1

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SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 ___________________________________________

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• Evolução da Física -------------------------------------------------------------- 04 • A importância a Física -------------------------------------------------------------- 07 • Lei da Física -------------------------------------------------------------- 10 • Método da Física -------------------------------------------------------------- 11 • Sistemas Internacional de Unidades -------------------------------------------------------------- 12 • Potencia de Dez -------------------------------------------------------------- 15 • Ramos da Física -------------------------------------------------------------- 17 • Divisões da Mecânica -------------------------------------------------------------- 17

CAPÍTULO 2 ___________________________________________

19

• Definições e Conceitos (Ponto Material) -------------------------------------------------------------- 19 • Repouso Movimento e Referencial -------------------------------------------------------------- 19 • Trajetória -------------------------------------------------------------- 20 • Posição Escalar -------------------------------------------------------------- 21 • Função Horária -------------------------------------------------------------- 21 • Deslocamento e Espaço Percorrido -------------------------------------------------------------- 23 • Velocidade Escalar Média -------------------------------------------------------------- 27

CAPÍTULO 3 ___________________________________________

33

• Movimento Uniforme (Definição) -------------------------------------------------------------- 33 • Funções Horárias -------------------------------------------------------------- 34

CAPÍTULO 4 ___________________________________________

47

• Movimento Uniforme Variado (Definição) -------------------------------------------------------------- 47

• Funções Horárias -------------------------------------------------------------- 48 • Lei de Torricelli -------------------------------------------------------------- 54

CAPÍTULO 5 ___________________________________________

59

• Queda dos Corpos (Introdução) -------------------------------------------------------------- 59 • Lançamento Vertical para Cima -------------------------------------------------------------- 61 • Lançamento Vertical para Baixo -------------------------------------------------------------- 65

CAPÍTULO 6 ___________________________________________

70

• Força e Movimento (Princípios Funda-mentais) -------------------------------------------------------------- 70

• 1ª Lei de Newton -------------------------------------------------------------- 70 • 2ª Lei de Newton -------------------------------------------------------------- 72 • Peso de Um Corpo -------------------------------------------------------------- 77 • 3ª Lei de Newton ou Princípio da Ação e

Reação -------------------------------------------------------------- 79

3

CAPÍTULO 7 ___________________________________________

93

• Energia (Introdução) -------------------------------------------------------------- 93 • Trabalho de Uma Força -------------------------------------------------------------- 94 • Trabalho da Força Peso

-------------------------------------------------------------- 101

CAPÍTULO 8 ___________________________________________

106

• Energia Cinética -------------------------------------------------------------- 106 • Teorema da Energia Cinética -------------------------------------------------------------- 108 • Energia Potencial Gravitacional -------------------------------------------------------------- 114 • Força Conservativa -------------------------------------------------------------- 117 • Energia Potencial Elástica -------------------------------------------------------------- 118

4

A FÍSICA COMO CIÊNCIA EXPERIMENTAL

O homem tem grande capacidade de acumular conhecimentos. Isso permite a cada gera-

ção partir do ponto em que a anterior chegou, sem precisar recomeçar do zero. A primeira tare-fa do estudioso é, então, conhecer o que já foi feito na sua área de estudo, para não correr o risco de arrombar portas abertas.

Todavia, a construção do conhecimento não se faz por simples acúmulo. A cada nova des-coberta devemos incorporar conhecimentos anteriores.

O espírito crítico é um dos postulados da ciência. A história da Física nos oferece muitos exemplos disso: Copérnico, Galileu ou Einstein se notabilizaram tanto pelas proposições novas como pela negação do que era aceito como verdade.

As descobertas no campo da Física remontam à Pré-História. Assim, quando o homem te-ve a idéia de usar uma pedra para abrir o crânio de um animal ou fez um arco para atirar uma flecha, ele estava incorporando conhecimentos elementares de Mecânica.

Posteriormente, as primeiras civilizações, que surgiram na Mesopotâmia e no Egito, apren-deram, entre outras coisas, a bombear água para as plantações, a transportar e levantar enor-mes blocos de pedras, a construir monumentos.

Esses numerosos conhecimentos, obtidos na tentativa de resolver problemas práticos, não estavam sistematizados em uma teoria explicativa, como é próprio da ciência moderna. As so-luções e os inventos surgiram lentamente a partir da experiência empírica, misturados à religi-ão.

Com os gregos nasceu a filosofia, ou seja, uma tentativa de explicar o mundo através da razão.

Os gregos não foram um povo nem mais nem menos iluminado do que os outros, mas her-deiros de um longo processo de desenvolvimento cultural que ocorreu nas regiões próximas do Mediterrâneo.

Ao procurar a razão de ser das coisas, os gregos formularam princípios explicativos do movimento, da constituição da matéria, do peso, do comportamento da água etc. Porém eles valorizaram demasiadamente as idéias e muito pouco a experimentação. Além disso, preocu-pavam-se muito pouco com a aplicação prática dos conhecimentos, pois o trabalho braçal era realizado por escravos.

A decadência do Mundo Antigo e o advento da Idade Média representaram um enorme re-trocesso para a ciência.

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Uma sociedade basicamente rural, dominada pela religião, com o uso muito restrito da es-crita e de livros, poucas possibilidades oferecia ao desenvolvimento científico.

O renascimento do comércio e da vida urbana, no final da Idade Média, criou um ambiente próprio para a renovação cultural que lançou as bases da ciência moderna. Foi nesse universo urbano em formação que viveu, no século XVI, o personagem símbolo dessa ciência: Galileu Galilei.

Galileu Galilei ousou contestar as verdades de Aristóteles, que haviam sido reforçadas pela combinação da filosofia com o cristianismo. A Igreja Católica contribuía, com sua autoridade, para dificultar a contestação do pensamento de Aristóteles.

ARISTÓTELES (384-322 a.C.)

Aristóteles cometeu erros monumentais no campo da Física e Galileu os corrigiu. Com ba-se na experimentação, verificou que Aristóteles estava errado ao afirmar, por exemplo, que quanto mais pesado fosse um objeto, mais rápida seria a sua queda. Desse modo, Galileu in-troduziu um procedimento fundamental para o cientista: a necessidade de testar, com experi-ências concretas, as formulações teóricas. Além disso, o genial italiano mostrou, com sua prá-tica, que o cientista precisa criar situações favoráveis de observação, eliminando fatores que interfiram na análise do fenômeno a ser estudado ou a prejudiquem.

GALILEU GALILEI (1564-1642)

Filósofo, educador e cientista grego, foi um dos maiores e mais influentes pensado-res da cultura ocidental. Como cientista é conhecido pelo realismo e pelo senso de observação: para ele a ciência é a busca de causas universais que dão uma explicação comum a um grupo de fenômenos.

Astrônomo e físico italiano, é considera-do o fundador da ciência experimental mo-derna. Descobriu as leis da queda dos cor-pos e a lei que rege o movimento do pêndu-lo. Enunciou o princípio da composição dos movimentos. Aperfeiçoou instrumentos, como o relógio e o telescópio. Suas conclu-sões eram baseadas mais em observações e nos resultados dos experimentos do que na lógica dedutiva.

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Atualmente, há consenso entre os cientistas de que a maioria dos experimentos só pode ser feita mediante situações artificialmente montadas.

Outro momento importante na constituição do conhecimento ligado à Física ocorreu no sé-culo XVII, com Isaac Newton. Ele realizou a primeira grande síntese da história da Física, atra-vés da formulação de leis gerais, possibilitando investigações novas em diversos campos.

Newton criou, ainda, um sistema matemático para resolver problemas de Física que antes não tinham soluções.

ISAAC NEWTON (1643-1727)

Em 1666 fez as suas descobertas mais importantes. Interrogado, sobre como as conse-guia, respondeu: "Para descobrir todos os fenômenos que deseja, basta ao sábio três coisas: pensar, pensar, pensar."

A partir dos fundamentos lançados por Newton ocorreram importantes inovações científi-cas e técnicas. No decorrer dos séculos XVIII e XIX, o progresso material oriundo dessas ino-vações foi notável.

O final do século XIX foi uma fase de excessivo otimismo. Muitos estudiosos julgavam co-nhecidos os princípios e as leis fundamentais do funcionamento do universo.

A teoria da relatividade, publicada por Einstein em 1905, provocou uma verdadeira revolu-ção no campo científico. As mais arraigadas certezas, baseadas nas leis mecânicas de New-ton, tiveram que ser revistas.

ALBERT EINSTEIN (1879-1956)

Físico e matemático inglês, tornou-se uma das maiores figuras da ciência em todos os tempos. Em Física, formulou os três prin-cípios da Mecânica, conhecidos como leis de Newton, e a teoria da Gravitação Universal. Em Matemática, criou o cálculo infinitesimal.

Físico alemão, criou a teoria da relativi-dade, que completou a Mecânica clássica onde esta era insuficiente. Em 1921, recebeu o Prêmio Nobel de Física pela formulação da lei do efeito fotoelétrico. Sua famosa equa-ção E = mc2 (a energia é igual ao produto da massa pelo quadrado da velocidade da luz) tornou-se a pedra fundamental do desenvol-vimento da energia atômica.

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De lá para cá, os avanços no campo da Física foram enormes. A obtenção de energia a partir da desintegração atômica, os satélites e as viagens espaciais são alguns importantes exemplos de progresso recente.

Muitos outros cientistas estão ligados à evolução do conhecimento humano acerca do mundo físico. Essa evolução não é resultado da ação individual de alguns homens notáveis, mas fruto de uma obra coletiva. São as condições históricas de uma determinada sociedade que favorecem ou não a ampliação do saber. Alguns países produzem um grande número de conhecimentos, enquanto a maior parte das nações não consegue sequer assimilá-los.

Não é uma simples coincidência o fato de os países que conseguiram todo esse progresso científico e técnico serem os mesmos que, no passado, realizaram a Revolução Industrial.

Quanta diferença entre os equipamentos ultra-sofisticados — telescópios gigantescos, aceleradores de partículas, supercomputadores — usados atualmente e os instrumentos ru-dimentares construídos por Galileu!

Ao iniciar aqui os seus estudos de Física, você provavelmente compreenderá uma das li-ções mais importantes da ciência: a de que a aparência é muito enganadora. Desconfiemos, pois, da obviedade.

Uma das ciências mais antigas, a Física é responsável por grande parte do desenvolvi-

mento científico alcançado pela humanidade. Ela tem aplicações em praticamente todos os campos da atividade humana: na Medicina,

nos transportes, nos esportes, nas comunicações, na indústria etc. Com a ajuda da Física, po-demos utilizar algumas formas de energia e fazê-las trabalhar para nós:

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Energia elétrica: enceradeira, geladeira, computador, ferro elétrico etc.

Energia sonora: rádio, disco, telefone, ultra-som, instrumentos musicais etc.

Energia mecânica: pontes, naves espaciais, rodoviárias, prédios etc.

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Energia luminosa: máquina fotográfica, telescópio, raio laser, análise de matérias etc. Energia calorífica: máquina a vapor, câmaras frigoríficas, motores de automóvel etc.

Energia nuclear: energia elétrica, bomba atômica etc.

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A palavra fenômeno vem do grego phainómenon, cujo significado é "aquilo que parece". Etimologicamente, podemos dizer então que fenômenos são aquelas coisas que se nos apre-sentam.

É comum considerarmos como fenômeno algo misterioso, como um arco-íris, um furacão, uma tempestade etc. Em nosso curso, consideraremos como fenômeno toda e qualquer mani-festação no tempo e no espaço, como, por exemplo, o movimento de um carro, o tiro de um canhão, o aquecimento da água etc.

Os fenômenos não se produzem ao acaso: entre eles existe uma interdependência. Tais relações de interdependência constituem as leis.

Para estudar os fenômenos, a ciência procura, inicialmente, estabelecer uma relação quan-titativa entre eles — as leis quantitativas.

Veja alguns exemplos:

� o calor dilata o ferro; � a pressão diminui o volume dos gases; � o atrito produz calor.

O conhecimento dessas leis não é suficiente; um estudo mais profundo sugere medidas quantitativas. Veja:

� de quanto se dilata a barra de ferro entre duas temperaturas? � de quanto diminui o volume do gás quando a pressão duplica? � quantas calorias são produzidas por um carro ao brecar e parar?

Quando é possível medir aquilo de que se está falando e exprimir essa medida por núme-ros, estabelecemos uma lei física. Exemplo:

A relação matemática V = V0 é uma lei física que relaciona o volume do gás com a tempe-

ratura Kelvin numa transformação isobárica (lei de Gay-Lussac)

Lei física é a relação matemática entre as grandezas que participam de um mesmo fenômeno.

T T0

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Na pesquisa de um fenômeno e das leis que o regem, deve-se obedecer a uma ordem progressiva, que constitui o método da ciência. Nesse sentido, a Física utiliza-se de dois pro-cessos: a observação e a experimentação.

Observação: consiste no exame atento de um fenômeno e na pesquisa das circunstân-cias que o envolvem.

Neste caso, podemos utilizar os nossos sentidos ou instrumentos que aumentem o seu al-cance (microscópio, luneta, telescópio, satélite, balança, amperímetro etc).

Experimentação: consiste em produzir o fenômeno artificialmente, em condições ideais para a observação.

Neste caso, fazemos variar as circunstâncias que rodeiam o fenômeno para verificar quais dessas circunstâncias influem nele. Consideremos, por exemplo, o movimento oscilatório de um pêndulo e algumas circunstâncias que o rodeiam:

Quando os fatores que intervêm direta ou indiretamente numa lei física podem ser avalia-dos quantitativamente, isto é, podem ser medidos, passam a constituir uma grandeza física.

As grandezas físicas são classificadas em escalares ou vetoriais.

Grandezas escalares: são caracterizadas por um número real, positivo ou negativo, a-companhado de uma unidade de medida.

Exemplos: 1) massa (A massa de um corpo é de 3 kg.) 2) volume (O volume de um cubo é de 20 cm3.)

Grandezas vetoriais: são caracterizadas por um número real denominado módulo ou in-tensidade, acompanhado de uma unidade de medida, uma direção e um sentido.

Como exemplo, considere um carro se movimentando numa estrada retilínea, com veloci-dade de 20 km/h.

Para que a grandeza física velocidade fique caracterizada, precisamos conhecer seu mó-dulo, sua direção e seu sentido.

Podemos questionar:

� a massa do pêndulo influi no tempo de oscilação?

� o comprimento do fio influi no período? � a temperatura e a pressão modificam o

fenômeno? � o local onde é realizada a experiência in-

flui no tempo de oscilação?

Neste exemplo, temos:

� módulo: 20 � direção: horizontal � sentido: da esquerda

para direita

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Nem sempre as unidades de medida usadas para medir o comprimento ou a massa de um corpo foram as mesmas em todo o mundo. Até meados do século XX eram usadas diferentes unidades de medida ou padrão. Observe, nos quadros, alguns desses padrões e os países em que eram utilizados.

Unidade de massa

Nome da unidade

Valor aproximado em quilogramas (kg)

Inglaterra e Estados Unidos

libra onça

0,45 0,028

China

pecul 71

Egito

rotolo 0,69

Como cada país fixava o seu próprio padrão, as relações comerciais e as trocas de infor-mações científicas entre os países se tornavam muito difíceis.

Para resolver os problemas oriundos desse fato, foram criados padrões internacionais. Surgiu, assim, o Sistema Internacional de Unidades (SI).

O SI estabelece sete unidades de base, cada uma delas correspondente a uma grandeza.

Grandeza Unidade Símbolo

comprimento metro m

massa quilograma kg

tempo segundo s

intensidade de corrente elétrica ampère A

temperatura termodinâmica kelvin K

quantidade de matéria mol mol

intensidade luminosa candela cd

Unidades de comprimento

Nome da unidade

Valor aproximado em me-tros (m)

Inglaterra e Estados Unidos

jarda polegadas

0,914 0,025

China tsun jin

0,06 58,8

Rússia versta 0,66

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O SI é também denominado MKS, onde as letras M, K e S correspondem às iniciais de três unidades do SI:

Comprimento Massa Tempo

MKS m kg s

Existem ainda dois outros sistemas, o CGS e o MKgfS:

Comprimento Massa Tempo

CGS cm g s

MKgfS m u.t.m. s

u.t.m. = unidade técnica de massa

O correto é usarmos apenas as unidades do SI, mas é comum o emprego, em algumas situações, das unidades dos sistemas CGS e MKgfS. Observações importantes:

1) Quando escritas por extenso, as iniciais das unidades devem ser sempre minúsculas, mes-mo que sejam nomes de pessoas. Exemplo: metro, newton, quilômetro, pascal etc.

2) A unidade de temperatura da escala Celsius, o grau Celsius, é a única exceção à regra. Neste caso, utilizamos a letra maiúscula.

3) Os símbolos representativos das unidades também são letras minúsculas. Entretanto, serão maiúsculas quando estiverem se referindo a nomes de pessoas.

Exemplos:

Unidade ampere newton pascal metro

Símbolo A N Pa m

4) Os símbolos não se flexionam quando escritos no plural. Assim, para indicarmos 10 new-

tons, por exemplo, usamos 10 N e não 10 Ns.

5) As unidades de base, combinadas, formam outras unidades, denominadas unidades deriva-das, que serão estudadas no decorrer de nosso curso.

Algumas unidades do SI são

do SI, já estando amplamente difundidas. Veja no quadro a seguir:

Grandeza Nome S

comprimento

quilômetrodecímetrocentímetromilímetro

tempo

minuto

hora

dia

ângulo plano

grau

minuto

segundo

volume litro

massa tonelada grama

1 - Dê os seguintes valores em unidades do SI:a) 7 km b) 5 min c) 8 h d) 580 cm e) 15 000 mm f) 85 cm g) 600 g h) 4 t i) 3 200 g 2 - Escreva os seguintes valores em unidades do a) 2 km2 b) 0,08 km2 c) 9 000 cm2 d) 12 000 mm2 e) 150 dm2 f) 10 cm2

ão empregadas conjuntamente com outras que ndo SI, já estando amplamente difundidas. Veja no quadro a seguir:

Grandeza Nome Símbolo Valor em unidade do SI

metro

metro

metro

km dm cm

mm

1 km = 1 000 m 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,01 m

1 mm = 0,001 m

min

h d

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 d = 24 h = 86 400 s

ℓ 1 ℓ = 1 dm

tonelada t g

1 t = 1 000 kg 1 g = 0,001 kg

ê os seguintes valores em unidades do SI:

seguintes valores em unidades do SI:

°

’

„

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juntamente com outras que não fazem parte

mbolo Valor em unidade do SI

1 km = 1 000 m 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,01 m

1 mm = 0,001 m

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 d = 24 h = 86 400 s

= 1 dm3 = 10-3 m3

1 t = 1 000 kg 1 g = 0,001 kg

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3 - Transforme em unidades do SI: a) 1 000 cm3 b) 500 ℓ c) 60 dm3 d) 10 ℓ e) 36 km/h f) 1 200 cm/min 4 - Um fenômeno foi observado desde o instante 2 horas e 30 minutos até o instante 7 horas e 45 minutos. Quanto tempo durou esse fenômeno? 5 - (Fuvest-SP) Um livro possui 200 folhas, que totalizam uma espessura de 2 cm. A massa de cada folha é de 1,2 g e a massa de cada capa do livro é de 10 g. a) Qual a massa do livro? b) Qual a espessura de uma folha?

6 - Num campo de futebol não-oficial, as traves verticais do gol distam entre si 8,15 m. Con-siderando que 1 jarda vale 3 pés e que 1 pé mede 30,48 cm, qual a largura, em jardas, que mais se aproxima desse gol?

Na prática, escrevemos o valor de uma grandeza como um número compreendido entre 1 e 10, multiplicado pela potência de 10 conveniente.

Quando um número é representado nesta forma, dizemos que está em notação científi-ca. 1º caso: o número é muito maior que 1. 1 36 000 = 1,36 • 105

5 casas

Exemplos: 1) 2 000 000 = 2 • 106 2) 33 000 000 000 = 3,3 • 1010 3) 547 800 000 = 5,478 • 108

2º caso: o número é muito menor que 1.

0, 000000412 = 4,12 • 10– 7 7 casas Exemplos: 1) 0,0034 = 3,4 • 10– 3 2) 0,0000008 = 8 • 10– 7 3) 0,0000000000517 = 5,17 • 10– 11

O expoente do dez indica o número de vezes que devemos deslocar a vírgu-la para a direita.

O expoente negativo do dez indica o número de vezes que devemos deslo-car a vírgula para a esquerda.

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Veja, no quadro abaixo, algumas grandezas físicas expressas em notação científica:

• velocidade da luz no vácuo = 3 • 108 m/s

• massa de um próton = 1,6 • 10– 24 g

• raio de átomo de hidrogênio = 5 • 10– 9 cm

• número de Avogadro = 6,02 • 1023

Para evitar que se tenha que expressar grandezas muito pequenas ou muito grandes com

o uso de números zeros, o SI contém prefixos que permitem a formação de múltiplos e submúl-tiplos decimais das unidades do SI.

Prefixo Símbolo Fator pelo qual a unidade é multiplicada

tera T 1012 giga G 109

mega M 106 quilo k 103 hecto h 102 deca da 101 deci d 10– 1 centi c 10– 2 mili m 10– 3

micro µ 10– 6 nano n 10– 9 pico p 10– 12

Exemplo:

A distância do Sol até Plutão é de 6 Tm (seis terametros), ou seja, 6 • 1012 m.

7- Escreva os seguintes números em notação científica: a) 3 400 000 b) 700 000 c) 12 000 d) 5 000 000 000 e) 2 000 f) 150 g) 0,001 h) 0,000054 i) 0,0006

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8 - Expresse em notação científica: a) o volume da Terra (1 070 000 000 000 000 000 000 m3) b) o volume do Sol (1 400 000 000 000 000 000 000 000 000 m3) c) o volume da Lua (22 000 000 000 000 000 000 m3) 9 - Expresse em unidades do SI os seguintes valores: a) 1 ns (1 nanossegundo) b) 1 mg (1 miligrama) c) 1 dm (1 decímetro) d) 1 µm (1 micrômetro) 10 - O Escreva em unidades do SI: a) 1 MW (1 megawatt) b) 1,2 GW (1,2 gigawatt) c) 5 Ts (5 terassegundo)

Para fins didáticos, dividimos a Física nas seguintes partes: � Mecânica: estuda o movimento e as condições em que ele se realiza. � Termologia: estuda o calor e suas aplicações. � Acústica: estuda a teoria do som. � Óptica: estuda a luz. � Eletrologia: trata da eletricidade e de suas aplicações. � Física Moderna: estuda a estrutura do átomo, a radioatividade, a teoria da relatividade etc.

Também podemos dividir a Física em Clássica (antes de 1900) e Moderna (após 1900).

A Mecânica pode ser dividida em três partes: � Cinemática: estuda o movimento dos corpos sem considerar suas causas. � Estática: estuda os corpos sólidos ou os fluidos em equilíbrio. � Dinâmica: estuda o movimento dos corpos, considerando suas causas.

