Elementos Básicos de Mecânica quântica - ifi.unicamp.brmauro/F107/CAPITULO II.pdf · Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 16 Capítulo II Noções básicas de mecânica Quântica

Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho

15

Elementos Básicos

de

Mecânica quântica


16

Capítulo II

Noções básicas de mecânica Quântica.

Cronologia do desenvolvimento básico da mecânica quântica

1897 - Joseph Thomson descobre o elétron (tubo de raios catódicos).

1899 – Otto Lummer e Ernst Pringsheim levantam a curva da densidade de energia por frequência em função da

frequência para o corpo negro.

1900 - Max Planck faz a hipótese quântica para explicar a radiação do corpo negro.

1905 - Albert Einstein estende o conceito de "quantum" de energia e explica o efeito fotoelétrico.

1911 - Ernest Rutherford propõe um modelo para o átomo com um núcleo pesado e elétrons gravitando em torno

dele.

1913 - Niels Bohr apresenta seu modelo quântico para o átomo de hidrogênio.

1913 - Robert Millikan mede a carga do elétron.

1914 - Ernest Rutherford propõe que o núcleo contém prótons.

1924 - Louis de Broglie propõe que elétrons podem ter comportamento ondulatório.

1926 - Erwin Schrödinger chega à equação básica da mecânica quântica.

1927 - Clinton J. Davisson, Lester Germer e George Thomson confirmam o caráter ondulatório do elétron

experimentalmente.

1927 - Werner Heisenberg estabelece o princípio da incerteza.


17

A origem

Maxwell, Hertz, Faraday dentre outros mostraram que a luz é uma onda eletromagnética (o que pode ser

comprovado por fenômenos tais como interferência, difração, polarização etc.) que se propaga no vácuo com velocidade

sm8

10x998,2

oo

1c

[1], onde:

o= 8,85 x 10-12 u(SI) [2] (no vácuo) é a constante dielétrica do meio

o= 12,57 x 10-7 u(SI) (no vácuo) é a permeabilidade magnética do meio

Ondas eletromagnéticas são geradas por cargas em movimento acelerado. Assim quando uma energia é

transferida a um elétron para acelera-lo, parte dessa energia será transformada em energia eletromagnética. O

oposto também é verdadeiro. Se um elétron é freado, parte de sua energia cinética é transformada em energia

eletromagnética. Este é, aliás, o principal mecanismo para obtenção de raios-x. No caso, um feixe de elétrons

com alta energia cinética choca-se contra um alvo onde para quase instantaneamente gerando ondas

eletromagnéticas denominadas raios-x. Este efeito é conhecido como bremsstrahlung do alemão bremsung

(desaceleração) e strahlung (radiação).

Fig. 1: Produção de raios-x

A energia eletromagnética emitida por uma carga acelerada pode ser absorvida por outra carga que, em

condições apropriadas, passará a ter seu movimento induzido pela carga em movimento. É assim os elétrons em

movimento na antena de uma emissora geram onda eletromagnética que movimenta elétrons na antena de um

receptor. Também é assim que a luz proveniente do sol é absorvida por átomos e molécula da atmosfera que

reemitem essa luz em todas as direções, ou seja, espalham a luz, isto é, a luz sofre espalhamento. O

espalhamento da luz é proporcional à quarta potência de sua frequência e como o azul é a cor de maior

frequência do espectro solar, é ela que sofre maior espalhamento dando a cor é azul ao céu.

[1] Doravante, salvo menção contrária, o valor utilizado para c será 3,0 x 108 m/s. [2] u(SI) unidades do Sistema Internacional de unidades.

Elétrons

Alvo

Raios-x


18

Radiação do corpo negro

Vamos imaginar uma cavidade de paredes irregulares com uma única pequena saída. A energia eletromagnética que entra na cavidade é absorvida e reemitida

pelos átomos de suas paredes. No equilíbrio, a energia absorvida é igual à emitida

e a temperatura da cavidade permanece constante. Em outras palavras, a

densidade de energia E(f ) (energia por volume ou área) é constante para cada

frequência. Em 1899, Lummer e Pringsheim levantaram a curva experimental da

densidade de energia por frequência da radiação emitida pelo corpo negro quando

está na temperatura T (em Kelvin).

A Figura 3 Mostra o comportamento de E(f ).

Fig. 3: Curva E(f ) (no figura representada por RT(f))em função da frequência da radiação para o corpo negro

em três diferentes temperaturas: 1000K, 1500K e 2000K.(http://www.infoescola.com/fisica/radiacao-do-corpo-

negro/)

É importante observar que:

1) Para cada temperatura existe um frequência para a qual a densidade de energia é máxima.

2) O máximo da densidade de energia se desloca para maiores frequências quando a temperatura aumenta.

Muitas vezes essa curva é dada em função do comprimento de onda. Como sabemos, c = f , ou seja = c/f. Assim, a curva toma outro aspecto pois maiores frequências correspondem a menores comprimentos de onda.

Veja e analise a figura abaixo.

Fig. 2: Corpo negro


19

Fig.4: Curva E(na figura representada por E) em função do comprimento de onda da radiação para o

corpo negro em três diferentes temperaturas: 5000K, 6000K, 7000K.

(http://fisica.ufpr.br/grimm/aposmeteo/cap2/cap2-5.html)

Até 1900, com a física conhecida na época não se conseguia uma expressão que reproduzisse o comportamento

experimental da densidade de energia do corpo negro. Neste ano, o físico alemão Max Planck tentou uma

solução considerando que os átomos das paredes do corpo negro são pequenos osciladores que só emitem e

absorvem energia em números inteiros de certo valor de emergia Eo, ou seja, a energia absorvida ou emitida por

cada oscilador só poderia ser 0, Eo, 2Eo, 3Eo, 4Eo,....nEo [3] onde Eo = hf com h sendo uma constante. Usando

este artifício, Planck chegou à expressão abaixo que reproduz com exatidão a curva experimental.

1kT

hf

e

1

3c

3hf8

f

E

Onde k = 1,38 x 10-23 J/K é a constante de Boltzmann e T a temperatura do corpo negro. A constante h recebeu o

nome de constante de Planck, uma justa homenagem a Max Planck, e é uma das constantes mais importantes da

física quântica.

h = 6,63 x 10-34 J.s = 4,17 x 10-15 eV.s

A equação encontrada por Planck permite ainda a obtenção de expressões algébricas de algumas leis muito

importantes. A lei de Wien, por exemplo: “Para uma dada temperatura T (em Kelvin), é constante produto do comprimento de onda para ao qual a

densidade de energia é máxima pela temperatura considerada.”

max.T = 2,90 x 10-3 m.K

Observe que, em princípio, isso permite medir a temperatura de um corpo pela sua cor. Baixa temperatura,

comprimento de onda grande (vermelho), alta temperatura, comprimento de onda pequeno (azul).

Aplic.1: Determine a temperatura de um corpo negro quando ele emite um comprimento de onda predominante

de 740nm (vermelho) e quando emite um comprimento de onda predominante de 400nm (violeta).

[3] Na verdade a ideia de Planck era fazer Eo tender a zero o obter uma solução para o contínuo de energia.


