilo que é incorporado, o sujeito se reorganiza de modo a se incorporar ao objeto (SANSHIS e MAHFOUD, 2007, p. 165-177).

À luz das orientações desses autores, entende se que as atividades que um

professor precisa desenvolver para se colocar como elemento significativo de

intermediação entre o sujeito que aprende, e o conteúdo de ensino contido no

objeto, que aqui é um conjunto de atividade organizadas para otimizar a

aprendizagem em relação tempo, estas atividades precisam conter elementos que

motive o aprendiz a se envolver com as atividades, e aqui no nosso entender,

precisa ter algo da cultura dele, para que se interesse pelos saberes ali contidos, e

então potencializar a incorporação do sujeito a esse objeto.

A sequência didática, nos moldes que estamos desenvolvendo parece ter

seu embrião surgido em 1954, quando o professor Toru Kumon (1914-1995)

começou a orientar seu filho, conforme a tradução original, quando ele diz:

Mas eu, como pessoa que se dedica tanto a ensinar os filhos de outras pessoas na escola, acabava voltando sempre tarde para casa. Nesse horário logicamente, não me era permitido ensinar meu filho. A solução foi preparar exercícios à mão, no dia anterior, para que minha esposa os entregasse a Takeshi depois. Como não poderia ficar ao seu lado, ensinando o, tive que montar os exercícios de modo que ele pudesse resolvê-los sozinho (KUMON, 2001, p.14).

De acordo com os exercícios, não se percebe as orientações intermediárias,

típicas de uma sequência didática a qual tratamos aqui, mas a semelhança possível

de ser percebida entre as atividades de Kumon e as atividades da Sequência

Didática em estudo é o fato da resolução do item anterior ter também o objetivo de

facilitar a percepção do aluno a resolver do próximo item, e assim traçando o

percurso da aprendizagem previsto pelo professor. Então, ressaltamos que a partir

da atitude do Professor Kumon, em desenvolver atividades articuladas de forma a

harmonizar os níveis de dificuldades dos exercícios para que seu filho pudesse

resolver o exercício seguinte. E é neste ponto que as atividades do Sistema Kumon

de Ensino (Anexo-01) permitem que se perceba semelhança sutil nas duas ideias.

A outra semelhança percebida, foi entre o método de Kumon e o método do

Ensino por Atividade, quando Sá (2009, p. 14) diz que “a prática metodológica do

Ensino por Atividade dá oportunidade ao aluno de construir sua aprendizagem por

55

meio da aquisição de conhecimentos e descoberta de princípio”. Aqui vemos que o

método de kumon procura fazer com que o aluno por meio da experiência adquirida

com a resolução do exercício anterior, vai visualizando descobrindo as formas de

resolver o exercício seguinte.

Aqui se observa grande semelhança didática entre essas três ferramentas

de ensino, que parece ter inspirado o desenvolvimento do ensino por meio de uma

sequência didática que conhecemos hoje, a qual de acordo com Zabala (1998, apud

MANTOVANI, 2015, p.17), é “um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e

articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio

e um fim conhecidos, tanto pelos professores como pelos alunos”, nos leva a crer na

Sequência Didática como caminho viável para ensinar Sistemas Lineares.

Estas orientações nos levaram a entender que, quando se junta às

orientações de Sá (2009, p. 14), a ideia de Kumon, quando diz que teve que “montar

os exercícios de modo que seu filho pudesse resolvê-los sozinho”, Tem grande

semelhança com o modelo do Ensino à Distância e a Sequência Didática de Zabala

(1998, apud Mantovani, 2015), e assim estes apostes teórico-práticos nos lavam a

crer que deles surgiram partes significativas das ideias da Sequência Didática nos

moldes que por este trabalho desenvolvemos para a experimentação com a

pretensão de um possível de ser validada como produto de ensino.

Nesta linha de entendimento, a nossa Sequência Didática trás um pouco das

características das atividades de Kumon (2001), um pouco das atividades

investigativas de Sá (2009), recebeu as influências das definições de Zabala (1998),

e finaliza com as definições de Cabral (2017), nos dois parágrafos seguintes quando

trata dos tipos de intervenções no decorrer da operacionalização em sala de aula;

com isso este instrumento de ensino pode tornar se significante para o trabalho do

professor em sala de aula, quando, por meio de sua Sequência Didática viabiliza o

caminho para os alunos chegarem a um conceito, percorrendo caminhos orientados

na disposição adequada para a casse.

O jogo que inserimos neste produto, destina se a fechar atividades da

Sequência como parte final da fixação dos conteúdos da forma descontraída que o

jogo pode promover. E pelo respaldo da literatura consultada este produto pode

tornar-se um instrumento bastante significante para o trabalho do professor em sala

de aula, quando, por meio de sua Sequência Didática viabiliza o caminho para os

56

alunos chegarem a um conceito, percorrendo caminhos orientados numa disposição

lógica.

Ao entregar uma sequência didática para um aluno, mesmo planejada e

articulada com clareza que pensamos oferecer ao aluno o entendimento que precisa

para caminhar na progressão do entendimento rumo ao objetivo esperado, que é o

conceito generalizado, Depois, as intervenções intermediárias, que professor não se

pode deixar de fazer estrategicamente como guia direcional nos momentos

oportunos, e esse guia direcional, Cabral (2017, p. 47) as chama de Intervenção Oral

de Manutenção Objetiva.

Estas orientações servem para que o aluno não se desvie do objetivo

planejado, que são as unidades que estruturam os saberes que se quer ensinar. E

para que esta manutenção tenha o rendimento esperado, as intervenções orais

podem se chocar com as dúvidas ou convicções preestabelecidas do aluno em

relação ao conceito a ser construído gerando pontos de discursões mais amplas,

onde entendemos que Cabral (2017, p. 47) as chama de Zona de tensão discursiva.

Estas Zonas de Tensão Discursiva, segundo nosso entendimento, vão ocorrer nos

momentos em que o estudante se desvia do caminho conceitual planejado pelo

professor.

Uma mesma Sequência Didática – SD pode ser assessorada por Intervenções Orais de Manutenção Objetivas diferentes. Para que isso ocorra basta que a mesma SD seja aplicada em classes diferentes. Alunos diferentes reagem diferentes às provocações dirigidas pelas SD, e o professor ao exercer o monitoramento do envolvimento e desempenho dos seus aprendizes vai fazer Intervenções Orais que podem ou não se repetir diante das demandas específicas de outras classes (CABRAL, 2017, p. 49).

Esses desvios, entendemos ser naturais que ocorram entre um produto de

ensino e os indivíduos aprendizes, pois estes trazem para a sala de aula suas

linguagens construídas por suas experiências diversas em suas vidas. E ainda

nessa perspectiva, voltamos ao autor espanhol (Zabala, 1998; apud PERETTI e

COSTA, 2014), quando diz que “ao pensar na configuração das sequências

didáticas, este é um dos caminhos mais acertados para melhorar a prática

educativa”, e isto reforça a confiança nesse trabalho junto ao professor no seu fazer

didático.

Nesse sentido, nossa Sequência Didática traz de Zabala (1998), a

articulação das atividades direcionada a um objetivo conhecido pelo professor e

57

pelos alunos, no momento em que os alunos devem ser informados do que irão

aprender no final das atividades. De Kumon (2001), traz as aproximações mínimas

possíveis entre os itens de um exercício, de modo que o aluno consiga por si só

realizar os saltos de aprendizagens previstos, (anexos: 01 e 02). De Sá (2009), traz

as aproximações mínimas possíveis para que o aluno, por si só ou com a orientação

do professor, consiga fazer uma sequência de operações e observar a regularidade

ocorrida, e daí tirar conclusões para construção de conceitos, (anexo 03). De Cabral

(2017), a Sequência Didática traz as orientações para as intervenções orais, quando

se perceber tendências de desvio do objetivo traçado pela Sequência Didática.

Para desenvolver nossa essa sequência, tivemos três ingredientes

principais: a necessidade, a curiosidade e o apoio literário. A necessidade surgiu

quando nos deparamos com as dificuldades de ensinar Sistemas Lineares, pois

além das dificuldades que enfrentamos para promover a compreensão do estudante

naquele momento, mesmo os que pensávamos ter compreendido o assunto, dias

depois os alunos não lembravam mais do que haviam estudado. A curiosidade foi

desperta quando começamos a pensar: deve haver outro jeito de ensinar este

assunto de forma que os estudantes consigam assimilar de forma mais duradoura e

produtiva.

O último ingrediente foi o apoio literário, onde temos como guias principais:

Kumon (1914-1995), Sá (2009 e 2014) e Cabral (2017).

O professor Kumon (1914-1995), apesar de não dá um nome específico para

a estratégia que usou para promover o aprendizado do seu filho, e hoje sua

estratégia se baseia na ideia de que numa atividade, os itens tenham o menor grau

de dificuldade possível de um para o outro, para servir também aos alunos com

dificuldades de aprendizagem.

Para nós, a contribuição teórica de Sá (2009) se inicia com a nomenclatura

de Ensino por atividade, mas parece se consolidar com Sá (2014), quando nomeia

essa forma de ensinar com o nome de Ensino de matemática por Atividade, por

conta de uma experiência realizada com regra de três.

Completamos o nosso tripé básico de apoio literário com Cabral (2017),

quando ele confirma a presença do professor na sala de aula, pela necessidade das

Intervenções Orais no decorrer das atividades, para que o aluno não fuja dos

objetivos planejados. E em nossa Sequência Didática, fizemos exatamente isto:

desenvolvemos as atividades para ser o foco principal do aluno, procuramos reduzir

58

ao máximo o grau de dificuldade de um item para o outro, e em caso de algum

desvio de interpretação por parte do aluno, o professor está presente para fazer as

intervenções necessárias para que o aluno não se desvie do objetivo planejado.

59

3 – FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA SOBRE SISTEMAS LINEARES

Falar de algum assunto matemático, entendemos aqui que é imprescindível

a inserção de sua história, para entendermos as necessidades ou as curiosidades

da época que levaram os matemáticos ou simpatizantes da matemática a

desenvolver estudos que viabilizassem a descoberta do assunto. Neste capítulo

trataremos um pouco da história dos sistemas lineares, para depois adentrarmos em

suas definições, representações e alguns exemplos.

3.1 – Uma Breve História dos Sistemas Lineares

A dimensão história de um conteúdo vem tomando espaço na forma de

melhor conhecer um assunto, então neste tópico procuramos introduzir esta

dimensão com o proposito de situar o leitor no tempo e no espaço em que os

sistemas lineares surgiram na vida humana, o contexto social e o contexto científico

que motivou os matemáticos da época a ampliar suas aplicações.

No início o homem não imaginava que um procedimento tão simples para

resolver problemas em que a resposta era composta de dois valores, iria se

desencadear num assunto que hoje por meio da programação linear, ajuda o

homem a resolver problemas com grande quantidade de variáveis.

Segundo Eves (2004, p. 444), atribui-se a Leibniz, em 1693 a criação da

Teoria dos Determinantes, visando o estudo dos sistemas de equações lineares,

mesmo que 10 anos antes já houvesse algumas considerações sobre o assunto. No

Japão, Seki Kowa (apud EVES, op. cit.) relata que numa antiga obra intitulada de

K’ui-ch’ang Suan-shu (Nove Capítulos Sobre a Arte Matemática), publicado na China

no período de Hans (206 a. C – 220 d. C), já trazia no oitavo capítulo estudos sobre

sistemas de equações lineares e procedimentos matriciais. E ainda segundo Katz

(1995, apud NEMAN, 2013) existem evidências de que os chineses já usavam um

procedimento análogo para resolver sistemas lineares por volta de 200 a.C.

Segundo Tavares e Pereira (2013, p. 552), os chineses resolviam sistemas

lineares com coeficientes positivos, manipulando gravetos, método semelhante ao

da eliminação de Gauss, apresentado no séc. XIX e por Cayley (1821-1895), em

1857, quando descobria a álgebra não comutativa das matrizes.

60

Segundo Boyer (2003), num escrito para a academia de Paris em 1764, e

um pouco mais tarde num tratado de 1779 intitulado de Théorie générale équations

algébriques, Bézout deu regras artificiais semelhantes às de Cramer para resolver n

equações lineares simultâneas. E ainda, conforme o mesmo autor,

Lagrange (1736 -1813) afirma que a área do triângulo é o determinante da matriz quadrada formada pelos seus vértices, dividido pelo fatorial de 2. O volume de qualquer pirâmide triangular é o determinante de uma matriz quadrada formada pelos seus vértices, dividido pelo fatorial de 3 (LAGRANGE, 1736 – 1813).

Em 1843, Cayley iniciava a geometria analítica ordinária do espaço n-

dimensional, usando os determinantes como instrumento essencial para suas

anotações homogêneas da reta e do plano.

Para Valiente (2015), em 1841 já era possível identificar que as tabelas, até

então trabalhadas como caixas de armazenar coeficientes de equações de um

sistema linear, não eram estáticas e sim dinâmicas, podendo assim ser estudadas

de forma sistematizada. Então Ferdinand Gotthold Max Eisentein (1823-1852), em

1844, estudou essas tabelas e os chamou de matrizes.

O método de eliminação de Gauss-Jordan, para Sistemas Lineares surgiu da

seguinte forma:

Em 1º de janeiro de 1801, o astrônomo siciliano Gilseppe Piazzi (1746-1826) observou um pequeno objeto celeste que ele acreditou que pudesse ser um “planeta que faltava”. Ele considerou o objeto por Ceres e fez um número de medições sobre sua posição antes de perdê-lo de vista nas proximidades do sol. Gauss tomou para si a tarefa de calcular a órbita a partir de dados muito limitado com o procedimento que agora denominamos eliminação gaussiana. O trabalho de Gauss causou sensação quando o planeta reapareceu um ano depois na constelação de Virgem. Praticamente na posição exata predita por Gauss. O método foi popularizado pelo engenheiro Wilhelm Jordan em seu livro de geodesia (a ciência de medir as formas terrestres) em 1888 (ANTON; RORRES, 2012, p 15).

Este método hoje é conhecido como método do escalonamento, e com o

passar dos tempos a aplicação das tecnologias computacionais foi tornando se

possível resolver com maior rapidez os sistemas com maior número de variáveis.

Segundo Melo (2012), em 1947 o método simplex, descoberto por George

Dantzig, é capaz de resolver qualquer problema de programação linear, quando

trabalhava na Rand Corporation no projeto SCOOP, pois o Algoritmo Simplex

permite o uso de um número muito grande de cálculos.

61

Em 1951, os trabalhos com a programação linear, a resolução de Sistemas

Lineares ficaram bem mais simples, permitindo ainda um alto grau de expansão,

mas as raízes da programação linear vêm da antiguidade, no sec. III a. C. conforme

o livro II de Euclides (300 a. C.) ele já procurava encontrar a distância de um ponto a

uma circunferência, e no livro IV ele descreve uma forma de encontrar um

paralelogramo de área máxima de perímetro conhecido,

Agora, observando a disposição pedagógica conteúdos trabalhados em

nossos livros didáticos, temos a seguinte ordem: Matrizes Determinantes e Sistemas

Lineares apresentados nesta ordem. Neste momento, tem se a impressão de que

estes surgiram também nesta ordem, mas a ideia de resolver problemas envolvendo

variáveis simultâneas vem desde o sec. III a. C, com os chineses tentando resolver

problemas simples ligados aos trabalhos do campo.

De acordo com a literatura consultada, Vandermonde ainda não usava o

termo matriz para um grupo de dados organizados em linhas e colunas, apenas

entre 1770 e 1773 trabalhou sobre eles escrevendo três artigos, entre eles o estudo

dos determinantes, como afirma Anton e Busby (2007, p. 212), “Vandermonde se

tornou a primeira pessoa a estudar determinantes sem levar em conta sua relação

com as equações lineares e, nesse sentido, é o fundador da teoria dos

determinantes”.

Sobre as matrizes, ou seja, um agrupamento de dados em tabelas,

dispostos em linhas e colunas, agora visto como objeto matemático, segundo

Valiente (2015), Ferdinand Gotthold Max Eisentein (1823-1852), em 1844, estudou

essas tabelas e os chamou de matrizes.

A inclusão deste tópico se fez pela necessidade de situar o leitor no tempo e

acompanhar por meio de citações estratégicas que marcaram a evolução deste

conteúdo, frente às exigência da vida humana. E no decorrer deste estado de arte

observará também suas aplicações na medida em que sua utilidade foi se

intensificando em outras modalidades de saberes que se verifica desde as

aplicações em estruturas complexas da programação linear às atividades simples

como planejar um balanceamento alimentar envolvendo dois ou três nutrientes, ou

aplicações em jogos para descontrair alunos como a caça ao tesouro.

62

3.2 – Representação Algébrica

Neste tópico abordamos especificamente os sistemas lineares sobre o

conjunto dos Reais, suas definições e os modos práticos para adquirir suas soluções

ou concluir que elas não existem.

Um sistema de equações lineares é um conjunto finito de equações lineares, cada uma com as mesmas variáveis. Uma solução de um sistema de equações lineares é um vetor que é simultaneamente solução de cada uma das equações do sistema (POOLE, 2004, p. 57).

Nessa perspectiva Caliolli, Domingues e Costa (1990) expõem a

fundamentação teórica da existência dos sistemas lineares sob as definições a

seguir:

Definição I- Dados os números reais ,...... , (n ≥ 1), à equação

+.......+ = onde os são variáveis em IR, chamamos de equação linear

sobre IR nas variáveis ,....., .

Uma solução desta equação é uma n-upla de números reais não

necessariamente distintos entre si o qual podemos indicar por ( ....., ), tal que a

afirmação +.....+ = é verdadeira. Por exemplo – Dada a equação: +

- = 3, a terna ordenada (2, 1, 4) é solução da equação, pois, 3⋅2 +1 – 4 = 3 é

verdadeira.

Isso nos leva a entender que uma equação é denominada linear quando for

de primeiro grau em relação ás variáveis que ela contem, podendo assim ser

representada das formas: ax = b, se a equação tiver uma variável; ax + by = c, se a

equação tiver três variáveis; sendo a, b, c pertencente aos Reais. E finalmente da

forma: a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = k para n variáveis.

Definição II – Um sistema de m equações lineares com n variáveis, com (m, n ≥ 1)

tal que para m = n, o sistema tem ordem n, é um conjunto de m equações lineares

tendo cada uma delas n variáveis, consideradas simultâneas. Um sistema linear se

apresenta da forma:

S:

E uma solução do sistema acima é uma n-upla ( ....., ), de números reais,

que é a solução de cada uma das equações do sistema.

63

Se no sistema S, tivermos = = ... = = 0, o sistema S será

homogêneo e a n-upla (0, 0, ....,0) é solução do sistema S, por isso é denominado

de sistema homogêneo. Por isso todo sistema homogêneo é compatível, e (0, 0, ...,

0) é solução trivial.

Exemplo:

S =

Com a diversidade de aplicação dos sistemas lineares na atualidade, fica

difícil tratar de sistemas lineares sem mencionar os determinantes, um ente

matemático tratado por Vandermonde (1735-1789), entre 1770 e 1775, que nos

permite saber se um sistema homogêneo tem solução diferente da solução nula, e

para que a solução de um sistema homogêneo tenha solução não nula, o

determinante da matriz dos coeficientes de suas variáveis deve ser diferente de

zero.

Definição III – Dizemos que um sistema S é incompatível se S não admite nenhuma

solução. Um sistema S admite uma única solução, é denominado de sistema

compatível e determinado, se um sistema S admitir mais de uma solução é chama

do de sistema compatível e indeterminado.

Um sistema do tipo:

Com ( ≠ 0) é necessariamente incompatível, pois não admite nenhuma solução.

Um sistema do tipo:

É compatível e determinado, pois ( ....., ) é sua única solução.

64

3.3 – Sistemas Equivalentes

Para Poole (2004), Dois sistemas lineares são equivalentes quando têm o

mesmo conjunto solução. Ainda conforme Caliolli, Domingues e Costa (1990), dado

um sistema S, para adquirir sistemas S1 equivalentes a S, aplica se as operações

básicas sobre S em três situações a considerar: permutar duas equações de S para

obter S1, toda solução de S1 é também solução de S.

Multiplicando uma das equações do sistema S por um número real K ≠ 0,

obtendo o sistema S1, toda solução de S1 é também solução de S. Somar uma das

equações de S a outra equação de S multiplicada por um número real K, adquirindo

assim um sistema S1, o conjunto solução de S1 é o mesmo conjunto solução de S.

De acordo com a), observa-se que se multiplicarmos a primeira equação por

um número real, ou as demais de S e S1 suas soluções coincidem, basta verificar se

( ....., ) é solução de S conforme a definição 2, Logo se

(1)

Multiplicando a por k esta igualdade, temos:

(2)

O que mostra que ( ....., ) também é solução de S1.

3.4 – Sistemas Escalonados

Segundo Caliolli, Domingue e Costa (2007), um sistema escalonado se

apresenta na forma:

S:

Onde ........, ≠ 0 e ri ≥ 1. Tendo se 1≤ r1 < r2 ........< rk ≤ n, e = 0,

diz se que S é um sistema escalonado.

A importância dos sistemas escalonados reside em que: sendo todo sistema

S equivalente a um sistema escalonado S1, basta que se saiba deduzir um sistema

qualquer S a um sistema escalonado S1 e depois saber lidar com os S1. Logo num

sistema escalonado, o número de coeficientes nulos de cada equação a partir da

segunda é sempre maior do que o da precedente.

65

Exemplo de sistema escalonado:

Demonstração:

Dado o sistema S:

Para cada (i=1, 2, ......., m) multiplica-se por (- ) a primeira equação

e soma se o resultado à i-ésima equação. Fazendo algumas permutações

convenientes, se for o caso, obtém-se o sistema S1 do tipo:

S:

Onde, ≠ 0 e ≥ 2 que é equivalente a S. E ao dividir a segunda equação de S1

por obtém se um sistema S2, ainda equivalente a S1, ao repetir o raciocínio feito

até aqui a partir da segundo equação, é fácil vê que se aplicar um número finito de

vezes, chega se a um sistema escalonado S.

