Mecanica dos Fluidos

Fenmenos de Transporte - Turma D 19/03/2014

ENC/UnB 2014 1

Disciplina Fenmenos de Transporte Departamento de Engenharia Civil e Ambiental

Introduo Conceitos Bsicos

Mdulo 1

Prof. Nstor Aldo Campana

2014

Nota ao Usurio:

Algumas das informaes constantes nesta apresentao foram obtidas na rede Internet e sua origem inicial desconhecida.

Os contedos aqui publicados so uma verso preliminar das exposies de aula, assim que podem conter erros. Ainda esto em processo de reviso, so parciais e constituem apenas um resumo.

No substitui as referncias recomendadas e nem as aulas expositivas.

O autor no se responsabiliza pelo uso que seja feito deste material.


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Bibliografia Bsica

Fox, R.W., Donald, A.T. - Introduo Mecnica dos Fluidos, Livros Tcnicos e Cientficos, 4 edio, Rio de Janeiro, 1995. [Cap. 1 e 2]

Streeter, V.L., Wylie, E.B. - Mecnica dos Fluidos, McGraw-Hill, 7 edio, So Paulo, 1982. [Cap. 1]

Potter, M.C., Wiggert, D.C. Mecnica dos Fludos, Thomson, 1 edio, So Paulo, 2004. [Cap. 1]

Conceitos Bsicos

Fludo: qualquer substncia que se deforma continuamente sob a aplicao de uma tenso de cisalhamento (tenso tangencial); independentemente da magnitude dessa tenso.

Obs: a diferena com um slido que este tambm deforma, mas no continuamente.

Tenso Normal ou Presso ():

(Tenso ou presso mdia)

(Tenso ou presso no ponto)


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Tenso Tangencial ou de Cisalhamento ():

(Tenso de cisalhamento mdia)

(Tenso de cisalhamento noponto)

Fludo como Meio Contnuo:

Os fludos apresentam uma estrutura molecular, isto , um conjunto de molculas em constante movimento num determinado espao.

Contudo, na mecnica dos fludos estamos interessados no conhecimento macroscpico de muitas molculas, ou seja, o comportamento mdios dessas molculas em torno de um ponto.

Desta forma, na Mecnica dos Fludos abandona-se a estrutura molecular e adota-se o conceito de contnuo. Assim, as propriedades do fludo (massa; densidade; peso especfico; viscosidade; etc) so consideradas funes contnuas no espao e no tempo.

Por exemplo, a massa especfica (massa por unidade de volume) de um fludo no ponto C sob a hiptese de contnuo :


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Observao: o volume d deve ser suficientemente grande para representar as condies do entorno do ponto considerado, mas tambm, suficientemente pequeno para compensar variaes espaciais dessa propriedade.

Campos Escalares e Vetoriais: em consequncia da hiptese de contnuo, as propriedades dos fludos so expressas por funes (denominadas de campos) do tipo:

Campo de Massa Especfica (Escalar): para esta propriedade s necessrio a magnitude para descrev-la completamente, portanto trata-se de um campo escalar.

Campo de Velocidade (Vetorial): para esta propriedade alm da magnitude torna-se necessrio definir tambm a direo. Contudo, esse campo vetorial pode ser descrito por suas componentes escalares.


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Viscosidade: os fludos so classificados em funo da relao entre a tenso de cisalhamento e a deformao decorrente da aplicao dessa tenso.

Sejam duas placas planas, paralelas e de dimenses infinitas; uma (inf.) fixa no espao e outra (sup.) com possibilidade de movimento. Entre ambas existe um fludo qualquer:

A condio de No-Escorregamento (no-slip) uma condio fsica, onde a velocidade do fluido em contato com um contorno slido a mesma do contorno.

Fundo do canal

Parede do canal

Fluxo

Pequeno tubo para injetar corante


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No vdeo, um fluido traador injetado no fundo de um canal onde est escoando gua e forma uma camada que fica estagnada devido a condio de no-escorregamento.

Conforme o traador se afasta do fundo do canal percebe-se claramente o movimento da gua. Note que o traador fica estagnado no canal at que um gradiente de velocidade significante seja criado prximo ao fundo (usando uma escova).