20

R: 3,92 x 103K e 7,25x103K

Com a equação encontrada por Planck, também se demonstra que a potência por unidade de área (I) da radiação

emitida pelo Corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta (lei de Stefan-Boltzmann):

I = T4 , onde = 5,67 x 10-8 W/m2K4 é a constante de Stefan-Boltzmann

Todas as equações acima foram obtidas para o Copo Negro. Todavia, qualitativamente o comportamento de

qualquer corpo é semelhante ao do corpo negro. Para um corpo qualquer existe um fator, denominado

emissividade que representa a fração de emissão radiativa do corpo em relação ao corpo negro. Claro que a

emissividade do corpo negro é a maior e vale 1. Em todo caso, pode-se sempre afirmar que se um pedaço de um

material aquecido está laranja e outro pedaço do mesmo material está vermelho, o de coloração laranja está a

uma temperatura maior uma vez que o comprimento de onda da radiação laranja é menor do a da vermelha. Pela

lei de Wien...

A figura abaixo mostra uma barra metálica muito aquecida. Observe que temos diferentes temperaturas (cores)

em ao longo da barra.

Fig.5: Uma barra metálica aquecida Sabendo que a emissividade do metal pode-se até avaliar a temperatura de

cada ponto. Onde está mais quente? (http://www.manutencaoesuprimentos.com.br/conteudo/6036-fundicao-

centrifuga/)


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Efeito fotoelétrico

Ocorre quando a luz incide sobre uma superfície de um metal e arranca elétrons desse metal. A figura 6 mostra

uma célula fotoelétrica esquematicamente. Imaginemos uma fonte de tensão V ligada entre o eletrodo M1 de onde são arrancados os elétrons (ou onde a luz incide) e um segundo eletrodo M2. Na figura 6a a fonte é ligada

de forma a acelerar os elétrons. Neste caso, todos os elétrons arrancados de M1 chegam a M2 e o amperímetro A

vai indicar a passagem de uma corrente. Na figura 6b a fonte é ligada de forma a frear os elétrons. Se a tensão

entre os eletrodos não for suficiente para frear todos os elétrons, haverá uma corrente no circuito medida pelo

amperímetro A. Aumentando a tensão, haverá um valor para o qual nenhum elétron chegará a M2, mesmo com o

aumento da intensidade de luz. Para votar a ter corrente elétrica é necessário usar luz de maior frequência (menor

comprimento de onda). Isto indica que para uma determinada frequência existe um valor máximo da energia do

elétron e esta energia máxima está ligada à frequência da radiação incidente. Este efeito não pode ser explicado

pelas teorias clássicas e só foi explicado por A. Einstein, em 1905, usando uma generalização da ideia de Planck

para o corpo negro. Elétrons numa célula fotoelétrica desse tipo são chamados fotoelétrons.

Fig. 6: Célula fotoelétrica (a) Polarizada para acelerar os elétrons e (b) polarizada para frear os elétrons

(anular a corrente em A).

Outro ponto não explicável pelas teorias clássicas é o tempo de resposta no efeito fotoelétrico. Abaixo são

apresentadas as características do efeito fotoelétrico.

Características: 1) A resposta da célula é imediata, i.é, não é detectável qualquer intervalo de tempo entre a chegada da luz e o

aparecimento de corrente.

2) A intensidade de corrente aumenta com a intensidade de luz.

3) Para a luz com um comprimento de onda (frequência) acima (abaixo) de um certo valor o (fo) dependente do material onde ela incide, não há corrente qualquer que seja a intensidade de luz.

4) A energia máxima do fotoelétron – medida pela ddp que se deve aplicar entre os eletrodos da célula para

anular a corrente - é diretamente proporcional à frequência da luz incidente

Pela teoria de Einstein: Fótons são “partículas” de massa zero em repouso e energia E = hf, onde h é a constante

de Planck tal qual no corpo negro. Para arrancar elétrons do metal, a luz, em forma de fótons, precisa de uma

energia mínima , denominada função de trabalho do metal (cada material tem sua função de trabalho). Se toda energia do fóton fosse cedida ao elétron, o elétron poderia sair do metal com energia hf. Todavia, parte da

energia do fóton é usada para arrancar o elétron () e, portanto, a energia máxima (TMax) que o elétron pode ter ao sair do metal é:

O gráfico dessa energia máxima pode ser representado por

V

elétrons

M1

M2

A

V

elétrons

M1

M2

A

0 0

(a) (b)

TMax= hf -


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Fig.7: Gráfico da energia máxima do fotoelétron em função da frequência da radiação incidente na célula. Se

V é o potencial que anula a corrente para cada f, então eV é a energia máxima do fotoelétron para a frequência

considerada. fo é chamada frequência de corte.

No Apêndice 1 (última página) apresentamos uma analogia mecânica do efeito fotoelétrico

Aplic.2: O comprimento de onda de corte de uma célula fotoelétrica é 580 nm. Calcule a energia máxima (em

eV) de um fotoelétron gerado por uma radiação de 480 nm. R:

0,45 eV

Aplic.3: Uma radiação de 500 nm incide numa célula fotoelétrica. Para anular a corrente na célula é necessário

uma tensão de 1,20 V. Qual a função de trabalho no metal da célula (em eV)? R: 1,3

eV

Aplic.4: Num célula fotoelétrica, a tensão de corte (tensão necessária para anular a corrente) é 0,84 V. A função

de trabalho da placa da célula é 2,16 eV. Qual o comprimento de onda da radiação incidente? R: 417

nm

Momento do fóton

O momento de uma onda eletromagnética é dado por4 p= E/c, E sendo a energia transportada pela onda. Será que

fóton também tem momento E/c? No caso do fóton, podemos escrever p= hf/c, pois a energia transportada por

um fóton é hf. Quando há variação de energia do fóton, há necessariamente variação no seu comprimento de

onda (ou frequência). Portanto, numa interação entre um fóton e um elétron, por exemplo, o comprimento de

onda do fóton deve mudar refletindo sua variação de energia. Para testar essa ideia, Arthur Holly Compton fez

incidir um feixe de raios-X (fótons!) sobre um alvo de carbono e, com um detetor de Raios-X, mediu a

intensidade do feixe em função do comprimento de onda após atravessar o alvo para ângulos de espalhamento

diferentes;

4 A energia de uma partícula de massa em repouso mo é, pela teoria da relatividade: 2

p2

c2

omcU . Portanto, a

energia de uma partícula com massa em repouso zero é igual à de uma onda eletromagnética.

-f

fo

Tmax

http://pt.wikipedia.org/wiki/Arthur_Holly_Compton


23

Fig.8: Arranjo experimental para medir o

espalhamento Compton

A relação entre os comprimentos de onda do fóton espalhado e do fóton incidente (ver apêndice 2) é:

)cos1(c

, onde C = h/moc = 2,43 x 10-12 m

Onde:

’ → Comprimento de onda do fóton espalhado.

→ Comprimento de onda do fóton incidente.

C → Comprimento de onda de Compton para elétron.

mo → a massa do elétron em repouso.

Conforme mostra a fig.9, para cada ângulo, são encontrados dois picos de intensidade. Um corresponde a ou

seja, são os fótons não espalhados ou espalhados sem variação de energia. O outro pico corresponde a ’, i.é, o comprimento de onda dos fótons espalhados. Isto é uma prova experimental que fótons têm momento.

Fig.9:Medidas do espalhamento Compton para 4 ângulos diferentes.

