Apostila fisica a 1

Física 1Física 1

DINÂMICA

Jaime E. Villate

Física 1. Dinâmica

Jaime E. VillateFaculdade de Engenharia

Universidade do Porto

http://www.villate.org/livros

Física 1. DinâmicaCopyright c© 2009, 2010 Jaime E. VillateE-mail: [email protected]

Versão: 5 de Janeiro de 2010

ISBN: 978-972-99396-1-7

Este livro pode ser copiado e reproduzido livremente, respeitando os termos da LicençaCreative Commons Atribuição-Partilha (versão 2.5 Portugal). Para obter uma cópia destalicença, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/pt/ou envie uma carta para Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford,California 94305, USA.

Conteúdo

Prefácio vii

1 Cinemática 11.1 Graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Velocidade e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Equações de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Resolução numérica das equações de movimento . . . . . . . . . . . . . 8Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Dinâmica 152.1 Movimento em duas ou três dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Lei da inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Força e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3 Lei de acção e reacção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Forças de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1 Atrito estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Atrito cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.3 Força de resistência nos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Cálculo numérico das trajectórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Trabalho e energia 373.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Trabalho e energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Coordenada tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Forças conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.1 Gráficos de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.2 O peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.3 Forças elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5 Movimento harmónico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iv Conteúdo

4 Rotação e movimento curvilíneo 534.1 Movimento dos corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Movimento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Coordenadas normal e tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Vectores livres e vectores deslizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Adição de forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6 Centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7 Rotação plana do corpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Sistemas dinâmicos 715.1 Variáveis de estado e espaço de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Campo de direcções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.1 Opções do programa plotdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3 Pontos de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.1 Ciclos e órbitas homoclínicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.2 Equilíbrio estável e instável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4 Sistemas autónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5 Sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Sistemas lineares 896.1 Equações de evolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 Sistemas autónomos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3 Estabilidade dos sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4 Classificação dos pontos de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.4.1 Pontos de sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4.2 Nós estáveis e instáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4.3 Focos e centros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4.4 Nós próprios e impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.5 Osciladores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5.1 Osciladores amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7 Sistemas não lineares 1097.1 Aproximação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2 O pêndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3 Aproximação linear do pêndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Conteúdo v

8 Métodos numéricos 1238.1 Método de Runge-Kutta de quarta ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . 127

8.2.1 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.2.2 Pêndulo de Wilberforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


9 Ciclos limite e sistemas de duas espécies 1399.1 Ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.1.1 Equação de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.1.2 Existência de ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.1.3 Inexistência de ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.2 Coexistência de duas espécies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.2.1 Sistemas predador presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2.2 Sistemas com competição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151


10 Bifurcações e caos 15710.1 Órbitas homo/heteroclínicas atractivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.2 Comportamento assimptótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

10.2.1 Teorema de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.2.2 Critério de Bendixson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.3 Bifurcações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.4 Sistemas caóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.4.1 Bola elástica sobre uma mesa oscilatória . . . . . . . . . . . . . . 16610.4.2 Equações de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169


A Python e VPython 175A.1 Idle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.2 O Python como calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.3 Blocos iterativos e condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.4 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179A.5 Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

B Tutorial do Maxima 181B.1 A interface do Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181B.2 Entrada e saída de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182B.3 Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183B.4 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

vi Conteúdo

B.5 Expressões e equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185B.6 Gráficos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186B.7 Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190B.8 Álgebra e trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191B.9 Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193B.10 Equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194B.11 Guardar informação entre sessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

C Programas auxiliares 199

D Formulário 203

E Créditos fotográficos 205

Soluções das perguntas e problemas 207

Bibliografia 219

Índice 221

Prefácio

Este livro é o texto de apoio para a disciplina de Física 1 (EIC0010) do primeiro ano doMestrado Integrado em Engenharia Informática e Computação (MIEIC), na Faculdade deEngenharia da Universidade do Porto. A versão deste livro aparece referida pela data, nacontracapa, e a versão mais recente pode ser obtida no sítio: http://fisica.fe.up.pt/pub/villate/fisica1.

Com a reforma de Bolonha, no ano académico 2006/2007 desapareceu a antiga disciplinado segundo ano do MIEIC, sobre sistemas dinâmicos. O programa dessa disciplina foiadaptado para a disciplina de Física 1, do primeiro ano, tornando o seu conteúdo menosmatemático e mais relacionado com a física elementar.

O tema central deste livro é a dinâmica, numa abordagem elementar, mas tratando temasavançados e contemporâneos, que não costumam ser tratados em disciplinas introdutóriasde física. O tratamento desses temas mais avançados, sem abdicar do nível elementar, éconseguido com o recurso a ferramentas computacionais (Maxima); outra ferramenta desoftware (VPython) é usada para simular sistemas físicos ilustrando o movimento dessessistemas em três dimensões.

Devo agradecer os meus alunos pela sua valiosa ajuda na correcção de muitos erros egralhas, e pelo seu entusiasmo e interesse que têm sido fonte de inspiração para escrevereste livro. São muitos alunos para listar os seus nomes aqui. Agradeço também aos meuscolegas com quem lecciono a disciplina de Física 1, João Carvalho, Francisco Salzedas eHelder Silva.

Jaime E. VillatePorto, Junho de 2009

http://fisica.fe.up.pt/pub/villate/fisica1

http://fisica.fe.up.pt/pub/villate/fisica1

1 Cinemática

A cinemática inversa consiste em determinar os ângulos que devem rodar as articulaçõesde um sistema de barras articuladas para alcançar uma posição determinada, e a formaóptima como devem ser modificados esses ângulos, para mudar de uma posição paraoutra. Esse tipo de estudo é muito importante na robótica, na programação de jogosde computador e nas técnicas de animação em 3 dimensões. O tipo de movimento querealizamos quando, por exemplo, agarramos uma lâmpada e colocámo-la numa tomada,é trivial para uma pessoa mas muito complexo quando tem de ser descrito no programaque acciona um braço robótico. A cinemática aborda um problema mais elementar queconsiste em determinar como variam os parâmetros que definem um movimento observado.

2 Cinemática

1.1 Graus de liberdade

A cinemática é a caracterização do movimento, sem considerar as suas causas. Começa-remos por estudar sistemas com apenas um grau de liberdade; nomeadamente, objectosque só se podem deslocar ao longo de uma trajectória determinada. Um exemplo é omovimento dum automóvel numa autoestrada; a distância que o automóvel percorre aolongo da estrada é muito maior do que a distância que possa percorrer mudando de faixa.Assim, o movimento é aproximadamente em uma dimensão; se o automóvel tiver umaavaria e o condutor tiver que telefonar para pedir um reboque, bastará dar uma coordenadapara identificar a sua posição: o quilómetro em que se encontra na autoestrada.

Figura 1.1: O movimento ao longo de uma auto-estrada pode ser considerado um movi-mento em uma dimensão.

Se em vez de estarmos a telefonar para um reboque na autoestrada, estivéssemos aciden-tados algures nas montanhas, com um aparelho de GPS, para indicar a nossa posição àequipa de resgate bastava dar a nossa latitude e longitude (duas coordenadas). Admitindoque temos os pês na terra, o nosso movimento está limitado a dois graus de liberdade.

1.2 Velocidade e aceleração

Vamos designar com a variável s, a posição num sistema em uma dimensão. Repare que spode ser positiva ou negativa e que o sistema em uma dimensão não tem que ser uma recta;pode ser qualquer curva fixa. Define-se a velocidade média,1 num intervalo de tempoentre t1 e t2, igual a variação da posição, dividida pelo intervalo de tempo:

1Alguns autores preferem reservar os termos “posição” e “velocidade” para designar os vectores da posiçãoe da velocidade. Nós usaremos o termo velocidade no sentido da linguagem quotidiana, nomeadamente,sem indicação da sua direcção ou sentido, e “posição” neste caso indica a distância ao longo da trajectóriado objecto, referida a uma origem sobre a mesma trajectória.

1.2 Velocidade e aceleração 3

Figura 1.2: A superfície do terreno é um sistema em duas dimensões. Um objecto emmovimento nessa superfície terá dois graus de liberdade.

v12 =s2− s1

t2− t1(1.1)

admitimos sempre que t2 > t1; assim, a variação da posição é medida sempre em relação aum instante anterior. As unidades da velocidade são unidades de distância sobre tempo:m/s, km/h, ...

A velocidade média num intervalo não dá informação sobre o movimento num instantedeterminado. O objecto pode ter se deslocado em forma uniforme desde s1 até s2, ou terparado em algum instante e andado mais rapidamente em outros instantes.

Para definir a velocidade num instante t, calcularemos a velocidade média no intervaloentre t e um instante posterior ∆t, no limite em que o intervalo de tempo ∆t for muitopequeno, aproximadamente nulo:

v(t) = lim∆t→0

s(t +∆ t)− s(t)∆ t

(1.2)

Esse limite designado de derivada da função s em ordem a t. outra forma abreviada deescrever esse limite é:

v = lim∆ t→0

∆s∆ t

(1.3)

ou ainda

v =dsd t

(1.4)

outra notação usada em mecânica é: v = s, em que o ponto indica a derivada em função det.

4 Cinemática

Em forma análoga, podemos definir a aceleração tangencial no instante t igual à variaçãoda velocidade nesse instante:

at(t) = lim∆ t→0

v(t +∆ t)− v(t)∆ t

(1.5)

Usando a notação abreviada com os pontos:

at =dvd t

(1.6)

A aceleração mede-se em unidades de distância sobre tempo ao quadrado: m/s2, km/h2,etc. Usando a notação abreviada pode escrever-se a derivada da velocidade com at = v; ecomo a velocidade é a derivada da posição s, podem também escrever-se: at = s; os doispontos por cima duma função indicam a sua segunda derivada em ordem ao tempo.

1.3 Equações de movimento

As duas equações 1.4 e 1.6 são designadas de equações de movimento. Como veremosnos exemplos nesta secção, se uma das variáveis cinemáticas s, v ou a, for conhecida emtodos os pontos de um intervalo de tempo, as outras duas variáveis podem ser calculadascom as equações de movimento.

É possível também eliminar o tempo entre as duas equações, na forma seguinte:

at

v= lim

∆ t→0

∆v∆ t∆s∆ t

= lim∆ t→0

∆v∆s

(1.7)

A equação obtida é:at

v=

dvds

(1.8)

Exemplo 1.1A posição de uma partícula, ao longo de um percurso é dada pela função s = 3t3− t2.Calcule a velocidade e aceleração tangencial em função do tempo.

Resolução: derivando a função da posição, obtemos a velocidade:

v = s = 9t2−2t

e derivando novamente, obtemos a aceleração tangencial:

at = v = 18t−2

1.3 Equações de movimento 5

Exemplo 1.2Se a velocidade de uma partícula ao longo de um canal for v = 3t2 +5t, calcule a aceleraçãotangencial e a posição em função do tempo.

Resolução: A aceleração pode ainda ser calculada igual que no exemplo anterior, porderivação:

at = v = 6t +5

para calcular a posição em função do tempo, substituímos v na equação s = v

dsd t

= 3t2 +5t

Podemos concluir já que a posição é a primitiva da função 3t2 + 5t, mas em vez disso,vamos explicar o método da separação de variáveis que poderá ser usado também emoutros casos mais complicados. O método consiste em considerar a derivada como umquociente e agrupar num lado da equação todo o que depender de s, e no outro lado todo oque depender de t; neste caso, seria assim:

ds = (3t2 +5t)d t

a seguir, integram-se os dois lados da equação, especificando limites respectivos a cadavariável:

s∫s0

ds =t∫

t0

(3t2 +5t)d t

Onde s0 é o valor inicial da posição, no instante inicial t0, e s é a posição em qualquerinstante t. Normalmente, podemos arbitrar t0 = 0 e s0 = 0, mas vamos deixá-los comoparâmetros arbitrários, para obter o caso mais geral. O resultado dos dois integrais dá aposição em função do tempo:

s− s0 = t3 +52

t2− t30 −

52

t20

É de salientar que para podermos resolver uma das equações de movimento, como temosfeito nos exemplos anteriores, é preciso termos uma equação com apenas duas variáveisdas quatro possíveis variáveis (t, s, v, at). O método que usámos, separação de variáveis,só funciona em alguns casos; em muitos problemas é impossível separar as duas variáveis.Para esses casos existem outros métodos de resolução, que não vamos explorar aqui, poisusaremos um método aproximado de resolução numérica.

6 Cinemática

Exemplo 1.3Uma esfera cai em queda livre, a partir do repouso, desde um prédio com 5 m de altura.Admitindo que o atrito com o ar é desprezável, a aceleração é constante, para baixo e iguala 9.8 m/s2 (aceleração da gravidade). Calcule o tempo que a bola demora a cair até o chãoe a velocidade que terá nesse instante.

Resolução: O movimento da esfera em queda livre será na direcção vertical. Se designar-mos o eixo vertical por y, com origem no chão, a posição inicial é y0 = 5 (unidades SI) e aaceleração deverá ser negativa. at =−9.8, por apontar no sentido oposto ao aumento de y.

Substituindo o valor da aceleração na equação 1.8, é:

−9.8v

=dvdy

é possível usar o método de separação de variáveis e integrar desde o ponto inicial (y0 = 5,v0 = 0) até o ponto final y = 0 com velocidade v a ser determinada:

−0∫

5

9.8 ds =v∫

0

v dv

o resultado dos integrais dá:

9.8×5 =v2

2portanto, a velocidade final com que a esfera bate no chão é −9.90 m/s.

Para calcularmos o tempo da queda, substituiremos o valor da aceleração na equação 1.4:

−9.8 =dvd t

Separando as variáveis e integrando temos:

−t∫

0

9.8 d t =−9.90∫0

dv

−9.8 t =−9.90 ⇒ t = 1.01 s

Repare que esta segunda equação só podia ser resolvida após ter-se calculado a velocidadefinal em y = 0.

O exemplo anterior podia ter sido resolvido usando equações que são válidas apenas paramovimentos com aceleração constante, por exemplo, a equação y = v0 t + gt2/2, masnão vale a pena tentar memorizar essas equações, que são apenas válidas no caso daaceleração ser constante. É preferível, num exemplo específico, partir sempre das equaçõesde movimento, com os valores concretos conhecidos.

1.3 Equações de movimento 7

Observe também que neste caso foi possível integrar at, em ordem a t ou em ordem a y,pelo facto de at ser uma constante. Se assim não for, seria preciso saber a forma funcionalde at, e substituir, antes de poder separar as variáveis.

Exemplo 1.4A aceleração de uma esfera pendurada numa mola vertical é dada pela função: a =−ω2y,onde y é a altura, medida a partir da origem na posição de equilíbrio da esfera na mola.Calcule a altura e a velocidade em função do tempo.

y

0

Resolução: Tendo em conta que neste caso a posição está a ser designada por y, em vezde s, podemos substituir a expressão da aceleração na equação a = v dv/dy, ficando comuma equação com duas variáveis:

−ω2y = v

dvdy

é possível separar as variáveis; vamos arbitrar que y0 = 0:

−ω2

y∫0

y dy =v∫

v0

v dv

onde v0 = v(y = 0). Integrando e simplificando obtemos a velocidade em função da altura:

v =±√

v20−ω2y2 (1.9)

Observe que a altura y deverá estar dentro do intervalo −A≤ y≤ A, em que:

A =∣∣∣v0

ω

∣∣∣Como v deverá ser uma função contínua e derivável, nos intervalos em que y aumentadesde −A até A, deverá usar-se o sinal positivo na expressão 1.9. Nos intervalos em que yé decrescente, deverá usar-se o sinal negativo.

8 Cinemática

Para encontrar a altura em função do tempo, substituímos as expressões 1.9 na equaçãov = y e usamos o método da separação de variáveis

t∫0

d t =±y∫

0

1√v2

0−ω2y2dy

foi arbitrado que t = 0 em y = 0. A escolha do sinal positivo ou negativo dependerá dosinal de v0; lembre que o limite superior não poderá ultrapassar o valor máximo de y.Deixa-se como exercício demonstrar que, para v0 > 0, obtém-se o seguinte resultado:

y = Asin(ωt) (1.10)

e para v0 < 0 o resultado é semelhante, mas com sinal negativo.

A velocidade em função do tempo obtém-se derivando a expressão anterior; independente-mente do sinal de v0, o resultado obtido é:

v = v0 cos(ωt) (1.11)

1.4 Resolução numérica das equações demovimento

Em problemas reais, nem sempre obtemos equações tão simples como as da secção anterior.Um método mais geral de resolução consiste na obtenção de soluções aproximadas emforma numérica. Nos capítulos finais deste livro usaremos esse tipo de métodos pararesolver problemas complexos que não podem ser resolvidos em forma exacta. Pararesolver problemas simples, semelhantes aos exemplos da secção anterior, bastará usar ummétodo numérico com pouca precisão; conseguiremos comparar com as soluções exactaspara avaliar a validade desse método numérico.

Consideremos o caso em que é conhecida a aceleração, para quaisquer valores de t, s e v.O método numérico mais simples consiste em admitir que as variáveis cinemáticas nãovariam contínuamente, mas variam apenas em instantes de tempo t0, t0 + d t, t0 +2d t, ...Com os valores iniciais de t0, s0, e v0, que deverão ser conhecidos, calcula-se a0. Comos valores de v0 e de a0, e admitindo que permanecem constantes durante o intervalo d t,calculam-se s1 e v1, para o instante seguinte, t1 = t0 + d t, usando as equações:

s1 = s0 + v0 d t (1.12)v1 = v0 +a0 d t (1.13)

1.4 Resolução numérica das equações de movimento 9

o procedimento repete-se iterativamente, quantas vezes for necessário: a partir dos valoresdas variáveis em t1 calculam-se os seus valores em t2 = t1 + d t, e assim sucessivamente.O valor de d t deverá ser suficientemente pequeno para que a aproximação seja válida.

Exemplo 1.5Escreva um programa para imprimir uma tabela com valores do tempo, altura e a velocidadepara uma esfera em queda livre, a partir do repouso, desde um prédio com 5 m de altura.Admita que a aceleração da gravidade é 9.8 m/s2.

Resolução: Este problema já foi resolvido em forma analítica no exemplo 1.3. Pararesolvê-lo em forma numérica,usaremos intervalos de tempo de 0.01 s. O programa se-guinte, na linguagem Python, imprime uma tabela com os valores o tempo a altura emmetros e a velocidade em m/s.

programa 1.11 g = -9.8 # aceler. da gravidade2 y = 5 # altura inicial3 vy = 0 # velocidade inicial4 dt = 0.01 # intervalos de tempo5 t = 0 # valor inicial do tempo6 while y > 0: # queda enquanto não atingir o chão (y=0)7 t = t + dt # novo tempo8 y = y + vy*dt # nova altura9 vy = vy + g*dt # nova velocidade

10 print y, vy # apresenta resultados

As 3 últimas linhas na lista produzida pelo programa são as seguintes:1.0 0.149 -9.81.01 0.051 -9.8981.02 -0.04798 -9.996

Isso quer dizer que a esfera bate no chão passados aproximadamente 1.01 segundos e comuma velocidade de 9.90 m/s. Estes resultados concordam bem com os resultados obtidosno exemplo 1.3.

Para visualizar melhor os dados no exemplo anterior, vamos desenhar a esfera e o chão,usando o módulo visual que faz parte do pacote VPython:

1 from visual import *2 bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)3 chao = box (pos=(0,-0.25,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)

A função sphere cria um objecto que é uma esfera com centro, raio e cor especificadospelos 3 atributos pos, radius e color. O centro tem três coordenadas (x,y,z), que

10 Cinemática

correspondem aos eixos de esquerda para direita, de baixo para cima, e do ecrã para fora.A função box desenha uma caixa com o tamanho dado, e com centro na posição dada.

Figura 1.3: Janela gráfica do módulo Visual, mostrando a esfera e o chão.

Premindo o botão direito do rato por cima da imagem, enquanto se desloca o rato, podemosrodar a imagem a 3 dimensões. Premindo o botão do meio e deslocando o rato para cima,o ponto de vista aproxima-se dos objectos; deslocando para baixo o rato, o ponto de vistaafasta-se.

A posição da esfera que criamos pode ser obtida em qualquer parte do programa atravésda variável bola.pos, que representa o atributo pos do objecto bola, que é da classesphere. Essa posição será um vector com 3 componentes. No caso do nosso programa,interessa-nos apenas a componente y, que é obtida com bola.pos.y. Os objectos daclasse sphere não têm associado, por omissão, nenhuma velocidade; mas podemos criarum novo atributo para a velocidade, com valor inicial 0, através do comando: bola.vy=0.

O programa completo que desenha a bola a cair será:

programa 1.21 from visual import *2 bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)3 chao = box (pos=(0,-0.25,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)4 g = -9.85 bola.vy = 06 dt = 0.01


7 while bola.pos.y > bola.radius:8 rate (100)9 bola.pos.y = bola.pos.y + bola.vy*dt

10 bola.vy = bola.vy + g*dt

O comando rate foi usado para controlar a velocidade com que são feitas as iterações(100 por segundo); sem esse comando, o programa seria executado mais rapidamente e aqueda demorava tempos diferentes em diferentes computadores. O tamanho dos objectosmuda, devido a que o VPython muda automaticamente o ponto de vista quando os objectosmudam de posição.

Para manter a escala do desenho fixa, podemos dar um valor nulo ao atributo scene.autoscale.Podemos também fazer com que a bola seja projectada de volta para cima após o impactocom o chão, e usar um ciclo sem fim, para fazer com que o movimento continue indefini-damente:

programa 1.31 from visual import *2 bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)3 chao = box (pos=(0,-0.25,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)4 scene.autoscale=05 g = -9.86 bola.vy = 07 dt = 0.018 while True:9 rate(100)

10 bola.pos.y = bola.pos.y + bola.vy*dt11 if bola.pos.y < bola.radius:12 bola.vy = -bola.vy13 else:14 bola.vy = bola.vy + g*dt

A condição “while True” é sempre válida, assim que o ciclo nunca termina. Para terminaro programa é preciso eliminar a janela gráfica.

12 Cinemática

Perguntas

1. A aceleração de uma partícula ao longode uma trajectória é a = 4 t (unidades SI).Se num instante inicial a velocidade forigual a 4 m/s, qual será a velocidade 3segundos mais tarde?

A. 22 m/sB. 18 m/s

C. 40 m/sD. 36 m/s

E. 4 m/s

2. Uma partícula desloca-se ao longo doeixo dos x com uma aceleração que au-menta em função do tempo: a = 6 t (uni-dades SI). No instante t = 0, a partículaencontra-se em repouso no ponto x = 2 m.Calcule a posição da partícula em t = 2 s.

A. x = 10 mB. x = 8 mC. x = 14 m

D. x = 12 mE. x = 26 m

3. Uma partícula desloca-se ao longo dumpercurso linear. Define-se como sentidopositivo o sentido da velocidade inicial.Nos pontos em que o declíve no gráficoda velocidade em função do tempo fornegativo, podemos afirmar que:

A. A aceleração é no sentido oposto àvelocidade inicial.

B. A aceleração é no sentido oposto àvelocidade.

C. A aceleração faz aumentar a veloci-dade.

D. A aceleração diminui em função dotempo.

E. A aceleração é constante e no mesmosentido da velocidade.

4. Num gráfico onde está representada a ve-locidade, num movimento em uma di-mensão, em função da posição, o declíveem cada ponto representa:

A. A aceleração instantânea.B. A velocidade instantânea.C. A aceleração instantânea dividida

pela velocidade instantânea.D. A velocidade instantânea vezes a ace-

leração instantânea.E. A velocidade instantânea dividida

pela aceleração instantânea.

5. Num programa em Visual Python, a tra-jectória de uma partícula está a ser actua-lizada com os comandos:part.pos.z=part.pos.z+part.v.z*dtpart.v.z=part.pos.z*dt+part.v.zPodemos afirmar que no movimento a serestudado:

A. A aceleração é constante.B. A aceleração depende da posição.C. A aceleração é directamente proporcional

à velocidadeD. A posição é directamente porporcional à

velocidade.E. A posição é directamente porporcional

ao tempo.

Problemas

1. O movimento de uma partícula está definido pela relação x = 2t3−6t2 +10 (unidadesSI). Determine o tempo, posição e aceleração quando v = 0.


2. A aceleração de uma partícula que se desloca no eixo dos x é a = −4 m/s2. Se emt = 0, v = +24 m/s e x = 0, determine a velocidade e a posição em t = 8 s, e a distânciatotal percorrida entre t = 0 e t = 8 s.

3. A aceleração de uma partícula que se desloca num percurso a uma dimensão, estádefinida pela relação a = 9− 3t2, onde t é medido em segundos, e a em cm/s2. Apartícula parte do repouso no ponto s = 5 cm, em t = 0. Calcule: (a) o tempo quando avelocidade é novamente nula, (b) a posição e a velocidade quando t = 4 s, (c) a distânciatotal percorrida pela partícula desde t = 0 até t = 4 s.

4. A aceleração de uma partícula está definida pela relação a =−k/x2. A partícula partedo repouso em x = 800 mm, e em x = 500 mm a sua velocidade é 6 m/s. Calcule: (a) ovalor de k, (b) a velocidade da partícula em x = 250 mm.

5. A aceleração de uma partícula que oscila no eixo dos x está definida pela relaçãoa =−kx. Calcule: (a) o valor de k para que a velocidade seja v = 15 m/s quando x = 0e a posição seja x = 3 m quando v = 0, (b) o módulo da velocidade da partícula quandox = 2 m.

6. A aceleração de uma partícula está definida pela relação a = −4s(1 + k s2), onde aé medida em m/s2 e a posição s em metros. Sabendo que v = 17 m/s quando s = 0,determine a velocidade quando s = 4 m, para os seguintes valores da constante k: (a)k = 0, (b) k = 0.015, (c) k =−0.015.

7. O quadrado da velocidade v de um objecto, ao longo de uma trajectória, diminuilinearmente em função da distância ao longo da trajectória, s, tal como se mostra nográfico. Calcule o deslocamento ∆s durante os dois últimos segundos antes de o objectochegar até ao ponto B.

0s (m)

v2 (m/s)

2

100 400

2500

900

A

B

8. A aceleração de uma partícula ao longo de uma trajectória fixa é a =−0.4v, onde a émedida em mm/s2 e v em mm/s. Sabendo que em t = 0 a velocidade é 30 mm/s, calcule(a) a distância que a partícula percorrerá antes de parar, (b) o tempo necessário para apartícula parar, (c) o tempo necessário para que a velocidade diminua ate 1 por centodo seu valor inicial.

14 Cinemática

9. A aceleração de uma partícula em queda livre na atmosfera, tendo em conta o atrito,verifica a equação a = g(1− k2v2). Sabendo que a partícula parte do repouso em t = 0,(a) demonstre que a velocidade num instante posterior t é v = (1/k) tanh(kgt), (b)escreva uma equação que defina a velocidade da partícula após ter caído uma distânciay. (c) Porquê é chamada a velocidade vt = 1/k velocidade terminal?

10. Uma pedra é lançada verticalmente para cima desde uma ponte que está 40 m porcima da superfície da água. Sabendo que a pedra cai na água 4 segundos depois de serlançada, calcule (a) a velocidade com que a pedra foi lançada, (b) a velocidade comque a pedra entra na água.

11. (a) Modifique o programa que mostra a bola a cair e a subir novamente, para que apóscada colissão com o chão, a bola só recupere 0.9 da velocidade que trazia (coeficientede restituição igual a 0.9). (b) No programa feito na alínea anterior, introduza umacondição para que quando a bola esteja praticamente estática no chão, com |vy|< 0.01,o programa termine.

12. (a) Crie um programa que desenhe o movimento da esfera do exemplo 1.4. Admita queω2 = 4 s−2, e que a esfera parte do repouso, em y0 = 1. Observe várias oscilações daesfera. (b) No programa da alínea anterior, mude a ordem dos comandos que actualizamos valores da altura e da velocidade e observe novamente várias oscilações da esfera.Discuta os resultados.

2 Dinâmica

Aos 23 anos Isaac Newton teve uma ideia inovadora que foi a inspiração para a sua teoriada gravitação e da mecânica em geral. Newton pensou que assim como uma maçã cai,devido à atracção gravitacional da Terra, a Lua também se encontra em queda livre sob aacção gravitacional da Terra. A razão pela qual a queda livre da Lua não faz diminuir a suadistância à Terra, como no caso da queda da maçã, é porque a Lua tem uma velocidadehorizontal muito elevada, de forma que em cada instante a distância horizontal percorridae a distância vertical da queda descrevem um arco de círculo com raio constante. Com osdados conhecidos na época, para a distância entre a Terra e a Lua e o período orbital da Lua,Newton calculou a distância vertical que a Lua cai, por unidade de tempo; comparandocom a distância da queda de uma maçã, descobriu que a força de atracção gravitacionaldecresce inversamente proporcional à distância ao quadrado.

16 Dinâmica

2.1 Movimento em duas ou três dimensões

Antes de estudar as leis da dinâmica , começaremos por estender a análise cinemática docapítulo anterior para o caso de duas ou três dimensões.

Uma forma conveniente de representar a posição, velocidade e aceleração de sistemas commais do que um grau de liberdade consiste em usar vectores. As operações com vectores(soma, derivação, etc) são mais simples se usarmos um sistema de coordenadas cartesianas.

x y

z

r

ex

ey

ez

t

Figura 2.1: Vectores unitários que definem o sistema de coordenadas cartesianas e vectorposiçao.

Um sistema de coordenadas cartesianas em 3 dimensões é definido por uma origem O etrês versores (vectores unitários)~ex, ~ey e~ez perpendiculares entre si. A posição de umapartícula em qualquer instante t é dada pelo vector posição:

~r = x~ex + y~ey + z~ez (2.1)

em que (x, y, z) são as coordenadas cartesianas da posição da partícula. Em duas dimensõesescolhem-se dois versores perpendiculares, por exemplo,~ex e y~ey e o vector de posição éx~ex + y~ey.

O vector velocidade é definido como a derivada do vector de posição em função do tempo:

~v =d~rd t

(2.2)

Em coordenadas cartesianas, a derivada de um vector calcula-se derivando cada uma dascomponentes; assim, derivando os dois lados da equação 2.1 obtêm-se as componentes dovector velocidade:

vx =dxd t

vy =dyd t

vz =dzd t

(2.3)

2.2 Leis de Newton 17

O vector aceleração é igual à derivada do vector velocidade em função do tempo:

~a =d~vd t

(2.4)

e as 3 componentes da aceleração são as derivadas das 3 componentes da velocidade:

ax =dvx

d tay =

dvy

d taz =

dvz

d t(2.5)

As equações 2.2 e 2.4 são as equações de movimento em 3 dimensões, escritas em formavectorial. Escritas em forma escalar, as equações de movimento são as 6 equações 2.3 e2.5.

Igual que fizemos no caso de uma dimensão, podemos combinar as equações de movimentopara eliminar o tempo e obter outra equação que relaciona a posição com a velocidade e aaceleração. Assim, obtemos mais 3 equações escalares:

ax

vx=

dvx

dxay

vy=

dvy

dyaz

vz=

dvz

dz(2.6)

Outra grandeza vectorial que usaremos nas secções seguintes é a quantidade de movi-mento, ~p, definida como o produto entre a massa da partícula, m, e a sua velocidadevectorial:

~p = m~v (2.7)

a quantidade de movimento também costuma ser designada de momento linear.

2.2 Leis de Newton

As três leis de Newton, são a base da mecânica clássica, que permite estudar desde omovimento dos objectos à nossa volta, até o movimento dos planetas, estrelas e outrosobjectos distantes. As 3 leis foram enunciadas em forma clara numa única página do livroescrito por Newton em 1687 (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural).

Vale a pena lermos o texto original do século XVII, que é bastante claro. Na páginaseguinte apresentamos uma tradução da página do livro de Newton onde introduz as 3 leis,baseada na tradução inglesa do original em latim.

18 Dinâmica

Primeira lei. Qualquer corpo continua no seu estado de repouso, ou de movimentorectilíneo uniforme, a não ser que seja obrigado a mudar esse estado devido à acção deforças aplicadas.

Os projécteis mantêm os seus movimentos, enquanto não forem retardados pela resistênciado ar, ou puxados para baixo pela força da gravidade. Um pião, cujas partes sãocontinuamente desviadas do seu movimento rectilíneo uniforme devido às forças decoesão entre as partes, não perde o seu estado de rotação, a não ser pelo efeito retardadordo ar. Os corpos mais volumosos como os planetas e os cometas, por encontrarem menorresistência nos seus espaços mais livres, mantêm os seus movimentos, tanto progressivocomo circular, por períodos mais longos de tempo.

Segunda lei. A variação da quantidade de movimento é proporcional à força motrizaplicada e dá-se na direcção da recta segundo a qual actua essa força.

Se uma força qualquer produzir uma quantidade de movimento, uma força igual ao dobroproduzirá quantidade de movimento duas vezes maior, uma força três vezes maior triplicaa quantidade de movimento e assim sucessivamente. E essa quantidade de movimento (queserá sempre dirigida no mesmo sentido da força que a gerou), é adicionada ou subtraída àquantidade de movimento que o corpo já tiver anteriormente, segundo os dois movimentosestiverem em concordância ou forem opostos, ou serão combinados em forma oblíqua,para produzir uma nova quantidade de movimento composta pelas duas quantidades demovimento.

Terceira lei. A toda a acção sempre se opõe uma reacção igual: ou, as acções mútuas dedois corpos são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.

Qualquer coisa que empurre ou puxe outra, é igualmente empurrada ou puxada por essaoutra coisa. Se empurrar uma pedra com o seu dedo, o dedo também é empurrado pelapedra. Se um cavalo puxar uma pedra atada por uma corda, o cavalo será igualmentepuxado de volta para a pedra (usando aqui o termo puxar num sentido geral); já que acorda esticada, pela sua tendência própria de recuperar a sua forma, puxará por igual ocavalo em direção da pedra e a pedra em direcção do cavalo, e obstruirá o movimento deum, na mesma medida que faz avançar o outro. Se um corpo bater noutro, e pela força doimpacto alterar a quantidade de movimento do outro, esse corpo (devido à igualdade daspressões mútuas) também sofrerá uma alteração igual na sua quantidade de movimento,dirigida em sentido oposto. As alterações feitas por essas acções são iguais, não emvelocidade mais sim na quantidade de movimento dos corpos; isto é, se os corpos nãotiverem outros impedimentos. Já que, se as quantidades de movimento são alteradaspor igual, as alterações das velocidades ocorridas em sentidos opostos são inversamenteproporcionais às massas dos corpos. Essa lei também se verifica no caso das forçasatractivas, como será demonstrado a seguir...


2.2.1 Lei da inércia

A primeira lei de Newton é denominada lei da inércia . Um sistema em que se verifiqueessa lei, é designado por sistema inercial.Consideremos um exemplo; numa esfera em repouso sobre uma mesa horizontal actuamduas forças: o seu peso e a reacção normal, para cima, produzida pela mesa. A resultantedas duas forças é zero e a esfera permanece no seu estado de repouso; assim, a mesa é umsistema inercial.

Se a mesa estiver dentro de um comboio que se desloca a alta velocidade, se o movimentodo comboio for rectilíneo e uniforme, a esfera ainda permanecerá em repouso. O comboiocom movimento rectilíneo com velocidade constante é um sistema inercial.

Se o comboio acelera, abranda a sua marcha ou entra numa curva, a esfera não permaneceem repouso. Em qualquer um desses casos em que a velocidade do comboio muda, estedeixa de ser um sistema inercial.

2.2.2 Força e aceleração

A forma como a segunda lei de Newton é enunciada no seu livro é expressa em termosmatemáticos pela seguinte equação:

t f∫t0

~F d t = ~p f −~p0 (2.8)

em que ~F é a força total que actua sobre o sistema, ~p f é a quantidade de movimento numinstante final t f e ~p0 a quantidade de movimento no instante inicial t0.

O integral da força em função do tempo, no lado esquerdo da equação 2.8, é um vector~I, designado de impulso. Assim, se um corpo tem inicialmente uma quantidade demovimento ~p0 e sobre ele actua uma força durante um intervalo de tempo, no fim desseintervalo a quantidade de movimento do corpo será ~p0 +~I.

Na linguagem matemática moderna, a “combinação oblíqua” referida por Newton corres-ponde à soma vectorial de ~p0 e~I usando a regra do paralelogramo: a soma dos vectoresé o vector na diagonal do paralelogramo obtido traçando paralelas aos dois vectores(figura 2.2).

Em coordenadas cartesianas, basta somar mutuamente as coordenadas dos dois vectorespara obter o vector resultante que verifica a regra do paralelogramo.

A equação 2.8 pode ser escrita em forma diferencial:

~F =d~pd t

(2.9)

Se existirem várias forças a actuar sobre o corpo, a variação da quantidade de movimentodo corpo será a soma de todas essas forças e escrevendo a quantidade de movimento em

20 Dinâmica

I

p0

pf

Figura 2.2: Regra do paralelogramo para somar os vectores ~p0 e~I.

função da velocidade temos:n

∑i=1

~Fi =d(m~v)

d t(2.10)

a soma das forças é feita como qualquer outra soma vectorial, usando a regra do paralelo-gramo.

Normalmente, a massa do corpo é constante podendo ser colocada fora da derivada naequação 2.10, ficando a derivada da velocidade, que é a aceleração:

n

∑i=1

~Fi = m~a (2.11)

Esta é a forma mais habitual em que costuma ser escrita a segunda lei de Newton.

A unidade de força no Sistema Internacional de unidades é o newton, N. Uma força de 1 Né a força que produz uma aceleração de 1 m/s2 num corpo com massa de 1 kg.

As experiências no laboratório mostram que, eliminando o efeito da resistência do ar,todos os objectos em queda livre são acelerados com a mesma aceleração: aceleração dagravidade, que tem um valor aproximadamente igual a:

g = 9.8ms2 (2.12)

Portanto, de acordo com a segunda lei de Newton, o peso de qualquer objecto (força dagravidade perto da superfície terrestre) é directamente proporcional à sua massa:

~P = m~g (2.13)

em que a aceleração da gravidade, ~g, é um vector constante com direcção vertical, sentidode cima para baixo e módulo 9.8 m/s2.

Assim, por exemplo, um objecto com massa de 2 kg terá um peso de 19.6 N.


2.2.3 Lei de acção e reacção

A terceira lei de Newton é designada por lei de acção e reacção. Consideremos um dosexemplos referidos por Newton: um cavalo que arrasta um bloco pesado atado por umacorda (figura 2.3). A corda exerce a mesma força sobre o bloco e sobre o cavalo, mas emsentidos opostos.

Figura 2.3: Cavalo a arrastar um bloco de 350 kg.

É conveniente analisarmos por separado as forças que actuam no bloco e no cavalo, comomostra a figura 2.4. Se a velocidade com que o cavalo arrasta o bloco for constante, asegunda lei de Newton implica que a soma das forças que actuam sobre o bloco e sobre ocavalo será nula.

T

Pb

Fb

Rb

−TPc

F1

R1

F2

R2

Figura 2.4: Forças sobre o bloco e sobre o cavalo.

22 Dinâmica

O peso do bloco, ~Pb, actua no centro de gravidade do bloco. A corda puxa o bloco nadirecção em que está esticada, com uma força ~T , como se mostra no lado esquerdo dafigura 2.4. A resultante do peso e da força da corda é um vector que aponta para baixo epara a direita; uma vez que a resultante das forças no bloco é nula (aceleração nula), ochão deverá exercer uma força para cima e para a esquerda.

A componente da força de contacto que aponta para cima é chamada reacção normal e acomponente horizontal é a força de atrito entre o bloco e o chão.

A corda puxa o cavalo para atrás, com a força −~T oposta à força que actua no bloco. Nasduas ferraduras do cavalo que estão em contacto com o chão haverá duas reacções normais~R1 e ~R2 e duas forças de atrito ~F1 e ~F2. resultante dessas 5 forças e do peso do cavalo énula.

As forças de atrito actuando nas ferraduras do cavalo apontam no sentido do movimento.O cavalo empurra o chão para atrás e a reacção do chão a essas forças são as forças ~F1 e ~F2que apontam para a frente. O módulo de cada uma dessas duas forças depende da forçaque exercer o cavalo em cada um dos dois pés.

Sobre o chão actuam em total 8 forças de reacção (figura 2.5). As reacções aos pesosdo bloco e do cavalo, −~Pb e −~Pc, são as forças de atracção gravitacional do bloco e docavalo sobre a Terra. Essas forças actuam no centro de gravidade da Terra, mas foramrepresentadas perto do chão na figura. As outras seis forças são as forças exercidas sobre ochão pelo bloco e pelo cavalo. Se a velocidade do cavalo é constante, a soma dessas forçasé nula.

−Pc

−R1

−F1

−R2

−F2

−Rb

−Fb

−Pb

Figura 2.5: Forças exercidas sobre o chão.

Se a velocidade do cavalo estivesse a aumentar, a resultante das forças sobre o cavalo e obloco seriam uma força para a direita e a força resultante sobre o chão seria igual e oposta,para a esquerda.

Como salienta Newton, o resultado dessas forças sobre o cavalo mais o bloco e sobre o chãonão seria o de produzir velocidades iguais e de sentidos contrários, mas sim quantidadesde movimento iguais e de sentido contrário. A grande diferença entre as massa da Terra edo cavalo mais o bloco implica que a velocidade de recuo da Terra será imperceptível emcomparação com a velocidade de avanço do cavalo mais o bloco.


Exemplo 2.1Sobre uma partícula com massa de 200 gramas actuam duas forças (unidades SI):

~F1 = 2 t~ex +4~ey ~F2 =−2~ex +~ey

em que t é o tempo. A partícula parte do repouso em t = 0, na posição~r =~ex +~ey +~ez.Calcule a posição da partícula em t = 3 s.

Resolução: a força resultante é a soma das duas forças

~F = 2(t−1)~ex +5~ey

e dividindo pela massa, 0.2 kg, obtém-se a aceleração vectorial

~a = 10(t−1)~ex +25~ey

para cada componente da aceleração podemos aplicar as equações do movimento 2.3, 2.5e 2.6. Para a componente x temos

ax = 10(t−1) =dvx

d tseparando variáveis e integrando,

t∫0

10(t−1) d t =vx∫

0

dvx =⇒ vx = 5 t2−10 t

substituindo na equação 2.3,

vx = 5 t2−10 t =dxd t

separando variáveis e integrando obtemos a coordenada x em t = 33∫

0

(5 t2−10 t

)d t =

x∫1

dx =⇒ x = 1+53

33−5×32 = 1

Um processo semelhante deverá ser feito para calcular a coordenada y

ay = 25 =dvy

d t=⇒

t∫0

25 d t =

vy∫0

dvy =⇒ vy = 25 t

vy = 25 t =dxd t

=⇒3∫

0

25 t d t =y∫

1

dy =⇒ y = 113.5

Na direcção z, como não existe força, a velocidade permanecerá constante; como avelocidade inicial é nula, a coordenada z da posição permanecerá também constante.Portanto, o vector posição em t = 3 s será:

~r =~ex +113.5~ey +~ez

24 Dinâmica

2.3 Forças de atrito

A força de atrito é a componente tangencial da força de contacto entre duas superfícies. Aforça de contacto entre as superfícies actua em vários pontos diferentes; a resultante detodas essas forças é equivalente a uma única força, em algum ponto da superfície. Costumaseparar-se essa força nas suas componentes normal à superfície, a reacção normal ~Rn, etangente à superfície, a força de atrito (figura 2.6).

Rn

Fa

Figura 2.6: Reacção normal Rn e força de atrito ~Fa sobre um bloco na superfície de umamesa.

2.3.1 Atrito estático

Quando não existe movimento relativo entre as duas superfícies em contacto, a força deatrito designa-se de atrito estático. A força de atrito estático pode ser nula, ou pode estarorientada em qualquer direcção tangente às superfícies em contacto.

Figura 2.7: A força que permite que o eléctrico suba uma encosta ou trave na descida é aforça de atrito estático entre as rodas e os carris.

2.3 Forças de atrito 25

A força de atrito estático faz possível colocar um veículo em movimento ou fazer com quetrave É também a força que nos permite caminhar: empurramos com os nossos pés o chãoe a reacção do chão no sentido oposto faz-nos avançar. Mas se o chão estivesse cobertopor gelo, os nossos pés escorregavam para atrás e não avançávamos para a frente.

Isso acontece porque o módulo da força de atrito estático não pode ultrapassar um valormáximo, que é proporcional à reacção normal:

Fe ≤ µe Rn (2.14)

onde µe é uma constante própria do tipo de superfícies em contacto, designada de coefici-ente de atrito estático. O coeficiente de atrito estático costuma ser menor que 1.

Consideremos um exemplo: as forças entre a estrada e os pneus de uma bicicleta. Asforças de atrito entre os dois pneus e a estrada são ambas forças de atrito estático, porqueas rodas não escorregam. Na roda traseira a força de atrito aponta para a frente, na direcçãodo movimento da bicicleta (figura 2.8), como resultado da reacção da estrada à acção queo pneu exerce sobre a estrada no sentido oposto.

A força de atrito na roda da frente é no sentido oposto ao movimento, porque nessa roda nãoé exercida nenhuma tracção pelo ciclista. Para manter essa roda em rotação, contrariandoo atrito no eixo da roda, é preciso que a estrada actue com força de atrito no sentido opostoà velocidade da bicicleta.

F1

R1

F2

R2

Figura 2.8: Forças de atrito entre os pneus de uma bicicleta e a estrada.

Se a velocidade da bicicleta for constante, o módulo da força de atrito no pneu traseirodeverá ser igual à soma dos módulos da força de atrito no pneu da frente e da resistênciado ar.

26 Dinâmica

2.3.2 Atrito cinético

Quando as duas superfícies em contacto deslizam entre si, a força de atrito designa deatrito cinético. A força de atrito cinético é sempre oposta ao movimento e tem móduloconstante que depende da reacção normal:

Fc = µc Rn (2.15)

Em que µc é o coeficiente de atrito cinético, que costuma ser menor que o coeficiente deatrito estático entre as mesmas superfícies.

Por ser oposta ao movimento, a força de atrito cinético faz sempre diminuir o valor davelocidade relativa entre as superfícies, mas nunca pode inverter o sentido da velocidade.No instante em que a velocidade seja nula, a força de atrito cinético também será nula.