Observe, no exemplo a seguir, essas três partes. Considere um carrinho de brinquedo, inicialmente parado, sobre uma mesa.

A parte da Física que estuda em que condições o carrinho fica em repouso é a Estática.

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Empurre o carrinho até que entre em movimento. A parte da Física que estuda o movimento do carrinho sem levar em consideração a sua causa (empurrão) é a Cinemática.

A parte da Física que estuda o movimento levando em consideração a sua causa é a Dinâmica.

6 - Um jardineiro prepara um canteiro em forma de losango, no qual as diagonais medem 3,20 m e 2,40 m. Se eu plantar uma muda de flor por decímetro quadrado, quantas mudas dessa flor plantarei no canteiro todo?

1 - Um ano tem 365,25 dias. Quantos segundos existem em um ano? 2 - Um viajante demorou 3h 50min para ir de uma cidade C1 até uma cidade C2 e demorou o dobro desse tempo para ir de C2 até uma cidade C3. Quanto tempo o viajante demorou para ir de C1 até C3? 3 - Uma certa região do país tem, em média, 10 habitantes por quilômetro quadrado. Se esta região tem área igual a I05 km2, qual é a população que vive nela? 4 - A pressão normal dos pneus de um automóvel, segundo o fabricante, é igual a 28 unidades. O proprietário do automóvel calibra os pneus 10% acima da indicação do fabricante. Qual a pressão, nessas unidades, dos pneus calibrados pelo proprietário? 5 - Qual é, em metros quadrados, a área de um retângulo cuja medida da base é o quádruplo da medida da altura, sabendo-se que a sua área aumenta de 114 m2 quando suas dimensões sofrem um acréscimo de 2 m?

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DEFINIÇÕES E CONCEITOS

A figura mostra um carro que se desloca de uma cidade para outra, por uma estrada muito extensa.

Observe que as dimensões do carro são muito pequenas quando comparadas com o com-primento da estrada. Nesta situação, as dimensões do carro podem ser desprezadas e o carro é dito um ponto material ou partícula.

Suponha agora o mesmo carro do exemplo anterior estacionado numa garagem.

Aqui as dimensões do carro não podem ser desprezadas, pois neste caso elas não são muito menores que as dimensões da garagem. Nesta situ-ação, o carro é dito um corpo extenso.

Para determinar se um corpo se encontra ou não em movimento é necessário ver se a sua posição muda em relação a outros corpos que o rodeiam.

Na figura, vemos um homem sentado na poltrona de um trem que anda para a direita, a-cenando para uma mulher na estação.

Ponto material é todo corpo cujas dimen-sões não interferem no estudo de um de-terminado fenômeno.

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Quando tomamos o trem em movimento como referência, a distância do homem sentado na poltrona, em relação ao trem, não varia. Dizemos que o homem está em repouso em rela-ção ao trem.

Se tomamos como referência a mulher na estação, verificamos que a distância dele em re-lação a ela varia com o tempo. Portanto, dizemos que o homem está em movimento em rela-ção à mulher.

O corpo que tomamos como referência para dizer se um outro corpo está em movimento ou em repouso é denominado referencial.

Do exposto, podemos dizer que:

Note que, no exemplo dado, um mesmo corpo pode estar em repouso ou em movimento,

dependendo do referencial adotado. Portanto, os conceitos de repouso e movimento são relati-vos.

A escolha do referencial é arbitrária, e só depois que ele foi escolhido é que podemos dizer se um corpo está em repouso ou em movimento.

No estudo da Física, quando o referencial não é indicado, fica implícito que é a Terra.

A foto mostra um esquiador em movimento. A marca que o esquiador deixa na neve represen-

ta o caminho percorrido por ele em relação a uma pes-soa parada no solo. Essa marca é denominada trajetó-ria.

A trajetória depende do referencial adotado. Suponha, por exemplo, um avião voando com velocidade constante. Se num certo instan-

te ele abandonar uma bomba, ela cairá segundo uma trajetória vertical em relação às pessoas do avião. Para um observador parado no solo, vendo o avião de lado, a trajetória da bomba será parabólica.

Um corpo está em repouso quando a distância entre este corpo e o re-ferencial não varia com o tempo.

Um corpo está em movimento quando a distância entre este corpo e o referencial varia com o tempo.

Trajetória é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no decorrer do tempo

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De acordo com a trajetória, os movimentos recebem os seguintes nomes: � movimento retilíneo: a trajetória é uma reta; � movimento curvilíneo: a trajetória é uma curva.

Na Cinemática Escalar, estudamos o movimento de um ponto material ao longo da sua trajetória, sem nos preocuparmos com a forma da trajetória. Nesse estudo, vamos considerar a posição do ponto material, a sua velocidade e aceleração como grandezas escalares.

Quando conhecemos a forma da trajetória de um corpo, podemos determinar sua posição no decorrer do tempo através de um único número chamado abscissa do corpo.

Exemplo: Consideremos um corpo se movimentando sobre a trajetória da figura.

Para localizarmos esse corpo num determinado instante, adotamos arbitrariamente um ponto O sobre a trajetória, ao qual chamamos origem das posições, e orientamos a trajetória — por exemplo, positivamente para a direita — a partir de O.

Para conhecer a posição do corpo, num certo instante, precisamos conhecer sua distância em relação ao ponto O.

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Essa posição será positiva, se o corpo estiver à direita da origem, e negativa, se estiver à esquerda.

Costumamos representar a posição de um corpo num dado instante pela letra s.

Na trajetória a seguir, temos:

� a posição do corpo no instante t = 1 h é s = - 4 km; � a posição do corpo no instante t = 2h é s = 3 km.

No estudo da Cinemática não existe preocupação em explicar o movimento mas somente

em descrevê-lo no sentido estritamente geométrico. Este estudo se restringe à escolha de um referencial e ao registro, em termos matemáticos, das sucessivas posições ocupadas por um corpo no decorrer do tempo.

Assim, partindo da posição atual do corpo, num determinado referencial, pode-se determi-nar a sua posição futura no mesmo referencial.

Dados o aqui e o agora do corpo — posição e instante iniciais — para um dado observa-dor, podemos prever o ali e o depois — posição e instante finais — do corpo em relação ao mesmo observador.

Para prevermos o ali e o depois usamos a função horária, que relaciona a posição s ocu-pada pelo corpo com o tempo t.

Toda função horária é do tipo s = f(t). Exemplo: Consideremos um móvel percorrendo a trajetória retilínea indicada na figura, segundo a

função horária s = 2 + 3t. (no SI)

Quando t = 0 → s0 = 2 + 3 • 0 = 2 ∴ s0 = 2 m. Quando t = 4 s → s4 = 2 + 3 • 4 = 14 ∴ s4 = 14 m. Portanto, s0 é a posição do móvel no instante zero e s4 a posição no instante 4 s.

23

Consideremos um móvel percorrendo uma pista circular com 3 m de raio conforme indica a

figura. Suponha que o móvel tenha partido do ponto A e atingido o ponto B, deslocando-se no

sentido anti-horário. A distância percorrida ou o espaço percorrido pelo móvel é igual à metade do comprimento

da circunferência, ou seja, 3π m. A distância entre as posições final (ponto B) e inicial (ponto A) chama-se deslocamento e,

nesse caso, é igual ao diâmetro da circunferência, ou seja, 6 m. Observe que os valores encontrados são diferentes. Portanto, deslocamento e distância

percorrida são conceitos físicos diferentes. O deslocamento ∆s pode ser dado pela diferença entre a posição final sf e a posição inicial

si.

O deslocamento fornece, através do módulo, a distância que se fica do ponto de partida. Informa, também, em que sentido da trajetória o móvel se movimenta.

Assim: � se o movimento for no sentido positivo da trajetória (sf > si ), ∆s será positivo:

∆s = sf - si → ∆s = 40 - 10 = + 30 km O móvel deslocou-se no sentido positivo.

∆∆∆∆s = sf - si

24

� se o movimento for contrário ao sentido positivo da trajetória (sf < si ), ∆s será negativo: ∆s = sf – si → ∆s = 30 - 50 = - 20 km

O móvel deslocou-se no sentido negativo.

Se o móvel mudar de sentido, teremos deslocamentos positivos e deslocamentos negati-vos. Nesse caso, a distância total percorrida (espaço percorrido) é igual à soma dos módulos de cada um dos deslocamentos.

1 - Um carrinho se movimenta do ponto A para o ponto C, e depois para D, descrevendo a tra-jetória da figura. a) Qual a posição inicial do carrinho? E a final? b) Qual o deslocamento efetuado pelo carrinho? c) Quantos metros ele percorreu no total? Resolução a) Se o carrinho parte do ponto A, sua posição inicial é si = - 30 m. A posição final é indicada

pela abscissa do ponto D, que é igual a sf = - 80 m.

b) O deslocamento é dado pela diferença entre as posições final e inicial. ∆s = sf - si → ∆s = - 80 - (-30) → ∆s = - 50 m O deslocamento foi no sentido contrário ao sentido positivo da trajetória. Em módulo, |∆s| = 50 m.

c) A distância total percorrida (espaço percorrido) é dada por: d = AC + CD → d = |100 - (-30)| + | - 80 - 100| → d = 310 m

Respostas: a) si = -30 m; sf = - 80 m; b) ∆s = - 50 m; c) 310 m

25

1 - O que é ponto material?

2 - Quando podemos dizer que um corpo está em movimento?

3 - A forma da trajetória de uma partícula depende do referencial adotado? Dê um exemplo.

4 - O livro que está sobre sua carteira pode estar em movimento? Justifique.

5 - Um parafuso se desprende do alto do mastro de um veleiro que se desloca com velocidade constante, paralelamente à margem de uma lagoa, no sentido indicado na figura. Um observa-dor X, dentro do veleiro, e outro Y, na margem, observam o parafuso caindo. Desenhe as trajetórias do parafuso, vistas pelos observadores X e Y. 6 - Dizemos que os conceitos de movimento e repouso são relativos, pois dependem do siste-ma de referência estabelecido. Com base nisso é correto afirmar que: I) um corpo parado em relação a um referencial pode estar em movimento em relação a outro

referencial. II) um livro colocado sobre uma mesa está em repouso absoluto, pois, para qualquer referen-

cial adotado, sua posição não varia com o tempo. III) em relação a um edifício, o elevador estacionado no terceiro andar está em repouso. Po-

rém, em relação ao Sol, o mesmo elevador encontra-se em movimento. 7 - O que é deslocamento escalar? 8 - A tabela indica a posição de um móvel, no decorrer do tempo, sobre uma trajetória retilínea.

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

s (m) -2 4 10 16 22 28 34 40 46 52

Determine o deslocamento efetuado pelo móvel entre os instantes: a) 0 e 2 s b) 4 s e 9 s

26

9 - A tabela mostra os valores dos instantes t, em segundos, e das posições s, em metros, refe-rentes ao movimento de um ponto material sobre uma trajetória retilínea.

t (s) 0 1 2 3 4 5 6

s (m) 60 40 20 0 - 20 - 40 - 50

a) Verifique se houve mudança de sentido do movimento. b) Qual o espaço percorrido de 0 a 6 s? c) Qual o módulo do deslocamento de 0 a 6 s?

10 - Uma pessoa movimenta-se do ponto A para o ponto C e depois para D, descrevendo a trajetória da figura. a) Qual a posição inicial da pessoa? E a posição final? b) Qual o módulo do deslocamento efetuado pela pessoa? c) Quantos metros ela percorreu no total? 11 - Consideremos um carro percorrendo uma pista circular com 4 m de raio. Determine o des-locamento e o caminho percorrido pelo carro durante: a) 1 de volta 4 b) meia volta c) uma volta d) duas volta 12 - Partindo do ponto A, uma pessoa caminha, passando na ordem, pelos pontos B, C, D, B e E, onde pára. Calcule o espaço percorrido e o deslocamento da pessoa nesse trajeto.

- 120 - 40 0 80 s (m)

B D A C

27

Suponha um carro percorrendo um trecho de estrada entre duas cidades. Sabemos que o carro não mantém sempre a mesma velocidade durante todo o trajeto, isto

é, sua velocidade varia com o tempo. Na prática, para estudar o movimento do carro é interessante conhecer e tratar o movimen-

to de uma forma global e não detalhar esse estudo em cada ponto da estrada. A velocidade escalar média (vm ) é uma informação sobre o movimento global. Para obtê-

la, dividimos a distância total percorrida pelo tempo gasto na viagem. Vejamos um exemplo: Numa viagem de São Paulo a São José dos Campos, um carro percorreu uma distância de

100 km em 2 horas. Então:

vm = → vm= → vm = 50 km/h

E óbvio que durante o trajeto a velocidade do carro, em cada instante, às vezes foi maior, e outras vezes menor do que 50 km/h. A velocidade escalar média representa a velocidade cons-tante que o carro deveria manter para, partindo da mesma posição inicial, chegar à mesma po-sição final gastando o mesmo tempo.

A velocidade escalar média também pode ser definida num intervalo de tempo. Como e-xemplo, vamos considerar um carro percorrendo a trajetória indicada na figura.

Suponhamos que, para percorrer a variação de espaço ∆s = s2 — s1, o carro leve o tempo ∆t = t2 – t1.

Define-se como velocidade escalar média do carro, entre os instantes t1 e t2, a grandeza vm

dada por:

A unidade de velocidade no SI é o metro por segundo, que se indica por m/s. Podemos, também, utilizar o quilômetro por hora (km/h). Observe que:

1º) Se o carro se movimentar no sentido positivo da trajetória, teremos: s1 > s2 → ∆s > 0 ∴∴∴∴ vm > 0

distância total percorrida

tempo gasto no percurso

100 km 2h

vm = = ∆s ∆t

s2 – s1

t2 – t1

28

2º) Se o carro se movimentar no sentido contrário ao sentido positivo da trajetória, teremos: s2 < s1 → ∆s < 0 ∴∴∴∴ vm < 0

2 - Transforme: a) 90 km/h em m/s b) 10 m/s em km/h

Resolução a) Sabemos que 1 km = 100 m e 1h = 60 min = 3 600 s. Portanto, 90 km/h = 90 • 1 000 m = 90 = 25 m/s. 3 600 s 3,6 b) Sabemos que 1 m = 1 km e 1 s = 1 h. 1 000 3 600 1 km Portanto, 10 m/s = 10 • 1 000 = 10 • 3,6 = 36 km/h. 1 h 3 600

Na prática, para transformar km/h em m/s, divi-de-se a expressão por 3,6 e para transformar m/s em km/h, multiplicando-se a expressão por 3,6 Respostas: a) 25 m/s b) 36 km/h

29

3 - Calcule a velocidade média entre os instantes t1 = 1 s e t2 = 2 s de um móvel que realiza um movimento segundo a função horária s = 5 + 4t (SI).

Resolução

s = 5 + 4t

Para t1 = 1 s, temos s1 = 9 m.

Para t2 = 2 s, temos s2 = 13 m.

Então: vm = ∆s = s2 – s1 = 13 – 9 = 4 ∆t t2 – t1 2 – 1 1 vm = 4 m/s Resposta: vm = 4 m/s

13 - Como se determina a velocidade media de um carro da Fórmula 1 durante uma volta com-pleta? 14 - Qual é, em metros por segundo, a velocidade de um carro cujo velocímetro indica 72 km/h? 15 - Transforme 8 m/s em km/h. 16 - Um ciclista percorre 12 m em cada segundo. Qual a sua velocidade em km/h? 17 - Um carro passa pelos pontos A e B de uma estrada, nos instantes indicados na figura. Determine a velocidade escalar média desse carro entre os pontos A e B. 18 - (Unip-SP) O corredor Joaquim Cruz, ganhador da medalha de ouro nas Olimpíadas de Los Angeles, fez o percurso de 800 m em, aproximadamente, 1 min 40s. Determine a velocida-de escalar média no trajeto.

30

19 - (UMC-SP) Um ônibus partiu de São Paulo às 6 horas com destino a Mogi das Cruzes. Permaneceu parado em um grande congestionamento por aproximadamente 20 minutos, che-gando, finalmente, ao seu destino às 7 horas e 30 minutos. Sabendo-se que a distância total percorrida foi de 60 km, calcule a velocidade escalar média do ônibus nessa viagem, em km/h. 20 - Um móvel percorre uma trajetória retilínea obedecendo à função horária s = 3t + 6 (no SI). Determine a velocidade média desse móvel no intervalo de tempo de 1 s a 5 s. 21 - Uma pessoa, andando normalmente, desenvolve uma velocidade de 1 m/s. Que distância essa pessoa percorrerá, andando durante 15 minutos? 22 - (UFRJ) Durante uma viagem entre duas cidades, um passageiro decide calcular a veloci-dade escalar média do ônibus. Primeiramente verifica que os marcos indicativos de quilometra-gem na estrada estão dispostos de 2,0 km em 2,0 km. O ônibus passa por três marcos conse-cutivos e o passageiro observa que o tempo gasto pelo ônibus entre o primeiro e o terceiro marco é de 3 minutos. Calcule a velocidade escalar média do ônibus neste trecho da viagem, em km/h. 23 - (Fuvest-SP) A figura representa a trajetória de um caminhão de entregas que parte de A, vai até B e retorna a A. No trajeto de A a B o caminhão mantém uma velocidade média de 30 km/h; na volta, de B até A, gasta 6 minutos. Qual o tempo gasto pelo caminhão para ir de A até B? Qual a velocidade média do caminhão quando vai de B até A, em km/h? 24 - (UFPel-RS) Um dos fatos mais significativos nas corridas de automóveis é a tomada de tempos, isto é, a medida do intervalo de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito. O melhor tempo obtido no circuito de Susuka, no Japão, pertenceu ao austríaco Gerard Berger, piloto da equipe McLaren, que percorreu os 5 874 m da pista em cerca de 1 min 42s. Com ba-se nesses dados, responda: a) quanto vale o deslocamento do automóvel de Gerard Berger no intervalo de tempo corres-

pondente a uma volta completa no circuito? b) qual a velocidade escalar média desenvolvida pelo carro do piloto austríaco, em sua me-

lhor volta no circuito? Justifique suas respostas. 25 - (Unicamp-SP) Um carro, a. uma velocidade constante de 18 km/h, está percorrendo um trecho de rua retilíneo. Devido a um problema mecânico, pinga óleo do motor à razão de 6 go-tas por minuto. Qual é a distância entre os pingos de óleo que o carro deixa na rua?

31

4 - Um carro percorre a primeira metade de um percurso com a velocidade escalar média de 40 km/h e a segunda metade com a velocidade escalar média de 60 km/h. Determine a veloci-dade escalar média do carro durante todo o percurso.

Resolução

No trecho AM, temos: vm1 = ∆s1 → 40 = AM → ∆t1 = x dd ∆t1 ∆t1 40 No trecho MB, temos: vm2 = ∆s2 → 60 = MB → ∆t2 = x ffffff ∆t2 ∆t2 60 No percurso total AB, temos: vm = ∆s → vm = AM + MB → vm = x + x → vm = 48 km/h ∆t ∆t1 + ∆t2 x + x vvv 40 60 Resposta: A velocidade media em todo o percurso é de 48 km/h.

26- (UFMS) Um carro percorre um trecho de 30 km de uma estrada horizontal retilínea, man-tendo uma velocidade constante de 60 km/h. A seguir, percorre 60 km em linha reta, mantendo uma velocidade constante de 40 km/h. Qual a velocidade escalar média, em km/h, para todo o percurso? 27 - Sejam M e N dois pontos de uma reta, e P o ponto médio de MN. Um homem percorre MP com velocidade constante de 4,0 m/s, e PN com velocidade constante de 6,0 m/s. Determine a velocidade média do homem entre M e N.

32

28 - (Fuvest-SP) Um ônibus sai de São Paulo às 8 horas e chega a Jabuticabal, que dista 350 km da capital, às 11 horas e 30 minutos. No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproxima-damente 45 km, a sua velocidade foi constante e igual a 90 km/h. a) Qual a velocidade média, em km/h, no trajeto São Paulo — Jabuticabal? b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí — Campinas? 29 - (UFOP-MG) Uma partícula está em movimento retilíneo no sentido positivo do eixo x, con-forme a figura abaixo.

a) Se no instante t1 sua abscissa é x1 e no instante t2 sua abscissa é x2, sendo t2 maior que t1, escreva a expressão da velocidade média dessa partícula.

b) Se a partícula percorre o trajeto x1x2, de 60 km, com velocidade média de 60 km/h, e o traje-to x2x3 , de 80 km, com velocidade média de 40 km/h, calcule a velocidade média da partícu-la no trajeto x1x3.

0 x1 x2 x3 x

33

MOVIMENTO UNIFORME

Suponha que você esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do velocímetro fi-que sempre na mesma posição, acusando, por exemplo, uma velocidade de 50 km/h, no decor-rer do tempo.

Nessa condição, você irá percorrer 50 km a cada hora. Então, se em 1 hora você percorre 50 km, em 2 horas percorrerá 100 km, e assim por diante.

Desse modo, o carro percorrerá distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Para que

isso ocorra, a velocidade escalar instantânea do carro deve ser igual à velocidade escalar mé-dia em qualquer intervalo de tempo.

Consideremos agora um carrinho transportando um vasilhame com uma certa quantidade de líquido, em que está instalada uma torneira que pinga gotas desse líquido a intervalos de tempo iguais.

As distâncias entre as marcas deixadas sobre um papel pelas gotas do líquido durante o

movimento do carrinho são iguais. Isso mostra que o carrinho percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Como o carro e o carrinho dos exemplos vistos percorrem distâncias iguais em intervalos

de tempo iguais, dizemos que eles realizam um movimento chamado movimento uniforme (MU).

No movimento uniforme, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais.

34

O movimento da Terra em torno do seu eixo, o movimento dos ponteiros de um relógio e a viagem de uma nave interplanetária são exemplos bem próximos do movimento uniforme.

Na prática, os movimentos não são perfeitamente uniformes. Se a trajetória for retilínea, o movimento é dito movimento retilíneo e uniforme. (MRU).

Conhecidas as características do movimento, vamos agora estabelecer as leis que regem o

movimento uniforme. Se a forma da trajetória for conhecida, essas leis permitem determinar, em cada instante, a posição, a velocidade e a aceleração de um corpo em movimento. Posição em função do tempo [s = f (t)]

Seja um móvel percorrendo com movimento uniforme (velocidade escalar constante igual a v) a trajetória da figura.

Considere:

� s0 = a posição do móvel no instante t0 = 0 � s = a posição do móvel no instante t

A velocidade escalar média do móvel no intervalo de tempo ∆t = t - t0 = t é:

vm = ∆s = s – s0 , onde vm = v = constante ∆t t – t0

v = s – s0 → s – s0 = vt t

, função horária das posições do MU s = s0 + vt

35

Em que: s0 = posição ou espaço inicial v = velocidade t = tempo

A função horária das posições de um móvel em movimento uniforme em relação ao tempo

é função do 1º grau. Essa função permite obter a posição de um móvel em movimento em qualquer instante.

