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MECÂNICA DOS MATERIAIS
Nona Edição
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
David F. Mazurek
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CAPÍTULO
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
1Introdução –O Conceito de Tensão
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MECÂNICA DOS MATERIAIS
No
na
E
diç
ão
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Conteúdo
1- 2
Conceito de Tensão
Revisão de Estática
Diagrama de Corpo Livre da Estrutura
Diagrama de Corpo Livre das Componentes
Equilíbrio dos Nós
Análise de Tensão
Análise e Projeto
Carga Axial e Tensão Normal
Carga Centrada e Carga Excêntrica
Tensão de Cisalhamento
Exemplo de Tensões de Cisalhamento
Tensão de Esmagamento em Conexões
Análise de Tensão e Exemplos de Projetos
Determinação da Tensão Normal - Barras
Tensões de Cisalhamento - Conexões
Tensões de Esmagamento - Conexões
Tensões em Barras com Duas Força
Tensões sobre um Plano Inclinado
Tensão Máxima
Tensão sob Carregamentos Gerais
Estado de Tensão
Fator de Segurança
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1- 3
Conceito de Tensão
• O objetivo principal do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao futuro engenheiro de maneira simples e lógica os meios para analisar e projetar várias máquinas e estruturas que suportam cargas, aplicando alguns princípios fundamentais.
• Tanto a análise e desenho de uma determinada estrutura envolvem a determinação de tensões e deformações. Este capítulo é dedicado ao conceito de Tensão.
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Revisão de Estática
• A estrutura é projetada para suportar uma carga de 30 kN.
• Realiza-se uma análise estática para determinar a força interna de cada elemento estrutural e as forças de reação nos apoios.
• A estrutura consiste de uma barra com seção transversal retangular e uma barra com seção transversal circular, unidas por pinos (momento igual a zero nas rótulas e junções).
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Diagrama de Corpo Livre da Estrutura
• A estrutura é separada dos apoios e as forças de reação são indicadas.
• Ay e Cy não podem ser determinados a
partir dessas equações.
kN30
0kN300
kN40
0
kN40
m8.0kN30m6.00
yy
yyy
xx
xxx
x
xC
CA
CAF
AC
CAF
A
AM
• Condições para o equilíbrio estático:
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Diagrama de Corpo Livre das Componentes• Além da estrutura completa, cada componente
(barra) deve satisfazer as condições de equilíbrio estático.
0
m8.00
y
yB
A
AM
• Considere o diagrama de corpo livre da barra AB:
kN30yC
Substituindo a equação de equilíbrio na equação anterior, temos
• Resultados:
kN30kN40kN40 yx CCA
As forças de reação são direcionados ao longo do eixo da barra.
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Equilíbrio dos Nós
• A estrutura é separada em duas barras simples, ou seja as barras são submetidas a apenas duas forças que são aplicadas nas extremidades.
• Para o equilíbrio, as forças devem ser paralela a um eixo entre os pontos de aplicação de força, igual em magnitude, e em direções opostas.
kN50kN40
3
kN30
54
0
BCAB
BCAB
B
FF
FF
F
• Os nós devem satisfazer as condições de equilíbrio estático, e as forças podem ser obtidas através do triângulo de forças correspondentes:
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Análise de Tensão
• Conclusão: a estrutura suporta com segurança a carga de 30 kN, uma vez que a tensão solicitante é menor do que a tensão admissível.
MPa 165all
• A partir das propriedades do material para o aço, a tensão admissível é
• A partir de uma análise estática:FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tração)
A estrutura pode suportar com segurança a carga de 30 kN?
dBC = 20 mm MPa159m10314
N105026-
3
A
PBC
• Em qualquer seção através da barra BC, a força interna é de 50 kN com uma intensidade de força ou tensão de
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Análise e Projeto• O projeto de novas estruturas requer a seleção de
materiais apropriados e dimensões de componentes que atendam requisitos de desempenho.
