FACULDADE PIO DCIMO
ENMESON CUNHA
INVESTIGAO DE APLICAES DAS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS
Aracaju 2011
ENMESON CUNHA
INVESTIGAO DE APLICAES DAS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIASPesquisa
apresentada disciplina Mtodos Matemticos como pr-requisito obteno
de parte da nota relativa primeira unidade. ORIENTADOR: Serge Magno
Brasil.
Aracaju 2011
SUMRIO
1 TEMA 2 HISTRICO 3 EQUAES DIFERENCIAIS 4 APLICAES DAS EQUAES
DIFERENCIAIS 5 CIRCUITOS ELTRICOS 5.1 Circuitos Eltricos de
Primeira Ordem 5.2 Circuitos Eltricos de Segunda Ordem 6
CONSIDERAES FINAIS REFERNCIAS
1 TEMA Investigao de aplicaes das Equaes Diferenciais Ordinrias
(E.D.O.) 2 HISTRICO
As equaes diferenciais comearam com o estudo do clculo por Isaac
Newton e Gottfreied W. Leibniz no sculo XVII. Newton atuou
relativamente pouco na rea das equaes diferenciais, mas o
desenvolvimento do clculo e elucidao dos princpios bsicos da
mecnica forneceram a base para a aplicao das equaes diferenciais no
sculo XVIII especialmente por Euler. Newton desenvolveu um mtodo
para resolver a equao de primeira ordem dy/dx=f(x,y) no caso em que
f(x,y) um polinmio em x e y usando sries infinitas. Leinbniz foi um
autodidata em matemtica. Ele compreendia o poder de uma boa notao
matemtica assim como o sinal de integral. Tambm descobriu o mtodo
de separao das variveis para as equaes dy / dx = P(y) / Q(x). Em
1691, verificou a reduo de equaes homogneas a equaes separveis e o
procedimento para resolver equaes lineares de primeira ordem. Ao
redor do incio do sculo XVIII, a nova onda de pesquisadores de
equaes diferenciais comeou a aplicar estes tipos de equaes a
problemas de astronomia e cincias fsicas. Jakob Bernoulli, que foi
o primeiro a palavra integral no sentido moderno, estudou e
escreveu equaes diferenciais para o movimento planetrio, utilizando
os princpios desenvolvidos por Newton. Halley utilizou os mesmos
princpios para calcular a trajetria de um cometa que hoje leva o
seu nome. O irmo de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o
primeiro matemtico a entender o clculo de Leibniz e os princpios da
mecnica para modelar matematicamente fenmenos fsicos utilizando
equaes diferenciais e a encontrar suas solues. Entretanto,
cinquenta anos de teoria geral trouxeram significativos avanos, mas
no uma teoria geral.
O desenvolvimento das equaes diferenciais precisava de um mestre
para consolidar e generalizar os mtodos existentes. Muitas equaes
pareciam amigveis, mas se tornaram decepcionantemente difceis. O
maior matemtico do sculo XVIII, Leonhard Euler identificou a condio
para que as equaes de primeira ordem sejam exatas. Euler entendeu o
papel e as estruturas das funes, estudou as propriedades e
definies. Tambm foi o primeiro a entender as propriedades e os
papis das funes exponenciais, logartmicas, trigonomtricas e muitas
outras funes elementares. Em um artigo publicado em 1734, Euler
desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a soluo
geral para as equaes de coeficientes constantes, tal como
Depois de Euler vieram vrios especialistas que refinaram e
entenderam muitas das ideias das equaes diferenciais baseadas nas
ideias de Euler, utilizando as equaes em reas como fsica matemtica,
mecnica, energia, sistemas dinmicos, astronomia etc. Porm o prximo
avano importante nesse assunto ocorreu no incio do sculo XIX com os
pesquisadores Gauss e Cauchy, quando as teorias e conceitos de
funes variveis complexas se desenvolveram. Gauss usou as equaes
diferenciais para melhorar a teoria das rbitas planetrias e da
gravitao. Cauchy aplicou equaes diferenciais para modelar a
propagao de ondas sobre a superfcie de um lquido. As equaes
diferenciais so uma parte integral ou um dos objetivos de vrios
cursos de graduao de clculo. Assim, amplamente aceito que as equaes
diferenciais so importantes para a matemtica pura e aplicada.