Velocidade em função do tempo [ v = f (t)]

v = f (t) = constante ≠ 0 Isto significa que o móvel tem, em toda a trajetória, a velocidade do início do movimento.

Aceleração em função do tempo [ a = f (t)]

a = f(t) = 0 Isto quer dizer que não existe variação de velocidade durante o movimento.

5 - Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária s = 10 + 2t (no SI). Pedem-se: a) sua posição inicial b) sua velocidade c) sua posição no instante 3 s d) o espaço percorrido no fim de 6 s e) o instante em que o ponto material passa pela posição 36 m f) o esquema do movimento em um eixo orientado

Resolução a) e b) A função horária s = 10 + 2t é do 1º grau. Portanto, o movimento é uniforme.

Então, por comparação: s = 10 + 2t s = s0 + vt s0 = 10 m e v = 2 m/s

c) No instante 3 s → s3 = 10 + 2t = 10 + 2 • 3 = 10 + 6

s3 = 16 m ( posição no instante 3 s) d) No instante 6 s → s = 10 + 2t = 10 + 2 • 3 = 10 + 6

s6 = 22 m (posição no instante 6 s)

O espaço percorrido será calculado por:

∆s = s6 – s0 = 22 – 10 → ∆s = 12 m

e) Quando s = 36 m:

s = 10 + 2t → 36 = 10 + 2t → 2t = 36 – 10 ∴ t = 13 s

36

f)

Respostas: a) s0 = 10 m; b) v = 2 m/s; c) s3 = 16 m; d) ∆s = 12 m; e) t = 13 s; f) vide resolução

30 - Na frase, "O motorista está em movimento retilíneo uniforme", o que significa a palavra retilíneo? E a palavra uniforme? 31 - (Mauá-SP) Ao longo de uma pista de corrida de automóveis existem cinco postos de ob-servação onde são registrados os instantes em que por eles passa um carro em treinamento. A distância entre dois postos consecutivos é de 500 m. Durante um treino registraram-se os tem-pos indicados na tabela.

a) Determine a velocidade média desenvolvida pelo carro, no trecho compreendido entre os postos 2 e 4.

b) É possível afirmar que o movimento do carro é uniforme? Justifique a resposta. 32 - Um móvel desloca-se com movimento retilíneo segundo a lei horárias = 20 + 8t (no SI). Determine: a) a posição inicial do móvel b) a posição do móvel quando t = 5 s c) o instante em que o móvel passa pela posição 100 m d) a distância percorrida pelo móvel durante o 10º segundo e) o módulo do deslocamento e do espaço percorrido pelo móvel no intervalo de 5 s a 20 s 33 - (UFRJ) Um foguete foi lançado da Terra com destino a Marte. Na figura a seguir estão in-dicadas as posições da Terra e de Marte, tanto no instante do lançamento do foguete da Terra, quando no instante de sua chegada a Marte. Observe que, a contar do lançamento, o foguete chega a Marte no instante em que a Terra completa 3 de uma volta em torno do Sol. 4 Calcule quantos meses durou a viagem deste foguete da Terra até Marte.

Posto 1 2 3 4 5

Instante de passagem (s) 0 24,2 50,7 71,9 116,1

Marte no instante da chegada

Terra no instante da chegada

Terra no instante do lançamento

Marte no instante do lançamento

37

34 - A tabela representa as posições ocupadas por um ponto material em função do tempo. O ponto material realiza um movimento retilíneo e uniforme.

a) Escreva a função horária das posições do movimento dessa partícula. b) Qual a posição desse ponto material no instante 50 s? c) Em que instante ele passa pela posição 200 m? 35 - Qual é o movimento de um corpo no qual a velocidade instantânea é sempre igual à velo-cidade média?

6 - Um ciclista A está com velocidade constante vA = 36 km/h, um outro ciclista B o persegue com velocidade constante vB = 38 km/h. Num certo instante, a distância que os separa é de 80 m. a) A partir desse instante, quanto tempo o ciclista B levará para alcançar o ciclista A? b) Determine a posição dos ciclistas quando se encontraram. c) Calcule a distância percorrida pelos dois ciclistas. Resolução a)

sA = s0 + vAt → sA = 80 + 10 t

sB = s0 + vBt → sB = 95 t 9

No encontro: sA = sB → 80 + 10t = 95 t → t = 144 s 9 b) Para achar a posição do encontro devemos substituir t = 144 s em qualquer uma das fun-

ções horárias, pois, nesse instante, as posições dos ciclistas são iguais. Assim:

sA = sB → sB = 95 • t → sB = 95 • 144 = 1 520 m 9 9

c)

∆sA = 1 520 - 80 = 1 440 m ∆sB = 1 520 - 0 = 1 520 m

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

s (m) - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40

0 80 1 520

B

s (m)

A A = B

A

B

38

Respostas:

a) 144 s; b) 1 520 m; c) ∆sA = 1 440 m; ∆sB = 1 520 m

36 - Dois motociclistas A e B percorrem uma mesma pista retilínea representada pelo eixo ori-entado.

No início da contagem dos tempos suas posições são A = 10 m e B = 80 m. Ambos percor-rem a pista no sentido positivo do eixo com velocidades constantes, sendo vA = 30 m/s e vB = 20 m/s. Pedem-se: a) o instante em que A alcança B b) a posição do encontro em relação ao marco zero da pista 37 - Os carros A e B indicados nas figuras têm velocidades constantes e iguais a vA = 30 m/s e vB = 10 m/s. Se ambos se movimentam no sentido positivo da trajetória, calcule, em cada caso, o instante e a posição de encontro desses móveis. a) b)

38 - Dois móveis partem simultaneamente de dois pontos A e B e deslocam-se em movimento uniforme sobre a mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 20 m/s e 15 m/s. Qual a distância inicial entre esses móveis, sabendo que o encontro deles ocorre 50 s após a partida?

39

39 - (PUC-PR) Um caminhão trafegando pela BR 116 em direção a Porto Alegre, passa por Curitiba a uma velocidade de 60 km/h. Trinta minutos depois, pelo mesmo ponto e com o mesmo destino, passa um automóvel com velocidade de 20 m/s. Supondo que os dois veículos mantenham as velocidades constantes, a que distância de Curitiba se dará a ultrapassagem?

7 - Quanto tempo gasta um trem com 400 m de comprimento e velocidade de 20 m/s, para a-travessar um túnel de 1 800 m de comprimento? Resolução A figura representa o início e o término da ultrapassagem.

Considerando o ponto A (traseira do trem) como origem das posições, temos: s = s0 + vt → s = 0 + 20t → s = 20t

Quando o trem atravessa o túnel, a posição do ponto A em relação à origem é (400 + 1 800 = 2 200 m).

Assim:

s = 20 t → 2 200 = 20 t → t = 110 s ou t = 1 min 50s Resposta: 1 min 50s

8 - Dois motociclistas, A e B, partem de um mesmo ponto de uma estrada retilínea e horizontal, com velocidades constantes e iguais a 36 km/h e 108 km/h, respectivamente. Sabendo-se que movem no mesmo sentido e que o motociclista B parte 3 s após a partida de A, determine: a) o instante no qual os dois motociclistas se encontrem após a partida de A b) a posição do encontro

Resolução a)

Este problema envolve uma defasagem de tempo. Ao acionarmos um cronômetro após a partida de A e efetuarmos a leitura do tempo decorrido, teremos:

40

Cronômetro Motociclista A Motociclista B

5 s 5 s ( 5 – 3) s

6 s 6 s ( 6 – 3) s

7 s 7 s ( 7 – 3) s

t t ( t – 3) s

Função que regem os movimentos (MU):

motociclista A motociclista B

s0 = 0 s0 = 0 vA = 36 km/h = 10 m/s com vB = 108 km/h = 30 m/s tA = t tB = (t – 3)

sA = s0 + vAtA sB = s0 + vBtB sA = 10t sB = 30 (t – 3) No encontro, sA = sB → 10t = 30 (t – 3) → t = 4,5 s b) Podemos substituir em sA ou sB . Substituindo t = 4,5 em sA, temos: sE = sA = sB = 10 • 4,5 ∴ sE = 45 m Respostas: a) 4,5 s b) 45 m

40 - (UnB-DF) Qual o tempo gasto para que um trem de metrô de 200 m de comprimento com movimento uniforme e velocidade escalar de 180 km/h atravesse um túnel de 150 m de com-primento? 41 - (ESAL-MG) Um trem viaja por es-trada retilínea com velocidade constante de 36 km/h. Calcule o comprimento do trem, sabendo que ele leva 15 s para atravessar uma ponte de 60 m de com-primento. 42 - Dois móveis, A e B, partem com movimentos uniformes dos pontos indicados na figura.

A B

B A

41

Sabendo que se movem no mesmo sentido, com velocidades vA = 6 m/s e vB = 4 m/s, e que A parte 5 s após a partida de B, determine: a) o instante em que ocorre a ultrapassagem em relação à partida do móvel B b) o instante em que a distância entre eles é de 90 m, em relação à partida de B 43 - (UFBA) Os móveis A, B e C partem de um mesmo ponto, com movimento retilíneo unifor-me, em momentos diferentes. B parte 2 minutos após A, e ambos desenvolvem a mesma velo-cidade. C parte por último, gastando 10 minutos para alcançar B e mais 5 minutos para alcan-çar A. Determine, em minutos, o tempo decorrido entre a partida de A e a de C. 9 - Dois carros, A e B, de comprimentos 4 m e 5 m, percorrem uma mesma estrada retilínea com movimentos uniformes e velocidades constantes e iguais a 25 m/s e 20 m/s, respectiva-mente. Determine o tempo de ultrapassagem, nos seguintes casos: a) eles se movem no mesmo sentido b) eles se movem em sentidos contrários Resolução a) mesmo sentido

Vamos tomar como referência os pontos 1 e 2, cujas posições estão indicadas na figura,

marcando o início e o término da ultrapassagem. Como o movimento é uniforme, as funções são: carro A carro B

s1 = s0 + v1t s2 = s0 + v2t

s0 = 0 s0 = 9 m v1 = 25 m/s com v2 = 20 m/s s1 = 25t s2 = 9 + 20t

Quando termina a ultrapassagem, s1 = s2 . Vide figura. 25t = 9 + 20t → t = 1,8 s

origem início da ultrapassagem término da ultrapassagem

1 2

42

b) sentidos contrários

As funções horárias do movimento são:

carro A carro B

s1 = s0 + v1t s2 = s0 + v2t

s1 = 0 + 25t v2 = - 20 m/s (retrógrado) s1 = 25t s2 = 9 - 20t

Quando termina a ultrapassagem, s1 = s2 . Vide figura. 25t = 9 – 20t → t = 0,2 s

Respostas:

a) 1,8 s b) 0,2 s

44 - (UFU-MG) Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, em movimento retilíneo uni-forme.

Determine: a) o intervalo de tempo para que um trem ultrapasse completamente o outro, a partir da posi-

ção indicada na figura 14,4 s b) o correspondente deslocamento de cada um dos trens

início da ultrapassagem

término da ultrapassagem origem

1 2

43

45 - (Unip-SP) Um trem, de comprimento L = 200 m, em trajetória retilínea, tem velocidade es-calar constante vT = 20 m/s. Um automóvel, de comprimento L’ = 2,00 m, está em uma trajetó-ria paralela à do trem, com velocidade escalar constante vA, caminhando no mesmo sentido de movimento do trem e vai ultrapassá-lo.

O intervalo de tempo decorrido desde o início até o fim da ultrapassagem completa do trem é de 10,1 s. Qual o valor, em km/h, de vA?

46 - (Unitau-SP) No instante t0 = 0, a distância entre dois carros A e B é de 375 km. Eles se movem um ao encontro do outro com velocidades constantes e de módulos respectivamente iguais a 60 km/h e 90 km/h, descrevendo uma mesma trajetória retilínea.

Com a trajetória orientada conforme indica a figura e adotando como origem dos espaços a posição inicial de A, pedem-se: a) as funções horárias dos espaços que descrevem os movimentos dos carros A e B b) o instante em que os carros se encontram c) a posição do ponto de encontro 47 - Dois trens, A e B, de comprimentos iguais a 40 m e 50 m, respectivamente, percorrem li-nhas retilíneas e paralelas com movimentos uniformes e velocidades constantes: vA = 90 km/h e vB = 72 km/h. Determine o tempo gasto durante a ultrapassagem, sabendo que eles se mo-vem em sentidos contrários. 48 - Duas partículas A e B percorrem uma mesma trajetória retilínea com velocidades escala-res constantes e de módulos respectivamente iguais a 3 m/s e 5 m/s.

A distância entre A e B é 20 m e 0 é o ponto médio de AB. A trajetória está orientada de A para B e os sentidos dos movimentos estão indicados na figura. Considere 0 como origem das posi-ções. a) Escreva as funções horárias das posições das partículas A e B. b) Qual o instante em que a distância entre elas é 500 m?

vA

vT

L’ L

44

10 - Um atirador aciona o gatilho de sua arma, que aponta para um alvo fixo na Terra. A veloci-dade da bala ao sair do cano da arma é 660 m/s. Depois de 2 s ele ouve o barulho da bala a-tingindo o alvo. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é 340 m/s, calcule a distância do atirador ao alvo. Resolução

Sejam:

t1 = tempo gasto pela bala para atingir o alvo t2 = tempo gasto pelo som para chegar ao atirador após a bala atingir o alvo x = distância entre o atirador e o alvo Temos: t1 + t2 = 2 → t1 = 2 – t2

● na ida (bala): ● na volta (som): s = s0 + vt s = s0 + vt x = 660t1 1 x = 340t2 2 Igualando-se 1 e 2 , vem: 660t1 = 340t2 → 660 (2 – t2) = 340t2 → t2 = 1,32 s

Substituindo-se em 2 , vem:

x = 340 • 1,32 → x = 448,8 m

Resposta: x = 448,8 m

49 - (UMC-SP) Um tiro é disparado contra um alvo preso a uma grande parede refletora de som. O atirador ouve o eco do disparo 2,5 s depois de disparar o tiro. Supondo que o som viaje no ar com velocidade de 340 m/s, calcule a distância que separa o atirador da parede refletora, em metros. 50 - (Fuvest-SP) Um trecho dos trilhos de aço de uma ferrovia tem a forma e as dimensões dadas abaixo. Um operário bate com uma marreta no ponto A dos trilhos. Um outro trabalha-dor, localizado no ponto B, pode ver o primeiro, ouvir o ruído e sentir com os pés as vibrações produzidas pelas marretadas no trilho.

atirador alvo

x

45

a) Supondo que a luz se propague instantaneamente, qual o intervalo de tempo t decorrido entre os instantes em que o trabalhador em B vê uma marreta e ouve o seu som?

b) Qual a velocidade de propagação do som no aço, sabendo-se que o trabalhador em B, ao ouvir uma marretada, sente simultaneamente as vibrações no trilho?

(Dado: a velocidade do som no ar é de 340 m/s. Para fazer as contas, use π = 3.)

51 - (UFMG) Uma martelada é dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade um indivíduo ouve dois sons, com uma diferença de tempo de 0,18 s. O primeiro se propaga atra-vés dos trilhos, com velocidade de 3 400 m/s, e o segundo através do ar, com velocidade de 340 m/s. Determine, em metros, o comprimento do trilho. 52 - Dois corredores saem ao mesmo tempo para percorrer um determinado trajeto; o primeiro com velocidade constante de 18 km/h, e o segundo com velocidade de 16,5 km/h. O primeiro sofre um acidente em que perde 20 minutos e, em conseqüência desse atraso, os dois chegam juntos no término do trajeto. a) Quanto tempo levaram para percorrer esse trajeto? b) Qual o comprimento do trajeto percorrido? 7 - (Unitau-SP) Numa dada trajetória, um ponto material tem a função horária s = 10 - 2,0t, on-de s é a distância em metros e t é o tempo em segundos. a) Qual a forma da trajetória? b) Qual a posição do ponto material no instante t1 = 3,0 s? c) Qual o instante (t0) em que o ponto material passa pela origem dos espaços? 8 - (Unitau-SP) Um móvel, com velocidade escalar constante, passa pela posição s = 100 m no instante t = 0 e 3,0 s após passar pela posição s = 70 m. Pedem-se: a) a velocidade escalar do móvel b) a função horária das posições c) a classificação do movimento 9 - Em uma estrada observam-se um caminhão e um jipe, ambos correndo no mesmo sentido. Suas velocidades são respectivamente iguais a 54 km/h e 72 km/h. No instante zero, o jipe es-tá atrasado de 100 m em relação ao caminhão. Determine: a) o instante em que o jipe alcança o caminhão b) o caminho percorrido pelo jipe até alcançar o caminhão

3 300 m

3 300 m

510

m 255 m

46

10 - (UFCE) Determine o intervalo de tempo para que um trem de 240 m, com velocidade esca-lar constante de 108 km/h, atravesse completamente um túnel de comprimento 1 980 m. 11 - Os veículos A e B, indicados na figura, têm velocidades constantes iguais a vA = 30 m/s e vB = 10 m/s. Calcule o instante e a posição de encontro desses móveis.

A B

vA vB

- 80 0 220 s (m)

47

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Nos movimentos que observamos diariamente, as velocidades em geral não permanecem constantes, variando, portanto, no decorrer do tempo. São os chamados movimentos variados.

Por outro lado, se num movimento a velocidade variar uniformemente no decorrer do tem-po, isto é, se ocorrerem variações de velocidade sempre iguais em intervalos de tempos iguais, o movimento é denominado movimento uniformemente variado (MUV).

Para que isto ocorra em qualquer intervalo de tempo, a aceleração escalar média deve ser constante, diferente de zero e igual à aceleração escalar instantânea.

Observe a tabela abaixo que registra a velocidade indicada pelo velocímetro de um auto-móvel no decorrer do tempo.

v (km/h) 8 12 16 20 24 28 32

t (s) 0 1 2 3 4 5 6

Note que a partir da velocidade inicial v0 = 8 km/h, a velocidade varia de 4 km/h a cada se-gundo decorrido. Portanto, a aceleração escalar média é igual à aceleração escalar instantâ-nea.

Então esse automóvel executa um movimento uniformemente variado.

No caso de a trajetória ser retilínea, o movimento é denominado movimento retilíneo unifor-memente variado (MRUV).

am = a = constante ≠ 0

am = a = ∆v ∆t a = 12 – 8 1 – 0 a = 4 km/h s

Movimento uniformemente variado é aquele em que a velocidade escalar é variável e a aceleração escalar é constante e não-nula.

48

Vamos estudar agora as funções que permitem a descrição matemática de um movimento uniformemente variado.

Velocidade em função do tempo [v = f (t)]

Seja um móvel percorrendo, com movimento uniformemente variado, a trajetória da figura.

Sejam:

� v0 = a velocidade do móvel no instante t0 = 0 � v = a velocidade do móvel no instante t A aceleração média do móvel no intervalo de tempo ∆t = t – t0 = t é: am = ∆v = v – v0, onde am = a = constante ∆t t – t0 a = v – v0 → v – v0 = at → t

Em que: v0 = velocidade inicial; a = aceleração e t = tempo.

Observe que esta função é do 1º grau em relação a t. 11 - Um ponto material em movimento adquire velocidade que obedece à expressão v = 10 - 2t (no SI). Pedem-se: a) a velocidade inicial b) a aceleração c) a velocidade no instante 6 s d) o instante em que o ponto material muda de sentido e) a classificação do movimento (acelerado ou retardado) no instante 4 s Resolução

A função v = 10 - 2t é do 1º grau. Portanto, o movimento é uniformemente variado. Logo, por comparação: v = 10 - 2t v = v0 + at a) v0 = 10 m/s b) a = - 2 m/s2

v0 v

t t0 = 0

v = v0 + at

49

c) Quando t = 6 s → v = 10 - 2t = 10 - 2 • 6 = 10 - 12 v = - 2 m/s (Tem sentido contrário ao sentido da trajetória.)

d) O ponto material muda de sentido quando v = 0. v = 10 - 2t → 0 = 10 - 2t → t = 5 s

Observe o quadro:

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v (m/s) 10 8 6 4 2 0 - 2 - 4 - 6 - 8

sentido do positivo sentido contrário da trajetória (v > 0) muda de sentido ao positivo da trajetória (v < 0) e) Quando t = 4 s → v = 10 • 2t → v = 10 – 2 • 4 v = 2 m/s Mas: a = - 2m/s2 (constante)

Portanto: Sendo v > 0 e a < 0 o movimento é retardado (velocidade e aceleração têm sinais contrários).

Respostas: a) v0 = 10 m/s b) a = - 2 m/s2 c) v = - 2 m/s d) t = 5 s e) retardado 12 - Partindo do repouso, um avião percorre a pista com aceleração constante e atinge a velo-cidade de 360 km/h, em 25 s. Qual o valor da aceleração em m/s2?

Resolução

Se o avião parte do repouso, sua velocidade inicial é v0 = 0. Após 25 s, a velocidade final do avião é v = 360 km/h =100 m/s. Assim: v = v0 + at → 100 = 0 + a • 25 a = 4 m/s2

Resposta: 4 m/s2 53 - Um carro percorre um trecho retilíneo de uma estrada e sua velocidade varia com o tempo de acordo com a tabela.

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

v (m/s) 14 18 22 22 22 22 22 20 18 15 11 a) Em quais intervalos de tempo a aceleração é positiva? E negativa? b) Em que intervalo de tempo a aceleração é nula? c) Em quais intervalos o movimento do carro é uniformemente variado?

50

54 - O que caracteriza um movimento uniformemente variado? E um movimento variado qual-quer? 55 - A velocidade de um móvel no decorrer do tempo é indicada pela tabela seguinte:

t (s) 0 2 4 6 8 10 12

v (m/s) 40 30 20 10 0 - 10 - 20

Qual a função horária da velocidade desse móvel?

56 - Um ponto material em movimento retilíneo adquire velocidade que obedece à função v = 15 - 3t (no SI). Pedem-se: a) a velocidade inicial b) a aceleração c) a velocidade no instante d) o instante em que o ponto material muda de sentido e) a classificação do movimento (acelerado ou retardado) nos instantes 3 s e 7 s 57 - Um móvel leva 5 s para passar da velocidade de 30 m/s para 60 m/s em movimento uni-formemente variado. Calcule sua aceleração escalar. 58 - (UNIU-Passo Fundo-RS) Uma pessoa estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 72 km/h, quando acionou os freios e parou em 4,0 s. Determine a aceleração imprimida à motocicleta pelos freios. 59 - (ESPM-SP) Partindo do repouso, um avião percorre a pista com aceleração constante e atinge a velocidade de 432 km/h, em 20 s. Qual o valor da aceleração em m/s2? 60 - Classifique as seguintes sentenças em verdadeiras ou falsas. a) No movimento acelerado, a aceleração tem o mesmo sinal da velocidade. b) No movimento retardado, a aceleração tem sinal oposto ao da velocidade. c) No movimento retilíneo uniformemente variado, a aceleração é variável. 61 - Um móvel pode inverter o sentido do seu movimento quando sua aceleração for constante e positiva? Caso a resposta seja afirmativa, dê um exemplo. Caso seja negativa, explique por quê.

