INVESTINDO EM AÇÕES, REDUZINDO O RISCO E AUMENTANDO O

POTENCIAL DE RETORNO COM O AUXÍLIO DA ESTATÍSTICA.

ABREU, Edgar Gomes de – UNISINOS

RESUMO

Com a queda nas taxas de juros, a rentabilidade das aplicações financeiras de

ativos de renda fixa (Certificado de Depósito Bancário, Título Público Federal, Fundos

de Investimento de Renda Fixa) tem sido cada vez menor, o que acaba despertando a

curiosidade dos investidores em aplicar seus recursos no mercado de ações. Em vista

deste motivo, é notório o crescimento do investimento dos brasileiros neste mercado,

mesmo após a ocorrência da maior crise deste segmento, vivenciada no segundo

semestre de 2008. O que poucos sabem é que a Matemática, mais especificamente a

Estatística, é muito utilizada como instrumento de auxílio ao investidor. Este minicurso

tem como objetivo mostrar a importância da Estatística na decisão de investimento no

mercado de ações. Neste curso serão apresentadas as principais medidas de

estatística e será mostrado como cada uma delas é utilizada pelos investidores em ações,

auxiliando na tomada de decisão. Entre as medidas estatísticas utilizadas, destacam-se:

média, desvio-padrão, curva de Gauss, covariância, correlação, índíce Sharpe, Beta,

coeficiente de determinação, tracking error, value at risk – VaR, back testing, stress

test, stop loss, entre outras.

Quando analisamos a rentabilidade de uma ação, a média dos retornos históricos

representa a nossa expectativa de retorno ao comprar esta ação, mas sabe-se que a

rentabilidade futura não necessariamente será igual à média histórica. Isso ocorre devido

ao fato de este investimento possuir certo risco de mercado, o qual pode ser

determinado por meio do cálculo do desvio-padrão. Conhecendo a média e o desvio-

padrão de uma ação, podemos esperar obter certa rentabilidade dentro de certo intervalo

de confiança, utilizando a curva normal. Outro índice muito utilizado é a medida de

correlação, que indica o grau de diversificação de uma carteira de ações. Quanto melhor

for essa diversificação, menor tenderá a ser o risco de mercado e, com isso, maior

tenderá a ser o potencial de retorno. Neste minicurso o aluno irá visualizar o quanto a

estatística é importante para a avaliação do preço das ações e como ela é utilizada pelos

analistas técnicos de mercado para aconselhar seus clientes e para montar suas próprias

503

carteiras de ações. Para apresentação deste minicurso será necessário a utilização de

uma sala com computadores e alguma planilha instalada (Excel, Star Calc, BR Office),

pois após uma apresentação expositiva dos índices acima mencionados, será

disponibilizado aos alunos uma planilha onde cada um poderá montar sua carteira de

ações, calculando os índices e as medidas estatísticas apresentadas, com o objetivo de

montar uma carteira de ações bem diversificada, com baixo risco e alto potencial de

retorno.

Palavras-chaves: aplicação da estatística, Investimento em Ações, auxílio na decisão de

investimento.

504

I. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

Os cursos de graduação em Matemática (licenciatura ou bacharelado) oferecidos

pelas diversas universidades existentes no Brasil fornecem aos alunos um ótimo

conhecimento desta ciência, abordando tópicos como: origem da matemática,

compreensão dos números, entendimento da álgebra, etc. No caso dos cursos de

licenciatura, discute-se ainda as diferentes formas de transmissão do conhecimento

desta disciplina aos alunos, tarefa que é, sem dúvida, uma grande preocupação no meio

escolar.

Talvez os cursos de graduação em matemática estejam deixando a desejar por

demonstrarem pouca aplicação prática desta ciência, que hoje é uma das mais presentes

no mercado de trabalho. Este fato justifica-se em parte pelo fato de a duração dos cursos

de graduação ser insuficiente para possibilitar tal aprofundamento, mas que, entretanto,

faz-se extremamente necessário.

