Series Fourier

Cálculo Diferencial e Integral 4

Rudimar Luiz Nós

DAMAT - UTFPR

http://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos

1. SÉRIES

Sequências infinitas

nfa ,Zn ,a n*

n

,14

25,

11

16,

8

9,

5

4,

2

1 a

1n3

n1a n

21n

n

Uma sequência infinita é uma função discreta cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos.

1n2

na n

,3n2

1n,

1n2

n,,

11

5,

9

4,

7

3,

5

2,

3

1 a n

2

1

n

12

1lim

1n2

nlim

nn

{an} é convergente

Séries infinitas

SSlim nn

n321n

3213

212

11

aaaaS

aaaS

aaS

aS

n321

1n

n aaaaa

0alim nn

0alim nn

2

2

11

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

11n432

1n1n

1nn

1

5.4

1

4.3

1

3.2

1

2.1

1

1nn

1

1n

11n

nlimSlim

1n

n

1n

11S

1n

1

n

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11aaaaS

1n

1

n

1

1nn

1a

nn

n

n

n321n

n

• Condições suficientes à convergência

• Condições necessárias à convergência

• Condições suficientes e necessárias à convergência

A série geométrica

1n32 arararara

1r1 1r

1rou -1r 1r

Converge

r1

aSlim n

n

Diverge

Exemplos

2

2

11

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

11n432

1n1n

9

5

109

105

101110

5

10000

5

1000

5

100

5

10

55555,05,0

Condição necessária à convergência

0alim nn

Teste da divergência

0alim nn

nn

alim

não existe

O teste da integral

Teorema

Seja f uma função contínua, decrescente e de valores positivos para todo x≥1. A série infinita

nf2f1fnf

1n

1

dx xf

converge ou diverge se a integral imprópria abaixo for convergente ou divergente, respectivamente.

A série harmônica

5

1

4

1

3

1

2

11

n

1

1n

0n

1limn

0blnlimxlnlimdxx

1 limdx

x

1

b

b1

b

b

1 b

1

divergente

x

y

Convergência absoluta e condicional

na

n21n aaaa

Teorema

(1)

(2)

Se (2) converge, então (1) também converge.

Exemplo

2222222 8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

6n

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

2

1n

22222222

!5

32

!4

16

!3

8

!2

42

!n

2

1n

n

!4

x4sen

!3

x3sen

!2

x2senxsen

!n

nxsen

1n

1n

n

!n

2

1n!n

nxsen

Série de números reais

Série de funções

Séries de funções

1n

321n xuxuxuxu

Convergência uniforme

1n

n xu

xuxuxuxuxS n321n

xSxSlim nn

b,a

Convergência uniforme

0 b,ax

xSxSn

1n

b

a

n

b

a 1n

n dxxu dxxu

1n

n

1n

n xudx

dxu

dx

d

0N

Nn x,N

Teste M de Weierstrass (condições suficientes)

Se existe uma sequência de constantes Mn, n=1,2,3,..., tal que para todo x em um intervalo

nn Mxu

1n

nM

(i)

(ii) converge

então

1n

n xu converge uniforme e absolutamente no

intervalo.

Teste M de Weierstrass

1n

2222 4

x4cos

3

x3cos

2

x2cosxcos

n

nxcos

22 n

1

n

nxcos

1n

2

2 6n

1

2. SÉRIES DE FOURIER

• Funções periódicas• Séries trigonométricas• A série de Fourier• Funções seccionalmente contínuas• Série de Fourier de senos e cossenos• O fenômeno de Gibbs• A identidade de Parseval• Convergência de séries• Forma exponencial • Aplicações

Por que aproximar uma função por uma série?

Para facilitar o tratamento matemático do modelo.