Posição em função do tempo [s = f (t)]

Seja um móvel percorrendo, com movimento uniformemente variado, a trajetória da figura. Sejam:

• s0 = a posição do móvel no ins-tante t0

= 0 • v0 = a velocidade do móvel no

instante t0 = 0 • s = a posição do móvel no instan-

te t • v = a velocidade do móvel no ins-

tante t • a = a aceleração

+

51

O gráfico da função v = v0 + at é uma reta (é função do 1º grau).

A área do trapézio fornece o espaço percorrido ∆s no intervalo de tempo ∆t = t – t0. Portanto:

∆s = v + v0 • t 2 Mas: v = v0 + at ∆s = s – s0

Substituindo-se, vem: s – s0 = v0 + at + v0 • t → s – s0 = 2v0 + at • t → s – s0 = v0t + at2

2 2 2

Observe que esta função é do 2º grau em relação a t.

Aceleração em função do tempo [a = f (t)]

a = f (t) = constante ≠ 0 Portanto, a aceleração (variação da velocidade) em todo o percurso é a mesma do início

dele. 13 - Um móvel desloca-se sobre uma reta segundo a função horária s = - 15 - 2t + t2 (no SI). Calcule: a) o tipo do movimento (MU ou MUV) b) a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração c) a função v = f (t) d) o instante em que o móvel passa pela origem das posições

Resolução a) A função horária s = - 15 - 2t + t2 é do 2º grau, portanto o movimento é uniformemente

variado. b) Por comparação: s = -15 - 2t + 1 • t2 s = s0 + v0t + 1 • at2 → s0 = -15 m (no instante t = 0 o móvel estava a 15 m da origem) 2 v0= - 2 m/s 1 • a = 1 → a = 2 m/s2

2 c) v = v0 + at → v = - 2 + 2t

d) Na origem das posições (s = 0): s = - 15 – 2t + t2 → 0 = - 15 – 2t + t2

s = s0 + v0t + 1 • at2

2

52

Resolvendo a equação, temos: t = 5 s

Em Cinemática só consideramos tempo positivo.

Respostas: Vide resolução

62 - Considere as seguintes funções horárias das posições, em que s é medido em metros e t, em segundos: I) s = 20 + 6t + 5t2 II) s = - 40 + 2t – 4t2 III) s = - 8t + 2t2 IV) s = 70 + 3t2 V) s = t2 Determine, para cada uma dessas funções: a) a posição e a velocidade iniciais b) a aceleração c) a função horária da velocidade 63 - Um móvel percorre uma trajetória retilínea em movimento uniformemente variado, con-forme indica a figura.

No instante inicial (t = 0) sua velocidade é de 10 m/s em movimento retardado de acelera-ção 2 m/s2. a) Escreva as funções s = f (t) e v = f (t) desse movimento. b) Qual a posição e a velocidade escalar do móvel no instante t = 8 s? 64 - Uma partícula movimenta-se sobre uma reta, e a lei horária do movimento é dada por s = - 4 + 5t + 6t2, com s em metros e t em segundos. a) Qual a aceleração da partícula? b) Qual o instante em que a partícula passa pela origem das posições? c) Qual a velocidade da partícula no instante 10 s? 65 - Um móvel desloca-se sobre uma reta, obedecendo à função horária s = 6 - 5t + t2 (no SI). Determine: a) a função v = f(t) b) o instante em que o móvel inverte o sentido do seu movimento c) o espaço percorrido entre os instantes 4 s e 9 s 66 - Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária s = 20 + 15t - 2t2 (noSI). Classifique o movimento em acelerado ou retardado, nos instantes: a) 3 s b) 8 s

s0 = 15 m

t = 0 + 0

v0 = 10 m/s2

53

67 - Um ciclista tem uma aceleração constante de 2 m/s2 e parte do repouso. a) Que velocidade tem após 8 s? b) Que distância percorreu em 8 s? c) Qual sua velocidade média durante os primeiros 8 s? d) Quantos metros o ciclista percorreu até o instante

em que sua velocidade atinge 30 m/s? 68 - (UFPR) Dois móveis, A e B, partem simultaneamente de um mesmo ponto, com direções perpendiculares entre si. O móvel A tem velocidade constante igual a 10 m/s e o móvel B, mo-vimento uniformemente acelerado, partindo do repouso com aceleração de 4 m/s2. Determine a distância entre os dois móveis após 5 s de movimento. 69 - Um ponto material parte do repouso e percorre, em linha reta, 120 m em 60 s, com acele-ração constante. Calcule sua velocidade no instante 60 s. 70 - (UFMS) Um motorista conduz seu carro em uma rua, com velocidade de 72 km/h. Em um dado instante, ele percebe que a rua está fechada, a 106 m de sua posição atual. Imediata-mente ele freia o carro, provocando uma aceleração de - 5 m/s2. A quantos metros do ponto em que a rua está fechada o carro irá parar? 71 - (PUCCAMP-SP) Um veículo em movimento retilíneo uniformemente variado percorre a distância de 60 m, que separa dois pontos, A e B, em 5,0 s. Sabendo-se que a velocidade escalar em A era de 10 m/s, pedem-se: a) a velocidade escalar em B b) a aceleração escalar 14 - Um automóvel está parado diante de um semáforo. Imediatamente após o sinal ter aberto, um caminhão o ultrapassa com velocidade constante de 20 m/s. Nesse exato instante, o mo-torista do automóvel arranca com uma aceleração de 4 m/s2 em perseguição ao caminhão. a) Após quanto tempo o automóvel alcançará o caminhão? b) Quanto terá percorrido o automóvel?

Resolução

a) As funções horárias do movimento são:

● automóvel (MUV):

sA = s0A + v0A t + 1 • aA t2 → sA = 0 + 0 + 1 • 4 • t2 → sA = 2t2

2 2 ● caminhão (MU)

sC = s0C + vCt → sC = 0 + 20t → sC = 20t

Quando o automóvel alcança o caminhão, temos:

sA = sC → 2t2 = 20t → 2t2 – 20t = 0 →

c) sA = 2t2 → sA = 2 • 102 → sA = 200 m

Respostas: a) 10 s b) 200 m

t = 0 (não satisfaz) t = 10 s

54

72 - (UFMG) No instante em que um sinal de trânsito muda para o verde, um carro que estava parado arranca com uma aceleração constante de 0,50 m/s2. Nesse instante, um ônibus ultra-passa o carro com uma velocidade constante de 8,0 m/s. Ambos se movimentam em uma linha reta. a) Determine a que distância do sinal estarão o ônibus e o carro, depois de 20 s. b) Calcule o tempo que o carro levará para alcançar o ônibus. 73 - Um carro e um caminhão partem do repouso no mesmo instante, estando o carro a uma determinada distância atrás do caminhão. O carro acelera a 3 m/s2 e o caminhão a 2 m/s2. O carro alcança o caminhão após percorrer 37,5 m. a) Quantos metros o carro estava atrás do caminhão? b) Quais as velocidades do carro e do caminhão quando um alcança o outro? 74 - (Fuvest-SP) Um trem freou quando sua velocidade escalar era de 9,0 km/h e parou em 4,0 s. a) Qual a sua aceleração escalar (desaceleração), suposta constante? b) Quanto ele andou até parar? 75 - Um trem é constituído de uma locomotiva e de um vagão, cada um com 12 m de compri-mento. A locomotiva gasta 1 s para passar diante de um observador à beira da estrada e o va-gão gasta 2 s. Admitindo que o movimento do trem seja uniformemente variado, determine a intensidade da aceleração do trem.

Temos até agora duas funções que nos permitem saber a posição do móvel e a sua veloci-

dade em relação ao tempo. Torna-se útil encontrar uma fórmula que possibilite conhecer a ve-locidade de um móvel sem saber o tempo.

55

A fórmula de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida eliminando-se o tempo entre as funções horárias da posição e da velocidade.

s = s0 + v0t + at2 2 v = v0 + at 2

Isolando-se o tempo t na segunda igualdade:

t = v – v0

a

Substituindo-se na primeira, vem: s = s0 + v0 • v – v0 + 1 • a a 2 s – s0 = v0v – v0

2 + 1a • v2 – 2vv0 + v02

a 2 a2

s – s0 = v0v – v02 + v2 – 2vv0 + v0

2 1 a 2a

Reduzindo-se ao mesmo denominador:

2a (s – s0) = 2v0v – 2v02 + v2 – 2vv0 + v0

2

2a (s – s0) = - v02 = v2

v2 = v02 + 2a (s – s0)

Em que:

v = velocidade final

v0 = velocidade inicial

a = aceleração

∆s = variação do espaço

15 - Determine a aceleração que deve ter um móvel para que adquira a velocidade de 144 km/h ao percorrer 50 m, partindo do repouso. Resolução

v = 144 km/h = 40 m/s

Dados: ∆s = 50 m v0 = 0 Aplicando a fórmula de Torricelli, temos: v2 = v0

2 + 2a∆s → 402 = 0 + 2 • a • 50 → a = 16 m/s2

)

1

v – v0 a

2

v2 = v02 + 2a∆s

(

Resposta: 16 m/s2

56

76 - Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de 10 m/s2. Um motociclista de-seja percorrer uma distância de 500 m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velo-cidade de 100 m/s. Determine que velocidade inicial deve ter o motociclista para atingir esse objetivo. 77 - Determine a aceleração de um corpo que, partindo do repouso, se move em movimento uniformemente acelerado por 2,4 s, percorrendo 28,8 m. 78 - (UFPE) Um carro viaja a 72 km/h e, de repente, o motorista pisa no freio. Sabendo que a máxima desaceleração que o freio produz é 4,0 m/s2, calcule: a) a distância mínima que o carro percorre até parar b) o intervalo de tempo mínimo para o carro parar 79 - (UFPE) Uma bala, que se move a uma velocidade escalar de 200 m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, é desacelerada uniformemente até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco, se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10 cm? 80 - (OMEC) Um carro, partindo do repouso, move-se com aceleração escalar constante e per-corre, em 10 s, a distância de 100 m. Calcule a sua velocidade escalar ao final dos 10 s. 81 - Um móvel percorre uma trajetória retilínea, em relação a um dado sistema de referência, com movimento uniformemente variado.

Ao passar pelo ponto A, sua velocidade é de 2 m/s; no ponto B, sua velocidade é de 6 m/s. Sabendo que a distância BC é o dobro de AB, calcule a velocidade do móvel ao atingir o ponto C. 82 - (FEI-SP) Um veículo, de 5,0 m de comprimento, penetra em um túnel com velocidade es-calar de 54 km/h, deslocando-se com movimento uniformemente variado. Passados 10 s, o veículo sai do túnel com velocidade escalar de 72 km/h. Qual o comprimento do túnel, suposto retilíneo? 83 - (Unesp-SP) Um jovem afoito parte com seu carro, do repouso, numa avenida horizontal e retilínea, com uma aceleração constante de 3 m/s2. Mas, 10 s depois da partida, ele percebe a presença da fiscalização logo adiante. Nesse instante ele freia, parando junto ao posto onde se encontram os guardas. a) Se a velocidade máxima permitida nessa avenida é 80 km/h, ele deve ser multado? Justifi-

que. b) Se a frenagem durou 5 s com aceleração constante, qual a distância total percorrida pelo

jovem, desde o ponto de partida ao posto de fiscalização?

57

84 - (UFAC) Um veículo parte de um ponto A para um ponto B e gasta 40 s nesse percurso, com uma aceleração de 3 m/s2 e velocidade inicial de 4 m/s. Qual a distância entre os pontos A e B? 12 - Um carro, partindo do repouso, move-se com aceleração constante e percorre, em 20 s, a distância de 100 m. Calcule a sua aceleração e velocidade ao final dos 10 s. 13 - Um motorista está viajando com velocidade constante de 72 km/h quando percebe que o semáforo fica vermelho. O tempo gasto até que o motorista freie, devido a seus reflexos nervo-sos, é de 0,4 s, e o carro pára após 4 s. a) Qual é a desaceleração da frenagem? b) Se o início do cruzamento dista 60 m do ponto em que o motorista avista o semáforo ver-

melho, o automóvel conseguirá parar antes do semáforo? 14 - Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando 0,50 m/s2. Nesse instante passa por ele outro ciclista, B, com velocidade constante de 5,0 m/s, e no mesmo sentido que o ciclista A. a) Depois de quanto tempo após a largada o ciclista A alcança o ciclista B? b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B? 15 - (UECE) Um automóvel desloca-se numa estrada reta com velocidade constante de 36 km/h. Devido a um vazamento, o carro perde óleo à razão de uma gota por segundo. O mo-torista pisa no freio, introduzindo uma aceleração constante de retardamento, até parar. As manchas de óleo deixadas na estrada, durante a freada, estão representadas na figura.

Calcule o módulo da aceleração de retardamento do automóvel.

16 - (UEMA) Um trem viajando a uma velocidade escalar de 54 km/h pára em um intervalo de tempo de 1 minuto após a aplicação dos freios. Considere o movimento do trem, durante a fre-ada, uniformemente retardado. Calcule, durante a freada: a) a aceleração escalar do trem b) a distância percorrida pelo trem 17 - (Cesgranrio-RJ) Um automóvel partindo do repouso leva 5,0 s para percorrer 25 m em movimento uniformemente variado. a) Qual a velocidade escalar média neste percurso? b) Qual a velocidade escalar final?

movimento uniforme carro sob a ação dos freios

58

18 - (PUC-PR) Um trem parte do repouso em uma ferrovia plana e retilínea, mantendo uma aceleração constante de módulo igual a 2,0 m/s2, durante os primeiros 40 s. Em seguida, ele continua se deslocando durante 10 s com velocidade constante. Depois, freia-se o trem com uma aceleração constante de módulo igual a 4,0 m/s2, até pará-lo. Calcule a distância total per-corrida pelo trem desde o início até o fim de seu movimento. 19 - (UFPel-RS) Um atleta, treinando para competir nas Olimpíadas, desenvolve o movimento mostrado na figura abaixo durante os 2 s iniciais da corrida de 100 m.

Observando a ilustração, responda às questões seguintes e justifique suas respostas. a) Quanto vale a aceleração do atleta durante o intervalo de tempo de observação? b) Supondo que o atleta mantenha o mesmo tipo de movimento durante mais 1 s, qual a sua

posição, em relação ao ponto de largada, no instante t = 3,0 s?

QUEDA DOS CORPOS

Largando, de uma mesma altura, uma pena e uma pedra, observamos que a pedra cai primeiro.

Devido a isso, pensamos que os corpos mais pesdos caem mais depressa que os mais leves. No entanto, a seguinte experiência mostra que isso não é verdade.

Usando uma bomba de sucção, podemos contido num recipiente chamado tubo de Newton e, dese modo, obter o vácuo. Assim, podemos verificar que uma pedra e uma pena, largadas da mesma altura, lvam o mesmo tempo para cair, se não houver resistência do ar.

Essa experiência mostra que todos os corpos, independentemente de sua massa ou forma, quando em queda livre, caem com a mesma aceleração

A acelera

tical e dirigida para baixo. O valor da aceleração da gravidade varia de ponto para ponto na superfície da Terra e diminui com a altitude. Seu valor médio ao nível do mar é 9,8 m/s

Para facilitar os cdo g = 10 m/s

Queda livre significa cair no vque a influência do ar não afete o movimento.

Fotografia estroboscde duas esferas de pesos diferentes em queda livre, largadas simultaneamente da mesma altura.

QUEDA DOS CORPOS

Largando, de uma mesma altura, uma pena e uma pedra, observamos que a pedra cai primeiro.

Devido a isso, pensamos que os corpos mais pesa-dos caem mais depressa que os mais leves. No entanto,

ência mostra que isso não é verdade. ção, podemos retirar o ar

contido num recipiente chamado tubo de Newton e, des-se modo, obter o vácuo. Assim, podemos verificar que uma pedra e uma pena, largadas da mesma altura, le-

mo tempo para cair, se não houver resistência

ue todos os corpos, inde-pendentemente de sua massa ou forma, quando em queda livre, caem com a mesma aceleração g.

A aceleração g, denominada aceleração da gravidade, é sempre vecal e dirigida para baixo. O valor da aceleração da gravidade varia de

ponto para ponto na superfície da Terra e diminui com a altitude. Seu dio ao nível do mar é 9,8 m/s2.

Para facilitar os cálculos, usaremos, muitas vezes, o valor aproximdo g = 10 m/s2.

Queda livre significa cair no vácuo, de forma que a influência do ar não afete o movimento.

Fotografia estroboscópica de duas esferas de pesos diferentes em queda livre, largadas simultaneamente da mesma altura.

ar

g →

59

da gravidade, é sempre ver-cal e dirigida para baixo. O valor da aceleração da gravidade varia de

ponto para ponto na superfície da Terra e diminui com a altitude. Seu

vezes, o valor aproxima-

ácuo, de forma

vácuo

Na prática, se um corpo tem um tamanho pequeno, sua queda no ar, num percurso taqueno, pode ser considerada uma queda livre, pois a resistência do ar é desprezível.

Para mostrar como se calcula a acelera

gravidade vamos observar a experiência seguinte.Largamos um corpo a uma certa altura da su

perfície da Terra e fotografamos a sua queda com uma lâmpada especial, chamada estroboscópica, que pisca a cada 0,2 s, permitindo obter a seqüência de fotos indicada na figura.

Construindo o gráfico da posição em função do tempo do movimento, obtemos uma pará

bola. Portanto, o movimento é uniformemente variado.

Para determinar a aceleração de

inicial é nula (o corpo é largado do repouso). Assim obtemos, para a aceleração,dio próximo de 9,8 m/s2.

Esta é a aceleração com que os corpos caem próximos à superfície da Terra.

t (s) s (m)

0,2 0,20

0,4 0,78

0,6 1,76

0,8 3,14

1 4,88

1,2 7,10

1,4 9,6

1,6 12,56

1,8 15,85

2 19,58

Galileu Galilei realizou uma s

chegou às conclusões que se seguem.• Todos os corpos, independentemente de sua massa, forma ou tamanho, caem com

a mesma aceleração. • A distância percorrida por um corpo em queda livre é proporcional ao quadrado do

tempo gasto para percorrê2º grau.

ática, se um corpo tem um tamanho pe-no ar, num percurso também pe-

queno, pode ser considerada uma queda livre, pois a resistência do ar é desprezível.

Para mostrar como se calcula a aceleração da gravidade vamos observar a experiência seguinte.

Largamos um corpo a uma certa altura da su-ície da Terra e fotografamos a sua queda com

uma lâmpada especial, chamada estroboscópica, que pisca a cada 0,2 s, permitindo obter a se-qüência de fotos indicada na figura.

áfico da posição em função do tempo do movimento, obtemos uma parábola. Portanto, o movimento é uniformemente variado.

ção desse movimento vamos usar s = 1 • at 2

é nula (o corpo é largado do repouso). Assim obtemos, para a aceleração,

é a aceleração com que os corpos caem próximos à superfície da Terra.

(m) a (m/s2)

0,20 10,00

0,78 9,76

1,76 9,78

3,14 9,80

4,88 9,76

7,10 9,86

9,6 9,79

12,56 9,81

15,85 9,78

19,58 9,79

Galileu Galilei realizou uma série de experiências sobre a queda livre dos corpos e chegou às conclusões que se seguem.

independentemente de sua massa, forma ou tamanho, caem com

A distância percorrida por um corpo em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo gasto para percorrê-la, isto é, a função horária das posições s = f (t) é do

60

áfico da posição em função do tempo do movimento, obtemos uma pará-

• at2, pois a velocidade

é nula (o corpo é largado do repouso). Assim obtemos, para a aceleração, um valor mé-

é a aceleração com que os corpos caem próximos à superfície da Terra.

érie de experiências sobre a queda livre dos corpos e

independentemente de sua massa, forma ou tamanho, caem com

A distância percorrida por um corpo em queda livre é proporcional ao quadrado do la, isto é, a função horária das posições s = f (t) é do

61

Se a aceleração da gravidade é constante e a função horária das posições é de 2º grau, decorre que a queda livre é um MRUV e, portanto, são válidas para a queda livre todas as fun-ções e conceitos válidos para o MRUV.

Um corpo lançado verticalmente para cima realiza,

durante a subida, um movimento retilíneo uniformemente retardado, pois o módulo de sua velocidade diminui no decorrer do tempo. 16 - Um corpo é lançado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de 20 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s2, pedem-se: a) a função s = f (t) b) a função v = f (t) c) o tempo gasto pelo corpo para atingir a altura máxima d) a altura máxima atingida em relação ao solo e) o tempo gasto pelo corpo para retornar ao solo f) a velocidade do corpo ao tocar o solo g) os gráficos s = f (t) e v = f (t) Resolução a) Adotaremos como positiva a trajetória para cima: o movimento em questão é um MUV.

Substituindo, temos: s = s0 + v0t + 1 • gt2 → s = 20t - 5t2

2

v0 = 20 m/s s0 = 0 g = - 10 m/s2

62

b) v = v0 + gt → v = 20 - 10t

c) Na altura máxima (v = 0): v = 20 – 10t → 0 = 20 - 10t ∴ t = 2 s d) Substituindo t = 2 s em s = 20t - 5t2, temos: s = 20 • 2 - 5 • 22 → s = 40 - 20 ∴ s = 20 m e) No solo (s = 0), retorna à origem: s = 20t - 5t2

→ 0 = 20t - 5t2 → 0 = 5t (4 - t) → (t = 0 não satisfaz porque é o instante do lançamento) f) Substituindo t = 4 s em v = 20 - 10t, temos:

v = 20 – 10 • 4 → v = 20 - 40 v = - 20 m/s (negativa porque é contrária ao sentido positivo adotado)

Observe que: • tempo de subida = tempo de descida • velocidade de saída = velocidade de chegada (em módulo) g) Tabelando as funções s = f (t) e v = f (t), podemos mostrar o que

ocorre com esse movimento. Respostas: a) s = 20t - 5t2; b) v = 20 - 10t; c) 2 s; d) 20 m; e) 4 s; f) - 20 m/s; g) vide resolução.

t s v

0 0 20

0,5 8,75 15

1 15 10

2 20 0

t = 4s t = 0

63

17 - Um helicóptero está subindo verticalmente com velocidade constante de 20 m/s e encon-tra-se a 105 m acima do solo, quando dele se solta uma pedra. Determine o tempo gasto pela pedra para atingir o solo. Adote g = 10 m/s2. Resolução

Quando o piloto abandona a pedra, ela sai com a mesma velocidade do helicóptero.

s = s0 + v0t + 1 • gt2 → s = 105 + 20t - 5t2

2 Quando a pedra atinge o solo, s = 0. Logo:

0 = 105 + 20t - 5t2→ t2 - 4t - 21 = 0→

Resposta: t = 7 s

85 - Faça as seguintes experiências. a) Segure uma folha do seu caderno sobre a palma da mão esquerda e o caderno sobre a

palma da direita, conservando os dois à mesma altura do chão. Abandone os dois ao mesmo tempo. Qual dos dois objetos chega primeiro ao solo?

b) Repita a experiência com duas folhas de papel iguais. Qual delas chega primeiro ao solo? Repita a experiência várias vezes.

c) Amasse uma das folhas até formar uma bola. Agora solte-as simultaneamente de uma mesma altura. Qual delas chega primeiro ao solo?

d) Pegue um caderno e coloque uma folha de papel sobre ele e solte-os simultaneamente. Qual dos dois chega primeiro ao solo?

e) Pegue uma caneta e uma borracha e solte-os simultaneamente de uma mesma altura. Qual dos dois objetos chega primeiro ao solo?