Ainda para Caliolli, Domingues e Costa (1990), discutir um sistema linear S,

significa efetuar um estudo segundo seu grau de compatibilidade.

Um sistema S também pode ser escrito na forma matricial, pois segundo

Lawson (1997), “daremos a formulação inteiramente em termos das matrizes”.

3.5 – Representação Matricial

Considere o sistema S=

, podemos representar S na forma

matricial AB = C, em que A é a matriz dos coeficientes, B, a matriz das variáveis e C

a matriz dos coeficientes independentes.

Assim temos S:

A sequência didática, objeto deste trabalho não aborda a discussão de

sistemas via parâmetros, e sim, sua resolução por escalonamento, e sua

66

classificação quanto às soluções conforme as condições seguintes: a) se um depois

de escalonado, ficar com o número de variável maior que o número de equações, o

sistema é necessariamente compatível e indeterminado; b) se ficar com o número

de variável igual ao números de equações, o sistema é compatível e determinado; c)

e finalmente, se sistema depois de escalonado ficar com o número de variável

menor que o número de equações, o sistema é incompatível.

A definição de Sistemas Lineares na linguagem algébrica foi usada

predominantemente nos livros textos por muito tempo, e ainda é a mais usada, pois

representa a maioria dos fenômenos modelados por duas ou mais equações

lineares, mas com o aparecimento da teoria das representações semióticas de Duval

(2000), fundamentando nova forma de representar os fenômenos, validando a forma

gráfica, assim podemos representar um sistema linear por meio de duas ou mais

retas no plano cartesiano, onde, se existir um ponto de intersecção destas retas, as

coordenadas deste ponto são a solução do sistema A, representado prelas retas da

Figura 1. Então, quando isso acontece, o sistema é denominado de sistema possível

e determinado ou sistema compatível.

3.6 – Representação Gráfica

Um sistema S pode também ser representado na forma gráfica, vide figuras: de 1 a

3.

Figura 1- Sistema possível e determinado

Fonte: Autoria própria (2018)

67

Se as retas forem coincidentes, Figura 2, consequentemente terão seus

infinitos pontos comuns. Neste caso, o sistema é denominado possível e

indeterminado, Ou seja, compatível, porém indeterminado.

Figura 2 – Sistema possível e indeterminado

Fonte: Autoria própria (2018)

Quando duas retas não possuem pontos comuns entre elas, Figura 3, suas

posições relativas podem ser representadas por um sistema B que não possui

solução, por isso é denominado sistema incompatível ou impossível.

Figura 3 – Sistema impossível

Fonte: Autoria própria (2018)

No decorrer desse capítulo, conforme a literatura consultada, a aplicação

dos sistemas lineares tem origem entre os chineses, com manipulação de gravetos,

passa por Gauss, quando calculou a órbita de um planeta que ele mesmo o chamou

de Ceres. A partir destes marcos, sua aplicação se tornou abrangente na resolução

de problemas complexos que vão da programação linear a um balanceamento

alimentar simples envolvendo dois ou três tipos de alimentos.

68

A aplicação das operações básicas, passo a passo, o qual Duval (2009)

chama de tratamento, usado na ocasião da experimentação, se encontra no

Apêndice – 01, especificamente na atividade 7 e atividade 8.

E assim os sistemas lineares se tornam importantes para o rol de saberes

dos nossos alunos, tanto para ajudar a resolver problemas simples do seu dia a dia

como construir bases para compreender futuramente métodos de cálculos mais

avançados.

69

4 – ANÁLISE A PRIORI

Aqui, discorremos por um texto analítico do levantamento prévio do ensino

de Sistemas Lineares. Segundo Ausubel (1980, 2000, apud MOREIRA, 2011, p.103)

“o fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o

aprendiz já sabe”. Por isso realizamos o levantamento prévio para detectar os

conhecimentos prévios dos alunos. A primeira ideia foi de realizar numa escola

estadual do município de Itupiranga/PA, escola onde trabalho, de 2008 até 2014,

mas ao chegar à escola no dia 11 de abril, para realizar a pesquisa, soubemos que a

equipe pedagógica da escola, em reunião com os professores mudaram a ordem

dos conteúdos do 2º ano do Ensino médio, no início do ano de 2016, deixando o

ensino de Sistemas lineares para o último bimestre do terceiro ano, inviabilizando a

realização da pesquisa em 2016, e adiando para 2017. Então um colega de turma

me informou que, a escola em que ele trabalha poderia fornecer as condições

necessárias à pesquisa.

Com esta informação, a coleta de dados foi realizada em uma Escola

Estadual de Ensino Médio e fundamental da cidade de Aurora/PA, por meio de um

questionário fechado, com 12 questões fechadas, duas questões objetivas e quatro

questões subjetivas, aplicado a 100 alunos da terceira série do Ensino, visando

levantar os possíveis percentuais de alunos que vêm encontrando dificuldades para

aprender este conteúdo em sala de aula.

As questões de 1 a 12 buscam a adquirir dados sobre o ponto de vista dos

alunos em relação às aulas de Sistemas Lineares, os tipos de encaminhamento

didático e as foras de avaliação praticada pelos professores. Então, depois de

conhecer estes dados, reunimos as condições para propor o encaminhamento

didático por meio da Sequência Didática. As questões de 13 a 18 buscam levantar

dados sobre o conhecimento específico do conteúdo, assim como também possíveis

lacunas de sua falta. Então, conhecendo os pontos de assimilação e também os

pontos de rupturas, mostrados por estes dados, seria possível reorganizar o

conteúdo em um conjunto de atividades articuladas em torno de unidades

conceituais mais próximas procurando reduzir a extensão das tais rupturas.

No dia 2 de maio de 2017 foram aplicados 50, e no dia seguinte, foram

aplicados os demais questionários, suficientes para possíveis descartes. No

recolhimento dos questionários, indagamos sobre o porquê das questões

70

específicas sobre o assunto, estavam a deixar quase todas em branco. Como

resposta, os alunos alegaram que não sabiam, ou não lembravam mais dos

procedimentos que deveriam ser usados para resolvê-las.

Com as 18 questões do questionário, abordando a qualidade e a quantidade

dos dados coletados Vêm nos fortalecendo a crença no desenvolvimento de uma

ferramenta de ensino (produto) desse assunto (Sistemas Lineares) que proporcione

sua aprendizagem de forma significativa.

4.1 – Análise das Questões do Levantamento Prévio

Nesta etapa da pesquisa, introduzimos o código AAPRI nas figuras ou

gráficos, para informar que se referem á análise a priori.

Gráfico 1/AAPRI - Você está ou já esteve em dependência em matemática?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

A pergunta do gráfico 1 nos leva a afirmar que esta escola possui índice de

reprovação em matemática relativamente baixo, atualmente em torno de 4% para o

Ensino Médio.

Gráfico 2/AAPRI - Você conseguiu compreender as explicações sobre Sistemas Lineares?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

71

Quando analisamos o Gráfico 2, percebemos um fato curioso para o ensino

de Sistemas lineares, pois os mais de 50% dos alunos que compreendem poucas

vezes ou nunca, nos levam a crer que o assunto está sendo considerado de pouca

importância. E os 48% dos alunos que declararam sempre e quase sempre

compreendem as aulas de Sistemas Lineares não corresponderam de forma

satisfatória diante das questões específicas que veremos mais adiante.

Os livros didáticos, pelo fato de apresentar as Matrizes e os Determinantes

primeiro que os Sistemas Lineares, nos passam a ideia que devem obedecer esta

ordem, mas a história sugere que esta ordem pode ser alterada, pois segundo Katz

(1995, apud NEMAN, 2013), existem evidências de que os chineses já usavam um

procedimento análogo para resolver Sistemas Lineares por volta de 200 a.C.

Em relação a grupos de dados dispostos em linhas e colunas, para Valiente

(2015), Ferdinand Gotthold Max Eisentein (1823-1852), em 1844, estudou essas

tabelas e os chamou de matrizes. Então, esse caminho evolutivo do conhecimento

humano nos leva a crer que desses três conteúdos, os Sistemas Lineares podem ser

ministrados antes dos outros dois, sem prejuízo de compreensão para alunos do

Ensino Básico.

Voltando às alegações dos alunos de deixarem quase todas as questões

específicas, em branco porque são sabiam ou não se lembravam, é compreensível

que:

Alguns alunos com dificuldades mais sérias de aprendizagem têm problemas para chegar ao pensamento abstrato; é necessário que lhes sejam oferecidos apoio concreto e trabalho e trabalho sobre conteúdos mais diretamente relacionados com sua experiência diária. Por isso convém enfatizar a necessária funcionalidade das aprendizagens na área da matemática (HUETE e BRAVO, 2009, p. 21).

Como estamos investigando as formas de melhorar ensinar Sistemas

Lineares, recorremos à sugestão de uma sequência didática que insira os problemas

da realidade dos alunos nos conteúdos da matemática escolar acompanhada das

simulações prática possíveis.

72

Gráfico 3/AAPRI - Com que frequência você costuma estudar matemática?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

O gráfico 3 mostra um percentual de 61% de alunos que só estudam o

conteúdo ensinado no período das avaliações, e isso segundo A Curva do

esquecimento e retenção de Ebbinghaus(1850-1909), Figura 4, favorece o

esquecimento dos conteúdos, nos levando a concluir que pode ser a causa do

percdentual elevado das respostas erradas ou não respondidas.

Os estudos de Ebbinghaus apontam para uma revisão de conteúdos no

máximo em 24 horas, sob pena de se esquecer tremendamente o que foi ensinado,

a ponto de ter a impressão de nunca ter os visto.

Figura 4 - Curva do esquecimento e retenção de Ebbinghaus

Fonte: Horácio (2014), Disponível em: <https://jorgeaudy.com/2014/09/12/agile-e-a-curva-do-

esquecimento-de-ebbinghaus/> Acessado em: 01/092017.

O trabalho pedagógico depende da estrutura e dos profissionais do ensino,

cujo desafio é planejar as aulas de forma que os alunos sintam a utilidade do

conteúdo para eles, e com isso sintam o desejo de revisá-lo. Nessa perspectiva, um

dos resultados de Rufato (2013), foi que: a aplicação dos sistemas lineares nas

73

situações da realidade dos alunos, fez com que eles enxergassem a importância da

matemática no seu dia-a-dia.

Gráfico 4/AAPRI - Você gostou de estudar Sistemas Lineares?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

No demonstrativo do Gráfico 4, Vejamos que ao confrontar os 62% de

alunos que só estudam no período das provas, com os 61% que gostaram um pouco

de estudar Sistemas Lineares, suspeitamos da existência de uma margem de falso

positivo (sujeitos que declararam gostar pouco, mas que na verdade não gostaram),

incluso nos 61% que gostaram pouco. No entanto, o desafio é planejar as aulas, não

só de Sistemas Lineares, mas em geral da matemática, de forma a atrair os setenta

e um por cento que não gostaram ou gostaram pouco do assunto parece de

rasuável entendimento depois da descoberta da inteligência Lógico-matemática,

componente das inteligências múltiplas de Gardner (1980), quando diz:

Esta inteligência também é apoiada por nossos critérios empíricos. Certas áreas do cérebro são mais importantes do que outras no cáculo matemático, mesmo sendo tragicamente deficiente na maioria das outras áreas. As crianças-prodígio, na matemática, existem em grande número (GARDNER, 1995, p.25).

Nesse processo, despertar o interesse do aluno, passa a ser a habilidade

número um dentres as várias pertinentes à area de conhecimento específico de um

professor, e cada estudante, não importa a idade e a ou a sua cultura, o seu

interesse passa a ser o catalizador que comanda o rítmo do seu aprender.

A ideia de um ensino despertado pelo interesse do aluno acabou transformando o sentido do que se entende por material pedagógico e cada estudante, independente de sua idade, pazssou a ser um desafio à competência do professor. Seu interesse passou a ser a força que comanda o processo de aprendizagem, [...] (ANTUNES, 2016, p36).

74

Por isso o trabalho de planejamento se torna importante para um professor

no seu fazer pedagógico, pois terá que inserir em sua aula algo que disperte o

interesse do aluno pelo seu conteúdo de ensino.

Gráfico 5/AAPRI - Quais as principais formas de avaliação usadas em sala de aula? (Marque uma ou mais opções)

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

O Gráfico 5, demonstra a predominância do modelo de avaliação escrita,

aqui entendemos que de acordo com as experiências de Gardner (1980), que

culminou na descoberta das inteligências múltiplas, o memo modelo de avaliação

para todos os alunos, é aceitável que alguns deles não se adaptem e venham a se

prejudicar. Por isso a avaliação deve ter uma diversidade maior, para poder

contemplar as múltiplas formas de agir e frente ao mesmo problema.

Alguns autores defendem o jogo como um elemento importante, se usado de

forma adequada pedagogicamente, pelas seguintes razões: ele é desafiante pela

pela sua própia natureza e pode ser inserido em forma de brincadeira. E brincando,

a criança ou o jovem

Não é atraído por algum jogo por forças externas inerentes ao jogo, e sim por uma força interna, pela chama acesa de sua evolução. É por essa chama que busca no meio exterior os jogos que lhe permitem satisfazer a necessidade imperiosa imposta por seu crecimento (ANTUNES, 2014, p. 37).

Isso nos leva a crer que de acordo com a realidade da escola pode se incluir

jogos na Sequência Didática para atender os canais de aprendizagem que venham

demandar sua inclusão. Para isso, alerta Antunes (2014, p.41), que o jogo não pode

ser inserido como trabalho ou alguma forma de sansão, ele entra no contexto do

ensino e aprendizagem como descontração, com regras fáceis para ser assimiladas

o mais rápido possível, pois as regras não podem roubar o clima de desafio, típico

de um bom jogo.

75

Gráfico 6/AAPRI - Como você se sentiu quando diante da avaliação de Sistemas Lineares?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

O Gráfico 6 vem confirmar o quanto massacramos nossos alunos,

submetendo todos eles predominantemente ao mesmo modelo de avaliação.

Vejamos que esse percentual de mais de 65% de preocupados, com medo, com

raiva ou que sentem calafrios no momento da avaliação precisa ser reduzido. Isto só

vem aumentar a nossa responsabilidade e o compromisso em reverter esses

números a favor do entusiasmo dos alunos frente à avaliação.

Nossa experiência mostra que muitos professores transformam as provas em “hora do acerto de contas com seus alunos, reagindo desta forma ao desinteresse pelas aulas, à indisciplina, à falta de estudos e à alienação escolar. [...] O caminho é outro. O primeiro passo para a transformação é dá ao processo de avaliação um novo sentido, isto é, transformá-lo em oportunidade para o aluno ler, refletir, relacionar, operar mentalmente e demonstrar que tem recursos para abordar situações complexas (MORETTO, 2005, p. 10).

As orientações de Moretto (2005) sugerem colocar os professores na

vanguarda do processe avaliativo tornando a avaliação parte do ensino, de forma a

culminar com um bom ensino, portanto, parte do ato de aprender. Nesse contexto,

Tanto o “sucesso/insucesso” como o “acerto/erro” podem ser utilizados como fonte de virtude em geral e como fonte de virtude na aprendizagem escolar. No caso da solução bem ou malsucedida de uma busca, seja ela de investigação científica ou de solução prática, é em primeiro lugar um indicador de que ainda não chegamos à solução necessária (LUCKESI, 2003, p. 56).

O pensamento de Luckesi nos leva à reflexão de que os insucessos dos

alunos na avaliação devem ser tomados como razão para outro caminho para

ensiná-los.

76

Gráfico 7/AAPRI - Quando você estudou Sistemas Lineares, como foram a maioria das aulas?

Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)

Aqui no Gráfico 7, a exemplo das avaliações, algo semelhante, se

submetermos os nossos alunos ao mesmo modelo de aula, correremos grande risco

de deixar grande parte deles fora do acesso de aprendizagem. Durante o estudo de

Sistemas Lineares, além do conceito central, ou seja, o que é um sistema linear, o

alunado precisa conhecer outros conceitos internos que integram e dão sustentação

à coerência do conceito mais geral. E o Gráfico 7, mostra uma pequena centelha de

diversificação da construção de conceitos, mesmo ainda como visto no mesmo

gráfico, o domínio do tipo de aula iniciando se com as informações dadas prontas.

A aprendizagem significativa é aquela em que as ideias expressas

simbolicamente integram de maneira substantiva e não arbitrária com aquilo

que o aprendiz já sabe. Substantiva quer dizer não-literal, [...] e não-

arbitrária quer dizer que a interação não é com qualquer ideia prévia, mas

sim com algum conhecimento especificamente relevante já existente na

estrutura cognitiva do sujeito que aprende (MOREIRA, 2011, p. 13).

E os resultados obtidos mostram quanto ainda estamos presos ao modelo

de ensino que predominantemente produz aprendizagem mecânica, enquanto que

segundo Moreira (2011), o modelo de aprendizagem que devemos produzir carece

de métodos que valorize o jeito de falar e de agir dos alunos, para que ocorra a

interação dos saberes já existentes por parte dos alunos.

77

Gráfico 8/AAPRI - Para fixar o conteúdo de Sistemas Lineares o seu professor (a):

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Os procedimentos para a fixação dos conteúdos demonstrados no gráfico 8,

trazem indícios de supervalorização de dois modelos que contemplam um número

muito restrito de alunos, melhor dizendo, nos faz concluir que apenas os portadores

da inteligência lógico-matemática, e consequentemente promovendo a discriminação

dos demais.

Por essa direção analítica, entendemos que: “o pluralismo de ideias e

concepções pedagógicas”, um dos princípios da ministração do ensino, descrito no

art 3º e alínea III da Lei de Diretrizes e Bases, Brasil (1996), vem nos alertar que a

pluralidade de concepções pedagógicas são exatamente para atender as diversas

aptidões oriundas das várias inteligências humanas. E se os conteúdos a serem

ensinados, devem ser encaminhados por vias de concepções pedagógicas e

metodologicas variadas, com o intuito de contemplar os variados canais de

aprendizagens, por ser estes, os resultados de variadas inteligências, torna-se

coerente que as atividades de ancoragem cognitivas tabém sigam estas concepções

na exercitação para fixação.

De forma que, se em uma turma foi necessário o uso de três metodologias

diferentes para que os alunos pudessem compreender os conceitos e traçar em sua

estrutura cognitiva um esboço do entendimento operativo desse conteúdo, então é

óbvio que as atividades de fixação sejam também encaminhadasdas por estas

mesmas metodologias, sob pena de ver os aprendizes confusos e inseguros,

levando estas inseguranças para as avaliações, como mostrado no gráfico 8, e

consequentemente para suas atuações na sociedade.

78

Gráfico 9/AAPRI - Como você gostaria de aprender Sistemas Lineares?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Na pergunta retratada pelo Gráfico 9, esperávamos uma quantidade menor

de preferência pelas aula expositivas, pois ao distribuir o questionário foi explicado

a eles que a aula expositita, à qual nos referíamos é a que o professor fica na frente

explicando e o alundo sentado ouvindo. Esse fenômeno nos leva concluir que ainda

existe um número significativo de estudantes desconhecedores de outras formas

de aprender, mais envolvente e mais dinâmico. E levando em conta a própria

natureza efervecente da juventude.

Todo jogo por natureza desafia encanta, traz movimento, barulho e uma

certa alegria para o espaço que normalmente entram apenas o livro, o

caderno e o lápis. Essa dimensão não pode ser perdida porque os jogos

envolvem conceitos de matemática. Ao contrário, ela é determinante para

que os alunos sintam-se chamados a participar das atividades com

interesse (SMOLE, 2008, p 10).

Sim meu caro mestre, O senhor quer dizar que todas as minha aulas agora

devem ser em forma de jogos? Poderá perguntar o leitor. Uma das respostas pode

ser: sempre que possível, introduza um jogo, do contrário, poderá ver seus alunos

entediados e inquietos.

O objetivo da questão que gerou o Gráfico 9 foi procurar um espaço para a

inserir um jogo entre as atividades escolares que pudesse ser praticado na sala de

aula, envolvendo Sistemas Lineares. Então, a análise gráfica demonstra que

aproximadamente 65% dos sujeitos, responderam: nunca, raramente ou às vezes. E

tomando como base este posicionamento dos alunos, decidimos inserir um jogo na

nossa Sequência Didática, porém respaudado por Antunes (2014), quando diz:

79

Está se perdendo no tempo a época em que se separava a brincadeira e o

jogo da atividade ”séria”. De Huinga a Roger Cailois, de Heidegger a Jorge

Bataille, de Montaigne a Fröbel, de Conrad a Gardner, alguns dos mais

destacados pensadores do nosso tempo demonstraram vivo o interesse

pela questão lúdica e pelo lugar dos jogos e das metáforas no fenômeno

humano e na concepção de mundo (ANTUNES, 2014, p. 36)

É razoável que algumas pessoas em sala de aula consigam compreender

apenas por uma explicação verbal, ou por algum gráfico ou esquema algorítmico,

mas amaioria necessita de algo mais para compreender a maioria da matemática

que precisam aprender, até porque a inteligência logico-matemáta é apenas uma

entre as oito catalogadas por Gardner (1985).

Gráfico 10/AAPRI - No que se refere ao grau de dificuldade de aprender Sistemas Lineares, Preencha o quadro abaixo (Marque com um x)

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Ao analisar o Gráfico 10 com os seguintes itens, constatamos algo

contraditório, novamente nos levando à suspeitas de falsos positivos inclusos no

grupo dos sujeitos que responderam: regular, porque no nosso entendimento, com

esse percentual médio em torno de 50% que responderam: muito fácil, fácil, ou

regular, esperávamos pelo menos 40% de repostas corretas das questões

específicas, discutidas mais adiante, nos Gráficos: de 13, a 18. Essa contradição nos

leva por enquanto a ideia de que os sujeitos não lembravam mais do grau de

dificuldade que tiveram quando estudaram o assunto.