(De http://mesonpi.cat.cbpf.br/fisMod/efeito-compton/compton.htm)

Aplic.5: Qual o valor de para que seja máximo?

Aplic.6: Calcule para =135o e compare com o resultado experimental da figura 9.

Raios X

Alvo


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Exercícios de fixação

Caso não saiba fazer algum dos exercícios abaixo, leia o texto anterior tentando achar alguma informação que permita solucionar o exercício. Todos são de aplicação direta das equações dadas. Não deixe a preguiça lhe

vencer!

1) Colocar em ordem crescente de energia as radiações abaixo.

(a) = 550 nm, (b) = 7000 Ǻ, (c) f = 7,0 x 1014 Hz, (d) p = 1,8x10-27 kg.m/s R: b(1,8 eV), a(2,3 eV), c(2,9 eV), d (3,4 eV)

2) O comprimento de onda de certa radiação é 6000Ǻ. Determine sua frequência e energia em joules e

eletronvolts. Qual a cor dessa radiação? (Procurar na Internet)

R: 5,0 x1015Hz , 3,3x10-19J e 2,1

eV

3) A frequência de certa radiação é 7,5x1014Hz. Determine sua energia em eV. R:

3,1 eV

4) Determine o comprimento de onda de uma radiação de 2,0 eV. R:

625 nm

5) Qual a energia de um elétron com velocidade de 3,0 x 106 m/s? R: 4,1 x 10-18 J ou

25,6eV

6) Um elétron com energia de 20keV choca-se contra um alvo. Qual o menor comprimento de onda possível da

radiação decorrente do choque? R: 6,2 x

10-11m

7) Qual o comprimento de onda predominante de um Corpo negro a 1100oC? R: 2,1x103

nm

8) Determine a temperatura de um corpo negro que emite uma radiação predominante de 600 nm? Dê a resposta

em graus Célsius.

R: 4560oC

9) Qual a temperatura de uma chapa de 1,0 cm2 que emite 40W? Considere a chapa como sendo um corpo negro. R: 1,63

x103K

10)Considere um corpo negro a 1037oC. Determine o comprimento de onda da radiação predominante e a

potência por unidade de área emitida. R: 2,2 x 10-6m e 1,67 x

105 W/m2


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Espectroscopia óptica

Quando a luz branca incide num prisma, ela emerge num feixe multicolorido (dispersão) devido aos diferentes

índices de refração do material do prisma para cada comprimento de onda. O índice de refração aumenta do

vermelho para o azul.

Fig. 8: A luz branca ao passar por um prisma sofre dispersão, isto é, suas componentes de cor se separam.

Todavia, se a luz é proveniente da ionização de uma gás, a dispersão da luz ocorre, mas somente algumas cores

aparecem no espectro. Além disso, cada gás ionizado tem um espectro diferente a tal ponto que esse espectro

serve como uma espécie de impressão digital do elemento.

Fig.9: A luz proveniente de uma lâmpada de hidrogênio ao passar pelo prisma se divide em duas cores

somente.

Esse fato experimental não pode ser explicado pela física clássica. A Mecânica quântica veio preencher essa

lacuna, embora o primeiro modelo proposto por Neils Bohr para o átomo de hidrogênio seja semiclássico e com

sérias incongruências. Apesar disso, seus resultados para a energia do átomo de hidrogênio são excelentes.

As figuras 10 e 11 mostram o espectro de emissão de alguns elementos. Na figura 11 observe que no espectro do

sol existem algumas raias escuras. Sabe por quê?

Luz Branca


26

Fig.10: Espectro de emissão de 4 elementos.

Fig.11: Espectros de emissão de elementos comuns no dia-

a-dia.


27

O átomo de Bohr (hidrogênio)

Revisão: Momento angular

Fig. 11: No modelo atômico de Bohr para o hidrogênio, o elétron gira em torno do núcleo constituído de um

próton. O momento angular do elétron é dado pela equação (1)

______________________________ Fim da revisão _____________________________________________

Aplic.7: Mostre que h (constante de Planck) tem dimensão de momento angular.

Postulado – O momento angular só pode assumir os valores :

L = nħ , onde ħ = h/2 e n é um inteiro (1, 2, 3, 4....)

A força entre um elétron e um próton (lei de Coulomb) é: 2

ro4π

2e

F

onde r é a distância entre eles.

Pela segunda lei de Newton, a força também é: F = ma = mv2/r, v2/r é a aceleração normal (ou centrípeta).

Portanto:

ro4π

2e2

mvr

2mv

2ro4π

2e

F

(2)

A energia total do sistema é dada por:

E = Ec+U

onde

ro8π

2e2

mv2

1Ec

é a energia cinética do elétron

ro4π

2e

U

é a energia potencial do sistema (acredite!)

Portanto ro8π

2e

E

(faça as contas!) (3)

Elevando (1) ao quadrado: 2

mmv2

r2

L (4)

Substituindo (2) em (4) : ro4π

2e

m2

r2

L

2

me

2Lo4π

r

Assim, temos

2L

2o

232π

4me

E

L = r x p

Considerando que no movimento circular r e p são

perpendiculares

L = r mv (1)

A unidade de momento angular no SI é kg.m2/s m

v

L

r


28

Pelo postulado de Bohr:

2n

13,62

n22

o2

32π

4me

nE

em eletronvolt (eV)

Esta equação representa a energia do elétron no nível n do átomo de hidrogênio. n é chamado número quântico

principal.

Para um átomo de hidrogênio teríamos (energias em eV)

Fig.12: Esquema de níveis de energia do hidrogênio. As transições mostradas são::

E∞- E1 = hfo E3 – E1 = hf3 E2-E1 = hf1

Também podem ser possíveis as transições de 3→2, 5→3 etc, mas umas são mais prováveis do que outras.

A transição inversa da apresentada na figura 6 se dá pela absorção de fótons ou outro meio de fornecer energia

ao elétron (campo elétrico, por exemplo). Para ionizar opticamente o hidrogênio, é necessário um fóton de 13,6 eV

Aplic. 8: Determine a energia do fóton proveniente da transição do nível n=6 para n=2. R: 3,0eV

Aplic. 9: Determine o comprimento de onda máximo de um fóton capaz de ionizar o átomo de hidrogênio. Um

fóton com comprimento de onda menor ioniza o hidrogênio? E um com comprimento de onda maior? Responda

explicando a resposta. R: 92 nm; pode ser; não

-13,6 n=1

-3,4

0

-0,8

-1,5

elétron livre (átomo ionizado)

n=2

n=3

n=4 hfo

hf3

hf2


29

Apesar das incoerências do modelo de Bohr, ele estabeleceu a ideia de níveis estacionários de energia para os

elétrons no átomo, o que é insustentável classicamente. Como já foi comentado, elétron acelerado emite energia.

Portanto, um elétron iniciando uma órbita circular irradiaria energia e perderia energia cinética entrado numa

órbita espiral até chocar-se com o núcleo. Além disso, uma órbita circular plana tem que ter momento angular. A experiência mostra que o momento angular do elétron no átomo de hidrogênio é nulo. Todavia, como o modelo

de Bohr funciona muito bem para o hidrogênio e para os átomos chamados hidrogenóides (1 elétron na órbita

mais externa), a ideia de estado estacionário foi levada adiante dando origem à mecânica quântica. Outras

experiências, como a de Franck-Hertz, comprovam essa hipótese.