Que conclusão você tira dessas experiências? 86 - Explique em que consiste a queda livre. 87 - Quando se lança um corpo do solo, verticalmente para cima, no vácuo, ele passa duas vezes por um mesmo ponto da trajetória: uma na subida e outra na descida. Em qual dessas vezes o módulo da velocidade do corpo é maior? 88 - Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s. Des-prezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s2, calcule: a) o tempo gasto pelo corpo para atingir a altura máxima b) a altura máxima em relação ao solo c) a velocidade ao tocar o solo d) os instantes em que o corpo se encontra a 40 m do solo

t = 7s t = - 3 s (não serve)

64

89 - De um ponto situado a 80 m acima do solo, uma partícula é lançada verticalmente para cima, com uma velocidade de 42 m/s. Adotando g = 10 m/s2, determine: a) o tempo de subida b) a altura máxima atingida em relação ao solo c) o tempo gasto para atingir o solo 90 - (UFRJ) Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima e, 4,0 s após, retorna ao ponto de lançamento. Considere a resistência do ar desprezível e g = 10 m/s2. Calcule a altura máxima atingida pela pedra. 91 - Uma bola, ao ser jogada verticalmente para cima, atinge uma altura de 125 m. Sabendo-se que a aceleração da gravidade no local vale 10 m/s2, determine o tempo de permanência da bola no ar. 92 - Um balão está subindo à razão de 15 m/s e encontra-se a uma altura de 90 m acima do solo, quando dele se solta uma pedra. Quanto tempo leva a pedra para atingir o solo? Admita g = 10 m/s2. 93 - (UFPel-RS) Uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade de módulo igual a 54 km/h, a partir de um ponto P, situado 20 m acima do solo. De-termine: a) o tempo, após o lançamento, necessário para a pe-

dra atingir a altura máxima b) o tempo, após o lançamento, necessário para a pe-

dra atingir o solo c) o deslocamento sofrido pela pedra em um intervalo

de tempo de 3,0 s, a partir do instante do lançamen-to Considere g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.

94 - (EFEI-MG) A velocidade de um projétil lançado verticalmente para cima varia de a-cordo com o gráfico da figura ao lado. Deter-mine a altura máxima atingida pelo projétil, considerando que este lançamento se dá num local onde o campo gravitacional é diferente do da Terra.

65

Um corpo lançado verticalmente para baixo realiza um movimento retilíneo uniformemente acelerado, pois o módulo de sua velocidade au-menta no decorrer do tempo. 18 - Um corpo é abandonado do alto de uma torre de 125 m de altura em relação ao solo. Des-prezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s2, pedem-se: a) a função s = f (t) b) a função v = f (t) c) o tempo gasto para atingir o solo d) a velocidade ao atingir o solo Resolução

a) Adotaremos a trajetória para baixo: é um MUV

Substituindo:

s = s0 + v0t + 1 • gt2 → s = 0 + 0t + 1 • (10) • t2 → s = 5t2

2 2

b) v = v0 + gt → v = 0 + 10t → v = 10t

c) No solo, s = 5t2 → 125 = 5t2 → t = ± 5 ∴ t = 5 s

d) Para = 5 s, temos: v = 10t → av = 10 • 5 → v = 50 m/s

Respostas: a) s = 5t2; b) v = 10t; c) t = 5 s; d) v = 50 m/s

s0 = 0 v0 = 0 g = 10 m/s2

66

19 - No instante em que um corpo é abandonado de um ponto a 400 m acima do solo, ura ou-tro é lançado do solo, no sentido ascendente, seguindo a mesma vertical. Determine a veloci-dade inicial do segundo corpo para que encontre o outro a 320 m do solo. Admita g = 10 m/s2. Resolução Fazendo uma figura, temos:

Corpo A Corpo B s0 = 400 m s0 = 0 v0 = 0 v0 = ? sA = s0 + v0 t + 1 • gt2 sB = s0 + v0 t + 1 • gt2 2 2 sA = 400 – 5t2 sB = v0 t – 5t2

No encontro, sA = sB = 320 m. Assim: 320 = 400 – 5t2 → t2 = 16 → t = ± 4s → t = 4s 320 = v0 t – 5t2 → 320 = v0 • 4 -5 • 42 → v0 = 100 m/s

Resposta: 100 m/s 95 - Como você poderia calcular a altura de uma colina, estando no cume e dispondo de uma pedra e um cronômetro? 96 - (UFAL) Uma esfera de aço cai, a partir do repouso, em queda livre, de uma altura de 80 m acima do solo. Despreza-se a resistência do ar e adota-se g = 10 m/s2. Calcule: a) o tempo de queda da esfera até o solo b) o módulo da velocidade de chegada da esfera ao solo 97 - (ESPM-SP) Uma pedra é abandonada do topo de um prédio e gasta exatamente 5 s para atingir o solo. Qual a altura do prédio? Considere g = 10 m/s2. 98 - Um corpo, inicialmente em repouso, cai verticalmente, atingindo o solo com velocidade escalar de 40 m/s. Considerando g = 10 m/s2 e desprezando o efeito do ar, calcule: a) a altura, relativa ao solo, de onde caiu o corpo b) o tempo de queda

A

A

A A

B

B

B B

B

B B B

67

99 - Do alto de uma montanha de 178,45 m de altura, lança-se uma pedra verticalmente para baixo, com velocidade inicial de 20 m/s. a) Qual a velocidade com que a pedra atinge o chão? b) Quanto tempo leva a pedra para atingir o chão? 100-Uma pedra é largada do alto de uma montanha de 500 m de altura. Considere g = 10 m/s2.

a) Quanto tempo ela demora para cair os primeiros 80 m? b) Depois de quanto tempo ela estará a 95 m do solo? 101 - (Unicamp-SP) Uma torneira, situada a uma altura de 1,0 m acima do solo, pinga lenta-mente à razão de 3 gotas por minuto. a) Com que velocidade uma gota atinge o solo? b) Que intervalo de tempo separa as batidas de 2 gotas consecutivas no solo? Considere,

para simplificar, g = 10 m/s2. 102 - Um pára-quedista, quando a 120 m do solo, deixa cair uma bomba. Esta leva 4 s para atingir o solo. Qual a velocidade de descida do pára-quedista? Adote g = 10 m/s2. 103 - (PUC-SP) Em 1969, o astronauta americano Neil Armstrong realizou, na superfície da Lua, a experiência da queda livre de corpos diferentes no vácuo, anteriormente proposta por Galileu. Deixou cair ali uma pena e um martelo, simultaneamente, a partir da mesma posição. a) O que observou ao final da queda? b) Supondo que ambos os objetos tenham sido soltos de uma altura de 1,6 m em relação à

superfície, depois de quanto tempo o martelo alcançaria o solo? (Dado: aceleração da gravidade na Lua ≅1,6 m/s2.) 104 - Um pequeno objeto é largado do 15º andar de um edifício, passando, 1 s após o lança-mento, pela janela do 14º andar. Por qual andar ele passará 2 s após o lançamento? Admita g = 10 m/s2 e despreze o atrito com o ar. 105 - Deixa-se cair uma pedra num poço, ouvindo-se o som do choque contra o fundo 4,25 s após ter-se soltado a pedra. Considerando-se a velocidade do som no ar 320 m/s e g = 10 m/s2, determine a pro-fundidade do poço.

68

106 - Do alto de uma torre deixamos cair duas pedras, a segunda 0,2 s depois da primeira. Sa-bendo que g = 10 m/s2, responda: a) após quanto tempo, em relação ao lançamento da primeira, a distância entre elas será de

1 m? b) no momento em que a distância entre elas é de 1 m, qual a velocidade de cada pedra? 107 - Dois móveis, P e Q, são lançados verticalmente para cima, com a mesma velocidade ini-cial de 40 m/s, do topo de um edifício de 20 m de altura. O móvel Q é lançado 2 s após o lan-çamento do móvel P. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s2, calcule: a) o instante em que os móveis se encontram a partir do instante em que o primeiro foi lança-

do. b) as velocidades de P e Q nesse instante

20 - Um foguete é lançado verticalmente de uma base. Ao atingir uma altura de 480 m, o com-bustível do primeiro estágio acaba e ele é desacoplado do foguete. Nesse instante sua veloci-dade é de 100 m/s. Usando g = 10 m/s2, calcule o módulo da velocidade com que o primeiro estágio atingirá o solo. 21 - (UFPE) Numa experiência grosseira para se determinar o módulo g da aceleração da gra-vidade, uma bola foi arremessada verticalmente para cima e sua altura de elevação foi 4,5 m. O intervalo de tempo entre o instante de partida e o instante de retorno ao ponto de lançamento foi de 2,0 s. Baseado nesta experiência, determine, desprezando o efeito do ar: a) o módulo da velocidade inicial de lançamento da bola b) o valor de g

22 - (UFPel-RS) Uma pedra é lançada verticalmente para cima, retornando ao ponto de lança-mento 60 s após. Qual o tempo que a pedra gastará para atingir pela primeira vez 2 de sua altura máxima? Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2. 3

23 - (Mack-SP) Um corpo A é disparado verticalmente para cima a partir de um ponto do solo. Em seguida, um outro corpo B também é disparado do mesmo ponto, verticalmente para cima, porém com velocidade igual à metade da do corpo anterior. a) Qual a razão entre os tempos de subida de A e B (tA/tB)? b) Qual a razão entre as alturas máximas atingidas por A e B (HA /HB)? 24 - (Unicamp-SP) Um malabarista de circo deseja ter 3 bolas no ar em todos os instantes. Ele arremessa uma bola a cada 0,40 s. (g = 10 m/s2) a) Quanto tempo cada bola fica no ar? b) Com que velocidade inicial deve o malabarista atirar cada bola para cima? c) A que altura se elevará cada bola acima de suas mãos? 25 - (UCG) Uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Conside-rando a aceleração da gravidade local constante e de módulo g = 10 m/s2, desprezando a força de resistência do ar e sabendo que a bola gasta 2,0 s para retornar ao ponto de partida, calcule o valor de v0 e a altura máxima atingida.

69

26 - (UFPE) A figura a seguir mostra a vari-ação, com o tempo, da velocidade escalar de uma bola jogada verticalmente para o alto, no instante t = 0, em um planeta des-conhecido e sem atmosfera. a) Qual o valor da aceleração da gravida-

de no local? b) Qual a altura máxima atingida pela bo-

la? 27 - Um nadador pula verticalmente de um trampolim de 10 m de altura. Determine sua velocidade ao atingir a água. Adote g = 10 m/s2.

70

FORÇA E MOVIMENTO

Os princípios que serão estudados a seguir constituem os três pilares em que se assenta a

Mecânica clássica, isto é, as três leis de Newton relativas ao movimento. Essas leis formam a base de um método de investigação de um grande número de pro-

blemas, num vasto campo de aplicações. Utilizadas em conjunto, elas permitem, por exemplo, determinar a velocidade, a aceleração

e a posição de um corpo em função do tempo, conhecidas as forças que atuam nesse corpo. Permitem, também, determinar as forças que atuam em um corpo, conhecidas a aceleração, a velocidade ou a posição desse corpo em função do tempo.

Portanto, vamos estudar as relações entre movimento e forças através das três leis de Newton.

Todo corpo que não se encontra sob a ação de forças não sofre variação de velocidade. Is-to significa que, se ele está parado, permanece parado; se está em movimento continua em movimento, mantendo sempre a mesma velocidade.

Este princípio, formulado por Newton, é conhecido como princípio da inércia e pode ser in-terpretado da seguinte forma: todos os corpos são "preguiçosos" e não desejam modificar seu estado de movimento; se estão em movimento, querem continuar e, se estão parados, não de-sejam se mover. Essa "preguiça" é chamada pelos físicos de inércia.

O princípio da inércia pode ser observado no movimento de um carro. Quando o carro ar-ranca a partir do repouso, os passageiros tendem a se deslocar para trás, resistindo ao movi-mento. Da mesma forma, quando o carro em movimento freia, os passageiros se deslocam para a frente, tendendo a continuar com a velocidade que possuíam.

Carro acelerando. Carro freando.

É devido à inércia que, ao saltarmos verticalmente da carroceria de um caminhão em movimento, caímos num ponto que, em relação à carroceria, é o mesmo de onde saltamos. Isto se justifica porque, ao abandonarmos o veículo, possuímos, por inércia, a mesma veloci-dade horizontal do caminhão.

As figuras a seguir mostram outros exemplos do princípio da inércia.

71

Carro numa curva. Choque com um obstáculo.

Do exposto podemos dizer que:

A afirmação de que um corpo parado permanece parado se sobre ele não agir nenhuma força pode facilmente ser compreendida e observada no dia-a-dia.

Já a afirmação de que um corpo em movimento mantém velocidade constante se, sobre ele, atuarem forças, é menos intuitiva.

Para comprovar isso, Galileu lançou uma bolinha sobre um plano horizontal e verificou que ela parava após percorrer poucos metros, mesmo que, aparentemente, nenhuma força estives-se atuando sobre ela (o empurrão cessou).

Na realidade, é uma força de freamento, chamada atrito, que faz com que a bolinha pare. Polindo o plano horizontal para diminuir o atrito, Galileu observou que a bolinha se movi-

mentava durante um percurso maior depois que o empurrão cessava. No caso de o atrito não existir ou ser reduzido ao mínimo, a bolinha continuaria sempre em

movimento retilíneo e com a mesma velocidade com que foi lançada, verificando-se o princípio da inércia.

Navegando no espaço, uma nave não encontra atrito e, por isso, não tem necessidade de motor. Pelo princípio da inércia, depois do lançamento a nave continua a se mover em linha reta com a velocidade com que foi lançada.

Inércia é a propriedade da matéria de resistir a qualquer variação no seu estado de movimento ou de repouso.

O princípio da inércia é válido para os referenciais chamados são fixos em relação às estrelas distantes ou se movem com velocidade constante em relação a elas, isto é, possuem aceleração vetorial nula.

Para movimentos de pequenatos de rotação da Terra e considerar sua velocidade como constante durante o movimento de translação. Nessas condições, a Terra pode ser considerada um referencial inercial.

108 - O que é inércia? 109 - Por que, ao viajar em pé em um ônibus, um passageiro procura um ponto de apoio quado o ônibus arranca ou freia? 110 – Por que o cavaleiro é jogado para frente quando o cavalo pára bruscamente, recusandose a pular o obstáculo?

A experiência nos mostra que uma mesma força produzirá diferentes aferentes corpos. Uma mesma força provoca uma aceleração maior numa bola de tênis do que num automóvel, isto é, quanto maior a massa de um corpo mais força será produzir uma dada aceleração.

Para compreender melhor este fato, considere as seguintes experiências.

1ª experiência: imagine que se apliquem forças resultantes sucessivas Fmesmo corpo e que essas forças produzam, respectivamente, aceleração a

Verifica-se que: F1 = F2 = ... = Fn = k → F = k a1 a2 an a

ípio da inércia é válido para os referenciais chamados inerciais. são fixos em relação às estrelas distantes ou se movem com velocidade constante em relação a elas, isto é, possuem aceleração vetorial nula.

Para movimentos de pequena duração (menor que 24 horas) podemos desprezar os efeTerra e considerar sua velocidade como constante durante o movimento de

translação. Nessas condições, a Terra pode ser considerada um referencial inercial.

Por que, ao viajar em pé em um ônibus, um passageiro procura um ponto de apoio qua

Por que o cavaleiro é jogado para frente quando o cavalo pára bruscamente, recusando

A experiência nos mostra que uma mesma força produzirá diferentes aferentes corpos. Uma mesma força provoca uma aceleração maior numa bola de tênis do que num automóvel, isto é, quanto maior a massa de um corpo mais força será

Para compreender melhor este fato, considere as seguintes experiências.

imagine que se apliquem forças resultantes sucessivas Fessas forças produzam, respectivamente, aceleração a

→ →

→ →

→

72

inerciais. Tais referenciais são fixos em relação às estrelas distantes ou se movem com velocidade constante em relação

ção (menor que 24 horas) podemos desprezar os efei-Terra e considerar sua velocidade como constante durante o movimento de

translação. Nessas condições, a Terra pode ser considerada um referencial inercial.

Por que, ao viajar em pé em um ônibus, um passageiro procura um ponto de apoio quan-

Por que o cavaleiro é jogado para frente quando o cavalo pára bruscamente, recusando-

A experiência nos mostra que uma mesma força produzirá diferentes acelerações sobre di-ferentes corpos. Uma mesma força provoca uma aceleração maior numa bola de tênis do que num automóvel, isto é, quanto maior a massa de um corpo mais força será necessária para

Para compreender melhor este fato, considere as seguintes experiências.

imagine que se apliquem forças resultantes sucessivas F1, F2, ... Fn a um essas forças produzam, respectivamente, aceleração a1, a2, ... an.

→ → →

→ → →

→

73

Esta relação mostra que, duplicando a força resultante aplicada, a aceleração duplica; tri-plicando a força, a aceleração triplica e assim sucessivamente.

Desse modo, para corpos de mesma massa a aceleração é dire-tamente proporcional à força resultan-te aplicada e tem a mesma direção e o mesmo sentido que ela. 2ª experiência: aplique agora a mesma força resultante F em corpos com massas diferentes.

Esta experiência nos mostra que, duplicando a massa do corpo, a ace-leração fica dividida por dois; tripli-cando a massa, a aceleração fica dividida por três e assim sucessivamente.

Assim, quanto maior a massa do corpo, menor é a aceleração que ele adquire. Logo, a massa e a aceleração são grandezas inversamente proporcionais.

m1a1 = m2a2 = ... = mnan = F

Note que o produto da massa pela aceleração é igual a uma constante que é a própria for-ça aplicada.

Das duas experiências, conclui-se que a constante k mede a resistência que o corpo opõe ao ser acelerado, isto é, mede a inércia do corpo. A constante k é denominada massa inercial do corpo (k = m).

Como exemplo, podemos verificar que aplicando forças iguais a um carro cheio de passa-geiros e a esse mesmo carro vazio, o primeiro leva mais tempo a atingir certa velocidade e demora mais tempo para parar. Dizemos que o carro cheio de passageiros tem mais inércia do que o carro vazio, isto é, opõe mais resistência ao ser acelerado.

Resumindo essas duas experiências, Newton estabeleceu a sua 2ª lei: o princípio funda-mental da Dinâmica, definido através da fórmula:

Nesta fórmula: F é a resultante de todas as forças que agem sobre o corpo m é a. massa do corpo a é a aceleração adquirida

Massa de um corpo é a medida da sua inércia.

A aceleração de um corpo é diretamente proporcional à força resultante que age sobre o corpo, inversamente proporcional à massa do corpo e

tem a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante.

m a →

F →

F = ma ou →

→

F = ma

em módulo

74

De uma forma mais simples, podemos enunciar:

A unidade de força no SI é o newton (N), que corresponde à força necessária para acelerar a massa de 1 kg a 1 m/g2.

F = ma →

No sistema CGS a unidade de massa é o grama (g), a unidade de aceleração é o centíme-

tro por segundo ao quadrado (cm/s2) e a unidade de força é o dina (dyn).

A relação entre o newton e o dina é:

20 - O bloco da figura ura tem massa igual a 4 kg e encontra-se em repouso sobre um plano horizontal liso. Num determinado instante, aplicam-se sobre ele duas forças horizontais constantes F1 e F2, de intensidades 30 N e 10 N, respectivamente. Determine a intensidade, a direção e o sentido da aceleração adquirida pelo bloco.

Resolução Dados: A força resultante que age sobre o bloco tem as seguintes características:

FR = F1 - F2 → FR = 30 - 10 → FR = 20 N (horizontal e para a direita)

Utilizando a 2ª lei de Newton, temos: FR = ma → 20 = 4 • a → a = 5 m/s2 (horizontal e para a direita)

A resultante das forças que agem sobre um ponto material é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida.

1 N = 1 kg • 1 m/s2

1 dyn = 1 g • 1 cm/s2

1 N = 105 dyn

→ →

m = 4kg F1 = 30 N F2 = 10 N

Resposta: 5 m/s2, horizontal e para a direita

75

111 - Se um corpo não tem aceleração, podemos dizer que não atua força alguma sobre ele? 112 - (FEI-SP) Qual o valor, em newtons, da resultante das forças que agem sobre uma massa de 10 kg, sabendo-se que a mesma possui aceleração de 5 m/s2? 113 - O gráfico mostra o módulo da aceleração de um carrinho em função do módulo da força que lhe é aplicada. Qual a massa do carrinho? 114 - No espetáculo de circo o palhaço se coloca diante de uma mesa coberta com uma toalha. Sobre a toalha estão pratos e talheres. O palhaço puxa a toalha rapidamente, retirando-a da mesa, mas os pratos e talheres continuam sobre a mesa. Que lei de Newton explica esse fato? 115 - Qual das frases é a correta? a) Se um corpo está em movimento, certamente nele está agindo alguma força. b) Se a resultante das forças que agem num corpo é nula, o corpo está em equilíbrio. 116 - Os corpos das figuras possuem massas iguais a 0,5 kg e estão sob a ação exclusiva de duas forças F1 e F2. a) b) Em cada caso, calcule a aceleração resultante do corpo. 117 - Um corpo de 2,0 kg de massa é submetido à ação simultânea e exclusiva de duas forças de intensidades iguais a 6 N e 8 N, respectivamente. Determine o menor e o maior valor possí-veis para a aceleração desse corpo.

