Convecção Natural Introdução Convecção Natural em Placa Vertical O problema de convecção natural em placas verticais pode ser analisado a partir da equação de quantidade de movimento na direcção vertical. Devido à variação da massa específica com a temperatura existem forças mássicas que têm uma resultante não nula. Apresentam-se de seguida as equações de balanço de massa, quantidade de movimento e de energia para a camada limite. Na análise da convecção natural laminar de forma aproximada considera-se o escoamento como incompressível (ρ – constante) excepto para o termo de impulsão que resulta do gradiente de pressão.

0yv

xu

=∂∂

+∂∂

(N 1)

2

2

yu

gxp1

yu

vxu

u∂∂

ν+−∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

(N 2)

2

2

yT

yT

vxT

u∂∂

α=∂∂

+∂∂

(N 3)

O gradiente de pressão na direcção vertical pode-se considerar igual ao gradiente de pressão no fluido exterior à camada limite junto à parede (dp/dy=0). Esta conclusão é válida quando não existem forças mássicas a actuar na direcção perpendicular à superfície vertical e deve-se ao pequeno valor da componente de velocidade v. No exterior da camada limite a velocidade é nula, donde se pode concluir da equação anterior que;

gdxdp

xp

∞ρ−==∂∂

(N 4)

Assim os dois primeiros termos do segundo membro da equação de quantidade de movimento podem escrever-se como:

( )ρ−ρρ

=

−

ρρ

=−∂∂

ρ− ∞

∞ g1gg

xp1

(N 5)

Como se pretende relacionar a variação da massa específica com a temperatura usa-se o coeficiente termodinâmico de expansão térmica definido como:

pT1

∂ρ∂

ρ−=β (N 6)

Este coeficiente para o caso de gases perfeitos é dado pelo inverso da temperatura absoluta. Para outros fluídos, como por exemplo água, existem tabelas destes valores. Aproximando então a diferença de massa específica pela diferença de temperatura:

( ) ( )TT −β=ρ

ρ−ρ− ∞

∞ (N 7)

permite obter a equação de quantidade de movimento na forma:

( )2

2

yu

TTgyu

vxu

u∂∂

ν+−β=∂∂

+∂∂

∞ (N 8)

A solução da equação de quantidade de movimento requer assim o conhecimento da temperatura do fluído que é determinada pelo balanço de energia. A solução do problema de convecção natural junto a placas verticais é então obtida das três equações de balanço de massa, quantidade de movimento e de energia.

As equações anteriores podem ser apresentadas sob forma adimensional, utilizando - uma escala de comprimento L que pode ser a altura da placa. - uma escala de velocidade u0 que se irá determinar na análise. - a temperatura apresentada sem dimensões ( ) ( )∞∞ −−= TTTTT s

* . Substituindo então as coordenadas x e y por valores adimensionais x*=x/L e y*=y/L, e as componentes da velocidade u e v por u*=u/u0 e v*=v/u0 nas equações anteriores obtém-se as equações em forma adimensional:

0yv

xu

*

*

*

*

=∂∂

+∂∂

(N 9)

( )2*

*2

L

*2

0

s*

**

*

**

y

uRe

1T

uLTTg

yu

vxu

u∂

∂+

−β=

∂∂

+∂∂ ∞ (N 10)

2*

*2

L*

**

*

**

y

TPrRe

1yT

vxT

u∂

∂=

∂∂

+∂∂

(N 11)

Nas equações acima surgem dois números adimensionais já utilizados para convecção forçada que são o número de Prandtl e de Reynolds.

αν

=Pr e ν

=Lu

Re 0L

A escala de velocidade na camada limite não é imposta, sendo parte da solução pelo que não é fácil de ser definida. Para além dos números adimensionais já referidos, surge na equação de balanço de quantidade de movimento outro número adimensional

( )2

0

s

u

LTTg ∞−β

que compara forças de impulsão com inércia. Como já referido como a velocidade característica não é à priori conhecida é mais conveniente definir um outro número adimensional eliminando a velocidade. Define-se assim o número de Grashof que compara forças de impulsão com forças viscosas

( ) ( )2

3s

20

20

sL

LTTgLu*

u

LTTgGr

ν−β

=

ν

−β= ∞∞ (N 12)