A tenso de cisalhamento () decorrente da aplicao da fora F :

A velocidade (ou taxa) de deformao definida como sendo:

Entretanto, para calcular a tenso de cisalhamento aconselhvel expressar a taxa de deformao angular em funo de quantidades mais facilmente mensuraveis.


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Para ngulos pequenos verifica-se:

Ento:

Fazendo (1)-(2) tem-se:

No limite ( ):

(1)

(2)

Nova expresso: a velocidade de deformao igual ao gradiente de velocidade na direo perpendicular ao movimento.

Fludos Newtonianos: so aqueles em que a tenso de

cisalhamento () diretamente proporcional velocidade de deformao.

A constante de proporcionalidade () denominada de viscosidade dinmica [M/(L.t)].

(Lei de Newton da viscosidade, vlida para escoamento unidimensional)

Viscosidade Dinmica (): uma medida da resistncia do

fludo ao movimento ou deformao angular.

As foras de atrito de um fludo em movimento resultam das foras de coeso e da troca da quantidade de movimento entre as molculas:

poro de fludo


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Gs predomina a troca da quantidade de movimento.

Lquido predominam as foras de coeso.

Comportamento da Viscosidade Dinmica ():

Se a temperatura aumenta (T) No gs

No lquido

Se a temperatura diminui (T) No gs

No lquido

V: velocidade d: distncia M: massa

Diversos pesquisado desenvolveram equaes empricas para representar a dependncia da viscosidade da temperatura; entre eles Sotherland que estabeleceu:

Para fludos gasosos:

Para fludos lquidos:

Onde a viscosidade dinmica uma temperatura absoluta T; 0 a viscosidade dinmica a uma temperatura absoluta de

referncia T0; C a constante de Sutherland.

Fonte: Crane Company. 1988. Flow of fluids through valves, fittings, and pipe. Technical Paper No. 410.


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Unidades (e dimenso) da Viscosidade Dinmica ():

A dimenso :

No Sistema internacional (SI):

No Sistema CGS:

Viscosidade Cinemtica ():

A dimenso :

No Sistema internacional (SI):

No Sistema CGS:

Fludos No-Newtonianos: so aqueles em que a tenso de cisalhamento no diretamente proporcional velocidade de deformao. Para estes fludos observa-se a seguinte relao.

ndice de comportamento do fludo

ndice de consistncia do fludo

Viscosidade aparente

O ndice de Comportamento (n) pode assumir diferentes valores: n < 1 n = 1 (seria o caso de fludo Newtoniano) n > 1


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Diagrama Reolgico: a representao cartesiana da relao entre a tenso de cisalhamento e a velocidade de deformao.

Dilatante: apresenta um aumento da viscosidade aparente com o aumento da tenso de cisalhamento. Ex.: suspenso de amido (maizena).

Pseuplstico: diminui a viscosidade aparente com o aumento da tenso de cisalhamento. Ex.: asfalto.

Plstico Ideal ou Plstico de Bingham: deforma somente a partir de uma certa tenso (e), chamada tenso de escoamento. Para tenses maiores que a de escoamento (e) o comportamento idntico ao de um fludo newtoniano. Ex.: pasta dental, maionese.

A relao entre tenso de cisalhamento e velocidade de deformao dada por:

= + .


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Plstico de Herschel Bulkley: deforma somente a partir da tenso de escoamento (e). Entretanto, para tenses maiores que a de escoamento (e) o comportamento idntico ao de um

fludo no-Newtoniano. Ex.: suspenso de argila.

A relao entre tenso de cisalhamento e velocidade de deformao dada por:

= + . (

)

Resumo Geral dos Tipos de Fludos

Fludos

No Newtoniano

Viscoelsticos

Dependentes do tempo de aplicao da

tenso de cisalhamento

Reopticos

Tixotrpicos

Independen-tes do tempo de aplicao da tenso de cisalhamento

Sem tenso de

cisalhamento inicial

Dilatantes

Pseudo

plsticos

Com tenso de

cisalhamento inicial

Plstico de Bingham

Plstico de Herschel

Bulkley

Newtoniano


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Viscoelsticos: so fludos que exivem muitas caractersticas de slidos; e apresentam propriedades viscosas e elsticas acopladas. Quando cessa a tenso de cisalhamento ocorre uma certa recuperao da deformao. Ex.:gelatina.

