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MECÂNICA - DINÂMICA

Cinética Plana de uma

Partícula: Força e Aceleração

Cap. 13

Prof Dr. Cláudio Curotto

Adaptado por:

Prof Dr. Ronaldo Medeiros-Junior TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 2

Objetivos

�Estabelecer as Leis de Newton para Movimentos e

Atração Gravitacional e definir massa e peso

�Analisar o movimento acelerado de uma partícula

utilizando a equação de movimento escrita em

diferentes sistemas de coordenadas

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 3

13.5 Equações de Movimento: Coordenadas Normal e Tangencial

Seja uma partícula movendo-se ao longo de umatrajetória curva conhecida

m=∑F a

Direção binormal: não há movimentodo ponto material na direção

binormal, pois o movimento se restringe à trajetória.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 4

13.5 Equações de Movimento: Coordenadas Normal e Tangencial

( )

( )0 0

t t n n b b t t n n

t

b

t

n n

b

ma

m a

ma

a

ma m

=

=

+

= =

+ =

=

+

∑∑

∑ ∑ ∑

∑

F u F u F

F

u

F

F

u u

m=∑F a ta v= �

2

n

va

ρ=

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 5

13.5 Equações de Movimento: Coordenadas Normal e Tangencial

Obs.: Quando o movimento do ponto material é restritoa uma trajetória circular com velocidade escalarconstante, há uma força normal sobre ele causadapela restrição a fim de alterar a direção da velocidade(mas não o seu módulo). Por ser sempre voltada parao centro da trajetória circular, essa força édenominada força centrípeta.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 6

Exemplo 13.3

O carrinho de bagagem A de peso 900 lb reboca dois reboques Bde 550 lb, e C de 325 lb. A força de atrito na roda do carrinho é FA=(40t) lb, onde t é dado em segundos. Considere que a forçade atrito é a força que comunica uma aceleração ao carrinho. Se o carrinho parte do repouso, determine sua velocidade em 2 segundos. Qual o valor da força atuante no acoplamento entre o carrinho e o reboque B nesse instante. Despreze o tamanho do carrinho e reboques.

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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 7

Exemplo 13.3 - Solução

Diagrama de corpo livre

A força de atrito é a que comunica uma aceleração ao

carrinho e os reboques.

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 8

Exemplo 13.3 - Solução

Equações de movimento do conjunto (há apenas movimento na

direção horizontal)

900 550 32540

32,2

0,7256

x x

a

ma

t

t a+ +

=

=

=∑F

a

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 9

Exemplo 13.3 - Solução

Cinemática do conjunto – Velocidade em 2 s

2

0 0

22

0

0, 72563

0 1, 45 ft, 82 /s362

v

dva dv adt

dt

dv tdt

vv t

= ∴ =

=

= ∴ =

∫ ∫

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 10

Exemplo 13.3 - Solução

Diagrama de corpo livre para o carrinho, de modo que

podemos expor a força de acoplamento T

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 11

a

Exemplo 13.3 - Solução

Equações de movimento do carrinho

90040 (0, 72563 )

32, 2

40(2) 27, 950(0, 72563(2))

39, 4 lb

x xma

T

t T t

T

=

− =

=

=

−

∑ F

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Problema 13.11

O bote de 800lb parte do repouso e escorrega pela calha inclinada

entrando na piscina. Se a força de atrito na calha é FR

= 30lb e na

piscina, FRP

= 80lb, determine a velocidade do bote quando s = 5pés.

3

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 13

Problema 13.11 - Solução

Na piscina:

F ma=∑

RPF

2

800

32, 2

80

24,845

-3, 22 3, 22 pés/s

RPF a

a

a a

− =

= −

= ∴ = −

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 14

Problema 13.11 - Solução

( )

2 2

2 1

2

2 1

Velocidade na piscina:

2

2 3, 22 5

v v as

v v

= +

= + −

RPF

S

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 15

Problema 13.11 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinemático

α800lb

a

N

v

1 10045

100tgα −

= = °

2

Aceleração na calha:

cos 45

800800 cos 45 30

32, 2

21,561 pés/s

R

F ma

P F ma

a

a

=

° − =

° − =

=

∑

45o

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 16

Problema 13.11 - Solução

2 2

1 0

Velocidade no final da calha:

2v v a x= + ∆

221,561 pés/sa =

( )2 2 2 2

1

1

1

0 2 21,561 100 100

6098, 4

78, 092

v

v

v

= + +

=

=

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 17

Problema 13.11 - Solução

( )

2 2

2 1

2

2 1

Velocidade na piscina:

2

2 3, 22 5

v v as

v v

= +

= + −RPF

S

78,092 pés/sv =

( )2

2

2

2

78, 092 2 3, 2200 5

6066, 2

77, 9 pés/s

v

v

v

= + −

=

=

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 18

Exemplo 13.7

O disco de 3 kg é fixo na extremidade da corda. A outra extremidade é fixa

no centro da plataforma. A plataforma gira rapidamente e o disco é colocado

sobre ela em repouso. Determine o tempo necessá

D

rio para romper a corda.

A tração máxima suportada pela corda é 100 N e o coeficiente de atrito cinético

entre o disco e a plataforma é 0,1.

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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 19

Exemplo 13.7 - Solução

Diagrama de corpo livre do disco

Peso do disco:

3(9,81) 29, 430 NW = =

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 20

Exemplo 13.7 - Solução

Equações de equilíbrio dinâmico do disco:

0,10,1 3

3

DD t tt t

NNma a a∴ = ∴ ==∑F

3 kg

2

cr

2

31

para 100 N:

v 5,7735 m/0 s1 0 31

cr

n n

vT

T

m

v

a

∴ =

=

= ∴ =

=

∑F

( )

( ) 2

29,430 N

0,981 m/s

29,430 0

0,1 2

0

9,43

3

0b b

t t

D

D

N

a

ma m

N

a

= = = ∴

=

=

=

− =

∴

∑F

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 21

Exemplo 13.7 - Solução

cr 0

Equações da cinemática do disco (a = constante)

5,7735 0 (0,

5,89

v

1)

s

98

tv

t

t

a t

=

=

+

= +