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Prof. Wanderson S. Paris -‐ [email protected] Resistência dos Materiais

Aula 09 -‐ Estudo de Torção.

Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. [email protected]


Definição de Torque

Torque é o momento que tende a torcer a peça em torno de seu eixo longitudinal. Seu efeito é de interesse principal no projeto de eixos ou eixos de acionamento usados em veículos e maquinaria.


Deformação por Torção


Equação da Torção

Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um torque interno correspondente no interior do eixo. A equação da torção relaciona o torque interno com a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo ou tubo circular. Para material linear-‐elásFco aplica-‐se a lei de Hooke. onde: G = Módulo de rigidez γ = Deformação por cisalhamento


Equação da Torção

onde: τ = Tensão de cisalhamento no eixo T = Torque interno resultante que atua na seção transversal J = Momento de inércia polar da área da seção transversal c = Raio externo do eixo ρ = Raio medido a parFr do centro do eixo


Dimensionamento de Eixo Sólido

Momento de inércia polar:


Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Resistência dos Materiais

! !=A

dAJ 2" ( )! !!!!=c

dJ0

2 2 ""#"

! !!=c

dJ0

32 ""#

c

J0

4

42 "# !!

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2

4cJ

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#





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#

Momento de inércia polar:Dimensionamento de Eixo Sólido



! !=A

dAJ 2" ( )! !!!!=c

dJ0

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dJ0

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J0

4

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32 ""#

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J0

4

42 "# !!

=

2

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!=

#



Falha na Torção Falha na Torção




Dimensionamento de Eixo Tubular





( )2

44ie cc

J!"

=#





( )2

44ie cc

J!"

=#



Exercício 1

O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro.

Exercício 1



1) O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro.


Solução do Exercício 1

Torque interno: É feito um corte na localização intermediária C ao longo do eixo do tubo, desse modo: ∑My = 80⋅0,3+80⋅0,2−T = 0

T = 40 Nm Momento de inércia polar: J = π ⋅ (c4 − c4 )/2 J = π ⋅ (0,054 − 0,044 )/2 J = 5,8⋅10−6 m4




Torque interno: É feito um corte na localização intermediária C ao longo do eixo do tubo, desse modo:

! = 0yM

02,0803,080 =!"+" T

40=T Nm


( )2

44ie cc

J!"

=#



Tensão de cisalhamento: τmáx = T⋅c / J = 40⋅0,05 / 5,8⋅10−6 τmáx = 0,344 Mpa Na superhcie interna: τi = T⋅ci / J τi = 40⋅0,04 / 5,8⋅10−6 τi= 0,276 Mpa




( )2

04,005,0 44 !"=

#J

6108,5 !"=J m4

J

cTmáx

"=$

Tensão de cisalhamento:

6108,505,040

!"

"=máx$

610344,0 "=máx$

344,0=máx$

Na superfície interna:

6108,504,040

!"

"=i$

J

cT ii

"=$

610276,0 "=i$

276,0=i$

PaPa

MPaMPa


Exercícios Propostos

[P34] Um eixo é feito de uma liga de aço com tensão de cisalhamento admissível Se o diâmetro do eixo for 37,5 mm, determine o troque máximo T que pode ser transmiFdo. Qual seria o torque máximo T`se fosse feito um furo de 25 mm de diâmetro no eixo? Faça um rascunho de distribuição de tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.

5.3 POWER TRANSMISSION 193

5

•5–1. A shaft is made of a steel alloy having an allowableshear stress of If the diameter of the shaft is1.5 in., determine the maximum torque T that can betransmitted. What would be the maximum torque if a1-in.-diameter hole is bored through the shaft? Sketch theshear-stress distribution along a radial line in each case.

T¿

tallow = 12 ksi.*5–4. The tube is subjected to a torque of Determine the amount of this torque that is resisted by thegray shaded section. Solve the problem two ways: (a) byusing the torsion formula, (b) by finding the resultant of theshear-stress distribution.

750 N # m.

PROBLEMS

Prob. 5–1

Prob. 5–2

T

T ¿

r¿

r

T

Prob. 5–3

C 75 mm

10 kN!m

75 mm50 mm

A B 4 kN!m

5–2. The solid shaft of radius r is subjected to a torque T.Determine the radius of the inner core of the shaft thatresists one-half of the applied torque . Solve theproblem two ways: (a) by using the torsion formula, (b) byfinding the resultant of the shear-stress distribution.

1T>22r¿

5–6. The solid shaft has a diameter of 0.75 in. If it issubjected to the torques shown, determine the maximumshear stress developed in regions BC and DE of the shaft.The bearings at A and F allow free rotation of the shaft.