Assim, embora o seu módulo seja constante, a força de atrito cinético depende implicita-mente da velocidade. Em forma vectorial podemos escrevê-la na forma seguinte:

~Fc =

~0 v = 0

−µc Rn

v~v v 6= 0

(2.16)

Em que~v é a velocidade do corpo sobre o qual actua essa força, relativa à superfície queproduz o atrito.

Exemplo 2.2Calcule as forças que actuam sobre o bloco e o cavalo na figura 2.3, quando a velocidade éconstante, sabendo que a massa do cavalo é 300 kg, a massa do bloco 350 kg, o ânguloque a corda faz com a horizontal é 20◦, o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e ochão é 0.4 e o coeficiente de atrito estático entre as ferraduras do cavalo e o chão é 0.5.

Resolução: A figura 2.4 mostra as forças que actuam sobre o bloco e sobre o cavalo. Comoa aceleração é nula, a soma das componentes horizontais e verticais das forças sobre obloco e o cavalo deverá ser nula.

Começando pelo bloco, a soma das forças horizontais e verticais é:

T cos(20◦)−Fb = 0 Rb +T sin(20◦)−mb g = 0

Como a força de atrito Fb é atrito cinético, podemos substituí-la por µc Rb e substituindoos valores do coeficiente de atrito cinético, massa do bloco e aceleração da gravidade,obtemos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

T cos(20◦)−0.4Rb = 0 Rb +T sin(20◦)−3430 = 0

a resolução desse sistema dá: Rb = 2994 N e T = 1274 N.

2.3 Forças de atrito 27

A soma das forças horizontais e verticais que actuam sobre o cavalo é:

F1 +F2−T cos(20◦) = 0 R1 +R2−T sin(20◦)−mc g = 0

repare que neste caso não existe relação entre as forças de atrito e as reacções normais,porque o atrito é estático. Substituindo o valor de T já calculado, a massa do cavalo e aaceleração da gravidade, temos:

F1 +F2 = 1198 R1 +R2 = 3376

a soma das reacções normais nos pes do cavalo é 3376 N e a soma das forças de atritoé 1198 N. No capítulo sobre rotação veremos como calcular os valores de R1 e R2 porseparado. Por enquanto só podemos calcular a sua soma.

Os valores de F1 e F2 não podem ser calculados sem informação adicional; seria precisosaber a relação entre as pressões que o cavalo está a exercer em cada pé nesse instante. Doponto de vista da dinâmica, so conseguimos calcular a soma dessas duas forças.

O coeficiente de atrito estático entre as ferraduras e a estrada permite-nos conferir se ocavalo consegue de facto arrastar esse bloco mais pesado que ele ou não. A força de atritoestático máximo entre as ferraduras e o chão é:

Fmáx = µe (R1 +R2) = 1688 N

A soma das forças F1 e F2 é menor que esse valor e, portanto, a situação em que o cavaloavança com velocidade uniforme é passível.

No exemplo do cavalo que arrasta um bloco de ferro (figura 2.3), existe atrito estático entreas ferraduras do cavalo e a estrada e atrito cinético entre o bloco de ferro e a estrada. Aforça de atrito cinético no bloco é oposta ao movimento e a força de atrito estático nasferraduras é no sentido do movimento e contraria a força de atrito cinético no bloco.

2.3.3 Força de resistência nos fluidos

A maior parte dos movimentos que estudaremos neste livro são movimentos de um corpodentro de um fluido. No exemplo do cavalo que arrasta um bloco, os dois corpos estãoem movimento dentro do ar, que é um fluido. O ar exerce uma força de resistência aomovimento, que é sempre em sentido oposto à velocidade.

Nos diagramas de forças na figura 2.4 ignoramos as forças exercidas pelo ar, admitindo queseriam muito menores que as outras forças, porque a velocidade é pequena. Mas em casoscomo o a queda livre de um objecto, essas forças já não são desprezáveis. A continuaçãoestudaremos como dependem essas forças da velocidade.

A força de resistência ao movimento nos fluidos é produzida por dois mecanismos diferen-tes; o primeiro depende da viscosidade do fluido e é devido a que as camadas do fluido

28 Dinâmica

mais próximas colam-se ao corpo, acompanhando o seu movimento e criando atrito comoutras camadas de fluido mais afastadas.

O segundo mecanismo tem a ver com a diferença de pressões gerada no fluido à frentee atrás do corpo. O fluido é comprimido na região da frente. Essa diferença de pressõesproduz uma força directamente proporcional ao quadrado da velocidade.

A força de resistência num fluido, é sempre no sentido oposto da velocidade~v, e tem umtermo que depende linearmente em v e outro termo quadrático em v:

~Fr =−k η~v− 12

CD ρ A |v|~v (2.17)

onde k e CD são duas constantes aerodinâmicas que dependem da forma e tamanho doobjecto, A é a área da secção transversal do objecto, η é o coeficiente de viscosidade dofluido e ρ a sua massa volúmica (densidade).

O termo linear em v, que depende da viscosidade, será muito maior que o termo quadrático,que depende da massa volúmica, quando a velocidade for baixa. Quando a velocidade forelevada, o termo quadrático será muito maior.

No caso de uma esfera de raio r, as constantes k e CD são as seguintes:

k = 6π r CD =12

(2.18)

e a área da secção transversal é a área do círculo π r2. Assim, para uma esfera a expressãopara o módulo da força de resistência é:

Fr = 6π η r v+14

π ρ r2 v2 (2.19)

No caso do lançamento de projécteis no ar, a viscosidade do ar é tão pequena em compara-ção com a sua massa volúmica, que podemos ignorar o primeiro termo em comparaçãocom o termo que depende de v2.

2.4 Cálculo numérico das trajectórias

No exemplo 2.1 foi possível integrar as equações de movimento usando o método deseparação de variáveis. Esse método funciona unicamente em casos muitos simples.

Em muitos casos é impossível integrar as equações em forma analítica. Um exemplo típicoé o lançamento de um projéctil. A força de resistência do ar depende do quadrado davelocidade: v2

x + v2y + v2

z . Assim, por exemplo, a equação para a aceleração ax não podeser integrada em forma independente das equações para as outras componentes porquedepende das 3 componentes da velocidade.

Do ponto de vista numérico não existe grande diferença entre a resolução dum problemacom força constante ou com uma expressão complicada para a força. Consequentemente,

2.4 Cálculo numérico das trajectórias 29

nos capítulos seguintes teremos que usar quase sempre métodos numéricos; nesta secçãovamos estender a 3 dimensões o método numérico simples que usámos no capítulo anteriorpara integrar as equações de movimento.

Em vez de usarmos as equações de movimento 2.3 e 2.5 para as componentes cartesianas,usaremos a forma vectorial mais compacta das equações 2.2 e 2.4. Vamos também melhorara precisão do método numérico usando a média entre as velocidades inicial e final, paracalcular a posição final em cada intervalo:

~vn+1 =~vn + ~an d t (2.20)

~rn+1 =~rn +~vn + ~vn+1

2d t (2.21)

substituindo a expressão para v1 na segunda equação, obtém-se:

~vn+1 =~vn + ~an d t

~rn+1 =~rn +~vn d t + ~an2

d t2 (2.22)

O termo d t2 indica que o método numérico é de segunda ordem. Num capítulo posteriorveremos um método de quarta ordem que permite uma precisão muito maior. Para o tipo deproblemas que estamos a estudar, o método de segunda ordem é suficiente. Se a aceleraçãofor constante, as equações 2.22 são exactas; se a aceleração não for constante, serão umaboa aproximaçaõ se o intervalo de tempo d t for suficientemente pequeno.

Exemplo 2.3Uma esfera de 0.4 kg, com 10 cm de raio, é lançada desde o chão com uma velocidadeinicial de 12 m/s inclinada 45◦ em relação ao plano horizontal. Elabore um programa quedesenhe a trajectória da esfera.

Resolução: Sabendo que a massa volúmica do ar é aproximadamente 1.2 kg/m3, o móduloda força da resistência do ar sobre a esfera, em função do módulo da sua velocidade. é:

Fr =14

π ρ r2 v2 = 0.00942v2

Em forma vectorial, tendo em conta que a força é sempre oposta ao vector velocidade,podemos escrever:

~Fr =−0.00942 |v|~v

Somando o peso, e dividindo pela massa da esfera, obtemos a expressão para o vectoraceleração:

~a =~g−0.0236 |v|~v

onde ~g =−9.8~ey é a aceleração da gravidade.

30 Dinâmica

Vamos modificar o programa que usámos no capítulo anterior para mostrar a queda livreda esfera. A posição, velocidade e aceleração da esfera serão agora vectores com trêscomponentes. Visual Python permite criar vectores com a função vector() que podemser somados e multiplicados.

Para desenhar a trajectória, criaremos um objecto da classe curve do módulo Visual(alínea 10 no programa 2.1). Os objectos da classe curve têm um atributo pos que é umalista com os pontos que definem a curva, inicialmente vazia. O método append é usadopara adicionar mais pontos à lista de pontos pos; na alínea 11 do programa insere-se oprimeiro ponto, que é a posição inicial da bola, e na alínea 18 adiciona-se a posição dabola em cada nova iteração. Nas alíneas 8 e 9 são dados os valores iniciais dos vectoresposição e velocidade.

programa 2.11 from visual import *2 dt = 0.013 freq = 1./dt4

5 bola = sphere(radius=0.2, color=(0,0,1))6 chao = box(pos=(0,-0.25,0), size=(16,0.5,16), color=(0.8,0.6,0))7 scene.autoscale = 08 bola.pos = vector(-7,0.2,0)9 bola.vel = 12*vector(cos(pi / 4), sin(pi / 4), 0)

10 bola.traj = curve(color=bola.color)11 bola.traj.append(pos=bola.pos)12

13 while True:14 rate(freq)15 bola.acel = vector(0,-9.8,0)-0.0236*mag(bola.vel)*bola.vel16 bola.pos += dt*bola.vel + dt**2*bola.acel/2.17 bola.vel += dt*bola.acel18 bola.traj.append(pos=bola.pos)19 if bola.vel.y < 0 and bola.pos.y < bola.radius: break

Na alínea 15 calcula-se, em cada iteração, a aceleração total dada pela expressão queobtivemos. O módulo da velocidade da bola é calculado usando a função mag do módulovisual. As alíneas 16 e 17 correspondem às equações 2.22, usando o operador “+=” doPython, que permite adicionar o que estiver no lado direito ao valor que já tinha a variávelno lado esquerdo.

Para comparar com a trajectória que seria obtida se ignorássemos o atrito, vamos desenhara trajectória de duas esferas idênticas, uma lançada no ar e a outra lançada no vácuo.

A parte que calcula a trajectória será colocada numa função, deslocar, para poder serusada para cada uma das duas esferas. O argumento que será passado à função será oobjecto associado a cada esfera, designado por corpo, que já inclui também todos os seusatributos: posição, velocidade, aceleração, etc.


programa 2.21 # -*- coding: utf-8 -*-2 def deslocar(corpo):3 global dt4 queda = True5 corpo.pos += dt*corpo.v + dt**2*corpo.a/2.6 if corpo.v.y < 0 and corpo.y < corpo.radius:7 f = (corpo.traj.y[-1] - corpo.radius)/(corpo.traj.y[-1]8 - corpo.y)9 corpo.pos -= (1 - f)*(corpo.pos - corpo.traj.pos[-1])

10 corpo.v += f*dt*corpo.a11 corpo.t += f*dt12 queda = False13 else:14 corpo.t += dt15 corpo.v += dt*corpo.a16 corpo.d += mag(corpo.pos - corpo.traj.pos[-1])17 corpo.traj.append(pos=corpo.pos)18 return queda

O comentário na alínea 1 é necessário para poder escrever caracteres acentuados maispara a frente no programa. A variável para o intervalo de tempo, dt, não faz parte dasesferas, mas foi definida como variável global (alínea 3). Como cada esfera baterá nochão em diferentes instantes, a própria função deslocar indicará quando uma esferaatinge o chão, regressando ao programa uma variável lógica, queda, que passará a serfalsa quando a queda concluir.

Para podermos calcular o tempo que demora cada esfera em bater no chão (corpo.t),precisamos corrigir o último intervalo, pois no fim do último intervalo a esfera passa porbaixo do valor mínimo (altura igual ao raio da esfera). A constante f calculada nas alíneas7-8 é a fracção do último intervalo d t que demorou a atingir a altura mínima, e é calculadausando a última altura do objecto (corpo.y) e a altura que ocupava na posição anterior,que já ficou registada no fim da lista pos da trajectória desse objecto (corpo.traj).Em python, o primeiro índice de uma lista é 0, e o último índice pode ser sempre referidocomo -1 (1 é o segundo, -2 o penúltimo, etc). Para deixar a esfera na posição em queestá realmente na altura mínima, subtrai-se na alínea 10 uma fracção (1− f ) do que sedeslocou no último intervalo d t, já que o ultimo intervalo deveria ter sido apenas f d t.

Vamos definir mais duas funções, trajectoria e resultados; a primeira inicializaa trajectória de cada esfera, criando outros atributos da trajectória e do objecto associado àesfera (distância total percorrida, d, e tempo de voo, t). A outra função será usada paraimprimir os resultados para cada esfera; o alcance de cada esfera calcula-se na alínea 8subtraindo o ultimo e o primeiro valor da coordenada x, que estão registados na trajectóriada esfera. O formato ’%.2f’ usa-se para escrever o valor da variável a seguir ao sinal depercentagem em formato de ponto flutuante, com duas casas decimais.

32 Dinâmica

programa 2.2 - continuação1 def trajectoria(corpo):2 corpo.t = 03 corpo.d = 04 corpo.traj = curve(color=corpo.color)5 corpo.traj.append(pos=corpo.pos)6 return7 def resultados(titulo, corpo):8 alcance = corpo.traj.x[-1] - corpo.traj.x[0]9 velocidade = corpo.d / corpo.t

10 print titulo11 print ’ Tempo de voo = %.2f s’ % corpo.t12 print ’ Alcance horizontal = %.2f m’ % alcance13 print ’ Distância percorrida = %.2f m’ % corpo.d14 print ’ Velocidade média = %.2f m/s’ % velocidade15 return

Após as definições das funções segue a secção principal do programa. Observe a sin-taxe usada na alínea 4 para atribuir o mesmo valor a várias variáveis; mais tarde osvalores dessas variáveis poderão ser diferentes. O mesmo método não deverá ser usadonas alíneas 11 e 12 para dar o mesmo valor inicial às velocidades das esferas, porqueo módulo visual faria com que as velocidades continuassem a ter sempre o mesmo valor.

programa 2.2 - continuação1 from visual import *2 dt = 0.013 g = vector(0,-9.8,0)4 q1 = q2 = True5 scene.autoscale=06 bola1 = sphere(radius=0.2, color=(0,0,1))7 bola2 = sphere(radius=0.2, color=(1,0,0))8 chao = box(pos=(0,-0.25,0), size=(16,0.5,16), color=(0.9,0.6,0))9 bola1.pos = vector(-7,0.2,1)

10 bola2.pos = vector(-7,0.2,-1)11 bola1.v = 12*vector(cos(pi/4), sin(pi/4))12 bola2.v = 12*vector(cos(pi/4), sin(pi/4))13 bola2.a = g14 trajectoria(bola1)15 trajectoria(bola2)16 while q1 or q2:17 rate(1./dt)18 bola1.a = g - 0.0236*mag(bola1.v)*bola1.v19 if q1: q1 = deslocar (bola1)20 if q2: q2 = deslocar (bola2)21 resultados(’No ar’, bola1)22 resultados(’No vácuo’, bola2)


Figura 2.9: Trajectória da bola considerando o atrito com o ar e ignorando o atrito.

A figura 2.9 mostra o gráfico das trajectórias. No vácuo, a bola teria um alcance de 14.69 me um tempo de voo de 1.73 s. Podemos comparar esses valores com os resultados exactos(ver problema 6) para o alcance, R = v2

0 sin(2θ)/g e o tempo de voo, t = 2v0 sinθ/g, quedão exactamente os mesmos valores obtidos com o nosso programa. Também podemos vero valor final da velocidade, com o comando mag(bola2.v) que dá 12.000 m/s (valorexacto até 3 casas decimais).

A resistência do ar faz diminuir o alcance para 11.67 m, e o tempo de voo para 1.62 s. Atrajectória não é uma parábola. A velocidade média é de 8.48 m/s, menor que a velocidademédia de 9.74 m/s que teria no vácuo.

Perguntas

1. Um livro encontra-se em repouso sobreuma mesa. Qual das afirmações seguintesé correcta:

A. Não há força a actuar sobre o livro.B. O livro não tem inércia.C. Não há força a actuar sobre a mesa.D. O livro encontra-se em equilíbrio.E. A inércia do livro é igual à inércia da

mesa.

2. Duas bolas metálicas têm o mesmo tama-nho mas uma delas pesa o dobro da outra.As duas bolas são lançadas simultanea-mente, a partir do repouso, do topo de umprédio. Como se comparam os temposde queda das bolas?

A. A bola mais pesada demora aproxi-madamente metade do tempo da bolamais leve.

B. A bola mais leve demora aproximada-

34 Dinâmica

mente metade do tempo da bola maispesada.

C. Os dois tempos são semelhantes, masa bola mais pesada demora menostempo que a bola mais leve.

D. Os dois tempos são semelhantes, masa bola mais leve demora menos tempoque a bola mais pesada.

E. As duas bolas demoram exactamenteo mesmo tempo.

3. Um camião grande colide frontalmentecom um carro pequeno. Durante a coli-são:

A. O camião exerce uma força maior so-bre o carro do que a força do carrosobre o camião.

B. O carro exerce uma força maior sobreo camião do que a força do camiãosobre o carro.

C. Nenhum dos dois exerce força sobre ooutro; o carro fica esmagado simples-mente por se atravessar no caminhodo camião.

D. O camião exerce força sobre o carro,mas o carro não exerce nenhumaforça sobre o camião.

E. O camião exerce uma força sobre ocarro e o carro exerce a mesma forçasobre o camião.

4. Atira-se uma pedra verticalmente, paracima. No ponto mais alto da trajectóriada pedra:

A. A sua velocidade e aceleração apon-tam para baixo.

B. A sua velocidade aponta para cima ea aceleração aponta para baixo.

C. A velocidade e aceleração são ambasnulas.

D. A velocidade é nula e a aceleraçãoaponta para baixo.

E. A velocidade aponta para baixo e aaceleração é nula.

5. Uma mulher empurra uma caixa grande,com uma força horizontal constante. Aforça exercida pela mulher faz com que acaixa se desloque horizontalmente, comvelocidade constante v0. Assim, o mó-dulo da força exercida pela mulher:

A. É igual ao peso da caixa.B. É maior do que o peso da caixa.C. É igual à força total que contraria o

movimento da caixa.D. É maior do que a força total que con-

traria o movimento da caixa.E. É maior do que o peso e a força que

contraria o movimento da caixa.

Problemas

1. Uma pessoa com 70 kg sobe num ascensor até o sexto andar de um prédio. O ascensorparte do repouso no rés de chão, acelera até o segundo andar, com aceleração uniformede 2 m/s2, mantém a velocidade constante entre o segundo e o quarto andar, e travaentre o quarto e o sexto andar, com aceleração uniforme de −2 m/s2. Calcule o móduloda reacção normal nos pés da pessoa, em cada parte do percurso.

2. Um bloco com massa igual a 30 kg encontra-se sobre uma superfície horizontal, comcoeficiente de atrito cinético igual a 0.35. Sobre o bloco actua uma força externa de100 N, que faz um ângulo de 30◦ com a horizontal. Calcule a aceleração do bloco.

2.4 Cálculo numérico das trajectórias 35100 N

30°

3. Um bloco de massa m = 2.1 kg desce deslizando sobre a superfície de um planoinclinado com 4 m de base e 3 m de altura. Se o coeficiente de atrito cinético, entre obloco e a superfície do plano inclinado, for igual a 0.25, calcule o valor da força deatrito sobre o bloco.

4 m

3 m

4. Um objecto com massa igual a 2 kg desloca-se com velocidade inicial (3~ex−4~ey) m/s,quando é aplicada uma força externa ~F = −0.4~v (unidades SI) que actua durante 5segundos. Calcule: (a) a velocidade final após os 5 segundos. (b) O impulso transmitidopela força externa durante os 5 segundos.

5. Um automóvel com 1230 kg sobe uma rampa com declive do 8 por cento, com veloci-dade constante. (a) Calcule o valor da força de atrito total (soma das forças nos quatropnéus). (b) Qual será o valor mínimo que deverá ter o coeficiente de atrito estático paraque o automóvel consiga subir a rampa?

d

v

100

8

6. Considere um projéctil que é lançado desde o chão, num quarto onde existe vácuo,com uma velocidade inicial v0 que faz um ângulo θ com a horizontal. (a) Calcule otempo que o projéctil demora até chegar ao ponto máximo da sua trajectória, onde avelocidade vertical é nula, e a posição nesse ponto. (b) Com base no resultado da alíneaanterior, demonstre que o alcance horizontal do projéctil (distância horizontal desdeonde é lançado até onde cai) é igual a:

R =v2

0 sin(2θ)g

(2.23)

36 Dinâmica

7. Para determinar a rigidez de um material, coloca-se um bloco do material 30 cm porbaixo de um cone metálico de 0.3 kg; o cone deixa-se cair livremente, a partir dorepouso, penetrando uma distância x no bloco até parar. Sabe-se que quando o conepenetra no bloco a força do bloco sobre o cone é kx2 onde k é uma constante quedepende da resistência à penetração do material; se o cone penetrar uma distância x = 5cm, calcule o valor da constante k.

x

30 cm

0.3 kg

8. Execute o programa 2.2 várias vezes, modificando o ângulo de lançamento para 42◦,43◦, 44◦, 45◦ e 46◦. Registe numa tabela os valores obtidos para o alcance horizontalem cada caso, no ar e no vácuo. Com base nos valores registados, quais são os ânguloque produzem o maior alcance no vácuo e no ar?

9. Demonstre que para uma esfera de raio r e velocidade com módulo v, os dois termos daforça de resistência num fluido, devidos à viscosidade e à massa volúmica, são iguaisquando r v for igual a 24η/ρ . Usando a informação na tabela, calcule os valores de24η/ρ para a glicerina, a água e o ar. Quando r v for muito maior que esse valor, podeadmitir-se que a resistência do fluido é proporcional a v2 e quando r v for muito menor,a resistência do fluido aumenta em forma linear com a velocidade.

Fluido Coef. de viscosidade (kg/(m·s)) Massa volúmica (kg/m3)

Glicerina 1.5 1200Água 10−3 1000Ar 1.8×10−5 1.2

10. Um corpo em queda livre acelera durante algum tempo até atingir uma velocidademáxima, designada de velocidade terminal; uma vez atingida essa velocidade, a quedacontinua com velocidade uniforme (veja o problema 9 do capítulo anterior). (a) Calculea velocidade terminal de uma bola de ténis com raio de 3.25 cm e massa 0.062 kg. (b)Calcule a velocidade terminal de uma bola de ténis de mesa com raio de 1.9 cm e massa0.0024 kg. (c) Calcule a velocidade terminal de um pára-quedista com uma massatotal de 75 kg (incluindo o pára-quedas), admitindo que a área da secção transversal dopára-quedas é 9 m2 e o coeficiente de arrastamento é CD = 0.9.

3 Trabalho e energia

No salto com vara, a energia cinética da corrida inicial é convertida em energia potencialda vara dobrada. Enquanto a vara recupera a sua forma recta, a sua energia potencialelástica é transformada em energia potencial gravítica do saltador.


3.1 Producto escalar

O produto escalar entre dois vectores ~a e~b é um número igual à soma dos produtos dasrespectivas componentes dos vectores:

~a ·~b = ax bx +ay by +az bz (3.1)

essa definição conduz a uma propriedade importante: em diferentes sistemas de eixos xy ascomponentes dos dois vectores são diferentes, mas o produto escalar dá sempre o mesmovalor.

Em geral, qualquer grandeza física que tenha o mesmo valor independentemente do sistemade eixos usado, é designada de escalar. Alguns exemplos de grandezas escalares são amassa e a temperatura.

O outro tipo de grandeza importante na Física são os vectores. Um vector é caracterizadopor uma direcção, um sentido e uma grandeza escalar associada: o módulo ou norma.A direcção, sentido e módulo de um vector também são independentes do sistema dereferência usado, embora as componentes do vector sejam diferentes em diferentes sistemasde eixos.

O produto escalar de um vector consigo próprio é igual ao seu módulo ao quadrado:

~a ·~a = a2x +a2

y +a2z = |~a|2 (3.2)

A invariância do produto pode ser aproveitada para o calcular numa forma alternativa.Escolhe-se um sistema em que o vector~b esteja orientado na direcção e sentido do eixodos x (ver figura 3.1), nomeadamente,~b = b~ex; nesse sistema de eixos, como by = bz = 0,a expressão 3.1 para o produto dá:

~a ·~b = ax b (3.3)

e como ax é a projecção do vector ~a ao longo do eixo dos x, em função do ângulo θ entreos vectores ~a e~b, é:

~a ·~b = ab cosθ (3.4)

x

θ

x x

θa

aa

b b b

Figura 3.1: A componente do vector ~a ao longo do vector~b é positiva, se o ângulo entreos vectores for agudo, negativa, se o ângulo for obtuso ou nula se o ângulo for recto.

3.2 Trabalho e energia cinética 39

O produto escalar~a ·~b será um número positivo se o ângulo entre os vectores for agudo,um número negativo se o ângulo for obtuso ou zero, se os vectores forem perpendiculares.

O eixo dos x também podia ter sido escolhido ao longo do vector ~a; assim, o produto ~a ·~btambém é igual à projecção do vector~b na direcção de~a, multiplicado pelo módulo de ~a.Temos assim quatro formas diferentes de calcular o produto escalar, usando as equações3.1 ou 3.4, ou multiplicando a projecção de um dos vectores na direcção do outro, vezes omódulo desse outro vector.

Se um dos vectores for um versor,~e, nomeadamente, um vector com módulo unitário, oproduto~a ·~e será igual à projecção de~a na direcção e sentido de~e; consequentemente, umaforma fácil de obter a projecção de um vector numa direcção qualquer em 3 dimensões,consiste em definir um versor nessa direcção e calcular o produto escalar entre o vector e oversor. Por exemplo, repare que ~a ·~e = ay.

Para calcular o ângulo entre duas direcções no espaço, definem-se dois versores~e1 e~e2nessas direcções e calcula-se o produto escalar entre eles. De acordo com a equação 3.4esse produto é igual ao co-seno do ângulo entre as duas direcções.

3.2 Trabalho e energia cinética

Vamos agora combinar as 3 equações 2.6 numa única equação vectorial. Comecemospor considerar a equação para a componente x; agrupando os termos que dependem davelocidade temos:

ax dx = vx dvx (3.5)

Fazendo o mesmo com as outras duas componentes e somando as 3 equações, obtemos:

ax dx+ay dy+az dz = vx dvx + vy dvy + vz dvz (3.6)

Para interpretar os termos nessa equação, observe a figura 3.2. Num instante t a partículaencontra-se numa posição~r, com velocidade ~v. Passado um intervalo de tempo muitopequeno, d t, a posição da partícula terá aumentado em d~r e o aumento da velocidade terásido d~v.

O aumento do vector de posição, d~r, é designado por deslocamento. Em coordenadascartesianas, é:

d~r = dx~ex + dy~ey + dz~ez (3.7)

As componentes cartesianas do aumento da velocidade são dvx, dvy e dvz. Assim, aequação 3.6 escrita em forma vectorial é:

~a · d~r =~v · d~v (3.8)

O lado direito pode ser escrito numa forma mais simples; como o quadrado do módulo davelocidade é:

v2 =~v ·~v (3.9)


x y

z

r

r + dr

dr

v

v + dv

t t + dt

Figura 3.2: Vectores posição e velocidade num instante t e num instante posterior t + d t.

calculando os aumentos diferenciais nos dois lados obtemos:

2v dv = d~v ·~v+~v · d~v = 2~v · d~v (3.10)

Substituindo essa relação em 3.8 temos que:

~a · d~r = v dv (3.11)

Esta equação será muito útil quando quisermos calcular o movimento de uma partícula aolongo de um percurso conhecido, em função da aceleração. Calculam-se o deslocamentovectorial d~r e a aceleração; o produto escalar entre esses valores, dividido pelo módulo davelocidade permite calcular o aumento da velocidade. O intervalo de tempo d t calcula-sedividindo o módulo do deslocamento d~r pelo módulo do aumento da velocidade.

A equação 3.11 pode ser escrita em termos da força resultante. Se multiplicarmos os doislados pela massa m, dividirmos por 2, e integrarmos num intervalo finito, obtém-se

~r2∫~r1

~F · d~r =12

mv22−

12

mv21 (3.12)

A expressão:

Ec =12

mv2 (3.13)

é designada de energia cinética e o integral da força ao longo do deslocamento d~r é otrabalho da força. O teorema do trabalho e a energia cinética estabelece que:

O trabalho da força resultante é igual ao aumento da energia cinética dapartícula.

3.2 Trabalho e energia cinética 41

O trabalho e a energia cinética têm unidades de energia; nomeadamente, joules no SistemaInternacional de unidades (1 J = 1 N·m). Assim

Exemplo 3.1Um canhão dispara uma bala metálica com 5 cm de raio, desde uma altura de 15 m, comvelocidade inicial que faz um ângulo de 30◦ com a horizontal e com módulo 30 m/s.Determine a altura máxima atingida pela bala e a distância horizontal, d, até o ponto ondea bala bate no chão.

15 m

d

Resolução: uma bala metálica tem uma massa volúmica aproximadamente 8 vezes maiorque a da água. Nessas condições, a velocidade terminal da bala é da ordem de 132 m/s.Como a velocidade do lançamento é muito menor, vamos desprezar a resistência do ar eadmitir que a única força que actua sobre a bala durante, enquanto está no ar, é o peso.

Escolhendo o eixo dos y na vertical, o peso escreve-se −mg~ey e o impulso que produzdesde o instante do lançamento da bala, t = 0, até um instante t posterior é:

~I =−t∫

0

mg~ey d t =−mgt ~ey


igualando o impulso à variação de quantidade de movimento, e dividindo pela massa, é

~v =~v0−gt~ey =⇒~v = 30(cos30◦~ex + sin30◦~ey)−9.8 t~ey = 25.98~ex +(15−9.8 t)~ey (3.14)

Assim, a componente x da velocidade é constante. O valor mínimo do módulo da veloci-dade será no instante em que (15−9.8 t) for igual a zero; esse valor mínimo da velocidade,vmín = 25.98, corresponde ao ponto de altura máxima.

O trabalho realizado pelo peso é:

~r2∫~r1

~F · d~r =−mg

~r2∫~r1

~ey · (dx~ex + dy~ey + dz~ez) =−mg

y∫y0

dy = mg(y0− y)

igualando à variação da energia cinética e dividindo pela massa temos:

2g(y0− y) = v2− v20 (3.15)

Substituindo v pelo valor mínimo do módulo da velocidade mínima, podemos calcular aaltura máxima ymáx

2×9.8× (15− ymáx) = 25.982−302 =⇒ ymáx = 26.5 m

Para calcular a distância d, calcula-se o módulo da velocidade, quando a bala bate no chão,substituindo y = 0 na equação 3.15:

2×9.8×15 = v2−302 =⇒ v = 34.55 m/s

e de acordo com a equação 3.14, o quadrado do módulo da velocidade é:

34.552 = 25.982 +(15−9.8 t)2 =⇒ t = 3.85 s

(tendo em conta que o tempo t é positivo). Durante esse tempo, o deslocamento horizontalé igual: d = 3.85× 25.98 = 100.0 m, já que a componente horizontal da velocidade éconstante.

3.3 Coordenada tangencial

Em cada ponto da trajectória de uma partícula, define-se um versor tangencial ~et, nadirecção tangente à trajectória, e no sentido do movimento (figura 3.3).

Para um intervalo infinitesimal de tempo, d t, o deslocamento infinitesimal é tangente àtrajectória e com módulo igual à distância percorrida ao longo da trajectória:

d~r = ds~et (3.16)

3.3 Coordenada tangencial 43

x y

z

r

r + dr

dr

et

et

ds

Figura 3.3: Versor tangencial~et e distância percorrida ds durante um intervalo de tempo.

em que s é a distância medida ao longo da trajectória, a partir de algum ponto da trajectóriaescolhido como origem. Dividindo esse deslocamento infinitesimal pelo intervalo de tempod t, obtém-se o vector velocidade:

~v =d~rd t

=dsd t

~et (3.17)

Portanto, a velocidade é sempre na direcção e sentido do versor tangente. A componenteda velocidade ao longo da trajectória é igual à derivada da posição ao longo da trajectória,s, como num movimento a uma dimensão.

A derivada da equação 3.17 em função do tempo é igual à aceleração vectorial; há queter em conta que o versor ~et não permanece constante em diferentes instantes; assim aderivada do vector velocidade é:

~a =d~vd t

=d2sd t2~et +

dsd t

d~et

d t(3.18)

O primeiro termo é a componente tangencial da aceleração, da qual já temos falado nocapítulo 1. No próximo capítulo veremos como calcular a derivada do versor~et que apareceno segundo termo.

A invariância do produto escalar permite-nos calcular ~F ·~r em função da coordenadatangencial, usando a expressão 3.16. O resultado é ~F ·~r = Ft~et, em que Ft é a componentetangencial da força. Consequentemente, o trabalho realizado por uma força pode sercalculado da forma seguinte:

W12 =s2∫

s1

Ft ds (3.19)

Unicamente a componente tangencial da força realiza trabalho, podendo alterar a energiacinética da partícula. Uma força perpendicular à trajectória não realiza trabalho nem alteraa energia cinética da partícula.


3.4 Forças conservativas

Se a componente tangencial da força, Ft, pode ser escrita em função da posição na trajectó-ria, s, o integral 3.19 pode ser calculado:

W12 = U(s1)−U(s2) (3.20)

onde U(s) é uma primitiva da função Ft definida por:

U =−s∫

sref

Ft ds (3.21)

é habitual incluir um sinal negativo, que faz com que na equação 3.20 os sinais fiquemtrocados em relação ao que se costuma fazer para calcular integrais definidos. A posiçãosref é a posição de um ponto qualquer escolhido como referência.

Para que a força seja realmente uma função da posição é necessário que sempre que apartícula se encontrar num ponto da sua trajectória, a força nesse ponto seja sempre igual.Uma força com essa propriedade é denominada força conservativa.

A primitiva U(s) da força conservativa, definida pela equação 3.21, é designada porenergia potencial.A escolha arbitrária do ponto de referência sref não terá nenhuma consequência física, jáque o que o trabalho será calculado a partir da diferença de energia potencial entre doispontos.

Em função da energia potencial, a equação 3.20 é o teorema do trabalho e a energiapotencial:

O trabalho realizado entre dois pontos por uma força conservativa é igualà diminuição da energia potencial associada a essa força.

Vimos na equação 3.12 que o trabalho da força resultante é igual ao aumento de energiacinética. A força resultante pode, em geral, incluir forças conservativas e não conservativas.O trabalho da força resultante pode ser calculado como o trabalho feito pela soma de todasas forças conservativas, mais o trabalho das forças não conservativas:

W12 = W12(conservativas)+W12(não conservativas) (3.22)

O trabalho das forças conservativas é igual à diminuição da energia potencial e o trabalhototal é igual ao aumento da energia cinética. Assim, temos:

Ec2−Ec1 = U1−U2 +W12(não conservativas) (3.23)

em que U é a soma de todas as energias potenciais associadas a todas as forças conservativase Ec é a energia cinética. Define-se a energia mecânica do sistema igual à soma dasenergias cinética e potencial:

Em = Ec +U (3.24)

3.4 Forças conservativas 45

Em função da energia mecânica, a equação 3.23 é:

Em2−Em1 = W12(não-conservativas) (3.25)

denominado teorema do trabalho e a energia mecânica:

O aumento da energia mecânica Em, definida como a soma da energia ci-nética mais a energia potencial, é igual ao trabalho feito pelas forças nãoconservativas.

Uma consequência desse resultado é a lei de conservação da energia mecânica: se nãoactuarem forças não conservativas, a energia mecânica do sistema permanecerá constante.

3.4.1 Gráficos de energia

O gráfico da energia potencial associada a uma força conservativa é muito útil na análisedo movimento. A figura 3.4 mostra um exemplo; a curva representa a energia potencialtotal do sistema, em função da distância ao longo da trajectória, s.

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Energ

ia

s

MecanicaPotencial

Figura 3.4: Exemplo de energia potencial e energia mecânica.

Há duas propriedades importantes a salientar na análise dos gráficos de energia potencial.A primeira é que em qualquer ponto s, a componente tangencial da força associada àenergia potencial é igual a menos a derivada da energia potencial:

Ft =−dUds

(3.26)


já que a derivada de uma primitiva dá a função original.

A segunda propriedade importante é que a partícula nunca poderá estar numa posição ondea energia mecânica seja Em seja menor que a energia potencial, já que Em−U é igual àenergia cinética, que é sempre positiva ou nula

Aplicando essas propriedades ao exemplo no gráfico 3.4, vemos que nos intervalos −2 <s <−1 e 2 < s < 5, o valor da força tangencial é positivo, isto é aponta no sentido em quea posição s aumenta. Nos intervalos −1 < s < 2 e 5 < s < 6 o valor da força é negativo(aponta no sentido em que s diminui). Nos pontos s =−1, s = 2 e s = 5 a força é nula. Aesses pontos é dada a denominação de pontos de equilíbrio.

A energia mecânica não pode ser menor que −6.75. A recta horizontal que se mostracorresponde a uma energia mecânica igual a 2.25 unidades. Admitindo que não existamforças não conservativas, essa energia permanece constante. Com essa energia, a partículasó poderá estar nas regiões em que:

Em ≥U(x) (3.27)

por exemplo, a partícula não poderia estar na posição s = 3. A partícula estará confinada auma vizinhança do ponto -1 ou 5.

Nos pontos em que a recta horizontal (energia mecânica da partícula) corta a curva daenergia potencial, a energia cinética será nula e, portanto, a partícula estará em repouso;no entanto a partícula não permanece em repouso por muito tempo, porque a força nessespontos não é nula.

Por exemplo, se num instante a partícula estiver na posição s = 5, deslocando-se no sentidoem que s aumenta, deslocar-se-á até um ponto perto de s = 6 onde a partícula para; nesseponto a força aponta no sentido negativo da distância, o que faz com que a partícularegresse para o ponto s = 5, mas agora com velocidade no sentido negativo da distância. Apartícula aproximar-se-á do ponto s = 3.8, onde a sua velocidade será nula; nesse ponto,sendo a força no sentido positivo da distância, a partícula regressará à posição s = 5 e ociclo será repetido novamente.

3.4.2 O peso

O peso é uma força conservativa. Usando um sistema de coordenadas em que o eixo dos yé vertical e aponta para cima, o peso é:

~F =−mg~ey (3.28)

O trabalho realizado por essa força entre dois pontos A e B é

W =B∫

A

~F · d~r (3.29)

3.5 Movimento harmónico simples 47

Em coordenadas cartesianas, o produto escalar entre a força e o deslocamento é:

~F · d~r =−mgdy (3.30)

e, portanto o integral desde A até B será um integral em ordem à variável y, desde yA até yB

W =−mg

yB∫yA

dy = mgyA−mgyB (3.31)

Este resultado mostra que o trabalho depende apenas das alturas inicial e final e o resultadoserá o mesmo independentemente do percurso seguido entre esses dois pontos. A energiapotencial gravítica, associada ao peso, é:

Up = mgy (3.32)

A escolha da origem é arbitrária: as alturas podem ser medidas em relação a qualquerponto, sem ter que ser em relação ao solo.

3.4.3 Forças elásticas

Uma mola elástica esticada ou comprimida exerce uma força dirigida na direcção e sentidoque faz regressar a mola à sua forma normal.

O módulo da força exercida pela mola é directamente proporcional à elongação da mola.Se pendurarmos um peso P, a mola é esticada até ficar numa posição em que a forçaelástica equilibra o peso. Duplicando esse peso duplica-se a elongação. A expressãomatemática dessa relação entre a força elástica ~Fe e a elongação y é chamada lei de Hooke:

~Fe =−k y~ey (3.33)

onde k é a constante elástica da mola e a posição y é medida desde a posição em não está aser exercida nenhuma força sobre a mola.

A força elástica é uma força conservativa. Usando como ponto de referência o ponto y = 0em que a mola tem o seu comprimento normal, a energia potencial elástica é:

Ue =−x∫

0

(−k y)~ey · d~r =⇒ U =12

k y2 (3.34)

3.5 Movimento harmónico simples

Um corpo de massa m, pendurado de uma mola elástica, como na figura 3.5, é designadopor oscilador harmónico simples. A energia potencial total é a soma da energia potencial


Figura 3.5: Mola elástica pendurada dum suporte horizontal. A elongação é directamenteproporcional ao peso colocado.

associada ao peso, mgy, mais a energia potencial elástica k y2/2, em que y = 0 é a posiçãoem que a mola se encontrava antes de ser pendurado o cilindro. A soma dos dois termospode ser factorizada:

U = mgy+12

k y2 =k2

(y2 +

2mgk

y)

=k2

(y+

mgk

)2− m2 g2

2k(3.35)

O último termo é uma constante, que pode ser ignorada, porque podemos sempre somarum termo constante à energia potencial. A distância −mg/k é o alongamento da molaquando é pendurado o cilindro de massa m. Assim, a expressão entre parêntesis mede aaltura do cilindro em relação à sua posição de equilíbrio.

Mudando a origem do eixo dos y para o ponto de equilíbrio do cilindro, a energia potencialtotal é:

U =12

k y2 (3.36)

o efeito do peso foi apenas o de deslocar a posição de equilíbrio da mola.

Se desprezarmos a resistência com o ar, existirá conservação da energia mecânica total e,portanto:

E0 =12

k y2 +12

mv2 (3.37)

em que E0 é a energia mecânica inicial, dada pelas condições iniciais do sistema. A figura3.6 mostra o gráfico da energia potencial e a energia mecânica constante.


y

E

A-A

Em = E0

U

Figura 3.6: Energia potencial e energia mecânica de um corpo pendurado de uma molavertical.

O cilindro oscilará entre as duas alturas y =−A e y = A. A relação entre essa amplitudedo movimento oscilatório e a energia inicial pode ser obtida substituindo v = 0 na equação3.37:

E0 =12

k A2 (3.38)

A amplitude e a energia inicial não são valores característicos do oscilador, mas sãocondições iniciais que dependem de como for colocado em movimento o sistema.

A equação 3.37 permite-nos obter uma expressão geral para o módulo da velocidade, emfunção de y é:

v =

√km

(A2− y2) (3.39)

igualando essa expressão à derivada y e separando variáveis, temos:√km

t∫0

d t =y∫

0

dy√A2− y2

(3.40)

onde o tempo t = 0 foi escolhido no instante em que o cilindro passa pela posição deequilíbrio y = 0. Calculando os integrais, é:

ω t = sin−1( y

A

)(3.41)

onde ω é igual a√

k/m. Finalmente, a expressão para y em função do tempo é:

y = Asin(ωt) (3.42)

A constante ω representa assim a frequência angular, nomeadamente, 2π vezes o númerode oscilações do cilindro, por unidade de tempo. A frequência, igual ao número de


oscilações por unidade de tempo é:

f =1

2π

√km

(3.43)

o inverso da frequência é o período de oscilação do sistema.

Perguntas

1. A posição de uma partícula em funçãodo tempo é dada pela expressão ~r =2 t2~ex + 5

3 t3~ey (SI). Qual dos vectores nalista é perpendicular à trajectória da par-tícula no instante t = 2 s?

A. 4~ex−5~ey

B. 2~ex−5~ey

C. −5~ex +2~ey

D. 5~ex−4~ey

E. −2~ex +3~ey

2. Sobre uma partícula actua uma força comdirecção, sentido e módulo constantes. Omódulo da força é 1.6 N. Qual é o tra-balho realizado por essa força quandoa partícula se desloca uma distância de20 cm numa direcção que faz 60◦ com aforça?

A. 0.28 JB. 160 mJ

C. 0.68 JD. 28 J

E. 16 J

3. A figura mostra o gráfico da energia po-tencial U(x), de uma partícula que se des-loca ao longo do eixo dos x. Se a partí-cula estiver a oscilar à volta do pontox = 1, com energia mecânica igual a 2 J,qual será o valor máximo da sua energiacinética?

x (m)

U (J)

−2 2−1 1

−3

3

A. −3 JB. 3 J

C. 0D. 2 J

E. 5 J

4. Num oscilador harmónico simples for-mado por um corpo de massa m pendu-rado duma mola vertical com constanteelástica k, se a massa for quadruplicada,qual das afirmações é correcta?

A. A frequência duplica.B. O período duplica.C. A amplitude duplica.D. A energia mecânica duplica.E. A energia potencial duplica.

5. A figura mostra o gráfico da força resul-tante F(x), conservativa, sobre uma par-tícula. Quantos pontos de equilíbrio exis-tem na região apresentada no gráfico?

x

F(x)

−1 1 3

A. 0B. 1

C. 2D. 3

E. 4


Problemas

1. Num salto com vara, um atleta de 70 kg usa uma vara uniforme de 4.5 kg com 4.9 mde comprimento. O salto do atleta tem três fases: primeiro o atleta corre, com o seucentro de gravidade a 1 m de altura e com o centro de gravidade da vara a 1.5 m dealtura, até atingir uma velocidade de 9 m/s no instante em que possa a vara no chão. Nasegunda fase, a energia da corrida é transferida para a vara, que se deforma e volta aesticar ficando vertical e elevando o atleta até uma altura próxima da altura da fasquia.Finalmente o atleta estica os braços, fazendo com que a reacção normal forneça algumaenergia adicional (ver o problema anterior) que eleva o centro de gravidade do saltadoraté 5.8 m de altura, conseguindo assim ultrapassar a fasquia a 5.6 m. Admitindo quenão existem perdas de energia, calcule qual foi a energia mecânica transferida para osaltador na última fase, quando esticou os braços.

2. Um pêndulo simples é composto por uma esfera de massa m, pendurada por uma cordamuito fina, de comprimento l e de massa desprezável. Sobre a esfera actuam duasforças: a tensão na corda e o peso da esfera. (a) Escreva as componentes tangenciaisdessas duas forças, em função do ângulo θ que a corda faz com a vertical. (b) Calcule aenergia potencial do sistema em função de θ .

l l

m

θ

3. Resolva novamente o problema 7 do capítulo anterior, mas agora usando a relação entretrabalho e energia. A força exercida pelo bloco sobre o cone, quando o cone penetra nobloco, é uma força conservativa ou não?