Com a globalização, o avanço tecnológico e a facilidade com que encontramos

as informações desejadas, os alunos se tornaram mais críticos, deixando de absorver

parte do que lhes é ensinado. Para este aluno moderno faz-se necessária uma

reestruturação na educação e na ciência como todo. Esta transformação do ensino da

matemática pode ser percebida na criação de cursos específicos com aplicação da

matemática em outras áreas, tais como: Administração, Economia, Informática, etc.

Uma revisão das grades curriculares dos cursos de Matemática no país mostra

que a maioria deles oferece apenas uma única disciplina de Metodologia do Ensino da

Matemática ou, no máximo, duas. No que diz respeito à Estatística, alguns cursos

oferecem disciplinas de Estatística Educacional ou Estatística Aplicada à Educação

(Gonçalves, 2003). Contudo, analisando as ementas dessas disciplinas, constata-se que o

tempo é exíguo para dar conta dos conteúdos e métodos da Matemática e Geometria, e,

mais recentemente, da Estatística e Probabilidade.

II. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS

Os três conceitos básicos que devem ser familiares a qualquer investidor são:

retorno, incerteza e risco. O retorno pode ser definido como o ganho ou a perda

decorrente de uma aplicação financeira em um determinado intervalo de tempo. Tentar

prever os retornos das aplicações financeiras não é uma tarefa fácil, pois a incerteza é

um fator sempre presente nos investimentos. Assim, faz-se necessário medir as

505

incertezas. O risco pode ser definido como qualquer medida numérica relacionada à

incerteza. A gestão ou mensuração do risco de um portfólio1 pode ser definida como o

conjunto de todas as pessoas, procedimentos e sistemas usados para controlar as perdas

potenciais do investimento.

Existem várias maneiras de fazermos uma mensuração do risco de uma carteira.

Para Jorion [1998] o processo de mensuração formal do risco passa, inicialmente, pela

clara definição da variável de interesse: o capital, o valor de uma carteira, determinado

fluxo de caixa ou outra variável qualquer. No contexto da gestão financeira de

empresas, Uyemura e Van Deventer [1993] definem risco como a variabilidade dos

fluxos de caixa de uma unidade de negócios: produto, carteira, departamento, ou até

mesmo a empresa como um todo.

O uso da estatística é de suma importância no mercado de capitais. Os

investidores utilizam medidas e modelos estatísticos na busca pela minimização dos

riscos em seus portfólios. Carlos Pinheiro (2006, p.105) afirma que:

“Desde que Harry Markowitz foi laureado com o Nobel em função da sua teoria

do portfólio, no início dos anos 50, a construção de portfólios com base na

média-variância tem sido popular no mundo acadêmico, auxiliando os agentes

econômicos no mercado.”

Sem uma análise de risco, o investidor corre todo o risco de mercado, podendo

causar perdas significativas em seu patrimônio financeiro. Os riscos de mercado

decorrem das possíveis variações no valor de mercado da variável de interesse em

função de instabilidade, existentes em quatro tipos distintos de parâmetros de mercado:

taxas de juros, taxas de câmbio, preços de ações e preços de commodities. A

quantificação do risco exige que a incerteza associada a esta instabilidade e seu

potencial efeito adverso na lucratividade sejam capturados. Os instrumentos analíticos

básicos da quantificação de riscos aplicam-se, segundo Bessis [1998], aos quatro tipos

de parâmetro. Com uma boa gestão de risco as perdas podem ser reduzidas, melhorando

a relação entre o risco retorno do investimento.

1 Portfólio é uma carteira de aplicações financeiras composta por títulos e valores mobiliários, tais como: ações, debêntures, nota promissória, etc.