A equação de balanço de quantidade de movimento pode agora ser rescrita como:

2*

*2

L

*2

L

L*

**

*

**

y

uRe

1T

ReGr

yu

vxu

u∂

∂+=

∂∂

+∂∂

(N 13)

Deste modo a importância do termo de impulsão depende da razão entre o número de Grashof e o quadrado do número de Reynolds: (GrL/ReL

2). Esta razão permite considerar em que casos se pode tratar um problema como de convecção natural (GrL/ReL

2>>1) ou de convecção forçada (GrL/ReL2<<1). No caso de serem igualmente

importantes os dois efeitos de impulsão e inércia (GrL/ReL2~1) define-se o número de

Nusselt por uma média na forma nN

nF

n NuNuNu ±= (N 14) onde n varia entre 3 e 4 dependendo da situação física considerada. O número de Nusselt para convecção natural, à semelhança de convecção forçada, pode ser obtido a partir das propriedades em forma adimensional.

( )*

*

*

s

0y xyT

kTT

xyT

k

khx

Nu∂∂

=−

∂∂

−

==∞

= (N 15)

sendo então necessário determinar a distribuição das propriedades adimensionais. Para obter a solução tem de se considerar a solução simultânea das equações de balanço de massa, quantidade de movimento e energia. Antes de apresentar a solução analítica, apresentam-se os resultados obtidos a partir da análise de ordens de grandeza e a partir da aplicação do método integral. Análise de ordens de grandeza. A análise de ordens de grandeza permite obter uma ideia sobre a variação do número de Nusselt e a sua dependência dos parâmetros que caracterizam o problema. A escala típica de comprimento na direcção perpendicular à placa vertical é muito inferior à da direcção de desenvolvimento da camada limite. Adicionalmente existem duas escalas de comprimento para descrever a espessura da camada limite e que são a espessura da camada limite térmica δT e a espessura da camada limite hidrodinâmica δ. A partir da equação da continuidade pode-se concluir a seguinte relação de ordens de grandeza no interior da camada limite térmica

0yv

xu

=∂∂

+∂∂

⇒ T

v~

Lu

δ (N 16)

Utilizando a mesma análise de ordens de grandeza na equação de balanço de quantidade de movimento e tendo em consideração a continuidade obtém-se:

( )2

2

yu

TTgyu

vxu

u∂∂

ν+−β=∂∂

+∂∂

∞ ⇒ Tg~u

ou Lu

2T

2

∆βδν

(N 17)

(Inércia ou Fricção~Impulsão) Os casos em que a força de impulsão é importante podem equilibrar forças de inércia ou de fricção. A ordem de grandeza da velocidade depende do efeito da temperatura determinados do balanço de energia. Considerando a análise de ordem de grandeza para a equação de energia obtém-se

2

2

yT

yT

vxT

u∂∂

α=∂∂

+∂∂

⇒ 2T

T~T

Lu

δ

∆α∆ (N 18)

(Convecção ~Condução) A partir desta relação entre ordens de grandeza pode concluir-se que a ordem de grandeza da velocidade é dada por 2

TL~u δα . Substituindo este resultado na equação de balanço de quantidade de movimento pode-se concluir:

Tg~L

ou L

4T

4T

2

∆βδ

ναδ

α (N 19a)

Tomando a ordem de grandeza do termo de impulsão como unitária pode-se rescrever

1~TLg

Lou

TLg

L34

T

4

3

2

4T

4

∆βαν

δ∆βα

δ (N 19b)

(Inércia ou Fricção ~ Impulsão) Esta equação pode ser rescrita em termos do número de Grashof já definido ou do número de Rayleigh (Ra=Gr*Pr)

1~Ra1L

ou Pr*Ra

1

L4

T

4

T

δ

δ

A partir das ordens de grandeza indicadas pode concluir-se que para fluidos com número de Prandtl alto a camada limite térmica é regulada pelo balanço entre fricção e impulsão, enquanto para o caso do número de Prandtl baixo a força de inércia

equilibra a de impulsão. A ordem de grandeza da espessura da camada limite é proporcional à posição na camada limite e varia inversamente com Ra ou RaPr:

Para Pr >>1 4

1TRa

L~δ e para Pr<<1

( ) 41T

PrRa

L~δ (N 20a-b)