→ →

76

118 - Um corpo de massa igual a 2,0 kg, que pode desli-zar sobre uma superfície plana, está sujeito a um sistema de forças, representado na figura. Sabendo que sobre o corpo não atua nenhuma outra for-ça, qual a aceleração escalar do corpo? 119 - Uma força constante F é aplicada num corpo de 0,2 kg, inicialmente em repouso. A velo-cidade do corpo é de 72 km/h, após 20 s contados a partir da atuação de F. Calcule a inten-sidade dessa força. 120 - Um corpo de 20 kg de massa movimentava-se no sentido positivo do eixo x com veloci-dade de 8 m/s, no instante em que se aplicou uma força F de intensidade 40 N, conforme indi-ca a figura. a) Qual a velocidade do corpo ao fim de 3 s após a aplicação da força F? b) Em que instante o corpo inverte o sentido do movimento? c) Qual a velocidade do corpo após ter percorrido 12 m sob a ação dessa força? 121 - Uma força horizontal, constante, de 40 N age sobre um corpo colocado num plano hori-zontal liso. O corpo parte do repouso e percorre 400 m em 10 s. Qual é a massa do corpo? 122 - Um corpo de massa igual a 5 kg move-se com velocidade de 10 m/s. Qual a intensidade da força que se deve aplicar nele de modo que após percorrer 200 m sua velocidade seja 30 m/s? 123 - (EEM-SP) Um automóvel trafegando a 72 km/h leva 0,5 s para ser imobilizado numa fre-ada de emergência. a) Que aceleração, suposta constante, foi aplicada no veículo? b) Sabendo que a massa do automóvel é 1,6 • 103 kg, qual a intensidade da força que foi a

ela aplicada em decorrência da ação dos freios? 124 - (FESP-PE) A figura a seguir é reproduzida de uma fotografia estroboscópica tirada com intervalos de 0,5 s e as distâncias estão medidas em metros.

→

→

→

→

→

77

Trata-se de um corpo de 0,25 kg de massa que parte do repouso do ponto A. a) Qual a aceleração do corpo? b) Com que velocidade o corpo passa pelo ponto B = 9 m? c) Calcule a velocidade média com que o corpo se deslocou do ponto A ao ponto B. d) Determine a força que atua sobre o corpo. 125 - Uma força horizontal F1 imprime à massa m uma aceleração de 0,6 m/s2 e à massa M uma aceleração de 0,2 m/s2. Que aceleração imprimiria aos dois corpos juntos?

O peso de um corpo é a força de atração exercida pela Terra sobre ele.

Para obtermos a expressão matemática da força peso, consideramos um corpo de massa m caindo em queda livre perto da superfície da Terra.

Se o corpo cai em queda livre ele possui uma aceleração a igual à da gravidade g. Assim, podemos usar o princípio fundamental da Dinâmica para obter a força que age sobre esse corpo. Essa força, chamada força peso P, é dada por:

O peso de um corpo é uma grandeza vetorial que tem

direção vertical e sentido para o centro da Terra. A força peso é uma força que atua à distância. Por is-

so, dizemos que em torno da Terra há uma região cha-mada campo gravitacional, na qual todos os corpos so-frem sua influência.

Dentro desse campo, os corpos são atraídos por essa força peso e sofrem variações de velocidade, em virtude de terem adquirido aceleração.

Como a aceleração da gravidade num ponto é in-versamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao centro da Terra, e como os pontos de sua su-

P = mg ou, em módulo, P = mg

Peso de um corpo é a força com que a Terra o atrai.

→ →

A maçã cai, atraída pela Terra.

→

→ →

→

→

78

perfície não estão à mesma distância do centro da Terra — pois existem variações que vão desde 393 m abaixo do nível do mar (Mar Morto), a 8 848 m acima do nível do mar (Monte E-verest) — concluímos que no topo de uma montanha um corpo pesará menos do que ao nível do mar.

Por outro lado, como a Terra é achatada nos pólos, um homem pesará mais no Pólo Norte que no Equador.

Em torno de qualquer planeta ou satélite existe um campo gravitacional. Por isso, podemos falar em peso de um corpo na Lua ou em Marte, por exemplo.

A unidade de peso no SI é o newton (N). Podemos ainda utilizar o quilograma-força (kgf), que é uma unidade de força muito usada pela indústria.

A relação entre o quilograma-força e o newton é: P = mg → 1 kgf = 1 kg • 9,8 m/s2 →1 kgf = 9,8 kg • m/s2 → A massa de um corpo é uma grandeza constante, isto é, não depende do local onde é me-

dida. Já o peso de um corpo é variável, isto é, depende do local onde é medido. 21 - Na superfície da Terra a aceleração da gravidade vale 9,8 m/s2 e, na superfície da Lua 1,6 m/s2. Para um corpo de massa igual a 4 kg, calcule: a) o peso na superfície da Terra b) o peso na superfície da Lua Resolução

a) Na superfície da Terra, temos: m = 4 kg e g = 9,8 m/s2 Logo, P = mg →P = 4 • 9,8 → P = 39,2 N

b) Na superfície da Lua, temos: m = 4 kg e g = 1,6 m/s2 Logo, P = mg → P = 4 • 1,6 → P = 6,4 N

Respostas:

a) 39,2 N; b) 6,4 N

1 kgf é o peso de um corpo de 1 kg de massa num local em que a aceleração da gravidade é igual a 9,8 m/s2.

1 kgf = 9,8 N

79

126 - Represente o peso dos corpos A, B, C e D indicados na figu-ra. 127 - A massa de um garoto é 40 kg. Determine o peso do garoto: a) na superfície da Terra, onde g = 9,8 m/s2 b) num ponto distante da Terra, onde g = 5 m/s2 c) na Lua, onde g = 1,6 m/s2 128 - A aceleração da gravidade na superfície de Júpiter é de 30 m/s2. Qual a massa de um corpo que na superfície de Júpiter pesa 120 N? 129 - Transforme: a) 490 N em kgf b) 20 kgf em N 130 - (Vunesp-SP) Se o quilograma padrão for transportado de Paris, onde a aceleração da gravidade vale g (valor normal), para uma altitude onde a aceleração da gravidade vale G, per-gunta-se: a) o peso do quilograma padrão vai se modificar? b) havendo modificação, qual o seu novo peso? c) qual será a massa do corpo no novo local?

Newton afirmava que toda força que atua num corpo tem que resultar da interação dele com outro corpo, isto é, se uma força atua num corpo deve haver um outro corpo que está na origem dessa força.

Se no corpo A atua a força F,

tem de haver um outro corpo qualquer, próximo ou distante, que atue em A.

Se esse outro corpo é a mão

B, então o corpo A exerce uma força – F na mão.

Newton não se limitou, porém, à verificação desse fato. Além disso: � admitiu que à força que o corpo B exerce sobre A (ação) corresponde sempre uma res-

posta (reação), isto é, uma outra força desse corpo A sobre o primeiro, B; � enunciou o princípio da ação e reação:

→

→ →

→

→

80

Observe que as forças de ação e reação estão sempre aplicadas em corpos diferentes, por

isso não se anulam. Qualquer uma das forças pode ser considerada a "ação" e a outra a "reação". Causa e efei-

to não estão implícitos aqui, mas sim uma interação mútua e simultânea. Como exemplos do princípio da ação e reação, temos: 1) Suponha dois garotos A e B sobre patins, conforme indica a figura. Se A empurrar B, verifica-se que ambos se movimentam, mas em sentidos contrários. Quando A aplica em B a força FA,B , o corpo B reage e aplica em A uma força FB,A. 2) Seja um corpo próximo à superfície da Terra. Esta exerce sobre ele força peso (P). Pelo princípio da ação e rea-ção, o corpo também exerce sobre a Terra uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário ( - P). 3) O acrobata A exerce uma força de compressão F igual ao seu peso, sobre o acrobata B. O acrobata B reage e exerce sobre A uma força N de reação que, por ser perpendicular às superfícies de contato, é chamada de reação normal do apoio. F = - N = PA, sendo PA o peso do acrobata A.

Sempre que um corpo B exerce uma força sobre um corpo A, este reage exercendo em B uma outra força, de mesma intensidade e direção, mas de sentido contrário.

FB,A FA,B

→

→

→

→ →

→

→

→ → → →

→ →

→

→

P

P

→

→

81

22 - Em cada caso, represente as forças horizontais que agem nos corpos das figuras. a) b)

Resolução a) Isolando as figuras horizontais, temos:

As forças que agem sobre o fio são chamadas forças de tração b)

As forças que agem sobre a mola são chamadas forças de compressão. Respostas: Vide resolução.

Homem puxando o fio. Homem comprimindo a mola.

fio, parede

parede, fio homem, fio

fio, homem

mola, parede

parede, mola

mola, homem

homem, mola

82

23 - Consideremos um corpo de massa igual a 6 kg em repouso sobre um plano horizontal per-feitamente liso. Aplica-se uma força horizontal F = 30N sobre o corpo conforme a figura. Admitindo-se g = 10 m/s2, determine: a) a aceleração do corpo b) a reação do plano de apoio

Resolução a) Isolando o corpo, temos:

P = força peso NA = reação normal do apoio

Dados: Pelo princípio fundamental da Dinâmica, temos: � Na horizontal:

F = ma 1

� Na vertical:

NA – P = 0 2 (não há movimento na vertical)

De 1 :

F = ma → 30 = 6a → a = 5 m/s2

b) De 2 : NA = P → NA = mg → NA = 6 • 10 → NA = 60 N

Respostas: a) a = 5 m/s2 b) NA = 60 N

24 - Consideremos um corpo de massa igual a 2 kg inicialmente em repouso sobre um plano horizontal perfeitamente liso. Sobre o corpo passa a atuar uma força F de intensidade 16 N, conforme indica a figura. Admitindo-se g = 10 m/s2 e √ 3 ≅ 1,7, determine: a) a aceleração do corpo b) a reação normal do plano de apoio

m = 6 kg F = 30 N

→

83

Resolução a) Isolando o corpo, temos:

Dados:

Decompondo F nos eixos x e y, temos: Fx = F • cos 60° = 16 • 1 = 8 N 2 Fy = F • sen 60° = 16 • √ 3 = 8√ 3 N = 13,6 N 2 Aplicando o princípio fundamental da Dinâmica, vem: � Na horizontal: Fx = ma 1 � Na vertical: NA + Fy – P = 0 2 De 1 : Fx = ma → 8 = 2a → a = 4 m/s2

b) De 2 : NA + Fy – P = 0 → NA = P – Fy = mg – Fy → NA = 2 • 10 – 13,6 NA = 6,4 N Respostas: a) a = 4 m/s2 b) NA = 6,4 N

131 - Isole as forças que agem sobre os corpos A, B e C das figuras. a) b)

m = 2 kg F = 16 N

→

132 - Utilizando o princípio da ação e reação, explique os seguintes movimentos:

133 - É possível fazer um barco à vela se movimentar, utilizando um ventilador potente colocdo dentro dele e próximo à vela? Se a resposta for afirmativa, explique como. 134 - Embora desprovidos de nadadeiras, alguns moluscos e medusas se movem no mar cocerta precisão, admitindo e expelindo água de forma conveniente. Formule uma explicação físca para seu movimento e indique a lei ou princípio físico em que você se baseou 135 - (UFPel-RS) No livro Viagem ao cseguinte afirmação: "Vovó diz que a força de atração dos astros puxa todos os corpos para o centro deles. Quando a gente joga para o ar uma laranja, a laranja sobe até certa altura e dpois volta. Que é que a faz voltar? Justamente a força de atração que puxa todos os corpos para o centro deles (astros). Enquanto a força que jogou a laranja é maior queção que puxa a laranja, a laranja sobe; quando a força de atração se torna maior, a laranja cai". Leia atentamente o texto acima e responda às questões seguintes.a) Na afirmação feita por Pedrinho há um erro físico.

Identifique e cite esse erro. b) Observe a laranja que foi lan

cima e, ainda subindo, está passando na posição motrada na figura. Desenhe os vetores velocidade ( v ), aceleração ( a ) e resultante das forças (am na laranja, na posição ilustrada. Identifique mente os vetores desenhados com as notações v, a R sugeridas na questão.

→

→

Utilizando o princípio da ação e reação, explique os seguintes movimentos:

É possível fazer um barco à vela se movimentar, utilizando um ventilador potente colocdentro dele e próximo à vela? Se a resposta for afirmativa, explique como.

Embora desprovidos de nadadeiras, alguns moluscos e medusas se movem no mar coão, admitindo e expelindo água de forma conveniente. Formule uma explicação fís

para seu movimento e indique a lei ou princípio físico em que você se baseou

Viagem ao céu, de Monteiro Lobato, o personagem Pedrinho faz seguinte afirmação: "Vovó diz que a força de atração dos astros puxa todos os corpos para o

deles. Quando a gente joga para o ar uma laranja, a laranja sobe até certa altura e dQue é que a faz voltar? Justamente a força de atração que puxa todos os corpos

(astros). Enquanto a força que jogou a laranja é maior quea laranja sobe; quando a força de

atração se torna maior, a laranja cai". Leia atentamente o texto acima e responda às questões seguintes.

ção feita por Pedrinho há um erro físico.

Observe a laranja que foi lançada verticalmente para cima e, ainda subindo, está passando na posição mos-

senhe os vetores velocidade ( v ), ) e resultante das forças ( R ) que atu-

posição ilustrada. Identifique clara-s desenhados com as notações v, a e

→

→

→ →

84

Utilizando o princípio da ação e reação, explique os seguintes movimentos:

É possível fazer um barco à vela se movimentar, utilizando um ventilador potente coloca-dentro dele e próximo à vela? Se a resposta for afirmativa, explique como.

Embora desprovidos de nadadeiras, alguns moluscos e medusas se movem no mar com ão, admitindo e expelindo água de forma conveniente. Formule uma explicação físi-

para seu movimento e indique a lei ou princípio físico em que você se baseou.

de Monteiro Lobato, o personagem Pedrinho faz a seguinte afirmação: "Vovó diz que a força de atração dos astros puxa todos os corpos para o

deles. Quando a gente joga para o ar uma laranja, a laranja sobe até certa altura e de-Que é que a faz voltar? Justamente a força de atração que puxa todos os corpos

(astros). Enquanto a força que jogou a laranja é maior que a força de atra-

85

136 - (UFPel-RS) Uma pessoa suporta na palma da mão um livro de peso igual a 1,0 kgf. Num determinado instan-te, visando a atirar o livro para cima, ela exerce sobre este uma força F = 1,5 kgf, como mostra a figura. Responda às questões abaixo e justifique suas respostas. a) No mesmo instante mostrado na figura, quanto vale a

força exercida pelo livro sobre a mão da pessoa? b) Quanto vale e onde está aplicada a força de reação ao

peso do livro? 137 - (UMC-SP) Um aluno está parado, em pé, em um ponto de ônibus, segurando em uma das mãos uma mochila que contém o seu material escolar, cuja massa total é 4 kg. Sendo a aceleração da gravidade no local igual a 9,8 m/s2, qual a força exercida pelo aluno para susten-tar o peso da mochila? 138 - Consideremos um corpo de massa igual a 2 kg em repouso sobre um plano horizontal bem liso. Seja F uma força de intensidade 10 N que passa a atuar sobre o corpo nos casos: a) b) Determine a aceleração do corpo e a reação do apoio nos dois casos. Admita g = 10 m/s2. 139 - Qual a diferença entre tração e compressão? 140 - (Unicamp-SP) Em uma experiência de colisão frontal de um certo automóvel à velocida-de de 36 km/h (10 m/s) contra uma parede de concreto, percebeu-se que o carro pára comple-tamente após amassar 50 cm de sua parte frontal. No banco da frente havia um boneco de 50 kg, sem cinto de segurança. Supondo que a desaceleração do carro seja constante durante a colisão, responda: a) Qual a desaceleração do automóvel? b) Que força os braços do boneco devem suportar para que ele não saia do banco? 141 - Um corpo de 4 kg é preso a uma corda e puxado para cima com uma aceleração de 1,5 m/s2. Admita g = 10 m/s2. a) Qual o valor da tração na corda? b) Após o corpo entrar em movimento a tração na corda é reduzida para 40 N.

Que tipo de movimento executa o corpo? c) A seguir, com a corda completamente afrouxada verifica-se que o corpo

atinge uma altura máxima de 1,25 m. Qual a velocidade com que estava se movimentando?

142 - (UFPR) Uma caixa de massa igual a 100 kg, suspensa por um cabo de massa desprezí-vel, deve ser baixada, reduzindo sua velocidade inicial com uma desaceleração de módulo 2,00 m/s2. A tração máxima que o cabo pode sofrer, sem se romper, é 1 100 N. Fazendo os cálculos pertinentes, responda se este cabo é adequado a essa situação, isto é, se ele não se rompe. Considere g = 10,0 m/s2.

→

86

143 - (Fuvest-SP) Uma aranha de 3 g, fabricando um fio, desce 2 m em 4 horas em movimento vertical uniforme. a) Qual o valor da velocidade da aranha? b) Qual a tração no fio? Adote g = 10 m/s2. 144 - (EEM-SP) Um ponto material de massa m = 0,500 kg está sujeito à ação da gravidade e de uma força horizontal de intensidade F = 6,40 N, num local onde g = 9,60 m/s2. Determine o módulo da aceleração resultante da partícula. 25 - Os blocos A e B de massas iguais a 2 kg e 3 kg, respectivamente, encontram-se apoiados sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa. Uma força constante de intensidade 20 N é aplicada sobre A, conforme indica a figura. Admitindo-se g = 10 m/s2, determine: a) a aceleração do conjunto b) a intensidade da força que A exerce em B c) a intensidade da força que B exerce em A

Resolução a) Isolando

os corpos: Dados: onde:

Utilizando somente as forças na direção do movimento, temos: Corpo A → F – f = mAa

Corpo B → f = mBa + F = (mA + mB)a → 20 = (2 + 3)a → a = 4 m/s2

Observação: Para o cálculo da aceleração, os blocos A e B podem ser considerados como um único bloco de massa (mA + mB):

mA = 2 kg mB = 3 kg F = 20 N

fAB = fBA = f (ação e reação) fAB = força que A exerce em B fBA = força que B exerce em A

87

b) Da equação f = mBa, vem:

f = mBa → f = 3 • 4 → f = 12 N

c) Pelo princípio da ação e reação: fBA = fAB = 12 N

Respostas:

a) 4 m/s2 b) f = 12 N c) f = 12 N

26 - Dois corpos A e B de massas respectivamente iguais a 4 kg e 9 kg, inicialmente em repou-so, estão interligados por um fio inextensível de massa desprezível, sobre uma superfície pla-na, horizontal e polida. Sobre A aplica-se uma força F = 260 N, conforme indica a figura. Admi-tindo g = 10 m/s2, pede-se: a) a aceleração do conjunto b) a tração no fio que une A e B

Resolução a) Isolando os corpos: Dados: onde T = tração no fio Corpo A → F – T = mAa Corpo B → T = mBa + F = (mA + mB)a → 260 = 13a → a = 20 m/s2

b) T = mBa → T = 9 • 20 →T = 180 N

Respostas: a) 20 m/s2; b) 180 N

F = (mA + mB)a 20 = ( 2 + 3)a a = 4 m/s2

mA = 4 kg mB = 9 kg F = 360 N

88

145 - Os corpos A e B encontram-se apoiados sobre uma superfície plana, perfeitamente lisa. Uma força F de intensidade 40 N é aplicada sobre A, conforme indi-ca a figura. (Dados: mA = 2 kg e mB = 8 kg.) Determine: a) a aceleração dos corpos A e B b) a força que A exerce em B c) a força que B exerce em A 146 - No diagrama seguinte, A e B estão em movimen-to sobre uma superfície horizontal com atrito desprezí-vel. A força F aplicada sobre os blocos é de 16 N na direção e sentido indicados pela seta. Os blocos têm aceleração de 4 m/s2 e a massa do bloco A é igual a 3 kg. a) Qual a massa do bloco B? b) Qual a força que o bloco A exerce sobre o bloco B? 147 - O esquema representa um conjunto de três blo-cos, A, B e C, de massas iguais a 1 kg, 2 kg e 3 kg res-pectivamente, em um plano horizontal, sem atrito. So-bre o bloco A é aplicada uma força horizontal F, de intensidade 12 N, que vai movimentar o sistema. Determine: a) a aceleração do sistema b) as intensidades das forças que cada corpo exerce

sobre o outro 148 - No sistema da figura despreze dissipa-ção, inércia das rodas e efeitos do ar ambien-te. Os veículos são interligados por um fio leve, flexível e inextensível. Determine: a) a aceleração do carro maior b) a intensidade da força de tração no fio de ligação 149 - Um garoto arrasta um brinquedo apli-cando uma força F de intensidade 5 • 10-2 N, conforme indica a figura. As massas dos car-rinhos A e B valem, respectivamente, 40 g e 10 g. Desprezando os atritos e sabendo que g = 10 m/s2, pede-se: a) a aceleração do conjunto b) a tração na corda que liga os carrinhos A e B c) a força com que o chão empurra o carrinho A

Adote √ 3 = 1,7. 150 - As rodas de tração de uma locomotiva exercem uma força com componente horizontal de intensidade 50 000 N devido à interação com os trilhos. Sendo mA = 40 000 kg, mB = 3 000 kg e mC = 2 000 kg, determine:

→

→

→

→

→

→

→ →

89

a) a aceleração da composição b) a intensidade da força de tração nos cabos que ligam A e B e também B e C 151 - Odair quer levantar um corpo de massa igual a 1 kg num local onde g = 9,8 m/s2. Qual o valor da força que ele deverá exercer para que o corpo suba com velocidade constante? E com aceleração de 0,5 m/s2? 152 - Dois corpos A e B, de massas iguais a 2 kg e 6 kg, respectivamente, sobem verticalmente, em movimento acelerado, sob a ação da força F de intensidade 120 N. a) Qual o valor da aceleração do conjunto? b) Qual o valor da força que o corpo B exerce no corpo A? 153 - Forças de módulos diferentes agem sobre uma partícula em MRU. Qual o número míni-mo de forças que podem agir sobre essa partícula? 154 - Quais dessas frases são falsas? I) Um atleta arremessa uma bola para a frente exercendo nela uma força de 100 N; simulta-

neamente a bola exerce no atleta uma força oposta de igual intensidade. II) Necessariamente a reação da bola sobre o atleta acelera este para trás. III) Nas interações entre os corpos, as forças de ação e reação se equilibram. 155 - Uma pessoa sobe numa balança e, quando o ponteiro do mostrador fica em repouso, levanta os braços verticalmente acima de sua cabeça. Durante o movimento dos braços, o pon-teiro do mostrador indica massa maior ou menor que a massa indicada antes do movimento? 156 - (UFRJ) Um corpo A cai verticalmente com aceleração dirigida para baixo e, em módulo, duas vezes maior do que a da gravidade, em virtude da ação de uma força vertical F. Em sua queda, o corpo A arrasta os corpos B e C. Sabendo-se que mA = 3 kg, mB = 2 kg, mC = 1 kg e g = 10 m/s2, determine a intensidade: a) da força F b) da força de contato entre A e B c) da força de contato entre B e C 27 - No sistema da figura, os corpos A e B têm mas-sas respectivamente iguais a 5 kg e 15 kg. A superfí-cie onde B se apóia é horizontal e perfeitamente po-lida. O fio é inextensível e o sistema é liberado a par-tir do repouso. Admitindo-se g = 10 m/s2, determine: a) a aceleração do sistema b) a tração no fio que une A e B

F →

→

→

→

→

90

Resolução a) Isolando os corpos, temos: Dados:

Aplicando o princípio fundamental da Dinâmica, temos: Corpo A → PA - T = mAa

Corpo B → T = mBa +

PA = (mA + mB)a → mAg = (mA + mB)a 5 • 10 = (5 + 15)a a = 2,5 m/s2 b) T = mBa → T = 15 • 2,5 → T = 37,5 N Respostas: a) a = 2,5 m/s2; b) T = 37,5 N 28 - O dispositivo da figura é conhecido como má-quina de Atwood consiste de uma polia leve, de um cordão leve e de dois corpos de massas mA = 1 kg e mB = 4 kg, presos nas extremidades do cordão. Considere desprezíveis os atritos e g = 10 m/s2. a) Calcule a aceleração do sistema. b) Determine a intensidade da tração no fio que

liga os dois corpos.