Onda de probabilidade

O que há de novo até agora? Acabamos de estudar que a luz pode ter um comportamento corpuscular e

ondulatório. Mas isso, desta forma, não agrada ninguém. Esforços foram e são desenvolvidos para explicar essa

dualidade onda-partícula. O que se sabe é que a luz sofre difração e ao mesmo tempo se comporta como

partícula. A explicação mais atual para isso é considerar a onda eletromagnética como uma onda de probabilidade para o fóton. A figura 13 ilustra a explicação.

Fig. 13. A interferência da luz proveniente das fendas F1 e F2 gera um padrão luminoso cuja intensidade é

mostrada no gráfico.

Devido à interferência, forma-se um padrão luminoso sobre o anteparo mostrado à direita da figura 13. A

intensidade da luz (no gráfico) num ponto do anteparo dá a probabilidade (na verdade a densidade linear de

probabilidade) de um fóton chegar naquele ponto. A intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado de sua

amplitude. No caso de uma onda eletromagnética a amplitude é proporciona ao campo elétrico e, consequentemente, a intensidade é proporcional ao quadrado do campo elétrico. Portanto, a densidade linear de

probabilidade de um fóton ser encontrado num determinado ponto é proporcional ao quadrado do campo elétrico

no ponto considerado. Em outras palavras a onda eletromagnética é uma onda cujo quadrado da amplitude num

determinado ponto dá a densidade de probabilidade de existir um fóton naquele ponto.

Partículas e ondas

Vimos que a luz que até o início do século XX era considera uma onda eletromagnética, mostrou-se como

partícula em diversas experiências dando origem ao conceito de fóton. Na verdade um fóton é denominado uma

quasipartícula uma vez que ele não existe em repouso. Ao contrário, elétrons e prótons são partículas que podem

estar em repouso. Todavia a simetria da natureza nos leva a uma pergunta: “Partículas podem se comportar como

ondas?”

F1

F2

Anteparo


30

Em 1924 Louis De Broglie respondeu “sim” a esta indagação através de sua tese de doutoramento “Recherches

sur La Théorie des Quanta”. E mais, concluiu que o comprimento de onda associado a uma partícula com

momento p é dado por5:

p

h h é a constante de Planck

Para demonstrar o caráter ondulatório de uma partícula, deve-se observar difração de partículas. A dificuldade

disso está no fato de que os comprimentos de onda envolvidos são muito pequenos e uma fenda para causar uma

difração mensurável deve ter dimensões da mesma ordem de grandeza do comprimento de onda.

Aplic.10: Avalie o comprimento de onda associado a um automóvel andando a 36 km/h. Ele pode ser difratado ao passar sob um viaduto?

Aplic. 11: Calcule o comprimento de onda associado a:

(a) Um elétron de 10keV. (b) Um próton de 10 keV

R: (a) 0,012 nm; (b) 0,28 pm

Esse problema foi superado em 1927 por Clinton J. Davisson e seu assistente Lester Germer meio que

acidentalmente nos EUA e, simultaneamente, por Georg Paget Thomson e seu assistente Alexander Reid na

Inglaterra. Davisson, Germer e Thomson receberam o prêmio Nobel de Física em 1937. O interessante dessa

história é que Joseph Thomson, pai de G.P. Thomson recebeu o prêmio Nobel em 1906 por mostrar que o elétron

é uma partícula e seu filho, 31 anos depois, recebeu o mesmo prêmio mostrando que o elétron é uma onda. A figura 14 mostra as figuras de difração de alumínio cristalino em pó com R-X (b) e com elétrons (c) utilizando

a montagem experimental (a). Note-se a semelhança entre as figuras de difração.

Fig. 14: No arranjo

experimental (a) um feixe de

R-X ou de elétrons é difratado

por um filme de alumínio

cristalino em pó. Observa-se que as figuras de difração

para o feixe de elétrons e R-X

são semelhante evidenciando o

caráter ondulatório dos

elétrons.

(Halliday & Resnick,

Fundamentos de física, Vol.4,

Livros Técnicos e Científicos

Editora Ltda.,2012 )

A partir dessa constatação, a mecânica quântica passa a tratar partícula e onda de probabilidade como foi feito

para o fóton. O quadrado da amplitude dessa onda num determinado ponto e num determinado instante, dá a probabilidade de que a partícula esteja naquele ponto naquele instante. A forma da onda depende do momento e

da posição da partícula. Uma partícula livre com o momento bem determinado tem como equação:

5 Esse trabalho de De Broglie lhe valeu o prêmio Nobel de física em 1929

(a)

(b) (c)

Alvo

Feixe incidente


31

(x) = A sen(kx)

onde

p

ph

22k

com ħ = h/21,05 x 10-34J.s

é chamado função de onda da partícula.

Fig. 15: Gráfico da onda com momento bem determinado.

Observe que 2 não permite dizer onde está a partícula, ou seja, com momento bem determinado a função de onda não dá nenhuma informação sobre a posição da partícula.

Não se pode usar v = f para partículas porque v, neste caso, dá a velocidade de fase da partícula que não

significa nada em termos físicos (nem se pode medir!). A velocidade de uma partícula é a velocidade de grupo que é dada por v = p/m.

Se uma partícula tem sua localização dentro de uma região x e o momento numa faixa p, então ela será representada por um pacote de ondas mostrado no gráfico da figura 16.

Fig. 16: Um pacote de ondas onde tanto k como x estão, cada um, dentro de uma faixa de variação.

Aqui temos uma situação sem similar na física clássica. Para um pacote de ondas ser localizado no espaço é necessária a superposição de várias ondas com diferentes comprimentos de ondas (ou diferentes k). Se, no

entanto o valor do está bem determinado, o pacote de onda deixa de existir conforme mostra a figura 15. Uma

análise da formação de pacotes de onda levou Werner Heisenberg a desigualdade mais importante na mecânica

quântica conhecida como “Princípio da Incerteza”:

xp ≥ h

Pode-se demonstrar que o princípio da incerteza também pode ser escrito em termos de energia de uma partícula

e o tempo que passou com essa energia.

20

20

33

x

x

vg


32

Basicamente o que diz o princípio da incerteza é que não podemos medir com precisão absoluta a posição e o

momento de uma partícula. Isto acontece porque para qualquer medida de posição ou momento de uma partícula

tem que haver uma interação desta partícula com algum agente. Por exemplo, podemos enviar um fóton para ver

a posição de um elétron. O fóton deve chocar-se com o elétron e voltar ao olho do experimentador. Acontece que a interação fóton-elétron modifica o momento (e a posição) do elétron o que torna impossível o conhecimento de

ambos.

Et ≥ h

Nesta forma, o princípio da incerteza mostra que o tempo de vida de um elétron num nível excitado de um

átomo é tanto menor quanto mais “largo” for o nível, i.é, só podemos medir a energia de um nível atômico com grande precisão se o tempo que o elétron nele permanece for grande. Nesse sentido, só os níveis ocupados no

estado fundamental podem ser medidos com precisão absoluta porque nele os elétrons permanecem um tempo

infinito.´

É consequência também do princípio da incerteza o fato de não se falar em trajetória ou órbita de uma partícula

em mecânica quântica. Toda informação vem através de sua função de onda.