3 EQUAES DIFERENCIAIS A equao diferencial uma equao em que as
incgnitas so funes e a equao envolve derivadas destas funes. Tambm
podemos dizer que a equao diferencial uma equao que contm derivadas
ou diferenciais de uma ou mais variveis dependentes em relao a uma
ou mais variveis independentes.
As equaes diferenciais podem ser classificadas em EDO (Equaes
Diferenciais Ordinrias), quando possui apenas derivadas ordinrias
de uma ou mais variveis dependentes em relao a uma nica varivel
independente, e EDP (Equaes Diferenciais Parciais), quando envolve
derivadas de uma ou mais variveis dependentes em relao a duas ou
mais variveis independentes. Toda funo definida em um intervalo I
que tem, pelo menos, n derivadas contnuas em I, as quais, quando
substitudas na equao diferencial de ordem n, reduzem a equao
diferencial a uma identidade no intervalo. Em outras palavras, a
soluo de uma equao diferencial de ordem n uma funo que tem, pelo
menos, n derivadas de forma que F(x, (x), '(x),..., n(x))=0
4 APLICAES DAS EQUAES DIFERENCIAIS
frequentemente desejvel descrever o comportamento de algum
sistema ou fenmeno da vida real em termos matemticos, quer sejam
eles fsicos, sociolgicos ou mesmo econmicos. Como hipteses sobre um
sistema envolvem frequentemente uma taxa de variao de uma ou mais
variveis, a descrio matemtica de todas essas hipteses pode ser uma
ou mais equaes envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo
matemtico pode ser uma equao diferencial ou um sistema de equaes
diferenciais. Uma das primeiras tentativas de modelagem do
crescimento populacional humano por meio da matemtica foi feita
pelo economista ingls Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a ideia
por trs do modelo malthusiano a hiptese de que a taxa segundo a
qual a populao de um pas cresce em um determinado instante
proporcional populao total do pas naquele instante. Em outras
palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas
existiro no futuro. Em termos matemticos, se P(t) for a populao
total no instante t, ento essa hiptese pode ser expressa por
onde k uma constante de proporcionalidade. Esse modelo simples,
embora no leve em conta muitos fatores que podem influenciar a
populao humana tanto em seu crescimento quanto em seu declnio, no
obstante resulta ser razoavelmente preciso na previso dos Estados
Unidos entre os anos de 1790 e 1860. De acordo com a lei emprica de
Newton do resfriamento, a taxa segundo a qual a temperatura de um
corpo varia proporcional diferena entre a temperatura do corpo e a
temperatura do meio que o rodeia. Se T(t) representar a temperatura
de um corpo no instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia e
dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de
Newton do resfriamento convertida na sentena matemtica
Entre outras tantas aplicaes das equaes diferenciais poderamos
citar casos como o decaimento radioativo do ncleo de um tomo, a
disseminao de uma doena contagiosa em uma comunidade, a decomposio
de substncias qumicas atravs de suas reaes, a mistura de solues com
concentraes diferentes, a velocidade do fluxo de um lquido em um
buraco com bordas na base de um tanque, o modelo matemtico do
movimento de um corpo em queda livre com e sem a resistncia do ar
etc. Alm dos modelos matemticos clssicos, podemos verificar modelos
variados como a proporo de memorizao de um certo assunto entre
outros. No nosso trabalho iremos enfatizar a aplicao das equaes
diferenciais em circuitos eltricos, de acordo com a lei de
Kirchhorf, onde a tenso aplicada em uma malha fechada deve ser
igual soma das quedas de tenso nesta malha.
