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Equao diferencial ordinria

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  • Curso de EDO

    Augusto Armando de Castro Junior (armando@impa.br)

    06 de marco de 2007

  • Conteudo

    0 Prolegomenos de Espacos Metricos e Analise 10.1 Espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 O Teorema do Ponto Fixo para Contracoes . . . . . . . . . . . 40.3 Espacos de aplicacoes contnuas com domnio compacto . . . . 100.4 Integracao de Caminhos em Espacos de Banach . . . . . . . . 190.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1 O conceito de EDO 251.1 O problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2 Problemas de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Alguns metodos de Solucao de Equacoes na Reta . . . . . . . 301.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2 Teoremas de existencia e unicidade de solucoes 362.1 O Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 O Teorema de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Intervalo maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3 Dependencia das solucoes em relacao a`s condicoes iniciais eparametros. 523.1 Dependencia contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Dependencia diferenciavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4 Campos de Vetores 614.1 Equivalencia e conjugacao de campos vetoriais . . . . . . . . . 674.2 O Teorema do Fluxo Tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

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  • CONTEUDO ii

    4.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    5 Os conjuntos de limite e limite 805.1 O teorema de Poincare-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . 835.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    6 Equacoes lineares 926.1 Caracterizacao das solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.2 Campos lineares a coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . 996.3 C1-Conjugacao de campos lineares a coeficientes constantes . . 1026.4 Revisao de algebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.5 Aplicacoes da Forma de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    6.5.1 Classificacao dos campos lineares hiperbolicos . . . . . 1216.5.2 Equacoes lineares de ordem superior na Reta . . . . . . 134

    6.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    7 Nocoes Basicas de Teoria Espectral 1387.1 Funcoes de um Operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.2 O Operador Adjunto e seu espectro . . . . . . . . . . . . . . . 1547.3 Operadores Compactos e Problemas de Contorno . . . . . . . 165

    8 O Teorema de Grobman-Hartman 1668.1 O teorema de Grobman-Hartman para difeomorfismos . . . . . 1688.2 O teorema de Grobman-Hartman para campos . . . . . . . . . 1748.3 Apendice: Classificacao dos isomorfismos hiperbolicos . . . . . 179

    9 O Teorema da Variedade Estavel 1929.1 O Teorema da Variedade Estavel para difeomorfismos . . . . . 1939.2 O Teorema da Variedade estavel para campos . . . . . . . . . 207

  • Captulo 0

    Prolegomenos de EspacosMetricos e Analise

    Neste captulo, relembramos alguns conceitos basicos em Topologia e demon-stramos resultados que serao uteis desde o incio do curso, mas que nem sem-pre recebem a enfase devida nos cursos de Analise, dada a carga de assuntosque ja mune tais cursos. Assim, enunciamos e provamos o Teorema do pontofixo para Contracoes, o Teorema de Aproximacao de Weierstrass e o Teoremade Ascoli-Arzela.

    0.1 Espacos metricos

    Definicao 0.1.1. (Metrica e espaco metrico). Umametrica em um conjuntoY e uma funcao d : Y Y [0,+) tal que, dados quaisquer x, y, z Y ,valem:

    d1) d(x, y) = 0 x = y.d2) d(x, y) = d(y, x).

    d3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular).O par ordenado (Y, d) e chamado de espaco metrico. Em geral, por um

    abuso de linguagem, diz-se que Y e um espaco metrico, subentendendo-seuma metrica d a ele associada.

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  • Augusto Armando de Castro Junior, Curso de EDO 2

    Definicao 0.1.2. (Bola aberta e conjuntos abertos de um espaco metrico).Seja (X, d) um espaco metrico. Dado x X e r R+ qualquer definimos abola aberta centrada em x e raio r como o conjunto

    B(x, r) := {y X; d(x, y) < r}.

    Dizemos que A X e um conjunto aberto de X se A pode ser escrito comouniao qualquer (inclusive nao enumeravel) de bolas abertas de X. Dizemosque um conjunto F X e fechado em X se F c := X \ F e aberto.Observacao 0.1.3. Lembramos que a colecao T acima definida dos abertosde um espaco metrico (X, d) possui as seguintes propriedades:

    1. X e pertencem a T .2. T e fechada para unioes arbitrarias de seus elementos. Em outras

    palavras, dada uma famlia arbitraria (possivelmente nao enumeravel)(A ) de abertos A T , a uniao A tambem e um conjuntoaberto.

    3. T e fechada para interseccoes finitas de seu elementos. Isto e, dadosabertos A1, . . . , Aq T , q N, a interseccao qj=1Aj tambem e umconjunto aberto.

    As tres propriedades acima fazem de T uma topologia , e do par (X, T )um exemplo de espaco topologico. Embora nao nos alonguemos sobre isso nopresente texto, em algumas proposicoes lancaremos mao destas propriedadesda colecao dos abertos de X.

    Definicao 0.1.4. (Norma). Seja (E,+, .,R) um espaco vetorial real. Umanorma em E e uma aplicacao : E [0,+) com as seguintes pro-priedades:

    1. v = 0 v = 0;2. v = || v; R, v E.3. v + w v+ w;v, w E (desigualdade triangular).