506

III. O MINICURSO

3.1 Objetivos

a) Fornecer um conhecimento mínimo introdutório sobre as principais

aplicações financeiras e as taxas de juros praticadas no mercado financeiro.

b) Entender a importância da estatística como ferramenta de auxílio na tomada

de decisão do investidor.

c) Explicar as principais medidas de risco utilizadas na mensuração de

carteiras.

d) Fazer com que o palestrante crie sua própria carteira de ações,

diversificando e calculando o risco de seu investimento hipotético.

e) Fornecer subsídios para a formação matemática.

f) Contribuir para a mudança de atitudes em relação à Matemática.

3.2 Procedimentos

a) Parte 1 - Introdução

Começaremos com uma aula expositiva, na qual será fornecido aos participantes

uma introdução sobre as principais aplicações financeiras disponíveis no mercado,

rentabilidades e riscos de cada aplicação.

Assuntos abordados:

o Relação taxa de juros das aplicações financeiras x taxa Selic Meta;

o Diferença entre ativos de renda fixa e ativos de renda variável;

o Principais aplicações financeiras de renda fixa: fundos de investimento de renda

fixa, poupança, título público federal, debêntures e nota promissória;

o Principais ativos de renda variável: ações, fundos de investimento em ações;

o Risco x retorno.

Tempo previsto: 50 min

b) Parte II – Estatística e aplicações financeiras

Explicação dos principais índices de estatística utilizados no mercado de valores

mobiliários, destacando-se a forma como são utilizados e a importância que exercem no

auxílio ao investidor na tomada de decisões das aplicações financeiras.

507

Assuntos abordados

o Média

A principal vantagem é o cálculo do retorno médio de um investimento.

Considerando que uma ação teve as seguintes oscilações nos primeiros cinco dias de um

determinado mês:

1º � + 3%

2º � + 4%

3º � − 2%

4º � − 1%

5º � + 1%

Podemos descobrir o “retorno médio” deste ativo, calculando a média destes valores:

3 4 ( 2) ( 1) 1 51%

5 5X

+ + − + − += = =

Assim, podemos esperar um retorno diário médio de 1%.

o Variância

Mede o grau de dispersão de um conjunto de dados. Tem-se pelos desvios em relação à

média desse conjunto.

Cálculo da variância:

Considerando que uma ação teve as seguintes oscilações nos primeiros cinco dias de um

determinado mês:

1º � + 3%

2º � + 5%

3º � + 7%

4º � − 2%

5º � + 2%

Primeiro, efetua-se o cálculo da média:

3 5 7 ( 2) 2 153%

5 5X

+ + + − += = =

Depois, calcula-se a variância:

2

1

( )

( 1)

n

ii

X X

n=

−

−

∑

508

2 2 2 2 22

2

(3 3) (5 3) (7 3) ( 2 3) (2 3)

40 4 9 25 1 39

9,75%4 4

X

X

σ

σ

− + − + − + − − + −=

+ + + += = =

Assim, a variância é de 9,75%.

o Desvio-padrão

A variância possui um problema de construção como medida de dispersão de dados:

apresenta uma unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados

originais. Esse problema é resolvido extraindo-se a raiz quadrada da variância, o que

chamamos de desvio-padrão. No mercado financeiro, esse valor geralmente é chamado

de volatilidade de um ativo, sendo utilizado como principal medida de risco ao se

investir em determinado ativo.

Quais dos dois ativos abaixo possuem maior risco?

Data PETR4 VALE5

07/07 − 4% − 2%

08/07 − 3% − 1%

09/07 + 1% +1%

10/07 + 6% − 2%

11/07 − 5% − 1%

Cálculo da média para PETR4:

4

( 4) ( 3) 1 6 ( 5) 51%

5 5PETRX− + − + + + − −= = = −

Cálculo da média para VALE5:

5

( 2) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 51%

5 5VALEX− + − + + − + − −= = = −

Cálculo do desvio-padrão para PETR4:

509

2 2 2 2 22

2

( 4 ( 1)) ( 3 ( 1)) (1 ( 1)) (6 ( 1)) ( 5 ( 1))

4

9 4 4 49 16 8220,5 4,52%

4 4

X

X

σ

σ

− − − + − − − + − − + − − + − − −=

+ + + += = = =

Cálculo do desvio-padrão para PETR4:

2 2 2 2 22

2

( 2 ( 1)) ( 1 ( 1)) (1 ( 1)) ( 2 ( 1)) ( 1 ( 1))

4

1 0 4 1 0 61,5% 1,22%

4 4

X

X

σ

σ

− − − + − − − + − − + − − − + − − −=

+ + + += = = =

Assim, podemos afirmar que a ação da PETR4 possui um risco maior para o

investidor, pois apresenta um desvio-padrão maior.

o Distribuição Normal

A distribuição normal explica a probabilidade de um evento ocorrer. A importância de

saber a média e o desvio-padrão está em conhecer a probabilidade dos eventos

ocorrerem. As probabilidades de afastamento da média de uma certa quantidade de

desvios-padrão já estão calculadas pelos estatísticos.

o Covariância

Em geral, observa-se que quando os juros sobem, os preços das ações caem. Este

comportamento sugere que há uma covariância negativa entre as variáveis taxa de juros

e preços de ações.

A covariância é uma medida que avalia como as variáveis X e Y se inter-relacionam de

forma linear, ou seja, como Y varia em relação a uma determinada variação de X.

Fórmula:

1

( ) ( )

1

n

i ii

XY

X X x Y YCOV

n=

− −=

−

∑

Aplicando no exemplo anterior, temos:

510

,

,

,

[( 4 ( 1)) ( 2 ( 1))] [( 3 ( 1)) ( 1 ( 1))]....

4

[ 3 ( 1)] ( 2 0) (2 2) [7 ( 1)] ( 4 0)

4

3 0 4 7 0 00

4 4

P V

P V

P V

xCOV

x x x x xCOV

COV

− − − − − − + − − − + − − −=

− − + − + + − + −= =

+ + − += = =

o Correlação

A covariância busca mostrar se há um comportamento de interdependência linear entre

duas variáveis. Porém, a covariância é uma medida dimensional, sendo afetada pelas

unidades de medida das séries X e Y. Para corrigir esse problema da covariância,

chegou-se à medida de correlação, que é um número adimensional que varia entre -1 e 1

(inclusive).

A correlação (ou coeficiente de correlação linear de Pearson) é dada pela fórmula:

,XY

X YX Y

COVρσ σ

=×

Para o exemplo anterior temos:

,

00

4,52 1,22X Yρ = =×

O coeficiente de correlação mostra se há relação linear entre duas séries de dados X e Y.

o Indíce Beta

O beta de uma ação em relação a um determinado índice de mercado mede o grau de

sensibilidade desta ação aos acontecimentos que afetam todo o mercado. Quanto maior

o beta, maior é esta sensibilidade e, portanto, maior o seu risco.

o Tracking error

O Tracking Error é dado pela seguinte equação:

TE =σ (Rfundo - Rbench)

511

Assim, o tracking error é dado pelo desvio-padrão das diferenças entre os retornos de

um fundo e os retornos do seu benchmark em um determinado período. Quanto mais

“volátil” forem estas diferenças, maior será o tracking error.

o Erro Quadrático Médio

O erro quadrático médio é dado pela seguinte equação:

Assim, o erro quadrático médio é calculado pela média das diferenças ao quadrado entre

os retornos de um fundo e os retornos de seu benchmark.

o Indíce Sharpe

Mede a quantidade de prêmio recebido por risco assumido:

Onde:

E (R risco): rentabilidade esperada de um investimento com risco maior que zero.

R sem risco: rentabilidade de um investimento sem risco.

σ risco: volatilidade ou desvio-padrão do investimento com risco.

Quanto maior o valor do Indice Sharpe, melhor o investimento.

o VaR – Value at Risk

O cálculo do valor em risco (ou VAR) é um método de se obter o valor esperado

da máxima perda (ou pior perda) dentro de um horizonte de tempo com um intervalo de

confiança.

o Back Testing

Qualquer modelo de VAR deve ser testado para que seja aferida sua precisão. O

Back Testing é uma ferramenta utilizada neste processo: o modelo é alimentado com

dados históricos e com o número de violações (ocorridas no passado). Assim, o limite

de VAR é medido de modo a verificar se está dentro do nível de confiança estabelecido.