• Por razões baseadas no custo, peso, disponibilidade, etc; a barra BC será construída de alumínio (all = 100 MPa). Qual a escolha apropriada para o diâmetro desta barra?
mm2.25m1052.2
m1050044
4
m10500Pa10100
N1050
226
2
266
3
Ad
dA
PA
A
P
allall
• Uma barra de alumínio de 26 milímetros ou mais de diâmetro é suficiente.
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Carga Axial e Tensão Normal
• A resultante das forças internas para uma barra axialmente carregada é normal para uma seção de corte perpendicular ao eixo axial da barra.
A
P
A
Fmed
A
0
lim
• A intensidade da força nessa seção é definida como a tensão normal.
• A distribuição real das tensões é estaticamente indeterminada, ou seja, não pode ser encontrada a partir das condições de equilíbrio somente.
• A tensão normal em um determinado ponto pode não ser igual à tensão média, mas a resultante da distribuição de tensões deve satisfazer:
A
med dAdFAP
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Carga Centrada e Carga Excêntrica
• A distribuição de tensões em barras excentricamente carregadas, não pode ser uniforme ou simétrica.
• A distribuição uniforme de tensão em uma seção infere que a linha de ação para a resultante das forças internas passa pelo centróide da seção considerada.
• A distribuição uniforme de tensão só é possível se a linha de ação das cargas concentradas nas extremidades das seções passarem através do centróide da seção considerada. Este tipo de carregamento é chamado de carga centrada.• Se a barra estiver excentricamente carregada, então a resultante da distribuição de tensões em uma seção deve produzir uma força axial aplicada no centróide e um momento conjugado.
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Tensão de Cisalhamento
• Forças P e P’ são aplicadas transversalmente à barra AB.
A
Pmed
• A tensão média de cisalhamento correspondente é,
• A resultante da distribuição da força de cisalhamento interna é definida no corte da seção e é igual à carga P (força cortante).
• Correspondentes forças internas atuam no plano de seção transversal C e são chamadas forças de cisalhamento.
• A distribuição da tensão de cisalhamento varia de zero na superfície da barra até um valor máximo que pode ser muito maior do que o valor médio.
• A distribuição das tensões de cisalhamento não pode ser considerada uniforme.
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Exemplo de Tensões de Cisalhamento
Cisalhamento Simples Cisalhamento Duplo
A
F
A
P
2med A
F
A
Pmed
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Tensão de Esmagamento em Conexões
• Parafusos, rebites, pinos criam tensões ao longo da superfície de esmagamento, ou de contato, nos elementos que eles se conectam.
dt
P
A
Pe
• A intensidade da força média correspondente é chamada de tensão de esmagamento
• A resultante da distribuição de força na superfície é igual e oposta à força exercida sobre o pino.
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• Determinar as tensões nas barras e conexões da estrutura mostrada.
Análise de Tensão e Exemplos de Projetos
• Deve-se considerar a máxima tensão normal em AB e BC, e a tensão de cisalhamento e tensão de esmagamento em cada conexão.
• A partir de uma análise estática:
FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tração)
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Determinação da Tensão Normal - Barras• A barra está com uma tensão normal devido uma
força axial de 50 kN (tração).
• A barra AB é comprimida com uma força axial de 40 kN e tensão normal média de 26,7 MPa.
• As seções de área mínima nas extremidades, não sofrem tensões devido a compressão da barra.
MPa167m10300
1050
m10300mm25mm40mm20
26
3
,
26
N
A
P
A
extBC
• Nas extremidades achatadas da barra, a menor área transversal ocorre na linha central do furo,
• No centro da barra, a tensão normal média na seção transversal circular (A =314x10-6 m2) é BC
= +159 MPa.
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Tensões de Cisalhamento - Conexões
• A área da seção transversal de pinos em A, B e C,
262
2 m104912
mm25
rA
MPa102m10491
N105026
3
,
A
PmedC
• A força no pino em C é igual à força exercida pela barra BC, o valor médio da tensão de cisalhamento no pino em C é
• O pino em A é em cisalhamento duplo com uma força total igual à força exercida pela barra AB dividida por dois.