Observamos também, que no Ensino Básico, os sistemas vêm depois das

equações, que por sua vez vêm após as funções, que segundo Braga (2006), é a

alma do ensino da matemática. E ainda, para (ROXO, apud BRAGA, 2006, p. 77), “a

noção de função deve ser adotada como ideia axial no ensino da matemática, capaz

de estabelecer um elo unificador dos vários assuntos na escola secundária e de

80

modo a ser a alma do corpo em que se organiza toda a matéria”. Então, o ensino

das funções nas alíneas da aprendizagem significativa poderá proporcionar

melhores resultados dos alunos nos assunto seguintes.

Gráfico 11/AAPRI - Você possui acesso à internet?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Gráfico 11 aborda o acesso que nossos estudantes de hoje, na maioria das

nossas cidades possuem. E este dado sócio econômico pode ser explorado a favor

da aprendizagem significativa. É um desafio à parte, mas como aqui se trata de

estudar problemas a serem resolvidos em sala de aula, acreditamos no poder desta

discussão para suscitar possíveis ideias que aproveitem o celular em sala de aula

para a melhoria do ensino.

A popularização da internet em alta velocidade pode ser utilizada na redução

da distância entre professor e aluno, na qualidade da informação a ser acessada e

na diversificação dos exercícios de fixação de conteúdos, aproveitando a fascinação

que o um número significativo do nosso alunado tem com os mecanismos digitais,

pois (BAIRRAL, 2009, apud BORBA, SILVA e GADANIDIS, 2014, p. 35), “ambientes

virtuais de aprendizagem poder ser vistos como amplificadores cognitivos uma vez

que, multifacetados e que potencializam e integram uma variedade de artefatos

midiáticos e representacionais”.

Com esses artefatos os professores podem recomendar atividades

alternativas que nem sempre precisa ter algo a ver diretamente com o assunto, mas

que podem ter uma função preparadora, uma espécie de pré-requisito para a

introdução do assunto propriamente dito. E atividades dessa natureza pode ser um

filme, ou um jogo que venha despertar o interesse pelo assunto e aflorar os impulsos

81

cognitivos. Tratando especificamente de recurso digital para smartphone, temos o

ambiente de programação para Android.

O MITApp Inventor, também conhecido como App Inventor for Android, é uma aplicação código que atualmente é mantida pelo Massachusetts Instituto of Tecnology (MIT). Ele permite que os recém-chegados à programação de computador criem aplicativos de softwere para o sistema operacional Android (FARIAS, 2016, p. 25).

Isto nos fez concluir que o celular dos alunos dos alunos com sistema

operacional Android pode se tornar um grande aliado da aprendizagem dos nossos

alunos.

Gráfico 12/AAPRI - Quanto ao uso de recursos tecnológicos, quais dos seguintes equipamentos você costuma utilizar?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

O Gráfico 12, aqui, denota o complemento das informações mostradas no

Gráfico-11, pois nos mostra um amplo espaço ocioso do celular na sala de aula.

Vejamos que o Gráfico 11 mostra 83% dos alunos, usuário de internet no celular,

enquanto o Gráfico 12 mostra que o uso desse equipamento para estudos, pode ser

aumentado, tanto via redes sociais quanto via aplicativos específicos.

Entendemos aqui que estes são os canais de acesso à vida deles fora da

escola, que a escola que o professor pode explorar a favor do trabalho docente.

Com o advento das Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs), a informática surge como uma ferramenta para transpor barreiras, proporcionando desta forma, a possibilidade de desenvolvimento de desenvolvimento de novas metodologias que possa além da inovação e interatividade, trazer muitos benefícios na relação ensino-aprendizagem (SOBREIRA E SILVA, 2016, p. 42).

82

Então, respaldado pelos autores referendados na discussão do Quadro-11,

podemos utilizar, nesta escola, tanto dos canais de comunicação que os alunos já

usam sempre quanto dos que ainda podem ser explorados, como os mecanismos de

mensagens instantâneas e demais redes sociais que podem se ajustar às

propriedades pedagógicas.

Gráfico 13/AAPRI - Qual dos itens abaixo é uma equação linear?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

O gráfico do Quadro 13 mostra que 57% dos respondentes erraram essa

questão. E isso prejudica o avanço da aprendizagem dos assuntos seguintes que

precisam desse conhecimento como subgsunsor. No momento em que chegaram

nesta questão, alguns perguntaram: o que é uma função linear. E nós ainda

informamos que era uma equação do primeiro grau.

Os alunos passam anos de suas vidas estudando, segundo esse modelo, informações que serão esquecidas rapidamente. Quando chegam à universidade, não têm subsunçores para dá conta das disciplinas básica, o que foi aprendido mecanicamente e serviu para o exame de ingresso já foi esquecido (OLIVEIRA, 2011, p 53).

Então observemos neste gráfico que o percentual de alunos pesquisados

que não conseguiram identificar a equação linear entre as cinco expostas, sendo

que estudaram no 1º ano Básico, e revisaram no segundo ano, para servir de

subsunçor para os Sistemas Lineares, nos leva a crer que provavelmente tenha sido

o modelo de ensino praticado em sala de aula que não produziu aprendizagem

significativa.

E como os saberes ensinados produziram predominantemente

aprendizagem mecânica, estes saberes não tiveram a ancoragem devida na

estrutura cognitiva dos aprendizes, por isso, de um ano para outro se esqueceram

83

de forma tão assustadora desse tipo de equação que a maioria dos pesquisados não

a identificou, mesmo escrita na forma mais usual possível.

Gráfico 14/AAPRI - Dada a equação A: 3x-2y=4, marque uma das equações abaixo que seja equivalente a A.

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

O Gráfico 14 nos mostra que apenas 35% dos respondentes acertaram a

questão, como nos questionários não foi encontrado nenhum registro que nos

levasse a acreditar numa resposta consciente, nos levou a crer que tivéssemos

colocado uma equação mais parecida com a equivalente, o número de acerto teria

sido ainda menor. Então, vejamos que a situação vai se agravando na medida em

que nos aproximamos do nível que os alunos deveriam está. E assim estes itens se

encaminham para cumprir os objetivos de nos ajudar a concluir o quanto estamos

distantes da prática de um ensino de qualidade, baseado na aprendizagem

significativa.

As atividades de fixação, para a aprendizagem se apresentam tão

importantes quanto às construções de conceitos, portanto devem ser tratas com a

atenção para os objetivos de aprendizagem. As atividades também devem ser

motivadoras e de fácil ligação com a vida dos alunos ou a algo que ele deseja.

Vejamos o que diz Antunes (2014, p.37): “brincar, significa extrair da vida nenhuma

finalidade que não seja ela mesma. Em síntese, o jogo é o melhor caminho de

iniciação ao prazer estético, à descoberta da individualidade e à meditação

individual”.

O jogo do ponto de vista pedagógico é desafiador, permite a apresentação dos conteúdos de modo atrativo, favorece a criatividade na elaboração de estratégias e a persistência na busca de solução, motivada pela vontade de ganhar a partida. Ele simula situações problemas que exigem soluções imediatas, o que estimula o planejamento das ações (ITACARAMBI, 2013, p. 21).

84

Por essa ótica, o autor nos leva a visualizar uma verdadeira semelhança

entre a dinâmica da vida e a dos jogos. Por isso, concluímos que devidamente

planejado pode ajudar os na fixação de conteúdos em qualquer série, pois se muda

a série, deve se mudar o objetivo e o nível e o direcionamento pedagógico do jogo.

Gráfico 15/AAPRI - Escreva um sistema equivalente ao sistema:

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

As dificuldades que os sujeitos tiveram para identificar uma equação linear

equivalente, demonstrado no Gráfico 15, se acentuaram quando o objetivo foi obter

sistemas equivalentes, com 0% de acerto, confirmando assim, a lógica do pré-

requisito, pois um sistema de equações é uma estrutura mais complexa do que uma

equação linear.

Na questão 15, Figura 5, abaixo, solicitados a escrever um sistema

equivalente ao dado, poucos alunos registraram alguma coisa, e depois desistiam.

Figura 5/AAPRI - Registro semiótico 1 da questão 15

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Na questão 15, Figura 5, os alunos foram solicitados a escrever um sistema

equivalente ao dado, 87% não executaram o tratamento para a obtenção do

sistemas equivalente, esse foi o modelo de registro mais comum.

85

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

O Gráfico 16 um possível anúncio de loja fictícia. Vejamos que 72% dos

respondentes deixaram a questão sem nenhum registro, 2% realizaram a conversão

e o tratamento necessário para chegar à resposta correta, 7% registraram apenas a

resposta, porém sem sucesso, 18% não fizeram conversão e nem registraram os

possíveis tratamentos que tenham realizados, mas tiveram sucesso na resposta e

1% não realizaram conversão, mas fizeram o tratamento para chegar à resposta

com sucesso.

Figura 6/AAPRI - Registro semiótico 1 da questão 16

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

O fato dos alunos partirem para o método empírico, este sujeito passou

direto para o tratamento numérico. “vemos em seus registros, estimou os valores

das variáveis até chegar em 2 para uma colher e 3 para uma faca”, Figura 6, isto nos

leva a deduzir que mesmo depois de terem estudado o assunto, não se lembraram,

Gráfico 16/AAPRI - (CHIARI, 2011) Examinando o anúncio: descubra o preço de cada colher e de cada faca.

86

ou não se sentiram seguros em utilizar os métodos algébricos. Vejamos que ele

realiza o tratamento ao lado do registro figural, e parece deduzir que a soma de 4

com 10, para dá 16 ele completa com 2, para concluir R$3,00 para cada faca.

Figura 7/AAPRI - Registo semiótico 2 da questão 16

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Este foi o único aluno que procurou fazer a conversão para a linguagem

algébrica, mas introduziu mais uma variável não prevista no sistema. Entendemos

que essa ação minou a possibilidade de resolução no tempo previsto.

Figura 8/AAPRI - Registro semiótico 3 da questão 16

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Este foi um dos 20% dos sujeitos não realizou as conversões intermediárias

previstas, registrando apenas a resposta. Figura 8, vimos que alguns deixaram

Figura 9/AAPRI - Registo semiótico 4 da questão 16

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

87

Ao Analisarmos as Figuras: 5, 6, 7, e 8, percebemos que os respondentes

que registraram seu raciocínio para resolver as questões a elas correspondentes,

usaram estimativa para chegar à solução, abandonando totalmente os métodos

algébricos convencionais, os quais poderiam levar à solução da questão 17. Essa

aluna realizou a conversão da linguagem figural para a algébrica, Figura 9, mas não

deixou os registros do tratamento que a levou à resposta.

Gráfico 17/AAPRI - A respeito do sistema:

, pode se afirmar que é:

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Na questão retratada pelo Gráfico 17, procuramos saber se os respondentes

sabiam classificar os sistemas quanto às soluções. Nesse quesito, as respostas

corretas não chegaram a sete por cento, mas ainda desprovidas de quaisquer

registros que nos convencessem tê-los levado à resposta de forma consciente.

Estes resultados confirmaram o relato de (BISOGNIN & CURY, 2009, apud

RODRIGUES, 2011) em sua dissertação as dificuldades dos estudantes calouros da

Matemática do Ensino Superior, em apresentar soluções de sistemas

indeterminados e impossíveis.

Figura 10/AAPRI - Registro semiótico 1 da questão 17

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

88

Para a Questão 17, Gráfico 17, Esse foi o único registro, Figura 10,

encontrado na tentativa de resolução desta questão. Nele, observamos que o sujeito

tentou executou o tratamento para eliminar uma das variáveis, mas ao invés de

multiplicar a primeira equação por 3, para eliminar as duas variáveis de uma só vez,

multiplicou por -1, e então concluiu que era possível e indeterminado.

Gráfico 18/AAPRI - Encontre os valores das variáveis x, y e z do sistema:

,

se for possível.

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

O gráfico 18 termina de nos convencer do que devemos melhorar muito o

ensino desse conteúdo, diante de 91% dos respondentes que deixaram a questão

sem resposta e sem nenhum registro, nos levando à conclusão de que os alunos

esqueceram ou não aprenderam a resolver sistemas lineares por nenhum dos

métodos dispostos a não ser por tentativas empíricas.

Figura 11/AAPRI - Registro semiótico 1 da questão 18

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

89

Vejamos na figura 11, que este aluno imaginou que os valores de x, y, e z

seriam 1, 2 e 3, ele testou estes valores direto na verificação, como os sistemas 3x3

oferecem dificuldades para resolver por métodos empíricos, não teve sucesso no

tempo previsto.

Figura 12/AAPRI - Registro semiótico 2 da questão 18

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Pelo que observamos na figura 12, o aluno procurou executar o tratamento

para simplificação do sistema dado, mas não deu continuidade.

Figura 13/AAPRI: Registro semiótico 3 da questão 18

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Analisando os registros da Figura 13, percebemos que o tratamento

realizado no sistema, foi o de somar as três equações do sistema. Compreendemos

como uma tentativa de eliminar alguma das variáveis, por não ter lembrado

coerentemente das propriedades operatórias dos sistemas que auxiliam na

resolução, não deu continuidade ao processo de resolução.

4.2 – Considerações Sobre a Análise a Priori

O objetivo da aplicação deste questionário foi colher in loco as possíveis

falhas cometidas no ensino de Sistemas Lineares ou de seus pré-requisitos, para

depois traçarmos um caminho estratégico de melhor ensinar esse assunto de forma

a minimizar estas falhas.

90

Depois de passar a limpo cada uma de suas questões, analisando os

acertos, os erros, as tentativas e as abstenções, entre os sujeitos que acertaram, os

dividimos em dois grupos: aqueles que deixaram algum registro de tratamento ou de

conversão, tipo da figura 5, e aqueles que registraram apenas a resposta. Quanto a

isso,

Se os alunos são pressionados pelo sistema escolar, os erros por eles cometidos são frustrantes, porque os fazem perder tempo e desperdiçar esforços na tentativa de evitar a reprovação. No entanto, se a ênfase da avaliação dos estudantes se desloca do produto para o processo, há a possibilidade de que os erros cometidos venham a ser discutidos e possam ser fontes de novas aprendizagens (BORASI, 1996, apud CURY, 2008, p. 35-36).

Por esta perspectiva, entendemos que os alunos trazem os hábitos das

avaliações em sala de aula para as demais avaliações, por isso que registraram

apenas a resposta podem ter sentido insegurança para deixar os registros do seu

raciocínio. Do outro lado, a falta de registros, de alguma forma, interfere na

qualidade diagnóstica do analista. Então, esse aporte nos leva a concluir que:

incentivar os alunos a registrar as estratégias de resolução, pois entendemos que o

hábito de registrar o raciocínio dá suporte para o avanço do raciocínio sistematizado.

Em relação aos respondentes que deixaram as questões sem nenhum

registro, partindo da situação de que todos eles já haviam estudado sistemas

lineares, a hipótese mais provável é que tenham se esquecido do aprendido. Para

combater amenizar esse fenômeno, expomos aqui dois procedimentos: é composto

por um conjunto de revisões do conteúdo estudado, sugerido por Ebbinghaus, por

meio de um gráfico conhecido por Curva do esquecimento e retenção, (Figura 4, p.

75) o qual depende quase inteiramente da afinidade e interesse do aluno pelo

conteúdo. O outro procedimento, e o conjunto de medidas para promover a

aprendizagem significativa inserida nas estratégias de ensino do professor,

composto de:

1. Um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; 2. Um conjunto de invariantes (propriedades relações e objetos) sobre os

quais repousa a operacionalidade do conceito, ou seja, um conjunto de invariantes que poder reconhecidas e usadas pelos sujeitos para analisar e dominar as situações do primeiro conjunto;

3. Um conjunto de representações simbólicas (linguagem natural, gráficos e diagramas, sentenças formais, etc.) que podem ser usadas para indicar e representar essas invariantes e, consequentemente representar as situações e os procedimentos para lidar com elas (VERGNAUD, apud MOREIRA, 2011, p. 66).

91

Por estes autores, entendemos que a aprendizagem significativa, os novos

saberes são ancorados nas experiências que os alunos já trazem, portanto, mais

difícil de ser esquecidas. O contrário acontece com a aprendizagem mecânica, onde

os saberes baseados na memorização são esquecidos rapidamente. Apesar da

teoria da aprendizagem significativa de Ausubel ter surgido na segunda metade do

século XX, e a curva de Ebbinghaus ser da segunda metade do século XIX,

percebemos que ainda conserva sua validade até hoje. De outra forma, entendemos

que a curva de Ebbinghaus orienta os estudantes a estudarem nos momentos certos

para não se esquecerem do que foi aprendido.

Ao expor a curva de Ebbinghaus veio uma espécie de alerta para os

estudantes que adquiriram saberes de forma mecânica, portanto, frágil a períodos

longos sem revisão, mas por compreender que quando um novo saber deve ser

ligado a uma experiência já vivida, estes sabes tornam se mais difíceis de serem

esquecidos.

92

5 - SOBRE AS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

5.1 – Apresentação

A decisão de procurar desenvolver um modelo de produto auxiliar o

professor de matemática no ensino de Sistemas Lineares veio da relevância e

diversidade das aplicações dos Sistemas Lineares, tanto na vida cotidiana dos

nossos alunos quanto nos projetos avançados de engenharia, acatei as sugestões

dos meus professores do mestrado de mudar de tema, pois no momento, nossos

alunos teriam urgentemente mais chances de serem agraciados com um trabalho

sobre Sistemas Lineares, objetivando minimizar as dificuldades que ainda impedem

sua assimilação.

Em relação ao conceito de sistemas lineares, Lamin (2000) diz que um

sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações envolvendo as mesmas

variáveis.

Em relação aos problemas que os nossos alunos egressos do ensino médio,

Chiari (2011), com base no trabalho de Herrero apud Pantoja (2008, p. 19), diz que

os problemas de aprendizagem dos alunos no estudo de sistemas lineares são:

dificuldades para usar as operações elementares na resolução de equações e

sistemas de equações, dificuldades na conversão da linguagem escrita para a

linguagem matemática, não verificam as respostas e não têm clareza do que elas

representam.

Para Almouloud e Bianchini (2005, apud RODRIGUES, 2011), os problemas

dos alunos na resolução de sistemas linerares estão em não fazer a diferença entre

o parâmetro e a incógnita de um sistema linear, e não conseguir classificar se um

sistema é possível e determinados, possível e indeterminados ou impossível.

Em relação aos problemas de classificação de sistemas, no levntamento

prévio realizado em uma escola de Ensino Fundamental e Médio do Estado do Pará,

verificou se o mesmo problema. A questão pedia que os alunos classificassem o

sistema: (vide Apêndice-02, Questão-17), apenas 20% dos respondentes acertaram.

De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM,

2006), deve-se trabalhar as técnicas de resolução, dos Sistemas de Equações,

colocar a álgebra sob o olhar da geometria, associar a resolução de sistema 2 X 2 a

duas equações e duas incógnitas com posição relativa de duas retas no plano. E

levar os alunos a determinar a existência ou não de soluções do sistema, usando

93

operações elementares. Assim como também levar os alunos a interpretar

geometricamente a Intersecção, paralelismo e coincidência de retas na resolução de

sistemas 2 X 3 ou 3 X 3. E isto nos levou à motivação para o desenvolvimento da

uma sequência didática: (Vide Apêndice-01), para o ensino de Sistemas de

Equações Lineares, pelo método do escalonamento, pelo fato de se apresentar mais

abrangente e aplicável confortavelmente a Sistema Lineares de todas as ordens e

com nisso os alunos tornam-se capazes de assimilar os casos mais particularizados.

As atividades da Sequência Didática aqui apresentadas, foram planejadas

com o objetivo de sanar ou minimizar os problemas de aprendizagem apontados

pelos autores consultados, no entanto, depois da pesquisa diagnóstica que será

realizada em fevereiro, com o objetivo de confirmar ou detectar possíveis novas

dificuldades, algumas dessas atividades poderão ser replanejadas para o

enfrentamentos de possíveis novos problemas detectados pelo levantamento prévio.

5.2 – Planejamento da Aplicação da Sequência Didática

Ordem Aulas Atividades Objetivo

1 Teste diagnóstico inicial Identificar se os alunos ainda não

conhecem nada sobre sistemas

Lineares.

1 1 Conceito de equações

equivalentes.

Construir equações lineares

equivalentes à outra.

2 1 Identificação de sistemas lineares

equivalentes

Identificar sistemas lineares

equivalentes

3 1 Sistemas equivalentes pela troca

da ordem de suas equações.

Obter sistemas equivalentes a outro

trocando a ordem de suas

equações.

4 2 Sistema equivalente pela

multiplicação dos membros de uma

de suas equações por um número

k diferente de zero.

Obter sistemas equivalentes pela

multiplicação de uma de suas

equações por um número diferente

de zero.

5 3 Sistemas equivalentes pela

substituição de uma de suas

equações pela sua soma membro

a membro com outra equação do

sistema.

Obter sistemas equivalentes pela

substituição de uma de suas

equações pela sua soma membro a

membro com outra equação do

sistema.

6 2 Resolução de sistema linear 2x2,

por escalonamento.

Resolver problemas modelados por

sistemas lineares 2x2.

7 2 Resolução de sistema linear 3x3

por escalonamento.

Resolver problemas modelados por

sistemas lineares 3x3.

8 2 Jogo: Corrida Sistemática Contribuir com a fixação do

94

conteúdo de forma descontraída.

9 3 Questões de aprofundamento Fixar os conteúdo e construir

habilidades de resolver problemas

por meio dos sistemas lineares.

2 Teste final Comparar produção de

aprendizagem em relação ao estado

inicial dos alunos.