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

axf

Funções periódicas

:f 0P x, xfPxf

x

y

Séries trigonométricas

x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa2

a332211

0

1n

nn0 nxsenbnxcosa

2

a

1n

nn0 n

senA2

a

L

x

2n

2nn baA nnn senAa nnn cosAb

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

a

A série de Fourier

0n ,0dxL

xncos

L

L

dun

Ldx dx

L

ndu

L

xnu

0nsennsenn

L

L

xnsen

n

Ldx

L

xncos

L

L

L

L

L2LLxdx dxL

xncos0n L

L

L

L

L

L

0dxL

xnsen

L

L

dun

Ldx dx

L

ndu

L

xnu

0ncosncosn

L

L

xncos

n

Ldx

L

xnsen

L

L

L

L

00dx dx

L

xnsen0n

L

L

L

L

0nm se L,

nm se 0,dx

L

xncos

L

xmcos

L

L

nm se 0dx

L

xn-mcos

L

xnmcos

2

1dx

L

xncos

L

xmcos

vucosvucos2

1vcosucos : que Lembrando

L

L

L

L

Lx2

1dx

2

1dx1

L

xn2cos

2

1dx

L

xncos0nm L

L

L

L

L

L

L

L

2

L2xdx2

2

1dx

L

xncos

L

xmcos0nm L

L

L

L

L

L

0nm se L,

nm se 0,dx

L

xnsen

L

xmsen

L

L

vucosvucos2

1vsenusen : que Lembrando

nm se 0dx

L

xnmcos

L

xn-mcos

2

1dx

L

xnsen

L

xmsen

L

L

L

L

Lx2

1dx

2

1dx

L

xn2cos1

2

1dx

L

xnsen0nm L

L

L

L

L

L

L

L

2

0dx0

2

1dx

L

xnsen

L

xmsen0nm

L

L

L

L

0dxL

xnsen

L

xmcos

L

L

0dx

L

xm-nsen

L

xmnsen

2

1dx

L

xncos

L

xmsen

vusenvusen2

1vcosusen : que Lembrando

L

L

L

L

Produto interno ou produto escalar

b

a

dxxgxfg|f

0dxxgxfg|f

b

a

L

xnsenxf

L

xncosxg

Coeficientes das série de Fourier

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

a

L

L

dxxfL

a

0 1

L

L

n dxL

xncosxf

L

1a

L

L

n dxn

senxfL

b

L

x

1

1n

nn L

xnsenb

L

xncosaAxf

1n

II

L

L

L

L

I

L

L

L

L

dxn

senm

cosdxn

cosm

cos

dxm

cosAdxm

cosxf

n

n

L

x

L

xb

L

x

L

xa

L

x

L

x

Considerando m≠0 em I e n=m em II:

Ladxm

cosxf m

L

L

L

x

L

L

m dxm

cosxfL

a

L

x1

L

L

n dxn

cosxfL

a

L

x1

L

L

dxxfL

a

0 1

1n

nn L

xnsenb

L

xncosaAxf

Considerando n=m em I:

1n

I

L

L

L

L

L

L

L

L

dxn

senm

sendxn

cosm

sen

dxm

senAdxm

senxf

n

n

L

x

L

xb

L

x

L

xa

L

x

L

x

Lbdxm

senxf m

L

L

L

x

L

L

m dxm

senxfL

1b

L

x

L

L

n dxn

senxfL

b

L

x

1

1n

nn L

xnsenb

L

xncosaAxf

1n

L

L

n

L

L

n

L

L

L

L

dxL

xnsenbdx

L

xncosadx Adxxf

AL2dxxf L

L

dxxf L2

1A

L

L

2

aAAL2La 0

0

Os resultados encontrados continuam válidos quando os limites de integração –L e L são substituídos por c e c + 2L, respectivamente.

Observações

bxa

1n

n xu

1n

n xv xh

1n

nn xvxu

1n

nn xvxu

1

n

n xuxh

1n

n xv xh

Funções seccionalmente contínuas

Convergência

• f(x) é definida em (-L,L), exceto em um número finito de pontos;

• f(x) é 2L-periódica fora de (-L,L);

• f(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas em (-L,L).