Dependentes do tempo de aplicao da tenso: normalmente sob uma determinada tenso de cisalhamento (), a velocidade de deformao (du/dy) no varia no tempo; mas neste tipo de fludo isso no ocorre.

Reopticos: a velocidade de deformao aumenta conforme aumenta o tempo de aplicao da tenso de cisalhamento. Ex. Sangue.

Tixotrpicos: a velocidade de deformao diminui conforme aumenta o tempo de aplicao da tenso de cisalhamento. Ex. tintas.

Principais Propriedades dos Fludos:

Unidades fundamentais (SI): Massa [kg]

Tempo [s]

Comprimento [m]

Massa Especfica ():

Peso Especfico ():

Densidade Relativa (dr):

Viscosidade Dinmica ():

Viscosidade Cinemtica ():

Tenso Superficial ():


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Propriedades da gua

Valores Usuais:

Temp (oC)

(N/m3)

(kg/m3)

(N.s/m2)

(m2/s)

(*) (N/m)

0 9805 999,9 1,792. 10-3 1,792.10-6 7,62.10-2

10 9803 999,7 1,308. 10-3 1,308. 10-6 7,48. 10-2

20 9789 998,2 1,005. 10-3 1,007. 10-6 7,36. 10-2

30 9767 995,7 0,801. 10-3 0,804. 10-6 7,18. 10-2

Fonte: Tabela C1 Streeter Pg. 560 (*) Valores vlidos para interface gua-ar

Exerccio: Na figura abaixo, leo de viscosidade preenche a ranhura de

espessura h. Calcular o momento T (torque) necessrio para rotar o eixo cnico dentro do mancal a uma velocidade angular constante.

Corte (Plano Vertical)

Corte (Plano Horizontal

Eixo

Mancal


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Soluo:

Soluo: (cont.)

dT = C. sen. 3.

= . . 3.

=+

=

= . .4

4| = +

=

=.

4. [ + 4 4]


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Exerccio:

Duas superfcies planas (S1 e S2) fixas no espao esto separadas uma distncia de 55 mm, e o espao entre ambas est preenchido por um fludo com viscosidade =0,54 N.s/m2.

Uma terceira placa P de 1,2 m2 de rea desloca-se entre ambas com velocidade u=0,44 m/s.

Admitindo que a espessura da placa P desprezvel, obter: 1) a fora total capaz de provocar o deslocamento dessa placa; e 2) a tenso de cisalhamento atuando na placa P.

Soluo: Dados: =0,54 N.s/m2 A=1,2 m2

u=0,44 m/s


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Exerccio:

Deixa-se cair no interior de um tubo um cilindro macio, cuja massa m=40 g. Determinar as viscosidades dinmica (ou absoluta) e cinemtica do leo que lubrifica as superfcies de contato entre os cilindros, sabendo que: o cilindro interior deslizou com uma velocidade v=0,15 m/s; a densidade relativa do fludo dr=0,80; o cilindro interno tem dimetro d=2,8 cm e comprimento L=3,0 cm; e o dimetro interno do tubo D=3,0 cm.

v

Soluo:

Dados:

m=40 g

v=0,15 m/s

dr=0,80

d=2,8 cm

L=3,0 cm

D=3,0 cm

e=0,1 cm

= .

=

=

=

=0,15

0,001

= 150 1/

= . .

= . 0,028. 0,03

= 2,64. 1032

= . = 0,04 . 9,81 /2

= 0,39


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Soluo: (cont.)

=

=

0,39 2,64. 1032

150 1

= 150 1/

= 2,64. 1032

= 0,39

= 0,98 .

2= 0,98 .

=

= . = 0,80. 1000

3= 800

3

=0,98 . /2

800 /3

= 1,23. 103 2/

Tenso Superficial (): as molculas numa poro interna de um fludo esto sujeitas foras de atrao em todas as direes. Essas foras variam em funo da movimentao das molculas, mas pela simetria com as molculas vizinhas, a fora resultante nula, num dado intervalo de tempo.

J nas molculas na interface (ou superfcie de separao) entre um lquido e um gasoso, ou entre dois lquido no miscveis, a resultante no nula; existe uma solicitao para o interior da massa lquida. Contudo, na superfcie livre existe uma pelcula em equilbrio.

Assim, a tenso superficial a fora de coeso necessria para formar essa pelcula e garantir a existncia da superfcie livre.