18 - -

Fonte: Autoria própria (2017)

5.3 – Aprendizagem Esperada

Por meio das atividades desta Sequência Didática a ser aplicada como

elemento de experimentação para possível validação utilizando o conteúdo de

ensino de Sistemas Lineares.

O teste inicial desta atividade concentra-se nas questões de 13 a 18, do

levantamento prévio (vide Apêndice - 05), e não faz parte da sequência didática a

ser experimentada, trata se de um teste diagnóstico para verificar algum

conhecimento dos alunos neste assunto. Neste teste, pelo fato dos alunos ainda não

ter estudado esse assunto, espera se todas as questões erradas ou em branco.

A atividade 1 é composta de itens articulados de forma a proporcionar ao a

oportunidade de construir o conceito de equação equivalente. Então, esperamos que

os alunos, pautados nos procedimentos práticos e teóricos de cada item consiga

chegar ao conceito de equação equivalente, ou mais próximo do possível, mas com

suas palavras. Depois, então o conceito será discutido e formalizado com o aval

científico pelo professor.

Na atividade 2, os alunos são orientados a explorar o significado da palavra

“sistema” para chegar o mais próximo possível do conceito de sistema linear.

Na atividade 3 os alunos foram orientados a testar as respostas sugeridas

para um grupo de seis sistemas, logo depois foram informados que os sistemas que

têm a mesma solução são sistemas equivalentes. Ainda na mesma atividade os

alunos testam uma solução em quatro sistemas. Aqui esperamos que os alunos

descubram que são sistemas lineares equivalentes.

Na atividade 4, os alunos são informados das respostas de quatro sistemas

lineares dados, em seguida foram solicitados a trocar a ordem das equações do

sistema, e verificar se a resposta é mesma. Esperamos que o aluno conclua com

95

suas palavras que se trocarmos as equações de ordem a resposta não muda. Logo

o novo sistema linear é equivalente.

Na atividade 5, os alunos são informados das respostas de um grupo de

quatro sistemas lineares solicitados a multiplicar uma das equações do sistema por

um número diferente de zero, em seguida verificar se a resposta é a mesma,

verificando que sim, esperamos que os alunos concluam com suas palavras que

mesmo multiplicando uma de suas equações por um número diferente de zero a

resposta não muda. Logo os sistemas lineares são equivalentes.

Na atividade 6, são informados das respostas de quatro sistemas, e em

seguida são solicitados a substituir uma de suas equações pela sua soma com outra

equação do sistema, e depois verificar se a resposta é a mesma. Verificando que

sim, esperamos que os alunos concluam com suas palavras que em um sistema, se

trocar uma das equações pela soma com outra equação do sistema, a resposta não

muda. Logo o sistema linear é equivalente ao anterior. Esperamos com esta

atividade, estimular os estudantes a verbalizar cada procedimento deste e a concluir

que estes procedimentos servem para se adquirir sistemas lineares equivalentes.

Na atividade 7, os alunos são orientados a utilizar os procedimentos da

atividade 06 para cancelar algumas variáveis pela substituição de uma equação pela

soma com outra do sistema linear. Esperamos com esse processo consigam

resolver um sistema linear 2x2.

Pela atividade 8 os alunos são orientados a utilizar os procedimentos

aplicados para resolver o sistema linear 2x2, para escalonar o sistema 3x3.

Esperamos que com algumas intervenções leves, consigam resolver um sistema

linear 3x3, em seguida serão solicitados a resolver um sistema linear 3x3 sem

interferência do professor.

A atividade 9 é uma atividade de aprofundamento composta de seis

exercícios e um jogo de tabuleiro que aqui denominamos de Corrida Sistemática.

Para (SÁ, 2015, p. 15), “a calculadora assim como o computador, surgem da

necessidade humana de tornar mais fácil, rápido e preciso a realização de cálculo e

armazenamento de informações”.

Nesse jogo, sugerimos que os alunos usem a calculadora para resolver os

cálculos decorrentes de algum problema que aparecerem na dinâmica da partida,

proporcionando agilidade ao jogador na sua resolução, sem perder o clima da

partida.

96

Os conteúdos que os alunos têm dificuldades de assimilarem em sala de

aula, às vezes, por parecerem longe de sua realidade cotidiana, se apresenta difícil

para se ensinado, no entanto, cabe ao professor a escolha adequada de um jogo

para que seus alunos tirem proveito para a produção da aprendizagem esperada,

como diz Bezerra, Macedo e Mendes:

Nossas experiências nos mostram, que com o passar do tempo, o próprio professor envolvido nessas práticas adquire habilidades para elaborar suas atividades, de sua escola e de sua turma. Os critérios de escolha do material utilizado nas atividades, assim como a própria atividade a ser usada em sala de aula (BEZERRA, MACEDO E MENDES, 2013, p. 9-10).

Conforme Bezerra, Macedo e Mendes (2013), os materiais educativos não

podem ser escolhidos sem critérios. Por isso torna se de importância sumária a boa

escolha das ferramentas de ensino, sobe pena de prejuízos de tempo e pouca

aprendizagem estudantes, e ao invés jogo envolver os alunos nas atividades e

torna-las genuínas para a aprendizagem significativa, poderá se tornar apenas um

passa tempo vicioso.

O jogo reduz a consequência dos erros, e dos fracassos do jogador, permitindo que ele desenvolva iniciativa, autoconfiança e autonomia. No fundo, o jogo é uma atividade séria que não tem consequências frustrantes para quem joga, no sentido de ver o erro como algo definitivo ou insuperável (SMOLE, DINIZ e MILANI, 2007, p.10).

Nessa perspectiva, inserimos um jogo nesse produto de ensino, para

reforçar os conceitos já estudados e exercitados nas atividades anteriores. E por

último aplicaremos o teste final (apêndice-06) para verificar a aprendizagem

esperada.

5.4 – Corrida Sistemática

A Corrida Sistemática, que apresentamos aqui, por meio de um jogo de

tabuleiro (vide apêndice-04) Inspirado em Silva (2013), com o jogo: Corrida ao

Castelo, que aqui tem o objetivo de fixar o conteúdo de Sistemas Lineares. Para

compor conjunto de atividade dessa sequência, tem como componentes: um

tabuleiro dois dados, dois peões e um copo.

O tabuleiro é o campo onde acontecerá o jogo, os peões são as peças que

indicará aonde o jogador vai está na trilha da corrida, em determinado momento da

97

competição, os dado são os objetos que serão lançados, e os pontos da face de

cima indicará quantas casas da trilha o jogador da vez terá que avançar, sendo que

a casa em que a pontuação do dado indicar, poderá ser de: comando, de pergunta

ou de informação.

As informações, em grande parte são de contexto real dos alunos inseridos

no jogo; as perguntas são de cunho teórico sobre Sistemas Lineares ou problemas

modelados por sistemas lineares, culminando para sua aprendizagem do mesmo. E

os comandos, são as ordens que os jogadores devem obedecer no andamento

durante o jogo, no geral são de pular casas para frente ou para trás.

5.4.1 – Regras do Jogo

Regra-01. Para saber quem sairá jogando, os dois ou mais jogadores devem

disputar a sorte pelo dado, tipo par ou ímpar.

Regra-02. O jogador da vez põe o dado no copo, balança e lança o na mesa, se der,

por exemplo, o número 5, o jogador avança 5 casas, se nesta casa tiver escrito:

Informação, o jogador tira o cartão de informação e lê a informação contida em voz

alta para que os dois jogadores desfrutem da informação, põe o embaixo de todos

os outros cartões e repassa a jogada para o outro jogador.

Regra-03. Se na casa tiver escrito: Comando, o jogador tira o cartão de comando, e

executa a ordem que contiver no cartão, coloca o embaixo de todos os outros

cartões e repassa a jogada ao outro jogador.

Regra-04. Se na casa tiver escrito: pergunta, o jogador tira o cartão pergunta e o lê

em voz alta a pergunta para que o outro jogador o ouça, responde a pergunta tirada,

coloca embaixo de todos outros cartões, e repassar a vez para o outro jogador.

Regra-05. Se o jogador da vez não souber responder a pergunta, ele volta à posição

que estava, põe o embaixo de todos ou outros cartões e repassa a jogada ao outro

jogador.

Regra-06 Quem cruzar primeiro a linha de chegada do tabuleiro.

Observação: as perguntas que os jogadores não souberam responder, o professor

deverá responder e comentar em sala de aula, para fechar o entendimento do

assunto.

98

Depois da aplicação da Sequência Didática, aplicamos o teste final,

(apêndice - 06), com o mesmo grau de dificuldade do teste inicial para verificar a

aprendizagem adquirida pelos sujeitos, e consequentemente validar o produto como

ferramenta de ensino de Sistemas Lineares pelo escalonamento.

Esta etapa da pesquisa, ao nosso entender, se apresenta dentro das

recomendações da Engenharia Didática de Artigue (1996), como a etapa mais

importante da pesquisa, pois é nela que todo trabalho se concretiza e se encaminha

para sua validação. A etapa seguinte consiste num relato cientificamente detalhado,

para a verificação das aprendizagens ocorridas no processo.

5.5 – Contextualização e Alcance dos Resultados

Esta Sequência Didática é uma ferramenta de ensino de Sistemas Lineares

3x3, pelo método do escalonamento, destinado a alunos que já tenham estudado

Sistemas Lineares 2x2. Ao final do trabalho com a aplicação deste produto, espera

se que os alunos saibam resolver em geral os problemas que possam ser

modelados por um Sistema Lineares 3x3 e ainda reunir pré-requisitos significativos

para resolver sistemas de ordem superior.

99

6 – EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE A POSTERIORI

Aqui será relatada cada atividade da experimentação, e alguns registros

verbais dos alunos no exercício das atividades da sequência, as intervenções orais e

didáticas feitas pelo pesquisador naquele momento, necessárias ao andamento das

atividades e ao redirecionamento para os objetivos do trabalho.

O ano letivo da escola já se encontrava em meados do último bimestre,

especificamente aos 6 dias do mês de novembro de 2017, então tivemos que nos

reorganizar dentro dessa realidade partindo para o agrupamento dos alunos, no

sentido de promover colaboração entre eles assim como também celeridade aos

itens da aplicação.

As atividades colaborativa, presenciais ou virtuais, em pequenos grupos tem grande potencial para facilitar a aprendizagem significativa, porque viabiliza o intercâmbio, a negociação de significados e colocam o professor na posição de mediador (MOREIRA, 2011, p. 50).

E para este trabalho, algumas adaptações foram feitas na realização da

pesquisa, porém com alguns cuidados para não comprometer os objetivos da

mesma, como: agrupar os alunos em duplas e ministrar uma aula para ensiná-los a

multiplicar uma equação por um número real ou somar um número aos dois

membros da equação e fazer a verificação com resposta sugerida. E outras

adaptações ocorreram nas atividades, em relação às previstas no projeto.

A cooperação entre os alunos e a socialização das respostas leva em conta fatores ligados à autonomia, tais como: a exposição de seu modo de pensar, a troca de ideias entre os colegas, o uso de estratégias, o diálogo com o professor. A autonomia do aluno é favorecida quando o seu erro pode ser corrigido em co-operação com os colegas e o professor, e não pela simples sobreposição da certeza ou correção do professor (ROSSO e NÍVIA, 2010, p. 11)

Os sujeitos da pesquisa estavam cursando o 2º ano do Ensino Médio, no

turno da noite composta de 35 alunos, mas apenas 26 destes concordaram em

participar da pesquisa. E de acordo com (ROSSO e NÍVIA, 2010), as atividades em

grupo se tornam importante para a aprendizagem pela troca de ideias e pela

socialização as estratégias. Então, seguindo as orientações desses autores,

dividimos os sujeitos foram divididos em 13 duplas, para que a experimentação

pudesse ser realizada dentro do tempo previsto, pois assim foi possível fazer as

100

intervenções a dois alunos de uma só vez e as duplas foram formadas pela

afinidade entre eles.

Esta turma não tinha professor definido desde o começo do ano letivo,

informamos da importância do trabalho que estavam contribuindo, enquanto não

ficariam totalmente alheios aos assuntos do segundo ano do Ensino Médio e

construíam as notas para validar suas promoções para o terceiro ano, e o fato de

trabalharem em dupla pode reduzir o impacto de enfrentarem um jeito novo de

aprender, onde têm que despertar a atitude da iniciativa própria.

As atitudes são tendências ou predisposições relativamente estáveis das pessoas para atuar de certa maneira. São a forma como cada um realiza sua conduta de acordo com valores determinados. Assim, são exemplos de atitude: cooperar com o grupo, ajudar os colegas, respeitar o meio ambiente, participar das tarefas escolares, etc. (ZABALA, 1988, p. 46).

As orientações desse autor, entendemos como pura realidade do nosso

trabalho, durante a realização dessa experimentação, experimentou-se também a

carência da atitude colaborativa entre os colegas, em que o colega de dupla

chegava atrasado, ou saía a antes de terminar, ou às vezes não vinha. E isto parece

estar ligado ao comportamento individual da nossa sociedade quando envolve

objetos, em que cada pessoa quer adquirir por um preço mais barato. E os alunos

que ainda entendem que a escolaridade é o certificado, tentam conseguir recusando

se de pagar com a dedicação de aprender.

Outra leve mudança foi o fato de não poder comparar com outra turma onde

se tenha trabalhado o conteúdo da forma usual (tradicional). Não houve acordo com

o outro professor de matemática que poderia colaborar com a turma de controle, por

está lecionando sistemas lineares no 3º Ano, ele alegou que não houve tempo letivo

hábil para Ensinar o método de resoluções por escalonamento. No entanto, diante

destes traços realísticos do local da experimentação, foi preciso aplicar o teste

inicial, trabalhar o conteúdo nos moldes da sequência didática prevista (ainda que

com adaptações leves), e depois aplicar o teste final, idêntico ao inicial, para poder

mensurar o rendimento, por meio do teste pareado.

O teste inicial (Apêndice - 5) foi aplicado no dia 07/11/2017, e seu objetivo

era verificar o estado inicial de conhecimento do conteúdo de Sistema Lineares, aqui

demonstrado no Gráfico 19, onde cada questão vale um ponto. E Para melhor

identificar as figuras e os gráficos, a exemplo da análise a priori, introduzimos o

101

código AAPST para informar que as figuras ou gráficos se referem à análise a

posteriori.

Gráfico 19/AAPST – Teste inicial

Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)

No Gráfico 19, temos a observamos que essas duplas: D1, D2, D3, D7, D9,

D10, D11, e D13, possuíam os subsunçores suficientes para assimilar o conteúdo

que iniciamos com uma atividade que poderia provocar alguma lembrança de

equações lineares ou equações equivalentes, mas não tinham ou não se lembram

de mais nada. Foi necessário alguns minutos de aula para prepara-los para a

atividade 1. E esse resultado nos levou a perceber que marcaram as alternativas de

maneira avulsa ou baseadas em vagas intuições.

6.1 – Sobre o Diagrama Qualitativo de Respostas

O diagrama qualitativo de respostas, composto de duas entradas ortogonais,

onde uma delas entra com as duplas, e a outra entra com as questões, tem uma

leve semelhança com o diagrama de dispersão, mas aqui adaptamos os tons de

azul, do mais escuro para o mais claro, para expressar a qualidade das respostas,

os seja a medida que uma determinada resposta vai se descaracterizando da

considerada correta, vão sendo representada por tons mais claros do azul. Esta cor

foi escolhida por ser a cor preferida da maioria das pessoas.

O azul é a preferida entre as cores. É a cor predileta de 46% dos homens e 44% das mulheres. E não existe quase ninguém que não goste de azul: apenas 1% dos homens e 2% das mulheres citaram o azul entre as cores de que menos gostam. Homens e mulheres frequentemente se vestem de azul; ele vai bem em todas as ocasiões, em todas as estações (HELLER, 2013, p. 46).

102

De acordo com esta autora, a maioria das pessoas tem grande simpatia

pelos tons desta cor, e neste caso um diagrama ou um gráfico cromado nestas cores

tenderá maior possibilidade de ser observado.

Os resultados das pesquisas demonstram que cores e sentimentos não se combinam ao acaso nem são uma questão de gosto individual – são vivências comuns que, desde a infância, foram ficando profundamente enraizadas em nossa linguagem e em nosso pensamento. Com o auxílio do simbolismo psicológico e da tradição histórica, esclareceremos por que isso é assim (HELLER, 2013, p. 21).

Ainda por esta autora vemos que as cores também fazem parte de nossa

linguagem, e se está enraizada no nosso pensamento, pode influenciar

psicologicamente em nossas atitudes, ou alterar nosso estado de humor.

No diagrama 1, foram necessários apenas o azul mais escuro para

resolução correta e o branco para as resolução incorreta. Isso por considerar

desnecessário dividir as respostas em mais níveis. Para o diagrama 2, teste final,

onde algumas questões foram resolvidas parcialmente, foi necessário utilizar um tom

mais claro, Diagrama 2, p.107).

Se a análise previr mais níveis de qualidade das respostas, o diagrama pode

ser composto por mais tons da cor azul, que podem coincidir em degraus ou não.

Diagrama qualitativo de resposta 1 – Teste inicial

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Pelo diagrama 1, procuramos mostrar ao leitor quais as questões que cada

dupla acertou no teste inicial, de forma que na horizontal estão as duplas de sujeitos,

103

e na vertical estão os graus de dificuldades distribuídos no sentido das questões de

Q1 a Q8.

De acordo com o diagrama de blocos, figura 14, apresentado por Sawyer

(2007), o ensino e aprendizagem da matemática não se apresentam exatamente

dentro um rigor linear, mas possui determinadas ordens que nos leva a compreender

que alguns conteúdos exigem conhecimentos que funcionam como pré-requisitos

para amadurecer as ideia necessárias para sua compreensão.

Por esta perspectiva é que os Sistemas Lineares a duas variáveis que os

alunos precisam aprender bem, no sétimo ano torna se um pré-requisito

indispensável para que ele possa compreender bem os Sistemas Lineares a três ou

mais variáveis no Ensino Médio.

Figura 14 – Diagrama de blocos

Fonte: Sawyer (2007)

A disposição destes blocos, apesar de não ter uma sequência linear, tem o

objetivo de nos informar que tratando dos assuntos matemáticos a serem ensinado a

um aprendiz, não é prudentemente aconselhável que ensinemos o conteúdo 13b

antes de termos ensinado o 13a, ou ainda o conteúdo 10 antes do conteúdo 8. E por

esta lógica em que os conteúdos matemáticos são interligados, entendemos que a

falta de conhecimentos de sistemas lineares a duas variáveis, por parte dos sujeitos

pesquisados, componente curricular do Ensino Fundamental, pode ter prejudicado a

assimilação dos conceitos e habilidades para resolução dos sistemas a três

variáveis, não chegando à plena compreenção a ponto de resolver os sistema 3x3

da forma esperada.

Em seus primeiros dias na sala de aula, você terá dificuldade para entender a aprendizagem prévia de que os alunos necessitam para a aula em questão. Talvez você consiga identificar o que os alunos precisam, mas você não conhece a turma o suficiente (CHEMBERS e TIMLIN, 2015, p. 51).

104

Então, um professor ao iniciar o seu ano letivo em uma classe, carece de

alguns dias de adaptação, para se inteirar do nível da classe, desenvolver um plano

de aula revisativo ou mesmo ensinar algo que os alunos precisam saber para

assimlar o que o profressor quer ensinar. Agora, quando se trata de uma pesquisa, e

que quase sempres os objetivos de uma pesquisa não os beneficiam diretamente, o

trabalho de convencimento torna se mais difícil. E isto pode influenciar o

comprometimento dos sujeitos com as atividades, levando nos a considerar algumas

distorções do que seria o real resultado.

Gráfico 20/AAPST – Teste final

Fonte: Pesquisa de campo (2018)

Para melhor representar o desempenho dos sujeitos da pesquisa no teste

inicial e final, procuramos pontuar as resoluções das questões levando em

consideração a interpretação do enunciado e a sequência lógica das etapas do

raciocínio, baseados nos registros escritos, ou em algo que venha comentar a

respeito das atividades que foi possível capitar pelas gravações.

Ainda, segundo Heller (2013), ao observar esta sequência de círculos

concêntricos, coloridos nos tons de azuis, figura 15, os tons mais apagados, dão a

impressão que estão mais distantes.

Sobre o observador que recebe a comunicação visual, a cor exerce três ações: a de impressionar a retina, a de provocar uma reação e a de construir uma linguagem própria comunicando uma ideia, tendo valor de símbolo e capacidade. É tamanha a expressividade das cores que ela se torna um transmissor de ideias, tão poderoso que ultrapassa fronteiras espaciais e temporais. Não tem barreiras nacionais e sua mensagem pode ser compreendida até por analfabetos (FREITAS, 2007, p. 1).

O potencial das cores, segundo Freitas (2007), e pelo que observamos no

nosso dia a dia, é imprescindível para a comunicação, a começar pelos sinais de

105

trânsito, o Branco usado para comemorar o ano novo, no início do seu primeiro dia e

nos brinquedos infantis. Por isso entendemos que mesmo quando estamos tratando

de ciência, comunicamos os resultados científicos para pessoas, por isso as cores

podem ajudar à primeira vista, a atrair os leitores.

Figura 15 – Círculo cromático com tons da cor azul

Fonte: Heller (2013)

E este foi o nosso objetivo de mostrar pelo diagrama qualificativo de

respostas, os questionamentos que detectaram onde o conceito ou aquela

habilidade não foi possível de ser construída para sua resolução total.

Diagrama qualitativo de respostas – Teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Em relação às questões do produto, expostas no texto da análise, estas não

foram escolhidas por importância, até porque entendemos que em na aprendizagem,

o conceito mais elementar pode se configurar importante para a assimilação dos

conceitos mais complexos, e sim, foram escolhidas para mostrar as formas diversas

dos alunos exporem seus entendimentos, ou fragmentos destes, em cada uma

106

destas questões, e na construção das aprendizagens, dentro da realidade

encontrada, cada item construído dos pré-requisitos previstos para chegar ao

objetivo geral tornou-se de grande valia.