• A série de Fourier converge para f(x) se x é um ponto de continuidade;

• A série de Fourier converge para a média dos limites laterais se x é um ponto de descontinuidade.

x

y

Série de Fourier da onda quadrada com n=5.

Exercícios

• Construa o gráfico de f(x).

• f(x) satisfaz às condições de Dirichlet?

• Determine a série de Fourier de f(x).

• Redefina f(x) para que a série de Fourier venha a convergir para f(x) em -5≤x≤5.

xf,,0

)x(f

10xf 5x0 3,

0x5-

Assim, a série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade e para 3/2 (média dos limites laterais) nos pontos de descontinuidade.

• f(x) é definida em (-5,5), exceto em x = 0 (há um número finito de descontinuidades no intervalo);

• f(x) é periódica de período fundamental P = 10, isto é, f(x) = f(x+10);

• f(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas em

(-5,5).

5L10L2P

3055

3x

5

3dx3 dx0

5

1dxxf

L

1a 5

0

5

0

0

5

L

L

0

3a 0

5

0

0

5

L

L

n dx5

xncos3dx

5

xncos0

5

1dx

L

xncosxf

L

1a

00sennsenn

3

5

xnsen

n

5

5

3a

5

0

n

0a n

5

0

0

5

L

L

n dx5

xnsen3dx

5

xnsen0

5

1dx

L

xnsenxf

L

1b

ncos1

n

30cosncos

n

3

5

xncos

n

5

5

3b

5

0

n

11n

311

n

3b 1nn

n

11n

3b 1n

n

1n

1n

5

x nsen

n

113

2

3xf

5

x7sen

7

2

5

x5sen

5

2

5

x3sen

3

2

5

xsen

1

23

2

3xf

5

x7sen

7

1

5

x5sen

5

1

5

x3sen

3

1

5

xsen

6

2

3xf

1n5

x1n2sen

1n2

16

2

3xf

5 x,2

3

5x0 3,

0 x,2

3

0x5- 0,

-5 x,2

3

xf

Exercícios

• Esboce o gráfico de f(x).• Expanda f(x) em uma série de Fourier.• Usando a série de Fourier de f(x), prove

que

xf,x)x(f 2 2xf ,2x0

.64

1

3

1

2

11

n

1 2

222

1n

2

L2L2P

Lembre-se de que a função está definida em (0,2L) , e não em (-L,L).

3

808

3

1

3

x1dx x

1dxxf

L

1a

23

2

0

32

0

2

L2c

c

0

3

8a

2

0

2

0

2

L2c

c

n dxnxcos x1

dxL

xncosxf

L

1a

Usando integração por partes, temos que:

vduuvudv

n

nxsen v,dxnxcosdv 2xdx,du ,xu 2

dxnxsen xn

2

n

nxsenxdxnxcosx

22

n

nxcos v,dxnxsendv dx,du ,xu

dxnxcos

n

1

n

nxcosx

n

2

n

nxsenxdxnxcosx

22

Cn

nxsen2

n

nxcosx2

n

nxsenxdxnxcosx

32

22

2

032

22

0

2n n

nxsen2

n

nxcosx2

n

nxsenx1dxnxcos x

1a

22n n

40

n

41a

2n n

4a

2

0

2

L2c

c

n dxnxsen x1

dxL

xnsenxf

L

1b

2

032

22

0

2n n

nxcos2

n

nxsen x2

n

nxcosx1dxnxsen x

1b

n

4

n

2

n

2

n

41b

33

2

n

n

4bn

1n

2

2

n

nxsen

n

nxcos4

3

4xf

64

1

3

1

2

11

n

1 2

222

1n

2

1n

2

22

n

14

3

42

3

2

3

42

n

14

222

1n

2

6n

1 2

1n

2

22

22

04

.