A ordem de grandeza do número de Nusselt pode ser determinado de:

kkL

~k

hxNu

Tδ=

e assim pode-se concluir como varia o número de Nusselt: 4

1Ra~Nu para o caso Pr>>1 e ( ) 4

1Pr*Ra~Nu para o caso Pr << 1. (N 21a-b)

A partir da análise das ordens de grandeza obteve-se uma solução qualitativa para a variação do número de Nusselt que se verifica na solução analítica. Antes de apresentar a solução analítica apresenta-se também uma solução obtida pelo método integral já utilizado para resolver outros problemas de camada limite de forma aproximada. Análise Integral A análise integral é efectuada considerando as equações da camada limite integradas ao longo da sua espessura. Para o caso de convecção natural a velocidade do fluido no exterior da camada limite é nula, sendo este factor diferente do usado no caso de convecção forçada. Adicionalmente nesta equação é necessário considerar o efeito da impulsão ao longo da camada limite que actua na espessura da camada limite térmica. Para simplificação vai-se considerar que as espessuras das duas camadas limite (hidrodinâmica e térmica) são semelhantes que corresponde a um número de Prandtl próximo da unidade. Vai-se então integrar as equações da camada limite:

0yv

xu

=∂∂

+∂∂

(N 22)

( )2

2

yu

TTgyu

vxu

u∂∂

ν+−β=∂∂

+∂∂

∞ (N 23)

2

2

yT

yT

vxT

u∂∂

α=∂∂

+∂∂

(N 24)

considerando como condições fronteira para y=0: u=0, v=0, T=Ts e para y-> oo:

0yu

=∂∂

e 0yT

=∂∂

Estas equações fronteiras são as necessárias para resolver as equações diferenciais, podendo usar-se outras restrições para utilizar o método integral. Integrando a equação de balanço de quantidade de movimento na espessura da camada limite permite obter:

( )δδ

∞

δδ

∂∂

ν+−β=∂∂

+∂∂

∫∫∫0000 y

udyTTgdy

yu

vdyxu

u (N 25)

A segunda parcela do primeiro membro pode ser integrada por partes conduzindo a

∫∫δ

δδ

∂∂

−=∂∂

00

0

dyyv

uvudyyu

v (N 26)

A primeira parcela do segundo membro é nula devido às condições fronteira enquanto a segunda parcela pode ser rescrita tendo em conta a equação da continuidade:

xu

yv

∂∂

−=∂∂

(N 27)

permitindo então verificar que o segundo termo do primeiro membro da equação integral do balanço de quantidade de movimento é igual ao primeiro, pode-se rescrever o primeiro membro da equação como:

( )

=

∂∂

=∂∂

∫∫∫δδ

0

2

0

2h

0

dyudxd

dyx

udy

xu

u2 (N 28)

depois de permutar o integral com a derivada em direcções ortogonais. Tendo em consideração que o gradiente de velocidade na fronteira da camada limite (δ) é nulo, pode-se então escrever a equação integral como:

( )0y0

h

0

2

yu

dyTTgdyudxd

=

δ

∞

∂∂

ν−−β=

∫∫ (N 29)

A equação de balanço de energia é integrada de modo idêntico ao usado para a quantidade de movimento a partir de:

δδδ

∂∂

α=∂∂

+∂∂

∫∫000 y

Tdy

yT

vdyxT

u (N 30)

A segunda parcela do primeiro membro é integrada por partes conduzindo a:

∫∫δ

δδ

∂∂

−=∂∂

00

0

dyyv

TvTdyyT

v (N 31)

Nesta expressão a primeira parcela do segundo membro é calculada como (vT)δ pois na parede a velocidade é nula. A componente de velocidade v pode ser calculada a partir da equação de quantidade de movimento que conduz a:

( ) dyxu

,xv0∫δ

∂∂

−=δ (N 32)

A segunda parcela do segundo membro da equação N-31 pode ser modificado tendo em conta o resultado da equação da continuidade expresso pela equação N 27, cujo resultado substituído na equação N 30 permite rescrever o balanço de energia como:

δδ

∞

δδ

∂∂

α−=∂∂

−∂∂

+∂∂

∫∫∫0000 y

Tdy

xu

Tdyxu

TdyxT

u (N 33)

As duas primeiras parcelas podem ser combinadas e trocando a ordem entre o integral e a diferenciação, pode-se rescrever o balanço de energia integral na forma.