Para melhor visualização das questões comentadas do teste final,

apresentamos em separado, quadro 4. A função deste quadro é proporcionar ao

leitor uma visão melhor das questões para as quais concentramos mais as nossas

atenções.

Questões analisadas do teste final por dupla

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

A dupla 1, na questão 3 da atividade de aprofundamento, figura 16, obteve

um sistema equivalente multiplicando cada equação por um número escolhido.

Portanto, mesmo diante da execução simples de tratamento, entendemos que houve

aprendizagem neste processo, como diz Duval (2012, p. 7), “O tratamento de uma

representação é a transformação desta representação no mesmo registro onde ela

foi formada”.

Figura 16/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 3 da atividade de aprofundamento

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

107

Por esta perspectiva, por esta perspectiva, o tratamento realizado com

sucesso nesta questão, na obtenção de sistema lineares equivalentes poderão

oferecer suportes coerentes à ancoragem dos conceitos que virão para

complementar os saberes para melhor domínio deste assunto.

No dia seguinte, na questão 4, figura 17, do teste final, a dupla realizou

parcialmente o tratamento, quando multiplicou a primeira equação por (-2), conforme

a figura 16, e não considerou necessário anotar todas as equações do sistema. E

entre os erros que podem acontecer no processo de aprendizagem, como erro por

esquecimento ou de ou julgamento é factível de ocorrer, sem necessariamente se

configurar como falta de assimilação.

Figura 17/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 4 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

A Questão 5, da Atividade de Aprofundamento é uma tabela com três

sistemas. O primeiro deles, aqui representado pela figura 18, Entendemos aqui que

a dupla realizou o tratamento com sucesso, substituindo a segunda equação pela

soma com a primeira multiplicada por 2, eliminando a variável x, transformando o

num sistema equivalente mais simples. Em seguida aplicou os demais

procedimentos para obter a solução.

Figura 18/AAPST – Registro semiótico 1 do primeiro sistema da questão 5 da atividade de aprofundamento.

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

No segundo sistema da questão 5, figura 19, a dupla aplicou o tratamento

para o escalonamento, com sucesso, multiplicando a primeira equação do sistema

por -2 e somando com a segunda equação, isolando a variável x, em seguida, na

108

soma com a terceira equação, porém não obteve sucesso com a soma dos

coeficientes de z e o independente, encontrando também -5 e -26, ao invés de -3 e -

25 respectivamente. E pelo fato da segunda e da terceira equação terem dados

iguais, pegou uma delas para calcular o valor de z, e ainda inverteu os coeficientes

na operação de divisão.

Isto nos levou a entender que a dupla assimilou o modelo de tratamento a

ser realizado para resolver a questão, mas careceu de aprendizagens anteriores, os

quais não foram possíveis construir no tempo previsto, e estas carências

possivelmente a induziu aos erros que a fez desistir da questão.

Figura 19/AAPST – Registro semiótico 1 do segundo sistema da questão 5 da atividade de aprofundamento

Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)

Essa dupla saiu da sala antes do término do horário, deixando a última

questão dessa atividade em branco, concluímos que esta atitude comprometeu o

desempenho na questão 7 e questão 8, figura 20 do teste final.

Pelo que observamos, faltou tempo para construir as habilidades para a

resolução, pois apresenta indícios de ter assimilado os procedimentos de obtenção

de sistemas equivalentes.

Na questão 7, do teste final, figura 20, a dupla iniciou o processo de

simplificação do sistema multiplicando a primeira equação por -2, mas teve

problemas com o coeficiente de y, ao invés de -4, anotou -2, e ao invés de -8 como

coeficiente independente, anotou menos 8, e ao somar com a segunda equação,

acumulou o erro do coeficiente de y, e erra a operação a soma dos coeficientes

independentes, anotando 8, ao invés de -5.

Quase todas as duplas apresentaram um procedimento que pode ter

dificultado a assimilação. Voltando à figura 20, vemos que não conseguem fazer a

operação mental da primeira equação por -2. Eles precisaram anotar a equação

equivalente, para depois executar a operação com a segunda equação. Quando

precisaram somar com a terceira equação, eles se perderam no processo.

109

Nestas condições, o erro é aceitável como parte do processo de construção

do seu saber. Entendemos assim porque segundo (MOREIRA, 2011, p. 52), a

aprendizagem significativa é progressiva, grande parte do processo ocorre na zona

cinza (na região do mais ou menos, na qual o erro é normal), neste caso

entendemos que os conceitos foram construídos, mas o tempo da experiência não

foi o suficiente para amadurecer as habilidades de resolução por carecer de

habilidades nas operações com os sinais, principalmente o sinal negativo.

Figura 20/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 7 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Nesta questão, os alunos realizaram o tratamento porem com insucesso

nas operações básicas aplicadas aos números inteiros e não especificamente para

assimilar os procedimentos propostos por nossa Sequência Didática.

Na questão 8, do teste final, figura 21, a dupla interpretou a questão

fazendo a conversão da linguagem materna para a linguagem algébrica, mas

enfrentou dificuldade para o tratamento de escalonamento. O tratamento deste

sistema exigiu algo que só o tempo de exercício pode proporcionar: observar que

permutando a primeira equação com a terceira, melhora a visibilidade para o

escalonamento.

Para Duval (2012, p. 3) “é somente por meio de representações semióticas

que a atividade sobre objetos matemáticos se torna possível. Este paradoxo pode

constituir-se num grande círculo para a aprendizagem”. Entendemos que nossa

Sequência Didática se incorpora neste circulo como parte dele, de forma que, para

aumentar o repertório de conversões demandam de outras sequências adjacentes.

E a conversão da linguagem materna para a linguagem algébrica,

(aprendizagem adquirida ela maioria dos alunos), configura se como aquisição de

aprendizagem, devendo as habilidades para executar o tratamento sobre o sistema,

110

e estas, os sujeitos poderão adquirir em ocasiões posteriores, pois o conceito, que

sustenta este tratamento, em nossa percepção foi construído.

Figura 21/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 8 do teste final

Gráfico 16 – Notas do teste inicial e do teste final

Fonte: Pesquisa de campo (2018)

Nesta questão a dupla multiplicou a primeira equação por (-1) e somou com

a equação dois, mas teve problemas com os sinais, quando somou -3f com 4f,

anotando +7f. Apesar de todas as duplas terem sido orientados para a organização

das anotações, tanto esta dupla como todas as outras se perderam neste ponto. A

essa altura da análise, já percebemos que neste método de ensino alguns erros vão

acontecendo por conta do tipo de atividade, no qual os alunos não estão

acostumados a expor seus pensamentos e ter a sensação de responsabilidade por

eles, potencializando os benefícios como:

Possibilitar ao aluno reflexões sobre o seu desempenho, baseados nos registros de suas avaliações feitos por ele mesmo para tomar consciências da importância do seu papel na sua aprendizagem, promovendo as mudanças necessárias ao longo do bimestre, em direção ao melhor desenvolvimento possível de suas potencialidades (MUNIZ, 2010, p. 27).

No nosso caso, a pesquisa não durou um bimestre, pois iniciou em:

07/11/2017 e terminou em: 19/12/2017, e assim não tivemos tempo para um diálogo

individual com os alunos, mas conseguimos perceber o poder de uma “sequência

111

didática articulada para um objetivo determinado e conhecido também pelos alunos”

(op. cit).

A dupla 2 não veio à aula no dia da atividade 6, e também não veio para

fazer a Atividade de Aprofundamento. Algumas ausências na escola podem ter

origem motivacional, e por estas razões abordar a importância do saber matemático

na promoção da qualidade de vida, tanto individual quanto no desenvolvimento da

uma comunidade, tendo em vista que:

[...] consiste em se demonstrar que os conhecimentos e habilidades que agora devem ser dominados são pré-requisitos para outras que virão mais adiante naquele curso e pelos quais o a aluno espera ansiosamente com grande interesse [...] como seria as disciplinas práticas ou profissionalizantes (BZUNECK, 2010, p. 17).

E estas ausências devem ter interferido negativamente no desempenho da

questão 7 do teste final, (Figura 22), logo a seguir.

Figura 22/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 7 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Em relação à questão 8, figura 23, também do teste final, o tratamento foi

realizado com a multiplicação da primeira equação do sistema, por -1 e tenta somar

com a segunda, mas enfrenta problemas com as operações na variável x, e com os

sinais na variável z. Entendemos aqui que o problema desta dupla, assim como de

outras duplas, não foi a eficácia do produto em estudo, mas de sim, os problemas de

aprendizagem acumulados de séries anteriores, e que não foi possível sanar

durante a experimentação desta Sequência Didática.

Os profissionais do ensino da matemática, quase sempre precisam se

conformar apenas com uma pequena parcela do conteúdo assimilada pelos

aprendizes, pois quase sempre o saber que ensinamos, apenas uma pequena fatia

se transforma em saber ensinado.

112

Na educação básica o professor tem de ter ainda mais cuidado porque o distanciamento a distancia entre o conhecimento científico e o conhecimento escolar pode ser muito grande, e tudo isto pode ser uma questão de adaptação de linguagem (ALMEIDA, 2011, p. 46-47).

Este autor nos chama a atenção para os cuidados que o professor precisa ter

com o processo da transposição didática, para as séries mais elementares, pois

quanto maior a distância entre o nível do conteúdo científico e a série para quem

direcionamos seu ensino maiores os riscos de prejudicarmos os conceitos

envolvidos. Por isso, o que ensinamos não se transforma em sua totalidade no que

os alunos aprendem. E só depois de reflexões e revisões, por parte do aprendiz é

que os saberes ganham a dinâmica própria da compreensão do aprendiz.

Os objetos possuem uma força própria. Neles estão as condições prévias para uma boa transposição didática, mas muitas vezes ignoramos essas forças ocultas trazidas pelo próprio objeto e seguimos adiante, tentativa de construir uma outra força artificial para que ela possa irradiar-se e iluminar o ambiente educativo (ALMEIDA, 2011, p. 46-47).

Entendemos ainda por Almeida (2011, p. 49), que a força de um objeto de

ensino é percebida pelo que podemos indentificar dentro do conteúdo que possa

interessar aos alunos. Essa força funciona como um redutor da distância entre o

conteúdo científico e a série a ser transformada em conteúdo de ensino.

Figura 23/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 8 do teste final

Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)

A dupla 3, conseguiu realizar a conversão da linguagem comum para a

linguagem algébrica, com sucesso, mas com as dificuldades que ainda tem com a

113

aplicação das operações básicas nas equações, não conseguiu completar o

tratamento necessário para a resolução da questão. Por ocasião desta

experimentação, percebemos in loco, que a falta de pré-requisitos do Ensino

Fundamental necessários para à assimilação de conteúdos do Ensino Médio,

compromete até o estabelecimento dos organizadores prévios, diante do tempo que

temos para realizar o trabalho.

Nesta linha, subsunçores podem ser proposições, modelos mentais, construtos pessoais, concepções, [...] conceitos já existentes na estrutura cognitiva de quem aprende. Subsunçores, seria, então, conhecimentos prévios, especificamente relevantes para a aprendizagem de outros conhecimentos (MOREIRA, 2011, p. 28).

De outra forma, dentro do nosso tempo de experimentação não foi possível

estabelecer os organizadores prévios, capazes de ancorar os novos conhecimentos

da forma esperada. Para Moreira (2011), a função dos organizadores prévios é

servirem de pontes cognitivas para as novas aprendizagens apresentados como

material introdutório, antes do material de aprendizagem propriamente dito.

Figura 24/AAPST – Registro semiótico 1 da ativiade 7 primeira parte

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Vejamos acima, na atividade 7, da Sequência Didática, Figura 24, que a

dupla ainda tem problemas com as operações que envolvem sinais negativos,

observemos no tratamento realizado nesta atividade, que no momento de dividir -3

por -3, anotou como resposta: -1. Admitimos que no decorrer das atividades da

114

sequência, os alunos estão se familiarizando com os conceitos, e as intervenções

orais, de forma que, estes erros são comuns no processo.

Para resolver a segunda parte da atividade 7, os alunos foram orientados a

usar o mesmo processo de tratamento da primeira parte, para assim resolver o

sistemas 3x3 mais à frente. E nesta atividade, figura 25. Vejamos que eles

estimaram um valor para a colher e substituíram na equação na segunda equação,

encontraram os valores, depois verificaram as igualdades.

Pode se dizer que um obstáculo é uma ideia que no momento da formação do conceito, foi eficaz para enfrentar os problemas anteriores, mas que se revela um fracasso quando se tenta aplica-la a um novo problema. Dado o êxito obtido, tende se a conserva a ideia já adquirida, [...], apesar do fracasso, busca se salvá-la, mas esse fato acaba sendo uma barreira para aprendizagens sucessivas (D’AMORE, 2007, p. 211).

Neste problema, os alunos foram orientados a modelar o sistema, mas os

registros demonstram que se esforçaram, mas terminaram usando a estimativa para

encontrar os valores das variáveis.

Figura 25/AAPST – Registro semiótico da atividade 7, segunda parte.

Fonte: Pesquisa de campo autor (2018)

No item c da atividade 8, Figura 26, para aplicar o tratamento para o

escalonar o sistema, orientamos a dupla a multiplicar mentalmente a primeira

equação, somar com a segunda e substituir a segunda pela soma. Vejamos que o

erro foi anotar -3 ao invés de -15. Em seguida, para eliminar o “x” da terceira

equação, deveriam multiplicar mentalmente a primeira equação por -1 e somar com

115

a terceira equação, o procedimento foi realizado corretamente. O erro no coeficiente

independente foi em decorrência do erro anterior.

Como já frizamos que na construção dos saberes ensinados no decorrer

desta esperimentação ocorreram erros nas atividades, nas tentativa de resolvê-las,

mas isto não significa que as bases não foram constrídas.

Uma misconception, quer dizer uma concepção errada e, portanto de modo geral, constitui um evento a ser evitado. Entretanto, não significa que deve ser encerrada como uma situação ou certamente negativa: não se exclui que a fim de chegar à construção de um conceito, seja necessário passar por uma misconceptuion momentânea, porém em curso de sistematização (D’AMORE, 2007, p. 126).

Por este autor, nesta linha de pensamento, os erros cometidos nessas

atividades são de cunho transitório, e factíveis de ocorrer, principalmente em um

cuto espaço de tempo e diante de formas de aprender em que o aluno precisa tomar

iniciativas agregando suas experiências anteriores com as orientadas pela

Sequência Didática.

Figura 26/AAPST – Registro semiótico 1 do item c da atividade 8

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Na questão 5, da Atividade de Aprofundamento, figura 27, observamos as

dificuldades que a dupla teve para executar tratamento usando o calculo mental.

Para realizar o tratamento na resolução no primeiro sistema, a dupla multiplica a

primeira equação por -2, mas precisa anotar (segunda coluna), em seguida, continua

o processo de obtenção do equivalente, mas perde o caminho do escalonamento.

Nesse caso, entendemos que as habilidades para este procedimento mesmo

assimiladas, porém ainda não havia amadurecidas, e este amadurecimento deverá

ocorrer na continuação de processos posteriores.

116

Para que o ensino de um determinado elemento de saber seja meramente possível, esse elemento deve sofrer algumas deformações que o farão apto para ser ensinado. O saber tal como é ensinado, o saber ensinado é necessariamente distinto do saber a ensinar. Este é o terrível segredo que o conceito de transposição didática põe em perigo (CHEVALLARD, 2005, p. 16-17).

A palavra meramente, que Chevallard (2005, p. 116-117) se refere, traz uma

conotação de que existe uma diferença entre o saber a ensinar e o saber ensinado.

E isto faz reacende as expectativas para a competência do docente em identificar a

força natural que o conteúdo traz em relação ao contexto social em que os alunos

estão inseridos, e desta interposição, produzir uma transposição didática proveitosa

para os estudantes.

Figura 27/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 5 da atividade de aprofundamento

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Na questão 4 do teste final, figura 28, demonstrou assimilação do conceito

de sistemas equivalentes, mas entre os tratamentos para obtenção de sistemas

equivalentes, existe o tratamento para o escalonamento. E esta variante de

tratamento ainda não havia construído no sistema cognitivo da dupla, e na sua falta

deste, não conseguiram resolver a questão 7 (Figura 29).

Figura 28 – Registro semiótico 1 da questão 4 do teste final.

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Como vemos, os sujeitos na busca da solução da questão 7, figura 29,

multiplicaram a primeira equação do sistema por 2, mas trocou o z pelo y,

117

registraram apenas o resumo do tratamento, de forma que não foi possível saber

como achou que a resposta do sistema seria a exposta, como: x = 8, y = 6 e z = 4.

O fato de não permitir que os alunos apaguem seus erros antes de analisá-los já é um sinal de que estes são aceitos como uma construção inteligente, caminho para o acerto, estruturas disponíveis naquele momento. O erro é então tratado não apenas como constatação, ponto de chegada, mas, como ponto de partida para novas descobertas e possíveis caminhos para a superação de dificuldades (TANUS e DARSIE, 2012, p. 19).

Nessa perspectiva, as autoras nos levam a compreender que o erro pode ser

considerado como provisório, e pode ser redirecionado para o caminho do acerto.

Neste caso os alunos já assimilaram as bases do conceito de sistema equivalente, o

próximo passo é a assimilação do sistema equivalente escalonado.

Figura 29 – Registro semiótico 4 da questão 7 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

A dupla 4, pelos registros expostos demonstrou indícios de ter estudado

algo sobre sistema lineares no ensino fundamental. Na questão 7, do teste final,

figura 38, multiplicou a primeira equação por -2 e somou com a segunda equação,

eliminando sua a variável x. O erro aconteceu no segundo passo para o

escalonamento, quando a dupla usou a mesma equação multiplicada por -2,

somando com a terceira equação. Vejamos que ao invés de eliminar a variável x,

elimina a variável z. Desse ponto em diante perdeu o controle do raciocínio.

[...] a mudança na concepção de erro aconteceu somente após a segunda metade do século XX, em que este deixou de ter uma conotação negativa para o ensino, dando origem a uma nova abordagem na qual o papel do erro passou então a ser discutido. As contribuições da teoria de Piaget para a reconsideração do papel do erro no processo de ensino e aprendizagem foram significativas e possibilitaram repensar e reconsiderar o aprendizado da matemática (NASCIMENTO e MORELATTI, 2011, p. 42 - 55).

Mesmo assim, em meio a estes erros, conforme este autor, devemos

considerar o aprendizado detectado nos registros. Vejamos que o conceito foi

118

assimilado, e que os erros cometidos foram de ordem prática, ou seja, faltaram

habilidades, e estas habilidades virão com tempo de exercício.

Figura 30/AAPST – Registro semiótico 5 da questão 7 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Em relação à questão 8 do teste final, Figura 31, A dupla interpretou o

problema, converteu o sistema 3x3 da linguagem materna para a liguagem

algébrica, inciciou o procedimento para o escalonamento, mas ainda não havia

construído as habilidades suficientes para escalonar corretamente.

Esta dupla, apagou os registros da tentativa de escalonar o sistema, apesar

de ter sido orientada a deixá-los, e não foi possível ter clareza do que havia

registrado. mas isto poderá ser construído em Sequências Didática futuras, porém

sem deixar de considerar os avanções adquiridos até aqui.

Uma sala de aula precisa ser um organismo vivo, precisa ter conflitos, precisa ter negociações precisa ter clima de aprendizagem. Para a existência desse clima, a dúvida é uma questão fundamental, pois onde há dúvida, ou onde ela pode existir sem medo, há pesquis, há vontade de busca (ALMEIDA, 2011, p. 28).

Então, nesta linha de pensamento, os assuntos seguintes que venham

interagir com os sistemas lineares, poderão sanar as possíveis dúvidas

remanescententes dos estudos realizados por meio desta Sequência Didática.

119

Figura 31/AAPST – Registro semiótico 3 da questão 8 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

A dupla 5 faltou nos dias da aplicação das atividades: 3, 4, 5 e 8. Não foi

possível saber os motivos destas faltas. Diante dessas faltas, entendemos que

essas atividades não feitas poderiam ter fortalecido seus saberes para aplicar o

tratamento necessário à resolução desta questão. E poderiam também ter

conseguido melhor desempenho, nas questões dois, cinco e seis, do teste final. Por

ocasião de sua volta, em curtas palavras, procuramos enfatizar em sala de aula o

valor da paciência para aprender e o pensar sobre como cada conteúdo pode se

tornar importante para a vida do cidadão.

Assim em certos casos, vale o emprego da metáfora de que trabalhar o

atual conteúdo equivale a uma verdadeira ginástica mental, que contribui

para o desenvolvimento da inteligência, o que é uma argumentação eficaz

por fazer apelo à autoestima (BZUNECK, 2010, p.17).

Não foi possível afirmar se a volta dessa dupla para a continuação das

atividades deve à curta conversa que tivemos em sala de aula, mas ficamos

contentes com o seu retorno, e sabendo que a dinâmica de trabalho de uma

pesquisa de curta duração parece deixar claro que a não o tempo disponível que

tivemos para dialogar com cada aluno não foi o suficiente para reconduzi-los ao

entusiasmo do aprender.

Para (ALMEIDA , 2011, p. 49), “é sempre desejável que o professor consiga

expor ou trazer a força que está contida em cada um desses objetos”. Então, tendo

120

em vista que a ligação entre o conteúdo e o contexto social dos alunos pode suscitar

o interesse dos mesmos, então, a força que o objeto de ensino possui por natureza,

sua combinação com as experiências reais dos sujeitos pode os ter reconduzido de

volta às atividades da experiência.