4. Uma esfera desce uma rampa circular com raio R. Ignorando o atrito, a força resultanteé mgcosθ . (a) Escreva a força resultante em função da distância ao longo da rampa, s,medida desde o ponto A. (b) Calcule a energia potencial em função de s, arbitrando queseja nula no ponto A.

R

s

mg

θ

θ

A

B

5. O cilindro que foi pendurado na mola da figura 3.5 tem massa de 50 g. O alongamentoda mola quando o cilindro foi pendurado, foi de 16 cm. (a) Calcule a constante elásticada mola. (b) Calcule o período de oscilação do sistema. (c) Se o cilindro é deslocado5 cm por baixo da posição de equilíbrio e a seguir deixa-se oscilar livremente, calcule aenergia mecânica do sistema.

6. Para saltar verticalmente para cima, um jogador de basquetebol com massa m dobraas pernas, fazendo descer o seu centro de gravidade uma altura ∆y, e a seguir estica aspernas rapidamente, durante um intervalo ∆t, atingindo uma velocidade v no instanteem que perde o contacto com o chão. (a) Admitindo que a força resultante média queactua sobre o jogador durante o intervalo ∆t é F , e que o valor meio em função dadistância ∆y é o mesmo, calcule o trabalho e o impulso dessa força, em função de v,∆y, ∆t e m, e compare os dois resultados para obter a velocidade em função de ∆y e ∆t(b) Qual é a fonte da força resultante que produz o impulso e o trabalho calculados naalínea anterior? (c) Se ∆y = 40 cm e ∆t = 0.3 s, qual será a altura do salto?

7. Um cilindro com massa de 80 g desliza a partir do repouso, no ponto A, até ao ponto B,devido a uma força externa constante de 60 N; o comprimento normal da mola é 30 cme a sua constante elástica é 6 N/cm. Admitindo que não existe atrito com a barra fixa,calcule a velocidade com que o cilindro chega ao ponto B.

40 cm

30 cm

A

B

60 N

35°

4 Rotação e movimento curvilíneo

Para estudar a tolerância dos astronautas à aceleração elevada durante o lançamento de umasonda espacial, a NASA usa um dispositivo que pode rodar a grande velocidade. Dentroda cabine em rotação, os astronautas sentem o efeito da aceleração centrífuga. O valordessa aceleração pode ser determinado com precisão em função do período de rotação dodispositivo.


4.1 Movimento dos corpos rígidos

Um corpo rígido é um sistema de muitas partículas em que a distância relativa entre aspartículas permanece constante. A posição do corpo rígido em qualquer instante pode serdeterminada indicando a posição de um ponto do corpo, a orientação de um eixo fixo emrelação ao corpo e um ângulo de rotação à volta desse eixo.

A posição do ponto de referência é dada por 3 variáveis e para especificar a orientação doeixo são precisos dois ângulos; assim, um corpo rígido é um sistema com seis graus deliberdade: 3 coordenadas de posição e 3 ângulos.

20°

20°

30°

20°

50°

Translação Rotação

Translação e rotação

Figura 4.1: Um corpo rígido pode ter movimento de translação, de rotação ou umasobreposição dos dois.

Se o corpo mantiver a mesma direcção em quanto se desloca, o movimento será detranslação. Se existir um ponto dentro do corpo que não se desloca, enquanto outros pontosdo corpo estão em movimento, o movimento será de rotação pura. O movimento maisgeral será uma sobreposição de translação e rotação (figura 4.1).

No exemplo da figura 4.1, o eixo de rotação permanece fixo, perpendicular à página. Oplano de rotação permanece fixo, no mesmo plano do movimento de translação. Esse tipode rotação é designada de rotação plana. Nesse caso só há 3 graus de liberdade: duascoordenadas para indicar a translação e o ângulo de rotação.

4.2 Movimento circular 55

4.2 Movimento circular

Na rotação de um corpo rígido, qualquer ponto pode ser escolhido como referência, ondeadmitimos que passa o eixo de rotação. O ângulo de rotação do corpo será o mesmo,independentemente do ponto escolhido.

Todos os outros pontos que não estejam sobre o eixo de rotação descreverão trajectóriascirculares, com raios diferentes, mas o ângulo de rotação de todos os pontos será o mesmo.Assim, para estudar a rotação do corpo rígido basta considerar o movimento circular deuma partícula numa trajectória circular de raio R.

Durante um intervalo de tempo d t, a partícula percorre um arco de círculo ds, quecorresponde a um ângulo dθ (figura 4.2). Se o ângulo for medido em radianos, a relaçãoentre o arco e o ângulo é:

ds = Rdθ (4.1)

R

ds

dθ

Figura 4.2: Posições de uma partícula, em movimento circular, em dois instantes separadospor um intervalo de tempo d t.

Assim, a velocidade instantânea ao longo da trajectória será:

v =dsd t

= Rdθ

d t(4.2)

a taxa de aumento do ângulo, dθ/d t, é a velocidade angular, ω , que indica quantos radi-anos roda a partícula por unidade de tempo. Consequentemente, a velocidade instantâneaao longo da trajectória, ou velocidade tangencial, é igual ao produto do raio da trajectóriacircular vezes a velocidade angular

v = Rω (4.3)

no caso particular do movimento circular uniforme, a velocidade angular será ser cons-tante, e define-se o período T , igual o tempo que demora a partícula em dar uma volta


completa (2π radianos). O período calcula-se dividindo 2π pela velocidade angular

T =2π

ω(4.4)

A aceleração ao longo da trajectória é igual à derivada de v em função do tempo, que éigual à aceleração tangencial, at . Derivando a equação 4.3 em função do tempo obtém-se:

at = Rα (4.5)

onde α é a aceleração angular, igual à derivada da velocidade angular. No movimentocircular uniforme, a aceleração angular e a aceleração tangencial são nulas.

Se escolhermos a origem do sistema de coordenadas no centro da trajectória circular, ovector posição, ~r terá módulo constante, igual a R e rodará com velocidade angular ω

(figura 4.3). A derivada do vector ~r é o vector velocidade, que é perpendicular a ~r etem módulo igual ao módulo de~r vezes a velocidade angular. Este resultado pode sergeneralizado: a derivada de um vector com módulo constante, que roda com velocidadeangular constante, será um vector perpendicular, com módulo igual ao módulo do vectorrodante vezes a velocidade angular.

Figura 4.3: Os vectores posição,~r, velocidade,~v, e aceleração, ~a no movimento circulartêm todos módulo constante e rodam com a mesma velocidade angular.

O programa 3.1, que é distribuído conjuntamente com estes apontamentos, é uma animaçãousada para mostrar que no movimento circular uniforme, enquanto o vector posição roda,o vector velocidade roda com a mesma velocidade angular ω e descreve outro movimentocircular uniforme com raio igual a v (parte central na figura 4.3). Assim, usando o resultadogeral para qualquer vector que roda com módulo e velocidade angular constante, podemosconcluir que a derivada do vector velocidade (vector aceleração) será perpendicular a~v ecom módulo:

an = vω (4.6)

4.3 Coordenadas normal e tangencial 57

O programa 3.1 mostra também que a derivada de cada vector que roda com módulo evelocidade angular constantes é um vector adiantado 90◦ em relação ao vector rodante.Assim, o vector aceleração estará adiantado 180◦ em relação ao vector posição~r; nomeada-mente, a aceleração aponta sempre na direcção radial, no sentido do centro da trajectória.O vector aceleração tem módulo igual a an, designada de aceleração centrípeta, ou acele-ração normal. Combinando as equações 4.6 e 4.3, a aceleração centrípeta também podeser calculada como Rω2 ou v2/R. A força resultante que produz o movimento circularuniforme deverá ser igual à massa da partícula, vezes a aceleração centrípeta:

F =mv2

R(4.7)

que deverá estar sempre na direcção radial e a apontar para um mesmo ponto (centro datrajectória).

O ângulo de rotação θ , a velocidade angular ω e a aceleração angular α , verificam equaçõesde movimento semelhantes às equações para o deslocamento, velocidade e aceleraçãotangencial no movimento a uma dimensão:

ω =dθ

d tα =

dω

d tα

ω=

dω

dθ(4.8)

podem ser usados os mesmos métodos de resolução usados no capítulo 1.

4.3 Coordenadas normal e tangencial

A trajectória de uma partícula pode ser dividida em pequenos trajectos de comprimentoinfinitesimal. Cada trajecto infinitesimal pode ser aproximado por um arco de círculo comraio R e centro num ponto fora da trajectória (centro de curvatura local). O raio podemudar continuamente ao longo da trajectória, e o centro desloca-se para diferentes pontos.Nos segmentos onde a trajectória é rectilínea, o raio é infinito e o centro afasta-se para oinfinito.

Como vimos no capítulo anterior, em cada ponto da trajectória o vector velocidade definea direcção do versor~et , tangente à trajectória:1

~v = v~et (4.9)

O versor perpendicular a~et , apontando no sentido do centro de curvatura local é o versornormal. Em cada ponto da trajectória o vector aceleração pode ser separado em duascomponentes nas direcções dos versores tangencial e normal. A aceleração tangencial, porter sempre a mesma direcção do vector velocidade, será igual à derivada da velocidade v.A aceleração normal pode ser obtida usando as equações da secção anterior, já que em cada

1Excepto nos pontos isolados onde a velocidade é nula e existem duas tangentes à tajectória, antes e depoisdo instante em que a partícula está em repouso instantâneo.


segmento infinitesimal a trajectória é aproximada por um círculo de raio R e a velocidadeé aproximadamente constante. Consequentemente, o vector aceleração instantânea é:

~a =dvd t

~et +v2

R~en (4.10)

As componentes normal e tangencial da força resultante obtêm-se multiplicando por mas componentes da aceleração. Se uma força resultante ~F actuar sobre uma partículacom velocidade vectorial~v. A componente da força na direcção da velocidade, Ft , faráaumentar ou diminuir a velocidade, conforme o sinal de Ft . A componente da força normalà velocidade vectorial faz curvar a trajectória da partícula no sentido da força normal.

A

B

Ft

FFn

Figura 4.4: Componentes tangencial e normal da força.

4.4 Vectores livres e vectores deslizantes

Um vector como, por exemplo,~a = 3~ex−2~ey +4~ez, é designado de vector livre, devidoa que não tem um ponto de aplicação específico. A soma do vector ~a com outro vector~b pode ser feita adicionando as suas componentes; do ponto de vista geométrico, essaadição corresponde a deslocar os dois vectores para um ponto comum, e usar a lei doparalelograma.

As forças que actuam sobre um corpo rígido não podem ser somadas como vectores livres.O efeito produzido por uma força sobre um corpo rígido não depende apenas do módulo,direcção e sentido dessa força, mas também do ponto onde for aplicada essa força. Alinha recta que passa pelo ponto onde a força é aplicada é a linha de acção dessa força. O

F1

F2F3

Figura 4.5: As forças ~F1 e ~F2 são equivalentes por terem o mesmo módulo, direcção,sentido e linha de acção, mas não são equivalentes a ~F3.

4.5 Adição de forças 59

efeito produzido pela força, sobre o corpo rígido, será o mesmo se a força for deslocadapara qualquer ponto na sua linha de acção (figura 4.5). Diz-se que a força é um vectordeslizante.

4.5 Adição de forças

Se duas forças, ~F1 e ~F2, que actuam sobre um corpo rígido, tiverem a mesma linha de acção,poderão ser somadas como vectores livres, e a força resultante actuará sobre a mesma linhade acção.

Se as linhas de acção forem diferentes, mas tiverem um ponto em comum, as duas forçaspodem ser deslocadas para esse ponto comum. Nesse ponto comum substituem-se as duasforças pelo vector obtido pela regra do paralelograma e a linha de acção da resultantepassará pelo ponto comum, na direcção da força resultante (figura 4.6).

F1

F1

F2

F2

F1 + F2

Figura 4.6: Adição de forças com linhas de acção que se cruzam num ponto comum.

Quando as duas linhas de acção forem paralelas, a soma das forças pode ser obtida peloseguinte procedimento: desloca-se uma das forças até que o segmento que une os pontosde aplicação das duas forças seja perpendicular às linhas de acção. A seguir adicionam-seduas forças ~F3 e −~F3 ao longo desse segmento; a resultante dessas duas forças adicionaisé nula e, portanto, não modificam o sistema. Combinando ~F1 com −~F3, e ~F2 com ~F3,obtêm-se duas novas forças ~F4 e ~F5 com linhas de acção com um ponto comum, quepermite que sejam adicionadas como foi explicado no parágrafo anterior (ver figura 4.7); aforça resultante será paralela às duas forças originais.

Por semelhança entre triângulos, na figura 4.7 observa-se que F2/F3 = h/d2 e F1/F3 = h/d1.Conclui-se que as distâncias d1 e d2, entre as linhas de acção das duas forças e a linha deacção da força resultante, verificam a relação:

F1 d1 = F2 d2 (4.11)

Nomeadamente, a distância de cada força até a força resultante é inversamente proporcional


F1

−F3

F2

F2

F3

F4

F5

d2 d1

h

Figura 4.7: Adição de forças paralelas.

ao módulo da força. O produto Fi di é designado de torque 2 da força Fi em relação aoponto de aplicação da resultante. Podemos interpretar esse torque como o efeito de rotaçãoproduzido pela força, representado por uma seta circular que indica o sentido da rotação.No caso das duas forças paralelas, os dois torques em relação ao ponto de aplicação daresultante têm o mesmo módulo mas sentido contrários, produzindo um torque total nulo.

Uma força ~F1 pode ser equilibrada com uma força igual e oposta, −~F1, actuando na mesmalinha de acção. Se a força −~F1 fosse aplicada em outra linha de acção diferente, a umadistância d, o efeito de translação de ~F1 seria contrariado, mas aparecia um efeito derotação, com intensidade igual ao torque F1 d.

O vector ~F1 expressa o efeito de translação da força, que não depende da linha de acção. Otorque F1 d, expressa o efeito de rotação em relação a outra linha de acção paralela, a umadistância d. Assim, uma força pode ser deslocada livremente para qualquer outra linha deacção, sempre e quando seja adicionado um torque F1 d que expressa o efeito de rotaçãoda força original.

Um método mais geral para somar qualquer tipo de forças num plano, consiste em deslocartodas as forças para um ponto comum qualquer. O deslocamento de cada força implicaa introdução do respectivo torque em relação ao ponto comum, e terá sentido horário ouanti-horário. No ponto comum, a força resultante é a soma vectorial de todas as forças,e o torque resultante é a soma algébrica dos torques (os torques em sentido horário eanti-horário são considerados com sinais diferentes). A força resultante pode depois serdeslocada, na direcção que produz um torque oposto ao torque resultante, até conseguirque o torque introduzido pelo deslocamento da força resultante anule o torque resultante,ficando unicamente uma força, sem torque.

2Alguns autores usam a designação momento, mas isso cria confusão com momento de inércia.

4.5 Adição de forças 61

Exemplo 4.1A distância entre os eixos do automóvel na figura 1.60 m, e o centro de gravidade encontra-se 0.40 m do eixo da frente. Sabendo que o peso total do automóvel é 9000 N, calcule aforça de reacção normal em cada pneu, quando o automóvel se encontra parado.

R1 R29000 N

CG

0.4 m 1.2 m

Resolução: As reacções normais nos pneus foram indicadas na figura. R1 representa asoma das duas reacções nos dois pneus da frente, e R2 a soma das reacções normais dospneus de atrás.

Deslocando R1 para a mesma linha de acção do peso, devemos adicionar também umtorque igual 0.4R1, no sentido horário. Deslocando R2 para essa mesma linha de acção,devemos adicionar outro torque, no sentido anti-horário, com valor 1.2R2.

A soma de R1 e R2 deverá ser igual ao peso do carro, 9000 N, e os dois torques, em sentidosopostos, deverão ter o mesmo valor absoluto para que o sistema esteja em equilíbrio. Temosassim duas relações entre as reacções normais:

R1 +R2 = 9000 1.2R2 = 0.4R1

A resolução desse sistema de equações dá R2 = 2250 N e R1 = 6750 N. Admitindo queo centro de gravidade esteja a igual distância dos lados direito e esquerdo do automóvel,devido à simetria, as reacções nos dois pneus da frente serão iguais e, portanto, a reacçãoem cada pneu será 3375 N. Nos pneus de atrás as reacções também serão iguais, cada umacom módulo 1125 N.


4.6 Centro de massa

Um corpo rígido pode ser estudado como um sistema de muitas partículas. A massa total,m, será a soma das massas de todas as partículas

m = m1 +m2 + · · ·+mn =n

∑i=1

mi (4.12)

Se~ri for o vector de posição da partícula i, define-se o centro de massa como o ponto naposição~rcm definida pela equação

~rcm =1m

n

∑i=1

mi~ri (4.13)

naturalmente que se a origem de coordenadas for deslocada para o centro de massa, osomatório acima será igual a zero.

A velocidade do centro de massa obtém-se derivando~rcm

~vcm =1m

n

∑i=1

mi~vi (4.14)

e a derivada de~vcm é igual à aceleração instantânea do centro de massa:

~acm =1m

n

∑i=1

mi~ai (4.15)

Se o referencial em que estão a ser medidas as acelerações ~ai for um referencial inercial,o produto mi~ai é a força resultante ~fi que actua sobre a partícula i. Assim, obtém-se aseguinte relação:

n

∑i=1

~fi = m~acm (4.16)

Cada força ~fi inclui forças internas, exercidas por outras partículas dentro do corpo rígido,e poderá incluir forças externas ~Fj. Na soma de todas as forças ~fi as forças internasdesaparecerão, porque por cada força interna exercida por uma partícula k sobre outrapartícula i, existirá a força de reacção, igual e oposta, que a partícula i exerce sobre apartícula k. Assim, a soma de todas as forças será equivalente a somar apenas as forçasexternas:

n

∑i=1

~Fi = m~acm (4.17)

Este resultado é a lei do movimento de translação do corpo rígido:

4.7 Rotação plana do corpo rígido 63

O movimento de translação do corpo rígido é igual ao movimento de umapartícula de massa m, colocada no centro de massa, com força resultanteigual à soma vectorial de todas as forças externas que actuam sobre o corporígido.

Repare que aqui a soma vectorial das forças é feita como se fossem vectores livres. Sea resultante das forças externas for nula, o centro de massa estará ou em repouso ou emestado de movimento rectilíneo uniforme. No entanto; os outros pontos no corpo rígidopoderão ter um movimento de rotação à volta do centro de massa.

O peso de um objecto é realmente uma força distribuída, já que a atracção gravitacional daTerra actua sobre cada uma das partículas que formam os átomos do objecto. O centrode gravidade, é o ponto onde pode ser aplicada uma única força que contrarie o peso,deixando o objecto em estado de repouso.

Imagine por exemplo uma lâmina triangular. Se for pendurada por um dos vértices,inicialmente a lâmina não fica estática, mas roda até ficar numa posição em que o centrode gravidade está por baixo do vértice. Se for feito um furo no centro de gravidade, usandocomo suporte para o triângulo uma barra fina horizontal que passa através do furo, otriângulo permanecerá estático independentemente de orientação que tiver.

Figura 4.8: Centros de massa de um triângulo, disco e barra homogéneos.

Sempre que a aceleração da gravidade seja constante, o centro de gravidade e o centro demassa encontram-se no mesmo ponto. O centro de massa de um corpo com distribuiçãohomogénea de massa encontra-se no centro no centro geométrico. Por exemplo, num disco,cilindro ou esfera, o centro de massa é o centro. Numa barra homogénea o centro de massaé no centro da barra e numa lâmina triangular homogénea o centro de massa é no ponto deintersecção das três medianas (figura 4.8).

4.7 Rotação plana do corpo rígido

Estudaremos unicamente o caso do movimento de rotação plana do corpo rígido, definidocomo o movimento em que o eixo de rotação aponta sempre na mesma direcção. O casomais geral da rotação não plana precisa de algumas técnicas mais complexas.

Considerando o corpo rígido como um sistema de n partículas, com massas mi e velocidades~vi, a energia cinética total do corpo será a soma das energias cinéticas mi v2

i /2 de todas as


partículas. Essa energia pode ser agrupada em dois termos:

Ec =12

mv2cm +

12

n

∑i=1

miV 2i (4.18)

em que ~Vi é a velocidade da partícula i em relação ao centro de massa. O primeiro termona equação anterior é a energia de translação do centro de massa. Consequentemente, osegundo termo será a energia de rotação do corpo rígido.

Se ω for a velocidade angular do corpo, o valor da velocidade da partícula i em relação aocentro de massa será Vi = ω Ri, em que Ri é a distância desde a partícula i até o eixo derotação que passe pelo centro de massa. Assim, a energia cinética total devida à rotação docorpo rígido será:

Ec =12

n

∑i=1

mi ω2 R2

i (4.19)

Se definirmos o momento de inércia em relação ao centro de massa, Icm, igual à soma dosprodutos das massas das partículas e o quadrado das suas distâncias até o eixo de rotação:

I =n

∑i=1

mi R2i (4.20)

então a energia cinética de rotação é:

Er =12

I ω2 (4.21)

No movimento de rotação, o momento de inércia joga um papel semelhante à massa nomovimento de translação. O momento de inércia de um corpo rígido depende da sua massae da sua forma geométrica, em relação ao eixo de rotação. Quanto maior for a massa emais afastada estiver do eixo de rotação, maior será o momento de inércia.

O aumento dessa energia, dEr é igual ao trabalho realizado pelas forças que actuam sobreas partículas:

m

∑i=1

Fti dsi = Icm ω dω (4.22)

como o deslocamento de cada partícula i é um arco de círculo, dsi = Ri dθ , é:m

∑i=1

Fti Ri = Icm ωdω

dθ(4.23)

O termo dentro da soma no lado esquerdo é o torque produzido pela força ~Fi e no lado

direito, como ω =dθ

d t, então ω

dω

dθé igual à aceleração angular α =

dω

d te obtemos o

resultado seguinte:m

∑j=1

Tj = Icm α (4.24)


Este resultado é a lei do movimento para a rotação plana do corpo rígido:

A soma dos torques de todas as forças, em relação ao centro de massa, éigual ao momento de inércia, em relação ao eixo que passa pelo centro demassa, vezes a aceleração angular do corpo rígido.

Exemplo 4.2No automóvel do exemplo 4.1, desde o instante t = 0 até o instante t = 20 s o automóvelcomeça a andar, com aceleração tangencial constante, atingindo a velocidade de 60 km/hno fim desse intervalo. Sabendo que o centro de gravidade está a uma altura de 35 cm porcima do chão, calcule a força de reacção normal em cada pneu.

Resolução: A força que faz acelerar o automóvel é a força de atrito estático, ~Fa, entre ospneus e a estrada. A figura seguinte mostra o diagrama de forças.

R1 R2

Fa

9000 N

CM

0.4 m 1.2 m

0.35 m

R1 representa a soma das duas reacções nos dois pneus da frente, e R2 a soma das reacçõesnormais dos pneus de atrás. A aceleração do centro de massa é no sentido horizontal eigual a:

at =60/3.6

20=

56

ms2

A lei do movimento para a translação conduz às equações:{R1 +R2 = mgFa = mat

=⇒

R1 +R2 = 9000

Fa =9000×59.8×6

Em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, o peso não produz nenhum torque,os torque de R1 e Fa são no sentido horário e o torque de R2 é no sentido anti-horário.Como o automóvel não tem movimento de rotação, a aceleração angular é nula e a lei domovimento de rotação é:

1.2R2 = 0.4R1 +0.35Fa


A resolução do sistema das 3 equações é:

Fa = 765 N R1 = 6583 N R2 = 2417 N

A reacção em cada pneu da frente será 3291 N e em cada pneu de atrás 1209 N.

Perguntas

1. Uma esfera encontra-se inicialmente emrepouso, pendurada por dois fios. O fioda direita é cortado subitamente. Qual éo valor da aceleração da esfera imediata-mente após o fio ter sido cortado?

30° 30°

A. 0B. g/2C. g cos30◦

D. g sin30◦

E. g

2. Um objecto desloca-se numa trajectóriacurva, mantendo o módulo da sua veloci-dade constante. Qual das seguintes afir-mações é verdadeira?

A. A aceleração é perpendicular à trajec-tória.

B. O módulo da aceleração é constante.C. A aceleração é tangente à trajectória.D. A aceleração é constante.E. A aceleração é nula.

3. O movimento circular de uma roda deraio RA é transmitido para outra roda deraio RB, através de uma correia que sedesloca com as rodas, sem derrapar. Qualé a relação entre as velocidades angularesωA e ωB de ambas as rodas?

RA

RB

A. RAωA = RBωB

B. ωA = ωB

C. R2AωA = R2

BωB

D. RBωA = RAωB

E. R2BωA = R2

AωB

4. Sobre um disco de actuam duas forças ex-ternas, como se mostra na figura. Calculeo torque resultante, em relação ao pontoO.

60 N

85 N

O

3 cm6 cm

30°

A. 0.57 N·mB. 1.05 N·mC. 4.35 N·m

D. 5.67 N·mE. 6.15 N·m

5. Um cilindro de peso P é mantido em re-pouso com dois cilindros de peso P/2.O fio 2 é cortado subitamente; qual das


afirmações seguintes descreve correcta-mente o valor da tensão T1, no fio 1, ime-diatamente após o fio 2 ter sido cortado?(Admita que a massa das roldanas e oatrito nos seus eixos são desprezáveis, oque faz com que a tensão no fio 1 sejaaproximadamente igual nos cilindros dolado esquerdo e do lado direito.)

P

P

P

2

2

fio 1

fio 2

A. T1 > PB. T1 = PC. P/2 < T1 < P

D. T1 = P/2E. 0 < T1 < P/2

Problemas

1. O martelo na figura apoia-se sobre um bloco de madeira de 40 mm de espessura,para facilitar a extracção do prego. Sabendo que é necessária uma força de 200 N(perpendicular ao martelo) para extrair o prego, calcule a força sobre o prego e areacção no ponto A. Admita que o peso do martelo pode ser desprezado e em A existesuficiente atrito para evitar que o martelo escorregue.

200 N

200 mm

40 mm

40 mm

20°

A

2. Uma esfera de 0.8 kg encontra-se inicialmente em repouso, pendurada por dois fios.O fio da esquerda é cortado subitamente. Calcule a tensão no fio do lado direito e aaceleração escalar da esfera no instante em que o fio acabou de ser cortado (admitaque a massa dos fios é nula e tenha em conta que a velocidade inicial é nula, mas a suaderivada não!).

30° 30°

3. Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que a velocidade


diminua a uma taxa constante de 4.5 km/h cada segundo. Observando o desenho,faça uma estimativa do raio de curvatura da curva no desenho e calcule o módulo daaceleração vectorial do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem.

5 m

4. Um automóvel com tracção frontal acelera uniformemente desde o repouso atingindouma velocidade de 100 km/h em 11 segundos. Se o peso do automóvel for 9750 N,calcule as reacções normais e a força de atrito sobre cada pneu. ¿Qual será o valormínimo que deverá ter o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada paraque automóvel possa atingir essa aceleração?

G

80 cm160 cm

44 cm

5. Para medir o coeficiente de atrito estático entre um bloco e um disco, fez-se rodar odisco com uma aceleração angular α = 5 rad/s2 constante. O disco parte do repousoem t = 0 e no instante t = 0.82 s o bloco começa a derrapar sobre o disco. Calcule ocoeficiente de atrito estático.

α

8 cm


6. Um piloto de corridas de aviões, com 54 kg, executa um loop vertical com 1200 m deraio, de tal modo que a velocidade do avião decresce a uma taxa constante. Sabendoque as forças exercidas sobre o piloto pela base do assento do avião nos pontos A e Csão 1680 N e 350 N, respectivamente, determine a força da base do assento sobre opiloto quando o avião se encontra no ponto B.

1200 m

A

B

C

7. Uma esfera ligada a uma corda de comprimento l parte do repouso na posição A, comomostra a figura. Quando a corda atingir a posição vertical, entrará em contacto com umprego fixo no ponto B, que faz com que a esfera descreva um círculo com raio menorque l. Calcule o valor mínimo que poderá ter a distância a para que a trajectória daesfera siga o círculo com centro em B (se a não for suficientemente grande, a cordadeixa de estar esticada quando a esfera sobe e a esfera não chega até a parte mais altado círculo).

B

A

C

l

a


8. Um tronco uniforme de 100 kg está pendurado por meio de dois cabos do mesmocomprimento. O tronco larga-se a partir do repouso na posição representada na figura;calcule a tensão e a aceleração angular dos cabos no preciso instante em que o tronco élargado a partir do repouso.

AB C100 kg

2 m

2 m 2 m

1 m60° 60°

9. Um armário de 45 kg, montado sobre rodas que o deixam andar livremente sobre o chão,é acelerado por uma força externa de 310 N. (a) Calcule os valores máximo e mínimoque pode ter a altura y para o armário acelerar sem as rodas perderem o contacto com ochão. (b) Calcule a aceleração do armário, quando y estiver entre os valores mínimo emáximo calculados na alínea anterior.

68 cm

87 cm

310 N

G

y

5 Sistemas dinâmicos

No estudo de um sistema dinâmico é importante determinar a existência de posições deequilíbrio. Os acrobatas na fotografia encontram-se numa situação de equilíbrio estável: sea bicicleta se inclinar lateralmente, o peso do acrobata pendurado por baixo faz com que osistema se incline no sentido oposto, regressando à posição de equilíbrio. Se o acrobatana bicicleta não tivesse o segundo acrobata pendurado, a sua situação de equilíbrio seriainstável: se a bicicleta se inclinasse lateralmente, o peso dela e do homem faziam aumentarainda mais essa inclinação, afastando a bicicleta da posição de equilíbrio.


As equações de movimento de um sistema mecânico são um exemplo de equações dife-renciais. As equações diferenciais aparecem em muitos outros campos da Ciência e daEngenharia; uma forma de estudar esse tipo de equações consiste em usar uma analogiacom os sistemas estudados na mecânica. Por exemplo, em muitos problemas em diversasáreas encontram-se equações semelhantes às equações de um pêndulo ou de um blocoligado a uma mola elástica.

Neste capítulo vamos mostrar o método geral para estudar sistemas dinâmicos que temsido estendido a sistemas mais gerais. Para facilitar esse estudo, vamos usar o sistemade álgebra computacional Maxima. Antes de começar com este capítulo, recomenda-seconsultar a introdução o apêndice B, caso não esteja familiarizado com esse sistema.

5.1 Variáveis de estado e espaço de fase

Um sistema mecânico é caracterizado pelas forças que actuam sobre ele. Para estudar umsistema determinado, admitiremos que as forças são bem conhecidas.

Uma vez estabelecidas as forças, o tipo de movimento que terá o sistema dependerá dascondições iniciais; isto é, se soubermos a posição e a velocidade de um corpo num instante,poderemos prever qual será a posição e velocidade em qualquer instante posterior.

A posição,~r, e a velocidade,~v, de uma partícula são designadas de variáveis de estado.Esses dois vectores terão um valor único em cada instante t. As três componentes daposição, junto com as três componentes da velocidade constituem um espaço a seisdimensões designado de espaço de fase.

O

v

r

Figura 5.1: O estado de uma partícula em qualquer instante é dado pelos vectores deposição e velocidade.

Quando o movimento é em uma dimensão, é mais fácil visualizar o espaço de fase, porser um plano. Nesse caso, a posição da partícula pode ser indicada com uma coordenadas. O espaço de fase é constituido por s e o valor da velocidade, v. A figura 5.2 mostra oespaço de fase, com a posição s no eixo das abcissas e o valor da velocidade v no eixo dasordenadas.

Em cada instante, o estado da partícula pode ser qualquer ponto do plano. Se num instanteinicial a partícula se encontra na posição s0, com velocidade v0, o estado nos instantes

5.2 Campo de direcções 73

(s0, v0)

v

s

Figura 5.2: Espaço de fase de uma partícula que se desloca em uma dimensão.

seguintes são os pontos de uma curva contínua a partir do ponto (s0, v0).

A evolução do sistema em função do tempo é dada por uma curva contínua no espaço defase; a curva não pode ter nenhuma descontinuidade porque a posição e a velocidade nãopode mudar repentinamente de um valor para outro diferente, sem passar por todos osvalores intermédios. Por cada ponto do espaço de fase passa uma única curva de evoluçãodo sistema (também designada por órbita do sistema).

5.2 Campo de direcções

Na figura 5.2, o ponto (s, v) que representa o estado da partícula em cada instante, desloca-se no sentido horizontal e no sentido vertical. O deslocamento horizontal por unidade detempo é dado pela derivada s (velocidade) e o deslocamento vertical por unidade de tempoé dado pela derivada v (aceleração tangencial).

Assim, o estado da partícula desloca-se, no espaço de fase, com velocidade:

~u = v~es +at~ev (5.1)

esse vector designa-se de velocidade de fase. Em cada ponto do espaço de fase, avelocidade de fase é um vector tangente à trajectória que passa por esse ponto.

A figura 5.3 mostra as componentes da velocidade de fase em vários pontos do espaçode fase. Esse tipo de desenho designa-se de campo de direcções. A figura mostratambém uma possível curva de evolução do sistema, no espaço de fase. O movimentocorrespondente a essa curva é o seguinte: a partícula parte desde uma posição inicial s0 > 0,com velocidade de valor negativo e aceleração tangencial positiva, que implica diminuiçãodo valor absoluto da velocidade; quando passa pela origem a sua aceleração é nula, mas


v

s

Figura 5.3: Velocidade de fase em vários pontos do espaço de fase e uma curva deevolução do sistema.

continua a deslocar-se para valores negativos de s, com velocidade de valor negativoconstante. A partícula para num ponto s1 < 0 mas como a sua aceleração tangencial nesseponto é positiva, começa a andar novamente no sentido positivo de s, regrassando à origem;finalmente a partícula continua a afastar-se da origem com velocidade sempre a aumentar.

Na figura 5.3, observe que a velocidade de fase no semiplano superior aponta semprepara a direita, porque nesse semiplano o valor da velocidade é sempre positivo, e nosemiplano inferior a velocidade de fase aponta sempre para a esquerda, porque nessesemiplano o valor da velocidade é negativo. No eixo horizontal, a velocidade de fase ésempre perpendicular ao eixo, porque a velocidade é nula. Assim, as curvas de evolução dosistema deslocam-se para a direita no semiplano superior e para a esquerda no semiplanoinferior.

No Maxima, a função plotdf permite desenhar campos de direcções como o da figura 5.3.O exemplo seguinte mostra como usar esse programa.

Exemplo 5.1Uma partícula com massa de 0.5 kg desloca-se ao longo de um carril. A componentetangencial da força é Ft = −s3 + 6s2− 3s− 10, onde s é a posição ao longo do carril(unidades SI). (a) Desenhe o campo de direcções para valores de s no intervalo [−4,8]e valores de v no intervalo [−30,30]. (b) No instante inicial a partícula encontra-se na

5.2 Campo de direcções 75

posição s = 4, com velocidade igual a 3 m/s, no sentido em que s aumenta. Desenhe acurva de evolução da partícula no espaço de fase.

Resolução: (a) Começamos por definir a expressão da força no Maxima e a seguircalculamos a aceleração tangencial em função de s:

(%i1) F:-s^3 + 6*s^2 - 3*s - 10;3 2

(%o1) - s + 6 s - 3 s - 10(%i2) a: F/0.5;

3 2(%o2) 2.0 (- s + 6 s - 3 s - 10)

As variáveis de estado são s e v, e as componentes da velocidade de fase são v e a (que jáestá definida como função de s). Os dois primeiros argumentos que deverão ser dados aoprograma plotdf são uma lista com as componentes da velocidade de fase, [v, a],e uma lista que indique as variáveis de estado, [s, v]. A seguir podemos dar algunsargumentos opcionais, por exemplo, para delimitar o domínio de valores de s e de v:(%i3) plotdf([v, a], [s, v], [s, -4, 8], [v, -30, 30])$

(b) Para desenhar a curva de evolução a partir do estado inicial s = 4 e v = 3, usa-se aopção trajectory_at:(%i4) plotdf([v,a],[s,v],[s,-4,8],[v,-30,30],[trajectory_at,4,3])$

-2 0 2 4 6 8

-30

-20

-10

0

10

20

30

v

s

Figura 5.4: Campo de direcções do exemplo 5.1 e curva de evolução do sistema.

A figura 5.4 mostra o gráfico obtido. Os vectores que representam a velocidade de fasenão foram desenhados com o valor real do seu comprimento para evitar que se cruzem.Foram desenhados com módulos ajustados para ficar com tamanho ligeiramente menorque a distância entre os pontos da quadrícula em que são desenhados os vectores.


A curva de evolução da partícula a partir de s = 4 mostra que a partícula avança na direcçãopositiva de s, até parar (v = 0) em aproximadamente s = 5.8; a seguir a partícula regressapara o ponto s = 4, com velocidade v =−3, continua a deslocar-se no sentido negativoaté parar aproximadamente em s = 3.8; finalmente, regressa ao ponto inicial s = 4 com amesma velocidade inicial v = 3. Nesse instante o ciclo repete-se.

A partir do campo de direcções pode obter-se muita informação importante sobre osistema. No exemplo apresentado na figura 5.4, as condições iniciais dadas conduzema um movimento oscilatório à volta de um ponto perto de s = 5. Podemos ver que se avelocidade inicial fosse mais elevada ou se a partícula parti-se de uma posição inicial coms > 6, a oscilação seria até valores de s menores que −1.5. Perto de s = −1.5 tambémpode existir movimento oscilatório à volta desse ponto.

5.2.1 Opções do programa plotdf

Como já foi referido, o primeiro argumento que deve ser dado ao programa plotdf é umalista com as duas componentes da velocidade de fase. Cada componente deverá ser umaexpressão que só pode depender de duas variáveis, variáveis essas que definem o estado dosistema.

Se as variáveis de estado fossem x e y, não seria preciso dar nenhum outro argumento aoprograma. Se as variáveis são outras diferentes, a seguir deverá ser escrita uma lista comos nomes dessas duas variáveis. Como regra geral pode ser escrito sempre o nome dasduas variáveis de estado.

A seguir ao nome das variáveis de estado há várias opções adicionais que podem ser usadas.A lista completa de opções do programa pode ser consultada no manual do Maxima.Quando se executa o programa plotdf, é criada uma nova janela com o campo de direcções(figura 5.5).

Deslocando o rato sobre o espaço de fase, aparecem no canto inferior direito as coordenadasdo ponto onde estiver o rato. Clicando com o primeiro botão do rato sobre algum ponto nográfico, será desenhada a curva de evolução do sistema que passa por esse ponto, com umaseta que indica o sentido da evolução.

A barra de menu da janela gráfica inclui vários botões. Zoom, permite mudar o comporta-mento do rato: cada vez que se clicar no gráfico, a escala do gráfico aumentará; mantendocarregada a tecla Shift e clicando em simultâneo, faz diminuir a escala. Para voltar aobter uma trajectória cada vez que se clica num ponto, carrega-se no botão Integrate.O botão Save permite gravar uma cópia do gráfico num ficheiro, em formato Postscript.O botão Plot Versus t abre uma nova janela onde serão representados os gráficos daposição e da velocidade em função do tempo, correspondentes à última curva de evoluçãoque tenha sido desenhada.

O botão Config abre o menu “Plot SetUp” (figura 5.5) que mostra vários parâmetros que

5.3 Pontos de equilíbrio 77

Figura 5.5: Menu Config do programa plotdf.

podem ser alterados: as equações que definem as componentes da velocidade de fase, ascores usadas para desenhar as velocidades de fase (vectors) e as curvas de evolução(fieldlines), o domínio, etc. Se o campo vectors for deixado em branco, nãoserão desenhados os vectores e se o campo fieldlines estiver em branco, não serãodesenhadas curvas de evolução. Quando se altera um parâmetro, deverá carregar-se em“ok” e a seguir no botão “Replot”.

O campo direction terá, por omissão, o valor both, que implica que quando se clicarnum ponto no espaço de fase, será desenhada a curva de evolução que passa por esseponto, para instantes anteriores e posteriores. Mudando essa variável para forward oubackward, consegue-se que a curva seja desenhada unicamente para instantes posterioresou anteriores. Introduzindo duas coordenadas no campo Trajectory at, separadaspor espaço, e carregando na tecla Enter, é acrescentada mais uma curva que passa peloponto com essas coordenadas. Cada vez que clicar no botão Replot será apresentadaunicamente a última curva que foi traçada.

5.3 Pontos de equilíbrio

Em cada ponto do espaço de fase, a velocidade de fase indica a direcção e sentido queseguirá a curva de evolução que passa por esse ponto. Nos pontos onde a velocidade defase for nula, não existirá nenhuma curva que passe por esse ponto. Nesse caso o estado da


Figura 5.6: Menu Save do programa plotdf.

partícula permanece constante.

Do ponto de vista físico, para que as duas componentes da velocidade de fase sejam nulas,será preciso que tanto a velocidade como a aceleração sejam nulas. Isso implica que osistema estará num estado de equilíbrio estático, em que a força resultante e a velocidadesão nulas e o estado permanece em repouso. Assim, os pontos de equilíbrio de umsistema, serão os pontos do espaço de fase em que a velocidade de fase é nula.

É de salientar que todos os pontos no eixo das abcissas no espaço de fase correspondema estados de repouso (velocidade nula). Alguns desses estados também serão estados deequilíbrio estático, se a força nesses pontos for nula; esses são os pontos definidos comopontos de equilíbrio do sistema dinâmico.

Os pontos de equilíbrio do sistema dinâmico estarão todos localizados no eixo das abcissas.Nos pontos do eixo das abcissas onde a velocidade de fase não for nula, o sistema perma-nece em repouso apenas durante um instante, retomando imediatamente o seu movimento.

Um estado de equilíbrio dinâmico é um estado em que a força resultante é nula mas osistema continua com movimento uniforme. No espaço de fase esse estado corresponderiaa uma evolução em linha recta paralela ao eixo da posição (velocidade de fase na direcçãodesse eixo).

Exemplo 5.2Uma partícula com massa de 0.3 kg desloca-se ao longo do eixo dos x, sob a acção de uma


força:

~F = (−x4

2+4x3− 3

2x2−32x+25)~ex

(unidades SI). (a) Encontre os pontos de equilíbrio do sistema. (b) Desenhe o campo dedirecções, mostrando as curvas de evolução perto desses pontos.

Resolução: (a) Podemos começar por armazenar a expressão da força em função daposição:

(%i5) F: -x^4/2 + 4*x^3 - 3*x^2/2 - 32*x + 25$

Para encontrar os pontos de equilíbrio, onde a foça é nula, podemos usar a funçãorealroots do Maxima:

(%i6) realroots(F), numer;(%o6) [x = - 2.651742964982986, x = .8102310001850128,

x = 3.950161665678024, x = 5.891350239515305]

o modificador numer foi usado para obter o resultado em forma numérica aproximada, enão como números racionais.

Existem assim 4 pontos de equilíbrio, todos com v = 0 e com os valores de x que aparecemna alínea (%o6) acima. (b) Para desenhar o campo de direcções escolheremos um domínioque mostre bem os quatro pontos de equilíbrio.(%i7) plotdf([v,F/0.3], [x,v], [x,-5,8], [v,-50,50])$

O resultado é apresentado na figura 5.7. As curvas de evolução perto dos pontos deequilíbrio em x = 0.81 e x = 5.89 são fechadas, com o ponto de equilíbrio no seu interior.Nos outros dois pontos de equilíbrio, x = −2.65 e x = 3.95, há curvas de evolução queentram e saem do ponto. Nas secções seguintes analisaremos com mais pormenor essascurvas.

5.3.1 Ciclos e órbitas homoclínicas

No exemplo 5.2 as curvas de evolução perto dos pontos de equilíbrio em x = 0.81 ex = 5.89 são curvas fechadas à volta do ponto de equilíbrio (figura 5.2). Cada uma dessascurvas fechadas, designadas de ciclos, corresponde a um movimento oscilatório à volta doponto de equilíbrio.

Uma curva fechada no espaço de fase representa um ciclo.

No ponto de equilíbrio em x = 3.95 há duas curvas, uma do lado esquerdo e outra do ladodireito, que começam e terminam neese ponto de equilíbrio. Nenhuma dessas duas curvasé realmente curva fechada, porque o próprio ponto de equilíbrio está excluído da curva.Cada uma dessas duas curvas designa-se de órbita homoclínica:


-4 -2 0 2 4 6 8

-50

-25

0

25

50

v

x

Figura 5.7: Campo de direcções do exemplo 5.2 e curvas de evolução próximas dos pontosde equilíbrio.

Uma órbita homoclínica é uma curva no espaço de fase que começa numponto de equilíbrio e termina no mesmo ponto.

No retrato de fase 5.7 existe também uma terceira órbita homoclínica, que parte do pontode equilíbrio x =−2.65 para cima e para a direita, e regressa ao mesmo ponto por baixo epara a esquerda.

A diferença entre as órbitas homoclínicas e os ciclos é que, nos ciclos o sistema está sempreem movimento e o movimento repete-se indefinidamente: o sistema passa repetidamentepelos mesmos pontos no espaço de fase. No entanto, nas órbitas homoclínicas o sistemaaproxima-se assimptóticamente dum estado de equilíbrio, mas nunca chega a passar duasvezes por um mesmo ponto do espaço de fase; nomeadamente, o sistema oscila uma únicavez e após essa única oscilação vai travando gradualmente, aproximando-se do estado deequilíbrio.

Os gráficos da posição x e velocidade v em função do tempo podem ser desenhados usandoa opção versus_t do programa plotdf. Os gráficos na figura 5.8 foram obtidos comos comandos seguintes:(%i8) plotdf([v,F/0.3],[x,v],[x,-5,8],[v,-50,50],[versus_t,1],

[trajectory_at,0.5,0],[direction,forward],[nsteps,425])$

(%i9) plotdf([v, F/0.3], [x,v],[x,-5,8],[v,-50,50],[versus_t,1],[trajectory_at,-2.61,0.5],[direction,forward],[nsteps,425])$

O gráfico obtido com o comando (%i8), apresentado no lado esquerdo da figura 5.8,mostra a evolução, em função do tempo, do ciclo que aparece no retrato de fase 5.7 como


0 2.5 5 7.5-5

-2.5

0

2.5

5

x

v

t

x

v

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-50

-25

0

25

50

t

Figura 5.8: Posição e velocidade em função do tempo no caso de um ciclo (esquerda) ede uma órbita homoclínica.

uma elipse à volta do ponto de equilíbrio em x = 0.81. O movimento é periódico.