Aplic.12: Suponha que a posição de um elétron é medida com uma imprecisão de 1 nm. Qual a imprecisão

mínima do momento do elétron? R: 1,05x10-25kg.m/s

Equação de Schrödinger

O fato da função de onda descrever um sistema quântico levou Erwin Schrödinger a estabelecer uma equação

para a determinação da função de onda. Esta equação é uma equação diferencial e não será resolvida em nenhum

caso neste curso. E equação na forma estacionária (independente do tempo) e em uma dimensão é:

E)x(Udx

d

m2 2

2 2

Onde: m é a massa da partícula, U(x) é a sua energia potencial, E sua energia total e a função de onda que a

representa. A operação 2

2

dx

d chama-se segunda derivada de em relação a x.

Não vamos resolver esta equação, mas vamos discutir alguns resultados que ela nos dá.

1) Partícula presa num poço potencial infinito. Um poço de potencial infinito tem energia potencial zero no seu

interior e infinito fora dele.

A função de onda encontrada é:

)a

xn(sen

a

2 com n=1, 2, 3,...,n

E a energia calculada é: 2

222

nma2

nE

Observe que a solução já dá as energias quantizadas e para cada energia existe uma função de onda. Observe

também que a função de onda é zero em x = 0 e x = a para qualquer n. Isso quer dizer que a probabilidade de se

encontrar a partícula em x = 0 e x = a é zero. Uma “continha” rápida mostra que a probabilidade de encontrar a

partícula para n = 1 se dá em x = a/2.

Aplic.13: Mostre que no caso do poço infinito de largura a, a probabilidade por comprimento máxima da

posição de uma partícula em n=1 se dá no centro do poço. Qual o valor dessa probabilidade?

R: 2/a

U

x 0 a

1

2

Fig. 17: Poço de potencial infinito


33

2) Poço de “altura” Uo. É idêntico ao poço infinito, mas o potencial agora tem um valor Uo fora do poço.

O cálculo matemático da função de onda e energia neste caso é mais

complicado. O que há de novo neste caso é que as funções de onda não se anulam em x = 0 e x = a. Mesmo sob a barreira, região proibida na física clássica, é possível encontrar a partícula.

Evidentemente, quanto maior Uo, menor essa probabilidade (para Uo

infinito a probabilidade é zero como vimos anteriormente).

3)Barreira de potencial de “altura” Uo e largura a. Este é um caso muito interessante em que pode acontecer

um fenômeno puramente quântico com grande aplicação prática.

Observe na figura 19 :

1) A função de onda1 comporta-se como na figura 18, i.é, ela penetra um pouco na barreira de potencial.

2) A função de onda 2, para um nível mais alto de energia, não só penetra na barreira com passa dela e aparece do lado direito da barreira.

Esse segundo caso é importantíssimo e é chamado tunelamento. A

partícula atravessa uma região proibida classicamente como se

houvesse um túnel.

Todavia existem algumas condições para haver o tunelamento. A energia da barreira não pode ser muito maior

do que a energia da partícula e a barreira não pode ser muito larga (da ordem de nanômetros para elétrons). A

probabilidade de tunelamento no numa barreira no tipo mostrado na figura 19 pode ser calculada6:

ba2eT , com 2o )EU(m2

b

Dois exemplos práticos e evidentes do uso deste fenômeno são o diodo-túnel e o microscópio de tunelamento.

6 Halliday D., Resnick R., Walker J., Fundamentos de Física, vol. IV, Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 2012

U

Uo

0 a x

Fig. 18: Poço de potencial finito.

U Uo

0 a x

Fig. 19: Barreira de Potencial.

2

1


34

O átomo

Momento angular

Elétrons em movimento em torno de um núcleo positivo têm momento angular. O módulo de momento angular

total L e sua projeção numa direção (Lz, por exemplo) podem ser calculados e valem, para qualquer átomo:

com l = 0, 1, 2, ... e ml = -l, -(l-1), ...-1, 0, 1, ...(l-1), l

Num sistema quântico o número quântico que define a energia dos elétrons é o número quântico principal, em

geral representado pela letra n. O número quântico l relacionado ao momento angular é denominado número

quântico azimutal. O valor de l é, no máximo, igual a n-1. Assim, se estamos falando do nível com n = 3, por

exemplo, os valores possíveis de l são 0, 1 e 2 e de ml são -2, -1, 0, 1 e 2. Costuma-se representar os valores do

momento angular por letras:

Símbolo s p d f g h

No quântico azimutal 0 1 2 3 4 5

Pode-se também calcular as funções de onda relacionadas ao momento angular, mas isso não será estudado neste

curso.

A representação (parcial) usual de um estado é: nl, l expresso em letra. Assim o nível 3d tem número quântico

principal n = 3 e número quântico azimutal l = 2

Vimos que a equação de Schrödinger permite, pelo menos formalmente, determinar as funções de onda e os

níveis de energia de um sistema quântico, em particular de um átomo.

Claro, que o primeiro átomo a ser estudado foi o de Hidrogênio pela sua aparente simplicidade: Um próton e um

elétron. Neste caso temos que resolver a equação de Schrödinger em 3 dimensões, pois o elétron pode estar em

qualquer lugar do espaço em torno do núcleo. Neste caso também não podemos desprezar o momento angular do

elétron porque ele aparece na equação da energia do sistema elétron-próton.

O conhecimento das funções de onda relacionadas aos possíveis momentos angulares do elétron e a resolução da

equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio nos dá as funções de onda completas para o elétron e suas

possíveis energias. Usualmente a função de onda é escrita como um produto da função radial pela função orbital,

i.é, = Rnl(r). Ylm (). A figura 20 mostra a parte radial das funções de onda para n = 1, 2 e 3 no átomo de hidrogênio, bem como as

funções de probabilidade. A função de onda completa é de representação mais difícil devido a seu caráter

tridimensional.

)1(L ll e Lz= mlħ


35

Fig. 20: Acima função de onda radial no átomo de hidrogênio para n = 1, 2 e 3 e possíveis valores de l. Abaixo

respectivas funções de probabilidade (Alonso, M e Finn, Edward J., Fundamental University Physics, Vol.III,

Addison Wesley Publishing Company, 1969, pag. 126).

Efeito Zeeman

Revisão: O momento magnético de uma espira circular percorrida por uma corrente i é dado, em módulo, por:

= r2i

A direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido dado pela regra da mão direita, conforme a figura 21.


36

Uma carga q girando com velocidade angular numa órbita circular de raio r, é idêntica a uma espira circular percorrida por uma corrente:

i = q/2

Portanto uma carga q girando com velocidade angular numa órbita circular de raio r tem momento magnético:

= r2i = qr2/2

O momento angular de uma carga q com massa m numa órbita circular de raio r

é, em módulo:

L = rmv = r2m, pois v = r A direção é a mesma do momento magnético e o sentido também é dado pela regra da mão direita com a

velocidade no lugar de i na figura 20. Quando a carga é negativa, o sentido de se inverte, mas o de L não,

ficando L e com sentidos opostos. Da relação entre L e r, tiramos: r2 = L/mSubstituindo na expressão de , temos:

= qL/2m

Se a carga q é um elétron, lembrando que e L têm a mesma direção e sentidos opostos, podemos escrever:

= - (e/2m)L

Uma órbita circular com a que tratamos aqui é chamada de Dipolo Magnético. A Interação de um dipolo

magnético com um campo magnético tem duas importantes consequências. Na presença de um campo

magnético, aparece um torque na espira que, se estiver livre, passa a apresentar precessão. Precessão é o

movimento do pião quando perde velocidade angular. A segunda consequência é que a energia do dipolo varia de:

U = – .B = - Bcos(e/2m)BLcos ,

onde B é o vetor campo magnético e ângulo entre B e . Se 0 ≤ ≤ 90º, U é positivo e se 90o ≤ ≤ 180º U é negativo.