Percebemos também, e tomamos como exemplo a questão 3, Figura 32 do

teste final, que grande parte das duplas achou que para se ter um sistema

equivalente, teria se que multiplicar não só uma das equações, mas todas as

equações do sistema. E apesar do tratamento ter sido realizado com sucesso, isso

denota que o tempo de contato dos vértices do triângulo didático, que conforme

Chevallard (2005, p. 26), é composto de três lugares: O professor, o aluno e o saber

ensinado.

Figura 32/AAPST - Registro semiótico 1 da questão 3 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Os alunos da dupla 6, a exemplo de alguns dos demais sujeitos da pesquisa,

mesmo sendo orientados a converter o problema da linguagem figural para a

linguagem algébrica, vejamos que eles fazem a conversão parcial, e já começam o

tratamento, estimando os valores das variáveis, e logo antes do escalonamento

resolveram testar os valores das variáveis (Figura 33, atividade 7).

121

Figura 33/AAPST – Registro semiótico 2 do segundo item da atividade 7

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Agora vemos que a dupla tentou resolver a mesma questão fazendo

estimativas dos possíveis valores (método das tentativas), no teste final, no dia

seguinte, figura 34, mas não foi possível resolver a questão testando os valores,

procedimento utilizado nesta mesma questão, na atividade anterior. E Isto nos levou

a acreditar que esse processo é falho, mas o aluno tende a usá-lo, quando julga a

questão fácil ou ainda não está seguro do procedimento sugerido pelo professor.

Tomar consciência, refazer e corrigir o próprio pensamento são ações que expressam a autonomia discente. Mas a autonomia desenvolve-se a partir da interação do sujeito com suas estruturas internas, com outros sujeitos e os objetos de conhecimento e não, apenas, de orientações, apelos e lições dos docentes (NÍVIA e ROSSO, 2010, p. 4)

E ainda, pelas orientações de Nívia e Rosso (op cit), parecem sugerir que as

estimativas dos discentes na busca de respostas pode ser o resultado das interações das

estruturas internas dos sujeitos buscando respostas para os questionamentos.

Figura 34/AAPO – Registro semiótico 1 da questão 5 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

122

Nessas condições percebamos aqui como normal o aluno que procura se

assegurar nas suas próprias experiências (mesmo se tratando de uma experiência

elementar para um aluno de Ensino Médio), isso contribui no fortalecimento de sua

autonomia, até o momento oportuno de sua correção.

A questão 6, figura 35 do teste final, pelos registros deixados, demonstrou

que entendeu o processo, aplicou o tratamento, calculou o valor da variável y, mas

parece se esquecido de calcular o valor da variável “x”. Para Davis e Espósito (1990,

apud NÍVIA e ROSSO, 2010, p. 7), “no terceiro são erros de procedimento,

cometidos no emprego ou aprimoramento de conhecimentos já construídos e que

podem acontecer por distração ou falta de habilidade”.

No tocante a esta questão, os sujeitos aplicaram o tratamento, porém

pecando em detalhes que, como dizem Nívia e Rosso (op cit.). Interpretamos que

pode ter ocorrido uma falta de habilidade pontual.

Figura 35/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 6 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

A dupla 7, não compareceu para as atividades: 3 e 7, e usaram da sua

autonomia para recusar a terminar a atividade 6. E isso deve ter comprometido seu

desempenho na questão 4, figura 36, quando deixou de registrar o sistema

equivalente, da forma correta. A outra interpretação é que deva ter achado

desnecessário repetir as outras equações do sistema, sendo que para obter o

sistema equivalente, bastaria multiplicar uma de suas equações por um número

diferente de zero. De acordo com Davis e Espósito (1990, apud NÍVIA e ROSSO, op

cit.), esse tipo de atitude intuitiva pode acontecer quando o sujeito ainda está

construindo os saberes sobre o assunto.

123

Figura 36/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 4 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Para resolver a questão 5, figura 37, a dupla realizou o tratamento parcial

apenas multiplicando a equação F + 2C = 7, por -2, e somam com uma suposta

segunda equação que seria 2F +5C = a 16. Por esse caminho encontrou 0 + C = 2.

E então, a partir do valor 2, encontrou o 3, e usando o cálculo mental, e deduziu

como os possíveis e respectivos preços de cada colher e de cada faca, e os anotou

ao lado. Interpretamos aqui como normal estas variações de tratamento, quando o

aluno está confrontando suas experiências empíricas anteriores com o tratamento

convencional que estamos propondo para guiá-lo a chegar mais adiante.

Interpretar os erros torna possível compreender que estes podem decorrer de formas de raciocinar distintas, umas mais e outras menos elementares. Além disso, há casos em que os erros decorrem da interferência de conhecimentos matemáticos prévios (SPINILLO et al, 2015, p. 7).

Interpretamos aqui como normal estas variações de tratamento, quando o

aluno está confrontando suas experiências empíricas anteriores com o tratamento

convencional que estamos propondo para guiá-lo a chegar mais adiante.

Figura 37/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 5 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

124

A dupla 8, não fez as atividades: 1, 2, 3, 5 e 6, procurou se recuperar por

meio das atividades 7 e 8, participando do jogo, que entrou na Sequência Didática

como atividade 9. Estes alunos vieram para a aula no dia da atividade de

aprofundamento, no entanto, e saíram antes do tempo previsto para o término. Para

nós, estas atividades não feitas, poderiam ter contribuído para a resolução das

questões: 2, 6, 7, e até ter conseguido melhor desenvolvimento na questão 8, do

teste final, figura 38. Para Andrade Filho et al. (2016, p.1), “a atividade de conversão

refere-se a transformações entre diferentes registros, como a ‘passagem’ do registro

tabular para o gráfico, ou do gráfico para o algébrico”. Aqui os sujeitos conseguiram

converter o sistema que se encontra na linguagem materna para a linguagem

algébrica.

Figura 38 – Registro semiótico 3 da questão 8 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Voltando ao jogo, entendemos que este tenha motivado os alunos desta

dupla em sala de aula nos dois últimos dias da experiência, em foi aplicada a

atividade de aprofundamento e teste final.

Todo jogo por natureza desafia, encanta, traz movimento, barulho e uma certa alegria para o espaço no qual normalmente entram apenas o livro, o caderno e o lápis. Essa dimensão não pode ser perdida apenas porque os jogos envolvem conceitos de matemática. Ao contrário, ela é determinante para que os alunos sintam-se chamados a participar das atividades com interesse (SMOLE, DINIZ e CANDIDO, 2007, p. 12).

125

Por estas orientações desta autora, entendemos que o jogo aqui deva ter

quebrado um pouco a monotonia das atividades escritas, introduziu descontração ao

processo de aprendizagem e o motivado a participar das atividades finais.

Na questão 2, do teste final, figura 39, esperamos que o aluno reconheça

uma equação equivalente. Das quatro alternativas, ele não executa nenhum

tratamento para a obtenção da equivalente, escolhe duas delas, mas sem sucesso.

Figura 39/AAPST – Registro semiótico 1 da questão 2 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Na questão 6, Figura 40, entendemos pelo registro na linguagem materna

quis dizer que é uma equação linear. Neste caso os sujeitos recorreram às

lembranças recebidas em sala de aula, mesmo já dispersas sobre equação linear, e

que são estas que forma os sistemas lineares.

Figura 40/AAPST – Registro semiótico 2 da questão 6 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Na questão 7, Figura 41, a dupla aplica o tratamento para o escalonamento,

ao multiplicar a primeira equação por -2, mas anota no segundo termo -2, ao invés

de -4, no terceiro termo anota 2x, ao invés de 2z, em seguida tenta somar com a

segunda equação, mas a sucessão de erros o impedem de escalonar o sistema. A

atividade de aprofundamento poderia tê-lo ajudado a também resolver esta questão,

mas a falta de persistência para a aquisição dos saberes que são adquiridos na

escola nos leva a entender que cultivam valores que desmotivam a permanecer na

aula em busca desses sabres.

126

Se examinarmos atentamente os exemplos anteriores, poderemos comprovar que os alunos agem tendo em vista diferentes metas. Em alguns casos, o mais importante é aprender algo que faça sentido: descobrir por trás das palavras que se constroem, significados conhecidos e experimentar o domínio de uma nova habilidade, encontrar explicação para um problema relativo a um tema que se deseja compreender etc. (JESUS e FITA, 2015, p. 17).

Mesmo procurando adequar as atividades da Sequência Didática a algo que

tenha sentido para os sujeitos, os erros podem acontecer por um detalhe esquecido,

e em consequência disso se lançam a novas formas de se expressar. E assim o

tratamento vai ganhando dimensões imprevistas.

Figura 41/AAPST – Registro semiótico 5 da questão 7 do tese final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

A dupla 9 não fez a atividade 6 e nem a 7. Com a prática que essa dupla

deixou de exercitar nessas atividades, poderia ter respondido a questão 4 e a 6,

culminando para a questão 7, do teste final (Figura 42). Vejamos que a dupla aplicou

o tratamento multiplicando a primeira equação por -2 para somar com a segunda, e

eliminou a variável “x”, mas ao invés de obter -4 como coeficiente de y, anota -2, e

anota 8 no lugar de -8. A partir desse momento os problemas se sucedem, mas

acredita que o valor de y seja 4.

Na segunda coluna, multiplicou a primeira coluna por -1 para eliminar a

variável “x”, mas em consequência consegue também eliminar a variável “z”

(correto). Nesta segunda etapa do tratamento, poderia ter calculado o valor da

variável y corretamente, mas erra na obtenção do coeficiente independente. A partir

destes registros concluímos que a dupla entendeu os procedimentos do

escalonamento, mas parou nas barreiras dos pré-requisitos ainda em fase de

construção. Na falta destes pré-requisitos, surge a necessidade de se estabelecer

em regime de urgência, algo que reduza a distância entre o que os alunos sabem, e

127

às vezes nem sempre é possível para todos os alunos em classe de alto nível de

heterogeneidade.

Para (MOREIRA, 2011, p. 105), os organizadores prévios são materiais ou a

introdução de saberes apresentados, antes do material dos saberes que devem ser

ensinados. E para isso seria necessário um tempo extra para introdução de

organizadores prévios

Figura 42/AAPST – Registro semiótico 6 da questão 7 do teste final

Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)

A dupla 10, apesar de nossa solicitação para que terminasse a atividade,

deixou de fazer as questões 4, 5 e 6 da atividade de aprofundamento, e isso deve

ter comprometido o rendimento em três questões do teste final.

Na questão 5, figura 43, só encontramos os registros das respostas mal

sucedidas nos padrões esperados. Entendemos que a resposta obtida veio da

tentativa de manipular os dados numa calculadora, um exemplo claro de alunos que

tem uma experiência empírica anterior.

Para Moreira (2011, p. 28), “subsunçores são conhecimentos prévios

especificamente relevantes para a aprendizagem de outros conhecimentos”. Pelo

que observamos, a experiência desses alunos, registrada na figura 37, página 125,

se transformou num paradigma, ou seja, eles dispensaram a orientação para

construir o sistema 2x2, para testar os valores possíveis para a faca e para a colher.

Eles até no momento dessa atividade só haviam entendido que o valor de uma faca

somado com o valor de duas colheres teria que dá sete reais e o valor de duas facas

somado com o valor de cinco colheres teria que dá 16 reais. E para proporcionar as

128

condições para esta dupla superar este obstáculo, precisaríamos de mais tempo

para fazer esse trabalho.

Figura 43/AAPST – Registro semiótico 3da questão 5 do teste final

Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)

A dupla 11 se revelou como uma fonte de dificuldade. Segundo o que

ouvimos de um deles, fizeram o ensino fundamental em uma turma de ensino de

jovens e adultos, localizada na zona rural, onde enfrentam problemas de transportes

até à classe, e a falta de professores de matemática na escola, e no final do ano,

como não são culpados de haver professores na sala, como os demais casos

semelhantes no município, são promovidos para a série seguinte.

Para (AGUIAR e OLIVEIRA, 2009), “a ausência dos trabalhadores, bem

como atrasos, acabam prejudicando o andamento dos trabalhos na organização”.

Aqui pode está uma das razões pelas quais não conseguimos proporcionar aos

componentes da dupla 11, um desempenho melhor na aprendizagem dos Sistemas

Lineares, pois, os saberes necessários para a compreensão do assunto a ser

ensinado, não se encontravam no sistema cognitivo dos alunos.

De acordo com seus registros, na questão 2, figura 44, do teste final,

vejamos que repetiu a equação logo abaixo das alternativas, somou o coeficiente de

y com o coeficiente de x, que achou -5 como coeficiente de y da nova equação.

Depois, na nova equação somou o coeficiente de y com o coeficiente de x, e

encontrou 12 como coeficiente independente, por isso não sentiu segurança para

marcar alguma alternativa.

Nesse contexto, o pouco tempo disponível para a experimentação não foi

possível introduzir e amadurecer os organizadores prévios para o nivelamento dos

sujeitos. E na falta momentânea destes, por esquecimento o pela turbulência das

informações, que pode ocorrer quando os organizadores prévios ainda não foram

amadurecidos, os sujeitos se encaminham de forma incoerentes rumo às respostas.

129

Para Moreira (2011, p. 105), os organizadores prévios são materiais ou a

introdução de saberes apresentados, antes do material dos saberes que iremos

ensinar. E para isso seria necessário um tempo extra para introdução de

organizadores prévios.

Para Winkeler e Costa (2013, p. 1), “as dificuldades de aprendizagem estão

ligadas á falta de pré-requisitos ou das habilidades básicas da matemática. A falta

dessas habilidades pode aumentar o risco de fracasso escolar e abandono a

escola”. Nesta perspectiva, se não houver uma atenção especial para esta dupla, a

tendência é abandonar a escola. E como o nosso trabalho era de uma

experimentação de caráter temporário, o nosso tempo disponível, pode não ter sido

o suficiente para construir os pré-requisitos para a dupla 11 assimilar do conteúdo da

nossa proposta da forma que esperávamos.

Figura 44/ AAPST – Registro semiótico 2 da questão 2 do teste final

Fonte: pesquisa de campo (2018)

Na questão 5, já vista, quase todas as outras duplas, mesmo por tentativa,

apresentaram uma resposta pelo menos aproximada da correta. No entanto para a

dupla 11, a questão 5, figura 45, parece ter se tornado bem mais difícil.

Pela nossa análise, observamos que a dupla tentou somar uma faca com

R$16,00, e a outra parcela é a soma das sete colheres com duas facas, e admite

como solução: R$23,00 o preço de cada colher.

Acreditamos que o instrumento, recuperação paralela, é subestimado por professores que o percebem como mecanismo beneficiador do aluno “relapso”, por alunos que o compreendem simplesmente como mecanismo de melhoria de nota e subutilizado pela escola que apenas cumpre uma determinação legal, evitando problemas futuros com o fracasso escolar. [...] O fato é que alguns alunos não conseguem atingir parte desses objetivos, sendo papel da escola investigar as causas desse fracasso, criando novas oportunidades ou novos caminhos para corrigir suas rotas (DUTRA e MARTINS, 2012, p. 2- 3).

130

Nessa perspectiva, alunos que se encontram nestas condições, precisam de

acompanhamento de um professor no estudo de conteúdos bases para as

aprendizagens do Ensino Médio sob pena de não adquirirem os sabres necessários

ao exercício de sua cidadania.

Figura 45/AAPST – Registro semiótico 5 da questão 5 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Para nós, o ensino recebido por esta dupla foi mais deficiente do que o

recebido pelo restante da turma. E casos de alunos nestas condições, o tempo de

pesquisa de uma só Sequência Didática como esta, não foi o suficiente para

recuperá-los a corresponder positivamente às atividades propostas, pois nesta

pesquisa, além de precisar contar com a boa vontade dos alunos em tornarem-se

sujeitos da pesquisa, Bzuneck (2010, p. 20) ainda diz que: “os professores não

devem pressionar os alunos para cumprir rapidamente as tarefas propostas. E nem

os alunos devem pensar que o esforço prolongado numa tarefa é sinal de falta de

capacidade”.

E na falta destes pré-requisitos para a ancoragem dos conhecimentos que

queremos ensinar, surgem a necessidade de se estabelecer em regime de urgência,

algo que reduza a distancia entre o que os alunos sabem, e às vezes nem sempre é

possível para todos os alunos em classe de alto nível de heterogeneidade.

Para Moreira (2011, p. 105), os organizadores prévios são materiais ou a

introdução de saberes apresentados, antes do material dos saberes que iremos

ensinar. E para isso seria necessário um tempo extra para introdução de

organizadores prévios

131

Então, pelo que presenciamos e ouvimos, entendemos que esta dupla se

deparou com muitas informações de uma só vez, mas sem o tempo necessário para

processá-las e amadurecê-las e aplicar nas atividades da Sequência Didática.

A dupla 12 não compareceu nas aulas para fazer a atividade 8, figura 46, e

isso deve ter comprometido seu desenvolvimento na questão 8 do teste final,

deixando a em branco.

Figura 46/AAPST – Registro semiótico 3 da questão 4 do teste final

Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)

Na questão 5, do teste final, figura 47, a conversão foi realizada da

linguagem figural para a linguagem algébrica, e o procedimento do escalonamento

correto, culminando na eliminação da variável F, correspondente a quantidade de

faca, e encontrando direto a quantidade de colher. Em seguida executou a

substituição correta na primeira equação para encontrar a quantidade de faca.

Figura 47 – Registro semiótico 5, questão 5 do teste final

Fonte: Pesquisa de capo do autor (2018)

Para o escalonamento deste sistema, questão 7, figura 47, primeira equação

foi multiplicada corretamente por -2, somada corretamente com a segunda, mas

132

enfrentou problemas para eleminar a variável “x” da terceira equação, pois teria que

multiplicar a primeira equação por -1 e somar com a terceira.

Vale ressaltar que os erros não aparecem por acaso, mas surgem em uma estrutura conceitual consistente, com base em conhecimento adquirido anteriormente, e qualquer processo de treinamento está gerando erros potencialmente, devido a diferentes causas, algumas das quais inevitavelmente ocorrem (POCHULU 1993, p. 1).

Por Pochulu (1993), estes erros fazem parte da construção e exercitação do

novo conecimento, pois os alunos enquanto procuram resolver os questionamentos

propostos, erram por esquecimento ou outras causas não identificadas até aqui.

Figura 48 – Registro semiótico 7 da questão 7 do teste final.

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Com base no autor referido, entendemos que os erros cometidos são

acontecimentos em decorrência do ato de aprender.

A dupla 13 só não fez a atividade 7, mas essa atividade deixou de contribuir

diretamente pelo menos no desempenho da questão 5, figura 49. Nesta questão, a

exemplo já citado, também procurou o método da tentativa, para encontrar os

valores da cada faca e de cada colher. E o nosso tempo de experiência não permitiu

que proporcionássemos a estes alunos também a crença de que poderiam resolver

este problema usando o escalonamento, e ainda expandir aos sistemas de ordem

maiores.

Figura 49/ AAPST – Registro semiótico 6 da questão 5 do teste final

Fonte: pesquisa de campo do autor (2018)

133

Na questão 7 figura 50, a dupla multiplicou a primeira equação por -2 e

somou com a segunda, mas como termo independente, anotou oito, se esquecendo

de subtrair o 3, que daria -5. Daí em diante confundiu o “y” com 4, anotando z = 4.

Depois recorre à primeira equação, multiplica a por -1, mas como coeficiente de y

anota -2, e também como coeficiente independente anota novamente oito, e o divide

por -2, encontrando 4 como valor de “y”. E finalmente, para calcular o valor de “x”,

substitui na primeira equação, os valores encontrados de y e de z, e depois de uma

sucessão de problemas de aprendizagem com a soma e com a divisão, encontra 3

como valor para “x”.

Nestes registros, apesar de termos observado alguns resultados similares

aos de outras duplas, não foi possível observar seu contato com outros alunos, de

forma a causar suspeitas.

Em outras palavras, a cola resiste às investidas de sua eliminação; as medidas preventivas e repreensivas tomadas por professores e instituições levam apenas a uma mudança de estratégia da cola e ao seu aperfeiçoamento, possibilitando conjecturar que não há efetividade de qualquer que seja o instrumento de vigilância e repressão (SOUSA, 2016, p. 3).

Por esta autora, entendemos que o fenômeno do contato entre alunos em

avaliação individual é um fator que em todo cuidado que tomamos, apenas

minimizamos o problema, no entanto, aqui, na hipótese de que estes alunos tenham

procurado ajuda a outrem da sala, ainda mostram as mesmas carências de

subsunçores de quem possa ter recebido ajuda, pois observamos não terem

percebido os erros na resolução.

Figura 50/AAPST – Registro semiótico 8 da questão 7 do teste final

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

134

O ensino das operações com os sinais, ligando a algo que os alunos já

saibam, para fazer o que aqui chamaremos de ponte didática, não tem se mostrado

algo simples, e essas falhas vão singrando as séries até chegar ao momento da

decepção. E momentos assim pode ser uma prova do Exame Nacional do Ensino

Médio - ENEM, uma avaliação para um emprego, ou na interpretação de uma

operação bancária.

6.2 – Contribuição dos Professores

O ponto de vista dos professores de matemática se torna importante para

este trabalho, no momento em que compreendemos como parte importante no

fenômeno ensino-aprendizagem. E essa importância se faz presente no cruzamento

dos pontos de vistas sobre o modo como encaminham pedagogicamente o conteúdo

de Sistemas Lineares, e o ponto de vista dos alunos sobre o aprendizado adquirido.

Para isto, a coleta dos dados foi realizada por meio de um questionário

(Apêndice 3, p. 177) com 18 questões aplicadas a 27 professores, entre eles,

mestrandos do programa de mestrado da Universidade do Estado do Pará – UEPA e

professores do ensino médio, da cidade onde aplicamos a Sequência Didática,

todos atuantes em sala de aula, de estados das regiões Norte e Nordeste, sendo

que a maioria deles do estado do Pará, no período de janeiro a abril de 2018.