O gráfico obtido em (%i9) aparece no lado direito da figura 5.8 e corresponde à órbitahomoclínica que parte desde o ponto de equilíbrio em x =−2.65 na figura 5.7 e terminano mesmo ponto. Nesse ponto existe unicamente uma órbita homoclínica; as outras duascurvas, uma que chega ao ponto desde cima e da esquerda, e a outra que sai do ponto paraa esquerda e para baixo, são curvas abertas que se estendem até o infinito; não fazem partede nenhuma órbita homoclínica.

5.3.2 Equilíbrio estável e instável

Os pontos de equilíbrio em x = 0.81 e x = 5.89 no exemplo são pontos de equilíbrioestável, porque se o estado inicial do sistema estiver próximo desse ponto, o sistema temuma tendência a regressar ao estado inicial.

Os outros dois pontos de equilíbrio, em x =−2.65 e x = 3.95, são pontos de equilíbrioinstável, porque se o estado inicial do sistema estiver próximo desses pontos, o sistematerá uma tendência a afastar-se desse estado inicial.

Observe que os ciclos aparecem à volta dos pontos de equilíbrio estável e as órbitashomoclínicas começam e terminam em pontos de equilíbrio instável. Um ponto deequilíbrio onde exista uma órbita homoclínica é, necessariamente, ponto de equilíbrioinstável, porque em algumas direcções o estado do sistema afasta-se desse ponto.

A expressão da força em função da posição permite identificar facilmente os pontos deequilíbrio estável e instável. A figura 5.9 mostra o gráfico da força do exemplo 5.2. Os


pontos de equilíbrio instável são os pontos onde a força passa de baixo do eixo dos x paracima e os pontos de equilíbrio estável encontram-se onde a força passa de cima do eixopara baixo.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

F(x

)

x

Figura 5.9: Gráfico da força do exemplo 5.2.

Nas regiões onde o valor da força é negativo, a força aponta no sentido negativo doeixo dos x e onde o valor da força é positivo, a força aponta no sentido positivo de x.Consequentemente, perto dos pontos de equilíbrio instável a força aponto no sentidooposto a esse ponto, e perto dos pontos de equilíbrio estável a força aponta no sentido doponto.

A figura 5.10 mostra as zonas em que o sistema do exemplo 5.2 é estável. Nas duas zonasmais escuras, o sistema oscila à volta de algum dos pontos de equilíbrio estável e na zonamais clara oscila à volta desses dois pontos. As órbitas monoclínicas demarcam a fronteiradas zonas de estabilidade.

5.4 Sistemas autónomos

Quando a força resultante que actua sobre a partícula não depender do tempo, diz-se que osistema é um sistema autónomo. Do ponto de vista físico, um sistema será autónomo se,sempre que for colocado no mesmo estado inicial, a sua evolução for a mesma.

Os sistemas que observamos na natureza costumam ter essa propriedade. As leis físicassão as mesmas em qualquer instante; se repetirmos uma experiência física uns dias maistarde, o resultado deverá ser o mesmo. Quando isso não acontecer, será um sinal de quefalta alguma informação adicional sobre outros factores físicos externos.

Assim, num sistema autónomo a força resultante dependerá unicamente do estado do

5.5 Sistemas conservativos 83

Figura 5.10: As regiões coloridas representam a zona em que o sistema é estável.

sistema: posição e velocidade. Claro está que a posição e a velocidade podem ser escritasem função do tempo e, consequentemente a força depende implicitamente do tempo, masnão existe nenhuma dependência explicíta no tempo. As causas que dão origem à forçasão independentes do tempo.

Num sistema que não seja autónomo, para poder definir a velocidade de fase, num pontodo espaço de fase, é preciso saber a posição, a velocidade e a posição. Portanto, o estadocompleto de um sistema autónomo inclui também o tempo; o espaço de fase é formadopela posição, a velocidade e o tempo. O tempo passa a ser mais uma variável de estado.

5.5 Sistemas conservativos

Se a força resultante sobre a partícula for conservativa, será possível definir uma função deenergia potencial. No capítulo 3 vimos que se a componente tangencial da força dependeunicamente da posição s na trajectória, o sistema é conservativo. A energia potencial Ucalcula-se a partir da primitiva da força (equação 3.21):

U =−s∫

sref

Ft ds (5.2)

Os dois sistemas considerados nos exemplos 5.1 e 5.2 são ambos conservativos. No casodo exemplo 5.2, a expressão da força foi armazenada na variável F do Maxima; assim,para obtermos a energia potencial calculamos a primitiva da expressão F:

(%i10) U: -integrate( F, x);


5 3x 4 x 2

(%o10) -- - x + -- + 16 x - 25 x10 2

A energia mecânica obtém-se somando a energia cinética:

(%i11) E: U + 0.3*v^2/2;5 3x 4 x 2 2

(%o11) -- - x + -- + 16 x - 25 x + 0.15 v10 2

Essa energia mecânica depende do estado inicial do sistema e permanece constante. Assim,as curvas de evolução do sistema serão todas as curvas do plano de fase obtidas comdiferentes valores numéricos para E.

No Maxima, o pacote plotdf inclui outra função ploteq que permite calcular as curvasobtidas dando diferentes valores a uma função de duas variáveis. Para obter as curvas comvalores constantes de E, usamos o seguinte comando:

(%i12) ploteq( E, [x,v], [x,-5,8], [v,-50,50])$

Clicando em alguns pontos do espaço de fase, conseguimos obter o gráfico na figura 5.11,que reproduz o mesmo gráfico que já obtivemos com plotdf na figura 5.11. A únicadiferença é que agora não temos setas que indiquem o sentido da evolução do sistema.

-4 -2 0 2 4 6 8

-50

-25

0

25

50

v

x

Figura 5.11: Curvas de evolução do exemplo 5.2, obtidas a partir das curvas com energiaconstante.


Podemos calcular a energia mecânica nos pontos que foram usados no gráfico 5.11:(%i13) E, x=-2.65, v=0;(%o13) 106.92107209375(%i14) E, x=3.95, v=0;(%o14) 34.42494371875003(%i15) E, x=0.5, v=0;(%o15) - 8.496875(%i16) E, x=5.5, v=0;(%o16) 17.90937500000001

E também podemos representar esses níveis de energia mecânica constante junto com ográfico da energia potencial:(%i17) plot2d( [U, -8.50, 17.91, 34.42, 106.92], [x,-4,7.5],[ylabel,"U(x)"])$

O resultado aparece na figura 5.12. Para cada valor de energia, o sistema só pode estar nasregiões onde a energia potencial seja menor ou igual à energia mecânica.

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

-4 -2 0 2 4 6

U(x

)

x

Figura 5.12: Gráfico da energia potencial no exemplo 5.2, mostrando alguns níveis deenergia mecânica.

Os dois valores mais elevados da energia representados no gráfico 5.12, E = 34.42 eE = 106.92, são os valores da energia nos dois pontos de equilíbrio instável: E = 106.92no ponto de equilíbrio x =−2.65 e E = 34.42 no ponto de equilíbrio x = 3.95.

Observe também que em todos os pontos da órbita homoclínica que passa pelo pontoinstável x = −2.65, a energia é igual a 106.92. De facto, a condição E = 106.92 defineessa órbita. As duas órbitas homoclínicas que passam pelo ponto instável x = 3.95 estãodefinidas pela condição E = 34.42.


Se a energia for menor que E = 34.42, a curva de evolução será um ciclo em torno dealgum dos dois pontos de equilíbrio estável. Se a energia estiver comprendida entre 34.42e 106.92, a curva de evolução será um ciclo (oscilação) em torno dos dois pontos deequilíbrio estável.

É de salientar que num gráfico da energia potencial, como o que aparece na figura 5.12, ospontos de equilíbrio estável são sempre pontos mínimos locais e os pontos de equilíbrioinstável são máximos locais.

Perguntas

1. A força resultante sobre uma partículaque se desloca sobre o eixo dos y é~F = (2− y)(3− y)~ey. Em t = 0 a par-tícula encontra-se em repouso no pontoy = 2.5. Em que ponto se encontrará apartícula após um tempo muito elevado?

A. Muito afastada, em y→ ∞

B. Oscilando à volta de y = 2C. Em y = 2D. Em y = 3E. Oscilando à volta de y = 3

2. Um sistema é autónomo se:

A. Não apresenta pontos singulares ondea derivada não pode ser calculada.

B. Não depende de outros sistemas.C. Evolui em forma espontânea, sem

precisar de agentes externos.D. O seu estado não depende do tempo.E. A evolução do sistema a partir de um

estado inicial é igual em diferentesinstantes.

3. A figura mostra o gráfico do valor daforça resultante F(x), que actua sobreuma partícula que se desloca ao longodo eixo dos x. Qual das seguintes afirma-ções é verdadeira, em relação aos pontosde equilíbrio da partícula?

x

F(x)

−1 1 3

A. x =−1 é estável e x = 1 é instável.B. x = 1 é estável e x = 3 é instável.C. x =−1 é estável e x = 3 é instável.D. x =−1 e x = 3 são estáveis.E. x =−1 e x = 1 são instáveis.

4. A figura mostra o gráfico da energia po-tencial U(x), de uma partícula que se des-loca ao longo do eixo dos x. No instanteinicial a partícula tem energia mecânicade 5 J e encontra-se em x = 1 m, com ve-locidade no sentido positivo de x. Comoserá o movimento da partícula?

x (m)

U (J)

−2 2−1 1

−3

3


A. Oscila à volta do ponto x = 1B. Oscila à volta do ponto x = 2C. Desloca-se até um ponto maior que

x = 2 e depois regressa e fica em re-pouso em x =−1

D. Permanece em repouso no ponto x =1

E. Desloca-se até um ponto maior quex = 2 e depois afasta-se em sentidonegativo até −∞.

5. Quais são as componentes da velocidadede fase associada ao potencial U(x) =3 ex para uma partícula com massa m =3?

A. v~ex− ex ~ey

B. v~ex− e−x ~ey

C. v~ex− x~ey

D. v~ex + ex ~ey

E. v~ex + e−x ~ey

Problemas

1. Uma bola com 0.150 kg é lançada verticalmente para cima, desde y = 0 (o eixo dosy aponta para cima, na vertical). Desprezando o atrito com o ar, a energia permanececonstante. (a) Desenhe o campo de direcções, para y > 0, mostrando 4 curvas deevolução diferentes (use o valor 9.8 m/s2 para g). Para cada curva, explique o significadodos pontos em que a curva intersecta os eixos. (b) No programa no fim do capítulo1 (página 11) a bola era largada em queda livre, e cada vez que batia no chão eraprojectada novamente para cima; explique como seria a curva de evolução dessa bolano espaço de fase que desenhou na alínea anterior.

2. Para cada um dos 3 valores de k no problema 6 do capítulo 1, encontre os pontosde equilíbrio, diga que tipo de ponto de equilíbrio é cada um e desenhe o campo dedirecções mostrando as curvas de evolução perto dos pontos de equilíbrio.

3. Uma partícula com massa igual a 1 kg desloca-se ao longo do eixo dos y. No sistemaSI, a força tangencial sobre a partícula em cada ponto é dada pela expressão F = y+ y2.(a) Encontre os pontos de equilíbrio e diga se são estáveis ou instáveis. (b) Calculea energia potencial, em função de y, admitindo U = 0 na origem, e calcule a energiapotencial em cada ponto de equilíbrio. (c) Desenhe o campo de direcções do sistema,mostrando as 4 curvas de evolução correspondentes à energias seguintes: 0, uma energiamenor que as energias nos pontos de equilíbrio, uma energia compreendida entre asenergias nos dois pontos de equilíbrio, e energia maior que a energia nos pontos deequilíbrio. (d) Calcule a posição y onde a partícula pode estar em repouso, sem estarem equilíbrio, com energia total igual a zero; explique como seria o movimento dapartícula nesse caso.

4. Uma partícula com massa m desloca-se no eixo dos x sob a acção da força tangencial:

F =−k x+ax3

onde k e a são duas constantes positivas. (a) Encontre os pontos de equilíbrio e mostreque todos são pontos de equilíbrio estável. (b) Explique como será o movimento da


partícula. (c) Desenhe o campo de direcções e algumas curvas de evolução no caso emque m, k e a são iguais a 1.

5. Uma partícula com massa m desloca-se no eixo dos x sob a acção da energia potencial:

U(x) = U0 x2 e−ax2

onde U0 e a são duas constantes positivas. (a) Calcule a força que actua na partícula.(b) Encontre os pontos de equilíbrio e diga se são estáveis ou instáveis. (c) Desenhe ográfico da energia potencial para U0 = 1 e a = 1. (d) Desenhe o campo de direcções,mostrando as curvas de evolução que passam pelos pontos de equilíbrio instável, nocaso m = 1.

6 Sistemas lineares

O metrônomo produz pulsos de duração regular que podem ser ajustados deslocandoum peso na haste que oscila. Os osciladores têm tido um papel muito importante nodesenvolvimento da teoria dos sistemas dinâmicos.

90 Sistemas lineares

6.1 Equações de evolução

A velocidade de fase de uma partícula que se desloca em uma dimensão tem duas compo-nentes que são as derivada da posição e da velocidade, em função do tempo:

dsd t

= vdvd t

= f (s,v, t) (6.1)

em que f (s,v, t) é uma função conhecida, que determina a aceleração para quaisquervalores da posição, velocidade e tempo. Estas duas equações são as equações de evolução,que permitem calcular o estado da partícula, (s, v), a partir de um estado inicial. No casode um sistema autónomo, a função f não depende de t.

As duas equações 6.1 podem ser combinadas numa única equação, de segunda ordem, quedefine a posição em função do tempo:

d2sd t2 = f (s,v, t) (6.2)

Em forma inversa, qualquer equação diferencial de segunda ordem pode ser interpretadacomo duas equações de evolução de um sistema dinâmico em duas dimensões, comoveremos no exemplo a seguir.

Exemplo 6.1A equação diferencial:

x2 y′′+ xy′+(

x2− 19

)y = 0

é uma equação de Bessel. Escreva a equação na forma de um sistema dinâmico autónomonum espaço de fase.

Resolução: A variável independente neste caso é x, em vez do tempo t e y′ representa aderivada de y em função a x. Definiremos uma variável adicional v igual a y′:

dydx

= v (6.3)

assim, a segunda derivada y′′ é igual à primeira derivada de v e a equação de Bessel é:

x2 dvdx

+ xv+(

x2− 19

)y = 0

resolvendo para a derivada de v, obtemos:

dvdx

=−vx−(

1− 19x2

)y (6.4)

6.2 Sistemas autónomos gerais 91

esta equação, junto com a equação 6.3, são as equações de evolução para as variáveis deestado y e v. Para tornar o sistema autónomo, é preciso considerar a variável independentex como mais uma variável de estado, com a equação de evolução trivial:

dxdx

= 1 (6.5)

Assim, o espaço de fase é o espaço a três dimensões das variáveis (x, y , v) e as 3componentes das velocidades de fase nesse espaço são os lados direitos das equações 6.5,6.3 e 6.4.

6.2 Sistemas autónomos gerais

Nos sistemas dinâmicos mais gerais, as equações de evolução podem ser mais complicadasque as equações 6.1. Num sistema dinâmico autónomo, com duas variáveis dinâmicas x1 ex2, as equações de evolução têm a forma geral:

dx1

d t= f1(x1,x2)

dx2

d t= f2(x1,x2) (6.6)

as duas funções f1 e f2 definem as componentes da velocidade de fase:

~u = f1~e1 + f2~e2 (6.7)

Exemplo 6.2As temperaturas T1 e T2 em duas divisões de uma casa verificam as seguintes equações:

dT1

d t= 2−0.2(T1−8)−0.5(T1−T2) (6.8)

dT2

d t=−0.1(T2−8)−0.5(T2−T1) (6.9)

em que as temperaturas são medidas em graus centígrados e o tempo em horas. Atemperatura exterior é 8◦ C. Os termos −0.2(T1−8) e −0.1(T2−8) representam o calorque sai de cada divisão para o exterior, por unidade de tempo, divididos pelas capacidadescaloríficas de cada divisão. O termo −0.5(T1−T2) tem a ver com o calor que passa deuma divisão para a outra e o termo constante 2 é devido a que na primeira divisão háum aquecedor ligado que fornece uma quantidade constante de calor durante cada hora.Determine as temperaturas das duas divisões no estado de equilíbrio.


T1 T2

0.2 0.1

0.5

2

Resolução: Os lados direitos das duas equações diferenciais definem as componentes davelocidade de fase, no espaço de fase (T1, T2). Os pontos de equilíbrio, onde o estado dosistema permanece constante, são os pontos onde as duas componentes da velocidade defase são nulas. Usando a função solve do Maxima temos:(%i1) eq1: 2 - 0.2*(T1 - 8) - 0.5*(T1 - T2)$(%i2) eq2: - 0.1*(T2 - 8) - 0.5*(T2 - T1)$(%i3) solve([eq1, eq2]);

236 256(%o3) [[T2 = ---, T1 = ---]]

17 17(%i4) %, numer;(%o4) [[T2 = 13.88235294117647, T1 = 15.05882352941176]]

assim, no estado de equilíbrio as temperaturas das duas divisões serão 15.1◦ C e 13.9◦ C.

A figura 6.1 mostra as duas rectas, no espaço de fase, onde cada uma das componentes davelocidade de fase do exemplo 6.2 é nula. Em geral, os pontos onde uma das componentesda velocidade de fase é nula forma uma curva designada nulclina.

0T1

T2

15.1

13.9

T1 constante

T2 constante

Figura 6.1: Nulclinas e temperaturas de equilíbrio no exemplo 6.2.

6.3 Estabilidade dos sistemas lineares 93

Na figura 6.1, nos pontos da recta com menor declive, a derivada da temperatura T2 é nulae, portanto se o estado inicial for um ponto sobre essa recta, a temperatura T2 permaneceráconstante: a evolução do estado será na direcção paralela ao eixo T1. Nos pontos na outrarecta a derivada de T1 é nula; assim, se o estado inicial for um ponto sobre essa recta, atemperatura T1 permanecerá constante e a evolução do estado será na direcção paralela aoeixo de T2. O ponto de equilíbrio encontra-se na intersecção das duas nulclinas. Na regiãoentre as duas nulclinas, a velocidade de fase aponta no sentido desse ponto de equilíbrioestável.

6.3 Estabilidade dos sistemas lineares

No exemplo 6.2, se as temperaturas de cada divisão atingirem os valores de equilíbrio,permanecerão constantes. Mas será que as temperaturas chegam a atingir esses valores?Ou será que enquanto a temperatura de uma das divisões se aproxima do seu valor deequilíbrio enquanto a outra temperatura se afasta do seu valor de equilíbrio?

Na linguagem usada no capítulo anterior, será que o ponto de equilíbrio é estável ouinstável? Nos sistemas analisados no capítulo anterior, vimos que quando o estado inicialdo sistema estava perto de um ponto de equilíbrio instável, o sistema podia terminarafastando-se até o infinito. E perto dos pontos de equilíbrio estável as órbitas do sistemaeram ciclos, que correspondem a movimento oscilatório; neste exemplo, um ciclo no espaçode fase corresponderia a uma situação em que as duas temperaturas flutuam: enquantouma aumenta, a outra diminui e vice-versa.

Vamos estudar um método geral para analisar a estabilidade de um sistema (comportamentoperto dos pontos de equilíbrio) aplicando esse método ao caso concreto do exemplo 6.2.As equações de evolução nesse exemplo são equações lineares. Nomeadamente, essasequações podem ser escritas em forma matricial assim:[

T1

T2

]=

[−0.7 0.5

0.5 −0.6

][T1

T2

]+

[3.6

0.8

](6.10)

O último termo pode ser eliminado por meio de uma mudança de coordenadas: x1 =T1−15.1, x2 = T2−13.9. Essa mudança de coordenadas corresponde a deslocar a origempara o ponto de equilíbrio (figura 6.1. Em função dessas coordenadas, o ponto de equilíbrioencontra-se na origem (x1 = x2 = 0) e as equações de evolução são:[

x1

x2

]=

[−0.7 0.5

0.5 −0.6

][x1

x2

](6.11)

Essa equação pode ser interpretada como a representação matricial da expressão que definea velocidade de fase, ~u, igual ao vector obtido aplicando um operador linear A no vector~rda posição do estado no espaço de fase:

~u = A~r (6.12)


Se o vector~r é representado por uma matriz com uma coluna, o operador A é representadopela matriz na equação 6.11.

0x1

x2

0x1

x2

r

ur

u

Figura 6.2: Quando a velocidade de fase é paralela ao vector de estado, o sistemaaproxima-se ou afasta-se do ponto de equilíbrio na origem.

Para que o estado evolua para o estado de equilíbrio (na origem) é preciso que a velocidadede fase ~u seja oposta ao vector de estado~r, como se mostra no lado esquerdo da figura 6.2.Se ~u for na mesma direcção e sentido de~r, o sistema afastar-se-á do ponto de equilíbrio,como se mostra no lado direito da figura 6.2. Nos dois casos, os vectores ~u e~r estão namesma direcção, nomeadamente:

~u = λ~r (6.13)

onde λ é um número real; se λ for positivo, o sistema afastar-se-á do ponto de equilíbrio(equilíbrio instável) e se λ for negativo, o sistema evoluirá até o ponto de equilíbrio(equilíbrio estável). Usando a expressão 6.12 para a velocidade de fase, a condição 6.13 é:

A~r = λ~r (6.14)

Os vectores~r que verifiquem a condição 6.14 são chamados vectores próprios do operadorA e os respectivos valores λ são os valores próprios do operador.

Os vectores e valores próprios de uma matriz podem ser calculados no Maxima. Nocaso do exemplo 6.2, como as equações de evolução já foram armazenadas nas variáveiseq1 e eq2, podemos usar o comando coefmatrix para obter a matriz do sistema(equação 6.11):(%i5) A: coefmatrix([eq1,eq2],[T1,T2]);

[ 7 1 ][ - -- - ][ 10 2 ]

(%o5) [ ][ 1 3 ][ - - - ][ 2 5 ]

6.3 Estabilidade dos sistemas lineares 95

a seguir, usamos o comando eigenvectors para obter os valores e vectores próprios:(%i6) eigenvectors(A)$(%i7) %, numer;(%o7) [[[- 1.152493781056044, - .1475062189439555],

[1, 1]], [1, - .9049875621120891], [1, 1.104987562112089]]

A primeira lista mostra os valores próprios, λ1 =−1.15 e λ2 =−0.148; a segunda listasão as “multiplicidades” de cada valor próprio, que neste caso é 1. As últimas duas listasdefinem as direcções dos vectores próprios correspondentes aos dois valores próprios;quaisquer vectores na mesma direcção de um desses dois vectores, também será vectorpróprio.

Como existem dois valores próprios negativos, existem assim duas direcções no plano defase em que o estado do sistema aproxima-se do estado de equilíbrio na origem. Podemosdesenhar o retrato de fase do sistema, usando o comando plotdf:(%i8) vars: [x1, x2]$(%i9) plotdf([A[1].vars, A[2].vars], vars)$

A notação A[1] usa-se para obter a primeira linha da matriz e o ponto indica multiplicaçãoentre matrizes.

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x2

x1

Figura 6.3: Retrato de fase do exemplo 6.2. As duas rectas, estão nas direcções dos doisvectores próprios.

A figura 6.3 mostra o retrato de fase, as direcções dos dois vectores próprios (as duasrectas) foram desenhadas escrevendo no campo “trajectory_at” as coordenadas dos vectoresobtidos na alínea %o7 e as mesmas coordenadas com sinais opostos. Se o estado inicial nãoestiver sobre uma das direcções dos vectores próprios, a curva de evolução aproxima-serapidamente do vector correspondente ao valor próprio com menor valor absoluto.


Observe que as duas rectas nulclinas que foram desenhadas na figura 6.1 encontram-seaos dois lados da recta com declive positivo, no retrato de fase 6.3, e cruzam-se na origem,onde foi deslocado o ponto de equilíbrio.

Se inicialmente a temperatura em toda a casa for igual à temperatura exterior, T1 = T2 = 8,então os valores iniciais das variáveis x1 e x2 são 8−15.1 e 8−13.9; a curva de evoluçãono espaço de fase e a evolução das temperaturas em função do tempo podem ser desenhadascom o comando seguinte:(%i10) plotdf([A[1].vars, A[2].vars], vars,[trajectory_at,8-15.1,8-13.9],[versus_t,1],[direction,forward])$

O resultado mostra-se na figura 6.4. Os gráficos em função do tempo mostram que após 30horas, as duas temperaturas já atingiram praticamente os seus valores de equilíbrio.

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x2

x1

x1

x2

10 20 30 40 50-10

-5

0

5

10

t

Figura 6.4: Curva de evolução e temperaturas em função do tempo, quando as duastemperaturas iniciais são de 8◦ C.

6.4 Classificação dos pontos de equilíbrio

A forma geral de um sistema dinâmico linear é:

d~rd t

= A~r (6.15)

em que~r é aposição do estado no espaço de fase e A é um operador linear.

Num espaço de fase com duas variáveis de estado x1 e x2, a representação matricial daequação 6.15 é: [

x1

x2

]=

[A11 A12

A21 A22

][x1

x2

](6.16)

6.4 Classificação dos pontos de equilíbrio 97

Se o determinante da matriz det(A) = |Ai j| for diferente de zero, existirá um único pontode equilíbrio, na origem: x1 = x2 = 0.

A existência de valores próprios da matriz [Ai j] implica existência de direcções em que oestado aproxima-se ou afasta-se em linha recta do ponto de equilíbrio. Os valores própriosda matriz [Ai j] são os valores λ que verificam a equação 6.14. No espaço de fase com duasvariáveis, essa equação conduz a:∣∣∣∣∣ A11−λ A12

A21 A22−λ

∣∣∣∣∣= 0 (6.17)

Calculando o determinante, obtêm-se a seguinte equação quadrática, designada de equaçãocaracterística:

λ2− tr(A)λ +det(A) = 0 (6.18)

onde tr(A) = A11 +A22 é o traço da matriz e det(A) = A11A22−A12A21 é o determinante.As duas raízes da equação característica são:

λ =tr(A)

2±

√[tr(A)

2

]2

−det(A) (6.19)

Se as raízes forem números complexos, significará que não existem vectores própriosno espaço de fase (x1, x2). Se existir uma única raiz real, existirá pelo menos um vectorpróprio no espaço de fase e se existirem duas raízes reais diferentes, existirão dois vectorespróprios linearmente independentes no espaço de fase.

6.4.1 Pontos de sela

Quando o determinante det(A) for negativo, a expressão:[tr(A)

2

]2

−det(A) (6.20)

Será necessariamente positiva, e√[tr(A)

2

]2

−det(A) >

∣∣∣∣ tr(A)2

∣∣∣∣ (6.21)

isso implica que existem dois valores próprios reais, λ1 e λ2, com sinais diferentes, umdeles positivo e o outro negativo.

A esses dois valores próprios correspondem dois vectores próprios linearmente indepen-dentes, que definem duas direcções no espaço de fase onde o sistema evolui ao longo deuma recta (ver figura 6.5). Na direcção correspondente ao valor próprio negativo, o sinal


x1

x2

λ1 > 0

λ2 < 0

Figura 6.5: Ponto de sela: existem duas direcções em que o estado evolui em linha recta,num dos casos afastando-se da origem e no outro caso aproximandos-se.

negativo implica que o estado se aproxima da origem. Na direcção associada ao valorpróprio positivo, o sinal positivo implica que o estado se afasta da origem.

As outras órbitas do sistema serão todas curvas que se aproximam da origem durante algumtempo, mas acabam sempre por se afastar até o infinito (figura 6.5). A denominação dessetipo de ponto de equilíbrio é ponto de sela. Trata-se de pontos de equilíbrio instável.

6.4.2 Nós estáveis e instáveis

Quando o determinante det(A) for positivo, mas menor que:

[tr(A)

2

]2

(6.22)

Existirão ainda duas soluções reais da equação 6.19, ambas com o mesmo sinal de tr(A).

Se os dois valores próprios forem negativos, existirão duas direcções no espaço de fase emque o estado se aproxima do ponto de equilíbrio (lado esquerdo da figura 6.6); devido àcontinuidade das órbitas do sistema, qualquer outra órbita será uma curva que se aproximado ponto de equilíbrio. A denominação do ponto de equilíbrio é nó estável, ou atractivo.

Se os dois valores próprios forem positivos, existirão duas direcções no espaço de fase emque o estado se afasta do ponto de equilíbrio. Qualquer que for o estado inicial, o sistemasempre se afastará do ponto de equilíbrio (lado direito da figura 6.6). A denominação doponto é nó instável, ou repulsivo (lado direito da figura 6.6).


x1

x2

λ1 < 0

λ2 < 0

x1

x2

λ1 > 0

λ2 > 0

Figura 6.6: Quando existem dois valores próprios reais, diferentes, com o mesmo sinal, oponto de equilíbrio é um nó, estável (esquerda) ou instável (direita).

6.4.3 Focos e centros

Quando o determinante det(A) for maior que:[tr(A)

2

]2

(6.23)

não existirão soluções reais da equação 6.19. Isso quer dizer que o estado do sistema nuncaevoluirá em linha recta. Qualquer órbita do sistema será uma curva.

x1

x2

λ = a ± i b

a < 0

x1

x2

λ = a ± i b

a > 0

Figura 6.7: Quando os valores próprios são complexos, o ponto de equilíbrio é um foco,estável (esquerda) ou instável (direita).


O sinal da parte real das soluções complexas da equação 6.19 determina se as órbitasse aproximam ou afastam do ponto de equilíbrio. Se a parte real das raízes for negativa(matriz com traço negativo), as órbitas do sistema serão espirais que se aproximam doponto de equilíbrio (lado esquerdo da figura 6.7) e o ponto de equilíbrio é designado defoco estável, ou atractivo.

Se a parte real das raízes for positiva (matriz com traço positivo), as órbitas do sistemaafastam-se do ponto de equilíbrio, formando espirais (lado direito da figura 6.7) e o pontode equilíbrio é designado de foco instável, ou repulsivo.

Se o traço da matriz for nulo, as soluções da equação 6.19 são dois números imagináriospuros, com a mesma parte imaginária mas com sinais opostos. Nesse caso todas as órbitasdo sistema são ciclos e o ponto de equilíbrio, estável, designa-se por centro.

A figura 6.8 apresenta um sumário dos diferentes tipos de ponto de equilíbrio, em funçãodo traço e o determinante da matriz do sistema.

tr(A)12

det(A) det(A) = 1

4tr

2(A)

Pontos de sela Pontos de sela

Focos instáveisFocos estáveis

Nós instáveisNós estáveis Centr

os

Figura 6.8: Tipos de ponto de equilíbrio de um sistema linear com duas variáveis deestado.

6.4.4 Nós próprios e impróprios

Quando o determinante da matriz é exactamente igual ao seu traço ao quadrado, divididopor quatro (pontos na parábola na figura 6.8), existe unicamente um valor próprio real.

Esse situação conduz a dois tipos diferentes de ponto de equilíbrio. Se a matriz for diagonal,os valores na sua diagonal serão necessariamente iguais ao valor próprio e qualquer vector


do espaço de fase é vector próprio da matriz. Isso implica que todas as órbitas do sistemaserão rectas que se afastam da origem, se o valor próprio for positivo (ver lado esquerdona figura 6.9), ou que se aproximam da origem, se o valor próprio for negativo. O pontode equilíbrio designa-se nó próprio, estável ou instável, dependendo do sinal do valorpróprio.

A segunda situação possível, se a matriz não for diagonal, é a existência de um único vectorpróprio e o ponto de equilíbrio é designado de nó impróprio. Existe unicamente umadirecção no espaço de fase em que o estado evolui em linha recta; todas as outras órbitasdo sistema acumulam-se nessa direcção. Se o valor próprio for negativo, o nó impróprio éestável (lado direito na figura 6.9) e se o valor próprio for positivo será um nó impróprioinstável.

x1

x2

λ < 0

x1

x2

λ < 0

Figura 6.9: Retratos de fase de um nó próprio instável (esquerda) e de um nó impróprioestável (direita).

Uma forma conveniente de identificar o tipo de equilíbrio num sistema linear é a seguinte:se a matriz for diagonal, os números na diagonal são os valores próprios. Se os dois valorespróprios na diagonal forem iguais, o ponto será um nó próprio, repulsivo se o valor própriofor positivo, ou atractivo se o valor próprio for negativo; nesse caso qualquer vector noplano de fase é vector próprio.

Se a matriz não for diagonal, escreve-se a equação característica 6.18 e encontram-seos valores próprios. Em função dos valores próprios obtidos, usa-se a tabela 6.1 paraclassificar o ponto de equilíbrio.


Valores próprios Tipo de ponto Tipo de equilíbrio

2, reais, com sinais opostos ponto de sela instável2, reais, positivos nó repulsivo instável2, reais, negativos nó atractivo estável2, complexos, com parte real positiva foco repulsivo instável2, complexos, com parte real negativa foco atractivo estável2, imaginários centro estável1, real, positivo nó impróprio instável1, real, negativo nó impróprio estável

Tabela 6.1: Classificação dos pontos de equilíbrio dos sistemas lineares.

6.5 Osciladores lineares

No caso de uma partícula em movimento numa dimensão, com posição s, o sistema seráautónomo e linear unicamente se a força tangencial tiver a seguinte forma geral:

F = c1 s+ c2 v (6.24)

com 2 constantes c1 e c2. O termo c1 s é uma força conservativa. A força c2 v não éconservativa; poderá ser uma força de atrito, ou de resistência ao movimento num fluido,se a constante c2 for negativa. Nesta secção e na seguinte veremos 3 exemplos.

Exemplo 6.3Um oscilador invertido é um sistema sujeito à força resultante F = c1 x, com constante c1positiva. Admitindo que a massa do sistema é m = 2 e a força tangencial é F = 2x (tudoem unidades SI), analise a estabilidade do sistema e desenhe o retrato de fase.

Resolução: As variáveis de estado são x e v. A aceleração tangencial é F/m = x. Asequações de evolução, escritas em forma matricial, são:[

x

v

]=

[0 1

1 0

][x

v

](6.25)

O traço da matriz é nulo, e o determinante é igual a −1. Portanto, a equação característicaé λ 2− 1 = 0 e os valores próprios são 1 e −1. De acordo com a tabela 6.1, o ponto deequilíbrio na origem é um ponto de sela (instável).

O retrato de fase é construído com o comando:(%i11) plotdf ([v, x], [x, v])$

a figura 6.10 mostra o gráfico obtido, após desenhar manualmente algumas trajectórias.

6.5 Osciladores lineares 103

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

v

x

Figura 6.10: Retrato de fase do oscilador invertido.

Exemplo 6.4Analise a estabilidade e as curvas de evolução de um oscilador harmónico simples.

Resolução: O oscilador harmónico simples foi estudado na secção3.5. Vimos que a forçaresultante que actua sobre o sistema é a soma do peso mais a força elástica da mola. Sey for a altura, com origem na posição de equilíbrio, a força tangencial é igual a menos aderivada da expressão 3.36 para a energia potencial:

Ft =−k y (6.26)

Assim, as equações de evolução são:[y

v

]=

[0 1

−ω2 0

][y

v

](6.27)

onde ω é a frequência angular,√

k/m.

O traço da matriz do sistema é 0 e o determinante é igual a ω2, que é positivo. Consequen-temente, os valores próprios são números imaginários puros:

λ =± iω (6.28)

e o ponto de equilíbrio é um centro. Se o oscilador estiver inicialmente no estado deequilíbrio, y = v = 0, permanecerá em repouso; caso contrário, qualquer que for o estadoinicial, a curva de evolução será sempre uma elipse (figura 6.11), que corresponde a ummovimento oscilatório.


y

v

vm

−vm

A−A

Figura 6.11: As curvas de evolução do oscilador harmónico simples são todas ciclos.

6.5.1 Osciladores amortecidos

O oscilador harmónico simples do exemplo 6.4 é um sistema idealizado, pois na práticaexistem forças dissipativas. Um exemplo é o sistema de amortecimento de um automóvel(figura 6.12). Cada roda está ligada à carroçaria por meio de uma mola elástica; no interiorde cada mola há um cilindro (amortecedor) com um pistão que se desloca dentro de óleo.

Figura 6.12: Sistema de suspensão de um automóvel.

Se y for a altura do ponto da carroçaria onde está apoiado o amortecedor, medida desde aposição de equilíbrio y = 0, a força resultante sobre a carroçaria é:

F =−k y−C v (6.29)

em que k e C são constantes positivas; k é a constante elástica da mola e C depende dotamanho do pistão e do coeficiente de viscosidade do óleo dentro do amortecedor.


Essa força conduz ao seguinte sistema linear:[y

v

]=

[0 1

−ω2 −α2

][y

v

](6.30)

onde ω é a frequência angular,√

k/m, e α é igual a√

C/m.

O traço da matriz do sistema é −α2, negativo, e o determinante é ω2, positivo. Portanto, osistema estará em alguma região do segundo quadrante na figura 6.8. Isso implica que osistema será sempre estável e acabará sempre por ficar em repouso com y = 0 e v = 0.

No entanto, a forma como o sistema se aproximará do ponto de equilíbrio dependerá dotipo de ponto de equilíbrio. Se o amortecimento for fraco,

α4 < 4ω

2 (6.31)

os valores próprios serão complexos e estaremos na região dos focos estáveis na figura 6.8.A evolução de y em função do tempo será um movimento oscilatório com amplitudedecrescente, como se mostra na figura 6.13.

t

y

amortecimento fraco

crítico

forte

Figura 6.13: Variação da altura y em função do tempo, para os três tipos de amortecimento.

No caso em que:α

4 = 4ω2 (6.32)

diz-se que há amortecimento crítico. Nesse caso existe um único valor próprio real.Como a matriz não é diagonal, o ponto de equilíbrio é um nó impróprio estável. Aevolução de y em função de t é apresentada na figura 6.13.

Finalmente, no caso de amortecimento forte,

α4 > 4ω

2 (6.33)

existem dois valores próprios diferentes e negativos. O ponto de equilíbrio é um nó estávele y aproxima-se mais rapidamente do ponto de equilíbrio (figura 6.13).

O sistema de suspensão deverá garantir que não existam oscilações, que tornariam oautomóvel muito instável. Assim, o amortecimento deverá ser suficientemente forte paraque o ponto de equilíbrio seja um nó.


Com o uso, a sujidade e as impurezas no óleo dentro dos amortecedores do automóvelfazem com que o coeficiente de viscosidade diminua; há também perdas de óleo. Essesfactores reduzem o valor da constante α por baixo do valor crítico. Se, empurrando acarroçaria do automóvel para baixo, o automóvel oscila ligeiramente, é preciso trocar osamortecedores por outros novos.

Perguntas

1. Quantas dimensões tem o espaço de fasede um oscilador harmónico simples emtrês dimensões (x,y,z)?

A. 1B. 2

C. 3D. 4

E. 6

2. Os valores próprios de um oscilador har-mónico simples são 4 i e −4 i (em unida-des SI). Calcule o período de oscilação,em segundos.

A. 4π

B. π

C. π/4D. 2π

E. π/2

3. Se F representa a força resultante que ac-tua sobre uma partícula, no eixo dos x, ev é a velocidade instantânea, qual das se-guintes expressões conduz a um sistemalinear?

A. x = 3xv

B. x = 2vC. x = 2 sin(x)D. x = 2x(1− x)E. x = 3x2

4. O espaço de fase de um sistema é o plano(x, x). Qual poderá ser a equação diferen-cial associada a esse sistema?

A. x = x2−2 tB. 3xx+2x = x2

C. 3x+2xx = x2

D. x = x2−2 tE. 3tx+2x = x2

5. A matriz de um sistema linear de segundaordem tem traço igual a 4 e determinanteigual a 3. Que tipo de ponto fixo é aorigem?

A. nó instávelB. nó estávelC. ponto de sela

D. foco instávelE. foco estável

Problemas

1. Em cada caso, use o Maxima para encontrar os valores e vectores próprios do sistema.Diga que tipo de ponto equilíbrio tem o cada sistema e desenhe os retratos de fase.

a) x = x+ y y = 4x+ y

b) x =−3x+√

2y y =√

2x−2y

c) x = x− y y = x+3y


2. A figura mostra como seria a trajectória no espaço de fase, de uma bola que cai emqueda livre e é disparada para cima novamente após ter estado em contacto com o chão,se não existisse nenhuma força dissipativa. A parte do gráfico para valores positivosde y corresponde ao lançamento vertical de um projéctil, ignorando o atrito com o ar.A parte do gráfico para valores negativos de y corresponde à deformação elástica dabola quando choca com o chão; durante esse tempo de contacto com o chão, admite-seque o movimento vertical da bola é um movimento harmónico simples, sem nenhumadissipação de energia.

y

v

h−A

Sabendo que a altura máxima atingida pela bola é h = 10 m, e que a deformaçãomáxima quando a bola bate no chão é A = 1 cm, calcule: (a) a velocidade máxima dabola ao longo do seu movimento. (b) A frequência angular da deformação elástica dabola. (c) O tempo que dura o contacto entre a bola e o chão.

3. Um bloco com massa m = 0.6 kg que se encontra sobre uma mesa horizontal, comcoeficiente de atrito cinético µc = 0.4, está ligado a uma mola elástica com constantek = 50 N/m (x = 0 é a posição em que a mola não está nem comprimida nem esticada).(a) Desenhe o campo de direcções e a trajectória correspondente às posições iniciaisx =±0.07 m e x =±0.09 m (em ambos casos, use uma velocidade inicial pequena, dev = 0.001 m/s). (b) Com base no desenho das trajectórias na alínea anterior, diga quaissão os pontos de equilíbrio do sistema.

m

k

µc

x = 0

4. As quatro molas da suspensão nas quatro rodas de um automóvel têm todas umaconstante elástica k = 15 kN/m. (a) Calcule a altura que o carro desce em cada roda,quando entrarem no automóvel 4 passageiros, todos com massa m = 70 kg, admitindoque o peso se distribui por igual nas quatro rodas. (b) Se a massa total do automóvel,incluindo os quatro passageiros, for m = 1350 kg, calcule o valor crítico da constantede atrito C em cada amortecedor (admita que o peso distribui-se por igual nas quatro


rodas e, portanto, a massa equivalente em cada mola é a quarta parte da massa total).(c) Calcule os valores próprios, λ , no caso em que a constante C for o dobro do valorcrítico.

5. A força F = c1 x+ c2 v, com c1 > 0, corresponde a um oscilador invertido, com dissi-pação de energia (se c2 for negativa) ou com aumento da energia (se c2 for positva).Mostre que a condição c1 > 0 é suficiente para garantir que sempre existirão dois valoresprópios reais diferentes, um deles positivo e o outro negativo, independentemente dovalor de c2. Assim, o ponto de equilíbrio sempre será um ponto de sela.

6. Considere o oscilador harmónico amortecido com equação de movimento:

2x+ax+3x = 0

onde a é a constante de amortecimento. Desenhe a curva de evolução e os gráfico de x(t)e x, com condições iniciais x(0) = 4, x(0) =−1, para valores do parâmetro a compre-endidos entre 0 e 7 (deverá usar a opção sliders do plotdf). Analise o comportamentodos gráficos para os diferentes valores de a identificando os três casos: amortecimentofraco, amortecimento crítico e amortecimento forte.

7 Sistemas não lineares

O problema de como balançar um veículo com uma única roda é abordado pela teoria decontrolo. O veículo com uma única roda actua como um pêndulo invertido, com equilíbrioinstável; o equilíbrio deverá ser garantido por meio de movimentos apropriados da roda.Actualmente já são usados veículos que usam técnicas de controlo automático do equilíbrio,embora não realmente uma única roda mas duas rodas paralelas.


Um sistema dinâmico autónomo, com duas variáveis de estado x1 e x2, é caracterizado porduas equações de evolução:

x1 = f1(x1,x2) (7.1)x2 = f2(x1,x2)

onde f1 e f2 são duas funções quaisquer, que dependem das variáveis x1 e x2. Não existemtécnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equações; unicamente existem técnicasanalíticas gerais para o caso dos sistemas lineares, em que f1 e f2 são combinações linearesdas variáveis x1 e x2.

Os sistemas não lineares geralmente só podem ser resolvidos por métodos numéricos.No entanto, a análise gráfica no espaço de fase pode fornecer muita informação sobre ocomportamento do sistema.

Vimos no capítulo anterior que os sistemas lineares têm um único ponto de equilíbrio. Umsistema não linear pode ter qualquer número de pontos de equilíbrio. Na próxima secçãoveremos que na vizinhança de cada ponto de equilíbrio o sistema pode ser aproximado porum sistema linear.

Exemplo 7.1Encontre os pontos de equilíbrio do sistema

x1 = 4− x21−4x2

2 x2 = x22− x2

1 +1

Resolução: Começamos por transcrever os lados direitos das equações de evolução noMaxima. É conveniente colocar as duas expressões numa lista:(%i1) f: [4-x1^2-4*x2^2, x2^2-x1^2+1]$

a seguir, usa-se o comando solve para encontrar os pontos onde as duas expressões sãoiguais a zero, que serão os pontos de equilíbrio.(%i2) equilibrio: solve(f)$(%i3) equilibrio, numer;

(%o3) [[x2 = -.7745966692414833, x1 = -1.264911064067352],[x2 = -.7745966692414833, x1 = 1.264911064067352],[x2 = .7745966692414833, x1 = -1.264911064067352],[x2 = .7745966692414833, x1 = 1.264911064067352]]

Existem quatro pontos de equilíbrio. Os pontos onde o lado direito da primeira equação énulo, são todos os pontos da elipse

x21

4+ x2

2 = 1

e os pontos onde o lado direito da segunda equação é nulo são os pontos da hipérbole

x21− x2

2 = 1

7.1 Aproximação linear 111

Os pontos de equilíbrio do sistema são os quatro pontos de intersecção entre a elipse e ahipérbole. Os gráficos dessas duas curvas desenham-se mais facilmente usando a formaparamétrica dessas equações:

(%i4) plot2d([[parametric, 2*cos(t),sin(t)],[parametric,-cosh(t/2),sinh(t/2)],[parametric,cosh(t/2),sinh(t/2)]], [t,-3.2,3.2],[legend,false], [nticks,300])$

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 7.1: Os pontos de equilíbrio são os pontos de intersecção entre as curvas ondecada uma das funções é nula.