  • Augusto Armando de Castro Junior, Curso de EDO 3

    O exemplo mais comum de espaco metrico e dado pelos espacos vetoriaisnormados. Se E e um tal espaco, dotado de uma norma , entao a aplicacaod : E E [0,+) dada por

    d(v, w) := v w,v E,w E;

    define uma distancia em E.Outra classe importante de exemplos de espacos metricos e dada quando

    tomamos um subconjunto Y X de um espaco metrico (X, d). Nesse caso,a restricao d|YY define uma metrica em Y .Definicao 0.1.5. (Sequencia e subsequencia). SejaX um conjunto qualquer.Uma sequencia em X e uma aplicacao x : N X. Denota-se xj := x(j)e (xj) := x. Dada uma sequencia (xj) : N X, uma subsequencia (xjk)de (xj) e qualquer restricao de (xj) a um subconjunto infinito N N, N ={j1, j2, . . . , com j1 < j2 < . . . }.Definicao 0.1.6. (Sequencia convergente). Uma sequencia (xj) em umespaco metrico (Y, d) e dita convergente para y Y se para toda bola abertaB tal que y B, tem-se um numero finito de ndices j tais que xj / B. Emoutras palavras, dado uma bola aberta B Y com y B, existe jB tal quexj B, n > nB. Escrevemos xj y quando j +, ou simplesmentexj y para denotar que a sequencia (xj) converge a y Y . Dizemos queuma subsequencia (xjk) e convergente se a sequencia (yk) : N Y definidapor yk := xjk , k N for convergente.Definicao 0.1.7. (Sequencia de Cauchy). Seja (Y, d) um espaco metrico.Uma sequencia (yn), com yn Y, n N e dita sequencia de Cauchy se dadoum real > 0, existe n0 N tal que para todos m, j N, com m n0 ej n0 temos d(ym, yj) .

    Intuitivamente, dizer que (yn) e uma sequencia de Cauchy significa dizerque seus termos vao ficando mais e mais proximos para ndices n suficiente-mente grandes.

    Definicao 0.1.8. (Aplicacao contnua). Sejam (X, d), (X, d) espacos metricos.Uma aplicacao f : X X e dita contnua em um ponto x X se dado > 0existe > 0 tal que

    y X, d(x, y) < d(f(x), f(y)) < .

  • Augusto Armando de Castro Junior, Curso de EDO 4

    0.2 O Teorema do Ponto Fixo para Contracoes

    Definicao 0.2.1. (Espaco metrico completo). Um espaco metrico (X, d) edito completo se toda sequencia de Cauchy (xn), com xn X, converge paraum ponto x X.Definicao 0.2.2. (Espaco de Banach). Um espaco vetorial normado cujametrica oriunda da norma e completa e chamado de espaco de Banach.

    Exemplo 0.2.3. Seja X = Rk, e : Rk [0,) uma norma qualquer.Entao e possvel provar que X com a metrica dada por d(v, w) := v w,v, w Rk e um espaco metrico completo, e portanto, um espaco deBanach. Tal fato segue-se de que toda sequencia limitada em Rk possui umasubsequencia convergente (teorema de Bolzano-Weierstrass).

    Exemplo 0.2.4. Seja X um conjunto qualquer, e seja (E, ) um espacode Banach. Defina o conjunto

    F = F(X) := {f : X E, f e limitada}.Entao a aplicacao : F [0,+) dada por

    f = sup{f(x), x X}e uma norma de F , chamada de norma da convergencia uniforme, ou normado sup. E possvel mostrar (veja o exerccio 3) que F e um espaco de Banach.Definicao 0.2.5. (Aplicacao lipschitziana). Sejam (X, d) e (X, d) espacosmetricos. Uma aplicacao F : X X e dita ser lipschitziana ou simplesmenteLipschitz se existe 0 tal que

    d(F (x), F (y)) d(x, y),x, y X.Dizemos que e uma constante de Lipschitz de F . Denotamos o nfimo dasconstantes de Lipschitz de F por Lip(F ), o qual e, ele mesmo, uma constantede Lipschitz.

    Observacao 0.2.6. Notamos que as aplicacoes lipschitzianas sao contnuas:Se F e uma tal aplicacao, supondo sem perda > 0, dados x X, > 0,tomando = /, temos

    d(x, y) < d(F (x), F (y)) d(x, y) < / = .

  • Augusto Armando de Castro Junior, Curso de EDO 5

    Observacao 0.2.7. Se X, Y e Z sao espacos metricos, com f : X Ye g : Y Z ambas lipschitzianas, entao a composta h = g f : X Ztambem e Lipschitz com

    Lip(g f) Lip(g) Lip(f).Uma subclasse relevante de aplicacoes Lipschitz e contituda pelas con-

    tracoes de um espaco metrico nele mesmo:

    Definicao 0.2.8. (Contracao). Seja (X, d) um espaco metrico. Uma aplicacaoF : X X e dita ser uma contracao se existe 0 < 1 tal que

    d(F (x), F (y)) d(x, y),x, y X.

    O proximo resultado corresponde a` principal ferramenta para