_____________________________________ Fim da revisão _______________________________________

O efeito Zeeman ocorre quando se aplica um campo magnético intenso num gás de um átomo. Se o campo

magnético está na direção z, Lcos é a projeção de L na direção z, ou seja é Lz, mas como vimos anteriormente, Lz = mlħ. Assim a variação da energia do dipolo pode ser escrita na forma:

U = – .B = - BLcos(e/2m)BLz = (eħ/2m)B.ml

U = BBml

A constante B é denominada Magneton de Bohr e vale: 5,66 x 10-5 eV/T = 9,27 x 10-24 J/T, onde T é o símbolo de Tesla, unidade de campo magnético no sistema Internacional.

Portanto, se l = 1, a aplicação do campo magnético faz aparecer esse nível se dividir em três níveis:

En + BB En En-BB

A figura 22 mostra um espectro do Zn para um nível com l = 1 e a representação esquemática dessas transições.

i

Fig. 21: Direção e sentido

do momento magnético .


37

Fig. 22: Efeito Zeeman para linha l = 1 (de www.daviddarling.info/encyclopedia/Z/Zeeman_effect.html ) e sua

representação.

A figura 23 mostra a representação espacial do momento angular para l = 1. Note que ele está em

precessão em torno do eixo z (ou do campo magnético).

Podemos calcular neste caso.

l = 1

cos = mlħ/L

Mas

1)(L ll

Como l = 1 e ml =1, temos: 2

2

2

1cos

Logo: = 45o

O Spin

Além do número quântico principal n, e dos números quânticos l e ml, os níveis de energia eletrônicos têm outro

número quântico que os caracterizam. É o Spin.

Em física clássica, spin é o momento angular de uma partícula ou corpo que gira em torno de seu eixo. No caso

do elétron num átomo essa comparação é impossível por não conhecermos a estrutura interna do elétron.

Todavia, Stern e Gerlach realizaram uma experiência em 1924 que evidenciou o spin S do elétron. Um campo

magnético atuando sobre um átomo de hidrogênio (ou hidrogenóide) no estado fundamental não deveria causar qualquer efeito uma vez que neste estado l = 0 e consequentemente, ml =0 também. Na experiência de Stern-

Gerlach, um feixe de átomos hidrogenóides no estado fundamental passa num campo magnético não uniforme,

conforme mostra a figura 24. Se o elétron tem spin, terá também momento magnético e sofrerá ação do campo

não uniforme. Se o momento magnético apontar na direção de campo mais fraco (no caso polo sul), o dipolo, i.é,

o átomo será atraído pela região de campo mais intenso (no caso polo norte). Se o momento magnético aponta na

direção de campo mais intenso o elétron será atraído para a

região de campo mais fraco (polo sul). Na experiência o

feixe de átomos após passar pelo campo magnético

impressiona um filme dando o resultado mostrado no

anteparo de figura. A experiência indica que:

1) Elétrons num átomo têm spin. 2) Só existem dois estados para o spin: Um com o

momento magnético aproximadamente no sentido do

campo - spin up ou spin para cima - e outra no sentido

oposto - spin down ou spin para baixo. Se houvessem

outras direções, a região entre as linhas também seria

impressionada pelo feixe de átomos.

Tal como no momento angular, deveríamos esperar que o momento magnético de spin (mS) fosse, como no

momento magnético orbital S = - (e/2m)S. A experiência mostra que na verdade S = - gS.(e/2m)S. O valor de gS é 2,004 que é chamo fator giromagnético do elétron.

En

E1

En – E1

En

E1

En + BB

En - BB

Sem campo magnético Com campo magnético

N

S

Feixe de átomos

Fig. 24: Experiência de Stern-Gerlach

ml = 1

ml = -1

ml = 0

Z

B

Lz = ħ

Lz = - ħ

U = BB

U = BB

Fig. 23: Representação espacial do momento angular

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/Z/Zeeman_effect.html


38

Pode-se demonstrar que o módulo spin do elétron S é dado por:

.)1s(sS , com s = 1/2, ou seja 2

3.

4

3S e Sz = msħ , com ms = ± 1/2 dependendo se o spin está

para cima ou para baixo.

Vale mencionar que o spin também é um momento angular como L. Portanto o momento angular total de um

átomo é dado por: J = L + S , onde J, L e S são vetores.

Agora podemos dizer que o estado de um átomo é caracterizado por n, l, ml e ms

Princípio de exclusão de Pauli

Num átomo, cada estado contém somente 1 elétron. Como elétrons de spins contrários têm a mesma energia na

ausência de campo magnético, dizemos que cada nível de energia pode (não necessariamente é) ser ocupado no

máximo por dois elétrons.

Fig.25: Cada nível pode acomodar

dois elétrons com spins contrários

Aplic.14:Qual o número máximo de elétrons podem ser acomodados no nível n = 3.

R: 18

Na distribuição de elétrons nos níveis de um átomo, cada nível é primeiro preenchido com elétrons de mesmo

spin. Esse critério é um resultado experimental conhecido como regra de Hund que diz:

O spin resultante no estado fundamental éo maior possível compatível com o princípio de Pauli

Como exemplo, a figura 26 mostra o preenchimento do nível p (l=1) do boro, carbono, nitrogênio, oxigênio,

flúor e neônio.

elemento p (l=1)

elétrons

no

último

nível

B ↑ 1

C ↑ ↑ 2

N ↑ ↑ ↑ 3

O ↑↓ ↑ ↑ 4

F ↑↓ ↑↓ ↑ 5

Ne ↑↓ ↑↓ ↑↓ 6

Fig. 26: Preenchimento do nível p (l=1) para o B, C, N, O, F e Ne

Quando um átomo tem todos os níveis preenchidos se torna muito inerte e com grande energia de ionização. É o

caso dos gases nobres. Entre os gases nobres a energia de ionização diminui com o aumento do número de

elétrons (número atômico)

n=2

l = -1

l = 0

l = +1


39

Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Hoje em dia o laser se popularizou sobretudo

devido à tecnologia que tornou possível a fabricação de dispositivos laser semicondutores muito baratos.

Dispositivos mais sofisticados e caros são muito usados em pesquisa.

O princípio básico da emissão laser é a inversão de população que consiste em popular com elétrons um nível de metaestável de maior energia. Ao ser perturbado os elétrons decaem para um nível de menor energia emitindo

luz.