O resultado é apresentado na figura 7.1. Dentro da elipse, x1 é positiva: o campo dedirecções aponta para a direita, e fora da elipse o campo aponta para a esquerda. Na regiãoà esquerda da hipérbole, o campo de direcções aponta para baixo, entre os dois ramos dahipérbole o campo aponta para cima, e à direita da hipérbole o campo aponta para baixo.

O campo de direcções será desenhado numa secção posterior (figura 7.2).

7.1 Aproximação linear

Cada uma das funções f1 e f2 podem ser escritas na forma de uma série de Taylor, navizinhança de um ponto qualquer (a, b) do espaço de fase:

fi(x1,y2) = fi(a,b)+(x1−a)∂ fi

∂x1

∣∣∣∣(a,b)

+(x2−b)∂ fi

∂x2

∣∣∣∣(a,b)

+ . . . (7.2)

Se o ponto (a, b) for um ponto de equilíbrio, fi(a,b) é nula e, portanto, o primeiro termoda série é nulo. Mudando a origem de coordenadas para o ponto fixo (a, b), isto é, num


novo sistema de coordenadas: x = x1−a, y = x2−b, as funções são, aproximadamente,

fi(x,y) =∂ fi

∂x1

∣∣∣∣(a,b)

x+∂ fi

∂x2

∣∣∣∣(a,b)

y (7.3)

Os índices (a,b) indicam que x1 e x2 deverão ser substituídos pelas coordenadas (a, b) dorespectivo ponto de equilíbrio. Substituindo essas aproximações no sistema 7.1, obtém-seum sistema linear 1

[xy

]=

∂ f1

∂x1

∂ f1

∂x2

∂ f2

∂x1

∂ f2

∂x2

(a,b)

[xy

](7.4)

esta aproximação linear só será válida numa vizinhança da origem (x = 0, y = 0), nomea-damente, perto do ponto fixo.

A matriz do sistema linear 7.4 designa-se por matriz jacobiana, J( f1, f2)(x1,x2). Substi-tuindo as coordenadas (a, b) do ponto de equilíbrio na matriz jacobiana, obtém-se umamatriz constante. Por cada ponto de equilíbrio existe uma matriz de coeficientes constantes,que corresponde à aproximação linear perto desse ponto de equilíbrio. Os valores e vecto-res próprios de cada uma dessas matrizes permitem analisar a estabilidade do sistema, navizinhança do respectivo ponto de equilíbrio, da mesma forma que é feito para os sistemaslineares.

Exemplo 7.2Classifique os pontos de equilíbrio e desenhe o retrato de fase do sistema:

x1 = 4− x21−4x2

2 x2 = x22− x2

1 +1

Resolução: já vimos, no exemplo 7.1, que este sistema tem quatro pontos de equilíbrio, e jáguardamos as coordenadas desses pontos numa lista que foi designada de equilibrio.

Convem também definir uma lista com as variáveis de estado:(%i5) v: [x1, x2]$

A matriz jacobiana, com duas linhas e duas colunas, obtem-se com o comando jacobiando Maxima, que precisa de duas listas: uma lista com as funções, que já foi definida em%i1 no exemplo 7.1, e uma lista com as variáveis, que já foi definida em %i5.(%i6) J: jacobian(f,v);

[ - 2 x1 - 8 x2 ](%o6) [ ]

[ - 2 x1 2 x2 ]

1Repare que x = x1, porque a é uma constante, e y = x2, porque b também é constante.

7.1 Aproximação linear 113

Substituindo as coordenadas de cada ponto fixo, obtemos as matrizes dos sistemas linearesque aproximam o sistema na vizinhança do respectivo ponto fixo. Por exemplo, no primeiroponto fixo:(%i7) J, equilibrio[1];

[ 4 sqrt(2) 8 sqrt(3) ][ --------- --------- ][ sqrt(5) sqrt(5) ]

(%o7) [ ][ 4 sqrt(2) 2 sqrt(3) ][ --------- - --------- ][ sqrt(5) sqrt(5) ]

para estudar a estabilidade do sistema perto desse ponto de equilíbrio, calculam-se osvalores próprios dessa matriz.(%i8) eigenvectors(%)$(%i9) %, numer;(%o9) [[[- 3.963484674287924, 4.944113463939662], [1, 1]],

[1, - 1.047852879483257], [1, 0.389604589019394]]

O resultado mostra 4 listas; a primeira lista são os valores próprios, a segunda lista são asmultiplicidades de cada valor próprio, e as últimas duas listas são os vectores próprios.

Assim, neste caso existem dois valores próprios reais, com sinais opostos. Podemosconcluir que o primeiro ponto de equilíbrio é um ponto de sela. O mesmo acontece com oquarto ponto de equilíbrio:(%i10) J, equilibrio[4];

[ 4 sqrt(2) 8 sqrt(3) ][ - --------- - --------- ][ sqrt(5) sqrt(5) ]

(%o10) [ ][ 4 sqrt(2) 2 sqrt(3) ][ - --------- --------- ][ sqrt(5) sqrt(5) ]

(%i11) eigenvectors(%)$

(%i12) %, numer;(%o12) [[[- 4.944113463939662, 3.963484674287924], [1, 1]],

[1, 0.389604589019394], [1, -1.047852879483257]]

No segundo ponto de equilíbrio:(%i13) J, equilibrio[2];

[ 4 sqrt(2) 8 sqrt(3) ][ - --------- --------- ][ sqrt(5) sqrt(5) ]

(%o13) [ ][ 4 sqrt(2) 2 sqrt(3) ][ - --------- - --------- ]


[ sqrt(5) sqrt(5) ](%i14) eigenvectors(%)$

(%i15) %, numer;(%o15) [[[- 0.2 (19.64454513856129 %i + 10.19753866654418),0.2 (19.64454513856129 %i - 10.19753866654418)], [1, 1]],[1, - .04166666666666666 (15.21659923309355 %i- 1.898979485566357)], [1, .04166666666666666(15.21659923309355 %i + 1.898979485566357)]]

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

3

x2

x1

Figura 7.2: Retrato de fase do sistema x1 = 4− x21−4x2

2, x2 = x22− x2

1 +1.

Como os valores próprios são complexos, com parte real negativa, o ponto de equilíbrioé um foco atractivo (estável). Cálculos semelhantes para o terceiro ponto de equilíbriomostram que também é um foco, mas repulsivo (instável), porque os valores próprios sãocomplexos, com parte real positiva. O retrato de fase aparece na figura 7.2, que foi obtidacom o comando:(%i16) plotdf(f, v, [x1,-3,3], [x2,-3,3])$

Existe unicamente um ponto de equilíbrio estável, em x1 = 1.26 e x2 =−0.77. Os outrospontos são todos pontos de equilíbrio instável. Na figura 7.2, as duas órbitas que foramdesenhadas a sair do foco repulsivo em x1 =−1.26 e x2 = 0.77, e a continuação dessascurvas passando pelos pontos de sela, delimitam uma região de estabilidade, em que seo estado inicial do sistema estiver nessa região, o estado final será sempre no ponto deequilíbrio estável.

7.2 O pêndulo 115

7.2 O pêndulo

O tipo de pêndulo que vamos estudar está formado por um disco de massa m e raio r,ligado a uma barra rígida de massa desprezável em comparação com m. No outro extremoda barra passa um eixo horizontal que permite que o pêndulo rode num plano vertical,descrevendo trajectórias circulares com raio l, onde l é a distância desde o centro do discoaté o eixo de rotação. (figura 7.3).

l

mg

Tn

Tt

CM

θ = 0

θ

Figura 7.3: Pêndulo formado por um disco e uma barra que pode rodar à volta de um eixohorizontal.

O pêndulo tem unicamente um grau de liberdade, que pode ser definido como o ânguloθ que faz com a vertical. Portanto, existem duas variáveis de estado, θ , e a velocidadeangular ω . A primeira equação de evolução é a relação entre o ângulo e a velocidadeangular: θ = ω . A segunda equação de evolução é a expressão da aceleração angular α emfunção de θ e de ω . Para encontrar essa expressão, é preciso analisar as forças externas.

Sobre o pêndulo actuam duas forças externas: o peso, m~g, vertical, e uma força decontacto do eixo sobre a barra, ~F , que por conveniência será decomposta numa componentetangencial Ft e outra componente normal Fn, na direcção da barra.

Como a massa da barra é desprezável, o centro de massa do sistema está aproximadamenteno centro do disco e o momento de inércia do sistema é aproximadamente igual aomomento de inércia do disco.

Assim, a soma das componentes normais e tangenciais das forcas e a soma de torques em


relação ao centro de massa conduzem às equações:

Tn−mgcosθ = man (7.5)Tt−mgsinθ = mat (7.6)

Tt l =12

mr2α (7.7)

onde usamos a expressão para o momento de inércia de um disco em relação ao seu eixo,I = mr2/2.

Como a aceleração tangencial at do centro de massa é igual a α l, é possível eliminar Ttentre a segunda e terceira equações, e obter a expressão para a aceleração angular:

α =−g sinθ

l− r2

2 l

(7.8)

a expressão no denominador:

l0 = l− r2

2 l(7.9)

é o comprimento efectivo do pêndulo, ligeiramente menor que l. No caso limite, r ≈ 0,designado de pêndulo simples, o comprimento efectivo é igual a l.

Assim, as equações de evolução do pêndulo são:

dθ

d t= ω (7.10)

dwd t

=− gl0

sinθ (7.11)

O programa 7.1 mostra como resolver essas equações usando o método numérico simplesque temos usado em capítulos anteriores.

No programa 7.1, em vez de deslocarmos o pêndulo, fazemos rodar um referencial no qualforam inseridos a barra e o disco que formam o pêndulo. A origem desse referencial foidefinida no sítio onde se encontra o eixo do pêndulo. Também admitimos nesse programaque as unidades usadas são decímetros; assim, a aceleração da gravidade foi dada emdecímetros sobre segundo ao quadrado.

programa 7.11 from visual import *2 scene.autoscale=0; scene.range=5; scene.center=(0,3,0)3

4 pendulo = frame(pos=(0,3.5,0))5 barra = box(frame=pendulo, pos=(0,-1.4,0), size=(0.2,3.2,0.2),6 color=(1,1,0))7 disco = cylinder(frame=pendulo, pos=(0,-3,-0.2), radius=0.6,

7.3 Aproximação linear do pêndulo 117

8 axis=(0,0,0.4), color=(0.5,0.5,0.8))9 eixo = cylinder(pos=(0,3.5,0.3),radius=0.09,axis=(0,0,-1),

10 color=(0.7,0.4,0.1))11 b1 = box(pos=(0,1.7,-1),size=(1,4.2,0.6),color=(0.7,0.4,0.1))12 b2 = box(pos=(0,-0.6,-0.5),size=(3,0.4,1.6),color=(0.7,0.4,0.1))13

14 pendulo.w = 1015 pendulo.angulo = 016 pendulo.l = 317 dt = 0.0118 while True:19 rate(100)20 pendulo.a = -98*sin(pendulo.angulo)/pendulo.l21 pendulo.w = pendulo.w + pendulo.a*dt22 pendulo.angulo = pendulo.angulo + pendulo.w*dt23 pendulo.rotate(axis=(0,0,1), angle=pendulo.w*dt)

7.3 Aproximação linear do pêndulo

Os pontos de equilíbrio do pêndulo são todos os pontos onde os lados direitos dasequações 7.10 e 7.11 sejam nulos; consequentemente, existem pontos de equilíbrio emθ = 0,±π,±2π, . . ., com ω = 0.

Os pontos em θ = 0,±2π,±4π, . . ., são realmente o mesmo ponto físico, na posição maisbaixa do pêndulo, correspondentes à passagem do pêndulo por essa posição, após umnúmero qualquer de voltas. Os pontos em θ =±π,±3π, . . . são também um mesmo pontofísica, na parte mais alta do pêndulo.

A matriz jacobiana do sistema é: [0 1

− gl0

cosθ 0

](7.12)

No ponto de equilíbrio em θ = 0, a matriz é:[0 1− g

l00

](7.13)

com valores próprios iguais a ± i√

g/l0. Consequentemente, o ponto de equilíbrio é umcentro (equilíbrio estável). De facto, a matriz 7.12 é semelhante à matriz de um osciladorharmónico simples, com g/l0 em vez e k/m.

Assim, nos pontos próximos de θ = 0,±2π,±4π, . . ., o sistema é parecido a um osciladorharmónico simples, com órbitas elípticas no espaço de fase, que correspondem a oscilações


harmónicas com frequência angular:

2π f =√

gl0

(7.14)

Perto do ponto de equilíbrio em θ = π , a matriz jacobiana é igual a:[0 1gl0

0

](7.15)

com dois valores próprios reais ±√

g/l0 e de sinais opostos. Trata-se de um ponto de sela(equilíbrio instável).

Para esboçar o campo de direcções usando o programa plotdf, consideremos um pêndulocom l0 igual 50 cm. Assim, no sistema internacional de unidades, as equações do pêndulosão:

θ = ω ω =−19.6sinθ (7.16)

Vamos representar o intervalo −10 < θ < 10 onde aparecerão 3 centros (−2π , 0 e 2π) e 4pontos de sela (−3π , −π , π e 3π):(%i17) plotdf([omega, -19.6*sin(teta)], [teta, omega],

[teta, -10, 10], [omega, -20, 20])$

-10 -5 0 5 10-20

-10

0

10

20omega

teta

A

B

Figura 7.4: Retrato de fase do pêndulo.

A figura 7.4 mostra o retrato de fase do pêndulo. No eixo horizontal está representado oângulo θ e no eixo vertical a velocidade angular ω .

As curvas identificadas com as letras A e B na figura 7.4, que começam desde um ponto desela e terminam noutro, fazem parte de uma órbita heteroclínica.


Uma órbita heteroclínica é uma curva no espaço de fase formada por váriossegmentos, cada um começando num ponto de sela e terminando em outroponto de sela diferente. O último segmento termina no mesmo ponto de selaonde começou o primeiro.

As órbitas heteroclínicas do pêndulo correspondem ao caso em que a energia mecânicado pêndulo é exactamente igual à energia potencial gravítica no ponto de altura máxima.Usando como referência U = 0 no ponto mais baixo do pêndulo, a energia potencial noponto mais alto é U = 2mgl0.

Essas órbitas heteroclínicas também são separatrizes, porque delimitam a região ondeexiste movimento oscilatório: região sombreada na figura 7.5. Se o estado inicial estiverdentro dessa região, o pêndulo oscila; caso contrário, o pêndulo descreve movimentocircular não uniforme.

0θ

ω

0

Figura 7.5: Se o estado inicial estiver dentro da região sombreada, delimitada pelas órbitasheteroclínicas, o movimento do pêndulo será oscilatório.

A figura 7.6 mostra a evolução em função do tempo de dois ciclos à volta do ponto deequilíbrio estável. No primeiro caso, o pêndulo foi largado, do repouso, com um ânguloinicial de 0.5 radianos (aproximadamente 29◦); isto é, no menu Config do plotdf usou-se “0.5 0” no campo Trajectory at. No retrato de fase, essa solução é bastanteaproximada a uma elipse. Como vimos no capítulo anterior, uma elipse no retrato de fasecorresponde à solução de um oscilador harmónico simples. O pêndulo oscila em formaharmónica e o seu período de oscilação é aproximadamente 1.44 s.

O gráfico no lado direito da figura 7.6) corresponde ao lançamento do pêndulo, desde orepouso, com um ângulo inicial de 2 radianos (aproximadamente 115◦). O movimentopode parecer harmónico, mas a solução no espaço de fase não é uma elipse perfeita, e asfunções θ(t) e ω(t) não são realmente funções harmónicas; isso é mais evidente para ω(t)


-1 0 1

-8

-4

0

4

8

t

θ,ω

θ(t)

ω(t)

-1 0 1

-8

-4

0

4

8

t

θ,ω

θ(t)

ω(t)

Figura 7.6: Oscilações do pêndulo, com amplitude angular de 29◦ (esquerda) e 115◦

(direita).

que é demasiado recta entre máximos e mínimos. O período de oscilação, neste caso, éaproximadamente 1.88 s.

Usando a aproximação do pêndulo como oscilador harmónico simples, é possível calcular oseu período de oscilação (equação 7.14). No caso que consideramos (l = 0.5 m) o períododo pêndulo seria aproximadamente 1.42 s. Os valores mais realistas, que obtivemosem forma numérica, são um pouco superiores. Quanto menor for o ângulo máximo deoscilação, mais perto estará o período do valor obtido com a aproximação linear.

Perguntas

1. O valor ideal do período de um pêndulocom comprimento l é 2π

√l/g, onde g é

a aceleração da gravidade. Na prática, operíodo só se aproxima do seu valor idealem algumas situações. Qual das condi-ções seguintes garante que o período deoscilação seja aproximadamente igual aovalor ideal?

A. valor máximo da velocidade angularpequeno.

B. aceleração da gravidade pequena.C. comprimento l pequeno.

D. valor máximo do ângulo pequeno.E. atrito com o ar desprezável.

2. Se F = 4x(x− v2) representa a força re-sultante que actua sobre uma partícula,no eixo dos x, e v é a velocidade instantâ-nea, quantos pontos de equilíbrio tem osistema?

A. 1B. 2

C. 3D. 4

E. 0

3. No retrato de fase na figura, que tipo deponto de equilíbrio é o ponto (1,0)?


10-1

1

-1

A. nó atractivoB. foco repulsivoC. ponto de sela

D. foco atractivoE. nó repulsivo

4. Qual é a matriz jacobiana do sistema

x = y2, y = xy?

A.[

y2 11 xy

]B.[

0 2y1 1

]C.[

0 2yy x

]D.[

y x0 2y

]E.[

1 10 2y

]

5. As equações de evolução de um sistemadinâmico, no espaço de fase (x, y), sãox = xy, y = y + 1. Qual dos seguintesvectores poderão representar a direcçãoe sentido da velocidade de fase no ponto(1, 2)?

A. 4~ex +2~ey

B. 2~ex +4~ey

C. 6~ex +4~ey

D. 4~ex +6~ey

E. −2~ex−3~ey

Problemas

1. Uma partícula com massa m, desloca-se ao longo do eixo dos x sob a acção de umaforça resultante F que depende da posição x e da velocidade v. Para cada um dos casosseguintes encontre os pontos de equilíbrio, diga que tipo de ponto equilíbrio é cadaum (estável ou instável; centro, foco, nó ou ponto de sela) e desenhe o retrato de fasemostrando as órbitas mais importantes:

(a) F =−mx(1+ v)(b) F =−mx(x2 + v−1)

2. O diagrama mostra o retrato de fase de um sistema com 3 pontos de equilíbrio, no casoidealizado em que não existisse atrito. Faça (a mão) um esboço da energia potencial ede como seria o retrato de fase do sistema real, considerando as forças de atrito.

3. Se a base do pêndulo da figura 6.1 estiver a rodar no plano horizontal, com velocidade


angular constante ωb, sobre o disco actuará também uma força centrífuga Fc = mRω2b ,

onde R é a distância desde o centro do disco até à vertical que passa pelo eixo dopêndulo.

R

l

mg

F

Fc

θ tangente

(a) Se o raio do disco for muito pequeno, a força no eixo de rotação tem unicamentecomponente normal. Demonstre que a força tangencial sobre o disco é:

Ft = m sinθ(l ω

2b cosθ −g

)(b) Faça um gráfico de Ft em função de θ , entre −π e π , com os valores seguintes:m = 0.2 kg, l = 0.3 m, ωb = 2 s−1. Repita o gráfico com ωb = 8 s−1. A partir dosdois gráficos diga, em cada caso quais são os pontos de equilíbrio estável e instável.(c) Demonstre que em geral, quando ωb <

√g/l, existe um único ponto de equilíbrio

estável em θ = 0, e um único ponto de equilíbrio instável em θ = ±π . (d) Paraωb >

√g/l, demostre que os pontos θ = 0 e θ =±π são ambos pontos de equilíbrio

instável, e aparecem dois pontos de equilíbrio estável em ±θ0, com 0 < θ0 < π/2.

4. A amplitude de oscilação de um pêndulo decresce, devido à força de resistência doar e ao atrito no eixo. Admita um pêndulo em que o atrito no eixo é desprezável e aresistência do ar é dada pela expressão −γω , onde γ é uma constante, e ω a velocidadeangular. Usando os valores numéricos m = 300 g, l = 50 cm, g = 9.81 m/s2, γ = 0.05N·s, desenhe o campo de direcções do sistema. Desenhe as soluções para os casosseguintes:

(a) O pêndulo parte do repouso com um ângulo inicial θ = 120◦.(b) O pêndulo é lançado desde θ = 60◦, com uma velocidade angular inicial ω =−9

s−1. Explique o significado físico das duas soluções esboçadas.

8 Métodos numéricos

Com o progresso acelerado dos computadores, cada dia usa-se mais a análise numérica esimulação em áreas em que antigamente eram usados protótipos experimentais. A imagemgerada por computador mostra o fluxo de ar num modelo do vaivém espacial. A utilizaçãodo túnel de ar para esse tipo de estudos tem sido substituída por modelos computacionaisde dinâmica de fluidos.


Existem métodos analíticos para resolver sistemas lineares, mas não existe nenhum métodoanalítico que permita resolver sistemas não lineares gerais. A maior parte dos sistemas nãolineares só podem ser resolvidos em forma aproximada, usando métodos numéricos.

O método numérico descrito na secção 1.4 é designado de método de Euler. Nesse métodoadmite-se que a velocidade média em cada intervalo considerado é igual à velocidade noinstante inicial. Obviamente que essa aproximação não será muito boa, a menos que osintervalos de tempo sejam muito pequenos.

Na secção 2.4 o método de Euler foi melhorado admitindo que a velocidade média fossea média aritmética das velocidades no início e no fim do intervalo. No problema 12do capítulo 1 mostrou-se que no caso de oscilações o erro numérico pode ser reduzidoadmitindo que a velocidade média é igual à velocidade no fim de cada intervalo; esse foi ométodo que usamos no programa 7.1 para simular o movimento do pêndulo. Neste capítulovamos estudar um método numérico que produzirá melhores resultados em problemasmais complexos.

Primeiro consideraremos sistemas com um grau de liberdade, e a seguir estenderemos ométodo para problemas com qualquer número de graus de liberdade. O método é seme-lhante, independentemente do número de graus de liberdade; no entanto, com mais graus deliberdade o número de cálculos necessários será muito maior, tornando os programas maislentos. Quando se usam métodos numéricos, também é conveniente repetir os cálculosusando um valor menor dos intervalos de tempo ∆t, até conseguir que os resultados nãomudem sensivelmente. Esse estudo também implica bastante tempo de execução; assim,será conveniente testar sempre os programas com poucas iterações para garantir que nãoexistam erros, antes de passar a aumentar o número de iterações.

8.1 Método de Runge-Kutta de quarta ordem

Para ilustrar este método, vamos considerar um problema não linear típico: o pêndulo.Embora não seja possível escrever expressões matemáticas para o ângulo e a velocidadeangular em função do tempo, as equações das curvas de evolução no espaço de fase simpodem ser escritas em forma analítica. Essas curvas de evolução são a família de curvasdefinidas pela expressão da conservação da energia mecânica E, com diferentes valoresnuméricos de E.

Se admitirmos que a energia potencial gravítica é nula no ponto em que θ = 90◦, aexpressão para a energia potencial será −mgl cosθ (ver figura 7.3). E se o raio do disco épequeno, podemos ignorar a energia cinética de rotação e a energia cinética será apenasdevida à velocidade do centro de massa l ω . Assim, a expressão da energia mecânica é:

E =12

m l2ω

2−mgl cosθ (8.1)

Do ponto de vista numérico, as curvas que apresentam mais dificuldades de cálculo são

8.1 Método de Runge-Kutta de quarta ordem 125

as separatrizes (órbitas heteroclínicas A e B na figura 7.4), já que, quando a trajectória seaproxima do ponto de equilíbrio instável, um pequeno erro na velocidade angular ou noângulo faz com que a órbita, em vez de terminar no ponto de equilíbrio, seja desviada parauma órbita oscilatória ou aberta. A energia que define as separatrizes é a energia potencialno ponto de equilíbrio instavel, nomeadamente, a energia potencial no ponto mais alto:E = mgl. Substituindo na equação 8.1 obtém-se a seguinte equação para a separatriz:

ω =±2√

gl

cos(

θ

2

)(8.2)

0 40

14

θ

ω

1 2 3

2

4

7

9

11

1 2

3

4

Euler

Runge-Kutta

u1

u2

u3

u4

Figura 8.1: Separatriz do pêndulo com l = 30 cm, mostrando as aproximações obtidascom ∆t = 0.2 s, pelos métodos de Euler e de Runge_Kutta.

A figura 8.1 mostra essa trajectória, no primeiro quadrante do espaço de fase (θ , ω), paraum pêndulo com 30 cm de comprimento. Se o estado inicial for θ = 0 e ω = 2

√g/l,

representado pelo ponto 1 na figura, o método de Euler desloca esse estado inicial nadirecção da velocidade de fase inicial ~u1. Se o intervalo de tempo usado fosse ∆t = 0.2 s,o resultado seria o ponto indicado por “Euler” na figura, que está bastante afastado datrajectória real. Assim, no método de Euler seria preciso usar intervalos de tempo muitomenores do que 0.2 segundos.

No método de Runge-Kutta de ordem 4, a velocidade de fase, ~u1, usa-se para encontrarum segundo ponto (2 na figura 8.1) que está deslocado uma distância~u1 ∆t/2 a partir do


ponto inicial. Nesse segundo ponto calcula-se a velocidade de fase ~u2. Com esse valorda velocidade de fase, obtém-se um terceiro ponto, que está deslocado ~u2 ∆t/2 a partirdo ponto inicial. No ponto 3 calcula-se novamente a velocidade de fase, ~u3, e com essavelocidade obtém-se um quarto ponto que está deslocado ~u3 ∆t desde a posição inicial. Ovalor médio da velocidade no espaço de fase é calculado com a expressão:

~um =~u1 +2~u2 +2~u3 +~u4

6(8.3)

Essa velocidade média usa-se para calcular o estado final a partir do estado inicial:

~rf −→~rf +∆ t~um (8.4)

Com ∆t = 0.2 s. O resultado obtido no caso da figura 8.1 é o ponto indicado por “Runge-Kutta”. A pesar do valor elevado de ∆t, o resultado encontra-se bastante perto da trajectóriareal.

O programa plotdf do Maxima usa o método de Runge-Kutta de ordem 4 para calcular ascurvas de evolução, ajustando automaticamente o valor de ∆t para que os deslocamentossejam todos pequenos em relação ao tamanho da região apresentada.

Para implementar o algoritmo de Runge-Kutta em VPython, podemos usar um vector rfpara representar o estado no espaço de fase. No caso do pêndulo, o valor inicial de rfserão os valores iniciais do ângulo e da velocidade angular. Os vectores em VPython têm3 componentes, mas podemos trabalhar unicamente com as duas primeiras componentes, ea terceira será implicitamente igual a zero.

Em cada ponto do espaço de fase, as coordenadas do vector velocidade de fase calculam-se com um procedimento, uf, que terá como valor de entrada um vector (posição noespaço de fase) e retornará outro vector (velocidade no espaço de fase), em que a primeiracomponente é igual à segunda componente do vector de entrada (velocidade angular) e asegunda componente é a aceleração angular, igual a (−gsinθ/l), onde g e l são constantesdo programa e θ é a primeira componente do vector de entrada. A outra constante doprograma é o intervalo de tempo escolhido, dt.

Em cada iteração, o algoritmo deverá executar o procedimento uf quatro vezes, paraencontrar os valores da velocidade no espaço de fase, em quatro pontos:

uf1 = uf(rf)uf2 = uf(rf + dt*uf1 / 2.)uf3 = uf(rf + dt*uf2 / 2.)uf4 = uf(rf + dt*uf3)

Com esses quatro valores da velocidade no espaço de fase, calcula-se a velocidade média:ufm = (uf1 + 2*uf2 + 2*uf3 + uf4)/6.

e encontra-se um novo valor para o vector rf:rf += dt*ufm

O programa 8.1 calcula a trajectória do pêndulo com 30 cm de comprimento, quando oângulo inicial for 0, e a velocidade angular inicial for 2

√g/l, que é o valor necessário para

8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 127

que o pêndulo tenha a energia justa (mgl) para subir até o ponto mais alto no círculo e ficarem repouso nesse ponto.

O segmento do programa que cria os objectos que fazem parte do pêndulo foi separada emoutro ficheiro externo pendulo.py que é distribuído num ficheiro junto com este livro,e também aparece no apêndice C.

programa 8.11 from pendulo import *2

3 def uf(rf): # velocidade no espaço de fase4 return vector(rf.y, -9.8*sin(rf.x)/0.3)5

6 # Estado inicial no espaço de fase:7 rf = vector(0, 2*sqrt(9.8/0.3))8

9 # A veloc. angular 2*sqrt(g/l) corresponde à energia no ponto10 # de equilíbrio instável.11

12 dt = 0.000513 while True:14 rate(2000)15 uf1 = uf(rf)16 uf2 = uf(rf + dt*uf1 / 2.)17 uf3 = uf(rf + dt*uf2 / 2.)18 uf4 = uf(rf + dt*uf3)19 ufm = (uf1 + 2*uf2 + 2*uf3 + uf4)/6.20 rf += dt*ufm21 pendulo.rotate(axis = (0,0,1), angle = ufm.x*dt)

Teoricamente, o pêndulo no programa 8.1 deveria subir até o ponto de equilíbrio instávele permanecer em repouso nesse ponto. O resultado do programa (figura 8.2) é que opêndulo fica em repouso por alguns instantes, mas acaba por cair rodando em sentidooposto e repetindo novamente o ciclo, como se tivesse uma energia ligeiramente menorque a energia da separatriz. A discrepância com o resultado esperado é devida a erronumérico. Para obter melhores resultados seria preciso diminuir o valor de ∆t e dar umamaior precisão de ponto flutuante às variáveis do programa.

8.2 Sistemas dinâmicos com vários graus deliberdade

Num sistema com n graus de liberdade, existem 2n variáveis de estado: n variáveisnecessárias para definir as posições mais as n velocidades associadas a essas posições.


Figura 8.2: Resultado do programa 8.1. O pêndulo sobe até à posição de equilíbrioinstável, mas passados alguns instantes volta a cair.

Do ponto de vista numérico, o algoritmo de Runge-Kutta de ordem 4 é exactamente omesmo que foi implementado no programa 8.1. A principal diferença será que em vez deusarmos vectores com duas componentes, a posição no espaço de fase, rf, e a velocidadeno espaço de fase, uf, serão listas com 2n componentes.

No Maxima também é possível escrever um programa para implementar o método deRunge-Kutta. A vantagem de usar o Maxima está em que será muito mais fácil definir oprocedimento que calcula as componentes da velocidade no espaço de fase. O módulodynamics do Maxima inclui um programa rk que usa o método de Runge-Kutta de quartaordem em forma iterativa, criando uma lista de pontos que aproximam a curva de evoluçãode um sistema dado.

Para ilustrar a utilização do método de Runge-Kutta no caso de sistemas com váriosgraus de liberdade, estudaremos nesta secção dois sistemas mecânicos com dois graus deliberdade e, portanto, 4 variáveis de estado.

8.2.1 Osciladores acoplados

Um exemplo de dois osciladores harmónicos acoplados é um sistema de duas molas, comconstantes elásticas k1 e k2, ligadas a dois pequenos cilindros com massas m1 e m2, comose mostra na figura 8.3.

As coordenadas y1 e y2 são as posições dos centros de gravidade dos dois cilindros, medidasna direcção vertical e no sentido para cima. Como essas duas variáveis são independentes,trata-se de um sistema com dois graus de liberdade. O estado do sistema é constituído poressas duas variáveis e as duas velocidades dos dois cilindros, v1 e v2.


Figura 8.3: Sistema com duas molas e duas massas.

É conveniente medir y1 e y2 a partir de origens diferentes, nomeadamente, a partir dos pon-tos onde se encontrariam os cilindros na posição em que cada mola tem o seu comprimentonatural (sem estar esticada nem comprimida).

Assim, a elongação da mola de cima será exactamente igual a y1 e a elongação da molade baixo é igual a y2− y1. Estamos a arbitrar para cada mola que a elongação é positiva,quando a mola estiver comprimida, ou negativa quando a mola estiver esticada.

Sobre o cilindro de baixo actua a força elástica da mola de baixo, o seu peso e a resistênciado ar. Sobre o cilindro de cima actuam as forças das duas molas, o seu peso e a resistênciado ar. Se as constantes elásticas das molas forem pequenas (molas que esticam facilmente),as velocidades dos cilindros serão pequenas e podemos admitir que a resistência doar é devida principalmente ao termo viscoso, que aumenta linearmente em função davelocidade.

A força produzida pela mola de cima sobre o cilindro 1 é k1 y1, apontando para baixo,quando y1 for positiva. A mola de baixo produz forças com valor k2(y2− y1), apon-tando para cima no cilindro 1, e para baixo no cilindro 2, quando y2− y1 for positiva.Consequentemente, as acelerações dos dois cilindros são:

v1 =−k1 y1 + k2 (y2− y1)−m1 g−b1 v1

m1(8.5)

v2 =−k2 (y2− y1)−m2 g−b2 v2

m2(8.6)


Onde b1 e b2 são os valores do produto k ν para cada um dos cilindros (ver a equação 2.17).As outras duas equações deste sistema são as relações entre as posições e as velocidades:

y1 = v1 (8.7)y2 = v2 (8.8)

Como as quatro equações 8.5, 8.6, 8.7 e 8.8 são todas lineares, o sistema é linear e, portanto,tem exactamente um ponto de equilíbrio. As equações 8.7 e 8.8 implicam que nesse pontode equilíbrio v1 = v2 = 0 e, substituindo nas equaçãoes 8.5 e 8.6, encontramos facilmenteo ponto de equilíbrio:

y1 =−(

m1 +m2

k1

)g y2 =−

(m1 +m2

k1+

m2

k2

)g v1 = 0 v2 = 0 (8.9)

Esse ponto de equilíbrio representa, fisicamente, a posição em que os cilindros estão emrepouso e as duas molas esticadas pela acção dos pesos dos cilindros; obviamente quedeverá ser um ponto de equilíbrio estável e como existem forças dissipativas, deverá serum foco ou nó atractivo.

Se mudarmos a origem das coordenadas y1 e y2 para esse ponto de equilíbrio, os termosconstantes desparecerão nas equações 8.5 e 8.6:

v1 =−k1 y1 + k2 (y2− y1)−b1 v1

m1(8.10)

v2 =−k2 (y2− y1)−b2 v2

m2(8.11)

e o sistema poderá ser escrito na forma matricial habitual para os sistemas lineares.

O programa 8.2 resolve o sistema de equações diferenciais 8.7, 8.8, 8.10 e 8.11, usandoo método de Runge-Kutta de ordem 4, e mostra a posição dos dois cilindros em funçãodo tempo. O programa é uma generalização simples do programa 8.1, usando listas (emVPython, arrays) em vez de vectores. O desenho do sistema, assim como o deslocamentodas molas para dois valores dados das posições de cada cilindro, é feito por um programaexterno, duas_molas.py, que é distribuído num ficheiro anexo a este livro, e noapêndice C.

Há que ter cuidado com a forma diferente como são definidos os valores iniciais de umvector ou de uma lista em VPython. No caso do vector, as componentes escrevem-se entreparêntesis, separadas por vírgulas. No caso das listas é preciso usar parêntesis redondos eparêntesis quadrados.

programa 8.21 from duas_molas import *2

3 def uf(rf): # velocidade no espaço de fase


4 a1 = (-k1*rf[0] + k2*(rf[1] - rf[0]) - b1*rf[2])/m15 a2 = (-k2*(rf[1] - rf[0]) - b2*rf[3])/m26 return array([rf[2], rf[3], a1, a2])7

8 rf = array([0.8, 0.2, 0, 0])9 m1 = 0.3; m2 = 0.6; k1 = 16; k2 = 12; b1 = 0.02; b2 = 0.03

10 dt = 0.0111

12 while True:13 rate(100)14 uf1 = uf(rf)15 uf2 = uf(rf + dt*uf1 / 2.)16 uf3 = uf(rf + dt*uf2 / 2.)17 uf4 = uf(rf + dt*uf3)18 ufm = (uf1 + 2*uf2 + 2*uf3 + uf4)/6.19 rf += dt*ufm20 deslocar_molas(rf[0], rf[1])

As equações 8.7, 8.8, 8.10 e 8.11 também podem ser resolvidas no Maxima, usando oprograma rk. Esse programa precisa 4 argumentos, que são quatro listas; a primeira listadefine as derivadas das variáveis de estado, a segunda lista identifica as variáveis de estado,a terceira lista indica valores iniciais para essas variáveis e a quarta lista define o intervalode integração e o valor de ∆t. Por exemplo, para resolver o problema das duas molasacopladas, usando os mesmos dados do programa 8.2, usam-se os comandos seguintes:

(%i1) [m1, m2, k1, k2, b1, b2]: [0.3, 0.6, 16, 12, 0.02, 0.03]$

(%i2) a1: (-k1*y1+k2*(y2-y1)-b1*v1)/m1$

(%i3) a2: (-k2*(y2-y1)-b2*v2)/m2$

(%i4) traj: rk([v1, v2, a1, a2], [y1, y2, v1, v2], [0.8,0.2,0,0],[t,0,12,0.01])$

o incremento do tempo usado foi ∆ t = 0.01, com t inicial igual a zero, e t final igual a 12.O resultado ficou armazenado na lista traj. Cada elemento dessa lista é também umalista com 5 elementos: t, y1, y2, v1 e v2. Por exemplo, o último elemento na lista é:

(%i5) last(traj);(%o5) [12.0, - .2349223228836384, .2330453097398847,

- 3.273980015351182, 0.0536063320611079]

que contém o valor final do tempo t, seguido pelos valores finais das quatro variáveis deestado. Convém olhar sempre para o último elemento da lista, para termos a certeza deque o programa rk foi bem sucedido.

Não é possível fazer um gráfico da lista traj; no entanto, podemos fazer gráficos de duas


das variáveis, usando plot2d. Será preciso extrair duas das variáveis na lista completatraj. Por exemplo, para desenhar o gráfico da posição do cilindro de cima, y1, em funçãodo tempo, teremos que extrair a primeira e a segunda componentes de cada ponto na listatraj; isso consegue-se assim:(%i6) plot2d([discrete,

makelist([traj[i][1], traj[i][2]], i, 1, length(traj))],[xlabel,"t"], [ylabel,"y1"])$

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 2 4 6 8 10 12

y1

t

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12

y2

t

Figura 8.4: Gráficos das posições dos dois cilindros, em função do tempo.

O gráfico aparece no lado esquerdo da figura 8.4.

Para desenhar o gráfico da posição do cilindro de baixo, y2, em função do tempo, teremosque extrair a primeira e a terceira componente em cada ponto da lista:

(%i7) plot2d([discrete,makelist([traj[i][1], traj[i][3]], i, 1, length(traj))],

[xlabel,"t"], [ylabel,"y2"])$

O gráfico aparece no lado direito da figura 8.4.

O espaço de fase tem quatro dimensões. Podemos representar a curva de evolução noespaço de fase em funçao de duas das quatro variáveis, por exemplo, em função de y1 e y2:

(%i8) plot2d([discrete,makelist([traj[i][2], traj[i][3]], i, 1, length(traj))],

[xlabel,"y1"], [ylabel,"y2"])$

O resultado é apresentado na figura 8.5. O programa rk está escrito na própria linguagemde programação do Máxima e encontra-se dentro do ficheiro dynamics.mac distribuídocom o Maxima.

8.2.2 Pêndulo de Wilberforce

O pêndulo de Wilberforce (figura 8.2.2) consiste num cilindro, pendurado de uma molavertical muito comprida. Quando uma mola é esticada ou comprimida, cada espira muda


-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

y2

y1

Figura 8.5: Trajectória do sistema de duas molas no espaço de fase, projectada no plano(y1, y2).

ligeiramente de tamanho; no pêndulo de Wilberforce, o número elevado de espiras na molafaz com que seja mais visível essa mudança, de forma que enquanto a mola oscila, tambémse enrola ou desenrola, fazendo rodar o cilindro em relação ao eixo vertical.

θ

z

Figura 8.6: Pêndulo de Wilberforce.

A força elástica na mola é igual é dada pela expressão:

F =−k z−bθ (8.12)

onde z é a elongação da mola, θ o ângulo que roda no plano perpendicular ao eixo e k e b


são duas constantes. O torque é dado pela expressão:

T =−aθ −bz (8.13)

onde a é outra constante. O termo que depende de b é devido à relação que existe entre aelongação e a torsão na mola.

As quatro variáveis de estado serão z, θ , a velocidade vertical v e a velocidade angular noplano horizontal, ω . As quatro equações de evolução:

z = v θ = ω (8.14)

v =− km

z− bm

θ ω =−aI

θ − bI

z (8.15)

onde m e I são a massa e o momento de inércia do cilindro. Vamos resolver esse sistemausando os seguintes parâmetros:

(%i9) [m, I, k, a, b]: [0.5, 1e-4, 5, 1e-3, 0.5e-2]$

os lados direitos das equações de evolução são:

(%i10) eq1: v$(%i11) eq2: w$(%i12) eq3: -(k*z + b*ang)/m$(%i13) eq4: -(a*ang + b*z)/I$

para as resolver, no intervalo de tempo desde 0 até 40, e com condição inicial z = 10 cm eas outras variáveis iguais a 0, usaremos o programa rk na forma seguinte:

(%i14) sol: rk([eq1,eq2,eq3,eq4],[z,ang,v,w],[0.1,0,0,0],[t,0,40,0.01])$

convem separarmos as variáveis em listas diferentes, usando diferentes factores para que aordem de grandeza das variáveis seja semelhante e possam ser apresentadas num mesmográfico; após algumas tentativas, resolvemos usar os seguintes factores:

(%i15) listat: makelist(sol[i][1], i, 1, length(sol))$(%i16) listaz: makelist(100*sol[i][2], i, 1, length(sol))$(%i17) listang: makelist(sol[i][3], i, 1, length(sol))$(%i18) listav: makelist(35*sol[i][4], i, 1, length(sol))$(%i19) listaw: makelist(0.3*sol[i][5], i, 1, length(sol))$

Quando existem mais do que 3 variáveis de estado, já não é possível desenhar o campo dedirecções nem o retrato de fase. O que podemos fazer é representar duas das variáveis deestado num gráfico a duas dimensões.

Para desenhar os gráficos da elongação z e do ângulo θ , em função do tempo, usamos oscomandos:

(%i20) plot2d([[discrete,listat,listaz],[discrete,listat,listang]],[legend,"elongação","ângulo"],[xlabel,"t"],[plot_format,openmath])$


elongaçãongulo

0 10 20 30 40

-5

0

5

10

t

Figura 8.7: Evolução da elongação e do ângulo de rotação no pêndulo de Wilberforce.

o resultado aparece na figura 8.7. O gráfico reproduz uma característica interessantedo pêndulo de Wilberforce: se o pêndulo é posto a oscilar, sem rodar, a amplitude dasoscilações lineares decresce gradualmente, enquanto que o cilindro começa a rodar comoscilações de torsão que atingem uma amplitude máxima quando o cilindro deixa de sedeslocar na vertical. A amplitude dass oscilações de torsão começa logo a diminuir àmedida que a oscilação linear aparece novamente. Essa intermitência entre deslocamentovertical e rotação repete-se várias vezes.

O retrato de fase também não pode ser desenhado, por ter 4 coordenadas, mas podemosdesenhar a sua projecção em duas dessas variávéis, por exemplo a elongação e o ângulo(figura 8.8):

(%i21) plot2d([discrete, listaz, listang], [xlabel,"elongação"],[ylabel,"ângulo"], [plot_format,openmath])$

Neste sistema existem duas frequências angulares. A frequência angular longitudinal e afrequência angular de torsão:

ωz =

√km

ωθ =√

aI

(8.16)

O cilindro num pêndulo de Wilberforce costuma ter quatro porcas que podem ser des-locadas, aumentando ou diminuindo o momento de inércia, para conseguir que as duasfrequências fiquem muito próximas e o efeito de alternância entre oscilações lineares erotacionais seja mais visível.


-5 0 5

-6

-4

-2

0

2

4

6

ângulo

elongaç o

Figura 8.8: Solução do sistema, no plano formado pela elongação e o ângulo.

No nosso exemplo acima, foram usados valores numéricos que garantem que as duasfrequências sejam iguais.

Perguntas

1. O comandoa:rk([f,g],[y,z],[0,1],

[x,0,1,0.01])foi utilizado para resolver numericamente umsistema de equações. Os comandosc:makelist([a[i][1],a[i][2]],

i,1,101)plot2d([discrete, c])desenham o gráfico de:

A. y vs xB. y vs tC. z vs x

D. x vs tE. z vs y

2. O sistema não-linear:

u =−2uv v = 3u+uv

vai ser resolvido numericamente, no Maxima,

usando o programa rk, com condições ini-ciais u = 1, v = 1, entre t = 0 e t = 5, comintervalos de tempo de 0.01. Foram criadasduas listas em Maxima, usando os comandos:

c: [3*u+u*v, -2*u*v]$d: [t, 0, 5, 0.01]$

qual é o comando que deverá ser usado paraencontrar a solução do sistema?

A. rk(c,[u=1,v=1],d)B. rk(c,[u,v],[1,1],d)C. rk(c,[v,u],[1,1],d)D. rk(c,[v=1,u=1],d)E. rk(c,[v,u],[v=1,u=1],d)


3. O comandoa:rk([f,g],[y,z],[0,1],

[x,0,1,0.01])do Maxima foi usado para resolver numeri-camente um sistema de equações. A seguir,o comando last(a[1]) mostrará o valor:

A. final de yB. inicial de xC. final de z

D. inicial de zE. final de x

4. As equações de evolução de um sistema di-nâmico são:

x1 = 2x1− x2 x2 = x1

e num instante inicial t = 0 o estado do sis-tema é x1 = 2, x2 = 1. Usando o métodode Euler, com ∆t = 0.2, calcule os valoresaproximados de x1 e x2 em t = 0.2.