5–7. The solid shaft has a diameter of 0.75 in. If it issubjected to the torques shown, determine the maximumshear stress developed in regions CD and EF of the shaft.The bearings at A and F allow free rotation of the shaft.

5–5. The copper pipe has an outer diameter of 40 mm andan inner diameter of 37 mm. If it is tightly secured to the wallat A and three torques are applied to it as shown, determinethe absolute maximum shear stress developed in the pipe.

5–3. The solid shaft is fixed to the support at C andsubjected to the torsional loadings shown. Determine theshear stress at points A and B and sketch the shear stress onvolume elements located at these points.

Prob. 5–4

75 mm

100 mm

25 mm

750 N!m

A

80 N!m

20 N!m

30 N!m

Prob. 5–5

AB

CD

EF

40 lb!ft25 lb!ft

20 lb!ft

35 lb!ft

Probs. 5–6/7



[P35] O tubo é submeFdo a um torque de 750 Nm. Determine a parcela deste torque à qual a seção sombreada resiste.

© 2008 by R.C. Hibbeler. Published by Pearson Prentice Hall, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under allcopyright laws as they currently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.

162

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[P36] O conjunto é composto por duas secções de tubo de aço galvanizado interligadas por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externo de 18,75 mm e diâmetro interno de 17 mm, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 21,5 mm. Se o tubo esFver firmemente preso à parede em C, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo da chave.



[P37] O eixo é composto de três tubos concêntricos, todos do mesmo material, e cada um com raios internos e externos mostrados abaixo. Se for aplicado um torque T = 800 Nm ao disco rígido preso à sua extremidade, determine a tensão de cisalhamento máxima do eixo.

194 CHAPTER 5 TORS ION

*5–8. The solid 30-mm-diameter shaft is used to transmitthe torques applied to the gears. Determine the absolutemaximum shear stress on the shaft.

•5–9. The shaft consists of three concentric tubes, eachmade from the same material and having the inner andouter radii shown. If a torque of is applied tothe rigid disk fixed to its end, determine the maximum shearstress in the shaft.

T = 800 N # m

Prob. 5–8

Prob. 5–9

5

300 N m!

A200 N m!

500 N m!

300 mm

400 mm

500 mm

400 N m!

B

D

C

T " 800 N!m

2 m ri " 20 mmro " 25 mm

ri " 26 mmro " 30 mm

ri " 32 mmro " 38 mm

5–10. The coupling is used to connect the two shaftstogether. Assuming that the shear stress in the bolts isuniform, determine the number of bolts necessary to makethe maximum shear stress in the shaft equal to the shearstress in the bolts. Each bolt has a diameter d.

T

r

T

R

Prob. 5–10

5–11. The assembly consists of two sections of galvanizedsteel pipe connected together using a reducing coupling at B.The smaller pipe has an outer diameter of 0.75 in. and aninner diameter of 0.68 in., whereas the larger pipe has anouter diameter of 1 in. and an inner diameter of 0.86 in. Ifthe pipe is tightly secured to the wall at C, determine themaximum shear stress developed in each section of the pipewhen the couple shown is applied to the handles of thewrench.

*5–12. The motor delivers a torque of to the shaftAB. This torque is transmitted to shaft CD using the gearsat E and F. Determine the equilibrium torque T! on shaftCD and the maximum shear stress in each shaft. Thebearings B, C, and D allow free rotation of the shafts.

•5–13. If the applied torque on shaft CD is determine the absolute maximum shear stress in each shaft.The bearings B, C, and D allow free rotation of the shafts,and the motor holds the shafts fixed from rotating.

75 N # m,T¿ =

50 N # m

C

B

A

15 lb 6 in.

15 lb

8 in.

Prob. 5–11

50 mm

B

30 mm

35 mm 125 mmD

CE

FT ¿

A

Probs. 5–12/13


Referências Bibliográficas

•  hLp://www.cronosquality.com/aulas/rm/index.html •  Hibbeler, R. C. -‐ Resistência dos Materiais, 7.ed. São

Paulo :Pearson PrenFce Hall, 2010. •  BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.o

Ed., Makron Books, 1995. •  Rodrigues, L. E. M. J. Resistência dos Materiais, InsFtuto Federal

de Educação, Ciência e Tecnologia – São Paulo: 2009. •  BUFFONI, S.S.O. Resistência dos Materiais, Universidade Federal

Fluminense – Rio de Janeiro: 2008. •  MILFONT, G. Resistência dos Materiais, Universidade de

Pernanbuco: 2010.

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