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TRIGONOMETRIA
A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações
trigonométricas num triângulo retângulo.
Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por B e por C as medidas dos ângulos
internos, respectivamente nos vértices B e C.
TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
222 cba
Definições:
1. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
a
b
hipotenusa
BânguloaoopostocatetoBsen
a
c
hipotenusa
CânguloaoopostocatetoCsen
2. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
a
c
hipotenusa
BânguloaoadjacentecatetoBcos
a
b
hipotenusa
CânguloaoadjacentecatetoCcos
3. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos
catetos oposto e adjacente a esse ângulo.
c
b
Bânguloaoadjacentecateto
BânguloaoopostocatetoBtg
b
c
Cânguloaoadjacentecateto
CânguloaoopostocatetoCtg
Observação:
Note que Bcos
Bsen
ac
ab
c
bBtg .
Em geral, utilizaremos xcos
xsenxtg , para o ângulo x.
VALORES NOTÁVEIS
1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a.
2
1
a2
a)30(sen
2
3
a2
3a)30cos(
3
3
3
1
23a2
a)30(tg
2
3
a2
3a)60(sen
2
1
a2
a)60cos( 3
2a
23a
)60(tg
2) Considere o quadrado de medida de lado a.
2
2
2
1
2a
a)45(sen
2
2
2
1
2a
a)45cos( 1
a
a)45(tg
Resumindo:
30o 45o 60o
Seno2
12
22
3
Cosseno2
32
22
1
Tangente3
3 1 3
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes,
denominadas arcos, que indicaremos por ou .
As unidades usuais para arcos de circunferência são: grau e radiano.
MEDIDA DE ARCOS
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Definimos:
GRAU: é o arco unitário correspondente a 360
1 da circunferência que contém o arco a ser
medido.
RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o
arco a ser medido. ( oradiano 571 )
As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais,
possibilitando a obtenção da equação de conversão de unidades, através de uma regra de três
simples, em que é a medida em graus e em radianos.
medida em graus medida em radianos
180
180
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Imagine um ponto A se
deslocando sobre a circunferência.
Existe uma diferença muito importante para se graduar uma reta e uma circunferência: enquanto
que na reta cada ponto corresponde a um único número real, na circunferência cada ponto
corresponde a uma infinidade de números reais e todos diferem de múltiplos inteiros de 2 .
A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1.
Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo
correspondente, de onde calculamos:
pp
x1
xcos ; p
p yy
sen 1
; 122 pp yx obtendo-se 122 sencos
A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno,
definindo o chamado ciclo trigonométrico.
Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores:
sen0 = yA = 0 cos0 =xA = 1
sen 2 = yB = 1 cos 2
=xB = 0
sen = yC = 0 cos =xC = -1
sen 23 = yD = 1 cos 23 =xD = 0
sen2 = yA = 0 cos2 =xA = 1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos
trigonométricos.
Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente.
O que é periodicidade?
Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da
semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7.
Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas.
Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x),
fDomx . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f.
Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se
repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a
um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada.
Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas:
1) Seno
sen(x) = sen(x + 2 ) = sen(x + 4 ) =..... = sen(x + k2 ), k Z.
Seno é função periódica de período 2
2) Cosseno
cos(x) = cos(x + 2 ) = cos(x + 4 ) =..... = cos(x + k2 ), k Z.
Cosseno é função periódica de período 2
3) Tangente
tg(x) = tg(x + ) = tg(x+ 2 ) =..... = tg(x + k ), k Z.
Tangente é função periódica de período
Generalizando: y = a sen(kx) e y = a cos(kx) p = k
2
Generalizando: y = a tg(kx) p = k
Exemplos:
1) Determine o período de cada função:
a). y = 3 sen(x) p = 2
b) y = 3 sen(2x) p =
2
2
c). y = 2 sen(x/2) p =
42/1
2
d) y = 3 cos(2x) p =
2
2
e) y = cos(3x/5) p = 3
10
5/3
2
2) Determine o período de cada função:
a). y = tg(2x) p = 2
b). y = 2 tg(x) p =
a). y = tg(x/2) p =
22/1
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO
y = sen x
Propriedades
a) Dom =
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2
d) sen (-x) = - sen (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
y = cos x
Propriedades
a) Dom =
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2
d) cos (-x) = cos (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
y = tg x
Propriedades
a) Dom = }kx/x{ 2
b) Img =
c) Período =
d) tg (-x) = -tg (x)
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
tg x = xcos
senx, para
k
2x com Zk
sen2x + cos2x = 1, para Rx
cotg x = senx
xcos, para kx com Zk sec2x = 1 + tg2x, para
k
2x com Zk
sec x = xcos
1, para
k
2x com Zk
cossec2x = 1 + cotg2x, para kx com Zk
cossec x = senx
1, para kx com Zk
FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Sendo “a” e “b” dois números reais.
sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senb sen(a – b) = sena.cosb – cosa.senb
cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb cos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb
tg(a + b) = tgb.tga
tgbtga
1tg(a - b) =
tgb.tga
tgbtga
1
Exemplos
1) Calcule
a) )15cos(
Solução:
4
26
2
1
2
2
2
3
2
2
)30(sen)45(sen)30cos()45cos()3045cos()15cos(
b) )15(sen
Solução:
4
26
2
1
2
2
2
3
2
2
)30cos()45(sen)30cos()45(sen)3045(sen)15(sen
b) )15(tg
Solução:
32
6
326
6
3612
39
3369
33
33323
33
33
33
33
33
33
3
333
33
3
311
3
31
)30(tg)45(tg1
)30(tg)45(tg)3045(tg)15(tg
22
22
FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a)
A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de
multiplicação:
cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2a – sen2a =
=cos2a –(1- cos2a ) = 2 cos2a -1
sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a
tg(2a) = tg (a+a) = atg1
tga2
tga.tga1
tgatga2
Ou seja,
cos 2a = asenacos 22 sen 2a = 2 sen a . cos a
cos 2a = 2 cos2a – 1tg 2a =
.atg1
tga22
cos 2a= 1 – 2 sen2a
Exemplos
1) Sabendo que 3
1)x(tg , calcule tg(2x).
Solução
tg(2x) = 4
3
8
9
3
2
9
83
2
9
11
3
12
.xtg1
xtg22
2) Resolva a equação 1)x(sen3)x2cos( .
Solução
02)x(sen3)x(sen2
1)x(sen3)x(sen)x(sen1
1)x(sen3)x(sen)x(cos
1)x(sen3)x2cos(
2
22
22
Resolvendo a equação de 2º grau em sen(x), temos:
25169)2(2432
xexistenão24
53ou
k26
5xouk2
6x
2
1
4
53
4
53)x(sen
Conjunto solução:
Zk,k26
5xouk2
6xRxS
FÓRMULAS DE BISSECÇÃO
As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo:
2
)b2cos(1bsen)b2cos(1bsen2bsen21)b2cos( 222 e, se considerarmos b=
2
a,
obtemos 2
1
22 acosa
sen
.
Seguindo essa idéia, temos
2
1
22 acosa
sen
2
1
22 acosa
cos
acos
acosatg
1
1
22
RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE
Fazendo
qba
pba, ou seja,
2
qpb
2
qpa
e substituindo nas fórmulas de adição e subtração,
obtemos as relações de prostaférese dadas por
sen p + sen q = 2
qpcos
2
qpsen2
sen p - sen q = 2
qpcos
2
qpsen2
cos p + cos q = 2
qpcos
2
qpcos2
cos p - cos q = 2
qpsen
2
qpsen2
tg p + tg q = )qcos().pcos(
)qp(sen
tg p - tg q = )qcos().pcos(
)qp(sen
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x,
lembrando que 1x1 .
Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o
valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição 2
y2
.
Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas.
1) Função arco-seno (arcsen)
A cada x [–1,1] associa-se um único y
2
,2
tais que sen y = x.
Assim, definimos a função
arcsen : [–1,1]
2
,2
x )x(arcseny
Exemplos
1) Calcule
a) y = arcsen(1/2)
Solução
y = arcsen(1/2) sen y = 1/2 . Lembrando que y
2
,2
, temos y = /6, ou seja,
62
1arcsen
.
b) y = arcsen(0)
Solução
y = arcsen(0) sen y = 0 . Lembrando que y
2
,2
, temos y = 0, ou seja, 00arcsen .
c) y = arcsen(-1/2)
Solução
y = arcsen(-1/2) sen y = -1/2 . Lembrando que y
2
,2
, temos y = /6, ou seja,
62
1arcsen
.
d) y = arcsen(1)
Solução
y = arcsen(1) sen y = 1 . Lembrando que y
2
,2
, temos y = /2, ou seja, 2
1arcsen
.
2) Função arco-cosseno (arccos)
A cada x [–1,1] associa-se um único y ,0 tais que cos y = x.
Assim, definimos a função
arccos : [–1,1] ,0
x )xarccos(y
Exemplos
1) Calcule
a) y = arccos(1/2)
Solução
y = arccos(1/2) cos y = 1/2 . Lembrando que y ,0 , temos y = /3, ou seja, 32
1arccos
.
b) y = arccos(0)
Solução
y = arccos(0) cos y = 0 . Lembrando que y ,0 , temos y = /2, ou seja, 2
0arccos
.
c) y = arccos(-1/2)
Solução
y = arccos(-1/2) cos y = -1/2. Lembrando que y ,0 temos y = 2 /3, ou seja,
3
2
2
1arccos
.
d) y = arccos(1)
Solução
y = arccos(1) cos y = 1 . Lembrando que y ,0 temos y = , ou seja, 1arccos .
