MATEMÁTICA PROF. MARINHO

"Faça as coisas o mais simples que você puder, porém não se restrinja às mais simples."

Albert Einstein

* ATENÇÃO: Copiar é CRIME. Art. 184 do código Penal e Lei n° 5998/73

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PREPARATÓRIO PARA AS ESCOLAS MILITARES CURSO ESPECÍFICO DE FÍSICA, MATEMÁTICA E QUÍMICA

INFORMAÇÕES: 3269-1000

1. Produtos Notáveis Quadrado da soma de dois termos:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Produto da soma pela diferença:

(a + b).(a – b) = a2 – b2 Quadrado da soma de três termos:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Cubo da soma de três termos: (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3ac(a + c) + 3bc(b + c) + 6abc

Exercícios

1. Calcule, usando a regra prática: a) (x + 1)2 g) (2a + 5)2 n) (4x – 1)2

b) (a + 5)2 h) (a + 2b)3 o) (2a – 5b)2 c) (a + 10)4 i) (5a + 3b)2 p) (2x2 – y3)3 d) (y + 1)2 j) (x2 + 4)4 q) (2n – 1)2 e) (x + 4)5 l) (x – 1)2 r) (3a – 2b)3 f) (3x + 1)5 m) (a – 2)3 s) (2ab – c)5

2. Calcule as expressões abaixo: a) (a + b)3 – (a – b)3

b) (x + 1)2 + (x – 1)2 c) (2x – 1)2 – (x – 2)2 + 3(1 – x)2 d) (–3a – 4b)2 – (3a – 4b)2

e) (–x + 2)2 + (–x – 2)2 f) (2x – 1)2 + (–2x – 1)2 g) 2x(x – 1)2 – 2x2(x – 1) h) (x + 2)2 – (x – 2)2 i) (x – 2)2 . (x + 4)2

3. Calcule, usando a regra prática:

a) (x + 1)(x – 1) g) 2x 3y 2x 3y

5 2 5 2

b) (a + 5)(a – 5) h) 1 1

x xx x

c) (3b – 7)(3b + 7) f) (xy – 3z)(yx + 3z)

d) (x2 + 2)( x2 – 2) i) 2 2

2 2

1 1x x

x x

e) 1 1

abc abc2 2

4. Calcule: a) (2x + 1)2 + (x – 1)2 + 2(x + 1)(x – 1) b) (a + 1)(a – 1)(a2 + 1)(a4 + 1) + 1 c) (x + 1)2 + (x – 1)2 + (–x + 1)2 + (–x – 1)2 d) (x + 3)(x – 3) – (x + 2)(x – 2) e) (x – 1)(x + 2) + (x – 2)2 – 2(x + 1)(x – 1)

5. Dados A =

21

xx

e B =

21

xx

, calcule (A + B)2.

6. Calcule

3 31 1

x xx x

.

7. Se x é um número real tal que 1

x 5x

, determine o valor de

2

2

1x

x .

8. (Semana Olímpica-07) Simplifique a expressão (Resp. 1) 2 2 2x y z

A(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

9. Se x + y + z = 0, mostre que x3 + y3 + z3 = 3xyz.

10. Desenvolvendo-se 2(11x 9y) (11x 9y).(11x 9y) obtemos:

a) 198xy + 162y2 c) 162y2 – 198xy e) –198xy b) 198xy – 162y2 d) 198xy

11. Efetuando-se 2 2 2 2 2 2 2(8a b ).(8a b ) (8a b ) obtemos:

a) 16a2b2 + 2b4 c) 2b4 – 16a2b2 e) 16a2b2 b) 16a2b2 – 2b4 d) – 2b4 – 16a2b2

12. A expressão que deve ser adicionada a x2 + 6x2y2 – 12x2y para que se obtenha o quadrado de 2x – 3xy é: a) 3x2 + 3x2y2 c) – 3x2 – 3x2y2 e) 3x2 + 3x2y2 – 24x2y b) x2 – 9x2y2 d) 3x2 + 3x2y2 + 24x2y

13. Se xy = 7, o valor de

2

2

x y

x y

2

2

é:

a) 4 c) 214 e) 2196

b) 27 d) 228

14. Se x é um quadrado perfeito, a expressão do quadrado perfeito imediatamente superior a x é?

a) x 1 c) 2x 2x 1 e) x 2 x 1

b) 2x 1 d) 2x x

15. (Semana Olímpica-07) Sabendo que x, y e z são reais satisfazendo xyz = 1, calcule o valor da expressão: (Resp. 1)

1 1 1A

1 x xy 1 y yz 1 z xz

16. (Competições Matemáticas Norte Americanas 50/60)