Normalmente o Back Testing é utilizado para testar modelos derivados por meio de

simulações.

512

o Stress Test

O Stress Test normalmente é utilizado como um complemento do VAR, com o objetivo

de medir as perdas quando o grau de confiança (normalmente 95%) é ultrapassado. São,

em geral, situações de stress de mercado, conhecidas como fat tail (cauda grossa), que é

uma referência à "ponta" da distribuição normal dos retornos e que pode assumir

valores muito altos, sendo imprevisíveis se apenas o VAR for utilizado.

o Stop Loss

O Stop Loss é a ferramenta utilizada quando os limites de VAR são ultrapassados.

Tempo previsto: 1h30min

c) Parte III – Montando sua própria carteira de ações.

Nesta parte, cada participante irá receber uma planilha do Excel, onde terá que

escolher algumas ações para montar sua carteira hipotética de investimento, utilizando-

se das explicações anteriores o aluno irá tentar reduzir o risco de sua aplicação, a fim de

aumentar o potencial de retorno dos seus investimentos.

Tempo previsto: 40 min

d) Parte IV – Encerramento e discussão

Será realizada a conclusão do trabalho e ocorrerá um breve debate entre os

participantes sobre o minicurso apresentado.

Tempo previsto: 15 min

Duração total do minicurso: 3h15min

3.3 Materiais necessários:

o Projetor do tipo “datashow”;

o Quadro-negro e giz ou quadro branco com pincel;

o Sala com computadores (mínimo de um computador para cada dois participantes);

o Software de planilha eletrônica (preferível Excel, na falta deste poderão ser

utilizadas outras planilhas dos pacotes free BR Office ou Star Office).

VI. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS

A procura por investimentos em ações tem aumentado a cada ano. O mercado

exige cada vez mais um investidor racional, que entenda o objetivo do mercado de

513

capitais e que tenha a convicção de que os investimentos possuem alto risco, mas que

este risco pode reduzido e até mesmo controlado. Para isso, necessitamos dos

conhecimentos relacionados ao campo da matemática e da estatística.

Espera-se com a conclusão deste minicurso que os participantes possam ter uma

noção sobre aplicações financeiras, e principalmente que saibam como utilizar as

medidas de estatística e os índices apresentados para montar um portfólio de

investimento.

Decidir para onde direcionar o nosso dinheiro é quase tão difícil como ganhá-lo.

Ao término deste minicurso, deseja-se que o participante possa ter uma melhor

compreensão sobre os fatores que podem influenciar e auxiliar a sua tomada de decisão

na hora de escolher a sua aplicação financeira.

VII. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J. & WILLIAMS, Thomas A. Estatística aplicada à administração e economia. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

AURÉLIO, E. M. & LEINER, R. Avaliação de risco: introdução ao estudo do Value at Risk. São Paulo: Brazilian Bussiness School – Pós-Graduação em Finanças, 2003

BESSIS, J. Risk Management in Banking, 1st Edition. John Wiley & Sons Ltd., United Kingdom, 1998

GONÇALVES, H. J. L. Educação Estatística: Apontamentos sobre a Estatística nos cursos de Pedagogia - Magistério para séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Seminário IASI de Estatística Aplicada, Rio de Janeiro: IMPA, 2003.

JORION, P. Value at Risk – A nova fonte de referência para o Controle do Risco de Mercado, 1ª Edição. Bolsa de Mercadorias & Futuros, São Paulo, 1998

PINHEIRO, C. Investimentos teoria e prática através do Excel. 1ª Edição. Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 2006.

UYEMURA, D.G. e VAN DEVENTER, D.R. Financial Risk Management in Banking Strategy, 1st Edition. Probus Publishing Company, United Kingdom, 1993

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