3) Função arco-tangente (arctg)
A cada x [–1,1] associa-se um único y
2
,2
tais que tg y = x.
Assim, definimos a função
arcsen : [–1,1]
2
,2
x )x(arctgy
Exemplos
1) Calcule
a) y = arctg(1)
Solução
y = arctg(1) tg y = 1 . Lembrando que y
2
,2
, temos y = /4, ou seja, 4
1arctg
.
b) y = arcsen( 3 )
Solução
y = arctg( 3 ) tg y = 3 . Lembrando que y
2
,2
, temos y = /3, ou seja,
3
3arctg
.
c) y = arctg(-1)
Solução
y = arctg(-1) tg y = -1 . Lembrando que y
2
,2
, temos y = /4, ou seja, 4
1arctg
.
EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA
1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado:
2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no
sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na
direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no
rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível
traçar um triângulo retângulo.
(norte) A
5 milhas
(leste)
(sul) B
3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28
dias.
a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia?
b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à
lua de 385.000km).
4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno,
cosseno e tangente.
a)1470º b) –1020º c) 4
25 d)
25
5) Determine o valor de
(a) sen 1620º (b) sen (-990º)
6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule:
a) sen (a+b) b) cos(a-b) c) tg (a+b)
Se o barco percorreu 5 milhas na direção
leste, quanto ele teve que andar para
retornar á rota original?
7) Resolva a expressão matemática
a) x = sen (/6)- cos (2/3)-3*sen()
b) y = tg(/4)+2*sen(5/6) – [sen (/3)-cos(/6)]
8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é:
a) –1 b) -0,5 c) zero d)0,5 e) 1,0
9) Simplifique as expressões:
a) )x5(sen)x9(sen b) sen (x-900º) + cos (x-540º)
10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a
imagem e o período:
a) y = 4 sen x b) y=1 - sen x c) y = 2 sen x/4
11) Calcule :
a) sen (9/4) e cos (9/4)
b) sen (-2/3) e sen (-2/3)
c) sen 8 e cos8
12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2) que satisfaça as equações:
a) sen =1; cos=-1; tg=1; sec=1;
b) sen =0; cos=0; tg=0; sec=0;
c) sen = -1/2; cos= 1/2; tg= -1; sec=2.
13. Determine o período das funções:
a) y = sen (8) b) z= 4 sen (8)
c) x = cos (4/7) d) p=3 cos(/4+/2)
14. Simplifique a expressão
cos2
sen)sen()sen( .
15. Sabendo-se que sen = -1/3, calcule:
a) sen ( - ) b) sen ( + ) c) cos (/2 - )
16. Usando as fórmulas de adição, calcule:
a) sen (+/2) b) cos75º c) cos (5/6), (sugestão 5/6 = /2+/3)
17. Mostre que cossen22sen .
18. Mostre que 22cos
21
cos2 .
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO - TRIGONOMETRIA
1) a) 21
tg ,552
cos ,55
sen b) 43
tg ,54
cos ,53
sen
2) 5 2
3) a) /14 rad b) 770.000 km
4) a) 1470º equivale a 30º portando sen 30º = ½; cos 30º = 3 /2 e tg 30º = 3 /3
b) – 920 º equivale a 60º portando sen 60º = 3 /2 , cos 60º =1/2 e tg 60º = 3
c) 25/4 equivale a /4 portando sen /4 = 2 /2 , cos /4 = 2 /2 e tg /4 = 1
d) -5/2 equivale a 3/2 portando sen 3/2 = -1 , cos 3/2 = 0 e tg 3/2 = indefinida
5) a) zero b) 1
6) a) 1 b) 3 /2 c)indefinido
7) a) -1 b) 2
8) e
9) a) 2 sen x b) -sen x - cos x
10) a) Dom = , Im = [-4, 4], p=2 b) ) Dom = , Im = [0, 1], p=2
c) Dom = , Im = [-2, 2], p=8
11) a) 2 /2 e 2 /2 b) - 3 /2 e -1/2 c) 0 e 1
12) a) /2, , /4 e 5/4, 0
b) 0 e , /2 e 3/2, 0 e , /2 e 3/2
c) 7/6 e 11/6, /3 e 5/3, 3/4 e 7/4, /3 e 5/3
13) a) /4 b) /4 c) 7/2 d) 8
14) –2sen
15) a) – 1/3 b) 1/3 c) -1/2
16) a) - 3 /2 b) 4/26 c) - 3 /2