Se

21

a 3a

, então 3

3

1a

a é igual a:

a) 1 c) 0 e) 6 b) 2 d) 3

17. (UFMS) A expressão (a+b)(a–b)(a2+b2) é igual a: a) a4 + b4 c) a4 – 2ab + b4 e) a4 + 2ab – b4 b) a4 – b4 d) a4 + 2ab + b4

18. Se 3a 3 7 e 3b 7 1 , então o valor de a3+b3 + 3a2b + 3ab2

é igual a: a) 1 c) 4 e) 8 b) 2 d) 6

19. Se 2 2 3 3 3 2(a b ) (a b ) e ab 0 , o valor numérico de a b

b a é:

a) 1 c) 1/2 e) 3/2 b) 2 d) 2/3

20. O valor do produto 2 2 2 2P x 1 x x 2 1 x 1 x x 2 1

é:

a) 8x 1 c) 8 4x 2x 1 e) x8

b) 8x 1 d) 8 4x 2x 1

21. Se a, b e c são números reais tais que a2 + b2 + c2 = 28, o valor mínimo de ab + ac + bc é igual a: a) 14 c) 0 e) –28 b) 8 d) –14

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2. Fatoração Fatorar uma expressão significa transformar uma soma de duas

ou mais parcelas num produto de dois ou mais fatores. Nem sempre isso é possível, entretanto usando as técnicas aprendidas de produtos notáveis, podemos desenvolver algumas técnicas de fatoração.

As principais técnicas são:

Fator comum (ou evidenciação) Diferença de dois quadrados Diferença de dois cubos Soma de dois cubos Trinômio quadrado perfeito Trinômio da forma x2 – Sx + P.

Além delas, temos outras não tão usuais:

Expressões do tipo n na b , n .

Expressões do tipo n na b , n , n ímpar

Polinômios de grau n ( n ) de coeficientes reais

4a4 + b4 = (2a2 – 2ab +b2)(2a2 + 2ab +b2) É importante observar que em alguns casos, a fatoração de

determinadas expressões exigem certos truques algébricos que vão além das técnicas não usuais.

Exercícios

22. Fatorar os seguintes polinômios: a) x2 + 10x + 25 n) x2 + 46x + 529 b) 64x2 + 80x + 25 o) 49 + 14xm + x2m c) y2 – 34y + 289 p)1– 10xy2 + 25x2y4 d) x2 + 5x + 6 q) x2 – 5x +6 e) x2 + 5x – 6 r) x2 – 5x – 6 f) x2 – 2x – 15 s) x2 + x – 6 g) 2x2 – 3x + 1 t) 6x2 – 5x + 1 h) 10x2 – 7x – 12 u) 4 – 5a + a2 i) x3 + 3x2 + 3x + 1 v) x3 – 6x2 +12x – 8 j) ax + bx + ay + by x) x3 + x2 + x + 1 l) x + y – ax – ay w) a2 + 2ab + b2 + a + b m) 2ab – 3ac – 2yb + 3cy z) a2 – b2 + a + b

23. Escreva sob forma de fatores: a) a4 – b4 m) 81x2 – y16 b) x8 – y8 n) 16x4 – 1 c) 25(x – y)2 – 4(x + y)2 o) y3 – x3 d) x6 – y6 p) x2 – x – 56 e) a2 + 2ab + b2 – c2 q) (x + y – 1)2 – 5(y + x – 1) f) c2 – 2bc – a2 + b2 r) ab – ac + b2 – bc g) a2 – 1 + 2ab + b2 s) 2 – b – 2a + ab h) (x – y)2 + 2(y – x) – 24 t) x – xy – 1 + y2 i) x3 – x2 – x – 1 u) x3 + x2 – x – 1 j) x3 + x2 – x – 1 v) x – xy – 1 + y2 l) 8z(x – y) – 3(x – y) x) x2 – 12x + 64

24. Fatorando a3 – b3, obtemos: a) (a + b)(a2 + ab + b2) d) (a – b)(a2 + ab + b2) b) (a – b)(a2 – ab + b2) e) (a2 – ab)(a – b + ab) c) (a + b)(a2 – ab + b2)

25. (CN-77) Simplificando 4 4

2 2 2 2 2 2

a b 2ab

(a b 2ab)(a b 2ab) a b

para b a obtém-se:

a) 1 c) b

a e)

a

b

b) a b

a b

d)

a b

a b

26. (FEI) Simplificando a expressão 3 3

2 2

2 2

1 1

a ba b ab .1 1

a b

, obtemos:

a) a + b c) ab e) b – a b) a2 + b2 d) a2 + ab + b2

27. Depois de simplificar n 4 n n 1

n 2 n 3

2 2.2 5.2

3.2 2.2

encontramos:

a) 6

7 c)