Essa tenso superficial cria na interface uma pelcula elstica, que fica tensionada nas duas direes; e que capaz de suportar pequenos esforos.


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Capilaridade: uma propriedade pela qual um lquido dentro de um tubo de pequeno dimetro se eleva, ou desce,

o resultado combinado da tenso superficial e das foras de

coeso e adeso.

devido a esta propriedade que a superfcie livre de um

lquido contido num recipiente deforma, gerando um menisco.

Coeso: a propriedade pela qual as partculas de um fludo resistem a pequenos esforos de tenso, isto , so as foras de atrao entre molculas da mesma substncia. So estas foras as que permitem a formao de gotas ou jatos lquidos.

Adeso: a propriedade pela qual as partculas de um lquido aderem superfcie slida de outra substncia. Estas foras representa as foras de atrao entre molculas de substncias diferentes.

Coeso < Adeso: o lquido molha (adere) a superfcie slida do recipiente que o contem; e ocorre uma sobre elevao da superfcie. Neste caso, forma-se um menisco cncavo. Ex.: gua.

Coeso > Adeso: o lquido no molha (no-adere) a superfcie slida; e ocorre um rebaixamento da superfcie do lquido. Neste caso o menisco convexo. Ex.: mercrio.


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Clculo do Ascenso Capilar: consideramos um reservatrio com gua no qual introduzido um tubo vertical de pequeno dimetro.

A elevao capilar (h) interrompido quando:

Exemplo de efeito benfico da elevao capilar

Exemplo de efeito indesejado da elevao capilar


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Exerccio:

Sejam duas placas planas de comprimento L, paralelas, de grandes dimenses, separadas uma distncia 2r, e parcialmente submersas em gua. Determinar a sobre elevao da gua no interior das placas.

Soluo:

Obs: verifica-se que a sobre elevao (h) metade do observado num tubo capilar com as mesmas Dimenses, isto , com dimetro = 2.r.


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Exerccio: Seja o conta-gotas da figura, contendo um fludo lquido, no qual

uma gota est sendo formada. Considerando a iminncia da separao da gota, isto , o instante no qual o peso da gota torna-se igual mxima fora que a tenso superficial capaz de desenvolver na seo crtica da coluna lquida, determinar o dimetro mximo da gota.

Soluo:

Obs: como a gota ainda no separou-se do bico no existe menisco a tenso superficial age verticalmente no permetro do orifcio do bico.


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Exerccio: Uma fbrica de termmetros calibra seus instrumentos com um

termmetro padro, cuja coluna e mercrio tem 5 mm de dimetro. Entretanto, para economizar, os termmetros comerciais so fabricados com coluna de mercrio de 1 mm de dimetro. Se na escala, 1oC corresponde a uma altura de 5mm de Hg, verificar se o termmetro comercial mede com preciso. Caso contrrio, estimar o erro na leitura da temperatura.

= 0,52/

= 13,6

= 45

=2. .

.

Soluo:

= 0,52/

= 13,6

=5 =2. 0,52

. 45

0,0025. 13,6 . 9.800 /3 =5 = 2,210. 10

2 = 2,21

=1 =2. 0,52

. 45

0,0005. 13,6 . 9.800 /3 =1 = 11,031. 10

3 = 11,31

h = =1 =5 = 11,31 2,21 = 9,10

: 5,00 1

9,10 = 1.

9,10

5,00 = 1,82

= 45


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Erro: 1,82oC Por exemplo, quando o termmetro Padro mede 20 oC, no termmetro Comercial a leitura seria 18,18oC.

Exerccio:

Se dispe de um tubo cheio de um fludo do tipo plstico de Bingham (ex. pasta dental), aberto na extremidade superior e fechado na extremidade inferior por um tampo.

So conhecido:

e= 85 N/m2

L=200 mm

=800 kg/m3

Admitindo desprezveis as foras devido tenso superficial, determinar: 1) o dimetro crtico a partir do qual o lquido comea a movimenta-se por seu prprio peso; 2) a presso que deve realizar-se para iniciar o movimento se o dimetro do tubo for metade do valor crtico.