5 CIRCUITOS ELTRICOS
Gustav
Robert Kirchhorf foi um fsico alemo
que
dedicou-se,
principalmente, no campo dos circuitos eltricos. Kirchhorf autor
de duas leis fundamentais da teoria clssica dos circuitos eltricos
e da emisso trmica. As leis de Kirchhorf so empregadas em circuitos
eltricos mais complexos como aqueles com mais de uma fonte de
resistores, capacitores ou indutores em srie ou em paralelo. De
acordo com a primeira lei de Kirchhorf, em qualquer n, a soma das
correntes que o deixam igual a soma das correntes que chegam at
ele. Esta lei uma consequncia da conservao da carga total existente
no circuito. A segunda lei de Kirchhorf mostra que a soma algbrica
das foras eletromotrizes em qualquer malha igual a soma algbrica
das quedas de potencial contidos na malha. 5.1 Circuitos Eltricos
de Primeira Ordem O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evoluo
da tenso ou corrente no tempo exige a resoluo de uma equao
diferencial de primeira ordem da forma
(1) ento, x(t) = xp(t) + xc(t) uma soluo para a equao
diferencial acima. O termo xp(t) chamado de soluo particular ou
resposta forada e xc(t) chamada de soluo complementar ou resposta
natural. Considerando que f(t)=A=constante, a soluo geral
diferencial consiste de duas partes que so obtidas resolvendo as
seguintes equaes:
Sendo A constante, a soluo xp(t) deve tambm ser constante,
portanto xp(t)=k1. Substituindo na equao, tem-se k1=A/a.
que implica em ln xc(t)=-a.t + C. Logo, xc(t) = k2.e-a.t.
Portanto, a soluo da equao (1)
Para comprovao, podemos verificar o circuito RC:
A equao que descreve o circuito para t > 0
derivando a equao em t, temos:
cuja soluo da forma
que substituindo na equao diferencial de primeira ordem
tem-se
portanto, a soluo da equao
5.1 Circuitos Eltricos de Segunda Ordem Os circuitos eltricos
RLC's so aqueles que possuem resistores, indutores e capacitores.
Em geral a anlise desses circuitos resulta em equaes diferenciais
de ordens maiores ou iguais a dois. Porm, estaremos estudando as
equaes de, no mximo, segunda ordem. Para solucionar uma equao
homognea, pode-se utilizar a soluo da equao de segunda ordem
padro
chegando na equao caracterstica
Esta equao caracterstica usualmente escrita por inspeo direta da
equao homognea padro
Desta forma possvel a existncia de trs combinaes: a) quando >
0 (Circuito Superamortecido), tem-se a soluo da equao homognea.
b) quando = 0 (Circuito Criticamente Amortecido)
c) quando < 0 (Circuito Sub-Amortecido)
6 CONSIDERAES FINAIS
O uso de nmeros complexos para resolver problemas em circuitos
de corrente alternada, o chamado mtodo fasorial, foi efetuado
primeiramente pelo matemtico e engenheiro eletricista Charles
Proteus Steinmetz, em um artigo apresentado em 1893. A utilizao dos
clculos desenvolvidos por Charles Proteus facilitou a resoluo e
identificao de correntes e tenses nos circuitos de primeira e de
segunda ordens. Desta forma, os clculos de circuitos eltricos
deixaram de depender exclusivamente das equaes diferenciais e
passaram a utilizar as funes senoidais. Em engenharia eltrica, as
funes senoidais so extremamente importante, pois a senoide a
excitao dominante da industria eltrica de potncia mundial.
REFERNCIAS
ZILL, Dennis G. Equaes Diferenciais . So Paulo: Thomson, 2003
STEWART, James. Clculo volume II. 2 ed. So Paulo: Thomson, 2006
SANTOS, Reginaldo J. Tpicos de Equaes Diferenciais. UFMG, 2011
JOHNSON, David E. Fundamentos de Anlise de Circuitos Eltricos. 2
ed. So Paulo: Mir, 2010