Resolução a) Isolando os corpos, temos:

Em que :

mA = 5 kg mB = 15 kg g = 10 m/s2

PA = mAg = 1 • 10 = 10 N PB = mBg = 4 • 10 = 40 N

91

Como PB > PA, o corpo B desce e o corpo A sobe. Utilizando a 2ª lei de Newton, temos: Corpo A → T - PA = mAa Corpo B → PB - T = mBa + PB - PA = (mA + mB)a → 40 – 10 = (1 + 4)a → a = 6m/s2

b) T- P4 = m4a →T- 10 = 1 • 6 → T= 16 N

Respostas: a) 6 m/s2; b) 16 N 157 - A figura mostra um corpo de massa igual a 70 kg, sobre uma mesa horizontal, ligado por uma corda a um segundo corpo de massa igual a 50 kg. Despreze a massa da corda, bem como todas as forças de atrito. Adotando g = 10 m/s2, determine a aceleração do corpo de massa igual a 50 kg. 158 - Na figura, a força F tem intensidade 90 N. Despreze os atritos e as inércias do fio e da rol-dana. Quais os valores da aceleração do conjunto e da força que traciona o fio?

159 - No arranjo da figura, os corpos A, B e C têm massas respectivamente iguais a 5 kg, 2 kg e 3 kg. Os fios são inextensíveis e de massas desprezíveis. Também não há atrito entre os fios e as polias e o plano horizontal é perfeitamente liso. Admita g = 10 m/s2. Pede-se: a) a aceleração do sistema b) as trações nos fios

160 - Os corpos A e B têm massas mA = 1 kg e mB = 3 kg. O corpo C preso ao fio tem massa mC = 1 kg. Sabendo que A e B deslizam sem atrito sobre o plano horizontal e que o fio e a polia são ideais, determine: a) a aceleração do conjunto b) a tração no fio c) a força que A exerce em B Adote g = 10 m/s2.

→

92

161 - Dois corpos A e B estão unidos por um fio que passa por uma roldana fixa em um suporte. Sendo mA = 5 kg, mB = 3 kg, g = 10 m/s2 e a massa do fio e da roldana desprezíveis, de-termine: a) a aceleração do sistema b) a intensidade da tração no fio 162 - (PUC-SP) Um corpo de 100 kg de mas-sa é elevado por uma máquina de Atwood, a partir do repouso no solo, até uma altura de 10 m, em 2 s. Considere a aceleração da gra-vidade 10 m/s2, o fio inextensível e de massa desprezível e a roldana sem massa e atrito. Qual o valor da força F1?

→ →

93

ENERGIA

A palavra energia nos é muito familiar, embora seja algo que não podemos tocar com as mãos.

Podemos, entretanto, sentir suas manifestações.

� Energia solar: é a energia radiante emitida pelo Sol. Fornece calor e luz.

� Energia química: é a energia produzida por transformações químicas. Liberada pelos alimentos, nutre todos os seres vi-vos para que seus corpos possam funcionar. Os carros, os aviões e os barcos dependem da energia de combustão da gasolina ou do diesel.

� Energia elétrica: é a energia que, nas residências, propor-ciona iluminação e calefação. Geralmente é convertida em outras formas de energia para realizar trabalho. Como exem-plos, temos a energia mecânica produzida por um liquidifica-dor ou uma máquina perfuratriz.

� Energia eólica: é a energia produzida pelo vento. Ela é que faz, por exemplo, girar moinhos e aciona barcos à vela.

� Energia nuclear: é a energia liberada quando certos átomos são divididos. É usada para produzir eletricidade e acionar submarinos.

Energia eólica

Energia solar Energia nuclear

Energia química Energia elétrica

94

Seja qual for a forma que assuma, a energia representa a capacidade de fazer algo acon-tecer ou funcionar. Podemos dizer que energia é a capacidade de realizar trabalho.

Se alguma coisa pode realizar um trabalho, direta ou indiretamente, por meio de alguma transformação, é porque essa coisa tem uma forma de energia.

Na linguagem popular, usamos a palavra trabalho para designar qualquer atividade exerci-da por um ser humano.

Em Física, o conceito de trabalho tem um significado muito restrito: o trabalho mecânico.

Vejamos alguns exemplos: 1) Se uma pessoa levanta uma caixa com as mãos, o trabalho mecânico é exercido pela força muscular dos seus braços.

2) Um carro se desloca devido à força de tração do motor e por isso efetua um trabalho mecâ-nico. 3) Quando brecamos um carro, a força de atrito realiza um trabalho mecânico para diminuir a sua velocidade.

Estes exemplos mostram que um trabalho mecânico se realiza quando um corpo se deslo-ca sob a ação de uma força.

95

Por outro lado, o trabalho mecânico que uma pessoa realiza ao sustentar um objeto a uma certa altura, sem se mover, é nulo, pois não houve deslo-camento do objeto.

A partir desse momento chamaremos o trabalho mecânico simplesmente de trabalho. Concluímos, então, que uma força aplicada num corpo realiza um trabalho quando produz

um deslocamento desse corpo. Por isso, dizemos trabalho de uma força e não trabalho de um corpo.

O trabalho é uma grandeza física criada para medir energia. Vamos considerar dois casos: 1º caso: a força tem a mesma direção do deslocamento Consideremos um ponto material que, por causa da força F, horizontal e constante, se mo-

vimenta da posição A para a posição B, sofrendo um deslocamento d.

O trabalho de F no deslocamento AB é dado por:

O valor desse trabalho é igual à energia transferida pela pessoa ao corpo, supondo que o

sistema seja ideal, isto é, sem perdas. Se a força F tem o mesmo sentido do deslocamento, o trabalho é dito motor. Se tem senti-

do contrário, o trabalho é denominado resistente. Por convenção:

Quando a força não produz deslocamento, ela não realiza trabalho.

→

→

→

→

motor resistente

96

A unidade de trabalho, no SI, é o N • m, chamada joule que é indicado por J, em homena-gem ao físico inglês James Prescott Joule (1818-1889). 2° caso: a força não tem a mesma direção do deslocamento

Consideremos um ponto material que, sob a ação da força F, passa da posição A para a posição B, sofrendo um deslocamento d.

Neste caso, o trabalho do componente Fy no deslocamento d é nulo, pois não há deslo-

camento na direção y. Logo, somente Fx realiza trabalho e esse trabalho é dado por:

O trabalho é uma grandeza escalar. Se a força F for perpendicular à direção do desloca-mento, o trabalho de F é nulo, pois cos 90° = 0.

O trabalho de uma força F, constante ou não, pode ser obtido através de um gráfico, como indicam as figuras:

1 joule é o trabalho realizado por uma força de 1 newton que atua na mesma direção e sentido de um deslocamento de 1 metro.

1 N • 1 m = 1 J

O trabalho é dado numericamente pela área A das figuras.

→ →

→

→

→

→

→

97

29 - Determine o trabalho realizado pela força F de intensidade 20 N quando o corpo sofre um deslocamento horizontal de 5 m, nos dois casos: a)

Resolução a) Como a força F tem a mesma direção do deslocamento, temos:

= Fd → = 20 • s → = 100 J b) A força F não tem a mesma direção do deslocamento. Logo: = Fd • cos α → = 20 • 5 • cos 60° → = 20 • 5 • 1 → = 50 J 2 Respostas: a) 100 J; b) 50 J

163 - Quais são as duas grandezas de que depende o trabalho? 164 - Por que uma pessoa fica cansada ao sustentar uma mala com as mãos, embora não es-teja realizando trabalho? 165 - Uma locomotiva exerce uma força constante de 5 • 104 N sobre um vagão que ela puxa a 60 km/h num trecho horizontal de uma linha férrea. Determine o trabalho realizado pela loco-motiva numa distância de 1,2 km. 166 - Uma força realiza trabalho de 20 J, atuando sobre um corpo na mesma direção e no mesmo sentido do seu deslocamento. Sabendo que o deslocamento é de 5 m, calcule a inten-sidade da força aplicada. 167- Um bloco com 4,0 kg, inicialmente em repouso, é puxado por uma força constante e hori-zontal ao longo de 15 m, sobre uma superfície plana, lisa e horizontal, durante 2,0 s. Qual o trabalho realizado por essa força? 168 - Uma força F de módulo 50 N atua sobre um objeto, formando ângulo constante de 60° com a direção do deslocamento d do objeto. Se d = 10 m, calcule o trabalho executado pela força F.

b)

→

→

→

→

→

→

→

98

169 - Um cavalo puxa um barco num ca-nal por meio de uma corda que faz um ângulo de 20° com a direção do desloca-mento do barco. Sabendo que a tração na corda é de 60N, determine o trabalho realizado pelo cava-lo para mover o barco de uma distância de 100 m ao longo do canal. Considere cos 20° = 0,9. 170 - Sobre um corpo de massa de 10 kg, inicialmente em repouso, atua uma força constante F que faz variar sua velocidade para 28 m/s em 4 s. Determine: a) a aceleração do corpo b) a intensidade da força F c) o trabalho realizado pela força F nos primeiros 6s 171 - Sobre o corpo da figura atuam as forças indi-cadas, responsáveis por um deslocamento de 12 m para a direita. Calcule o trabalho global das forças nesse deslo-camento.

172 - Um homem e um menino deslocam um trenó por 50 m, ao longo de uma estrada plana e horizontal, coberta de gelo. (Despreze o atrito.) O homem puxa o trenó através de uma corda, exercendo uma força de 30 N, que forma um ângulo de 45° com a horizontal. O menino em-purra o trenó com uma força de 10 N, paralela à estrada. Considerando sen 45° = cos 45° = 0,71, calcule o trabalho total realizado sobre o trenó. 173 - Com qual das pás um pedreiro encherá um carri-nho de areia com mais facilidade? Justifique sua respos-ta.

30 - Um corpo com massa 6 kg é lançado horizontalmente com velocidade de 20 m/s sobre uma superfície plana e horizontal. O coeficiente de atrito entre o plano e a superfície é 0,2. Considere g = 10 m/s2. a) Calcule o trabalho realizado pela força de atrito até o corpo atingir o repouso.

→

→ →

99

b) Determine o trabalho realizado pela força peso e pela reação normal do apoio durante todo o percurso. Resolução a) Do enunciado, temos:

A única força que age sobre o corpo na direção do movimento é a força de atrito, logo: Fat = µN → Fat = µP → Fat = 0,2 • 60 = 12 N A aceleração é dada por: - Fat = ma → - 12 = 6 • a → a = - 2 m/s2

A distância percorrida até parar é:

v2 = v02 + 2ad → 0 = 202 - 2 • 2 • d = 100 m

O trabalho da força de atrito é resistente. Assim:

= - Fat d → = -12 • 100 → = -1 200 J Em módulo, temos: | | = 1 200 J b) Como as forças P e N são perpendiculares ao deslocamento, temos: Respostas: a) 1 200 J (resistente); b) P = N = 0

31 - A figura representa as intensidades de uma força aplicada em um corpo na direção de seu deslocamento. Determine o trabalho realizado pela força para deslocar o corpo entre as posi-ções: a) d = 0 e d = 10 m b) d = 10 m e d = 25 m c) d = 25 m e d = 30 m d) d = 30 m e d = 35 m e) d = 0 e d = 35 m

P = N = 0

100

Resolução a) Neste caso, a força F é variável. Logo, o trabalho é dado pela área do triângulo:

b) Agora, a força F é constante. Logo, o trabalho pode ser dado pela área do retângulo:

c) Caso de força variável:

d) Caso de força variável: a força F tem sentido contrário ao do deslocamento. (Ela é nega-

tiva.) Logo, o trabalho é resistente: e) O trabalho total é a soma de todos os trabalhos parciais:

=

= 100 + 300 + 50 – 50

= 400 J

Respostas: a) 100 J; b) 300 J; c) 50 J; d) -50 J; e) 400 J

174 - Um móvel de 1 600 kg move-se em MRU com velocidade igual a 20 m/s. É então freado e pára após certo tempo, durante o qual percorre determinada distância animado com uma aceleração de - 1 m/s2. Determine o trabalho desenvolvido durante a freada. 175 - Um corpo de massa 4 kg é puxado por uma força F ao longo de uma distância de 8 m sobre um plano horizontal rugoso, conforme indica a figura. O coeficiente de atrito entre o cor-po e o plano é igual a 0,2. Sendo F = 50 N e g = 10 m/s2, calcule: a) a aceleração do bloco b) o trabalho realizado pela força F, pela força de

atrito, pela reação normal do apoio e pela força peso no deslocamento de 8 m

10 – 25 = 15 • 20 = 300 J

25 – 30 = 5 • 20 = 50 J 2

30 – 35 = 5 (- 20) = - 50 J 2

total

total

total

0 – 10 + 10 – 25 + 25 – 30 + 30 - 35

→

→

→ F

0 – 10 = 10 • 20 = 100 J 2

101

176 - Um menino puxa um carrinho por meio de uma corda que faz um ângulo de 30° com a horizontal. O carrinho se desloca com velocidade constan-te e tem massa de 20 kg. O coeficiente de atri-to com o solo é de 0,1 e g = 10 m/s2. Determi-ne o trabalho realizado pelo menino para arras-tar o carrinho por uma distância de 300 m. 177 - O homem da figura empurra o bloco de massa 80 kg, aplicando-lhe uma força F, incli-nada de 30° em relação à horizontal. Dados: O bloco se desloca em linha reta e o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0,1. Saben-do que o trabalho realizado pela força aplicada pelo homem é igual a 1 000 J, numa distância de 4 m, calcule: a) a intensidade da força F b) o trabalho da força peso e da força de atrito 178 - Os gráficos representam a intensidade de uma força resultante F em função do seu des-locamento d. A força tem a mesma direção e o mesmo sentido do deslocamento. a) b)

Determine, em cada caso, o trabalho realizado num deslocamento de 0 a 14 m.

Consideremos um corpo de massa m que se desloca de um ponto A (nível mais alto) para um ponto B (nível mais baixo), segundo uma trajetória qualquer.

cos 30° = 0,8 sen 30° = 0,5 g = 10 m/s2

→

→

→ →

102

A,B = Pd • cos α → A,B = Ph → A,B = mgh

O desnível entre A e B é igual a h. Sendo P o peso do corpo e d o deslocamento entre A e B, o trabalho realizado pela força

peso é dado por:

Essa expressão mostra que o trabalho da força peso não depende da trajetória descrita pe-lo corpo, isto é, depende apenas do desnível entre as posições inicial e final do corpo.

Por esse motivo, o trabalho da força peso é o mesmo, sendo o deslocamento de A até B ou de A até C.

Se o deslocamento do corpo for de B até A, isto é, durante a subida, o trabalho realizado pela força peso é negativo.

Por exemplo, quando uma pessoa de massa m sobe a uma determinada altura por trajetos diferentes, o trabalho da força peso é o mesmo e é dado por:

As forças cujos trabalhos não dependem da trajetória descrita são denominadas forças conservativas. Logo, a força peso é uma força conservativa.

A,B = A,C = mgh

103

32 - Uma gota de chuva de massa igual a 0,10 g cai no ar com velocidade constante de 1 m/s, percorrendo assim uma distância de 100 m. A aceleração da gravidade no local é de 10 m/s2. a) Qual o trabalho realizado pela força peso durante a queda? b) Qual o trabalho executado pelas forças de resistência do ar nessa queda?

Resolução a) Isolando a gota de chuva, temos:

Em que: m = 0,10 g = 0,1 • 10–3 kg

b) Como a gota cai com velocidade constante, temos: FR = P → FR = mg → FR = 0,1 • 10– 3 • 10 → FR = 0,1 • 10– 2 N O trabalho da força de resistência do ar é negativo, logo:

Respostas: a) 0,1 J; b) – 0,1 J

33 - Um corpo com massa igual a 2 kg é aban-donado em repouso num plano inclinado. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0,2. Considere g = 10 m/s2. Determine os trabalhos da força peso e da for-ça de atrito no percurso do corpo de A até B.

P = 0,1 J

R

P = Ph → P = mgh → P = 0,1 • 10 – 3 • 10 • 100

FR = - FRh → FR = - 0,1 • 10– 2 • 100 → FR = - 0,1 J

104

Resolução

Do enunciado, temos:

Cálculo de AB: (AB)2 = (AC)2 (CB)2 → (AB)2 = 32 + 42

→ AB = 5 m

Logo: sen α = AC → sen α = 3 e cos α = BC → cos α = 4 p AB 5 AB 5

As intensidades das forças valem: Px = P • sen α → Px = 2 • 10 • 3 → Px = 12 N 5

Py = P • cos α → Py = 2 • 10 • 4 → Py = 16 N 5

Fat = µN → Fat = µPy → Fat = 0,2 • 16 = 3,2 N Portanto,

O trabalho da força peso pode ser calculado como se o deslocamento fosse na direção ver-tical AC, logo:

Resposta:

179 - Por que o peso é uma força conservativa? 180 - Uma pessoa levanta uma criança de massa igual a 25 kg a uma altura de 2 m, com velo-cidade constante. Sendo g = 10 m/s2, determine: a) o trabalho realizado pela força peso b) o trabalho realizado pela pessoa

P = P • AC → P = 2 • 10 • 3 → P = 60 J

P = Px + Py → P = Px + 0 → P = Px → P = Px • AB → P = 12 • 5 P = 60 J Fat = - Fat • AB → Fat = - 3,2 • 5 → Fat = - 16 J

P = 60 J e Fat = - 16 J

105

181 - Uma mesa e uma cadeira estão sobre um mesmo piso horizontal, uma ao lado da outra, num local onde a aceleração gravitacional vale 10 m/s2. A cadeira tem massa de 5,0 kg e a al-tura da mesa é de 0,80 m. Qual é o trabalho que deve ser realizado pelo conjunto de forças que um homem aplica à cadeira para colocá-la sobre a mesa? 182 - Um corpo de massa igual a 12 kg encontra-se a 8 m de altura em relação ao solo. Admi-tindo g = 10 m/s2, determine: a) o trabalho realizado pela força peso para colocá-lo nessa posição b) o trabalho realizado pela força peso para o corpo retornar ao solo 183 - Um helicóptero é usado para recolher um náufrago de massa igual a 75 kg. O náufrago é elevado por meio de uma corda até uma altura vertical de 20 m. Sabendo-se que a aceleração de subida do náufrago é de 2,2 m/s2, calcule: a) o trabalho realizado pelo helicóptero sobre o náufrago b) o trabalho realizado pela força peso sobre o náufrago 184 - (EEM-SP) Uma pessoa de massa M transporta, presa às suas costas, uma mochila de massa m. Deve subir ao primeiro andar de um prédio, o qual fica à altura h do térreo. Pode ir pela escada ou tomar o elevador. a) Calcule, para cada uma dessas opções, o trabalho realizado pela pessoa sobre a mochila. b) Explique por que a pessoa se cansará menos se tomar o elevador. 185 - Um corpo de 0,2 kg cai do repouso em queda livre durante 5,0 s. Considerando o valor da aceleração da gravidade no local igual a 10 m/s2, calcule o trabalho realizado pela força gravitacional durante a queda. 186 - O carro da figura tem massa 900 kg e g = 10 m/s2. Determine o trabalho realizado pela força peso do carro nos trechos: a) AB b) BC

106

A água que corre, o vento que sopra, um corpo que cai, a bala que sai da boca de um ca-nhão etc. têm energia, pois podem produzir trabalho quando encontram algum obstáculo.

A água corrente pode acionar uma tur-bina; o vento impulsiona barcos à vela, faz girar moinhos; a bala de um canhão derru-ba prédios.

Este tipo de energia que os corpos têm devido ao movimento é denominado ener-gia cinética.

A energia cinética de um corpo resulta de uma transferência de energia do sistema que põe o corpo em movimento para o cor-po. Ela mede o trabalho que o corpo é ca-paz de realizar sobre o exterior, devido ao seu estado de movimento.

Considere, por exemplo, um corpo de massa m, em repouso sobre um plano horizontal liso, que, sob a ação da força exercida pela pessoa, adquire velocidade v após um certo desloca-mento.

O trabalho realizado pela pessoa neste deslocamento é transferido para o corpo sob a for-

ma de energia de movimento (energia armazenada no corpo). Essa energia devida ao movimento é chamada energia cinética e é dada por:

Utilizando a equação de Torricelli, temos: v2 = 0 + 2ad → v2 = 2ad → d = v2 2 2a

Substituindo 2 em 1 , temos:

= Fd → = mad 1

= ma • v2 → = mv2 → 2a 2

Ec = 1 • mv2

2

Em que: EC = energia cinética

107

Como a energia cinética de um corpo está associada ao seu movimento, ela é uma gran-deza relativa, isto é, depende do referencial.

Assim, a energia cinética de um passageiro, dentro de um ônibus, é nula em relação ao ô-nibus enquanto este continuar em MRU, mas não é nula em relação a um carro parado na rua.

A fórmula EC = 1 mv2 nos mostra que a energia cinética é uma energia atual, instantânea, 2

sem ligação com o seu passado, ou seja, com o modo como a velocidade v foi adquirida. Por outro lado, quando um corpo em movimento realiza trabalho, ele diminui sua velocida-

de e perde parte de sua energia. Portanto, a energia cinética de um corpo é igual ao trabalho que ele pode realizar ao ser

parado. A unidade de energia cinética é a mesma do trabalho, isto é, o joule (J).

34 - Considere um ponto material com 4 kg de massa, inicialmente em repouso, sobre um pla-no horizontal onde o atrito é desprezível. No instante t = 0, aplica-se nele uma força horizontal de intensidade 32 N. Calcule sua energia cinética no instante 20 s.

