Universidade Federal de AlagoasProfa Elisa Ma Canete Molero

Teoria dos Corpos, Exercicios Captulo 3

Exercicio 1.- Provar que Z6 nao e um corpo. Exercicio 2.- Provar que se a caractertica de um corpo nao e cero, entao e um numero primo. Exercicio 3.- Provar que um dominio de integridade finito e um corpo. Exercicio 4.- Seja F um corpo e f(x) F [x]. Provar que a F e uma raiz de f(x) se e so

se x a divide f(x). Exercicio 5.- O polinomio f = x33x+1 e irredutvel em Q[x]. Seja q = x4 3x2 + 2x+ 3 Q[x]/f. Achar q1 e q2, expressando eles em relacao a base de Q[x]/f. Exercicio 6.- Um corpo e dito algebricamente fechado se todo polinomio P K[x] comP 2 decompoe-se em fatores lineares. Exercicio 7.- Provar que para todo primo p, em Fp[x] verifica-se

xp1 1 = (x 1)(x 2) . . . (x (p 1)).

Exercicio 8.- Sejam K um corpo e f = a0 + a1x+ a 2x2 + . . . anxn K[x] com a0, an 6= 0.Provar f irredutvel se e so se a0x

n + a1xn1 + a2xn2 + + an irredutvel.

Exercicio 9.- Achar o grau das seguintes extensoes e dizer que classe de extensoes sao:(i)Q( 4

2)|Q(2) (ii)R(3)|R (iii)R( 43)|R (iv)F7[t]|F7[t2] (v)F7[t]|F

(vi)Q(

5, 6

5)|Q (vii)Q(5, 65)|Q(5)

Exercicio 10.- Demostrar que uma extensao de grau primo e simples. Exercicio 11.- Se L|K e finita e P e irredutvel em K[x], provar que se P tem alguma raiz

em L, entao P divide [L : K].

Exercicio 12.- Se L|K e finita e K M L, provar que para qualquer L e satisteito[M() : M ] [K() : K]. Exercicio 13.- Seja K(, ) uma extensao algebrica de K, n = [K() : K], n = [K() : K]

e n = [K(, ) : K].

1. Mostrar que mcm(n, n)|n e n nn. Que pode se dizer se n e n forem coprimos?2. Mostrar um exemplo com n 6= n e n < n.n

Exercicio 14.- Provar que L|K e M |L algebricas implica M |K algebrica. Exercicio 15.- Seja F um corpo e seja f(x) F [x] um polinomio nao nulo. Provar que se a

esta em algums extensao de F e f(a) e algebrico sobre F entao, a e algebrico sobre F.

Exercicio 16.- Seja uma raiz de f(x) = x5 + 2x+ 6. Provar que 2, 32 e 42 / Q(). Exercicio 17.- Se e transcendente sobre K, qual e o grau de K()|K? Exercicio 18.- Sejam e em L|K tais que [K() : K] = m e [K() : K] = n. Provar que

o grau do polinomio mnimo de em K() e n se e so se o grau do polinomio mnimo de em K() e m.

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Teoria dos Corpos, Exercicios Captulo 3

Exercicio 19.- Calcular o polinomio mnimo de 3 +5 em Q(15). Exercicio 20.- Se m e n sao inteiros possitivos livres de quadrados (i.e., nao sao divisveis

por quadrados distintos de 12), comparar os corpos Q(n,m), Q(

n+m) e Q(

nm).

Exercicio 21.- Achar o grau da extensao Q(

1 +

3)|Q.

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