Entre as respostas dos professores, buscamos as que produziram respostas

que consideramos mais impactantes para o nosso trabalho, como: a questão 4, a 7 e

a 10. os demais resultados coletados pelas demais questões são relevantes em

termos de informação qualitativa, aparecendo implicitamente nos resultados e

apreciações desta natureza. e posteriormente poderão ser trabalhadas em materiais

de divulgação do resultado da pesquisa, em trabalhos futuros. O objetivo do

questionário para professores foi para complementar o apoio de campo, e na

formalização de nossas conclusões sobre o ensino e aprendizagem de Sistemas

Lineares, tanto nesse trabalho como em possíveis trabalhos quanto na construção

de futuros produtos de ensino.

O questionário aplicado aos professores é similar ao aplicado aos alunos

(Vide Apêndice 2, p. 174 e Apêndice 3, p. 177, respectivamente), e seu objetivo é

fazer o cruzamento dos dados da experiência da docência com os resultados dos

sujeitos, e assim nos assegurar da necessidade desenvolver abordagens

135

alternativas de ensino deste conteúdo, e no nosso caso a analise a priori e a analise

a posteriori nos levaram a crer na Sequência Didática que apresentamos.

Por via do cruzamento dos dados observamos que no Gráfico 21, 67% dos

professores responderam que começam suas aulas com uma situação problema,

contra 33% começam pela definição. Enquanto que o Gráfico 7 (da análise a priori,

p. 78), mostra que 81% dos alunos responderam que a maioria das aulas começam

com a definição.

Gráfico 21/AAPST – Questão 7 do questionário para professores. Em suas aulas de Sistemas Lineares, a maioria delas são:

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Os gráficos da análise a priori foram gerados pelo aplicativo do Google drive, pelo

grande quantidade de dados e a quantidade de gráficos que precisamos analisar.

Enquanto que os gráficos da análise a posteriori tiveram menor número de dados,

facilitando a aplicação do aplicativo Excel.

No gráfico 22, da questão 7, quando perguntamos aos professores, se seus

alunos conseguiam compreender suas aulas de Sistemas Lineares, 74%

responderam: Quase sempre, e 19%, poucas vezes e 0%, de nunca compreendem.

E quando perguntamos aos alunos se compreendiam as aulas sobre Sistemas

Lineares, gráfico 2 (da análise a priori p. 72), 52% responderam: poucas vezes ou

nunca.

As distorções que aparecem entre o Gráfico 21 e o Gráfico 7 e entre o

Gráfico 22 e o Gráfico 4, parecem está ligados ao fato de que: os sujeitos da análise

a priori foram apenas de uma escola do interior do estado do Pará, ao passo que

entre os professores consultados, alguns deles, como já citado, são de outras

cidades do Pará, e também de outros estados no Norte e Nordeste, sendo que entre

136

os professores respondentes, das cidades onde foi realizada o levantamento prévio

e da cidade foi aplicada a Sequência Didática, houve que respondeu que começa a

aula de Sistemas Lineares pela definição. E isto explica as contradições

demonstradas pelos gráficos acima citados.

Gráfico 22/AAPST – Questão 4 dos questionário para os professores. Seus alunos conseguem compreender suas aulas sobre Sistemas Lineares?

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

Diante deste viés de contradição, discutido acima, partimos para a análise

do gráfico 23, onde observamos que aproximadamente 96% dos professores

possuem alguma dificuldade para ensinar Sistemas Lineares, entre estes, 55%

acham difícil seu ensino por escalonamento. E o gráfico 10 (página 81), da análise a

priori mostra que aproximadamente que 90% dos alunos têm dificuldade de

aprender Sistemas Lineares por escalonamento. Então, pelo gráfico 23 e 10,

percebemos a compatibilidade entre as dificuldades de ensinar Sistemas Lineares

por escalonamento e as dificuldades que os alunos têm de aprendê-los.

Gráfico 23 – Questão 10 do questionário para os professores. No que se refere ao grau de dificuldade que seus alunos têm de aprender Sistemas Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque com um X)

Fonte: Pesquisa de campo do autor (2018)

137

E na compreensão de que os resultados dos demonstrados nos gráficos 23

e 10 (pag. 81) aparecem como correção das distorções ocorridas anteriormente,

reforçam nosso entendimento sobre a necessidade de procurar mecanismos

didáticos para melhorar a qualidade do ensino deste assunto.

As ideias sócioconstrutivistas da aprendizagem partem do princípio de que a aprendizagem se realiza pela construção dos conceitos pelo próprio aluno, quando ele é colocado em situação de resolução de problemas. Essa ideia tem como premissa que a aprendizagem se realiza quando o aluno, ao confrontar suas concepções, constrói os conceitos pretendidos pelo professor (BRASIL, 2006, p. 81).

Por estas concepções, é que devemos nos colocar diante dos

questionamentos que podem ser gerados pelas reflexões sobre o que trazemos por

meio deste trabalho, e que numa espécie de resumo, os gráficos 22, 23 e 24,

confrontados com os gráficos: 2, 7 e 10 nos traduzem a urgência por mecanismos,

estratégias e produtos de ensino objetivando mudar esse quadro.

6.3 – Sobre o Cumprimento dos Objetivos da Sequência Didática

Quando iniciamos um curso de mestrado nossas expectativas baseadas nas

teorias que investigamos se elevam bastante, talvez seja um processo natural, para

que possamos suportar o peso da realidade do campo a ser pesquisado, e nos

sustentar na busca de resultados que justifiquem o trabalho, e assim, no caso de

nosso produto, junto com os resultados demonstrados, vem nossa crença de sua

efetividade no ensino deste conteúdo. E a contribuição dos professores de

matemática que já Lecionaram ou ainda lecionam Sistemas Lineares se tornou

importante no confronto de suas dificuldades em ensinar esse assunto, com as

dificuldades que os estudantes têm de aprendê-lo.

Na análise da nossa Sequência Didática, gostaríamos que o desempenho

dos sujeitos fosse mais unânime, mas as variações parecem naturais nas aptidões

humanas. Por meio da Figura 51, procuramos mostrar quão diversas se revelam as

produções de um grupo de sujeitos aprendizes (disciplina Matemática), depois de

categorizados e transformados em números.

138

Figura 51 – Mapa de Notas

Fonte: Escola Albertina Barreiro (2018)3

Quando nos dispomos a desenvolver um produto de ensino de Sistemas

Lineares, pelo método do escalonamento, imaginamos uma realidade perfeitamente

possível de respaldar um produto de forma a torná-lo altamente confiável e aplicável

sem necessidade de adaptação, mas o campo de pesquisa nos reconstrói e nos

refina no direcionamento da reflexão no sentido de que no campo educacional a

diversidade humana desenha pontos distintos que mudam sua distinção a cada

momento. E é nesse meio que se encontra o professor, na procura de entender as

diversidades, e assim poder para traçar modos de conviver e modelar novas formas

das pessoas enfrentar as realidades. E as aprendizagens que adquirimos no

decorrer deste trabalho, nos levaram à perguntas, do tipo: como fazem o que fazem?

Por que os fazem? E o que os incomoda no fazer? E então, a partir daí, sugerir aos

seus alunos, possíveis modos de como melhor ensinar.

Estas indagações parecem nos motivar para a procura de soluções, e na

nossa proposta, entendemos a Transposição Didática como um transformador de

um conteúdo cientificamente abstrato, em um conteúdo perceptível pelas estruturas

cognitivas que percebem os saberes de maneira mais clara, se se apresentados

engajados da vida prática e contextualizados.

É sem dúvida a arma mais poderosa em favor da transposição, é a ferramenta mais forte a favor da transposição didática. A contextualização é a amiga mais fiel da transposição. [...] Toda vez que for fazer uma contextualização, o professor deve ter em mente que ela é necessária para criar as margens do campo que ele irá explorar (ALMEIDA, 2011, p. 39).

3 Dado obtido através de um diário de classe de 2017, de um professor de matemática de uma escola

pública, do sudeste do estado do Pará.

139

Então, para melhor ensinar, torna se plausível, em primeira mão, buscarmos

as ligações possíveis entre o que queremos ensinar com algo do meio onde os

alunos, sendo que eles poderão trazer algo valioso para agregar o novo conteúdo no

contexto de sua vivência.

As mudanças de mentalidade das gerações são introduzidas pela educação,

e este processo tem como vanguarda os professores. Nesse sentido se um

professor conseguir fazer uma pequena mudança no pensamento de um grupo de

alunos, esta se potencializará no decorrer das gerações. Antes da aplicação da

atividade 1 (Apêndice 1), os alunos tiveram uma revisão sobre equação linear, para

reforçar este pré-requisito.

Atividade 1 teve o objetivo de proporcionar aos alunos os saberes para obter

uma equação equivalente. Em relação a este item, no teste inicial tiveram 70% de

acerto e no teste final conseguiram 100% de acerto, Desta forma, consideramos que

o objetivo proposto foi atingido.

A atividade 2 teve o objetivo de proporcionar aos alunos a construção do

conceito de sistema linear, e que, incorporada com as atividades 2, 3, 4, 5, 6 tiveram

o objetivo de proporcionar os sabes para obter sistemas equivalentes, testando as

respostas dos sistemas dados, para a verificação do que significa um sistema

equivalente, permutando suas ou aplicando as operações básicas. E os conceitos e

habilidades adquiridas por meio destas atividades levariam a responder as questões

2, 3, 4 do teste final. Aqui os alunos tiveram acerto médio no teste inicial de 5%,

enquanto que no teste final tiveram 82% de acerto médio.

As atividades 6, 7 e 8 tiveram o objetivo de proporcionar a complementação

das habilidades para interpretar, o enunciado que se entra na linguagem materna ou

figural para a linguagem algébrica, e aplicar os tratamentos adequados para a

resolução dos sistemas 2x2 e 3x3, que são as questões 5, 6, 7 e 8, do teste final.

Nestas questões, validamos as respostas representadas no diagrama qualificativo

de respostas em um tom mais claro do azul (Diagrama 1, p. 105), parcialmente

correta em 2/3 do valor percentual do azul mais escuro, por considerar que o sujeito

interpretou o enunciado corretamente, fez a conversão dos registros da linguagem

materna para a linguagem algébrica, e alguns deles sujeitos ainda executaram os

primeiros passos do tratamento do escalonamento.

Estas iniciativas, podem ter possibilitado os sujeitos ao aproveitamento de

41% no teste final, diante de 0% no teste inicial. No prosseguimento desta linha de

140

entendimento, acreditamos que esta Sequência Didática pode promover a

construção de um corpo de saberes em Sistemas Lineares importantes para o

presente e para a continuação de estudos futuros que complementam este assunto.

Isto, possivelmente facilitado pelas transformações promovidas pela transposição

didática, e pela assimilação adquirida aqui destas propriedades estes estudantes

poderão ter melhor leitura do mundo cotidiano pela ótica dos Sistemas Lineares e na

sua melhor capacitação no ingresso nos cursos de exatas na universidade.

A importância do estudo de sistemas lineares se deve por uma utilização na modelagem de diversos problemas. Esses problemas vão desde os mais simples envolvendo duas equações e duas incógnitas e resolvidos até mesmo insperção ou por métodos bastante simples até problemas de áreas científicas e tecnológicas abrangendo um grande número de variáveis e necessitando de métodos elaborados e mais robustos de resolução (FERREIRA, 2013, p. 141)

Ferreira (2013) nos informa o quanto o conhecimento deste assunto tende a

ser significativo o rol de saberes dos estudantes egressos do ensino básico, e pelo

visto, torna se por sua vez relevante a nossa preocupação em desenvolver um

produto que seja aplicado, buscando o melhor resultado no ensino do que

especificamente para o Ensino Médio o chamamos de Sistemas Lineares.

A seguir, para percebermos a estatística do teste pareado, aplicado às notas

colhidas pelo teste inicial, aplicado antes da experimentação com a Sequência

Didática, e as do teste final, aplicado depois da experimentação com a mesma,

Procurando explicitar ao leitor o comparativo, e a diferença de aprendizagem

detectada que acreditamos ter sido causada pelo trabalho com a Sequência

Didática, e percebida via análise a posteriori.

6.4 - Teste de Hipótese “t” de Student para as Notas Pareadas

O teste “t” (a letra “t” vem da distribuição t de Student)4 tem uma origem

curiosa, pois se refere a William Sealy Gosset (1876 – 1937), por usar o pseudônimo

de Student em seus trabalhos. De acordo com Memória (2004, p. 33), o trabalho de

Student (1908 apud BARBETA, 2002, p. 217), sob a orientação de Pearson, é

4 MEMÓRIA, J. M. P. Breve História da Estatística: texto para discussão 21. Brasília DF: Embrapa

Informação Tecnológica, 2004.

141

considerado o marco inicial do estudo das pequenas amostras. E que o pensamento

de Student era de que “qualquer experimento pode ser considerado um indivíduo de

uma população de experimentos realizados sob as mesmas condições” (op. cit., pág

217). E o objetivo do uso deste teste é confirmar a efetividade do uso desta

Sequência Didática no ensino deste assunto por escalonamento, visto a diferença

nas notas pareadas com 95% de confiança.

Os procedimentos para estudar os dados, coletados nesta pesquisa foram

baseados em Barbeta (2002, p. 217), e para efeito de melhor visualização das notas,

apresentamos as pontuações do teste inicial, gráfico 19, já citado, junto com a

pontuação do teste final, convertidas em notas de 0 a 10, gráfico 24.

Gráfico 24/AAPST – Teste inicial e final

Fonte: Pesquisa de campo (2018)

Em seguida, apresentamos os cálculos do pareamento estatístico, para

verificar se houve diferença estatisticamente significativa e consequentemente,

validar este método como possível de ser aplicado com sucesso como ferramenta

subsidiária do trabalho do professor em sala de aula.

Os resultados da tabela 1 e 2, calculados pelo aplicativo excel, e pelas

orientações de Barbeta (2002, op cit. p. 218 - 219,). Para obter o valor de “t” do teste

t de Student, aplicamos os resultados das tabelas na fórmula (1), em seguida na

fórmula (2) conforme a convenção.

De acordo com as instruções da aplicação do teste, se “t” calculado, der

menor ou igual a “t” tabelado, aceita se a hipótese nula. Em outras palavras, não

houve produção significativa. Porém, se “t” calculado der maior que “t” tabelado,

aceita se a hipótese alternativa, em outras palavras, quer dizer que houve

produtividade em quantidade significativa. Para este trabalho, quer dizer que a

142

diferença das notas do teste final em relação ao teste inicial não aconteceu

aleatoriamente.

Tabela 1: Notas por dupla Tabela 2: Resultados

Fonte: Pesquisa de campo (2018)

Fonte: Pesquisa de Campo (2018)

Hipótese de teste

H0: hipótese nula → “t” cal ≤ “t” tab

H0: Hipótese alternativa → “t” cal > tab

Conclusão do teste: como “t” cal. 9,41 > “t” tab. 1,78, aceita se a hipótese

alternativa, ou seja, de acordo com a amostra analisada, com 95% de confiança, não

podemos afirmar que a Sequência Didática não produziu resultados estatisticamente

significativos.

143

6.5 – Considerações Sobre a Pesquisa

Para desenvolver uma sequência didática para o ensino de Sistemas

Lineares, capaz de ajudar o professor a melhorar seu trabalho em sala de aula, além

do nosso levantamento de campo, nos apoiamos também em trabalhos realizados

em outros Estados, e nestes, detectaram os mesmos problemas, e isso nos leva a

acreditar que a nossa Sequência Didática, pode ajudar também os professores

destes lugares. Percebemos também, por ocasião da experimentação que apesar da

atividade exigir o foco do aluno, a presenças do professor continua sendo

importante, vejamos o que diz Cabral (2017).

[...] o professor pode perceber que o aluno cometeu um erro por falta de atenção, por exemplo, um dado incompleto ou equivocado [...], o aluno pode ter estacionado suas atividades por não ter compreendido o comando sugerido pela SD em função, por exemplo, da falta de conceito, uma noção abstrata específica sobre a qual a SD foi organizada. Nesse caso o professor agirá no sentido de possibilitar esse domínio (CABRAL, 2017, p. 49-50).

Nessa perspectiva, é possível que um determinado professor possa

encontrar turmas com todas estas características. Então, com base no nosso

levantamento prévio, e na literatura consultada, a turma de experimentação da

Sequência Didática, deveria ter todas as características descritas por Cabral (2017,

op cit). Por isso nos apoiamos nos autores Rosso e Nívia (2010) para aplicar a

experimentação com sujeitos agrupados em duplas, tentando nos enquadrar no

tempo que faltava para o final do ano letivo:

A cooperação entre os alunos e a socialização das respostas leva em conta os fatores ligados à autonomia, tais como: a exposição de seu modo de pensar, a troca de ideias entre os colegas, o uso de estratégias, o diálogo com o professor. A autonomia do aluno é favorecida quando o seu erro pode ser corrigido em cooperação com os colegas e o professor, e não pela simples sobreposição da certeza ou correção do professor (ROSSO e NÍVIA, 2010, p. 11).

Então, agrupamos os sujeitos em duplas para as atividades da Sequência

Didática, porém este fato não proíbe o professor de trabalhar com a mesma,

individualmente. O agrupamento em duplas se tornou útil em nosso trabalho, pelas

vantagens citadas por Rosso e Nívia (2010, op cit.), quando contamos com a partilha

das ideias no desenvolver das atividades. A abordagem contextual poderá ser

144

adaptada, para contemplar os costumes e afazeres locais, sem mudar a essência da

experimentação, porem, se assim ocorrer, se caracterizaria outra sequência didática

esta, já se encontra no estado pronto.

A área de Ensino é, portanto, uma área essencialmente de pesquisa translacional, que busca construir pontes entre conhecimentos acadêmicos gerados em educação e ensino para sua aplicação em produtos e processos educativos na sociedade (SILVA e DEL PINO, 2016, p. 3, grifo nosso).

Dentro dessa translação relacional, citada por Silva e Del Pino (2016),

entendemos que se encontra o professor, como construtor destas pontes entre cada

conteúdo acadêmico e os estudantes. No entanto, estas pontes não podem ser

iguais, porque cada meio cultural trazem seus contextos, como uma espécie de

códigos de acesso a serem usados pela transposição didática, para proporcionar a

assimilação por parte dos alunos.

Os resultados de nossa pesquisa, procuramos apresentar por duas vias:

pela via qualitativa, quando usamos a análise semiótica de Duval para avaliar a

aprendizagem dos sujeitos, por meio de seus escritos, e pela via quantitativa,

quando quantificamos os seus rendimentos pelos mecanismos gráficos da estatística

descritiva e pelo teste de hipótese “t” de Studente. Depois de demonstrada que

nossa Sequência Didática produziu resultados significativos na aprendizagem dos

sujeitos, percebemos que este trabalho porta as possibilidades de ajudar a melhora

o trabelho dos professores em sala de aula e ainda servir de apoio para trabalho

futuros.

145

7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

O objetivo deste trabalho foi pesquisar a viabilidade metodológica para o

desenvolvimento de uma Sequência Didática para o ensino de Sistemas de

Equações Lineares no Ensino Médio. Para isso, realizamos toda nossa pesquisa

guiada pelos principais critérios da engenharia didática, de Michele Artigue,

consultando os autores que em seus trabalhos abordaram metodologias de

pesquisas, as metodologias de ensino de Sistemas Lineares, suas aplicações e

como desenvolveram seus trabalhos. E depois da Sequência Didática Pronta,

experimentada in loco, de acordo com a análise a posteriori realizada sobre os

registros deixados pelos sujeitos, passaremos a expor as considerações sobre o

trabalho.

7. 1 – Resultados Alcançados

A) A pesquisa guiada pelos pressupostos da engenharia didática

proporcionou segurança na execução de cada etapa da mesma;

B) Descoberta in loco da necessidade do estabelecimento de organizadores

prévios depois do teste inicial e antes da aplicação da Sequencia Didática;

C) A Sequência Didática produziu resultados significativos na aprendizagem

dos sujeitos da pesquisa, conforme os mecanismos de apresentação como os

gráficos de coluna e os diagramas qualificativos de respostas;

D) Em relação ao objetivo geral, a sequência Didática proporcionou aos

sujeitos da pesquisa, a assimilação dos conceitos de sistemas equivalentes,

necessárias para a construção das habilidades para resolução de sistemas lineares,

proporcionou a assimilação do conceito de Sistemas Lineares, o suficiente para

realizar a conversão do enunciado que se encontrava na linguagem comum, para a

linguagem algébrica;

E) Em relação aos objetivos específicos, a Sequência Didática promoveu a

compreensão do conceito de sistemas equivalentes, possibilitou o estudo dos

processos que favoreceram a aprendizagem da aplicação das operações básicas

para obter sistemas equivalentes, proporcionou o desenvolvimento de uma

Sequência Didática sobre Sistema de Equações Lineares, usando a engenharia

didática de Michele Artigue;

146

F) O resultado geral foi estatisticamente significativo, diante do teste de

hipótese “t” de Student com os dados pareados;

7.2 – Ponderações e Recomendações

Pelo pouco tempo disponível para o estabelecimento dos organizadores

prévios, as habilidades para a aplicação das operações básica nas equações de

sistema linear foram construídas parcialmente, recomendamos reservar maior tempo

para o estabelecimento dos organizadores prévios, no reforço dos pré-requisitos que

dão suporte à aprendizagem de Sistema de Equações Lineares.

A Sequência Didática que foi desenvolvida ao longo desse processo vai ser

disponibilizada em um volume à parte para o trabalho do professor que preferir

trabalhar com sequência didática com seus alunos.