4

7 e)

5

7

b) 3

7 d)

1

7

28. (MACK-SP) O valor da expressão n 4 n 2 n 1

n 2 n 1

2 2 2

2 2

é:

a) 1 c) 383

e) n.r.a.

b) 2n + 1 d) 823

29. Simplificando a expressão 3 2 2 3x x y xy y , encontramos:

a) (x – y)( x y ) c) (x + y)( x y ) e) x

b) (x + y)( x y ) d) 1

30. Sendo M = x xe e

2

e N =

x xe e

2

, podemos afirmar que

M2 – N2 é igual a: a) 1 c) – 3 b) – 6 d) – 1

31. A forma correta mais simples de se apresentar a expressão

algébrica fracionária 2

2

x 2x 1

x 1

é:

a) x 1

x 1

b) 0 c) – 1

d) x – 1 e) – x

32. Simplificando a fração 2

2

a 10a 25

a 6a 5

, obtemos:

a) a 5

a 1

b)

a 5

a 1

c)

a 5

a 3

d) a 5

a 1

e)

a 1

a 5

33. Sendo a + b = 7 e a2 + b2 = 9, então ab

2 será:

a) 5 c) 8 e) 9 b) 6 d) 10

34. A expressão 2 2

1 1 2

x y

(x y )

, é equivalente a:

a) 2

x y

(x y)

c)

2

y x

y 2xy

e)

2 2

2 2 2

x y

(x y )

b) y x

y x

d)

x y

x y

35. Fatorando-se o polinômio a4 – 81, obtém-se: a) (a + 9)(a – 9) d) (a + 3)2(a – 3)2 b) (a2 + 9) e) (a2 – 3)(a2 + 3) c) (a – 3)(a + 3)(a2 + 9)

36. Simplificando ax ay

x(x y) y(x y)

, obtemos:

a) a c) a

x y

b) 1

x y d)

a

x y

37. Simplificando a expressão 2 2

2 2

(a b) b

a 4b

vamos Ter:

a) 1

a 2b b)

1

a 2b c)

a

a 2b d)

a

a 2b

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38. (Morgado) a) 4x3y – 12x2y2 + 8xy8 b) x4 – ax3 + bx2 + cx c) 3x5y3 – 21x4y2 + 27x3y4 d) 25(a2 + b + c)5 – 4(a2 + b + c)3 e) 3x(x2 + 2xy + y2) – y(x + y)3 f) (a + b)(m2 – 2mn + n2) + (a + b)3(m – n)3 g) bm + mn + ab + an h) bc + by + cy + y2 i) abx – aby + cxd – cdy j) x4 – a2x2 – b2x2 + a2b2 k) x4 – x2 – x – 1 l) x5 – x3 + x – 1 m) x2 – 10x + 25 n) x4 – 1 o) ab2 + d(c – b) – abc p) 1 – (a – b)2 q) a2 – b2 + 2bc – c2 r) x2 – 2xy + y2 – z2 s) a3 + 64b3 t) x3 – 1 u) x4 – x3 + x2 – 1

39. (Litvnenko) Fatore as seguintes expressões polinomiais: a) a2 – 2a3b – 2ab3 – b2 b) a3 – 7a2 + 7a + 15 c) ab(a+b) – bc(b+c) + ac(a–c) d) a3 – 5a2 – a + 5 e) 4a2 – 12ab + 5b2 f) a4 – 10a2 + 169 g) a6 + a4 + a2b2 + b4 – b6 h) a3 – 9a2 + 27a + 19 i) a4 + 6a3 + 11a2 + 6a j) a4 – 1 k) a6 – 1 l) a6 + 1 m) a4 – 18a2 + 81 n) a12 – 2a6 + 1 o) a5 + a3 – a2 – 1 p) a4 + 2a3 – 2a – 1 q) 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 r) a4 + a2b2 + b4 s) a4 + 4a2 – 5 t) 4a4 + 5a2 + 1 u) c4 – (1 + ab)c2 + ab v) a4 + 324 w) a4 + a2 + 1 x) a8 + a4 + 1 y) 2a4 + a3 + 4a2 + a + 2 z) a4 + 3a3 + 4a2 – 6a – 12 aa) (a2 + a + 3)(a2 + a + 4) – 12