Em x = 0, a série de Fourier converge para a média dos limites laterais:

1n

2

2

n

nxsen

n

nxcos4

3

4xf

.

Explorando o winplot

Funções definidas por várias sentenças

3x ,x

1

3x1 ,4x

1x ,2x

xf

2

JOINx

x

1,3|4x,1|22^x

x

y

.

Explorando o winplot

Comando para uma soma

sum(f(n,x),n,a,b): soma de f(n,x) de n=a até n=b

1n

nx2senn

14

(4/pi)+sum((1/n)*sin(2*n*x),n,1,100)

x

y

Funções pares e ímpares

• Função par

xfxf

xx eexf

• Função ímpar

xfxf

x2x3xxf 35

Propriedades das funções pares e ímpares

• O produto de duas funções pares é par.

• O produto de duas funções ímpares é par.

• O produto de uma função par e uma função ímpar é ímpar.

• A soma de duas funções pares é par.

• A soma de duas funções ímpares é ímpar.

a

0

a

a

dxxf 2dxxf

0dxxf a

a

Se f(x) é par, então

Se f(x) é ímpar, então

Série de Fourier de cossenos

0dxL

xnsenxf

L

1b

dxL

xncosxf

L

2 xd

L

xncosxf

L

1a

dxxf L

2dxxf

L

1a

L

L

ímpar função

n

L

0

L

L

par função

n

L

0

L

L

0

1n

n0

L

xncosa

2

axf

Exemplo

x

y

2x0 se x,

0x2- se ,xxf

xf4xf

1n

2

n

2 2

xncos

n

1141xf

Série de Fourier de senos

0 xdL

xncosxf

L

1a

0dxxf L

1a

L

L ímpar função

n

L

L

0

L

0

L

L par função

n dxL

xnsenxf

L

2dx

L

xnsenxf

L

1b

1n

n L

xnsenbxf

Exemplo

x

y

2x2- ,xxf

xf4xf

1n

1n

2

xnsen

n

14xf

O fenômeno de Gibbs

x

y

A identidade de Parseval

1n

2n

2n

20

L

L

2 ba2

adxxf

L

1

LbdxL

xnsenxf dx

L

xnsenxf

L

1b

L a dxL

xncosxf dx

L

xncosxf

L

1a

Ladxxf dxxf L

1a

n

L

L

L

L

n

n

L

L

L

L

n

0

L

L

L

L

0

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

axf

1n

2n

2n

20

L

L

2

1n

2n

2n

20

L

L

2

1n

nnnn00

L

L

2

1n

L

L

n

L

L

n

L

L

0

L

L

2

ba2

adxxf

L

1

ba2

aLdxxf

LbbLaaLa2

adxxf

dxL

xnsenxfbdx

L

xncosxfadxxf

2

adxxf

Exercício

x

y

2x0 se x,

0x2- se ,xxf

xf4xf

1n

2

n

2 2

xncos

n

1141xf

Determinar a identidade de Parseval correspondente à série de Fourier de f(x).

967

1

5

1

3

11

1n2

1 4

444

1n

4

1n

2n

2n

20

L

L

2 ba2

adxxf

L

1 2L

1n

2

2

n

2

22

0

2

n

114

2

2dx x

2

2

1n

2

4

n

4

2

0

3

n

11162

3

x

4444444 11

4

9

4

7

4

5

4

3

4

1

4162

3

8

4444444 11

1

9

1

7

1

5

1

3

1

1

1642

3

8

1n

4

4

1n2

1

643

2

961n2

1 4

1n

4

Convergência de séries

90n

1 4

1n

4

1440n2

1 4

1n

4

6159615

16

n

1

96n

1

16

15

96n

1

16

11

n

1

16

1

96n

1

4

1

3

1

2

11

2

1

1n2

1

n

1

6

1

4

1

2

1

7

1

5

1

3

11

n

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

n

1

44

1n

4

4

1n

4

4

1n

4

1n

4

4

1n

4

4444

1n

4

1n

4

444444

1n

4

444444

1n

4

90n

1 4

1n

4

1440n2

1

1440

1516

9690n2

1

8

1

6

1

4

1

2

1

n2

1

4

1n

4

4444

1n

4

4444

1n

4

Derivação e integração da série de Fourier

2x2- ,xxf

1n

1n

2

xnsen

n

14xxf

• Obtenha uma série de Fourier para f(x) = x2, 0 < x < 2 , integrando a série de Fourier