A. (2.6, 1.4)B. (3, 2)C. (2.3, 1.2)

D. (2.2, 1.2)E. (2.4, 1.4)

5. As equações de evolução de um sistema di-nâmico são:

x1 = 2x1− x2 x2 = x1

e num instante inicial t = 0 o estado do sis-tema é x1 = x2 = 1. Determine as componen-tes da velocidade de fase~um, calculada pelométodo de Runge-Kutta de ordem 4, com∆t = 0.2.

A. (1, 1)B. (1.22, 1.22)C. (2, 2)

D. (1.107, 1.107)E. (1.212, 1.212)

Problemas

1. Calcule as coordenadas da órbita heteroclínica do pêndulo, com condições iniciaisθ = 0 e ω = 2

√g/l, para um pêndulo com l = 0.3 m, usando o programa rk, para

valores de t desde 0 até 3 s e com ∆t = 0.0005. Desenhe o gráfico de θ em função de te compare os valores finais de θ e ω com os respectivos valores do ponto de equilíbrioinstável.

2. A energia potencial de um oscilador harmónico simples em duas dimensões é:

U(x,y) =kx

2x2 +

ky

2y2

onde x e y são as coordenadas da partícula, com massa m, e kx e ky são as constanteselásticas.

(a) A componente x da força é igual a menos a derivada parcial da energia potencialem ordem a x, e a componente y é menos a derivada parcial em ordem a y. Escrevaa expressão vectorial para a força, em função de x e y.

(b) Diga quais são as variáveis de estado do sistema, e escreva as equações de evolução.(c) Use o programa rk para encontrar a solução com m = 0.3, kx = 2 e ky = 8 (unidades

SI), entre t = 0 e t = 2.43, se a partícula partir do ponto (1,0) com momentovelocidade inicial~v = 0.6~ey. Desenhe o gráfico da trajectória da partícula no planoxy.


(d) Repita a alínea anterior, mas admitindo que a partícula parte do ponto (1,0) comvelocidade inicial~v = 0.3~ex +0.6~ey.

(e) Observe que o sistema pode ser considerado como um conjunto de dois osciladoresharmónicos independentes, na direcção de x e na direcção de y. Calcule o períodode oscilação para cada um dos dois osciladores e diga qual é a relação entre osdois períodos.

(f) Repita os cálculos da alínea c, mudando o valor de ky para 18. Que relação encontraentre o gráfico da trajectória e ky/kx?

As trajectórias obtidas são designadas por figuras de Lissajous.

3. A força responsável pela órbita elíptica de um corpo celeste no sistema solar (planeta,cometa, asteróide, sonda espacial, etc) é a atracção gravitacional do Sol, que, em formavectorial escreve-se:

~F =−GM m|~r|3

~r

onde G é a constante de gravitação universal, M é a massa do Sol, m a massa do corpoceleste, e~r o vector desde o centro do Sol até o centro do corpo celeste. Se as distânciasforem medidas em unidades astronómicas, UA, e os tempos forem medidos em anos, oproduto GM será igual a 4π2.

(a) Admitindo que o plano xy é o plano da órbita do corpo celeste, com origem nocentro do Sol, escreva as equações de evolução do corpo celeste, usando unidadesde anos para o tempo e UA para as distâncias.

(b) O cometa Halley chega até uma distância mínima do Sol igual a 0.587 UA. Nesseponto, a sua velocidade é máxima, igual a 11.50 UA/ano, e perpendicular à suadistância até o Sol. Usando o programa rk do Maxima, calcule a órbita do cometaHalley, a partir da posição inicial 0.587~ex, com velocidade inicial 11.50~ey, comintervalos de tempo ∆t = 0.05 anos. Desenhe a órbita desde t = 0 até t = 100 anos.Que pode concluir acerca do erro numérico?

(c) Repita o procedimento da alínea anterior com ∆t = 0.02 anos e desenhe a órbitadesde t = 0 até t = 150 anos. Que pode concluir acerca do erro numérico?

(d) Diga qual é, aproximadamente, a distância máxima que o cometa Halley se afastado Sol, e compare a órbita do cometa com as órbitas do planeta mais distante,Neptuno (órbita entre 29.77 UA e 30.44 UA) e do planeta mais próximo do Sol,Mercúrio (órbita entre 0.31 UA e 0.39 UA) (Plutão já não é considerado umplaneta).

4. Usando os mesmos valores das massas e das constantes das molas usados no programa8.2, escreva a matriz do sistema linear das duas molas acopladas. Calcule os valorespróprios e diga se são reais ou complexos e qual o sinal da parte real. Repita os mesmoscálculos admitindo que a resistência do ar seja nula.

9 Ciclos limite e sistemas de duasespécies

A aranha caranguejo é um predador que consegue mudar a sua cor para se camuflar dassuas presas. Na fotografia, uma aranha caranguejo, pousada numa flor, apanha duas moscasque estavam a acasalar. Os sistemas predador presa são um exemplo de sistema de duasespécies; a evolução da população das duas espécies pode ser estudada com a teoria desistemas dinâmicos.

140 Ciclos limite e sistemas de duas espécies

9.1 Ciclos limite

Num sistema conservativo, todos pontos de equilíbrio estável são centros e existem ciclos,que correspondem a movimentos oscilatórios.

Na prática, um sistema conservativo é apenas uma idealização. Existem forças dissipativasque tornam um centro em foco estável; os ciclos passam a ser espirais que se aproximamdo foco atractivo e o movimento oscilatório descrito por essas espirais tem amplitude deoscilação decrescente, aproximando-se para zero. Existe dissipação ou fornecimento deenergia.

Também podem existir forças externas que aumentam a energia mecânica do sistema.Nesse caso o centro torna-se um foco instável e os ciclos são substituídos por espirais quese afastam do ponto. Essas órbitas em espiral representam movimento oscilatório comamplitude crescente.

A combinação dos dois efeitos: forças dissipativas mais forças externas que fornecemenergia, pode ser na proporção exacta que mantem o sistema em movimento oscilatóriocom amplitude constante. Um exemplo típico é um relógio de pêndulo: a dissipação deenergia devida à resistência do ar e atrito no eixo é compensada por um mecanismo queproduz um torque sobre o pêndulo.

Assim, num sistema não conservativo também podem existir ciclos no espaço de fase.Mas comumente esses ciclos são isolados; nomeadamente, existem apenas para um valorespecífico da amplitude e não para qualquer amplitude arbitrária. Esse tipo de ciclosisolados, nos sistemas não lineares, são designados ciclos limite.

9.1.1 Equação de Van der Pol

Uma equação não linear conhecida há muito tempo e que dá origem a ciclos limite é aequação de Van der Pol, que apareceu no estudo dos circuitos eléctricos e outros sistemasmecânicos:

x+2ε(x2−1)x+ x = 0 (9.1)

onde ε é um parâmetro positivo. Assim, se x2 for maior que 1, o segundo termo é dissipativoe implica diminuição da amplitude de oscilação. Se x2 for menor que 1, o sistema teráfornecimento de energia e a amplitude de oscilação aumentará. Assim, espera-se que,independentemente do estado inicial, o sistema termine oscilando com amplitude próximade 1.

A equação de van der Pol é equivalente ao seguinte sistema dinâmico autónomo:

x = y y =−x−2ε(x2−1)y (9.2)

Existe um único ponto de equilíbrio, na origem. A matriz Jacobiana nesse ponto é:[0 1−1 2ε

](9.3)

9.1 Ciclos limite 141

e os valores próprios são λ = ε±√

ε2−1

-2.5 0 2.5

-4

-2

0

2

4

y

x

xy

0 10 20 30

-4

-2

0

2

4

t

Figura 9.1: Solução da equação de van der Pol para um valor pequeno do parâmetro,ε = 0.17, com estado inicial próximo da origem.

A origem é um ponto repulsivo, que poderá ser um foco (ε < 1), um nó (ε > 1), ou umnó impróprio (ε = 1). A figura 9.1 mostra o retrato de fase, no caso ε = 0.17, com estadoinicial perto da origem: x = y = 0.1. Os gráficos foram produzidos com o comando:

(%i1) plotdf([y,-x-2*e*(x^2-1)*y], [x,y], [direction,forward],[parameters,"e=0.17"], [x,-4,4], [y,-5,5], [nsteps,900],[trajectory_at,0.1,0.1], [versus_t,1])$

O sistema oscila, com amplitude crescente, mas após algumas oscilações a amplitudeaproxima-se dum valor máximo e as oscilações são cada vez mais uniformes. No retratode fase, a órbita cresce aproximando-se de um ciclo com foram de rectângulo com vérticesarredondados.

Com o mesmo valor do parâmetro, ε = 0.17, mas com um estado inicial afastado daorigem, o sistema oscila com amplitude que decresce até o mesmo valor obtido no casoanterior, como mostra a figura 9.2, que foi obtida com o seguinte comando:

(%i2) plotdf([y,-x-2*e*(x^2-1)*y], [x,y], [direction,forward],[parameters,"e=0.17"], [x,-4,4], [y,-5,5], [nsteps,900],[trajectory_at,-3,3], [versus_t,1])$

Nos dois casos das figuras 9.1 e 9.2 o sistema aproxima-se do mesmo ciclo; no primeirocaso a aproximação é feita desde dentro do ciclo e no segundo caso desde fora. Esse tipode ciclo é um ciclo limite atractivo. Existem também ciclos limite repulsivos, no caso emque as órbitas perto desse ciclo afastam-se dele.

Se o parâmetro ε for maior que 1 e o estado inicial estiver próximo da origem, o sistemaaproxima-se muito mais rapidamente do ciclo limite, já que a origem passa a ser um nórepulsivo. Por exemplo, para ε = 1.7 e estado inicial x = y = 0.1:


-2.5 0 2.5

-4

-2

0

2

4

y

x

xy

0 5 10 15-5

-2.5

0

2.5

5

t

Figura 9.2: Solução da equação de van der Pol para um valor pequeno do parâmetro,ε = 0.17, com estado inicial afastado da origem.

(%i3) plotdf([y,-x-2*e*(x^2-1)*y], [x,y], [direction,forward],[parameters,"e=1.7"], [x,-4,4], [y,-6,6], [nsteps,1500],[trajectory_at,0.1,0.1], [versus_t,1])$

No caso ε = 1.7, o ciclo limite tem uma forma mais complicada no espaço de fase(figura 9.3), em comparação com o rectângulo de vértices arredondados obtido no casoε = 0.17 (figura 9.1).

Em função do tempo, as oscilações são mais parecidas com uma função harmónica defrequência única (função seno ou co-seno), se o parâmetro ε for pequeno. Se o parâmetroε for maior, as oscilações são mais complexas, como no caso da figura 9.3, revelando asobreposição de várias funções harmónicas com diferentes frequências.

O circuito, ou sistema físico, descrito pela equação de van der Pol é um sistema auto-regulado. Nomeadamente, independentemente do estado inicial do sistema, o estado finalserá um movimento oscilatório com amplitudes e frequências específicas do circuito.

9.1.2 Existência de ciclos limite

Num ponto do espaço de fase, que não seja ponto de equilíbrio, passa exactamente umacurva de evolução. As curvas de evolução de um sistema dinâmico contínuo, no espaço defase, nunca se podem cruzar.

Esse princípio é útil para descobrir a existência de ciclos limite. Por exemplo, no retrato defase apresentado na figura 9.4, vemos que a origem é um foco repulsivo; perto da origemas curvas de evolução (também designadas por órbitas) são espirais que apontam para forada origem. No entanto, nas regiões mais afastadas da origem, vemos que as órbitas seaproximam da origem.


-2.5 0 2.5

-4

-2

0

2

4

6y

x

xy

0 10 20 30-6

-4

-2

0

2

4

6

t

Figura 9.3: Solução da equação de van der Pol para um valor elevado do parâmetroε = 1.7 e com estado inicial próximo da origem.

Como as órbitas que saem da origem não se podem cruzar com as órbitas que se aproximamdele, deverá existir um ciclo limite para onde se aproximarão assimptóticamente todas asórbitas, sem se cruzarem nem se tocarem.

Em alguns casos consegue-se demonstrar matematicamente a existência do ciclo limite,usando coordenadas polares, como mostraremos no exemplo a seguir.

-1 -0.5 0 0.5-1

-0.5

0

0.5

1y

x

Figura 9.4: Retrato de fase de um sistema com um ciclo limite.


Exemplo 9.1Demonstre que o sistema com equações de evolução:

x =−y+ x(1−2x2−3y2) y = x+ y(1−2x2−3y2)

tem um ciclo limite.

Resolução: Os pontos de equilíbrio serão:(%i4) f1: -y+x*(1-2*x^2-3*y^2)$(%i5) f2: x+y*(1-2*x^2-3*y^2)$(%i6) solve([f1,f2]);(%o6) [[x = 0, y = 0]]

Assim, existe um único ponto de equilíbrio, na origem. O retrato de fase obtido com asfunções f1 e f2 é apresentado na figura 9.5, que mostra o ciclo limite.

Vamos substituir as coordenadas cartesianas por coordenadas polares. Será preciso fazeressa substituição também nos lados esquerdos das equações: x e y. Consequentemente,precisamos das equações de evolução completas:(%i7) depends([x,y],t)$(%i8) eq1: diff(x,t) = f1;

dx 2 2(%o8) -- = x (- 3 y - 2 x + 1) - y

dt(%i9) eq2: diff(y,t) = f2;

dy 2 2(%o9) -- = y (- 3 y - 2 x + 1) + x

dt

O comando depends foi usado para indicar que x e y dependem de t; se não tivéssemosusado esse comando, as derivadas teriam sido calculadas como derivadas parciais, dando oresultado 0.

A substituição para coordenadas polares é a seguinte:

x = r cosθ y = r sinθ

no Maxima, usaremos u, em vez de θ . É preciso declarar também a dependência no tempodas variáveis r e u, antes de fazer a substituição:

(%i10) depends([r,u],t)$(%i11) eq3: ev(eq1, x=r*cos(u), y=r*sin(u), diff)$(%i12) eq4: ev(eq2, x=r*cos(u), y=r*sin(u), diff)$

o modificador diff é para forçar a que as derivadas sejam calculadas. Finalmente,resolvemos o sistema para r e θ :


(%i13) solve([eq3,eq4],[diff(r,t),diff(u,t)]);dr 3 2 3 2 du

(%o13) [[-- = - 3 r sin (u) - 2 r cos (u) + r, -- = 1]]dt dt

O resultado obtido foi

r = r− r3(2+ sin2θ) θ = 1

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2-1

-0.5

0

0.5

y

x

Figura 9.5: Retrato de fase do sistema x =−y+x(1−2x2−3y2), y = x+y(1−2x2−3y2).

A segunda equação mostra que o ângulo aumenta com taxa constante. O estado roda noespaço de fase, com velocidade angular constante. Enquanto roda, o valor de r muda;para r igual a 1/2, a derivada r é igual a (2− sin2

θ)/8, que é positivo; nomeadamente, raumentará até um valor maior que 1/2. Se r = 1, a derivada de r será r =−1− sin2

θ , queé negativa para qualquer valor de θ . Consequentemente, r diminuirá até um valor menorque 1. Portanto, deverá existir um ciclo limite na região 1/2 < r < 1. Neste caso o ciclolimite é estável1. O retrato de fase mostra o ciclo limite (figura 9.5).

9.1.3 Inexistência de ciclos limite

Se existir um ciclo limite, na região dentro dele deverá existir pelo menos um foco, umcentro ou um nó. Assim, se numa região do espaço de fase não existir nenhum foco, centroou nó, podemos garantir que nessa região não existe nenhum ciclo limite. O determinanteda matriz jacobiana é igual ao produto dos valores próprios; portanto, num sistema de

1Deixa-se como exercício para o leitor encontrar o valor de r, diferente de zero, em que a derivada r é nula,e demonstrar que para diferentes ângulos esse valor está compreendido entre 0.577 e 0.707.


segunda ordem, se num ponto de equilíbrio o determinante da matriz jacobiana for negativo,esse ponto será necessariamente ponto de sela.

Assim, num sistema de segunda ordem, se dentro de uma região do espaço de fase nãoexistir nenhum ponto de equilíbrio onde o determinante da matriz jacobiana seja positivo,nessa região não poderá existir nenhum ciclo limite. Esse método é útil para demonstrarque num sistema não existem ciclos limite.

Exemplo 9.2Demonstre que o sistema seguinte não possui nenhum ciclo limite.

x = y2− x y = y+ x2 + yx3

Resolução:(%i14) f: [y^2-x, y+x^2+y*x^3]$(%i15) solve(f);

produz unicamente uma solução real, na origem. Assim, o único ponto de equilíbrio é aorigem.(%i16) vars: [x,y]$(%i17) jacobian(f,vars)$(%i18) determinant(ev(%,x=0,y=0));(%o18) - 1

portanto, a origem é um ponto de sela, e não existe nenhum ciclo limite.

9.2 Coexistência de duas espécies

Consideremos duas populações diferentes. A função x(t) representa o número de elementosda espécie 1, no instante t, e y(t) o número de elementos da espécie 2, no instante t.

A taxa de aumento das populações das duas espécies serão:

xx

yy

(9.4)

e as equações de evolução do sistema deverão ter a forma geral:

x = x f (x,y) y = yg(x,y) (9.5)

É importante observar que no instante em que não existiam elementos de uma das espécies,a população dessa espécie não podera aumentar nem diminuir. A função f é a soma da

9.2 Coexistência de duas espécies 147

taxa de natalidade da espécie 1, menos a sua taxa de mortalidade. g é a soma da taxa denatalidade da espécie 2, menos a sua taxa de mortalidade.

Só estamos interessados no primeiro quadrante do espaço de fase, onde as duas variáveis xe y são positivas, pois a população de cada espécie não poderá ser um número negativo.Como x e y são positivas, as componentes da velocidade de fase são proporcionais a f e g.

Na ausência de elementos da espécie 2, a taxa de crescimento da população 1 é f (x,0).

Três modelos que costumam ser usados para o crescimento da população são os seguintes(a e b são constantes):

1. f (x,0) = a > 0 aumento exponencial da população.

2. f (x,0) =−a < 0 extinção exponencial da população.

3. f (x,0) = a−bx a > 0 b > 0 modelo logístico; população com limite a/b.

o mesmo aplica-se à outra espécie e à função: g(0,y).

9.2.1 Sistemas predador presa

Num sistema predador presa, a taxa de mortalidade da espécie 1 é proporcional à populaçãoda espécie 2, e a taxa de natalidade da espécie 2 aumenta em função da população daespécie 1. Nesse caso, a espécie 1 são presas, e a população 2 são predadores que sealimentam das presas.

O aumento do número de presas, aumenta a taxa de crescimento da população de predado-res: g(x,y) é crescente em função de x. O aumento do número de predadores, diminui ataxa de crescimento da população de presas: f (x,y) é decrescente em função de y.

Presas

Predadores

f

f

f

f

g

g

g

g

Figura 9.6: Possível ciclo num sistema predador presa.

Essas relações permitem que seja possível a existência de ciclos, tal como se mostra nafigura 9.6 mas, naturalmente deverá existir um centro, foco ou nó dentro do ciclo.

A origem também é um ponto de equilíbrio. Como sobre cada um dos eixos coordenados avelocidade de fase é na mesma direcção do eixo, a origem e quaisquer outros pontos de


equilíbrio nos eixos deverão ser nós ou pontos de sela. Se um desses pontos for estável,implicará um estado em que uma das espécies foi extinta e a população da outra permanececonstante (modelo logístico).

Exemplo 9.3Analise o modelo de Lotka-Volterra:

x = x(a− cy) y = y(bx−d)

com 4 parâmetros positivos a, b, c e d.

Resolução: Olhando para as equações, conclui-se que x representa uma população depresas, com crescimento exponencial, e y é uma população de predadores, com extinçãoexponencial.

Os pontos de equilíbrio serão:(%i19) f: [x*(a-c*y), y*(b*x-d)]$(%i20) vars: [x,y]$(%i21) equil: solve(f,vars);

d a(%o21) [[x = 0, y = 0], [x = -, y = -]]

b c

existem 2 pontos de equilíbrio na região de interesse: (0,0) e (d/b, a/c).(%i22) jacobiana: jacobian(f, vars)$

Na origem:(%i23) jacobiana, equil[1];

[ a 0 ](%o23) [ ]

[ 0 - d ]

os valores próprios são a e −d. A origem é um ponto de sela (instável). No segundo pontofixo:(%i24) jacobiana, equil[2];

[ c d ][ 0 - --- ][ b ]

(%o24) [ ][ a b ][ --- 0 ][ c ]

(%i25) eigenvectors(%);

(%o25) [[[- sqrt(- a d), sqrt(- a d)], [1, 1]],


b sqrt(- a d) b sqrt(- a d)[1, -------------], [1, - -------------]]

c d c d

os valores próprios são imaginários; portanto, o segundo ponto de equilíbrio é um centro.

Qualquer situação inicial (na região de interesse, onde as duas variáveis são positivas) fazparte de um ciclo, em que as populações das duas espécies oscilam. Para desenhar o retratode fase, usaremos o comando:

(%i26) plotdf(f, vars, [parameters,"a=6,b=3,c=2,d=15"],[x,0,10], [y,0,10], [nsteps,1000], [direction,forward],[trajectory_at,7,1], [versus_t,1])$

0 2.5 5 7.5 100

2.5

5

7.5

10y

x

xy

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

2

4

6

8

10

t

Figura 9.7: Retrato de fase do modelo de Lotka-Volterra e gráfico das populações emfunção do tempo.

Inicialmente, as populações de presas e de predadores aumentam, mas quando o númerode predadores estiver por cima do seu valor médio, a população de presas começará adecrescer. Quando o número de presas for menor que o seu valor médio, a falta de presasfará com que a população de predadores diminua; quando diminuir por baixo do seu valormédio, a população de presas voltará a aumentar e o ciclo repetir-se-á.

O modelo de Lotka-Volterra produz ciclos, que podem fazer oscilar a população entre umvalor muito pequeno e um valor muito elevado. Situação essa que não é muito realista numsistema predador presa. Mais realista será um ciclo limite, como no exemplo seguinte.

Exemplo 9.4Analise o modelo de Holling-Tanner:

x = x(

1− x7

)− 6xy

7+7xy = 0.2y

(1− y

2x

)


Resolução: Observando as equações, concluímos que x representa uma população depresas, com crescimento logístico, e y é a população de predadores, com crescimentologístico.

(%i27) f: [x*(1-x/7) -6*x*y/(7+7*x), 0.2*y*(1-y/2/x)]$(%i28) equil: solve(f);(%o28) [[y = 0, x = 0], [y = 0, x = - 1], [y = 0, x = 7],

[y = - 14, x = - 7], [y = 2, x = 1]]

existem 3 pontos de equilíbrio: (0, 0), (7, 0) e (1, 2).(%i29) vars: [x,y]$(%i30) J: jacobian(f, vars)$(%i31) eigenvectors(ev(J, equil[3])), numer;(%o31) [[[0.2, - 1], [1, 1]], [1, - 1.6], [1, 0]]

portanto, o ponto de equilíbrio em (7, 0) é ponto de sela. A matriz jacobiana na origemnão pode ser calculada por substituição directa, porque aparecem denominadores iguais azero; por enquanto, adiaremos a análise de estabilidade da origem.

0 2 4 6 8 10

0

2.5

5

7.5

y

x

Figura 9.8: Retrato de fase do modelo de Holling-Tanner.

Com(%i32) eigenvectors(ev(J, equil[5]));

descobrimos que o ponto (1, 2) é foco repulsivo.

A órbita que sai do ponto de sela (7, 0), na direcção do vector (-1, 1.6), aproxima-se dofoco repulsivo; assim, deverá existir um ciclo limite estável à volta do foco instável.

O retrato de fase é desenhado com o comando:(%i33) plotdf(f, vars, [x,-0.1,10], [y,-0.1,8]);

usou-se -0.1, para evitar os denominadores nulos no eixo dos y.


O ciclo limite aparece indicado a preto na figura 9.8, e as órbitas que entram e saem doponto de sela em x = 7 estão em verde. No eixo dos y há uma descontinuidade na derivadade y e, por isso, não existem trajectórias nesse eixo, mas para x > 0 a origem comporta-secomo ponto de sela.

9.2.2 Sistemas com competição

Se as duas espécies estão em competição pelos mesmos recursos, a taxa de aumento decada uma das populações diminui com o aumento da outra população. Consequentemente,já não poderão existir ciclos, como acontecia nos sistemas predador-presa.

Exemplo 9.5Explique os possíveis retratos de fase para o seguinte sistema com 6 parâmetros positivosa, b, c, d, e, f :

x = x(a−bx− cy) y = y(d− ey− f x)

Resolução: As equações mostram que se trata de um sistema de duas espécies em com-petição. Para evitar conflitos com valores de variáveis usados nos exemplos anteriores,começaremos por limpar a memoria no Maxima.(%i34) kill(all)$(%i1) fg: [x*(a-b*x-c*y),y*(d-e*y-f*x)]$(%i2) vars: [x,y]$(%i3) equil: solve(fg, vars);

a d(%o3) [[x = 0, y = 0], [x = -, y = 0], [x = 0, y = -],

b e

a e - c d a f - b d[x = - ---------, y = ---------]]

c f - b e c f - b e

O único ponto de equilíbrio fora dos eixos é o quarto; usaremos o comando subst parasimplificar o resultado, definindo 3 novas constantes.(%i4) ponto:subst([c*f-b*e=c1,a*e-c*d=-c2,a*f-b*d=c3],equil[4]);

c2 c3(%o4) [x = --, y = --]

c1 c1

esse ponto só estará no primeiro quadrante se as três constantes c1, c2 e c3, forem todaspositivas ou todas negativas.


(%i5) jacobiana: jacobian(fg, vars)$(%i6) jacobiana, equil[4]$

para simplificar a matriz, aplicaremos as funções ratsimp e factor a cada elementoda matriz (usa-se map para aplicar uma função a cada elemento da matriz):(%i7) map(ratsimp, %)$(%i8) map(factor, %);

[ b (a e - c d) c (a e - c d) ][ ------------- ------------- ][ c f - b e c f - b e ]

(%o9) [ ][ f (a f - b d) e (a f - b d) ][ - ------------- - ------------- ][ c f - b e c f - b e ]

apareceram novamente as três constantes c1, c2 e c3 definidas previamente; substituindo,obtemos:

(%i10) matriz: subst([c*f-b*e=c1, a*e-c*d=-c2, a*f-b*d=c3], %);

[ b c2 c c2 ][ - ---- - ---- ][ c1 c1 ]

(%o10) [ ][ c3 f c3 e ][ - ---- - ---- ][ c1 c1 ]

(%i11) factor(ratsimp(determinant(matriz)));

c2 c3 (c f - b e)(%o11) - -----------------

2c1

como (c f −be) é igual a c1, o determinante da matriz jacobiana no ponto de equilíbrio éigual a −c2c3/c1. Consequentemente, se as 3 constantes c1, c2 e c3 forem positivas, oponto de equilíbrio é um ponto de sela. Se as 3 constantes forem negativas, o ponto fixopoderá ser um nó atractivo, para alguns valores dos parâmetros.

Vejamos um caso em que as 3 constantes são positivas (3, 2, 2) (lado esquerdo na figura 9.9):

(%i12) plotdf(fg, vars, [x,0,3.1], [y,0,3.1],[parameters,"a=2,b=1,d=2,e=1,c=2,f=2"])$

Se no instante inicial a população de uma das espécies for menor, essa espécie seráextinta (o sistema aproxima-se do ponto de sela num dos eixos). Se inicialmente as duaspopulações forem iguais, atinge-se o ponto de equilíbrio em que as duas populações são


iguais a 2/3 (c2/c1 = c3/c1).

Um exemplo do segundo caso, em que as 3 constantes são negativas (-3/4, -1, -1), é oseguinte (lado direito na figura 9.9):

(%i13) plotdf(fg, vars, [x,0,3.1], [y,0,3.1],[parameters,"a=2,b=1,d=2,e=1,c=0.5,f=0.5"])$

As duas espécies coexistem em forma harmoniosa, atingindo sempre o ponto de equilíbrioem que as duas populações são iguais a 4/3 (c2/c1 = c3/c1).

0 1 2 30

1

2

3

y

x0 1 2 3

0

1

2

3

y

x

Figura 9.9: Retratos de fase do exemplo 9.5, nos casos em que c1, c2 e c3 são todasnegativas (esquerda) ou positivas (direita). No primeiro caso o ponto de equilíbrio éinstável, e no segundo caso é estável.


Perguntas

1. Um sistema, no espaço de fase (x, y), temum ciclo limite com raio constante, iguala 2 unidades. Após uma mudança de va-riáveis para coordenadas polares (r, θ ),com origem no centro do ciclo limite, aequação obtida para o ângulo foi: θ = 3.Qual poderá ser a equação obtida para oraio r?

A. r = 2r−1B. r = 3r−2C. r = 2−2r

D. r = 2r−4E. r = 3− r

2. Um sistema dinâmico de segunda ordemtem um ciclo limite à volta do ponto deequilíbrio (x, y) = (a, b). O que é quecaracteriza os pontos (x, y) nesse ciclolimite?

A. Estão todos à mesma distância de (a,b).

B. Em todos esses pontos o campo dedirecções aponta na direcção de (a,b).

C. Formam uma curva que passa por (a,b).

D. Formam uma curva fechada com (a,b) no interior.

E. Formam uma curva fechada com (a,b) no exterior.

3. Um sistema, no espaço de fase (x, y),tem um ponto de equilíbrio em (2, 3).

Após uma mudança de variáveis para co-ordenadas polares (r, θ ), com origem noponto (2, 3), o sistema obtido foi: r = 2r,θ = −3. O que é que podemos afirmaracerca do sistema?

A. (2,3) é um foco repulsivo.B. Existe um ciclo limite à volta de (2,3).C. (2,3) é um centro.D. (2,3) é um foco atractivo.E. (2,3) é um nó repulsivo.

4. As equações x = y(3− x), y = x(5 + y)definem um sistema:

A. Presa-predador.B. De duas espécies com competição.C. Conservativo.D. Linear.E. Não linear.

5. As equações de evolução de um sistemade duas espécies são:

x = x(3− y) y = y(x−5)

que tipo de sistema é?

A. Presa-predador, sendo x as presas.B. Presa-predador, sendo y as presas.C. Sistema com competição.D. Sistema com cooperação.E. Sistema linear.


Problemas

1. Uma população de dragões, y, e uma população de águias, x, evoluem de acordo comum modelo de Lotka-Volterra:

x = x(2− y) y =y2(x−3)

Analise a estabilidade e desenhe o retrato de fase do sistema. Qual será o estado limite?alguma das duas espécies será extinta?

2. Considere o modelo de Verhulst para duas populações:

x = x(1− x−2y) y = y(1+5x− y)

diga se é um sistema com competição ou um sistema presa-predador (e nesse caso quaisas presas e quais os predadores). Analise a estabilidade e desenhe o retrato de fase.

3. Para cada um dos modelos de duas espécies com competição, na lista que se segue, digase existe coexistência ou exclusão mútua entre as duas espécies. Se existir coexistência,diga a natureza do ponto de equilíbrio (estável ou instável). Se existir exclusão mútua,diga qual das duas espécies sobrevive. Em todos os casos desenhe o retrato de fase.

a) x = x(2− 15 x− 1

6 y) y = y(1− 110 y− 1

8 x)

b) x = 2x(1− 120 x)− 1

25 xy y = 4y(1− 140 y)− 1

10 xy

c) x = x(1− 120 x− 1

8 y) y = y(1− 112 y− 1

16 x)

d) x = 2x(1− 1100 x)− 1

40 xy y = 10y(1− 150 y)− 1

8 xy

4. Para demonstrar que o sistema não linear:

x = x− y− x3− xy2 y = x+ y− x2y− y3

tem um ciclo limite estável:

a) Use coordenadas polares para transformar o sistema num sistema de segundaordem para as variáveis r e θ (sugestão: use o comando trigreduce parasimplificar o resultado).

b) Desenhe o gráfico de r em função de r (r não pode ser negativo) e diga qual será ovalor limite de r quando o tempo for suficientemente grande.

c) Escreva a equação do ciclo limite, em função das coordenadas (x, y).d) Corrobore a sua resposta desenhando o retrato de fase no plano (x, y).

5. Demonstre que o sistema seguinte não tem nenhum ciclo limite.

x = y y = x


6. O sistema de equações de Rössler em 3 dimensões,

x =−y− zy = x+0.2yz = 0.2+(x− c)z

tem ciclos limite para alguns valores do parâmetro c; nomeadamente, após algum tempo,as variáveis x, y e z descrevem ciclos que se repetem periódicamente.

a) Use o programa rk para encontrar a solução do sistema com c = 3 e condiçõesiniciais x(0) = z(0) = 0, y(0) = 4, no intervalo 0 ≤ t ≤ 200; use 5000 passos(∆t = 0.04).

b) Usando unicamente o intervalo 160 ≤ t ≤ 200 da solução encontrada na alíneaanterior, desenhe os gráficos de y em função de x, e de x em função de t.

c) Determine, aproximadamente, o período dos ciclos representados nos gráficos daalínea anterior.

10 Bifurcações e caos

Os investigadores da NASA no Centro de Investigação de Langley usam fumo colorido,que ascende desde uma fonte em terra, para visualizar um dos vórtices produzidos na pontade uma das assas dum avião agrícola. A turbulência associada ao vórtice é um exemplode movimento caótico. A imprevisibilidade desse movimento torna muito perigosa aaproximação de outros aviões dentro da zona de turbulência. Estudos como este da NASAsão usados para determinar a distância mínima recomendável entre aviões em voo, emfunção das condições; por exemplo, quando há mau tempo esses vórtices são menoresporque são dissipados pelo vento.


10.1 Órbitas homo/heteroclínicas atractivas

No capítulo anterior vimos que quando existe um ciclo limite atractivo, as curvas deevolução aproximam-se assimptóticamente desse ciclo. Também é possível existiremórbitas homoclínicas ou heteroclínicas atractivas, como veremos no exemplo seguinte.

Exemplo 10.1Desenhe o retrato de fase do com equações de evolução:

x = x(

y2 +2xy− x− 154

y+1)

y = y(−2x2− xy+ y+

154

x−1)

e mostre que existe uma órbita heteroclínica atractiva.

Resolução: Começamos por criar uma lista com as funções f e g, e outra lista com asvariáveis de estado:(%i1) fg: [x*(y^2+2*x*y-x-15*y/4+1), y*(-2*x^2-x*y+y+15*x/4-1)]$(%i2) vars: [x, y]$

A seguir, encontramos os pontos de equilíbrio:(%i3) solve(fg, vars);(%o3) [[x = 0, y = 0], [x = 1, y = 0], [x = 0, y = 1],

7 3 4 4 1 1[x = -, y = - -], [x = -, y = -], [x = -, y = -]]

4 4 3 3 4 4

existem 6 pontos de equilíbrio. Em vez de calcular a matriz jacobiana para cada ponto,vamos tentar descobrir que tipo de ponto é cada um, a partir do campo de direcções, numaregião que inclui os 6 pontos de equilíbrio:(%i4) plotdf(fg, vars, [x,-0.5,2], [y,-1.5,2]);

Desenhando algumas trajectórias com o programa plotdf, descobre-se que os pontos (0,0), (1, 0) e (0, 1) são pontos de sela, os pontos (0.25, 0.25) e (1.33 . . ., 1.333 . . .) são focosrepulsivos, e o ponto (1.75, -0.75) é um nó atractivo. Também vemos que as 3 rectas x = 0,y = 0 e y = 1− x são separatrizes (ver figura 10.1). O triângulo com vértices nos 3 pontosde sela é uma órbita heteroclínica.

Todas as curvas de evolução que saem do foco no ponto α(Γ) = (0.25,0.25) aproximam-seassimptóticamente da órbita heteroclínica que, consequentemente é atractiva.

A diferença entre uma órbita heteroclínica atractiva, como a que existe no exemplo anteriore um ciclo limite atractivo, está na forma como o sistema se aproxima desses conjuntoslimite. Para estudar a forma como é feita essa aproximação no caso da órbita heteroclínica,desenharemos o gráfico de evolução das variáveis de estado em função do tempo. Usandoo programa rk, com valores iniciais x = 0.26 e y = 0.26, e para t desde 0 até 500,(%i5) sol: rk(fg,vars,[0.26,0.26],[t,0,500,0.1])$

10.1 Órbitas homo/heteroclínicas atractivas 159

-0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

-1

0

1

2

y

x

Figura 10.1: Retrato de fase do exemplo 10.1, com uma órbita heteroclínica atractiva..

convém olhar para o resultado da última iteração:(%i6) last(sol);(%o6) [500.0, 0.999999995090667, 1.552719493869485E-22]

neste caso, o programa rk conseguiu integrar até o tempo final t = 500. Em versões doMaxima compiladas com outras variantes do Lisp, o mesmo programa pode parar numtempo t menor a 500. Isso é devido a que, a acumulação de erros numéricos pode provocarque uma das duas variáveis de estado atinja um valor por fora do triângulo formado pelos3 pontos de sela; nesse caso, a variável cresce rapidamente para infinito. Quando o valorobtido for muito elevado, provocará um erro no programa rk que será concluído nesseponto.

Vamos desenhar os gráficos de cada uma das variáveis de estado, em função do tempo,desde t = 0 até t = 400, com os resultados obtidos, usando apenas um quinto dos pontosobtidos (que é suficiente e evita demoras na obtenção do gráfico):(%i7) solx: makelist([sol[5*i+1][1],sol[5*i+1][2]],i,0,1000)$(%i8) plot2d([discrete,solx],[y,-0.2,1.2],[xlabel,"t"],

[ylabel,"x"]);(%i9) soly: makelist([sol[5*i+1][1],sol[5*i+1][3]],i,0,1000)$(%i10) plot2d([discrete,soly],[y,-0.2,1.2],[xlabel,"t"],

[ylabel,"y"]);


-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 100 200 300 400 500

x

t

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 100 200 300 400 500

y

t

Figura 10.2: Evolução das variáveis de estado numa curva de evolução que se aproximada órbita heteroclínica do exemplo 10.1.

A figura 10.2 mostra a evolução das variáveis de estado. Inicialmente, cada variável oscilacom período aproximadamente constante e amplitude crescente. A amplitude aproxima-sede um valor máximo e o período começa a aumentar gradualmente. O estado permanececada vez mais tempo perto de cada ponto de sela, e a seguir desloca-se rapidamente para oponto de sela seguinte. Esse comportamento é semelhante ao que foi observado no capítulo8, para o pêndulo simples. Nesse caso, com energia ligeiramente menor que a energia noponto de equilíbrio instável, a trajectória do pêndulo encontrava-se muito próximo de umciclo homoclínico. Para esse pêndulo ideal, a trajectória era uma curva fechada, enquantoque no exemplo acima a trajectória não se fecha sobre si própria, mas aproxima-se cadavez mais da órbita heteroclínica.

10.2 Comportamento assimptótico

Vimos em capítulos anteriores alguns exemplos de sistemas em que o estado evolui paraum ponto de equilíbrio estável. Um exemplo é um pêndulo; o atrito com o ar faz diminuira amplitude das oscilações e o pêndulo aproxima-se da posição de equilíbrio estável, naposição mais baixa do pêndulo.

Outros sistemas evoluem aproximando-se de um ciclo no espaço de fase; após algumtempo, cada variável de estado varia em forma cíclica repetitiva. Os pontos do espaçode fase que fazem parte do ciclo limite constituem o conjunto limite para o estado dosistema.

Se Γ for uma trajectória do sistema, no espaço de fase, o conjunto limite positivo, ω(Γ),é o ponto, ou conjunto de pontos, para onde a trajectória Γ se aproxima, no limite t→ ∞.Define-se também o conjunto limite negativo, α(Γ), constituido pelo ponto ou conjuntode pontos onde a trajectória se aproxima no limite t→−∞.

Esses conjuntos limite poderão não existir, se a trajectória se afastar continuamente sem

10.2 Comportamento assimptótico 161

limite. Se existirem, os conjuntos limite poderão ser pontos de equilíbrio, ciclos ou órbitashomoclínicas ou heteroclínicas.

A designação α e ω para os conjuntos limite negativo e positivo, é devida a que essasduas letras são a primeira e última letra no alfabeto grego; α(Γ) é a origem donde sai atrajectória Γ, e ω(Γ) é o fim de Γ.

10.2.1 Teorema de Poincaré-Bendixson

Num sistema dinâmico onde existam unicamente duas variáveis de estado, que possam terqualquer valor real, o espaço de fase é um plano. Se as duas variáveis de estado fossem x1e x2, o espaço de fase será o plano x1x2. As equações de evolução serão:

x1 = f1(x1,x2) x2 = f2(x1,x2) (10.1)

e a velocidade de fase em qualquer ponto do espaço de fase é o vector:

~u = f1(x1,x2)~e1 + f2(x1,x2)~e2 (10.2)

Em cada ponto esse vector determina a tangente à curva de evolução Γ que passa poresse ponto. Duas curvas de evolução diferentes nunca se podem cruzar em nenhum pontono domínio das funções f1 e f2, porque no ponto em que se cruzassem existiriam duasvelocidades de fase diferentes, que não é possível.

O enunciado do teorema de Poincaré-Bendixson é:

Em qualquer sistema com apenas duas variáveis de estado (espaço de faseplano), se existir o conjunto limite positivo, ou negativo, de uma trajectória Γ,esse conjunto limite deverá ser um dos três casos seguintes:

1. Um ponto de equilíbrio.

2. Um ciclo.

3. Uma órbita homoclínica ou heteroclínica.

Em particular, quando existir o conjunto limite positivo ω(Γ), é designado também poratractor. Segundo o teorema de Poncairé-Bendixson, no plano os únicos atractores podemser pontos de equilíbrio, ciclos, órbitas homoclínicas ou órbitas heteroclínicas.

Se o conjunto limite positivo, ω(Γ), de uma trajectória for um único ponto, esse pontodeverá ser um ponto de equilíbrio, que pode ser um nó ou foco estável, ou um ponto desela. Se o conjunto limite negativo, α(Γ), for um único ponto, poderá ser um nó ou focorepulsivo, ou um ponto de sela.

Um ponto de sela pode ser simultâneamente conjunto limite positivo e negativo de umatrajectória; nomeadamente, a trajectória começa nesse ponto de sela e fecha-se terminandono mesmo ponto de sela. Esse tipo de trajectória fechada constitui uma órbita homoclínica.


10.2.2 Critério de Bendixson.

A divergência da velocidade de fase 10.2 é definida por:

∇ ·~u =∂ f1

∂x1+

∂ f2

∂x2(10.3)

Outro teorema importante, designado de critério de Bendixson é o seguinte:

Num sistema dinâmico com apenas duas variáveis de estado, se numa regiãosimplesmente conexa R, do plano de fase, a divergência da velocidade de fasefor sempre positiva ou sempre negativa, então em R não existe nenhum ciclo,nem órbita homoclínica nem órbita heteroclínica.

Uma região R simplesmente conexa é uma região sem nenhum buraco no seu interior: arecta que une dois pontos quaisquer na região deverá estar contida completamente em R.

O critério de Bendixson é útil para determinar em que regiões do plano de fase podemexistir ciclos, órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.

Exemplo 10.2Demonstre que um pêndulo, amortecido pela resistência do ar não pode ter nenhum ciclo,nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.

Resolução: as equações de evolução para o ângulo, θ , e a velocidade angular ω do pêndulosão obtidas adicionando a força de resistência do ar (ver equação 2.17) às equações deevolução do pêndulo ideal:

θ = ω ω =−gl

sinθ −K1 ω−K2 |ω|ω

onde g é a aceleração da gravidade, l é o comprimento do pêndulo e K1 e K2 são duasconstantes obtidas a partir da equação 2.17, dividida por l.

A divergência da velocidade de fase é:

∇ ·~u =∂ω

∂θ+

∂

(−g

lsinθ −K1 ω−K2 |ω|ω

)∂ω

=−K1−2K2 |ω|

Assim, conclui-se que a divergência é sempre negativa (sistema dissipativo) e, portanto,não existe nenhum ciclo nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas. No caso conservativo,quando as constantes da resistência do ar, K1 e K2, forem nulas, a divergência será nula ejá não verificará a condição do critério de Bendixson; nesse caso existem ciclos.

Se existir uma curva de evolução fechada C, formada por um ciclo, órbita homoclínica ouheteroclínica, no interior dessa órbita fechada e na sua vizinhança, as trajectórias podemter algum dos 3 comportamentos seguintes:

10.3 Bifurcações 163

• Aproximam-se assimptóticamente de C.

• Afastam-se assimptóticamente de C.

• Formam uma família contínua de ciclos.

No primeiro caso, a curva C será o conjunto limite positivo, ω(Γ), de todas as curvas Γ noseu interior. Deverá existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no interior de C, queseja o conjunto limite negativo α(Γ) de todas essas curvas; consequentemente, esse pontode equilíbrio deverá ser um nó ou foco instável.

No segundo caso, a curva C será conjunto limite negativo, α(Γ), de todas as curvas Γ noseu interior. Deverá existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no interior de C, queseja o conjunto limite positivo ω(Γ) de todas essas curas; consequentemente, esse pontode equilíbrio deverá ser um nó ou foco estável.

No terceiro caso, um dos ciclos menores pode ser ciclo limite atractivo ou repulsivo,existindo assim um nó ou foco no seu interior, como nos dois casos anteriores. Se nenhumdos ciclos na família de ciclos internos for um ciclo limite, deverá existir um centro nointerior da família de ciclos.

Independentemente da situação no interior da curva C, no seu exterior poderão existiroutros ciclos, ou C poderá ser conjunto limite atractivo ou repulsivo. Isto é, uma órbitafechada pode ser atractiva no interior e no exterior, atractiva no interior mas repulsiva noexterior, etc.

10.3 Bifurcações

No problema 3 do capítulo 7 vimos que, se a base dum pêndulo roda no plano horizontal,com velocidade angular maior que

√g/l, a posição mais baixa do pêndulo deixa de ser

ponto de equilíbrio estável, passando a ser ponto de equilíbrio instável, e aparecem doisnovos pontos de equilíbrio estável.

No referencial que roda com a base, existe uma força fictícia, a força centrífuga:

Fc = mRω2b (10.4)

onde R é a distância desde o centro do disco até à vertical que passa pelo eixo do pêndulo,e ωb é a velocidade angular da base. A soma dessa força, junto com o peso e a tensão nabarra, produzem uma força resultante com componente tangencial

Ft = m sinθ(l ω

2b cosθ −g

)(10.5)

Assim, as equações de evolução para o ângulo, θ , e a velocidade angular, ω , do pêndulosão

θ = ω ω = sinθ

(ω

2b cosθ − g

l

)(10.6)


R

l

mg

F

Fc

θ tangente

Figura 10.3: Pêndulo simples com a base em rotação no plano horizontal e diagrama deforças externas.