bb) a5 + a3 – a2 – 1 cc) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc dd) (ab + ac + bc)(a + b + c) – abc ee) a(b – 2c)2 + b(a – 2c)2 – 2c(a + b)2 + 8abc ff) (a – b)c3 – (a – c)b3 + (b – c)a3 gg) a3(a2 – 7)2 – 36a hh) (a + b)5 – (a5 + b5) ii) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) + a2c2(a – c) jj) 8a3(b + c) – b3(2a + c) – c3(2a – b) kk) (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) ll) a4 + 9 mm) a4 + b4 nn) a3 + 5a2 + 3a – 9 oo) a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 pp) (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15 qq) 2(a2 + 2a – 1)2 + 5(a2 + 2a – 1)(a2 + 1) + 2(a2 + 1)2 rr) (a – b)c3 – (a – c)b3 + (b – c)a3 ss) (a – b)3 – (a – c)3 + (b – c)3 tt) (a2 + b2)3 – (b2 + c2)3 – (a2 – c2)3 uu) a4 + 2a3b – 3a2b2 – 4ab3 – b4 vv) a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2 + 3abc ww) a4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 xx) a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1 yy) a4 + 2a3 + 3a2 + 2a + 1 zz) a4 – 2a3b – 8a2b2 – 6ab3 – b4

40. (Rumo ao ITA) Fatore as expressões a) ab3x2 – a2b2x2 + ab2x3 – a2bx3 b) 9a2b5x2 – 9a2bx6 c) 60ab3x2 – 90ab2x3 + 40a2b3x – 60a2b2x2 d) 15a3bx2y – 5a3bxy2 – 15a2b2x2y + 5a2b2xy2 e) 1 + 2xy – x2 – y2 f) x3 + y3 + z3 – 3xyz g) x4 + 4y4 h) (ac + bd)2 + (ad – bc)2 i) (a + b + c)3 – a3 – b3 –c3 j) a6 – 54a3b3 + 729b6 k) x5 + x + 1 l) x10 + x5 + 1 m) 3(a + b)2 – 2(a + b)(a – b) – (a + b) n) 5xn–1 + 10xn + 15xn–1

41. (Semana Olímpica) Fatore 3 3 3a b c 3abc .

R = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

42. (Litvnenko) Simplifique a expressão

a b c

(a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)

R = 0

43. (RPM-45) Os números reais a, b e c são tais que a + b + c = 3, a2 + b2 + c2 = 13 e a3 + b3 + c3 = 27. Determine a4 + b4 + c4. R = 89

44. (RPM-48) Fatore a expressão x4 – 16x3 + 92x2 – 225x + 198 Resolução: Desmembrando alguns termos da expressão, temos que:

x4 – 7x3 – 9x3 + 11x2 + 63x2 + 18x2 – 99x – 126x + 198 Colocando-se em evidência x2 no 1º, 2º e 4º termos; – 9x no 3º, 5º e 7º termos e 18 no 6º, 8º e 9º termos, temos: x2(x2 – 7x + 11) – 9x(x2 – 7x + 11) + 18(x2 – 7x + 11) ou ainda (x2 – 9x + 18)(x2 – 7x + 11) Equivalentemente, (x – 6)(x – 3) (x2 – 7x + 11).

45. (Semana Olímpica) Fatore 4a4 + b4.

46. (Semana Olímpica) O famoso “Carroção” 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

(10 324)(22 324)(34 324)(46 324)(58 324)N

(4 324)(16 324)(28 324)(40 324)(52 324)

R= 373

47. (Semana Olímpica) Mostre que se a b c 0 , então

3 3 3a b c 3abc .

48. (Semana Olímpica) Calcule o valor de 2123456789 123456790x123456788 .

R=1

49. (RPM-48) Qual é o maior fator primo de 14 133 3 12 .

R = 73

50. (CN-06) O resultado da expressão 2 2(18700 20900 ) :(18700 20900) é aproximadamente igual a:

a) 2,01 c) 2,05 e) 2,09 b) 2,03 d) 2,07

51. (CN-06) Simplificando-se a fração 2 2

2 2

x(x x y) y (y 1)

x y xy

,

2 2x y xy 0 , obtém-se:

a) x – y + 1 c) x + y – 1 e) 1 – x + y b) x – y – 1 d) 1 + x + y

52. (CN-05) Simplificando-se a fração 4 4 2 2

2 2

a b 6a b

a b 2ab

, onde a b ,

obtém-se:

a) 2 2a b 2ab c) 2 2a b 2ab e) 2 2a b

b) 2 2a b 2ab d) 2 2a b 2ab

53. (CN-95) O quociente da divisão de

3 3 3 3a b c a b c por 2a b c c a b ab é:

a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4