( )0y0 y

TdyTTu

dxd

=

δ

∞

∂∂

α−=

−∫ (N 34)

Para utilizar o método integral tem de se especificar uma distribuição de velocidade e de temperatura em função de parâmetros que se irão calcular. As funções propostas têm que respeitar as condições fronteira, podendo ser necessário considerar outras condições para calcular todos os parâmetros das funções consideradas. Para este caso vai-se considerar um polinómio do segundo grau para o perfil de velocidade e um polinómio do terceiro grau para a velocidade.

( ) 2210 yayaay,xT ++=

( ) ( )33

2210

'0 ybybybbuy,xu +++=

A partir das equações fronteira do problema podem especificar-se valores para a velocidade e temperatura na superfície sólida (y=0) como u=0 e T=Ts. Para a posição y=δ pode-se impor gradiente nulo e o valor da propriedade do fluido não perturbado:

0u = , ∞= TT , 0dydu

= e 0dydT

=

Para a velocidade tem de se impor mais uma condição devido ao número de parâmetros (4) a determinar. Com base na aplicação da equação de quantidade de movimento para y=0, notando que u=v=0 e T=Ts, pode-se concluir que:

( )∞

=

−νβ

−=

∂∂

TTg

yu

s

0y2

2

A partir das equações impostas pode concluir-se que os perfis de velocidade e de temperatura apresentam a seguinte forma (verificar):

2

s

y1

TTT)y,x(T

δ−=

−−

∞

∞

( ) ( ) ( )2

0

2s

2 y1

yxu

y1

y4

TTgy,xu

δ−

δ=

δ−

δ

ν−βδ

= ∞

onde se definiu uma velocidade u0 em função da posição na camada limite. Diferenciando a equação anterior em ordem a y pode-se concluir que a velocidade máxima é atingida para uma distância y=δ/3. Introduzindo o perfil de velocidade na equação integral de balanço de quantidade de movimento e de energia, obtém-se respectivamente (verificar):

( ) ( )δ

ν−δ−β=δ

∞0

s

20 u

TTg31

dxud

1051

( ) ( ) ( )δ−

α=δ

− ∞∞

TT2

dxud

TT301 s0

s

que são duas equações diferenciais ordinárias que podem ser resolvidas para determinar δ(x) e u0(x). Pode-se obter uma solução aproximada considerando que ambas as variáveis variam com uma potência de x, ou seja

( ) m10 xcxu = e ( ) n

2xcx =δ Substituindo estas equações nas duas equações acima obtém-se ( ) ( ) nm

2

1n2s

1nm2221 x

cc

xcTTg31

x105

ccnm2 −∞

−+ ν−−β=+

( ) n

2

1nm21 xc2

x30

ccnm −−+ α=

+

Para que exista uma solução de semelhança, independente de x ambos os membros das duas equações devem ser semelhantes pelo que tem de se verificar a igualdade dos expoentes de todos os termos com x. Assim:

nmn1nm2 −==−+ n1nm −=−+

Destas três equações, duas são independentes que permitem calcular m=1/2 e n=1/4. Usando estes expoentes nas equações acima permite calcular as constantes de integração c1 e c2 permitindo então expressar a variação da espessura da camada limite como:

( ) ( ) ( ) 41

214

1

2s4

1xPr

TTgPr952.093.3x

−−

∞

ν−β

+=δ

ou de forma adimensional: ( ) ( ) 4

1x

412

1GrPr952.0Pr93.3

xx −−

+=δ

onde se define o número de Grashof local com a dimensão x (posição na camada limite). O número de Nusselt é calculado a partir da sua definição:

( )kTT

xyT

k

khx

Nus

0yx

∞

=

−

∂∂

−

==

onde o gradiente da temperatura junto à parede pode ser calculado a partir do perfil assumido que permite concluir:

( )δ−

−=∂∂ ∞

=

TT2yT s

0y

( ) 41

x4

121

x GrPr952.0Pr508.0x2

Nu−

+=δ

=

Como o coeficiente de convecção é proporcional a x-1/4 (verificar) pode-se concluir que o coeficiente de convecção médio é 4/3 do valor local, conduzindo a:

( ) 41

L4

12

1GrPr952.0Pr677.0

kLh

Nu−

+==

A solução obtida a partir do método integral é aproximada mas representa com boa aproximação a solução analítica. Solução Analítica A solução analítica resulta da solução das equações de balanço de massa, quantidade de movimento e de energia. Ostrach obteve uma solução analítica para diversos valores do número de Prandtl com base no parâmetro de semelhança dado por:

41

x

4Gr

xy

=η

Este parâmetro já tinha surgido nas análises de ordens de grandeza e do método integral. A solução analítica é representada graficamente para a velocidade e para a temperatura na figura seguinte. A velocidade é representada por ux/2ν * Grx

-1/2 e a temperatura pelo perfil adimensional (T-Too)/(Ts-Too) em função do parâmetro η. A partir do perfil de temperatura pode-se determinar o número de Nusselt local como:

(Pr)g*4

GrNu

41

xx

=

onde a função g é apenas função do número de Prandtl. Esta função foi determinada a partir de valores calculados na forma:

41

21

21

Pr238.1Pr221.1609.0

Pr75.0(Pr)g

++

=

sendo como antes o número de Nusselt para o coeficiente de convecção médio dado por NuL=4/3*Nux.

Na tabela seguinte apresenta-se valores obtidos a partir da solução analítica para o número de Nusselt médio em função do número de Prandtl. Pr 0.003 0.008 0.01 0.02 0.03 0.72 Nu/Ra1/4 0.182 0.228 0.242 0.280 0.305 0.516 Pr 1 2 10 100 1000 oo Nu/Ra1/4 0.535 0.568 0.620 0.653 0.665 0.670 O movimento do fluido analisado anteriormente assume um comportamento laminar. Quando as forças viscosas são pequenas comparadas com a impulsão, podem gerar-se instabilidades que dão origem ao escoamento turbulento. A transição para regime turbulento para a placa plana vertical corresponde a um número crítico de Rayleigh:

( ) 93

sc,xc,x 10

xTTgPrGrRa ≈

να−β

== ∞

Correlações de transferência de calor por convecção natural Para regime turbulento existem correlações para o número de Nusselt em função do número de Rayleigh normalmente na forma NuL=C*RaL

n, sendo apresentados valores de C e n na tabela seguinte. Regime Limite de Rayleigh C n Laminar 104 - 109 0.59 1/4 Turbulento 109 – 1013 0.10 1/3 No caso de regime turbulento em que n=1/3 o coeficiente de transferência de calor é independente da altura da placa como se pode verificar facilmente. Churchill e Chiu correlacionam número de Nusselt para qualquer número de Rayleigh

( )

2

278

169

61

L

Pr/492,01

Ra378,0825,0Nu

+

+=

Para números de Rayleigh inferiores a 109 (regime laminar) recomendam uma equação específica com melhores resultados dada por:

( )[ ] 94

169

41

L

Pr/492,01

Ra670,068,0Nu

++=

As expressões apresentadas são válidas para o caso de temperatura da superfície constante. Para o caso de fluxo de calor imposto para o regime laminar o número de Nusselt é proporcional a RaL

1/5, existindo também correlações para regime turbulento. Vamos aqui utilizar as correlações de temperatura constante como aproximação com a temperatura média da placa que pode ser calculada a partir de q=h(TSup-Too). Convecção natural em canais Na prática quando se pretende maximizar a transferência de calor, utilizam-se alhetas formando canais no seu espaçamento. Para L/S << as camadas limite desenvolvidas nas placas podem não se intersectar e podem então ser tratadas como isoladas. Para L/S >> a proximidade das superfícies implica que haja uma interacção das camadas limite. Escoamento completamente desenvolvido à Ras S/L <10 Placas isoladas sem interacção à Ras S/L >100 Para placas verticais isotérmicas e à mesma temperatura:

( )4

3

sss LSRa

35exp1LSRa

241Nu

−−

= (Elenbas, 1942)

sendo usado o espaçamento entre as placas como dimensão característica nos números de Nusselt e Rayleigh. No caso S/L >>> o termo entre parentesis é nulo. Para o caso de fluxo de calor constante em vez da temperatura, define-se os números de Nusselt e Rayleigh por:

( ) kS

TTq

NuL,s

"s

L,s∞−

= e να

β=

kSqg

Ra4"

s*s

sendo usada a temperatura da superfície no fim da camada limite Para o caso limite S/L>>> com fluxos de calor iguais obtém-se:

( )LSRa144,0Nu *ss =

e no caso de se considerar uma superfície adiabática obtém-se:

( )LSRa204,0Nu *ss =

Tendo em conta os vários tipos de dependência, propôs-se uma correlação para o caso de placas isotérmicas na forma:

( ) ( )2

1

s

22

s

1s LSRa

CLSRa

CNu

−

+=

No caso de fluxo de calor constante a correlação é dada por:

( )

21

52

21s

LSRa

CLSRa

CNu

−

+=

sendo as constantes apresentadas na tabela seguinte. Nesta tabela apresenta-se o espaçamento óptimo entre alhetas (SÓpt.) que é o espaçamento que permite maximizar o calor transferido a partir das alhetas no seu conjunto. Define-se ainda o valor de espaçamento máximo entre placas correspondente à situação em que não se verifica interacção das camadas limite quando se maximiza o calor trocado por placa.

Condições na superfície C1 C2 SÓpt SMáx/SÓpt

Isotérmicas (Ts1=Ts2) 576 2,87 2,71(Ras/S3L)-1/4 1,71 Fluxos iguais qs1=qs2 48 2,51 2,12(Ras

*/S4L)-1/5 4,77 Isotérmica Ts1 e Adiab. 144 2,87 2,15(Ras/S3L)-1/4 1,71 Fluxo qs1 e adiabática 24 2,51 1,69(Ras

*/S4L)-1/5 4,77 As propriedades devem ser calculadas à temperatura média entre a superfície e o fluído em repouso. No caso de fluxo de calor imposto deve-se considerar a temperatura da superfície no final da camada limite Ts,L que se afasta mais de Too. Para canais com inclinação até 45º os resultados mantêm-se para Ras(S/L)>200.

Pode-se também usar a correlação ( )4ss LSRa645,0Nu =

Cavidades

Numa cavidade (recinto fechado) o calor é transferido entre duas superfícies através do fluido, pelo que se define: q"= h (T1-T2) onde T1 e T2 são as temperaturas das superfícies. Definem-se três situações dependendo da superfície aquecida ser a do topo, lateral ou inferior. Considera-se normalmente a parede oposta fria apesar de existirem estudos para outros casos.

Vai-se considerar apenas casos bi-dimensionais (i.e. w>>L) Cavidade horizontal – (τ=180) com aquecimento no topo NuL=1 Cavidade horizontal – (τ=0) com aquecimento na base RaL,c<1708 - Forças viscosas não permitem movimento h=k/L 1708<RaL <5*104 – Formação de correntes em células.

5*104<RaL<7*109 Escoamento turbulento

074.031

LL PrRa069,0k

hLNu == Globe e Dropkin (1959)

Cavidades verticais (τ=90) Superfícies laterais isotérmicas RaL<103 – Forças viscosas não permitem movimento NuL=1 RaL>103 – Movimento do fluido forma circulação entre superfícies. Existem correlações para várias gamas da razão geométrica H/L:

para 2 < H/L < 10, Pr<105 , 103<RaL<109

para 1 < H/L < 2, 10-3 <Pr<105 3L 102,0Pr

PrRa>

+

para 10 < H/L < 40, 1<Pr<2*104, 104 < RaL < 107

para 1 < H/L < 40, 1<Pr<20, 106 < RaL < 109

Para superfícies inclinadas aquecidas na base (colectores solares) com inclinação inferior a valor crítico de τ na tabela: H/L 1 3 6 12 >12 τ 25º 53º 60º 67º 70º

41

LL LH

Ra2,0Pr

Pr22,0Nu

−

+

=

29,0

LL Ra2,0Pr

Pr18,0Nu

+

=

3,0012,04

1

LL LH

PrRa42,0Nu−

=

31

LL Ra046,0Nu =

Para o caso H/L>12 Hollands et.al. (1976) propõe:

( )( )