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Soluo:

Parte 1) No caso de fludo newtonianos, ao retirar o tampo o lquido iniciaria o movimento descendente devido ao prprio peso. Mas, no caso de fludos do tipo plstico de Bingham, o estabelecimento do fluxo depende do dimetro do tubo: existe um dimetro crtico por debaixo do qual a fora gravitacional no supera a fora resultante da tenso de escoamento do fludo plstico:

= + .

Ao retirar o tampo, o peso se equilibra com a fora viscosa:

= 0 .2

4. . + [ + . (

)=]. . . = 0

Para que o escoamento tenha inicio, deve verificar-se que:

.2

4. . > . . . >

4.=4..

Soluo: (cont.)

>4.=4..

>4. 85 /2

9,812. 800 /3

> 0,0434 = 43,4

Concluso: se o dimetro do tubo for menor que 43,4 mm no haver fluxo; mas sendo maior, o prprio peso capaz de estabelecer o escoamento.


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Soluo: (cont.)

Parte 2) No caso que o dimetro do tubo seja menor que o crtico (d=D/2), deve-se aplicar uma presso na superfcie do fludo tal que a fora resultante desta mais o peso da coluna de fludo equilibre a fora devida tenso de escoamento:

. .2

4+ .

2

4. . > . . .

>4. .

. =

4. .

. .

>4.852. 0,20

0,0434/2 800

3. 9,81

2. 0,20

> 1566

Exerccio:

Um contrapeso de massa M exerce um momento constante no eixo cilndrico de massa m e dimetro D, mostrado na figura; que possui uma parte, de comprimento Lm no interior de um mancal. Na folga (H) entre o mancal e o eixo h leo lubrificante de viscosidade dinmica .

Inicialmente o cilindro est em repouso e quando o contrapeso liberado o eixo inicia um movimento giratrio com velocidade crescente, at atingir a velocidade de equilbrio constante e. Determinar: 1) a velocidade de

giro de equilbrio; 2) a evoluo temporal da velocidade de giro.

So conhecidos:

D=60 mm

m=500 g

Lm= 100 mm

=2 Pa.s

H=4mm

M=100 g


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Soluo:

A resultante dos momentos (M=F.d) na direo axial :

= .

Mto. de inercia de um cilindro em relao a seu eixo

Essa resultante dos momentos, tambm, igual a:

=

Soluo: (cont.)

= = .

Obs: o momento devido fora viscosa negativo por que tende a frear o giro do eixo; enquanto o momento do contrapeso positivo uma vez que tende a acelerar o giro do eixo.

= . = (. ).

= . = . 2. . . . = .

. 2. 2.

( = /2)


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Soluo: (cont.)

= . = . 2. . . . = .

. 2. 2.

Considerando um gradiente de velocidade cte.:

=.

=2. . . 3.

.

Soluo: (cont.)

= = .

= . .

=2. . . 3.

.

Para uma pea cilndrica:

= .2

2

Substituindo (2), (3) e (4) em (1) tem-se:

.. 2. . . 3.

. = m.2

2.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


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Soluo: (cont.)

.. 2...3.

. = m.

2

2.

Parte 1): a velocidade de giro constante (movimento uniforme) atingida quando d/dt=0. Ento, da equao (5):

.. 2. . . 3.

. = 0

=. .

2. . . 2.

=0,5 . 9,8

2. 0,004

2.3,14.2. . (0,06)2. 0,1 = 8,67 /

= 8,67

.60

1 .1

2. = 82,8

(5)

(Velocidade de equilbrio, constante)

Soluo: (cont.)

.. 2...3.

. = m.

2

2.

Parte 2): para estimar a evoluo temporal da velocidade h que integrar a equao diferencial (5). Agrupando os termos desta equao:

.2

2

. . 2. . . 2. .

. =

.2

2

. . 2. . . 2. .

.

=

=0

=

=0

.

4. . . . . ln 1

2. . . 2. ..

. =

(5)


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Soluo: (cont.) .

4. . . . . ln 1

2. . . 2. ..

. =

= =..

2. . . 2. . 1

4..... .

(6)

(7)

Verificao: quando t , a velocidade de giro deve ser igual velocidade de equilbrio e.

No limite para t o termo exponencial entre colchetes da

equao (6) anula-se, assim:

= =. .

2. . . 2.

Observa-se ento que a equao (7) obtida exatamente igual obtida na soluo da parte 1) deste exerccio.

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