Resolução Esquema: Dados:

Cálculo da aceleração: F = ma → 32 = 4 • a → a = 8 m/s2

Cálculo da velocidade: v = v0 + at → v = 0 + 8 • 20 → v = 160 m/s Cálculo da energia cinética: Ec = 1 • mv2

→ Ec = 1 • 4 • 1602 → Ec = 51 200 J 2 2 Resposta: 51 200 J

m = 4 kg v0 = 0 t = 20 s F = 32 N

108

187 - A energia cinética de um corpo depende do sentido do movimento do corpo? O seu valor depende do referencial adotado? 188 - Qual é o valor da energia cinética de um corpo de massa igual a 2,0 kg que se move com velocidade constante e igual a 3,0 m/s? 189 - Um corpo de massa 0,5 kg adquire velocidade em função do tempo de acordo com a lei v = 6 + 2t (no SI). Calcule a energia cinética do corpo no instante 4 s. 190 - Lança-se um corpo com 200 g de massa verticalmente para cima com velocidade de 72 km/h. Adotando g = 10 m/s2 e desprezando os atritos, determine a energia cinética do corpo nos instantes 1,0 s e 3,0 s. 191 - O velocímetro de um automóvel registra 72 km/h. Sabendo que a massa do automóvel é 900 kg, determine sua energia cinética, em joules. 192 - Um corpo se movimenta com velocidade de 40 km/h. Que velocidade precisa adquirir pa-ra dobrar sua energia cinética? 193 - (FEI-SP) Um açucareiro de massa 0,8 kg está em repouso na extremidade de uma mesa de 0,8 m de altura. Um dos ocu-pantes da mesa bate com o cotovelo no açu-careiro que cai a 1,20 m de distância hori-zontal do ponto inicial, como mostra a figura. Considere g = 10 m/s2. Determine a energia cinética do açucareiro, ao abandonar a me-sa.

Considere um corpo de massa m, movendo-se sobre uma linha reta sob a ação de uma força resultante e constante F, ao longo da reta.

→

109

Essa força resultante ocasionará no corpo uma aceleração constante a. Supondo que a ve-locidade inicial do corpo seja vi e a velocidade final seja vf , num deslocamento d, temos:

vf2 = vi

2 + 2ad → a = vf2 – vi

2 fgt 2d

Utilizando a 2ª lei de Newton, temos: Em que:

F = ma → F = m • vf2 - vi

2 fr 1 mvf2 = Ecf (energia cinética final)

2d 2

Fd = 1 • mvf2 – 1 • mvi

2 1 mvi2 = Eci (energia cinética inicial)

2 2 2

Assim:

Essa fórmula matemática é conhecida como teorema da energia cinética.

Esse teorema é muito útil na resolução de problemas. Em primeiro lugar, permite calcular a velocidade de um corpo em qualquer posição a partir

de uma velocidade conhecida e do cálculo do trabalho das forças aplicadas. Em segundo lugar, permite calcular o trabalho de certos tipos de forças a partir da variação

da velocidade do corpo. Em conseqüência, possibilita calcular os diferentes tipos de energia transferidos para o corpo.

Observe que esse teorema é válido quando for interpretado como o trabalho realizado pela resultante das forças que agem sobre o corpo.

Se o trabalho for positivo, a energia cinética final será maior que a energia cinética inicial e, portanto, a energia cinética aumentará. Se o trabalho for negativo, a energia cinética diminuirá. Quando o trabalho for nulo, a energia cinética permanecerá constante. 35 - Um projétil de massa 20 g, com velocidade de 250 m/s dirigida horizontalmente, atinge uma placa de madeira e penetra 30 cm nela. Determine o módulo da força média de resistência oposta pela madeira ao movimento da bala.

Fd = ( trabalho da força F )

→ →

→

O trabalho realizado pela força resultante que atua sobre um corpo é igual à variação da energia cinética desse corpo.

→

= 1 • mvf2 – 1 • mvi

2

2 2 ou = ECF - ECI

= ∆EC

110

Resolução

F = força oposta ao movimento

A velocidade do projétil no ponto B é vB = 0.

F • 30 • 10–2 = - 1 • 20 • 10–3 (250) 2 30 • 10–2 • F = - 10–2 • 625 •102 F = - 2 083,3 N ou = 2 083,3 N O sinal negativo indica que F é uma força de resistência. Resposta: F = 2 083,3

194 - Uma garota puxa uma caixa de massa 10 kg ao longo de 8 m de uma superfície horizontal onde o atrito é desprezível. A força exercida pela garota é horizontal, tem intensidade 120 N e a caixa está inicialmente em repouso. a) Determine o trabalho realizado pela garota. O que é feito

desse trabalho? b) Calcule a energia cinética final da caixa. Compare esse

valor com o trabalho realizado pela pessoa. 195 - Uma força resultante constante de módulo igual a 40 N atua sobre um corpo que se mo-vimenta em linha reta. Qual a distância percorrida por esse corpo durante o tempo em que sua energia cinética variou 80 J? 196 - Num determinado percurso, um corpo tem sua velocidade aumentada de 5 m/s para 10 m/s. Sabendo que nesse trecho o trabalho realizado foi de 112,5 J, determine a massa do corpo.

A,B = 1 • mv2B – 1 • mv2

A → Fd = - 1 • mv2A

2 2 2

F

→

111

197 - Um corpo de 4 kg se desloca ao longo de uma reta. Sua velocidade varia conforme mostra o gráfico. Qual o trabalho realizado pela força resultante para aumentar sua energia cinética no intervalo de 0 a 5 s? 198 - Um corpo encontra-se em repouso, apoiado numa superfície plana e horizontal, quando passa a agir uma força constante de intensidade 0,60 N. Sabendo que o atrito entre as super-fícies de contato é desprezível e que 5 s após o corpo possui uma energia cinética de 6 J, cal-cule: a) a distância percorrida pelo corpo nestes 5 s b) a massa do corpo 199 - Um caminhão e um carro movem-se com a mesma energia cinética. Qual dos dois per-correrá a maior distância até parar, se ambos são freados por forças de mesma intensidade? 200 - Suponha que um carro, batendo de frente, passe de 10 m/s ao repouso, em 0,50 m. Qual é a ordem de grandeza da força média que o cinto de segurança exerce sobre o motorista que o está usando durante a batida? 201 - (FEI-SP) Um corpo de massa m = 30 kg, inicialmente em repouso, é posto em movimento sob a ação de uma força constante e adquire, ao fim de 2 minutos, uma velocidade de 72 km/h na direção da força aplicada. Determine: a) a intensidade da força aplicada ao corpo b) o trabalho realizado pela referida força ao longo da distância percorrida pelo corpo 202 - Uma bala com 0,2 kg de massa atinge uma placa de madeira, de 20 cm de espessura, com velocidade de 40 m/s. A resistência total que a placa opõe à penetração da bala é cons-tante e igual a 200 N. Pergunta-se: a) a bala atravessa a placa? b) em caso afirmativo, calcule a velocidade ao sair da placa. 203 - A intensidade da força resultante que atua em uma par-tícula de 0,10 kg de massa, inicialmente em repouso, é repre-sentada, em função do deslocamento, pelo gráfico ao lado. Determine: a) o trabalho desenvolvido pela força no deslocamento de 0

a 20 m b) a velocidade da partícula no fim deste deslocamento

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36 - Considere um bloco de massa igual a 10 kg que se move sobre uma superfície horizontal com uma velocidade inicial de 10 m/s. a) Qual o trabalho realizado pela força de atrito para levar o corpo ao repouso? b) Supondo que o coeficiente de atrito seja µ = 0,10, qual o tempo necessário para que a ve-

locidade do bloco seja reduzida à metade do seu valor inicial?

Resolução a) Isolando as forças sobre

o bloco, temos:

Como o bloco não se movimenta na vertical, temos N = P. Logo, a força resultante que age sobre o bloco é a força de atrito, cujo trabalho é dado por:

b) A força de atrito é dada por:

Fat = µN → Fat = µP → Fat = µmg → Fat = 0,1 • 10 • 10 Fat = 10 N

Aplicando a 2ª lei de Newton, temos:

- Fat = ma → - 10 = 10a → a = - 1 m/s2

Quando a velocidade se reduz à metade do valor inicial , temos: v = v0 + at → 5 = 10 - 1t → t = 5 s Respostas: a) - 500 J; b) 5 s

37 - Um corpo de massa igual a 5 kg desliza ao longo de uma pista circular, de raio R = 1 m, como indicado na figura. Se o corpo parte do repouso e sua velocidade no ponto B é de 4 m/s, calcule o trabalho dissipado pelas forças de atrito durante a descida. Considere g = 10 m/s2.

= Ecf – Eci → = 1 • mvf2 – 1 • mvi

2 2 2

= 1 • 10 • 0 – 1 • 10 • 102

2 2

= - 500 J

v = 10 = 5 m/s 2 ( )

113

Resolução Isolando as forças temos:

O trabalho da força peso no trecho AB é dado por:

O trabalho da reação normal do apoio é nulo, pois a reação normal é perpendicular à traje-

tória. Logo,

O trabalho total (trabalho da força resultante) é dado pelo teorema da energia cinética.

Logo:

O trabalho da força de atrito é dado por:

Resposta: 10 J 204 - (Mack-SP) Um veículo com 840 kg de massa percorre uma estrada reta e horizontal a 72 km/h. Subitamente são aplicados os freios, reduzindo-se a velocidade para 36 km/h. Deter-mine o trabalho realizado pela força resistente. 205 - (Vunesp-SP) Um bloco que se move inicialmente com velocidade v1 tem a sua veloci-dade diminuída para v2 depois de percorrer a distância ℓ, sobre uma superfície plana horizontal, onde o coeficiente de atrito cinético é µ. a) Sendo g = 9,8 m • s–2 ; m = 2,0 kg; ℓ = 4,0 m; v1 = 3,0 m • s–1 e v2 = 2,0 m • s–1, calcule µ b) Qual foi o princípio ou lei física empregado no cálculo acima? 206 - (Med. Itajubá-MG) Um corpo é arrastado sobre uma superfície horizontal por uma força constante de intensidade igual a 10,0 N, que forma com a horizontal um ângulo de 60°. Durante a ação da força, o corpo se desloca 4,0 m e sua energia cinética sofre variação de 12,0 J. Determine a intensidade da força média de atrito que a superfície exerce sobre o corpo. 207 - Uma força de 29 N, orientada para cima, é aplicada num corpo de 20 N, que está origi-nalmente em repouso no solo. Considere g = 10 m/s2. Calcule a velocidade deste corpo quan-do estiver a 4 m de altura do solo.

P = mgR → P = 5 • 10 • 1 → P = 50 J

N = 0.

total = 1 • mv2B

– 1 • mv2A

→ total = 1 • 5 • 42 – 1 • 5 • 02 → total = 40 J 2 2 2 2

total = P + N + Fat → 40 = 50 + 0 + Fat → Fat = - 10 J ou | Fat| = 10 J

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208 - (Fuvest-SP) O gráfico mos-trado a seguir, velocidade X tempo, representa o movimento retilíneo de um carro de massa m = 600 kg numa estrada molhada. No instan-te t = 6 s o motorista vê um engar-rafamento à sua frente e pisa no freio. O carro, então, com as rodas travadas, desliza na pista até parar completamente. Despreze a resis-tência do ar. a) Qual é o coeficiente de atrito entre os pneus do carro e a pista? b) Qual o trabalho, em módulo, realizado pela força de atrito entre os instantes t = 6 s e

t = 8 s? 209 - (Fuvest-SP) Um bloco de 2 kg é lançado do topo de um plano inclinado, com velocidade de 5,0 m/s, conforme indica a figura. Durante a descida atua uma força de atrito cons-tante de 7,5 N, que faz o bloco parar após deslo-car-se 10 m. Sendo g = 10 m/s2, qual a altura H?

A energia potencial gravitacional é uma espécie de energia capaz de existir em estado de reserva. Ela é associada a um corpo devido à posição que ele ocupa em relação a um nível de referência, como, por exemplo, a superfície da Terra.

Consideremos um corpo de massa m sendo erguido do ponto A até o ponto B num local onde a aceleração da gravidade é igual a g.

Se, em seguida, o corpo for abandonado no ponto B, ele cai com velocidade cada vez mai-or, isto é, sua energia cinética vai aumentando.

Nível de referência

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Isto significa que, na posição B, o corpo possui outra forma de energia que, durante a que-da, vai se transformando em energia cinética.

A energia armazenada pelo corpo devido à sua posição em relação ao nível de referência (por exemplo, a superfície da Terra) é denominada energia potencial gravitacional.

A energia do corpo vem da pessoa que, ao erguer o corpo para colocá-lo na posição B, e-xerce uma força motriz e realiza um trabalho, transferido para o corpo sob a forma de energia potencial gravitacional.

Essa energia é numericamente igual ao trabalho no deslocamento AB. Logo:

A energia potencial gravitacional é uma função da posição. Portanto, ela pode ser positiva, negativa ou nula.

A energia potencial gravitacional não depende nem de como o corpo atinge uma certa altu-ra - lenta ou rapidamente - nem do tipo de trajetória. Depende, sim, da posição inicial e final do corpo em relação a um nível de referência.

Costuma-se atribuir à superfície da Terra uma energia potencial nula. Esta escolha é arbi-trária. Veja exemplos de energia potencial gravitacional. 1) A água da represa, ao cair, aciona a turbina

de uma usina hidrelétrica.

EP = → EP = Ph

EP = mgh

2) A caixa, ao se soltar do fio que a prende, produz uma deformação.

116

Resolução Quando o corpo está no ponto A sua energia potencial é dada por: EPA = mghA → EPA = 1 • 10 • 1,4 → EPA = 14 J

Nos pontos B e C a energia potencial é igual a: EPB = mghB → EPB = 1 • 10 • 0 → EPB = 0 EPC = mghC → EPC = 1 • 10 • ( - 3 ) → EPC = - 30 J Resposta: Vide resolução.

210 - Em relação à Terra, que tipos de energia possui: a) um avião em vôo? b) a água de uma barragem?

38 – Um corpo com massa igual a 1 kg é abandonado do ponto A indicado na figu-ra. Considere g = 10 m/s2. Qual a energia potencial do corpo, em relação ao nível de referência, quando ele estiver no pon-to A e quando estiver nos pontos B e C?

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211 - Uma garota ergue verticalmente uma pedra de 200 N, a uma velocidade constante de 2 m/s, até uma altura de 8 m em relação ao solo. Considere g = 10 m/s2. a) Qual o valor da força desenvolvida pela

garota? b) Qual o trabalho realizado pela garota? O

que ocorre com esse trabalho? c) Calcule a energia potencial da pedra em

relação ao solo. 212 - Um corpo com 4 kg de massa é abandonado de um ponto situado a 500 m acima do solo. Determine sua energia potencial em relação ao solo nos instantes 1 s, 8 s e 10 s. Adote g = 10 m/s2. 213 - Um corpo com 2 kg de massa tem energia potencial gravitacional de 1 000 J em relação ao solo. Sabendo que a aceleração da gravidade no local vale 10 m/s2, calcule a que altura o corpo se encontra do solo. 214 - Uma garota com 50 kg de massa está no alto de uma escada de 40 degraus, tendo cada degrau uma altura de 25 cm. A aceleração da gravidade no local é 10 m/s2. Calcule a energia potencial da garota em relação: a) ao solo b) ao 10º degrau 215 - A massa de um elevador é 900 kg. Calcule a energia potencial desse elevador no topo de um prédio, a aproximadamente 52 m acima do nível da rua. Considere nula a energia potencial ao nível da rua e adote g = 10 m/s2. 216 - O recorde mundial dos 100 m rasos é da ordem de 10 s, e o do salto com vara, um pouco abaixo de 6 m. a) Calcule o valor da energia cinética média do atleta (massa da ordem de 60 kg) na corrida

de 100 m rasos. b) Calcule o valor máximo do acréscimo de energia potencial gravitacional no salto com vara.

Adote g = 10 m/s2.

O trabalho realizado por uma pessoa para elevar um corpo até uma certa altura fica arma-zenado no corpo sob a forma de energia potencial gravitacional.

118

Porém, se o corpo for abandonado naquela posição ele pode realizar trabalho durante a queda. Isso mostra que o trabalho realizado pela pessoa para vencer o peso do corpo na subi-da (que fica conservado no corpo) pode ser devolvido pela força peso na descida.

A força que pode devolver o trabalho realizado para vencê-la é chamada força conservati-va. Logo, a força peso é conservativa.

Por outro lado, o trabalho realizado para vencer o atrito não pode ser devolvido, ele é dissi-pado em forma de calor ou numa deformação permanente. Logo, a força de atrito é denomi-nada força dissipativa.

Energia potencial elástica é a forma de energia que se encontra armazenada em um corpo elástico deformado, como, por exemplo, numa mola comprimida ou distendida, ou numa tira de borracha esticada.

A energia potencial elástica está associada ao trabalho da força elástica. Considere uma pessoa esticando a mola de constante elástica κ, indicada na figura. O trabalho do agente externo no alongamento da mola corresponde à energia que ele

transfere para a mola, e essa energia fica armazenada na mola sob a forma de energia poten-cial elástica.

A força externa obedece, até certo limite, à lei de Hooke, cuja representação gráfica é:

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A área A é numericamente igual ao trabalho realizado pelo agente externo da deformação x. Logo:

Assim:

A energia potencial elástica, ou de deformação, é uma forma de energia latente que está prestes a se transformar em energia de movimento, se a força externa deixar de existir.

Num revólver de brinquedo, uma força é aplicada so-bre uma bolinha para comprimir a mola, que adquire e-nergia potencial elástica.

Ao se apertar o gatilho, a mola se solta e aplica uma força na bolinha, transformando a energia potencial elás-tica em energia cinética. 39 - Determine a energia potencial elástica armazenada numa mola de constante elástica k = 500 N/m, quando ela é distendida de 40 cm.

Resolução Dados: k = 500 N/m e x = 40 cm = 0,4 m.

EP elástica = kx2 = 500(0,4)2 ∴ EP elástica = 40 J 2 2 Resposta: 40 J

217 - Uma mola não-deformada tem comprimento de 20 cm e constante elástica de 50 N/m. Determine a energia potencial armazenada pela mola quando comprimida de 20 cm para 19 cm. 218 - Um garoto atira pedras com um estilin-gue, conforme indica a figura. a) Qual a forma de energia armazenada pela

borracha? Quem lhe transfere esta energi-a?

b) Que forma de energia adquire a pedra? Quem lhe transfere essa energia?

A = F = F • x = k • x • x = k • x2 2 2 2

N

agente externo = EP elástica

→ EP elástica = kx2 2

→

120

219 - Tracionada com 400 N, certa mola helicoidal sofre distensão elástica de 4,0 cm. Qual a energia potencial elástica armazenada na mola, quando deformada de 2,0 cm? 220 - O gráfico representa a intensidade F de uma força elástica em função da deformação x de uma mola. Calcule a energia potencial elásti-ca da mola quando x = 0,5 cm. 221 - (Fuvest-SP) Uma mola pendurada num suporte apresenta comprimento igual a 20 cm. Em sua extre-midade livre pendura-se um balde vazio, cuja massa é de 0,50 kg. Em seguida, coloca-se água no balde até que o comprimento da mola atinja 40 cm. O gráfi-co ilustra a força que a mola exerce sobre o balde em função de seu comprimento. Pede-se: a) a massa de água colocada no balde b) a energia potencial elástica acumulada na mola

no final do processo 28 - (Unicamp-SP) Sob a ação de uma força constante, um corpo de massa m = 4,0 kg adqui-re, a partir do repouso, a velocidade de 10 m/s. a) Qual é o trabalho realizado por esta força? b) Se o corpo se deslocou 25 m, qual o valor da força aplicada? 29 - (FEI-SP) Um corpo de massa m = 39 kg, inicialmente em repouso, é posto em movimento sob a ação de uma força constante e adquire, ao fim de 2 minutos, uma velocidade de 72 km/h na direção da força aplicada. Determine: a) a intensidade da força aplicada ao corpo b) o trabalho realizado pela referida força ao longo da distância percorrida pelo corpo 30 - (Fuvest-SP) Considere um bloco de massa m = 10 kg que se move sobre uma superfície horizontal com uma velocidade inicial de 10 m/s. a) Qual o trabalho realizado pela força de atrito para levar o corpo ao repouso? b) Supondo que o coeficiente de atrito seja µ = 0,10, qual o tempo necessário para que a velo-

cidade do bloco seja reduzida à metade do seu valor inicial? Adote g = 10 m/s2.

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31 - (Cefet-PR) Uma pessoa puxa uma caixa de 5 kg por 18 m ao longo de uma superfície horizontal com velocidade constante. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o solo é 0,5 e o ângulo formado com a horizontal pela força a-plicada pela pessoa é de 45°. Sendo g = 9,8 m/s2, qual o trabalho realizado pela pessoa nesse deslocamento? 32 - (Fuvest-SP) Uma formiga caminha com velocidade média de 0,20 cm/s. Determine: a) a distância que ela percorre em 10 minutos b) o trabalho que ela realiza sobre uma folha de 0,2 g quando ela transporta essa folha de um

ponto A para outro B, situado 8,0 m acima de A. Considere g = 10 m/s2. 33 - (Unesp-SP) Na figura, sob a ação da força de intensi-dade F = 2 N, constante, paralela ao plano, o bloco percor-re 0,8 m ao longo do plano com velocidade constante. Ad-mite-se g = 10 m/s2, despreza-se o atrito e são dados: sen 30° = cos 60° = 0,5 e cos 120° = -0,5. Determine: a) a massa do bloco b) o trabalho realizado pelo peso do bloco, nesse percurso 34 - (EFEI-MG) Um homem de massa igual a 70,0 kg, preso a um elástico de massa desprezí-vel, se lança de uma plataforma localizada a 100,0 m acima do nível do chão. Sabendo-se que o comprimento não-distendido do elástico é de 30,0 m e que a distância mínima que separa o homem do solo é de 10,0 m, determine a constante elástica κ do elástico. 35 - (PUC-SP) Uma pessoa de massa igual a 80 kg sobe uma escada de 20 degraus, cada um com 20 cm de altura. a) Calcule o trabalho que a pessoa realiza contra a gravidade. b) Se a pessoa subir a escada em 20 s, ela se cansará mais do que se subir em 40 s. Como

se explica isso, já que o trabalho realizado é o mesmo nos dois casos? 36 - (Vunesp-SP) Certa máquina M1 eleva verticalmente um corpo de massa m1 = 1,0 kg a 20,0 m de altura em 10,0 s em MU. Outra máquina, M2, acelera em uma superfície horizontal, sem atrito, um corpo de massa m2 = 3,0 kg, desde o repouso até a velocidade de 10,0 m/s, em 2,0 s. (Dado: g = 10 m/s2.) a) De quanto foi o trabalho realizado por cada uma das máquinas? b) Qual a potência média desenvolvida por cada máquina? 37 - (Unicamp-SP) Um carro recentemente lançado pela indústria brasileira tem aproximada-mente 1 500 kg e pode acelerar, do repouso até uma velocidade de 108 km/h, em 10 s (Fonte: Revista Quatro Rodas, agosto/92). Adote 1 cavalo-vapor (CV) = 750 W. a) Qual o trabalho realizado nesta aceleração? b) Qual a potência do carro em CV?