MPa7.40m10491
kN2026,
A
PmedA
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• Divida o pino B em 5 partes para determinar a seção com a maior força cortante,
(Maior) kN25
kN15
G
E
P
P
MPa9.50m10491
kN2526,
A
PGmedB
• Avaliar a tensão de cisalhamento média correspondente,
Tensões de Cisalhamento - Conexões
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Tensões de Esmagamento - Conexões
• Para determinar a tensão de esmagamento nominal em A na barra AB, temos t = 30 mm e d = 25 mm,
MPa3.53mm25mm30
kN40
td
Pe
• Para determinar a tensão de esmagamento no apoio em A, temos t = 2 (25 mm) = 50 mm e d = 25 mm,
MPa0.32mm25mm50
kN40
td
Pe
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Tensões em Barras com Duas Forças
• Vamos mostrar que as forças axiais ou transversais podem produzir tanto tensões normais e de cisalhamento com relação a um plano que não seja um corte perpendicular ao eixo barra .
• Forças axiais aplicadas em um elemento de barra, provocam apenas tensões normais em um plano de corte perpendicular ao eixo barra.
• Forças transversais agindo em parafusos e pinos provocam apenas tensões de cisalhamento no plano perpendicular ao eixo do parafuso ou pino.
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• Passe uma seção através da barra formando um ângulo θ com o plano normal.
cos
cos
cos
cos
cos
00
2
00
senA
PAPsen
A
V
A
PAP
A
F
• As tensões normais e de cisalhamento média sobre o plano inclinado são
Tensões sobre um Plano Inclinado
PsenVPF cos
• Decompondo P em componentes normais e tangenciais à seção oblíqua,
• Das condições de equilíbrio, as forças distribuídas sobre o plano deve ser equivalente à força P.
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• A tensão máxima normal ocorre quando o plano de referência é perpendicular ao eixo da barra (θ=0),
00
m A
P
• A tensão máxima de cisalhamento ocorre para uma inclinação de + 45 º com relação ao eixo da barra,
00 2
45cos45A
Psen
A
Pm
Tensão Máxima
coscos0
2
0
senA
P
A
P
• Tensões normais e cisalhantes em um plano inclinado
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Tensão sob Carregamentos Gerais
• Um elemento submetido a uma combinação de cargas em geral é cortado em dois segmentos por um plano que passa por Q
• Para o equilíbrio, uma distribuição igual e oposta de forças internas e tensões deve ser exercida sobre o outro segmento do elemento.
A
V
A
V
A
F
xz
Axz
xy
Axy
x
Ax
limlim
lim
00
0
• A distribuição de componentes da tensão interna pode ser definida como,
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• Componentes de tensão são definidas para os planos cortados paralelamente aos eixos x, y e z. Para o equilíbrio, tensões iguais e opostas são exercidas sobre os planos ocultos.
• Segue-se que apenas 6 componentes de tensão são necessárias para definir o estado completo de tensão.
• A combinação de forças geradas pela tensão devem satisfazer as condições para o equilíbrio:
0
0
zyx
zyx
MMM
FFF
yxxy
yxxyz aAaAM
0
xzzxzyyz eSimilar,
• Considere os momentos em torno do eixo z:
Estado de Tensão
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Fator de Segurança
admissível Tensão
limite Tensão
segurança deFator
all
u
FS
FS
Elementos estruturais ou máquinas devem ser concebidos de tal forma que as tensões de trabalho (solicitantes) sejam menores do que a resistência final do material (resistente).
Considerações para um fator de segurança:
• Incerteza nas propriedades do material
• Incerteza de cargas
• Incerteza das análises
• Número de ciclos de carga
• Tipos de falha
• Requisitos de manutenção e os efeitos de deterioração
• Importância da barra para a integridade de toda estrutura
• Risco à vida e à propriedade
• Influência sobre a função da máquina
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