Fig. 27: (a) Um fóton de energia E2-Eo faz um elétron passar de Eo para E2 . (b) Em seguida esse elétron cai

para o nível metaestável E1 onde já existem outros elétrons. (c) O nível E1 fica populado enquanto o nível Eo

está vazio. É o que se chama inversão de população. (d) Um elétron com energia E1-Eo estimula o decaimento

dos elétrons do nível E1 simultaneamente. A luz emitida é altamente monocromática e coerente

Num dispositivo laser, a emissão estimulada ocorre dentro de uma cavidade espelhada nas extremidades. Os

espelhos (que deixam passar uma fração da luz) realimentam o decaimento estimulado criando uma onda estacionária na cavidade (cavidade de Fabry-Pérot), conforme mostra a figura 28.

excitação

nível

metaestável

E2

E1

Eo

E2

E1

Eo

(a)

(e) (d)

(c) (b)


40

Fig.28: Esquema de um laser de Rubi.

Exercícios

1) Calcule o número de fótons por segundo em 1,0 W de um feixe de luz de = 514,5 nm. R: 2,6 x 1018 fótons/s

2) A função de trabalho do sódio é 2,30 eV. (a) Qual o maior comprimento de onda que provoca a emissão de

fotoelétrons do sódio? (b) Qual a energia máxima dos fotoelétrons emitidos pelo sódio quando iluminado com

radiação de 200nm? R: (a) 540,8nm (b) 3,9eV

3) A frequência limiar para a emissão fotoelétrica no cobre é 1,1x1015 Hz. Determine a máxima energia dos

fotoelétrons (em eV) quando uma radiação de 1,5x1015 Hz incide sobre ele. R: 1,65 eV

4) Determine o comprimento de onda de um fóton de 15eV. R: 82nm

5) Determine o comprimento de onda de um elétron com 100keV. R: 3,9pm

6) O comprimento de onda de uma radiação X é 1,0 nm. Determine a energia do elétron que tem esse comprimento de onda associado. R: 1,5eV

7) Um aparelho de raios X emite com comprimento de onda mínimo de 0,010 nm. Qual a voltagem aceleradora

dos elétrons? R:150 kV

8) Um elétron com energia de 30 keV é utilizado num tubo de Raios X com molibdênio como alvo. O

molibdênio apresenta dois picos de raios x, um de 70pm e outro a 62 pm (1pm=10-12m). Qual o min emitido pelo tubo? Com essa energia do elétron é possível obter os dois picos?

R: 42pm; sim

9)Mostre que se considerarmos que a órbita do elétron no átomo de hidrogênio contém um número inteiro de

comprimentos de onda do elétron, chega-se a mesma expressão que a do átomo de Bohr para a energia.

10) Qual o módulo do momento angular para l = 3. Qual o ângulo entre L e B (campo magnético) quando ml = 3?

R: 3,46ħ e 30o

11) Qual o aumento de energia (U) do nível l =1 de um átomo num campo magnético de 10 T? R: 0,57 meV

12) Certo gás tem, no estado fundamental, os níveis de energia distribuídos conforme a figura abaixo.

espelhos

Lâmpada de excitação

Cavidade

Fabry-Pérot onda

estacionária

feixe de luz laser


41

a) Qual a energia mínima de ionização do gás?

R: 5eV

b) Uma radiação de 400nm é direcionada para o gás. Ela pode ser absorvida pelo gás? E uma radiação de 247nm? Se

uma dessas radiações é absorvida, o que acontece em

seguida? (obs.: Use só uma casa decimal para a resposta)

R: 247nm: Sim; ela é reemitida quando o elétron volta ao

estado fundamental; 400nm: não. Ela atravessa o gás

nível semi-ocupado

níveis vazios

-25 eV

níveis ocupados -15 eV

-10 eV

-7 eV -5 eV

-3 eV 0 eV


42

Sólidos

Basicamente os sólidos podem ser covalentes, iônicos, com ligação de hidrogênio, moleculares, metais e

lamelares.

Covalentes: Neste tipo de sólido os átomos formam ligações localizadas e direcionais dando origem a redes

cristalinas determinadas pelas direções das ligações.

As ligações covalentes são rígidas e não têm portadores livres porque os níveis de energia nos quais de dá a

ligação se completam. Por isso eles são duros e não conduzem bem eletricidade nem calor. A maioria é também

transparente e, como a energia de excitação para elétrons é relativamente grande, normalmente está no estado

fundamental. A figura abaixo mostra as ligações do átomo de carbono para formar a rede do diamante.

Fig. 29: Rede do diamante

Cristais Iônicos: Os cristais iônicos são formados por íons de sinais opostos, não tendo, portanto, elétrons livres.

Por isso, são em geral duros e quebradiços e maus condutores de eletricidade e calor. Têm alta temperatura de

fusão devido à forte ligação entre átomos, mas essa ligação enfraquece muito quando em solução aquosa. Como

exemplo clássico de cristal iônico temos o NaCl que é o sal de cozinha.

Sólidos com ligações de hidrogênio: São cristais formados por moléculas polares que contêm hidrogênio. Um

caso de grande interesse desse tipo de cristal é a gelo cujas moléculas têm a forma tetraédrica no gelo. Esse

arranjo é bastante espaçado fazendo com que a água aumente seu volume ao se solidificar.

Fig. 30: Estrutura cristalina do gelo (de Alonso, M. e Finn, E.J.,

Fundamental University Physics. Addison Wesley Publishing

Company,Inc.,1969, pag.235).

Sólidos Moleculares: Neste tipo de sólido as moléculas não polares se ligam por forças de van der Waals que são forças muito fracas resultante de um efeito secundário da interação elétrica que mantem os átomos unidos

numa molécula, Grosseiramente está relacionado com força entre dipolos elétricos. Apesar de em média as

moléculas não serem polares suas configurações eletrônicas podem dar origem a uma polarização que gera


43

dipolo instantâneo. A interação entre dois desses dipolos é que resulta na força de van der Waals. Por essa razão,

sólidos moleculares são maus condutores de calor e eletricidade, têm baixo ponto de fusão e são frágeis e

deformáveis. Como exemplo de solido molecular temos: CH4, Cl2, I2 e CO2

Metais: Os metais são formados por átomos com o último nível incompleto e com pequena energia de ionização.

Os elétrons mais externos são liberados formando um gás de elétrons em todo o cristal com os núcleos dividindo

esses elétrons que são relativamente livres. Devido à grande concentração de elétron “quase livres”, os metais

são ótimos condutores de eletricidade calor. Eles são também opacos, pois os elétrons absorvem a energia dos

fótons ganhando energia cinética (que depois de perde com as interações internas).

Lamelares: São sólidos mistos nos constituídos de planos covalentes ligados entre si por forças fracas de van

der Waals. É o caso do grafite que é formado por um arranjo hexagonal de carbono em planos ligados por foças

de van der Waals.

Fig 31: Estrutura cristalina do grafite.

(de Alonso, M. e Finn, E.J.,

Fundamental University Physics.

Addison Wesley Publishing

Company,Inc.,1969, pag.237.)

.

Bandas: A distribuição das possíveis energias dos elétrons nos sólidos, embora ligada à distribuição eletrônica

nos átomos que os compõem, não podem ser representadas por linhas de energia bem determinada como no

átomo porque, pelo princípio de Pauli, não se pode ter mais de dois elétrons em cada nível. Assim , quando N

átomos se ligam para formar um sólido, cada nível atômico se divide em N níveis tão próximo que podemos

considerar como um contínuo de energia. Chamamos esse conjunto de N níveis de Banda de Energia. Níveis de

energia mais baixa também formam bandas que , em geral, estão separadas por uma região “vazia” de níveis de

energia chamadas bandas proibidas, conforme mostra a figura 32. As bandas onde os elétrons podem conduzir são chamadas bandas de condução. A última banda totalmente cheia é chamada banda de valência.

