Equação de Maxwell na Notação Complexa

Electroctenia teorica II

Engenharia Electrica II ano , 2012 Pag 1

I. INTRODUÇÃO

O presente trabalho vai abordar sobre Equação de Maxwell na notação complexa , Teorema

de Poynting na notação complexa e onda electromagnética.

Para onda electromagnética especificamente, vai se analisar , a propagação das ondas

electromagnéticas planas num semi-espaço condutor homogéneo e isotrópico, e em dieléctricos.



II. EQUAÇÃO DE MAXWELL NA NOTAÇÃO COMPLEXA

Das equações e na forma instantâneos podem ser escrito na notação complexa se e

variar sinusoidalmente com o tempo.

(1)

(2)

Podemos também escrever

(3)

Onde indica a parte imaginária, ou

(4)

Onde a amplitude complexa é

(5)

Do mesmo modo

(6)

As grandezas são funções vectoriais, e as suas componentes na forma rectangular variam

sinusoidalmente com o tempo.

Então deve ser substituído por ;

por

e por .

Sabendo que é uma constante independente das coordenadas, pode ser colocada antes do

sinal de rotacional. Assim a primeira equação de Maxwell pode ser escrita:

(7)

Eliminando em ambos os membros tem – se:

(8)

Analogamente, a segunda equação de Maxwell na forma complexa fica;

(9)



III. O TEOREMA DE POYNTING NA NOTAÇÃO COMPLEXA

Antes de discutirmos a forma complexa do teorema de poynting, consideremos a potência

aparente (ou total) num circuito de corrente alternada. Dada por

(10)

Sejam um circuito resistência (R) , indutância (L), capacidade (C), ligados em série. Então a

potência reactiva é

(11)

Onde

, e é a tensão no condensador.

Assim, a potência reactiva Q é a diferença entre a energia magnética e a energia eléctrica

armazenadas no circuito, multiplicada por .

Por analogia a potência aparente (ou total) num circuito de corrente alternada para vector de

poynting complexo temos de modo que em vez de temos agora.

(12)

Pelas equações (8) e (9) temos,

(13)

e

Portanto

(14)

O primeiro termo do segundo membro dá a potência activa e o segundo a potência reactiva.

Logo, o teorema de poynting pode ser escrito como:

(15)

Essa equação é frequentemente utilizada para determinar a resistência e a reactância interna de

condutores em corrente alternado.



IV. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

1. Ondas electromagnéticas no meio de um condutor e Isotrópico

(16)

(17)

Visto que desprezamos o valor de , temos:

rot → com

se , então como

Finalmente temos:

(18)

Para resolução desta equação no sistema cartesiano é muito difícil, por isso vamos resolver

considerando a propagação de onda plana com a variação de em relação a só uma coordenada

1.1.Ondas electromagnéticas plana

Para a onda plana são validas as condições:

(19)

Seja temos :

Equação Diferencial (20)



1.2.Equação caracteristica de ondas electromagnéticas plana

,

Onde ; e Unidade de “ ” é

.

Logo temos:

+

, (21)

Consideremos ,

, prova-se que

,

=

= , onde

Finalmente temos :

,

(22)

(23)

No caso geral determina-se na forma matricial.

( 24)

No nosso caso para a onda plena:

=

= -

(25)

De (23) e (25) temos:

, (26)

Unidade de

, logo

é a impedância da onda electromagnética num meio

comdutor.

O vector fica orientado ao lono do eixo x.

em que ,



Onde: ;

; ;

Figura:2. Vector poynting numa onda incidente. Figura : 3.Vector poynting numa onda refletida

A impedância da onda ( ) pode ser vista como a razão entre

,

( 27)

Últiama expressão mostra que no domínio do tempo tem avanço em relação ao em .

2. Propagação das ondas electromagnéticas planas num semi-espaço condutor

homogénio

Fig:4

e

Neste caso pode-se escrever :

é uma constant e determinando temos . (28)

, quando isto é :

(29)

, (30)



= *

, (31)

Multiplicando os segundos membros das equações (30) e (31) por e temos.

(30)

(31)

Vamos analisar em função de z para isso vamos supor que

Fig:

, corresponde ao comprimento da onda.

2.1.Profundidade de penetração da onda

Por profundidade de penetração da onda é designada a distância segundo o sentido de

propagação .

= , logo

em metros

Seja

2.2.Comprimento da onda

É a distância percorida por uma onda num meio condutor num periodo de 2 .

( 32)

2.3.Velocidade da fase

(33)

Quando um observador desloca-se no sentido de propagação da onda ele observa o mesmo

ângulo de fase,e para ele o ângulo de fase é constante. Este facto permite determinar a velocidade

da fase fazendo a primeira derivada no domíneo do tempo de ângulo de fase.



=0

=

(33)

3. Efeito pelicular

A distribuição ão uniforme do campo ao longo da secçãode um condutor devido a atenuação da

onda electromagnética é designado por efeito pelicular.

(34)

4. Ondas Electromagnéticas em dieléctricos

=-

,

, no dieléctrico , por isso:

=-

=

(35)

Seja

=

(36)

Vamos considerar a propagação de uma onda plana.

Fig.16



=

==

é a unidade no sistema internacional

(37)

=

, mas

=

(38)

, mas

, Finalmente temos:

é a impedância de onda no meio dieléctrico, no SI , Ohm

*

= 376,819*

=

Vamos considerar a propagação duma onda semi-espaço dieléctrico homgênio e isotrópico.

Nestas condições está ausente a onda reflectida por isso podemos escrever;



Quando z = 0, temos

.

A velocidade de fase de uma ondas electromagnéticas no dieléctricos

é igual a

Para o vácuo

Essa velocidade é tão próxima à velocidade da luz que nos dà fortes razões para concluir que a

própria luz (incluindo radiação de calor e outras radiações) é uma perturbação eletromagnética na

forma de ondas que se propagam de acordo com as leis eletromagnéticas.

Comprimento de onda electromagnéticas no dieléctricos é igual a

=

=

.



V. CONCLUSÃO

Na análise de circuitos de corrente alternada, é bastante útil usar o forma da impedância

complexa, que usa as propriedades das exponenciais imaginárias para simplificar a análise de

problemas que envolvem valores (tensões e correntes) que variam senoidalmente.

Para caracterizar matemática e fisicamente a onda electromagnética, podemos definir a

grandeza, chamada vector de Poynting.



VI. BIBLIOGRAFIA

[1]. L. BESSONOV , Electricidade Aplicada para Engenheiros, Edições Lopes da Silva-Porto

, 3a Edição-2000



Indíce

I. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1

II. EQUAÇÃO DE MAXWELL NA NOTAÇÃO COMPLEXA ........................................................... 2

III. O TEOREMA DE POYNTING NA NOTAÇÃO COMPLEXA ....................................................... 3

IV. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS................................................................................................ 4

1. Ondas electromagnéticas no meio de um condutor e Isotrópico .................................................... 4

1.1. Ondas electromagnéticas plana ................................................................................................. 4

1.2. Equação caracteristica de ondas electromagnéticas plana ...................................................... 5

2. Propagação das ondas electromagnéticas planas num semi-espaço condutor homogénio ............... 6

2.1. Profundidade de penetração da onda ..................................................................................... 7

2.2. Comprimento da onda .......................................................................................................... 7

2.3. Velocidade da fase ............................................................................................................... 7

3. Efeito pelicular ............................................................................................................................ 8

4. Ondas Electromagnéticas em dieléctricos ..................................................................................... 8

V. CONCLUSÃO............................................................................................................................... 11

VI. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................... 12

Documents

Equação de Maxwell na Notação Complexa