−

τ

+

ττ

−

τ

−+= 15830

cosRacosRa

8,1sen17081

cosRa1708

144,11Nu3

1L

L

6,1

LL

Os termos entre parêntesis rectos [ ] só são considerados no caso de serem positivos. No caso RaL < 1708/cos τ à NuL=1. Para o caso de razões de aspecto pequenas Catton (1978) propõe:

( ) **

4*

L

LLL sen

)0(Nu)90(Nu

)0(NuNu τττ

τ

τ

=τ=τ

=τ=

Independentemente da razão H/L, recomenda:

( ) 41

LL sen)90(NuNu τ=τ= para τ∗<τ<90º

[ ] τ−=τ+= sen1)90(Nu1Nu LL para 90º<τ<180º Cilindros coaxiais e esferas concêntricas- Para estas geometrias define-se uma condutividade térmica efectiva que é utilizada na formula de transferência de calor por condução:

Cilindro ( ) ( )oiio

ef TTDDln

k2q −

π=

l com l comprimento do tubo

Para Rac*<100 considera-se kef=k, sendo

( )[ ]5

53

05

3

i3

L4

io*c

DDL

RaDDlnRa

+

=−−

Para 100<Rac*<107 utiliza-se a correlação:

41

*e

41

ef RaPr861,0

Pr386,0

kk

+

=

Esferas concêntricas ( ) ( )oiio

ioef TT

DDDD

k2q −−

π=

O número de Rayleigh para a esfera é definido por

( )

+

=−− 5

57

05

7

i

L4

io

*e

DD

Ra

DD

LRa

sendo a condutividade efectiva definida para 100<Rac*<104 por:

41

*e

41

ef RaPr861,0

Pr74,0

kk

+

=

Enunciados de problemas copiados do Incropera 9.5 - A taxa de transferência de calor, por convecção livre numa superfície vertical, com 1 m de altura e 0,6 m de largura, imerso no ar de uma atmosfera em repouso, com uma temperatura 20 K mais fria que a superfície tem um valor conhecido. Qual a razão entre a taxa de transferência de calor, na situação descrita e a taxa de transferência de calor numa superfície vertical, com 0,6 m de altura e 1 m de largura e com o ar em repouso com temperatura 20 K acima da temperatura da superfície ? Desprezar a tansferência de calor por radiação e qualquer influência da temperatura sobre as propriedades termofísicas relevantes do ar. 9.9 - Consideremos uma montagem de alhetas verticais, rectangulares que servem para arrefecer um dispositivo electrônico montado numa atmosfera em repouso a T=27ºC Cada alheta tem L =20 mm e H = 150 mm e opera a uma temperatura aproximadamente uniforme e igual a 77ºC. (a) Imaginando que cada superfície das alhetas seja uma placa vertical, num meio infinito e em repouso, descreva resumidamente por que existe um espaçamento óptimo das alhetas. Com a figura da camada limite de convecção natural, estimar o valor óptimo de S nas condições mencionadas. (b) Com o valor óptimo de S e com uma espessura de alheta t =1.5 mm, estimar a taxa de transferencia de calor pelas alhetas numa montagem cuja largura seja W= 355 mm. 9.56 - Consideremos as condições do Problema 9.9, mas analisemos a questão como a de convecção livre em canais verticais com paredes planas e paralelas. Qual é o espaçamento óptimo entre as alhetas S ? Para esse espaçamento, e com os valores mencionados de t e de W; qual é a taxa de transferencia de calor nas alhetas ? 9.35 – Um tubo de vapor atravessa uma grande sala cujas paredes e o ar ambiente estão a 300 K. O tubo tem o diâmetro de 150 mm, a emissividade de 0,85 e a temperatura da superfície externa de 400 K. Calcular a perda de calor por unidade de comprimento do tubo. 9.65 - Consideremos uma secção horizontal de um telhado com as mesmas dimensões que uma secção vertical de parede. Nas duas secções existem cavidades com ar no interior encontrando-se a superfície do lado interior a 18ºC e a do lado exterior a 10ºC. a) Estimar a razão entre a taxa de .transferência convectiva de calor na secção horizontal e a mesma taxa na secção vertical. b) Qual seria o efeito sobre a taxa de transferencia convectiva de calor na secção vertical da parede, se fosse dividida na horizontal a meia altura da parede?

3m 0.1m

0.1m

3m

Divisão horizontal da cavidade vertical