Fig. 32: Formação das bandas quando átomos se ligam para formar um sólido.

Banda Proibida

Banda Proibida

1s

2s

2p

energia

átomos

isolados

átomos

ligados

Distância

entre

átomos

Banda de Valencia

Banda de condução


44

A figura 33 mostra esquematicamente uma estrutura de banda de um condutor.

Fig. 33: Bandas num condutor.

Neste caso a banda de condução não está totalmente cheia porque os átomos que formam o metal têm o último

nível incompleto. Acima dos elétrons de maior energia da banda de condução (chamada energia de Fermi),

existe um contínuo de energia. Assim esses elétrons podem receber qualquer quantidade de energia Que não

depasse os limites da banda, pois, ao fazê-lo, vão aumentar suas energias cinéticas mas continuarão dentro da

banda. Na verdade, a fronteira entre a região ocupada e região vazia na banda de condução, não é tão exata como

na figura porque a temperatura faz alguns elétrons terem uma energia um pouco acima dessa linha.

A figura 34 mostra esquematicamente a estrutura de banda de um isolante ou semicondutor.

Fig. 33: Bandas em isolante e semicondutor.

Nos isolantes a banda de valência está totalmente cheia e a de condução totalmente vazia. Sendo assim, não há

elétron livres para conduzir eletricidade (nem calor). Todavia, se a banda proibida é pequena, o calor absorvido

por elétrons pode ser suficiente para “jogá-lo” na banda de condução onde está um contínuo de energia que

permite a condução de eletricidade. Entretanto, mesmo para bandas proibidas pequenas, o número de elétrons na

banda de condução será sempre pequeno comparado a um metal. Os semicondutores usuais em microeletrônica

não têm banda proibida pequena. Os elétrons necessários são obtidos com uma concentração controlada de

impurezas.

Os isolantes e semicondutores podem ser transparentes ou não dependendo de sua banda proibida e de suas

impurezas. Se um fóton tem energia menor que a banda proibida, ele não será absorvido e o material será

transparente para eu comprimento de onda. Para ser absorvido é necessário que o fóton tenha um energia maior

do que a banda proibida.

Uma diferença fundamental entre a condução elétrica num metal e num semicondutor é que no metal, um aumento de temperatura cria mais dificuldade para os elétrons se deslocarem diminuindo sua condutividade

(aumenta sua resistência). No semicondutor, o aumento de temperatura faz aumentar o número de portadores

aumentando sua condutividade (diminuindo sua resistência).

Banda de Valência

Banda de Condução

Energia

Cheia

Parcialmente

Cheia

Banda Proibida

Banda de Valência

Banda de Condução

Energia

Cheia

Vazia

Banda Proibida


45

Apêndice 1: Analogia entre o Efeito fotoelétrico e um sistema mecânico

Vamos fazer uma analogia. Considere que você vai tirar bolinhas iguais de um buraco com o auxílio de um

bastão articulado. Cada bolinha será arremessada contra a parede do buraco pelo bastão conforme mostra a

figura 3. A parede do buraco forma um ângulo com a horizontal. Fora do buraco, existe um plano inclinado

articulado que forma um ângulo com a horizontal que pode ser variado. A figura 7 mostra esse arranjo. Claro

que mudando o ângulo muda também a altura h2.

Se a bolinha é arremessada com energia E < mgh1, não vai sair do buraco. Se for arremessada com energia

E = mgh1, não subirá o plano. Se for arremessada com uma energia E > mgh1, subirá até uma altura h2 no plano

tal que mgh1 + mgh2 = E, ou seja, mgh2 = E – mgh1 . Para saber a energia máxima da bolina, basta inclinar o plano inclinado até a bolinha não conseguir ultrapassá-lo, Portanto a energia máxima da bolinha será TMax =

mgh2. Se considerarmos que = mgh1 é a energia para liberar a bolinha e E a energia que ela recebe do bastão, teremos:

TMax = E -

A analogia com o efeito fotoelétrico é perfeita. O bastão é o fóton que cede energia à bolinha presa no buraco

que é o elétron preso na superfície do sólido. É preciso uma energia para liberar a bolinha e o elétron e ela sairá

do buraco com energia E - tal como o elétron.

Note também que se o bastão não ceder uma energia maior que = mgh1, a bolinha não sairá do buraco. Da

mesma forma, se a energia do fóton for menor que , o elétron não sai do material.

h2 (variável)

h1

articulação


46

APÊNDICE 2

Espalhamento de Compton

Seja p (um vetor) o momento do fóton antes do choque com um elétron e p’ (vetor) o momento do fóton após o

choque. Seja pe (vetor) o momento do elétron após o choque. Pela conservação do momento, temos:

p = p’ + pe (momento antes = momento depois) (1)

Se o choque é elástico, a energia se conserva. Usaremos energia relativista para o elétron devido à grande

velocidade (c) do fóton e, possivelmente do elétron.

A energia em repouso do elétron é moc2, mo sendo a massa do elétron em repouso. A energia do elétron após o

choque será: 2

p2

c2omc . Vamos chamar de E e E’ as energias do fóton antes e depois do choque

respectivamente. Então, pela conservação da energia:

E + moc2 = E’ +

2p

2c

2omc . (Energia antes = Energia depois) (2)

De (1) , vem:

p – p’ = pe (p - p’) = (pe)2 pe

2 = p2 + p’2 – 2E.E’ cosonde é o ângulo entre p e p'. (3)

Para fótons: p = h/ = hf/c (pois = c/f). Como hf = E, temos p = E/c

Usando a expressão acima na eq. 3, obremos:

cosE.E2

c

2E

2c

2E2

ep .

Diminuindo e somando 2 EE’/c2 na expressão acima, podemos escrever:

c2pe2 = (E - E’)2 + 2EE’(1 – cos) (4)

A eq.2 também pode ser escrita da seguinte forma:

2ep

2c

2om

2c

22comEE

(E - E’)2 +2 (E - E’) moc2+ mo

2c4 = mo2c4 +c2 pe

2

Os termos sublinhados se anulam, logo:

c2 pe2 = (E - E’)2 +2 (E - E’) moc

2 (5)

Igualando as eqs, (4) e (5) e eliminando os termos iguais dos dois lados da equação:

2 (E - E’) moc2 = 2EE’(1 – cos)

Raios X

p p’ Alvo


47

Dividindo dos dois lados por 2EE’moc2, ficamos com:

)cos1(2

com

1

E

1

E

1

(6)

Mas e energia do fóton é dada por hc/ Substituindo esta expressão na equação (6) chegamos finalmente a expressão de Compton:

)cos1(com

h

C = h/moc = 2,43 x 10-12 m é chamado comprimento de onda de Compton e a expressão acima é frequentemente escrita na forma:

)cos1(c

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Elementos Básicos de Mecânica quântica - ifi.unicamp.brmauro/F107/CAPITULO II.pdf · Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 16 Capítulo II Noções básicas de mecânica Quântica