O lado esquerdo da figura 10.4 mostra o retrato de fase correspondente a essas equações,no caso em que a velocidade angular da base, ωb, for menor que

√g/l. Existem dois

pontos de equilíbrio, em θ = 0 e θ =±π; o primeiro ponto é um centro, e o segundo pontoé um ponto de sela.

-10

-5

0

5

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

ω

θ

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

ω

θ

Figura 10.4: Retrato de fase dum pêndulo com l = 0.5 m, quando a velocidade angularωb da base é igual a 2 s−1 (lado esquerdo) e 10 s−1 (lado direito).

O lado direito da figura 10.4 mostra o retrato de fase quando a velocidade angular da base,ωb, for maior que

√g/l. O ponto de equilíbrio em θ = 0 torna-se instável, passando a

ser um ponto de sela com dois ciclos homoclínicos. Dentro de cada ciclo homoclínico háum novo centro. O sistema poderá oscilar em forma repetitiva à volta de algum dos doiscentros.

Diz-se que o sistema sofre uma bifurcação em ωb =√

g/l. Imagine que a base do pênduloestivesse inicialmente em repouso, e o pêndulo na posição de equilíbrio estável, com θ = 0e ω = 0. Se a base começar a rodar com aceleração angular positiva, chegará um instante

10.4 Sistemas caóticos 165

em que o estado do pêndulo se torna instável, e qualquer pequena perturbação faz com queo pêndulo suba abruptamente para uma das duas novas posições de equilíbrio estável.

Como normalmente existe alguma incerteza experimental associada às medições de θ = 0e ω = 0, isso implicará a impossibilidade de prever para qual dos dois novos pontos deequilíbrio irá subir o pêndulo, quando ωb atingir o valor que produz bifurcação.

Outro exemplo físico simples com bifurcação, já estudado por Euler no século XVIII, éuma barra flexível, por exemplo uma régua plástica apoiada numa mesa, e com uma forçaexterna F que faz com que permaneça na posição vertical. Se F não ultrapassar um valorcrítico Fc, a régua permanecerá directa e em equilíbrio. Se a força F ultrapassar o valorcrítico Fc, a régua encurva-se, até ficar numa nova posição de equilíbrio em que o centroda régua está afastado uma distância ∆x da vertical. Acontece que o desvío da barra podeser para a direita ou para a esquerda da vertical. Nomeadamente, existem dois pontos deequilíbrio com ∆x positiva ou negativa.

Em função de F , o ponto de equilíbrio ∆x = 0, para F < Fc, separa-se em dois pontosde equilíbrio, ∆x > 0 e ∆x < 0, para F > Fc. Trata-se de uma bifurcação: em ∆x = 0ainda existe uma posição de equilíbrio, mas é bastante instável. Aparecem duas novasposições de equilíbrio com ∆x positivo e negativo. Com uma régua que seja bastante rectae simétrica em relação às deformações para os dois lados, será difícil prever para qual dosdois lados irá inclinar-se, quando F aumentar por cima do limiar de bifurcação.

10.4 Sistemas caóticos

Num sistema contínuo de segunda ordem, o teorema de Poincaré-Bendixson garante queas trajectórias que não têm conjuntos limite positivo nem negativo são trajectórias que seaproximam para o infinito nos limites t→ ∞ e t→−∞.

Num sistema contínuo com 3 ou mais variáveis de estado, já não se verifica o teoremade Poincaré-Bendixson. Assim, podem existir trajectórias que nunca saem de uma regiãofinita do espaço de fase, mas que não têm conjuntos limite positivo nem negativo. Paraqualquer valor de t, positivo ou negativo, a trajectória nunca passa novamente por umponto do espaço de fase por onde passa num instante t1 (se o fizer, entrava num ciclo eteria um conjunto limite). O sistema evolui para um número infinito de estados diferentes,sem sair duma região finita do espaço de fase; nomeadamente, as variáveis de estado nuncachegam a crescer indefinidamente. Esse tipo de comportamento é designado de caos.

Quando o conjunto limite positivo de várias trajectórias for o mesmo, esse conjuntolimite designa-se atractor. As trajectórias caóticas não têm nenhum conjunto limite,mas costumam aparecer na proximidade de um conjunto de pontos de equilíbrio (ouciclo) atractivos e repulsivos, designados atractor estranho. A conjugação de atracção erepulsão dá origem ao comportamento caótico.


10.4.1 Bola elástica sobre uma mesa oscilatória

Um sistema mecânico simples em que aparecem trajectórias caóticas é uma bola quecai para uma mesa horizontal, perde uma percentagem da sua energia quando chocacom a mesa, e após a colisão é projectada para cima. Se a mesa estiver estática, a bolaacabará por ficar em repouso sobre a mesa, após alguns saltos. Se a mesa tiver ummovimento oscilatório, a bola pode ganhar energia se colidir com a mesa quando estaestá a deslocar-se para cima. Se a oscilação da mesa for suficientemente rápida e comamplitude suficientemente grande a trajectória da bola poderá ser caótica.

Este sistema já foi estudado no capítulo 2, no caso em que a mesa estiver estática. Nessecaso, em cada impacto com a mesa a velocidade da bola mudava de sentido e era multipli-cada pelo coeficiente de restituição, α , menor que 1. Com a mesa em movimento, se vo evm forem as componentes verticais da velocidade da bola e da mesa, no instante da colisão,e v f for componente da velocidade da bola imediatamente após a colisão, verifica-se aequação

v f − vm =−α(vo− vm) (10.7)

nomeadamente, a velocidade da bola, relativa à mesa, muda de sentido e diminui numfactor α . Assim, a velocidade da bola após o impacto é

v f = (α +1)vm−α vo (10.8)

Se o movimento da mesa for harmónico simples, escolhendo a origem de coordenadas e dotempo em forma apropriada, podemos escrever a altura da superfície da mesa em funçãodo tempo

ym = β sin(ω t) (10.9)

a derivada de ym dá a velocidade instantânea da mesa

vm = ωβ cos(ω t) (10.10)

O programa 10.1 mostra a simulação do movimento da bola. A condição que indica cadaimpacto da bola com a mesa, é quando a altura das duas for a mesma, e a componentevertical da velocidade da bola for menor que a componente vertical da mesa (bola aaproximar-se da mesa). Devido a que no programa o tempo não aumenta continuamente,mas em intervalos discretos, as duas alturas não chegarão a ser iguais, e usaremos comocondição de impacto que a altura do centro da bola seja menor que a da superfície da mesa.

programa 10.11 from visual import *2 scene.autoscale=0; scene.range=7;3 scene.center=(0,3,0); scene.forward=(0.5,0,-1)4 bola = sphere (pos=(0,5,0), radius=0.4, color=color.red)5 mesa = box (pos=(0,0,0), size=(5,0.5,5), color=color.blue)6 (alfa, beta, omega) = (0.9, 0.28, 8);


7 (g, dt, v, fase) = (-9.8, 0.01, 0, 0)8 while True:9 rate(100)

10 bola.pos.y += v*dt11 ym = beta*sin(fase)12 vm = beta*omega*cos(fase)13 if (v < vm) and (bola.pos.y < (ym + bola.radius)):14 bola.pos.y = ym + bola.radius15 v = (1 + alfa)*vm - alfa*v16 else: v += g*dt17 mesa.pos.y = ym - 0.2518 fase += omega*dt19 if fase > 2*pi: fase -= 2*pi

Se executar esse programa, poderá observar a complexidade do movimento. Embora omesmo movimento complexo seja repetido quando executar o programa novamente, umapequena alteração da altura inicial faz com que o movimento seja completamente diferente.Por exemplo, observe após quantos saltos a bola sai fora da janela gráfica e quantas vezesvolta a saltar fora antes de ficar novamente dentro da janela; a seguir diminua a alturainicial de 5 para 4.9 e repita o mesmo procedimento, comparando os resultados.

Se a mesa estiver em repouso, o programa 2.3 do capítulo 2. Mostra trajectória da bola, quesalta cada vez menos até ficar em repouso sobre a mesa. O lado esquerdo da figura 10.5mostra a trajectória no espaço de fase, que é a união de várias parábolas, cada vez menores,com centro no ponto de equilíbrio y = 0, v = 0; portanto, esse ponto de equilíbrio é umfoco atractivo.

Para desenhar a trajectória no estado de fase, quando a mesa oscila com os parâmetrosusados no programa 10.1, podemos transcrever o programa 10.1 na linguagem do Maxima,guardando a altura e a velocidade da bola em cada instante numa lista, pontos, queusaremos no fim para desenhar o gráfico da trajectória no espaço de fase.

(%i11) [alfa, beta, omega]: [0.9, 0.3, 8]$(%i12) [g, dt, v, fase, y]: [-9.8, 0.01, 0, 0, 5]$(%i13) pontos: [[y, v]]$(%i14) for i thru 7600 do(y: y + v*dt, ym: beta*sin(fase), vm: beta*omega*cos(fase),if (v < vm) and (y < ym)

then (v: (1 + alfa)*vm - alfa*v)else (v: v + g*dt),

fase: fase + omega*dt,pontos: cons([y, v], pontos))$

(%i15) plot2d([discrete,pontos], [xlabel,"y"], [ylabel,"v"])$

O resultado é apresentado no lado direito da figura 10.5; são apresentadas apenas duasdas 3 variáveis de estado, a altura da bola e a velocidade, pois o tempo também é umavariável de estado neste caso (o sistema não é autónomo). Consequentemente, a trajectória


-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5

v

y

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 0 2 4 6 8 10 12

v

y

Figura 10.5: Trajectórias da bola elástica em queda livre sobre a mesa. No lado esquerdo,quando a mesa está em repouso, e no lado direito quando a mesa oscila.

da figura 10.5 não há chega a cruzar-se com si própria, porque os diferentes pontos datrajectória têm todos valores diferentes da terceira variável de estado.

As diferentes parábolas no lado direito da figura 10.5 não surgem em forma ordenada, demaior para menor ou de menor para maior, mas de forma bastante irregular. O ponto deequilíbrio em y = 0, v = 0 desaparece e é substituído por um ciclo, que corresponde àsituação em que a bola estivesse em repouso em relação à mesa, oscilando com o mesmomovimento oscilatório; esse ciclo é um atractor estranho.

Podemos também desenhar um gráfico que mostre a posição y e velocidade v da bola emcada instante que choque com a mesa. Vamos definir um pequeno programa no Maxima,que crie uma lista com esses pontos:(%i16) discreto(y0,dt,n) :=block([pontos:[],v:0,y:y0,fase:0,g:-9.8,

alfa:0.9,beta:0.28,omega:8,vm,ym],for i thru n do

(y:y + v*dt, ym:beta*sin(fase), vm:beta*omega*cos(fase),if (v < vm) and (y < ym)

then (v:(1 + alfa)*vm - alfa*v,pontos:cons([ym,v],pontos))else (v: v + g*dt),

fase: fase + omega*dt,if fase>2*%pi then fase:fase-2*%pi),

pontos)$

As variáveis de entrada para esse programa serão a altura inicial da bola, o valor dosincrementos de tempo, ∆t, e o número de iterações (o número de pontos obtidos será muitomenor). Assim, podemos experimentar diferentes números de iterações, até obtermos umnúmero suficientemente elevado de pontos que permitam visualizar o comportamento dográfico. Por exemplo, a figura 10.6 foi obtida com os comandos seguintes:(%i17) pontos: discreto(5,0.01,2000000)$(%i18) plot2d([discrete,pontos],[xlabel,"y"],[ylabel,"v"],

[style,[points,1.2]])$


-5

0

5

10

15

20

25

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

v

y

Figura 10.6: Altura e velocidade da bola nos instantes em que choca com a mesa oscilató-ria.

A ordem em que aparecem os pontos no gráfico 10.6 é bastante aleatória, mas com muitospontos começa a ser visível um padrão elíptico repetitivo. Esses padrões elípticos sãoréplicas da trajectória oscilatória da mesa no espaço de fase, deslocada para diferentesvalores da velocidade.

O sistema obtido pela sequência de alturas yi e velocidades vi em cada impacto com amesa, constitui um sistema dinâmico discreto de segunda ordem. Neste caso trata-se deum sistema discreto caótico. A diferença dos sistemas contínuos, onde o comportamentocaótico aparece unicamente em sistemas de ordem 3 ou superior, os sistemas dinâmicosdiscretos podem ser caóticos, independentemente da sua ordem.

10.4.2 Equações de Lorenz

No sistema estudado na secção anterior, a trajectória caótica permanece numa região finitado plano y−v, mas a terceira variável de fase, o tempo, está sempre a aumentar e, portanto,não permanece numa região finita. Vamos ver outro sistema caótico no qual todas asvariáveis aumentam e diminuem sem sair duma região finita do espaço de fase. Trata-se dosistema de Lorenz.

Em 1963, o meteorologista Edward N. Lorenz apresentou um modelo meteorológico paraas correntes de convecção do ar em planos verticais, produzidas por aquecimento na arestainferior dos planos. As três equações diferenciais do sistema são as seguintes:

x = σ (y− x) (10.11)y = r x− y− xz (10.12)z = xy−bz (10.13)

onde x representa a amplitude das correntes de convecção, y é a diferença de temperaturas


entre as correntes ascendente e descendente, e z representa o desvio da temperatura normalno plano. Os três parâmetros σ , r e b são positivos e dependem das propriedades físicasdo fluxo de ar.

Algumas propriedades deste sistema são:

• Existe simetria em relação à transformação (x,y,z)−→ (−x,−y,z)

• O eixo z é invariante; nomeadamente, se o estado em algum instante estiver no eixoz, continuará a evoluir nesse eixo.

• Se o parâmetro r (número de Rayleigh) estiver dentro do intervalo 0 < r < 1, o únicoponto de equilíbrio é a origem, que é ponto de equilíbrio estável.

• Existe uma bifurcação do ponto de equilíbrio na origem, quando r = 1. Para valoresr superiores a 1, a origem torna-se ponto de equilíbrio instável, e aparecem outrosdois pontos de equilíbrio, com os mesmo valor de z, mas com valores simétricos dex e y.

• Se r estiver compreendido entre 1 e o valor crítico:

rc =σ (σ +b+3)

σ −b−1(10.14)

os dois novos pontos de equilíbrio são estáveis e a origem é instável. Para valores der superiores ao valor crítico, os 3 pontos de equilíbrio são instáveis, e constituemum atractor estranho.

Usaremos alguns valores típicos de σ (número de Prandtl) e de b: 10 e 8/3(%i19) eq1: 10*(y-x)$(%i20) eq2: r*x-y-x*z$(%i21) eq3: x*y-8*z/3$

Com esses parâmetros, o valor crítico de r é aproximadamente 24.737. Usaremos r = 28,que produz um sistema caótico:(%i22) eqs: [eq1,ev(eq2,r=28),eq3]$(%i23) vars: [x,y,z]$

Vamos agora obter a trajectória com valores iniciais x = y = z = 5, desde t = 0 até t = 20.Convém conferir que a solução numérica tenha um erro numérico aceitável; isso consgue-sereduzindo sucessivamente o valor de ∆t, até obter resultados semelhantes:(%i24) sol: rk(eqs,vars,[5,5,5],[t,0,20,0.005])$(%i25) last(sol);(%o25) [20.0, - 9.828387295467534, - 15.51963080051572,

19.70704291529228](%i26) sol: rk(eqs,vars,[5,5,5],[t,0,20,0.001])$(%i27) last(sol);(%o27) [20.0, - 9.982849006433105, - 16.02444930921706,

19.29327680164279](%i28) sol: rk(eqs,vars,[5,5,5],[t,0,20,0.0005])$


(%i29) last(sol);(%o29) [20.0, - 9.983218904894246, - 16.03358993202447,

19.27538762480826]

t

x

10 20

20

−20

Figura 10.7: Oscilações do sistema de Lorenz para dois valores muito próximos do valorinicial: x(0) = 5 (vermelho) e x(0) = 5.005 (azul). Parâmetros: σ = 10, b = 8/3, r = 28,y(0) = 5, z(0) = 5.

A lista sol pode ser usada para obter vários gráficos diferentes. Por exemplo, a figura 10.7mostra (a vermelho) a solução obtida para x em função do tempo. O valor de x oscila emforma complicada, sem repetir o mesmo padrão de oscilações.

Se fizermos o mesmo cálculo, mudando ligeiramente o valor inicial de x para 5.005,mantendo os mesmos valores iniciais de y e z, obtém-se a solução apresentada em azulna figura 10.7. As duas soluções parecem idênticas até t = 10, mas a partir desse tempocomeçam a diferir drasticamente.

Um gráfico das coordenadas z e x da solução obtida numericamente mostra que o estadodo sistema oscila algumas vezes à volta de um dos pontos de equilíbrio fora da origem,saltando repentinamente para o outro ponto de equilíbrio fora da origem (ver figura 10.8).Nesse ponto são realizadas outro número de oscilações antes de regressar para o outroponto. O número de oscilações perto de cada ponto, antes de passar para o próximo, nãoparece seguir nenhuma ordem simples.


Figura 10.8: Solução caótica do sistema de Lorenz, projectada no plano xz. Os parâmetrossão os mesmos da figura 10.7, com x(0) = 5.

Perguntas

1. Se a curva de evolução de um sistemadinâmico, no espaço de fase, passa duasvezes pelo mesmo ponto P, o qué é quepodemos concluir?

A. o ponto P é um ponto de equilíbrio.B. o sistema é caótico.C. o sistema tem mais do que duas variá-

veis de estado.D. o sistema tem duas variáveis de es-

tado.E. a curva é um ciclo.

2. Qual das seguintes não é uma proprie-dade dos sistemas caóticos?

A. sistema não linear.B. 3 ou mais variáveis de estado.C. existência de atractores estranhos.D. soluções não periódicas.E. inexistência de pontos de sela.

3. No sistema representado na figura, qual éo conjunto limite negativo da trajectóriaque passa pelo ponto (0, 0.5)?

10-1

1

-1

A. (0, -0.5)B. (1, 0)C. (0, 0)

D. (-1, 0)E. não existe


4. Para resolver numericamente um sistemacaótico, é preciso usar uma maior preci-são do que para um sistema não caótico.Isso é devido a que um sistema caótico:

A. não tem curvas de evolução periódi-cas.

B. tem mais do que duas variáveis deestado.

C. é muito sensível às condições iniciais.D. produz fractais.E. tem soluções que crescem muito rapi-

damente.

5. Em que condições poderá um sistema deduas espécies tornar-se caótico?

A. só se for sistema presa-predador.B. só se existir competição entre as es-

pécies.C. só se existir ajuda mútua entre espé-

cies.D. só se o sistema não for autónomo.E. nunca.

Problemas

1. Em cada caso, encontre os conjuntos limite positivo e negativo das trajectórias quepassam pelos pontos (0, 0) e (1, 1), usando técnicas analíticas ou gráficas:

a) x = x, y = x2 + y2−1.b) x = y, y =−x

2. Demonstre que o sistema

x = 2x− y+36x3−15y2 y = x+2y+ x2y+ y5

não tem ciclos, nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.

3. A forma geral do sistema de Rössler depende de 3 parâmetros positivos a, b e c:

x =−y− z y = x+ cy z = a+(x−b)z

O objectivo deste problema é investigar a solução do sistema para diferentes valores dec, com a e b fixos. Em cada caso deverá usar o programa rk várias vezes: a primeiravez para deixar evoluir o sistema um tempo suficientemente grande, para que o pontofinal seja parte do conjunto limite positivo (ou perto dele). As outras vezes que executaro programa rk, usará como valores iniciais os valores finais da primeira execução.Use em todos os casos a = 2, b = 4, e valores iniciais para a primeira instância de rk:x = y = z = 2.

a) Para c = 0.3, use o programa rk para obter a solução no intervalo entre t = 0 et = 80, com ∆t = 0.01. Execute novamente o programa rk, usando como valoresiniciais os valores finais da execução anterior, mas com t entre 0 e 5. Desenhe ográfico de y vs x. Execute repetidamente o programa rk, aumentado gradualmenteo valor final de t, até conseguir que o gráfico forme uma trajectória fechada. Qualé o valor final de t que produz a trajectória fechada?


b) Repita o procedimento da alínea anterior, para c = 0.35. Diga qual é o valor finalde t que faz com que a trajectória seja fechada.

c) Repita o mesmo procedimento, para c = 0.375, e encontre o valor final de t queproduz a trajectória fechada.

d) Em c = 0.398, o sistema torna-se caótico. A trajectória já não chega a ser nuncafechada para nenhum valor de t. Repita o procedimento das alíneas anteriores,mas na segunda parte desenhe unicamente o gráfico para t entre 0 e 250.

4. Encontre os pontos de equilíbrio do sistema de Lorenz com os seguintes parâmetros:

x = 10(y− x) y = 28x− y− zx z = xy− 83

z

e demonstre que o valor de r = 28 é superior ao valor necessário para que o sistemaseja caótico.

A Python e VPython

O Python é uma linguagem de programação que tem ganho muita popularidade no ensinoe na investigação, por ser fácil de aprender e devido à sua facilidade de extensão que fazcom que existam muitos módulos disponíveis.

Um desses módulos que usaremos nesta disciplina é o VPython, que inclui classes paracriar vários tipos de formas geométricas em três dimensões, que podem ser colocadas emmovimento facilmente. VPython usa a livraria gráfica OpenGL.

Python, VPython e OpenGL são software livre, que podem ser instalados e utilizados em to-dos os principais sistemas operativos. Na página Web do VPython (http://www.vpython.org/)pode ser descarregado um pacote que inclui o VPython, o Python e uma interface gráficapara o Python: Idle. Em algumas distribuições do sistema GNU/Linux os programasPython, VPython e Idle já estão incluídos em pacotes separados.

A.1 Idle

A interface Idle pode ser lançada desde um menu ou usando o comando “idle” numaconsola. Quando o programa Idle arranca, é criada uma janela Python Shell (figura A.1),onde podem ser escritos comandos do Python em forma interactiva. Os três caracteres »>indicam o ponto na janela onde deverá ser inserido o próximo comando.

O menu “File” permite abrir um programa já escrito, em outra janela, e executá-lo. Ajanela Python Shell continuará aberta e nela serão apresentadas as mensagens de erro etudo o que seja enviado pelo programa para a saída padrão.

A.2 O Python como calculadora

Uma primeira aplicação do Python é como calculadora para fazer algumas contas. Porexemplo, se quisermos calcular o tempo que demora a luz do Sol a chegar até à Terra,fazemos uma pesquisa na Internet para encontrar o valor da distância entre a Terra e o Sol,que é de 1.496×1011 m e a velocidade da luz que é 3.0×108 m/s. Assim, o tempo emsegundos será:

1.496×1011

3.0×108

Essa conta é feita na Shell do Python assim:

http://www.vpython.org/

176 Python e VPython

Figura A.1: A interface do programa Idle.

>>> 1.146e11/3e8382.0

O resultado 382.0 aparece (em azul) quando se carrega na tecla “Enter”. Se quisermossaber esse tempo em minutos, teremos que dividir por 60; para não termos que escre-ver o resultado novamente, podemos recuperar a nossa primeira entrada “1.146e11/3e8”carregando nas teclas “Alt” e “p” em simultâneo e a seguir dividimos por 60:>>> 1.146e11/3e8/606.3666666666666663

Também podemos usar variáveis para guardar resultados intermédios:>>> tsegundos = 1.146e11/3e8>>> tminutos = tsegundos/60>>>

o valor que é guardado na variável não é apresentado, mas podemos vê-lo dando o nomeda variável:

>>> tminutos6.3666666666666663

As funções matemáticas habituais (logaritmo, seno, etc) não estão definidas previamente,mas podem ser incorporadas importando o módulo de funções matemáticas. Uma formade importar todas as funções e símbolos existentes num módulo, neste caso o módulo comnome math, é a seguinte:>>> from math import *

A.3 Blocos iterativos e condicionais 177

observe que quando terminamos de escrever uma palavra chave do Python, como from eimport, o idle identifica essas palavras com a cor laranja. Essa é uma valiosa ajuda paradetectar erros de sintaxe e para evitar tentar usar uma dessas palavras chave como nome devariável que daria um erro.

Uma vez importado o módulo matemático math, teremos disponíveis dois símbolospredefinidos, o valor de π e a constante de Euler, e as 12 funções apresentadas na tabela A.1.

Símbolo ou função Descrição

pi Número π

e Número de Eulerfabs(x) Valor absoluto de xsqrt(x) Raiz quadrada de xlog(x) Logaritmo natural de xexp(x) Função exponencial de xlog10(x) Logaritmo em base 10 de xsin(x) Seno de x (x em radianos)cos(x) Co-seno de x (x em radianos)tan(x) Tangente de x (x em radianos)asin(x) Seno inverso de x (em radianos)acos(x) Co-seno inverso de x (em radianos)atan(x) Tangente inversa de x (em radianos)floor(x) Elimina as casas decimais de x, dando um inteiro

Tabela A.1: Símbolos e funções no módulo math.

Por exemplo, se quisermos calcular o volume, em metros cúbicos, de uma gota de águacom raio r = 2 mm, usamos a expressão do volume da esfera, 4π r3/3:>>> 4*pi*2e-3**3/33.3510321638291127e-08

O operador ** é usado para potências; por exemplo, a função exponencial de x pode serescrita exp(x) ou, em forma equivalente, e**x.

A.3 Blocos iterativos e condicionais

Como em qualquer linguagem de programação, o Python inclui vários tipos de blocositerativos e condicionais. Uma característica peculiar do Python, diferente de outraslinguagens de programação, é que não são usados comandos especiais para indicar o fimde uma linha ou de um bloco. Para indicar quais os comandos que fazem parte de umbloco é preciso que esse bloco seja indentado em forma consistente: Todos os comandosque pertencem a um bloco deverão ter a mesma indentação, e um bloco interno deverá ter


maior indentação. Para indentar as linhas pode usar-se espaço ou caracteres TAB, masconvém usar apenas um ou o outro consistentemente.

O Idle ajuda na tarefa de indentar as linhas. Por exemplo, se quisermos escrever no ecrãuma lista com os cubos dos primeiros 5 números naturais, basta escrevermos duas linhasde código:>>> for i in [1, 2, 3, 4, 5]:

i**3

182764125

o símbolo chave são os dois pontos; após escrevermos os dois pontos e clicarmos em“enter”, Idle já não colocou o símbolo »> no início da linha, porque está a espera quecompletemos o bloco. A indentação da segunda linha foi feita automaticamente pelo Idle.Quando terminámos de escrever a segunda linha, foi preciso clicar duas vezes seguidas em“enter” para que o ciclo seja finalizado e executado.

Se agora quisermos escrever unicamente os números naturais com cubos que comecempelo algarismo 2, considerando apenas os primeiros 29 números naturais, usaremos umbloco condicional if para decidir quais são os cubos com o primeiro algarismo igual a 2:>>> for n in range(1, 30):

cubo = n**3ordem = floor(log10(cubo))if floor(cubo/10**ordem) == 2:

print n, "ao cubo é", cubo

3 ao cubo é 276 ao cubo é 21613 ao cubo é 219714 ao cubo é 274428 ao cubo é 2195229 ao cubo é 24389

Neste caso, em vez de escrevermos por extenso a lista dos 29 primeiros números naturais,usamos uma função standard do Python, range, que produz essa lista. Repare que Idleidentifica as funções standard a roxo, mas as funções definidas por módulos adicionais,como floor, não são identificadas.

Usámos também o comando print para imprimir variáveis e texto (colorido a verde peloIdle) no ecrã.

Outros operadores para comparar números são <, >, <=, >= e != (diferente). Um bloco if

A.4 Funções 179

pode ter um sub-bloco else, que pode incluir outro bloco if, usando o comando elif. Porexemplo:>>> n = 2>>> if 0 < n < 3:

print "entre 0 e 3"elif n >= 3:

print "maior ou igual a 3"else:

print "menor ou igual a zero"

entre 0 e 3

A.4 Funções

Para definir funções, por exemplo a função floor definida pelo módulo math, escreve-seo procedimento dentro de um bloco que começa com a palavra chave def, seguida pelonome da função e a lista de variáveis de entrada, entre parêntesis.

Por exemplo, para definir uma função rad que converta um ângulo em graus para radianos,podemos usar:>>> def rad(x):

return pi*x/180

a seguir, já podemos calcular funções trigonométricas de ângulos em graus. Por exemplo,o seno de 30◦:>>> sin(rad(30))0.49999999999999994

Uma função em Python pode chamar a própria função em forma recursiva.

A.5 Módulos

Um programa ou módulo pode ser escrito interactivamente na Shell, ou pode ser copiadopara um ficheiro e depois executado. A opção “New Window” no menu “File” do Idlepermite abrir outra janela de um editor de texto onde é possível escrever um programa egravá-lo num ficheiro.

O módulo pode conter apenas definições de funções e variáveis, como no caso do módulomath. Nesse caso, para usar essas funções e variáveis em outros módulos ou na shell, épreciso importar o módulo.

O módulo pode ser também um programa que pede alguns valores de entrada através daentrada padrão, realiza alguma acção e imprime alguns resultados na saída padrão.


Para obter valores de entrada em forma iterativa, usa-se a função input. Por exemplo,>>> n = input("Indique o valor de n: ")Indique o valor de n: 7

Se o programa não for auto-executável, pode ser carregado com a opção “Open” no menu“File” do Idle e a seguir executado com a opção “Run Module” no menu “Run”.

Não vamos aprofundar mais na sintaxe do Python; existe muita documentação disponívelna Web. O sítio http://www.vpython.org é uma boa referência para encontrar manuais,tutoriais, livros e módulos adicionais.

Problemas

1. A série de Taylor da função exponencial é:

ex =∞

∑n=0

xn

n!

calcule a soma dos 5 primeiros termos na série para os valores de x: 1, 0.1, 0.01 e 0.001e em cada caso calcule o erro percentual em relação ao resultado exacto.

2. Defina uma função fib(n) em Python para calcular qualquer número na sequênciade Fibonacci, fn = 1,1,2,3,5,8, . . ., definida, para (n = 0,1,2,3, . . .), por:

f0 = 1 f1 = 1 fn = fn−1 + fn−2

Calcule a relação fn+1/ fn para alguns valores crescentes de n, e mostre que a relaçãoaproxima-se do limite (1+

√5)/2. O número ϕ = (1+

√5)/2 é designado de proporção

áurea.

http://www.vpython.org

B Tutorial do Maxima

Maxima (http://maxima.sourceforge.net) é um dos sistemas de álgebra computacional(CAS) mais antigos. Foi criado pelo grupo MAC no MIT, na década de 1960, e inicialmentechamava-se Macsyma (project MAC’s SYmbolic MAnipulator). Macsyma foi desenvolvidooriginalmente para os computadores de grande escala DEC-PDP-10 que eram usados emvárias instituições académicas

Na década de 1980 foi portado para várias novas plataformas, e uma das novas versõesfoi designada de Maxima. Em 1982 o MIT decidiu comercializar Macsyma e, simultanea-mente, o professor William Schelter da Universidade de Texas continuou a desenvolver oMaxima. Na segunda metade da década de 1980 apareceram outros sistemas CAS proprie-tários, por exemplo, Maple e Mathematica, baseados no Macsyma. Em 1998 o professorSchelter obteve autorização do DOE (Department of Energy), que tinha os direitos de autorsobre a versão original do Macsyma, para distribuir livremente o código fonte do Maxima.Após a morte do professor Schelter em 2001, formou-se um grupo de voluntários quecontinuam a desenvolver e distribuir o Maxima como software livre.

No caso dos sistemas CAS, as vantagens do software livre são bastante importantes.Quando um método falha ou dá respostas muito complicadas é bastante útil ter acesso aospormenores da implementação subjacente ao sistema. Por outra parte, no momento em quecomeçarmos a depender dos resultados dum sistema CAS, é desejável que a documentaçãodos métodos envolvidos esteja disponível e que não existam impedimentos legais que nosproíbam tentar descobrir ou modificar esses métodos.

Este tutorial foi escrito para a versão 5.14 do Maxima. No entanto, a maior parte doscomandos deverão funcionar em outras versões diferentes.

B.1 A interface do Maxima

Existem várias interfaces diferentes para trabalhar com o Maxima. Pode ser executadodesde uma “consola”, ou pode ser usada algumas das interfaces gráficas como: wxmaxima,texmacs ou xmaxima. A figura B.1, mostra o aspecto da interface Xmaxima, que é ainterface gráfica desenvolvida originalmente pelo professor William Schelter.

http://maxima.sourceforge.net

182 Tutorial do Maxima

Figura B.1: A interface gráfica Xmaxima.

B.2 Entrada e saída de dados

Quando se inicia uma sessão do Maxima, aparece um símbolo (%i1). Ao lado dessesímbolo deverá ser escrito um comando válido, terminado pelo sinal de ponto e vírgula.Carregando na tecla de fim de linha, o comando que foi escrito ficará gravado numavariável %i1 e o resultado será gravado numa outra variável %o1 e apresentado no ecrã.A seguir aparecerá o símbolo (%i2), que permite dar um segundo comando, e assimsucessivamente. Comecemos por fazer umas contas simples:

(%i1) 2.5*3.1;(%o1) 7.75(%i2) 5.2*log(2);(%o2) 5.2 log(2)

No segundo resultado, o logaritmo natural de 2 não foi calculado, porque o resultado é umnúmero irracional que não pode ser representado em forma numérica exacta. Se quisermosobter uma representação numérica aproximada do logaritmo de 2, podíamos escrevê-locomo log(2.0); também podemos obter uma representação numérica aproximada doresultado %o2, usando o comando ev que quer dizer avaliar:

B.3 Variáveis 183

(%i3) ev(%o2, numer);(%o3) 3.604365338911716

O formato numer corresponde à representação de ponto flutuante com 16 algarismos.O formato bfloat (big float) permite usar uma precisão numérica mais elevada, quepode ser controlada com a variável fpprec (floating point precision). Por omissão, essavariável é igual a 16; se, por exemplo, quisermos aproximar numericamente o resultado%o2 com uma precisão de 40 algarismos significativos, usamos o comando:

(%i4) ev(%o2, fpprec: 40, bfloat);(%o4) 3.604365338911715608969607031582518153993b0

O valor de 40 para a variável fpprec só tem efeito dentro do bloco “ev” onde foi usado;por fora do bloco, fpprec continua com o seu valor habitual de 16. A letra b no fim doresultado %o4 indica que se trata de um número no formato de ponto flutuante de grandeprecisão. O número a seguir à letra é o expoente; nomeadamente, neste caso em que oexpoente é zero, o número deverá ser multiplicado por 100 = 1. O resultado %o4 tambémpodia ser obtido se tivéssemos escrito a entrada %i2 na forma 5.2*log(2b0).

O comando “ev” pode ser escrito numa forma abreviada, quando não estiver dentro deoutras funções, omitindo a função ev e os parêntesis. Assim, o comando %i4 poderia tersido escrito em forma abreviada:

(%i5) %o2, fpprec: 40, bfloat;

B.3 Variáveis

Para dar um valor a uma variável usa-se “:” e não “=”, que será utilizado para definirequações matemáticas. Por exemplo, se quisermos guardar a soma dos resultados %o1 e%o3 numa variável res,

(%i6) res: %o1 + %o3;(%o6) 11.35436533891172

O nome das variáveis poderá ser qualquer combinação de letras, números e os símbolos% e _. O primeiro caracter no nome da variável não pode ser um número. Maxima fazdistinção entre maiúsculas e minúsculas. Alguns exemplos:

(%i7) x1 : 2;(%o7) 2(%i8) area : 5$(%i9) %d_23 : 8;(%o9) 8(%i10) a%2 : (x1 : x1 + 2, x1*x1);(%o10) 16

Na entrada %i8 usámos $ em vez de ponto e vírgula para terminar o comando. O sinal $no fim faz com que o comando seja executado, e o resultado gravado na variável %o8, mas


sem que o resultado seja apresentado no ecrã. Vários comandos podem ser executadossequencialmente, colocando-os separados por vírgulas e entre parêntesis; isso foi feitoacima na entrada %i10; o resultado do último comando é armazenado na variável a%2;o primeiro comando na sequência incrementa o valor de x1 em 2, ficando a variável x1com o valor de 4, e finalmente calcula-se o quadrado de x1, que fica gravado em a%2.

Alguns nomes de variáveis não podem ser usados por estarem reservados. Já vimos quenomes como %i3 ou %o6, estão reservados para referir os comandos inseridos numasessão, e os resultados obtidos. Uma variável também não pode ter o mesmo nome dealgum comando do Maxima; por exemplo for, while e sum.

Uma variável pode conter também uma lista de valores, que são colocados entre parêntesisrectos, separados por vírgulas. Por exemplo, para criar uma lista com os quadrados dos 5primeiros números inteiros:(%i11) quadrados: [1, 4, 9, 16, 25]$

Os elementos da lista são contados a começar por 1; por exemplo, o terceiro elemento dalista anterior é obtido assim:(%i12) quadrados[3];(%o12) 9

B.4 Constantes

Existem algumas constantes importantes já predefinidas em Maxima. Os seus nomescomeçam sempre por %. Três constantes importantes são o número π , representado por%pi, o número de Euler, e, base dos logaritmos naturais, representado por %e, e o númeroimaginário i =

√−1, representado por %i.

Tanto %pi como %e são números irracionais, que não podem ser representados em formanumérica exacta, mas podemos obter uma aproximação numérica com o número de casasdecimais desejadas; por exemplo:

(%i13) %pi, fpprec:50, bfloat;(%o13) 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751b0(%i14) %e, numer;(%o14) 2.718281828459045

O número %i é útil para trabalhar com números complexos. Por exemplo:

(%i15) (3 + %i*4) * (2 + %i*5);(%o15) (4 %i + 3) (5 %i + 2)

Para que o resultado anterior seja apresentado como um número complexo, com parte reale parte imaginária, usa-se o comando rectform:

(%i16) %, rectform;(%o16) 23 %i - 14

B.5 Expressões e equações 185

O operador % que dizer “o último resultado” no comando acima, é equivalente à variável%o15.

B.5 Expressões e equações

Uma expressão pode conter operações matemáticas com variáveis indefinidas. Por exem-plo:(%i17) 3*x^2 + 2*cos(t)$

Essas expressões podem ser depois usadas para produzir outras expressões. Por exemplo:(%i18) %o17^2 + x^3;

2 2 3(%o18) (3 x + 2 cos(t)) + x

Para dar valores às variáveis nessa expressão usa-se a seguinte sintaxe:(%i19) %, x=0.5, t=1.3;(%o19) 1.776218979135868

O sinal de igualdade é usado para definir equações matemáticas; por exemplo:

(%i20) 3*x^3 + 5*x^2 = x - 6;3 2

(%o20) 3 x + 5 x = x - 6

Para encontrar as raízes de um polinómio pode ser usado o comando allroots; porexemplo:(%i21) allroots(%o20);(%o21) [x = 0.90725099344225 %i + 0.27758381341005,

x = 0.27758381341005 - 0.90725099344225 %i,x = -2.221834293486762]

Há duas soluções complexas e uma real. As três equações entre parêntesis rectos em %o21fazem parte duma lista com 3 elementos. Por exemplo, o terceiro elemento nessa lista é:(%i22) %o21[3];(%o22) x = - 2.221834293486762

A variável x continua indefinida, já que o sinal de igualdade não é usado aqui para atribuirvalores numéricos às variáveis. Os resultados em %o21 são aproximados e não exactos.As raízes podem ser calculadas em forma algébrica exacta, em alguns casos, usando ocomando solve que também resolve outros tipos de equações diferentes de polinómios,em forma algébrica exacta. Por exemplo, para encontrar as raízes do polinómio acima como comando solve:

(%i23) solve(%o20, x)$(%i24) %,rectform$(%i25) %,numer;(%o25) [x = 0.90725099344225 %i + 0.27758381341005,


x = - 2.221834293486761,x = 0.27758381341005 - 0.90725099344225 %i]

O resultado do comando solve não foi apresentado no ecrã, porque envolve várias linhasde expressões algébricas. O resultado foi convertido na forma complexa com partes real eimaginária separadas e finalmente foi escrito em forma numérica aproximada.

Para resolver um sistema de equações, que podem ser lineares ou não-lineares, o primeiroargumento para o comando solve deverá ser uma lista com as equações, e o segundouma lista com as variáveis; as equações podem ser guardadas em variáveis. Por exemplo:

(%i26) malha1: (4 + 8)*I1 - 8* I2 = 6 + 4$(%i27) malha2: (2+ 8 + 5 + 1)*I2 - 8*I1 = -4$(%i28) solve([malha1,malha2],[I1,I2]);

1(%o28) [[I1 = 1, I2 = -]]

4

O sistema anterior também poderia ter sido resolvido mais rapidamente com o comandolinsolve, em vez de solve, por tratar-se de um sistema de equações lineares.

B.6 Gráficos de funções

Para desenhar o gráfico de uma ou várias funções de uma variável, usa-se o comandoplot2d. Por exemplo, para desenhar o gráfico do polinómio 3x3 + 5x2− x + 6, nointervalo de x entre −3 e 1, usa-se o comando:

(%i29) plot2d(3*x^3 + 5*x^2 - x + 6, [x, -3, 1])$

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

3*x^3+

5*x^2-x

+6

x

Figura B.2: Gráfico do polinómio 3x3 +5x2− x+6.

B.6 Gráficos de funções 187

É preciso indicar o domínio de valores de x que vai ser apresentado no gráfico. O resultadoaparece numa nova janela (ver figura B.2). Passando o rato sobre um ponto no gráfico,são apresentadas as coordenadas desse ponto. O gráfico é produzido por um programaexterno, Gnuplot, que é instalado conjuntamente com Maxima. Para gravar o gráfico numficheiro gráfico, usa-se a opção psfile, seguida pelo nome do ficheiro. Por exemplo,para produzir a figura B.2, foi usado o seguinte comando:

(%i30) plot2d(3*x^3+5*x^2 x+6, [x,-3,1], [psfile,"funcao1.ps"])$

O gráfico fica gravado no ficheiro funcao1.ps, em formato PostScript. Os programasgráficos normalmente permitem converter de PostScript para outros formatos gráficos.Quem tiver pdflatex instalado, pode usar o programa epstopdf para converter oficheiro em PDF; por exemplo, usando o comando seguinte numa shell:

epstopdf funcao1.ps funcao1.pdf

Para desenhar várias funções no mesmo gráfico, colocam-se as funções dentro de uma lista.Por exemplo:

(%i31) plot2d([sin(x), cos(x)], [x, -2*%pi, 2*%pi])$

-1

-0.5

0

0.5

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

sin(x)cos(x)

Figura B.3: Gráfico das funções seno e co-seno.

O resultado mostra-se na figura B.3. É possível também fazer um gráfico de um conjuntode pontos em duas coordenadas. As duas coordenadas de cada ponto podem ser indicadascomo uma lista dentro de outra lista com todos os pontos; por exemplo, para desenhar ostrês pontos (1.1, 5), (1.9, 7) e (3.2,9), as coordenadas dos pontos podem ser guardadasnuma lista p:(%i32) p: [[1.1, 5], [1.9, 7], [3.2, 9]]$

Para fazer o gráfico, é preciso dar ao comando plot2d uma lista que comece com apalavra chave “discrete”, seguida pela lista de pontos. Neste caso não é obrigatório indicaro domínio para a variável no eixo horizontal:


(%i33) plot2d([discrete,p])$

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

1 1.5 2 2.5 3 3.5

dis

cre

te d

ata

Figura B.4: Gráfico de um conjunto de 3 pontos.

O gráfico é apresentado na figura B.4. Por omissão, os pontos são ligados entre si porsegmentos de recta; para mostrar apenas os pontos, sem segmentos de recta, usa-se a opçãostyle, com o valor points. Podemos também combinar o gráfico dos pontos com ográfico de uma ou várias outras funções; para o conseguir, é preciso colocar a lista com apalavra chave discrete dentro de outra lista com as outras funções. Devido ao uso defunções, será agora necessário especificar o domínio para a variável no eixo horizontal.Podemos também especificar um domínio no eixo vertical, para uma melhor apresentação,usando a opção “y”:

(%i34) plot2d([[discrete,p], 3+2*x], [x,0,4], [y,0,15],[style, points, lines])$

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y

x

discrete12*x+3

Figura B.5: Gráfico de um conjunto de 3 pontos, conjuntamente com uma recta.

B.6 Gráficos de funções 189

A opção style em %i34 indica que o primeiro conjunto de pontos deverá ser represen-tado por pontos, e a função que vem a seguir será representada com segmentos de recta.O gráfico é apresentado na figura B.5. Existem muitas outras opções para o comandoplot2d que podem ser consultadas na secção plot_options do manual. A opção“y” é especialmente útil para limitar os valores apresentados no eixo vertical, no caso defunções com assimptotas verticais.

Para fazer gráficos de funções de duas variáveis, em 3 dimensões, usa-se o comandoplot3d. Por exemplo, o gráfico da figura B.6 foi produzido com o comando:

(%i35) plot3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 2*%pi]);

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1

2 3

4 5

6 7

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

sin(x)*sin(y)

Figura B.6: Gráfico da função sin(x)sin(y), obtido com Gnuplot.

Existe ainda outro programa gráfico incluído com o Xmaxima, para além de Gnuplot,designado de Openmath. Os gráficos anteriores podem ser produzidos com esse programa,adicionando uma opção para alterar o formato gráfico para Openmath. Por exemplo, ográfico em 3 dimensões que acabamos de desenhar pode ser obtido com o Openmathassim:

(%i36) plot3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 2*%pi],[plot_format,openmath]);

o resultado aparece na figura B.7.

Clicando no botão do rato enquanto se desloca, consegue-se rodar o gráfico para ser vistodesde diferentes pontos de vista. O comando plot3d não admite várias funções emsimultâneo. O primeiro argumento de plot3d deverá ser uma única função, ou umalista de 3 funções, que representam as 3 componentes do vector posição que define umasuperfície em 3 dimensões (gráfico paramétrico).


Figura B.7: Gráfico da função sin(x)sin(y), obtido com Openmath.