7.3 – Indicativos para Trabalhos Futuros

Em relação a futuros trabalhos, observamos que para cobrir esse conteúdo,

outros itens se fazem merecedores de nossas atenções para futuras investigações,

via Sequência Didática, arquitetado por Kumon (1914-1995) e obedecendo a

definições de Zabala (1998): a classificação de sistemas lineares quanto às

soluções, as linguagens representativas dos Sistemas de Equações Lineares e as

demais contextualizações, como: as modalidades esportivas, as diversas culinárias

regionais que permeiam a nossa cultura brasileira, entre outras formas contextuais.

Dentro das diversas ramificações culturais, marcadas pelas experiências de

vida de cada povo, demandando assim de saberes múltiplos, os Sistemas de

Equações Lineares ainda muito carecem de investigações e metodologias para

contemplar os canais de assimilação desse assunto, por parte de nossos alunos.

147

8 – R EFERÊNCIAS

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156

APÊNDICES

157

Apêndice-01

SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Atividade 1: Equações equivalentes

Objetivo: Equação lineares equivalentes.

Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.

Procedimento: Preencher a coluna B seguindo as instruções da A e responder as

questões seguintes.

A B C

Equação: 2x + y = 5 Resposta

O par ordenado (1, 3) é solução da equação

da coluna B?

Sim

Não

Somando o número 3 aos dois membros da

equação B por um número diferente de zero,

o par ordenado (1, 2) ainda continuará sendo

solução da equação?

Sim

Não

Somando o número k aos dois membros da

equação da coluna B por um número

diferente de zero, o par ordenado (1, 2) ainda

continuará sendo solução da equação?

Sim

Não

Multiplicando os dois membros da equação

da coluna B por um número k qualquer, o par

ordenado (1, 2) ainda continuará sendo

solução da equação?

Sim

Não

a) A pesar das alterações ocorridas na equação a solução continuou a mesma? ______________________________________________________________

b) O que você conclui sobre isso? _____________________________________

______________________________________________________________

c) Formalização do conceito:

158

Atividade 2: Conceito de sistema de equações lineares

Objetivo: construir o conceito de sistema de equações lineares.

Material: lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.

Procedimento: marcar a alternativa que mais se aproxima do significado de

sistema, em seguida responder os itens abaixo.

a) Quando você ouve a palavra: sistema, Em que você pensa como um

possível significado?

( ) Coleção ( ) Conjunto ( ) Família ( ) Boiada Kit ( )

( ) outros...........................................................................................

b) Como chamamos o conjunto de órgãos que juntos fazem a digestão dos

alimentos que comemos?_______________________________________

c) Como chamamos o conjunto de órgãos que juntos permitem a circulação

do sangue no corpo? __________________________________________

d) Como chamamos o conjunto de astros o qual pertence a terra?

___________________________________________________________

e) Que nome você daria a um conjunto de equações lineares envolvendo as

mesmas variáveis? ___________________________________________

f) Formalização do conceito_______________________________________

___________________________________________________________

159

Atividade 3: Sistemas Lineares equivalentes

Objetivo: Identificar Sistemas Lineares equivalentes.

Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.

Procedimento: Verificar se os pares ordenados da tabela abaixo são soluções dos

sistemas, marcando um X no sim, se for solução, e não se não for solução.

S Sistemas

O par ordenado

(1, 2) é solução

do sistema?

O par ordenado

(0, 2) é solução

do sistema?

A terna ordenada

(0, 3, 2) é solução

do sistema?

Sim Não Sim Não Sim Não

S1

S2

S3

S4

S5

S6

a) Quais dos sistemas do quadro acima têm as mesmas soluções?

______________________________________________________________

Sistemas lineares que tem a mesma solução são denominados de sistemas

equivalentes

b) Quais dos sistemas do quadro são equivalentes? ______________________

c) Verifique quais dos sistemas abaixo são equivalentes usando a solução: (3, 2)

S1:

S2:

S3:

S4:

160

Atividade 4: Equivalência pela permutação de equações

Objetivo: Levar o aluno a construir a construir as habilidades para obter Sistemas Lineares equivalentes pela mudança de ordem de

suas equações.

Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.

Procedimento: Seguir as orientações da tabela abaixo em relação aos sistemas e suas soluções.

Sistema. A solução sugerida logo abaixo de cada um dos sistemas, é solução do sistema?

Agora troque a ordem de duas equações quaisquer de cada sistema e anote os sistemas resultantes nessa coluna.

A solução sugerida é solução do sistema resultante, depois da mudança de ordem de suas equações?

Sim Não Sim Não

Solução (1, 2)

Solução (1, 0, 2)

Solução (0, 1)

a) Os sistemas resultantes também continuaram com as mesmas soluções? _______

b) O que você conclui sobre isso? _________________________________________________________________________

Formalização: _______________________________________________________________________________________

161

Atividade 5: Equivalência pela multiplicando uma de suas equações por um número real diferente de zero.

Objetivo: Construir as habilidades para obter Sistemas Lineares equivalentes pela multiplicação de uma de suas equações por um

número k diferente de zero.

Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.

Procedimento: Seguir as orientações da tabela abaixo em relação aos sistemas e suas soluções.

Sistema. A solução sugerida logo abaixo de cada um dos sistemas, é solução do sistema?

Multiplique uma das equações de cada sistema por um número k ≠ 0, e anote os sistemas resultantes nessa coluna.

A solução sugerida é solução do sistema resultante, depois da mudança de ordem de suas equações?

Sim Não Sim Não

Solução (1, 2)

Solução (1, 0, 2)

Solução (0, 1)

a) As soluções continuaram corretas para os sistemas resultantes? _______

b) O que você conclui sobre isso? _________________________________________________________________________

Formalização: ____________________________________________________________________________________________

162

Atividade 6: Equivalência pela substituição de uma de suas equações pela soma com outra equação do sistema.

Objetivo: Construir as habilidades para obter Sistemas Lineares equivalentes pela substituição de uma de suas equações pela sua

soma membro a membro com outra equação do sistema.

Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.

Procedimento: Seguir as orientações da tabela abaixo em relação aos sistemas e suas soluções.

Sistema. A solução sugerida abaixo de cada um dos sistemas, é solução do sistema?

Substitua uma das equações dos sistema pela sua soma membro a membro com outra equação do sistema, e anote os sistemas resultantes nessa coluna.

A solução sugerida é solução do sistema resultante, depois da mudança de ordem de suas equações?

Sim Não Sim Não

Solução (1, 2)

Solução (1, 0, 2)

Solução (0, 1)

a) As soluções continuaram corretas para os sistemas resultantes? _______

b) O que você conclui sobre isso? _________________________________________________________________________

Formalização: ____________________________________________________________________________________________

163

Atividade 7: Sistemas lineares 2x2 pelo método do escalonamento.

Objetivo: Levar o aluno a resolver sistemas lineares por escalonamento.

Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.

Procedimento para resolução: Observar o sistema:

e nas linhas da

tabela abaixo, anotar a equação de A2 em A3. Multiplique a equação de A2 por um

número de forma que somando com a equação de B2, anule a variável x de B2 e

anotar o resultado em B3.

a) Calcule o valor de y da equação da equação B3, y = _________

b) Agora use o valor de y para Calcular o valor de x da equação de A3. x = ____

c) Você terminou de resolver um sistema linear de duas equações e duas

incógnitas. Já tinha resolvido sistemas lineares por este método? __________

(CHIARI, 2011) Examinando o anúncio abaixo, descubra o preço de cada colher e

de cada faca.

Ordem 2 3

A

B

164

Atividade 8: Sistemas lineares 3x3 pelo método do escalonamento. D ( )

Objetivo: Levar o aluno a resolver problemas modelados por sistemas lineares.

Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.

Informação: escalonar, segundo Ferreira (1988), é colocar em forma de escada.

Vamos resolver este sistema, também pelo método do escalonamento, em apenas

cinco passos.

.

Passo 1: multiplique a primeira equação por -2, e some com a segunda, eliminando

a variável x da segunda. Depois multiplique a primeira equação por -1 e some com a

terceira, eliminando também a variável x da terceira.

Passo 2: multiplique a segunda equação por -3 e some com a terceira, eliminando a

variável y da terceira. Pronto! Sistema escalonado.

Sistema Passo 1 Passo 2

Passo 3: calcular o valor de z, e substituir nas outras equações para encontras o

valor das outras variáveis. Agora calcule o valor de z: ___________

a) Use o valor de z para achar o valor de y da segunda, y = _____________

b) Com os valores de z e de y calcule o valor de x da primeira equação, x =______

c) Agora resolva o sistema abaixo, usando os mesmos passos:

Sistema Passo 1 Passo 2

Resposta: x=___________, y= ______________, z=___________

165

Atividade 9

CORRIDA SISTEMÁTICA

Figura 1: Tabuleiro do jogo

166

Cartões de 1 a 40

167

168

169

170

171

Atividade 10

Questões para aprofundamento.

Objetivo: Levar o aluno a consolidar os conceitos e as habilidades para resolver

problemas modelados por sistemas lineares e sanar ou minimizar as dificuldades

dos alunos para interpretar as soluções dos sistemas, apontados pelos autores

consultados.

Material: Lápis, borracha, caneta, papel A4 e roteiro de atividades.

a) Preencha a tabela abaixo marcando Sim, para os sistemas lineares e não

para os sistemas não lineares.

A Sim para sistemas lineares, e Não para não lineares.

Sim Não

a) Anote nas linhas da coluna da direita os sistemas equivalentes aos da coluna

da esquerda, cada um em sua linha.

A Usando os critérios de obtenção de sistemas equivalentes,

anote nesta coluna os sistemas equivalentes aos da coluna A,

nas suas linhas.

172

b) Preencha as colunas de x, y e z com as respectivas soluções dos sistemas da

primeira coluna, .

Sistemas Espaços para a resolução quando couber. Solução

se existir

x y Z

c) Em uma determinada loja, o proprietário colocou uma placa valendo para

redes (R) e Lençóis (L) conforme o modelo abaixo: Calcule o preço de cada

rede e de cada lençol.

d) (LAMIN, 2000. ADAPTADO) Examinando o anúncio abaixo, calcule o preço

de cada faca, cada colher e cdada garfo.

173

Apêndice-02

QUESTIONÁRIO DE ALUNOS

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

Prezado(a) aluno(a), _____________________________________________________________________

Estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática,

para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho.

Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total

anonimato.

1)Você está ou já esteve em dependência em Matemática? ( ) Sim, Estou (atualmente) em dependência em Matemática. ( ) Sim, já estive (no passado) em dependência em Matemática. ( ) Sim, já estive (no passado) em dependência em Matemática. 2)Com que frequência você costuma estudar matemática fora da escola? ( ) Todos os Dias ( ) Mais de três vezes por semana ( ) Costumo estudar três vezes o menos por semana ( ) Só no período de prova 3)Você gostou de estudar Sistemas Lineares? ( ) Não gostei ( ) Gostei um pouco ( ) Sim gostei ( ) Gostei bastantes 4) Você conseguiu compreender as explicações sobre Sistemas Lineares? ( ) Sempre ( ) Quase sempre ( ) Poucas Vezes ( ) Nunca compreendo 5)Quais as principais formas de avaliação usadas em sala de aula? (Marque mais de uma opção, se necessário) ( ) Prova oral ( ) Prova escrita ( ) Autoavaliação ( ) ficha de observação ( ) produções no caderno

( ) Prova oral ( ) Prova escrita ( ) Autoavaliação ( ) ficha de observação ( ) produções no caderno 6)Como você se sentiu quando diante da avaliação de Sistemas Lineares? ( ) Entusiasmado ( ) Tranquilo ( ) Com Medo ( ) Preocupado ( ) Com Raiva ( ) Sinto Calafrios 7)Quando você estudou Sistemas Lineares, a maioria das aulas foram: ( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios. ( ) Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto. ( ) Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. ( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos. ( )Utilizando ferramentas tecnológicas para resolver problemas. 8)Para fixar o conteúdo estudado de Sistemas Linerares, o seu professor (a): ( ) Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos. ( ) Apresentava jogos envolvendo o assunto ( ) Mandava resolver os exercícios do livro didático ( ) Mandava que você procurasse questões sobre o assunto para resolver. ( ) Propunha a resolução de questões por meio de softwares.

174

9)Como você gostaria de aprender Sistemas Lineares?

Assunto Frequência de utilização

Sempre Quase sempre As vezes Raramente Nunca

Através de aulas expositivas e consulta ao livro didático.

Através de situação problema para introduzir o assunto.

Através de experimentações práticas do dia-a-dia.

Através de Jogos para depois sistematizar os conceitos.

Através de Software para resolução de problemas.

Através de aplicativos para smartphone.

10)No que se refere o grau de dificuldade em aprender Sistemas Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque

com um X)

Tópico Grau de dificuldade para aprender

Muito fácil Fácil Regular Difícil Muito difícil

Conceito geral de Sistemas Lineares

Conceito de Sistemas Lineares homogêneos

Resolução de Sistemas Lineares por substituição.

Resolução de Sistemas Lineares por escalonamento.

Resolução de Sistemas Lineares pela regra de Cramer.

Classificação de sistemas.

11)Você possui acesso a internet?

( ) Não possuo

( ) Sim, somente em casa

( ) Sim, somente pelo celular

( )Sim, pelo celular e tenho WiFi em casa

12)Quanto ao uso de recursos tecnológicos, quais dos seguintes equipamentos você costuma utilizar?

Assunto

Frequência de utilização

Sempre Quase sempre

Às vezes Raramente Nunca

Você utiliza o computador pessoal para fazer suas atividades escolares.

Você faz pesquisas na internet através do computador.

Você acessa internet no celular pessoal para fazer atividades escolares.

Você utiliza redes sociais de relacionamento no celular

Você utiliza aplicativos de Mensagens instantâneas

Você tira dúvidas com o professor através de mensagens por celular

Você utiliza calculadora científica para estudar matemática

175

13)Quais dos itens abaixo é uma equação linear?

2x² +x = 0 b) 2x + 5y –z = 0 c) y² = x - 2 d)

– x = 0 e) y =

14)Dada a equação A: 3x – 2y + z = 4, marque uma ou mais equações abaixo que forem

equivalentes a A.

2x = y – 2 b) 2x² + y – 3 c) 6x - 4y +2z = 8 d) 3x – 2y = 1

15)Escreva um sistema equivalente ao sistema:

16)(Chiari, 2011) Examinando o anúncio, descubra o preço de cada colher e de cada faca.

17) A respeito do sistema

, pode se afirmar que é:

a) possível e determinado b) possível e indeterminado c) impossível.

18)Escreva um sistema equivalente ao sistema:

176

Apêndice-03

QUESTIONÁRIO PARA OS PROFESSORES

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

Prezado(a) professor(a),

Estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática,

para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho.

Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total

anonimato.

1. O percentual de alunos que costumam ficar de dependência ou reprovados com você em matemática é de:

( ) 0 a 05%. ( ) 05 a 10%. ( ) 10 a 15% ( ) 15 a 20% ( ) 20 a 25% ( ) 25 a 30%

2. Você costuma recomendar leituras matemáticas extra livro didático para seus alunos?

( ) Sempre ( ) Quase sempre ( ) À vezes ( ) Nunca

3. Você gosta de ensinar Sistemas Lineares? ( ) Sim, bastante ( ) Nem tanto ( ) Não gosto.

4. Seus alunos conseguem compreender suas explicações sobre Sistemas Lineares?

( ) Sempre ( ) Quase sempre ( ) Poucas vezes ( ) Nunca compreendo

5. Quais as principais formas de avaliação que você usa em sala de aula? (Marque mais de

uma opção, se necessário) ( ) Prova oral ( ) Prova escrita ( ) Autoavaliação ( ) Ficha de observação ( ) Produções no caderno

6. Como você se sente quando seus alunos estão fazendo a sua avaliação de Sistemas Lineares? ( ) Entusiasmado ( ) Tranquilo

( ) Com Medo ( ) Preocupado

( ) Com Raiva ( ) Sinto

Calafrios

7. Em suas Aulas de Sistemas Lineares, a maioria das aulas são:

( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios.

( ) Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto.

( ) Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo.

( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos.

( ) Utilizando ferramentas tecnológicas para resolver problemas.

8. Para fixar o conteúdo estudado de Sistemas Lineares, você recomenda:

( ) Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos

( ) Apresentava jogos envolvendo o assunto ( ) Mandava resolver os exercícios do livro

didático ( ) Mandava que você procurasse questões sobre

o assunto para resolver. ( ) Propunha a resolução de questões por meio

de softwares

177

9. Como você costuma ensinar Sistemas Lineares?

Assunto Frequência de utilização

Sempre Quase sempre Às vezes Raramente Nunca

Através de aulas expositivas e consulta

ao livro didático.

Através de situação problema para

introduzir o assunto.

Através de experimentações práticas do

dia-a-dia.

Através de Jogos para depois

sistematizar os conceitos.

Através de Software para resolução de

problemas.

Através de aplicativos para smartphone.

10. No que se refere o grau de dificuldade que seus alunos têm de aprender Sistemas Lineares, preencha o quadro abaixo (Marque um x).

Tópico Grau de dificuldade para aprender

Muito fácil Fácil Regular Difícil Muito difícil

Conceito geral de Sistemas Lineares

Conceito de Sistemas Lineares homogêneos

Resolução de Sistemas Lineares por substituição.

Resolução de Sistemas Lineares por escalonamento.

Resolução de Sistemas Lineares pela regra de Cramer.

Classificação de sistemas.

11. Seus alunos possui acesso a internet? ( ) Não possui ( ) Sim, somente em casa ( ) Sim, somente pelo celular ( ) Sim, pelo celular e tenho Wi-Fi em casa

12. Quanto ao uso de recursos tecnológicos, quais dos seguintes equipamentos você costuma utilizar para pesquisa e planejamento de suas aulas?

Assunto Frequência de utilização

Sempre Quase sempre Às vezes Raramente Nunca

Computador pessoal

Celular pessoal

Redes sociais

Aplicativos de Mensagens instantâneas

Calculadora científica

13. Depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus alunos, eles teriam dificuldades para

identificar a equação linear entre estas?

2x² +x = 0 2x + 5y – z = 0 y² = x - 2

– x = 0 y =

a) ( ) Sim, teriam b) ( ) Talvez c) ( ) Não teriam

178

14. Dada a equação A: 3x – 2y + z = 4, depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus

alunos, eles teriam dificuldades para identificar entre as equações abaixo, a equação

equivalente a A?

2x = y – 2 2x² + y – 3 6x - 4y +2z = 8 3x – 2y = 1

a) ( ) Sim, teriam b) ( ) talvez c) ( ) Não teriam

15. Depois de ensinar a resolver Sistemas Lineares por escalonamento, Seus alunos

teriam dificuldades para obter um sistema equivalente ao sistema:

?

a) ( ) Sim teriam, b) ( ) Talvez c) ( ) Não teriam

16. (CHIARI, 2011. ADAPTADO) Depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus alunos,

eles teriam dificuldades para resolver este problema? Examinando o anúncio,

descubra o preço de cada colher e de cada faca.

17. Depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus alunos, eles teriam dificuldades para

identificar corretamente se o sistema

, é:

Possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível?.

a) Sim, teriam b) ( ) tal vez c) ( ) Não teriam

18. Depois de ensinar Sistemas Lineares aos seus alunos, eles resolveriam corretamente o

sistema:

?

a) Sim, resolveriam, b) ( ) talvez sim c) ( ) não resolveriam

179

Apêndice - 04

TESTE INICIAL

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

1) Quais dos itens abaixo é uma equação linear?

b) 2x² +x = 0 b) 2x + 5y –z = 0 c) y² = x - 2 d)

– x = 0 e) y =

2) Dada a equação linear : 3x – 2y = 4, marque uma ou mais equações abaixo

que forem equivalentes a .

b) 2x = y – 2 b) 2x² + y – 3 c) 6x - 4y = 8 d) 3x – 2y = 1 e) 3x +

y = 4

3) Escreva um sistema equivalente ao sistema:

4) (Chiari, 2011) Examinando o anúncio, descubra o preço de cada colher e de

cada faca.

5) A respeito do sistema

, pode se afirmar que é:

a) possível e determinado b) possível e indeterminado c) impossível.

6) Encontre os valores das x, y e z do sistema, se for possível:

180

Apêndice-05

TESTE FINAL

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

1) Quais dos itens abaixo é uma equação linear?

a) 3x² +x = 0 b) 2x + 5y –z = 0 c) x² = 2y - 2 d)

– 2 = 0 e) y =

2) Dada a equação linear : 3x – 2y = 4, marque uma ou mais equações abaixo

que forem equivalentes a .

a) 2x = y – 2 b) 2x² + y – 3 c) 6x - 4y = 8 d) 3x – 2y = 1 e) 3x + y = 4

3) Escreva um sistema equivalente ao sistema:

4) A respeito do sistema

, pode se afirmar que é:

a) possível e determinado b) possível e indeterminado c) impossível.

5) Encontre os valores das x, y e z do sistema, se for possível:

181

ANEXOS

182

Anexo - 1

Observamos nessa atividade denominada de: Estágio B159a, que os

problemas envolvendo a soma e a subtração abordam diferentes situações, como

diz a literatura consultada: para que aconteça aprendizagem significativa, o

conteúdo deve ser abordado sob diferentes situações.

Atividade B159a do sistema Kumon de Ensino

183

Anexo – 02

Aqui, Observamos que a atividade envolvendo divisão, denominada de:

Estágio D151a aborda as variantes, contemplando as orientações da aprendizagem

significativa, quando diz que um conteúdo para ser assimilado de forma significativa,

deve ser abordado sob inúmeras variantes.

No caso das atividades do sistema Kumon de Ensino, as atividades são

cronometradas, se o aluno não terminar a atividade no tempo previsto, ele para onde

estiver.

Atividade D151a do sistema Kumon de Ensino

184

Anexo 03

Fonte: Sá e Jucá (2014)

185

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

Programa de Pós-Graduação em Educação Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo

66113-200 Belém-PA www.uepa.br/mestradoeducaca