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Capítulo 01
1
1.1. Funções Periódicas.
Definição: uma função RRf : é dita periódica se existe um número não-nulo RT ,
tal que
)()( tfTtf , (1)
onde o valor T é chamado período de f .
O gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de
comprimento T :
Observações:
i) o período T é o comprimento do intervalo em t necessário para a função se repetir;
ii) apesar de a definição (1) admitir períodos negativos, por uma questão de simplicidade
trabalharemos somente com períodos positivos, ou seja, sempre teremos 0T ;
iii) segue também de (1) que, se f é periódica de período T , então para qualquer *Zn
(inteiro positivo) temos
)()( tfnTtf , (2)
ou seja, qualquer múltiplo inteiro nT de T também é um periodo de f . O menor valor de T
que satisfaz (1) é chamado período fundamental (ou período primitivo) e qualquer outro período de
f será um múltiplo inteiro do período fundamental. A figura a seguir ilustra tal conceito:
;
iv) a freqüência f de uma função periódica é definida como o inverso de seu período:
Fabiano J. Santos
2
T
1 ,
e nos dá o número de repetições (ciclos) em cada intervalo unitário em t . Se t é medido em
segundos então a freqüência é o número de ciclos por segundo (Hertz). Um outro tipo de
freqüência utilizada é a freqüência angular, dada por 2;
v) o inverso do período fundamental é chamado freqüência fundamental.
Exemplo 01: a função )sen(ty é periódica com período fundamental 2T e período n2
(n inteiro positivo), conforme ilustra o gráfico
Exemplo 02: a função )cos(ty é periódica com período fundamental 2T e período n2
(n inteiro positivo), conforme ilustra o gráfico
Capítulo 01
3
Exemplo 03: a função constante ctfy )( tem como período qualquer valor 0T , e não
possui período fundamental.
As duas proposições a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas,
as quais utilizaremos freqüentemente.
Proposição 01: seja f uma função periódica de período T , então:
i) )(atf , 0a , é periódica de período a
T;
ii) )(b
tf , 0b , é periódica de período bT .
Provas:
i) ).()]([)( ** aTatfTtafatf
Fazendo atu , obtemos )()( *aTufuf . Logo pela hipótese concluímos que
TaT * donde a
TT * .
ii) )()](1
[)(*
*
b
T
b
tfTt
bf
b
tf .
Fazendo b
tu , obtemos )()(
*
b
Tufuf . Logo pela hipótese concluímos que T
b
T
*
donde bTT * .
Proposição 02: sejam f e g duas funções periódicas com o mesmo período T e a e b duas
constantes reais quaisquer. A função h definida por
)()()( tbgtafth , (3)
também é periódica de período T .
Prova: aqui a prova é muito simples e pode ser obtida diretamente de (3), a saber
)()()()()()( thtbgtafTtbgTtafTth .
Fabiano J. Santos
4
Exemplo 04: de acordo com a proposição (01) temos os seguintes exemplos:
a) )2sen( t , )2cos( t período
b) )2sen( t , )2cos( t período 1
c) )2
sen(T
t , )
2cos(
T
t período T
Além disto, para todo *Zn (inteiro positivo) temos que as funções
)2
sen(T
tn e )
2cos(
T
tn
(4)
possuem ambas período T , haja vista qualquer múltiplo inteiro do período fundamental também
ser período. E pela proposição (2), a função
)2
cos()2
sen()(T
tnb
T
tnaxh
,
(5)
também possui período T .
Proposição 03: sejam nffff ,...,,, 321 funções periódicas de período T . Então a função
)(...)()()()( 321 tftftftfth n , (6)
dada pela combinação linear de nffff ,...,,, 321 também é periódica de período T . A prova é
análoga à da proposição (02) e pode ser obtida pelo princípio da indução.
1.2. Séries Trigonométricas.
Extrapolando a proposição (03), sejam ,...,...,,, 321 nffff funções periódicas de mesmo
período T , a série infinita dada por
...)(...)()()( 321 tftftftf n , (7)
define, nos pontos onde converge, uma função periódica de mesmo período T . Assim podemos
definir a função
...)(...)()()()( 321 tftftftfth n , (8)
tal que
Capítulo 01
5
)()( Tthth . (9)
Esta última afirmação será de crucial importância para nosso trabalho posterior, uma vez que
trabalharemos com séries infinitas da forma
1
)2
cos()2
sen(
nT
tn
T
tn ...)
2cos()
2sen(...)
2cos()
2sen(
T
tn
T
tn
T
t
T
t
(10)
denominada série trigonométrica. Observe que cada termo da série em (10) possui período T ,
desta forma, nos pontos onde a série converge ela define uma função periódica de período T .
Para conveniência nos cálculos, a partir de agora consideraremos LT 2 , onde L é
chamado meio-período. Com esta convenção a equação (10) torna-se
1
)cos()sen(
nL
tn
L
tn ...)cos()sen(...)cos()sen(
L
tn
L
tn
L
t
L
t
(11)
que será nossa forma trabalhável nos próximos capítulos.
Problemas:
1. Determine se cada uma das funções a seguir é ou não períódica. Caso seja determine também seu
período fundamental T e o meio-período L .
a) )sen(T
t b) )cos( t c) )2senh( t d) )tan( t
e) 2t f) )5sen( t g) )cos(mt h) te
i) )5sen()4sen()3cos( ttt j) )13
4cos()
11sen()
7
2sen()
3cos(
tttt
k) ,...3,2,1,0,122,1
212,0)(
n
ntn
ntntf
(sugestão: esboce o gráfico para alguns valores de n)
l) ,...3,2,1,0,122,1
212,)1()(
n
ntn
ntntf
n
02*. Seja RRg : uma função periódica de período T e integrável em toda a reta R . Mostre
que
Fabiano J. Santos
6
Tb
b
Ta
a
dttgdttg )()(
(ou seja, não importa em qual intervalo se dá a integração o valor será sempre o mesmo desde que o
tamanho deste intervalo seja o próprio período da função. Geometricamente isto é óbvio. Por quê?)
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