B.7 Procedimentos

Para definir procedimentos usa-se o símbolo :=. Alguns exemplos:

(%i37) kill(x)$(%i38) f(x) := 3 + x^2;

2(%o38) f(x) := 3 + x(%i39) f(5);(%o39) 28(%i40) g(x,y,z) := x*y^2 + z;

2(%o40) g(x, y, z) := x y + z(%i41) g(2,3,4);(%o41) 22

O comando kill foi usado para eliminar qualquer valor que tenha sido associado àvariável que usámos a seguir, x, para representar um valor de entrada qualquer. Estesprocedimentos não são funções no sentido matemático; cada procedimento pode ser vistocomo a definição dum novo comando para o Maxima. Já falaremos da representação defunções matemáticas na secção sobre cálculo (secção B.9).

Também é possível definir procedimentos que definem sequências, com valores de entradainteiros. Por exemplo:

B.8 Álgebra e trigonometria 191

(%i42) cubo[n] := n^3;3

(%o42) cubo := nn

(%i43) makelist(cubo[i], i, 1, 8);(%o43) [1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512]

o comando makelist foi usado para criar uma lista com os oito primeiros cubos. Háque ter algum cuidado com os procedimentos que definem sequências, pois os elementosjá calculados ficam guardados na memoria e o procedimento não voltará a ser executadoquando for pedido um elemento da sequência que já foi calculado. Isso é uma vantagem doponto de vista computacional, mas poderá conduzir a erros se não for tido algum cuidado.Por exemplo, se agora redefinirmos cubo

cubo[n] := 4*n^3;

e pedisse-mos o valor de cubo[3] continuará com o valor 27, e não 108, já que quandocriamos a lista dos oito primeiros cubos já foi calculado cubo[3], ficando com o valor27. Se quisermos redefinir uma sequência, será preciso primeiro apagá-la usando kill,assim:

(%i44) kill(cubo)$(%i45) cubo[n] := 4*n^3$(%i46) cubo[3];(%o46) 108

B.8 Álgebra e trigonometria

Maxima facilita a manipulação de expressões algébricas. Por exemplo, vamos expandirum polinómio:

(%i47) (x + 4*x^2*y + 2*y^2)^3;2 2 3

(%o47) (2 y + 4 x y + x)(%i48) expand(%);

6 2 5 4 4 4 6 3(%o48) 8 y + 48 x y + 96 x y + 12 x y + 64 x y

3 3 5 2 2 2 4 3+ 48 x y + 48 x y + 6 x y + 12 x y + x

O comando factor é usado para factorizar polinómios. Outros comandos úteis parasimplificar expressões algébricas são ratsimp e radcan. Será preciso experimentarcada um deles num caso concreto, pois alguns simplificam melhor algumas expressões doque outras.

Para substituir uma expressão algébrica em outra, por exemplo, para substituir x por1/(z−3), no resultado %o48, podemos fazê-lo assim:


(%i49) %, x=1/(z-3);

4 5 2 312 y 48 y 6 y 48 y 1

(%o49) ----- + -------- + -------- + -------- + --------z - 3 2 2 3 3

(z - 3) (z - 3) (z - 3) (z - 3)4 2 3

96 y 12 y 48 y 64 y 6+ -------- + -------- + -------- + -------- + 8 y

4 4 5 6(z - 3) (z - 3) (z - 3) (z - 3)

e para reduzir tudo a um denominador comum usamos a função ratsimp (o resultadoocupa várias linhas e não vamos apresentá-lo)

(%i50) ratsimp(%);

Existem também várias comandos para simplificar expressões com funções trigonométricas.A função trigexpand serve para expandir senos ou co-senos de somas ou diferenças deângulos:

(%i51) trigexpand(sin(u+v)*cos(u)^3);3

(%o51) cos (u) (cos(u) sin(v) + sin(u) cos(v))

trigreduce tenta expandir de forma a que cada termo só tenha uma função seno ouco-seno.(%i52) trigreduce(%);

sin(v + 4 u) + sin(v - 2 u)(%o52) ---------------------------

83 sin(v + 2 u) + 3 sin(v)

+ -------------------------8

O comando trigsimp usa a identidade trigonométrica sin2x+ cos2x = 1 e as relaçõesentre as funções trigonométricas para tentar escrever uma expressão apenas em termos dasfunções seno e co-seno. Por exemplo:(%i53) tan(x)*sec(x)^2 + cos(x)*(1 - sin(x)^2);

2 2(%o53) sec (x) tan(x) + cos(x) (1 - sin (x))(%i54) trigsimp(%);

6sin(x) + cos (x)

(%o54) ----------------3

cos (x)

B.9 Cálculo 193

B.9 Cálculo

A forma mais conveniente de definir funções matemáticas consiste em usar uma variávelcom a expressão que define a função. Por exemplo, a função f (x,y) = x3/y, seria definidaassim:(%i55) f: x^3/y;

3x

(%o55) --y

Para calcular o valor da função para valores dados das variáveis, usaremos a sintaxe:(%i56) f, x=2, y=3;

8(%o56) -

3

Para calcular a derivada de uma função, usa-se o comando diff. O primeiro argumentodeverá ser uma expressão de uma ou mais variáveis, o segundo argumento é a variávelem ordem à que vai ser derivada a função, e um terceiro argumento optativo, que indica aordem da derivação (se não aparecer entender-se-á que se trata de uma derivada de primeiraordem). Alguns exemplos, usando a função f definida acima:

(%i57) diff(x^n, x);n - 1

(%o57) n x(%i58) diff(f, x, 2);

6 x(%o58) ---

y(%i59) diff(f, y, 1, x, 2);

6 x(%o59) - ---

2y

Em %i59 foi calculada a derivada parcial ∂ 3 f /∂y∂ 2x.

Para calcular primitivas, usa-se integrate, com a expressão a integrar, seguida pelavariável de integração. Por exemplo, a primitiva de xn obtém-se assim:

(%i60) integrate(x^n, x);Is n + 1 zero or nonzero?nonzero;

n + 1x

(%o60) ------n + 1


Maxima perguntou se n+1 é nula, isto é, se n é igual a−1. A nossa resposta foi “nonzero”,seguida por ponto e vírgula, que produz o resultado acima, para n diferente de −1.

Um integral definido calcula-se em forma semelhante, incluindo os limites de integração aseguir à variável de integração; por exemplo:

(%i61) integrate(1/(1 + x^ 2), x, 0, 1);%pi

(%o61) ---4

B.10 Equações diferenciais

Em alguns casos, o comando ode2 de Maxima consegue encontrar a solução geral deequações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem. Para aplicar as condiçõesiniciais à solução geral obtida, usa-se o comando ic1, ou ic2, segundo seja um caso deprimeira ou segunda ordem. Para impor condições fronteira usa-se bc2.

Por exemplo, consideremos a equação:

dydx

=9x2 + y−1

4y− x

É conveniente escrever primeiro a equação, antes de usar o comando ode2, para conferirque a equação foi definida em forma correcta:

(%i62) eq1: ’diff(y, x) = (9*x^2 + y - 1)/(4*y - x);2

dy y + 9 x - 1(%o62) -- = ------------

dx 4 y - x

O apóstrofo foi usado para que a derivada fique indicada, sem ser calculada. Agorapodemos proceder a obter a solução geral; o comando ode2 precisa de 3 argumentos: aequação diferencial, o nome da variável dependente e o nome da variável independente:

(%i63) ode2(eq1, y, x);2 3

(%o63) 2 y - x y - 3 x + x = %c(%i64) method;(%o64) exact

onde %c é uma constante arbitrária de integração. Depois de obtermos a solução, pedimoso valor da variável method que indica o método que foi usado para resolver a equação.Neste caso foi resolvida usando o método para equações exactas.

O segundo exemplo que vamos considerar consiste em resolver a equação

d2xdt2 =−3x−5

dxdt

B.11 Guardar informação entre sessões 195

Com condições iniciais, em t = 0:

dxdt

= 0 x = 1

O problema resolve-se assim:

(%i65) eq2: ’diff(x, t, 2) = -3*x -5*’diff(x, t);2

d x dx(%o65) --- = - 5 -- - 3 x

2 dtdt

(%i66) sol2: ode2(eq2, x, t)$(%i67) ic2(sol2, t=0, x=1, diff(x,t)=0);

(sqrt(13) - 5) t----------------

2(5 sqrt(13) + 13) %e

(%o67) x = ------------------------------------26

(- sqrt(13) - 5) t------------------

2(5 sqrt(13) - 13) %e

- --------------------------------------26

B.11 Guardar informação entre sessões

Para guardar o conteúdo de uma sessão em Xmaxima, existe a opção “Save Console to File”no menu “Edit”. Essa opção guarda toda a informação que apareceu no écran, incluindo ossímbolos %i e %o.

Para gravar os comandos executados, numa forma que possa ser aproveitada em sessõesposteriores, usa-se o comando stringout. Vejamos um exemplo1

(%i51) stringout("/home/villate/trig.txt", %i51, %o51)$(%i52) stringout("/home/villate/graficos.txt", [29, 35])$(%i53) stringout("/home/villate/tutorial.txt", input)$

No ficheiro /home/villate/trig.txt fica armazenado o comando da entrada %i51e a resposta %o51. No ficheiro /home/villate/graficos.txt ficam guardados os

1Em Windows será preciso usar algo como C:\\MeusDocumentos\\trig.mac para os nomes dosficheiros (com barras a dobrar).


comandos (%i29, %i30, . . ., %i35). Finalmente, o ficheiro /home/villate/tutorial.txtterá uma cópia de todos os comandos usados neste apêndice. O conteúdo desses ficheirosé texto simples, que pode ser modificado com um editor de texto e executado posterior-mente usando a opção “Batch file”, no menu “File” do Xmaxima, ou com o comandobatch("nome_do_ficheiro").

Perguntas

1. Os comandos do Maxima:

(%i1) solve(x^3-4*x^2+x+6, x);(%o1) [x = 3, x = - 1, x = 2](%i2) 3*x+1, %o1[3];

conduzem ao resultado:

A. (%o2) 7

B. (%o2) 10

C. (%o2) -2

D. (%o2) 5

E. (%o2) 1

2. Todos os comandos na lista produzemum erro em Maxima, excepto um. Qualé o comando correcto?

A. 3 + x^2 = 4 + y/6;

B. a := 3*x+6;

C. y = 2x + z^2;

D. x^2 : 4 + y/6;

E. x[n+1] := x[n] + 2;

3. Diga qual dos comandos na lista que sesegue pode ser usado no Maxima para en-

contrar a solução das equações xy+4 = 0e x+ y+1 = 0

A. solve(x*y+4,x+y+1);B. solve(x*y+4=x+y+1);C. solve([x*y+4,x+y+1]);D. solve(x*y+4=0,x+y+1=0);E. solve(x*y+4.and.x+y+1);

4. O vector posição de uma partícula noplano xy, foi definido com o comando:

r: [3*t^2, 6*t];

qual é o comando que poderá ser usadopara desenhar o gráfico da componente xda velocidade (derivada da posição), emfunção do tempo?

A. plot2d(diff(r[0],t), [t, -2, 2])

B. plot2d(diff(r[x],t), [t, -2, 2])

C. plot2d(diff(r,t), [x, -2, 2])

D. plot2d(diff(x,t), [t, -2, 2])

E. plot2d(diff(r,t)[1], [t, -2, 2])

Problemas

1. Desenhe o gráfico de cada uma das seguintes funções, usando intervalos que mostrembem a forma das funções.

(a) y = x3−5x2 +2x+3

(b) y = sin(x)x

(c) y =√

20− x2

B.11 Guardar informação entre sessões 197

(d) y = 3x2 +2x2−4

2. O gráfico da função y = x3−6x2 +7x+2 apresenta dois pontos extremos (um mínimolocal e um máximo local). Desenhe o gráfico dessa função. Sabendo que a derivadada função é nula nos dois pontos extremos, calcule as coordenadas x e y desses doispontos.

3. Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos (−2, 7), (−4, 1) e (4, −5).Sugestão: a forma geral da equação será (x− a)2 +(y−b)2 = r2. Para encontrar astrês constantes a, b e r, substitua as coordenadas de cada um dos 3 pontos dados, eresolva o sistema das 3 equações obtidas.

4. Defina uma função fib(n) em Maxima para calcular qualquer número na sequênciade Fibonacci, fn = 1,1,2,3,5,8, . . ., definida, para (n = 0,1,2,3, . . .), por:

f0 = 1 f1 = 1 fn = fn−1 + fn−2

Calcule a relação fn+1/ fn para alguns valores crescentes de n, e mostre que a relaçãoaproxima-se do limite (1+

√5)/2. O número ϕ = (1+

√5)/2 é designado de proporção

áurea e no Maxima está predefinido na constante %phi.

5. A tabela mostra os valores da velocidade de um automóvel, cada cinco segundos, apósuma paragem numa estação de serviço na autoestrada.

t (s) 0 5 10 15 20 25 30 35v (km/h) 0 32 51 64 75 80 82 80

(a) Faça um gráfico da velocidade em função do tempo. (b) Use a função lagrange(consulte o manual) para encontrar um polinómio no tempo t que interpole os valoresde velocidade apresentados na tabela. (c) A partir do polinómio encontrado na alíneaanterior, obtenha a posição e a aceleração em função do tempo e desenhe o gráficodessas duas funções. (d) Usando a função calculada para a posição, calcule a distânciatotal percorrida durante os 35 segundos.

C Programas auxiliares

Os programas em Python neste apêndice não funcionam em forma autónoma, mas sãomódulo auxiliares que são importados pelos programas do capítulo 8. O programapendulo.py cria os objectos que fazem parte do pêndulo e o programa duas_molas.pycria os objectos para o sistema de duas molas acopladas e fornece uma função que deslocaas duas molas para duas posições dadas.

pendulo.py1 # -*- coding: utf-8 -*-2 from visual import *3 scene.autoscale=04 scene.range=55 scene.center=(0,3,0)6 scene.forward=(-1,0,-1)7

8 # Referencial em rotação, que incluirá a barra e o disco9 pendulo = frame(pos=(0,3.5,0))

10

11 barra = box(frame=pendulo, pos=(0,-1.4,0), size=(0.2,3.2,0.2),12 color=(1,1,0))13 disco = cylinder(frame=pendulo, pos=(0,-3,-0.2), radius=0.6,14 axis=(0,0,0.4), color=(0.5,0.5,0.8))15

16 eixo = cylinder(pos=(0,3.5,0.3), radius=0.09, axis=(0,0,-1),17 color=(0.7,0.4,0.1))18 suporte = box(pos=(0,1.7,-1), size=(1,4.2,0.6),19 color=(0.7,0.4,0.1))20 base = box(pos=(0,-0.6,-0.5), size=(3,0.4,1.6),21 color=(0.7,0.4,0.1))

duas_molas.py1 # -*- coding: utf-8 -*-2 from visual import *3

4 scene.autoscale=05 scene.range=76 scene.background=(0.7,0.7,0.8)7 scene.foreground=(0.8,0.8,0.8)

200 Programas auxiliares

8 scene.forward=(0.5,0,-1)9

10 # Referenciais em movimento, onde estarão as duas massas11 f1 = frame(pos=(0, 0, 0))12 f2 = frame(pos=(0, -4.2, 0))13

14 # Mola de cima15 ang = arange(-pi/2.,pi,0.1)16 b0 = curve(radius=0.03,y = 5.2+0.23*sin(ang),z = 0.23*cos(ang))17 b0.append(pos=(0,5,0))18 b0.append(pos=(0,4.5,0))19 b0.append(pos=(0,4.5,0.32))20 mola1 = helix(pos=(0,4.5,0), radius=0.3, thickness=0.05,21 coils=40)22 b1 = curve(frame=f1, radius=0.03,23 pos=[(0,-0.3,0.32),(0,-0.3,0),(0,0.7,0),(0,0.7,0.32)])24

25 # Mola de baixo26 mola2 = helix(frame=f1, pos=(0,-0.3,0), radius=0.3,27 thickness=0.05, coils=40)28 b2 = curve(frame=f2, radius=0.03,29 pos=[(0,0,0),(0,0.7,0),(0,0.7,0.32)])30

31 # As duas massas32 c1 = cylinder(frame=f1, pos=(0,0,0),radius=0.5,axis=(0,0.4,0),33 color=(0.3,0.3,0.3))34 c2 = cylinder(frame=f2, pos=(0,0,0),radius=0.5,axis=(0,0.4,0),35 color=(0.3,0.3,0.3))36

37 # Barras do suporte38 s1 = cylinder(pos=(3,5.2,0),radius=0.2, axis=(-4,0,0))39 s2 = cylinder(pos=(2.5,5.2,0),radius=0.6, axis=(-1,0,0),40 color=(0.5,0.5,0.6))41 s3 = cylinder(pos=(2,-5,0.4),radius=0.2, axis=(0,11,0))42 s4 = cylinder(pos=(2,-6,0.4),radius=0.8, axis=(0,1,0),43 color=(0.9,0.9,0.6))44

45 # Base46 base = box(pos=(2,-6.2,0.4), size=(5,0.4,5),47 color=(0.7,0.4,0.1))48

49 # Função que desloca as duas massas e estica/comprime50 # as molas, de acordo com os valores das duas variáveis51 # de estado y1, y252

53 def deslocar_molas(y1,y2):

201

54 f1.pos.y = y155 f2.pos.y = y2 - 4.256 mola1.axis = vector(0, y1 - 3.8, 0)57 mola2.axis = vector(0, y2 - y1 - 3.2, 0)58

59 # Comprimento inicial das molas60 deslocar_molas(0,0)

D Formulário

1. Cinemática e dinâmica da partícula

v =dsd t

at =dvd t

at

v=

dvds

~p = m~v

t f∫t0

~F d t = ~p f −~p0

n

∑i=1

~Fi = m~a

Atrito seco e resistência nos fluidos:

Fe ≤ µe Rn Fc = µc Rn ~Fr =−k η~v− 12

CD ρ A |v|~v

Cálculo numérico das trajectórias:

~vn+1 =~vn + ~an d t ~rn+1 =~rn +~vn d t +~an

2d t2

2. Trabalho e energia

~r2∫~r1

~F · d~r =12

mv22−

12

mv21 W12 = U(s1)−U(s2) U =−

s∫sref

Ft ds

Em2−Em1 = W12(não-conservativas) Ugravítica = mgy Uelástica =12

k y2

Movimento harmónico simples:

y = Asin(ωt) E =12

k y2 +12

mv2ω =

√km

ω = 2π f =2π

T

3. Movimento circular

s = Rθ v = Rω at = Rα an = vω =v2

RT =

2π

ω

204 Formulário

4. Dinâmica do corpo rígido

T = F d sinθ ~rcm =1m

n

∑i=1

mi~ri

n

∑i=1

~Fi = m~acm Er =I ω2

2

m

∑j=1

Tj = Icm α

5. Sistemas dinâmicos com duas variáveis de estado

x1 = f1(x1,x2) x2 = f2(x1,x2) ~u = f1~e1 + f2~e2

Caso particular: sistema mecânico com um grau de liberdade, s

~u = v~es +at~ev

Divergência:

∇ ·~u =∂ f1

∂x1+

∂ f2

∂x2

Aproximação linear:

x1 = x1∂ f1

∂x1+ x2

∂ f1

∂x2x2 = x1

∂ f2

∂x1+ x2

∂ f2

∂x2J =

∂ f1

∂x1

∂ f1

∂x2

∂ f2

∂x1

∂ f2

∂x2

6. Sistemas lineares

d~rd t

= A~r λ2− tr(A)λ +det(A) = 0

Valores próprios Tipo de ponto Tipo de equilíbrio

2, reais, com sinais opostos ponto de sela instável2, reais, positivos nó repulsivo instável2, reais, negativos nó atractivo estável2, complexos, com parte real positiva foco repulsivo instável2, complexos, com parte real negativa foco atractivo estável2, imaginários centro estável1, real, positivo nó impróprio instável1, real, negativo nó impróprio estável

7. Métodos numéricos

Método de Euler: ~rf −→~rf +∆ t~u

Método de Runge-Kutta de quarta ordem:

~um =~u1 +2~u2 +2~u3 +~u4

6~rf −→~rf +∆ t~um

E Créditos fotográficos

A maior parte das fotografias e figuras neste manual são originais e são colocadas aqui nodomínio público. As restantes figuras têm todas licenças livres. A principal fonte dessasfiguras foi o arquivo da Wikimedia Commons (http://commons.wikimedia.org).A lista de autores e licenças é a seguinte:

• Figura 1 (pág. 1). Autores: Richard Greenhill and Hugo Elias. Licença: GFDL 1.2+ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0.

• Figura 1.1 (pág. 2). Autor: OS2Warp (Wikimedia Commons). Domínio público.

• Figura 1.2 (pág. 3). Autor: Kbh3rd (Wikimedia Commons). Licença: CreativeCommons Attribution Sharealike 2.0.

• Figura 2 (pág. 15). Autor: LCDR Mark Wetzler, NOAA, National Weather Service(NWS). Domínio público.

• Figura 2.7 (pág. 24). Autor desconhecido. Domínio público.

• Figura 3 (pág. 37). Autor: Hunter Peress. Licença: GFDL 1.2+ ou CreativeCommons Attribution Sharealike 3.0.

• Figura 4 (pág. 53). Autor: NASA/Ames Research Center. Domínio público.

• Figura 5 (pág. 71). Autor: David Turner. Licença: GFDL 1.2+ ou Creative CommonsAttribution Sharealike 3.0.

• Figura 6 (pág. 89). Autor: Paco Vila. Creative Commons Attribution 2.0.

• Figura 7 (pág. 109). Autor: Jonathunder (Wikimedia Commons). Licença: GFDL1.2+ ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0, 2.5, 2.0 ou 1.0.

• Figura 8 (pág. 123). NASA. Domínio público.

• Figura 9 (pág. 139). Autor: Alvesgaspar (Wikimedia Commons). Licença: GFDL1.2+ ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0.

• Figura 10 (pág. 157). Foto número EL-1996-00130 do arquivo da NASA-LaRC.Domínio público.

http://commons.wikimedia.org

Soluções das perguntas eproblemas

1. Cinemática

Perguntas

1. A. 22 m/s

2. A. x = 10 m

3. A. A aceleração é no sentido oposto à velocidade inicial.

4. C. A aceleração instantânea dividida pela velocidade instantânea.

5. B. A aceleração depende da posição.

Problemas

1. t = 0, x = 10 m, a =−12 m/s2, t = 2, x = 2 m, a = 12 m/s2.

2. v =−8 m/s, x = 64 m, 80 m.

3. (a) 3 s (b) 13 cm, −28 cm/s (c) 32.5 cm.

4. (a) 24 m3/s2 (b) ±11.49 m/s.

5. (a) 25 s−2 (b) 11.18 m/s.

6. (a) ±15 m/s (b) ±14.74 m/s (c) ±15.25 m/s.

7. 65.33 m

8. (a) 75 mm (b) infinito (c) 11.51 s.

9. (b) v =1k

√1− e−2k2gx

(c) porque se v aumentasse até 1/k, a aceleração ficava nula e a queda continuava com

velocidade uniforme. Observe que: v <1k

, e, limt−→∞

v =1k

10. (a) 9.62 m/s, para cima (b) 29.6 m/s, para baixo.

11. (a) A linha em que a velocidade muda de sinal deverá ser substituída por:

208 Soluções das perguntas e problemas

bola.vy = -0.9*bola.vy

(b) Pode ser introduzida no início do programa uma variável “finished = False”a condição para o ciclo passa a ser “while not finished:” e antes de mudaro sinal da velocidade da bola escreve-se uma condição “if abs(bola.vy) <0.01: finished = True”.

12. (a)programa 1.4

1 from visual import *2 bola = sphere (pos=(0,1,0), radius=0.4, color=color.red)3 scene.autoscale=04 bola.vy = 05 dt = 0.016 while True:7 rate(100)8 ay = -4*bola.pos.y9 bola.pos.y = bola.pos.y + bola.vy*dt

10 bola.vy = bola.vy + ay*dt

2. Dinâmica

Perguntas

1. D. O livro encontra-se em equilíbrio.

2. C. Os dois tempos são semelhantes, mas a bola mais pesada demora menos tempo quea bola mais leve.

3. E. O camião exerce uma força sobre o carro e o carro exerce a mesma força sobre ocamião.

4. D. A velocidade é nula e a aceleração aponta para baixo.

5. C. Tem o mesmo módulo que a força total que contraria o movimento da caixa.

Problemas

1. Entre o R/C e o 2o, 826 N. Entre o 2o e o 4o, 686 N. Entre o 4o e o 6o, 546 N.

2. 0.040 m/s2

3. 4.12 N.

4. (a) (1.10~ex−1.47~ey) m/s. (b) (−3.79~ex +5.06~ey) N·s.

5. (a) 961.2 N. (b) 0.08.

6. (a) t = v0 sinθ/g,~r = (v20/2g)

[sin(2θ)~ex + sin2

θ~ey]

209

7. 24 696 N/m2.

8. No vácuo o máximo é quando o ângulo for 45◦ e no ar 43◦:

Ângulo no vácuo (m) no ar (m)

42◦ 14.61 11.6743◦ 14.66 11.6844◦ 14.68 11.6745◦ 14.69 11.6646◦ 14.68 11.63

9. Glicerina: 0.03 m2/s, água: 2.4×10−5 m2/s e ar: 3.6×10−4 m2/s.

10. (a) bola de ténis: 88.9 km/h; bola de ping-pong: 29.9 km/h. (c) 44.3 km/h.

3. Trabalho e energia

Perguntas

1. C. −5~ex +2~ey

2. B. 160 mJ

3. E. 5 J

4. B. O período duplica.

5. D. 3

Problemas

1. 317.4 J

2. (a) A componente tangencial da tensão é nula; a do peso é −mg sinθ . (b) U =m gl(1− cosθ)

3. 24 696 N/m2. A força do bloco não é conservativa, porque só actua quando o cone estáa penetrar; se o cone subisse para um valor prévio da distância penetrada, o material jánão produzia a mesma força.

4. (a) F = mg cos(s/R) (b) U =−mgR sin(s/R)

5. (a) 3.06 N/m. (b) 0.803 s. (c) 3.83 mJ.

6. (a) v = 2∆x∆t (b) A reacção normal, menos o peso. (c) 36.3 cm.

7. 11.74 m/s.


4. Rotação e movimento curvilíneo

Perguntas

1. C. g cos30◦

2. A. A aceleração é perpendicular à trajectória.

3. A. RAωA = RBωB

4. D. 5.67 N·m5. C. P/2 < T1 < P

Problemas

1. O prego exerce uma força de 1000 N, para baixo. ~FA =−187,9~ex +931,6~ey (N)

2. tensão: mg/2 = 3.92 N; aceleração:√

3g/2 = 8.49 m/s2

3. Aproximadamente 14 m/s2

4. Pneus da frente: Rn = 3020 N, Fa = 1256 N. Pneus trazeiros: Rn = 1855 N, Fa = 0(admitindo que as rodas trazeiras são perfeitamente livres). O coeficiente de atritoestático mínimo é 0.416.

5. 0.143

6. 1015 N

7. 3 l/5

8. TA = 212.2 N, TB = 636.5 N, αA = αB = g/4 = 2.45 rad/s2

9. (a) Altura mínima 38.6 cm, máxima 135.4 cm (b) ~a = 6.89~ex (m/s2)

5. Sistemas dinâmicos

Perguntas

1. B. Oscilando à volta de y = 2

2. E.A evolução do sistema a partir de um estado inicial é igual em diferentes instantes.

3. B. x = 1 é estável e x = 3 é instável.

4. E. Desloca-se até um ponto maior que x = 2 e depois afasta-se em sentido negativo até−∞.

5. A. v~ex− ex ~ey

211

Problemas

1. (a)

0 1 2 3 4 5

-10

-5

0

5

10

v

y

Os dois pontos simétricos onde cada parábola inter-secta o eixo da velocidade (ordenadas), representamo estado quando a partícula é lançada e quando cainovamente ao chão; o vértice de cada parábola, noeixo das abcissas, é o estado no ponto onde a bolaatinge a altura máxima.

(b) A bola segue uma das curvas parabólicas no espaço de fase, e quando chega aoponto no lado negativo do eixo da velocidade (ordenadas no espaço de fase), passainstantaneamente para o ponto que está à mesma distância da origem no lado positivodo eixo da velocidade.

2. Para k = 0 e k = 0.015 existe unicamente um ponto de equilíbrio estável, em s = 0e v = 0. Para k =−0.015 existem dois pontos de equilíbrio instável em s =−8.16 es = +8.16 (v = 0) e um ponto de equilíbrio estável em s = 0, v = 0.

(a)

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

v

s

(b)

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

v

s

(c)

-10 -5 0 5 10

-20

-10

0

10

20

v

s

3. (a) Em y =−1, equilíbrio estável; em y = 0, equilíbrio instável. (b) U =−y2/2−y3/3.No ponto de equilíbrio estável E =−1/6 J e no ponto de equilíbrio instável E = 0.

(c) (d) y =−3/2; a partícula acelera no sentido positivodo eixo dos y, começa a abrandar a sua velocidadeem y =−1 e acaba por parar em y = 0, ficando emequilíbrio.

4. (a) Há dois pontos de equilíbrio: ± 4√

a/k. Nos doispontos o potencial é um mínimo local e, portanto, oequilíbrio é estável. (b) O movimento será sempreum movimento oscilatório, em x positivo ou nega-tivo, de acordo com o estado inicial.

(c)

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

v

x

5. (a) 2U0 x(ax2−1

)e−ax2

(b)) equilíbrio estável em x = 0, e equilíbrio instável em±1/√

a


(c)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x^2*%

e^-x

^2

x

(d)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

v

x

6. Sistemas lineares

Perguntas

1. E. 6.

2. E. π/2

3. B. x = 2v

4. B. 3x x+2 x = x2

5. A. nó instável.

Problemas

1. (a) λ1 = 3, λ2 =−1~v1 =~ex +2~ey~v2 =~ex−2~eyPonto de sela.

-8 -4 0 4 8

-8

-4

0

4

8

y

x

(b) λ1 =−4, λ2 =−1~v1 =~ex− (

√2/2)~ey

~v2 =~ex +√

2~eyNó estável.

-2 -1 0 1

-1

0

1

y

x

(c) λ = 2~v =~ex−~eyNó impróprio instável.

-2 -1 0 1

-1

0

1

y

x

2. (a) 14 m/s (b) 1400 s−1 (c) 2.24 ms.

3. (b) O único ponto de equilíbrio é na origem; no entanto, em todos os pontos, diferentesda origem, no intervalo −0.024 < x < 0.024 o sistema desloca-se em pequenos “saltos”até à origem. Essa situação peculiar é devida a erro numérico; com intervalos detempo suficientemente pequenos a bola aproxima-se continuamente da origem. Naprática, existe também atrito estático, que faz com que todos os pontos no intervalo−0.024 < x < 0.024 sejam, de facto, pontos de equilíbrio.

4. (a) 4.57 cm. (b) 4500 kg/s. (c) λ1 =−24.88 s−1 e λ2 =−1.786 s−1

213

5. Os dois valores próprios são λ1 = (c2 +√

c22 +4c1)/2 e λ2 = (c2−

√c2

2 +4c1)/2.

Como c22 + 4c1 é sempre maior que zero, os dois valores são sempre reais. Como

λ1−λ2 =√

c22 +4c1 é diferente de zero, os dois valores próprios são diferentes. O

produto dos dois valores próprios é λ1λ2 =−c1 que, por ser negativo, implica que osdois valores têm sempre sinais opostos.

6. plotdf([v,-1.5*x-a*v/2],[x,v],[sliders,"a=0:7"],[x,-5,5],[v,-5,5],[trajectory_at,4,-1],[direction,forward]);

7. Sistemas não lineares

Perguntas

1. D. ângulo máximo pequeno.

2. A. 1

3. E. nó repulsivo

4. C.[

0 2yy x

]5. D. 4~ex +6~ey

Problemas

1. (a) Existe um único ponto de equilíbrio, em (x = 0, v = 0) que é um centro. (b) Existeum ponto de sela em (x = 0, v = 0), um foco instável em (x =−1, v = 0), e um focoestável em (x = 1, v = 0). Os campos de direcções são os seguintes:

(a) (b)

2. Os dois pontos de sela continuam sendo pontos de sela. O centro passa a ser um focoestável:

3. (b)


-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

F

teta

ωb= 2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

F

teta

ωb= 8

Com ωb = 2 s−1, há um ponto de equilíbrio estável em θ = 0 e um ponto de equilíbrioinstável em θ =±π . Com ωb = 8 s−1, há dois pontos de equilíbrio instável em θ = 0e θ =±π , e dois pontos de equilíbrio estável em θ ≈−1 e θ ≈ 1.

8. Métodos numéricos

Perguntas

1. A. y vs x

2. C. rk(c,[v,u],[1,1],d)

3. D. inicial de z

4. A. (2.6, 1.4)

5. D. (1.107, 1.107)

Problemas

1. (f )

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

angulo

t

Os valores finais, em t = 3 s, são θ = 3.141591 eω = 1.0×10−5 s−1, muito próximos dos valores noponto de equilíbrio instável: θ = π e ω = 0.

2. (a) ~F =−kx x~ex−ky y~ey (b) As quatro variáveis de estado são x, y, vx e vy e as equaçõesde evolução são:

x = vx vx =−kx

mx y = vy vy =−

ky

my

(c)

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

x

(d)

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y

x

(e) Na direcção de x, 2.433 s. Na direcção de y, 1.217 s. O período na direcção de x é odobro do período na direcção de y.

215

(f )

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

x

Se√

ky/kx for um número inteiro, o estado da par-tícula regressa ao estado inicial depois de descreveruma figura de Lissajous com

√ky/kx loops segundo

o eixo dos x.

3. (a) As quatro equações de evolução são:

x = vx y = vy vx =− 4π2 x(x2 + y2)3/2 vy =− 4π2 y

(x2 + y2)3/2

(b)

-10

-5

0

5

10

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

y

x

(c)

-10

-5

0

5

10

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

y

x

Na alínea b o erro numérico é muito elevado; a energia do cometa não permanece cons-tante mais diminui. Na alínea c o erro numérico é muito menor, mas o cometa continuaa perder energia; seria preciso reduzir ainda mais o valor de ∆t para diminuir o erro. (d)34.4 UA. A órbita sai por fora da órbita de Neptuno, e entra até um ponto entre órbitasde Mercúrio e Venus.

4. A matriz do sistema é: 0 0 1 00 0 0 1

−2803

40 − 115

0

20 −20 0 − 120

e os 4 valores próprios são todos complexos, com parte real negativa:

[ 10.14759727500762 %i - 0.0324658156443103,-10.14759727500623 %i - 0.0324658146801836,-3.218361976695268 %i - 0.0258675196910467,3.218361976693874 %i - 0.0258675166511261 ]

Com resistência do ar nula, a matriz é:0 0 1 00 0 0 1

−2803

40 0 0

20 −20 0 0

e os 4 valores próprios são todos imaginários puros:

[ -3.21846547832462 %i, 3.21846547832462 %i,-10.14765062948888 %i, 10.14765062948888 %i]


9. Ciclos limite e sistemas de duas espécies

Perguntas

1. D. r = 2r−4

2. D. Curva fechada com (a, b) no interior.

3. A. (2,3) é um foco repulsivo.

4. E. Não linear.

5. A. Presa-predador, sendo x as presas.

Problemas

1. A origem é ponto de sela, e o ponto (3, 2) é centro. O estado limite é um ciclo. Nenhumadas duas espécies será extinta.

2. Sistema presa-predador: x são as presas e y os predadores. A origem é nó próprio,repulsivo, o ponto (1, 0) é ponto de sela e o ponto (0, 1) é nó impróprio, atractivo.

3. a) Exclusão, com extinção da espécie y e x→ 10.

b) Coexistência, com x→ 20/3 e y→ 100/3. O ponto de equilíbrio é estável.

c) Coexistência, no ponto instável (x = 80/7, y = 24/7). O sistema pode terminarcom uma das espécies extintas e x→ 20 ou y→ 12.

d) Exclusão, com extinção da espécie y e x→ 100.

4. (a) θ = 1, r = r− r3

(b)

0 0.5 1 1.5-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

r - r3

r

(c) x2 + y2 = 1 (d)

-2 -1 0 1-2

-1

0

1

2y

x

O gráfico de r mostra que r aumenta se for menor que 1 e diminui se for maior que 1.Assim, r aproximar-se-á do valor limite 1.

5. O determinante da matriz jacobiana é negativo em qualquer ponto e, portanto, nãopodem existir ciclos limite.

6. (a) O último elemento na lista obtida com rk é:

[200.0,4.393203951154127,-4.475965919862805,0.200584446836176]

217

(b)

-4 -2 0 2 4

-5

-2.5

0

2.5

y

x

160 170 180 190 200

-4

-2

0

2

4

x

t

(c) O período dos ciclos é aproximadamente 11.52.

10. Bifurcações e caos

Perguntas

1. E. A curva é um ciclo.

2. E. inexistência de pontos de sela.

3. B. (1, 0)

4. C. É muito sensível às condições iniciais.

5. D. Só se o sistema não for autónomo.

Problemas

1. (a) para o ponto (0, 0), α é o ponto (0, 1) e ω é o ponto (0, -1). Para (1, 1) α é o ponto(0, 1) e ω não existe. (b) para o ponto (0, 0), que é ponto de equilíbrio, α e ω são opróprio ponto. Para (1, 1) α e ω são iguais ao círculo que com centro na origem e raioigual a

√2.

2. A divergência é 4+109x2 +5y4, que é sempre positiva; o critério de Bendixon implicaque não existe nenhum ciclo nem órbitas homo/heteroclínicas.

3. (a) t = 7 (b) t = 13 (c) t = 25.

4. Os 3 pontos de equilíbrio são: (0, 0, 0), (8.485, 8.485, 27) e (-8.485, -8.485, 27). Ovalor crítico de r é 24.737, menor que 28.

B. Tutorial do Maxima

Perguntas

1. A 2. A 3. C 4. E

Problemas

2. O máximo local encontra-se em (0.709, 4.30), e o mínimo local em (3.29, -4.30).


3. (x−3)2 +(y−2)2 = 50

5. (d) 594.5 m

Bibliografia

David Acheson. From calculus to chaos. An introduction to dynamics. Oxford UniversityPress, 1997.

Marcelo Alonso and Edward J. Finn. Física. Addison-Wesley, 1999.

Robert L. Borelli and Courtney S. Coleman. Differential equations: a modeling perspective.John Wiley & Sons, Inc., 1998.

C. Henry Edwards and David E. Penney. Differential Equations. Computing and Modeling.Pearson Education, Inc., third edition, 2004.

Alejandro L. Garcia. Numerical methods for physics. Prentice-Hall, 2000.

John Guckenheimer and Philip Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, andBifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, 2002.

Jorge V. José and Eugene J. Saletan. Classical dynamics: a contemporary approach.Cambridge University Press, 1998.

Stephen Lynch. Dynamical systems with applications using MAPLE. Birkhaüser, Boston,2001.

Ali H. Nayfeh and Balakumar Balachandran. Applied nonlinear dynamics. John Wileyand Sons, 1995.

Darren Redfern, Edgar Chandler, and Richard N. Fell. Macsyma ODE lab book. Jonesand Bartlett Publishers, Boston, 1997.

David A. Sanchez, C. Allen Allen Jr., and Walter T. Kyner. Differential equations. Addison-Wesley, second edition, 1988.

Stephen T. Thornton and Jerry B. Marion. Classical dynamics of particles and systems.Thomson, Brooks/Cole, fifth edition, 2004.

220 Bibliografia

Livros de mecânica

Um bom livro introdutório de mecânica é o livro de Alonso and Finn (1999), embora nãotenha alguns dos temas abordados neste livro. Esses temas encontram-se em livros comum nivel um pouco mais avançado como, por exemplo, nos livros de Thornton and Marion(2004) e de José and Saletan (1998). Um livro simples, com uma abordagem parecida àdeste livro é o de Acheson (1997).

Livros sobre equações diferenciais

Existem vários livros sobre equações diferenciais, com uma abordagem moderna, onde sãotratados com maior profundidade vários dos temas deste livro. Três referências excelentessão Edwards and Penney (2004), Borelli and Coleman (1998) e Sanchez et al. (1988).

Livros sobre sistemas dinâmicos

Uma excelente referência é o livro de Guckenheimer and Holmes (2002); apesar de não serum livro para matemáticos, o nivel é mais avançado do que este livro. Outra boa referênciaé o livro de Nayfeh and Balachandran (1995).

Livros sobre métodos numéricos

O livro de Garcia (2000) deverá ser suficiente para estudar os métodos numéricos usadosneste livro.

Livros sobre sistemas dinâmicos no Maxima

Os livros escritos para outros sistemas CAS parecidos com o Maxima são muito úteis efáceis de adaptar; dois bons exemplos são os livros de Redfern et al. (1997) e de Lynch(2001).

Índice

Aaceleração, 17

angular, 56centrípeta, 57componentes tangencial e normal, 58da gravidade, 20e força, 20normal, 57tangencial, 4, 56

adição de forças, 60amortecimento, 104

crítico, 105forte, 105fraco, 105

atractor, 161, 165de Lorenz, 171estranho, 165

atritocinético, 26estático, 24

Bbackward, 77batch(nome_do_ficheiro), 196bc2, 194Bendixson, Ivar Otto, 161, 162bfloat, 183bifurcação, 164both, 77box, 10

Ccampo de direcções, 73caos, 165centro, 100, 140

de massa, 62de gravidade, 63

ciclos, 79, 140limite, 140

cinemática, 1, 2inversa, 1

coeficientede restituição, 166de atrito cinético, 26de atrito estático, 25de viscosidade, 28

coefmatrix, 94Config, 76, 119conjunto limite, 160

negativo, 160positivo, 160

constanteaerodinâmica, 28elástica, 47

coordenadascartesianas, 16polares, 143

corpo rígido, 54curva de evolução, 73

DDepartment of Energy, 181depends, 144deslocamento, 39diff, 144, 193direction, 77divergência, 162dynamics, 128

222 Índice

EEdit, 195eigenvectors, 95energia

cinética, 40mecânica, 44potencial, 44, 45, 83potencial elástica, 47potencial gravítica, 47

epstopdf, 187equação

característica, 97de Van der Pol, 140de Verhulst, 155

equaçõesde evolução, 90de Holling-Tanner, 149de Lorenz, 169de Lotka-Volterra, 148de Rössler, 173de movimento, 4do movimento circular, 57

equilíbrio, 46dinâmico, 78estático, 78estável, 81instável, 81

escalar, 38espaço de fase, 72ev, 182, 183

Ffactor, 152, 191figuras de Lissajous, 138foco

estável, 100, 140instável, 140

força, 19conservativa, 44de atrito, 22, 24de atrito cinético, 26de atrito estático, 24de resistência nos fluidos, 27

dissipativa, 140elástica, 47não conservativa, 44

forward, 77fpprec, 183frequência, 49

angular, 49, 135

GGnuplot, 187GPS, 2graus de liberdade, 2, 127gravidade

centro de, 63

HHolling, Crawford Stanley, 149Hooke, Robert, 47

Iic1, 194ic2, 194impulso, 19Integrate, 76integrate, 193

Jjacobian, 112

Kkill, 190, 191

Llagrange, 197lei

da rotação do corpo rígido, 65da translação do corpo rígido, 63da inércia, 18, 19de acção e reacção, 18, 21de conservação da energia mecânica,

45de Hooke, 47de Newton, 18

leis de Newton, 17linha de acção, 58

Índice 223

linsolve, 186Lorenz, Edward Norton, 169Lotka, Alfred J., 148

Mmétodo

de Euler, 124de Runge-Kutta, 124

Macsyma, 181makelist, 191map, 152Maple, 181massa, 17

centro de, 62volúmica, 28

Mathematica, 181matriz jacobiana, 112Maxima, 72, 181method, 194momento

de inércia, 64, 135de uma força, ver torquelinear, ver quantidade de movimento

movimentocircular, 55circular uniforme, 55harmónico simples, 47uniforme, 18

Nnó

estável, 98impróprio, 101instável, 98próprio, 101

newton, 20Newton, Isaac, 15nulclina, 92numer, 79, 183

Oode2, 194Openmath, 189órbita, 73

heteroclínica, 118, 158homoclínica, 79, 158

osciladoracoplado, 128harmónico simples, 103harmónico simples, 47invertido, 102

Ppêndulo, 115

de Wilberforce, 132invertido, 109relógio de, 140simples, 116

pdflatex, 187período, 50, 55peso, 20, 46Plot Versus t, 76plot2d, 132, 186plot3d, 189plotdf, 74, 80, 95, 118, 126, 158ploteq, 84Poincaré, Henri, 161ponto

de equilíbrio, 46, 78de sela, 98

produtoescalar, 38

projéctil, 28project MAC’s SYmbolic MAnipulator,

181psfile, 187Python, 9, 30

Qquantidade de movimento, 17

RRössler, Otto E., 173radcan, 191rate, 11ratsimp, 152, 191, 192reacção, 18

normal, 22, 24

224 Índice

realroots, 79regra

do paralelogramo, 19Replot, 77repouso, 18, 46, 78resistência

nos fluidos, 27retrato de fase, 95rk, 128, 131, 132, 134, 137, 138, 158rotação, 54

plana, 54, 63

SSave, 76Save Console to File, 195separação de variáveis, 5separatrizes, 119sistema

autónomo, 82com competição, 151conservativo, 83dinâmico, 91inercial, 19linear, 93predador-presa, 147

solve, 110, 185, 186sphere, 9stringout, 195style, 188subst, 151

TTanner, James T., 149teorema

de Bendixson, 162de Poincaré-Bendixson, 161do trabalho e a energia cinética, 40do trabalho e a energia mecânica, 45do trabalho e a energia potencial, 44

torque, 60traço, 97trabalho, 40Trajectory at, 77, 119trajectory_at, 75

translação, 54trigexpand, 192trigreduce, 192trigsimp, 192

Vvalor próprio, 94Van der Pol, Balthasar, 140variáveis de estado, 72vector

aceleração, 17, 58deslizante, 59de posição, 16livre, 58próprio, 94velocidade, 16

velocidade, 3, 16angular, 55de fase, 73, 91média, 2terminal, 14

Verhulst, Pierre François, 155versor, 16, 39

cartesiano, 16normal, 57tangencial, 42

versus_t, 80viscosidade, 28Visual, 9, 30Volterra, Vito, 148VPython, 9, 11

WWilberforce, Lionel Robert, 132

ZZoom, 76

Este livro pode ser descarregado livremente, em ficheiro, ou comprado, em versão impressa,a partir do sítio: http://www.villate.org/livros.html

9 789729 939617

ISBN 978-972-99396-1-7