• Use a série obtida anteriormente para mostrar que

1n

2

2

1n

12n

1

1n

1n

2

xnsen

n

14xxf

2

u 4sen

4

1

2

u 3sen

3

1

2

u 2sen

2

1

2

u sen

4uuf

2

x 4sen

4

1

2

x 3sen

3

1

2

x 2sen

2

1

2

x sen

4xxf

2

x 4cos

4

1

2

x 3cos

3

1

2

x 2cos

2

1

2

x cos

16Cx

2

x 4cos

4

1

2

x 3cos

3

1

2

x 2cos

2

1

2

x cos

8C

2

x

2

x 4cos

4

2

2

x 3cos

3

2

2

x 2cos

2

2

2

x cos

24C

2

x

C2

x 4cos

4

2C

2

x 3cos

3

2C

2

x 2cos

2

2C

2

x cos

24

2

x

du2

u 4sen

4

1du

2

u 3sen

3

1du

2

u 2sen

2

1du

2

u sen

4udu

22222

2222'

2

222'

2

)1(

4232221

2

x

0

x

0

x

0

x

0

x

0

3

4

3

8

2

1

3

x

2

1dxx

2

1dxxf

L

1

2

aC

2

0

32

0

2

2

0

0

2

x 4cos

4

1

2

x 3cos

3

1

2

x 2cos

2

1

2

x cos

16

3

4x

22222

1n

2

1n

22

2

xncos

n

116

3

4xxf

12n

1

n

1

163

4

n

116

3

4

n

116

3

40

n

116

3

4x

2

1n

2

1n

1n

2

1n2

1n

2

1n

2

1n

2

1n

2

1n

2

1n

22

0x

1n

2

1n

22

2

xncos

n

116

3

4xxf

A forma exponencial da série de Fourier

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

axf

n

L

x ni

necxf

3,2,1,0,n ,dxexf L2

1c

L

L-

L

x ni

n

sen icose i

L

xnsen i

L

xncos

L

xnsen i

L

xncose

L

xnsen i

L

xncose

L

xni

L

xni

i2

ee

L

xnsen

2

ee

L

xncos

L

xni

L

xni

L

xni

L

xni

1n

L

xni

nnL

xni

nn0

1n

L

xni

nnL

xni

nn0

1n

L

xni

nnL

xni

nn0

1n

L

xni

L

xni

n

L

xni

L

xni

n0

1n

nn0

e2

ibae

2

iba

2

axf

ei2

biae

i2

bia

2

axf

ei2

b

2

ae

i2

b

2

a

2

axf

i2

eeb

2

eea

2

axf

L

xnsenb

L

xncosa

2

axf

1n

L

xni

nnL

xni

nn0 e2

ibae

2

iba

2

axf

2

ibac nn

n

cca

2

ibac nnn

nnn-

nnn ccib

n

ni

necxf L

x

2

ac0n 0

0

L

L

n

L

L

L

L

nnn

dxL

xnsen i

L

xncosxf

L2

1c

dxL

xnsenxf

L

1idx

L

xncosxf

L

1

2

1iba

2

1c

L

L

L

xni

n dxexf L2

1c

2

acac2dxxf

L

1c2dxxf

L2

1c 0

000

L

L

0

L

L

0

Exemplo

2L4P 2,x2- ,xxf

L

L

L

xni

n dxexf L2

1c

2

2

2

2

ni

n dxn

senin

cosx4

1dxxe

4

1c

2

x

2

x

2

x

2

0

2

2

n dxn

xsen2

idx

nsenx

4

ic

2

x

2

x

ncos

n

4

2

insen

n

4ncos

n

x2

2

ic

2

022n 2

x

2

x

nn 1n

i2c

n

ni

necxf L

x

n

ni

n

n

ni

en

1i2e1

n

i2xf 2

x

2

xn

Verificando a equivalência entre as formas exponencial e convencional:

n

nsen

ncosi

n

12xf

2

x

2

x

n

1n

1n

2

xnsen

n

14xf 0dxx

4

1c

2

0

2

Aplicações da série de Fourier

Solução de equações diferenciais parciais

Equação do calor

Equação da onda

Equação de Laplace

t,xut,xu xxt

t,xuct,xu xx2

tt

0y,xuy,xu yyxx

limitada) (solução Mtx,u

2x0 ,xx,0u

0 t,0t,2ut0,u

2x0 0, t ,x

u3

t

u2

2

20

tTxXt,xu

Solução

Equação do calor

XTx

3XTt 2

2

2

2

dx

XdT3

dt

dTX

22

2

dx

Xd

X

1

dt

dT

T3

1

0Xdx

Xd

0T3dt

dT

22

2

2

0Xdx

Xd

0T3dt

dT

22

2

2

x senBx cosAX

CeT

11

t3 2

tTxXt,xu

x senBx cosAX

CeT

11

t3 2

constantes B eA , xBsen xcosAet,xu t3 2

xsenBet,xu0A0Ae0t,0u t3t3 22

02senBe0t,2u t3 2

Zn ,2

nn202sen

Condições de contorno

xsenBet,xu t3 2

2

xnseneBt,xu 4

tn3

n

22

1n

4

tn3

n 2

xnseneBt,xu

22

2x0 ,x0,xu

2x0 ,2

xnsenBx

1n

n

1nnn 1

n

41

n

4ncos

n

4B

Condição inicial:

1n

4

tn3

n 2

xnseneBt,xu

22

1nnn 1

n

41

n

4ncos

n

4B

1n

4

tn3

1n

2

xnsene

n

14t,xu

22

Equação da onda

M

00,x

xf

0t,Lux

ua

t

u2

22

2

2

tx,u

Lx0 u

Lx0 x,0u

0t t0,u

0t L,x0

t

Equação de Laplace

M

yfu

0,xuy,1u

y

u

x

u

1

2

2

2

2

tx,u

x,1u

0y0,u

1y0 1,x0 0

0

0 0

u1

1

1 0x

y

Exercício

Expandir f(x) em uma série de Fourier.

x

y

2xfxf ,x0 se ,xsen

0x- se ,0xf

Mostrar que:

16

8

9.7

1

7.5

1

5.3

1

3.1

1 2

22222222

x0 ,xsen

0x- ,0 xf

L 2L2P

211

1 xcos

1dxxsen

1a 0

0

0

2a 0

0

0

0

n dxxn1sen dxxn1sen 2

1dxnxcosxsen

1a

00n n1

xn1cos

n1

xn1cos

2

1a

00n n1

nxsenxsennxcosxcos

n1

nxsenxsennxcosxcos

2

1a

n1

1ncos

n1

1ncos

2

1a n

n1

1

n1

1

2

11a

n

n

2

n

n n1

2

2

11a

2n ,

n1

11a

2

n

n

0114

1 x2cos

4

10dxx2sen

2

1a 0

0

1

0a1

0

0

0

n dxxn1cos dxxn1cos 2

1dxnxsenxsen

1b

00n n1

xn1sen

n1

xn1sen

2

1b

2n ,0b1

2

10

2

1 x2sen

2

1x

2

1dxx2cos dx

2

1b 00

0

0

1

2

1b1

2n

2

n

nxcosn1

111xsen

2

11xf

x

y