7/27/2019 Gabarito Prova 2 de Clculo I - Engenharia Mecnica -
UFPR
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Universidade Federal do Paran
Engenharia Mecnica
Clculo Diferencial e Integral I
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer
Gabarito Segunda Prova
Questo 1.Use a definio de derivada para mostrar que sendo() ,
ento() Pela definio de derivada,
() ( ) ()
Para() temos:
() ( )
Questo 2.A arrecadao mundial total pela exibio de um filme de
grande sucesso de bilheteria aproximado
pela funo
() Onde () medido em milhes de dlares e o nmero de meses que o
filme est em cartaz.Determine uma funo que descreva a taxa de
variao da arrecadao do filme ao longo do tempo.
A funo que descrever esta taxa de variao ser
( ) ()( ) Qual ser o valor arrecadado em 10 meses? Com que razo
a arrecadao estar mudando quando Em 10 meses o valor arrecadado ser
dado por:
() Em 10 meses a arrecadao estar mudando a uma razo dada por
() Questo 3.Um espectador est observando o lanamento de um
foguete a uma distncia de ps do localde lanamento. Se o foguete
levanta vo verticalmente e sobe a uma velocidade de quando est auma
altitude de , com que rapidez a distncia entre o foguete e o
espectador est variando nesseinstante?
Considerando a distncia entre o observador e o local de
lanamento, a distncia entre o foguete e o local delanamento e a
distncia entre o observador e o foguete, ento o problema nos pede
para determinar .Sabe-se que:
( )
E ainda, como , ento
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Como , ento
Questo 4. O consumo mdio de energia de uma geladeira comum,
produzido pelas industrias York,
aproximadamente
() Onde . () em quilowatts-hora (kWh) por ano, onde medido em
anos ( corresponde ao anode ).Qual foi o consumo mdio de energia de
uma geladeira no incio de 1972?
() Mostre que o consumo mdio de energia de uma geladeira York
decrescente ao longo do tempo.
Para mostrar que esta funo decrescente, deve-se mostrar que
() Para todo Para esta funo,
() () Como a funo exponencial positiva para todos os pontos de
seu domnio, conclu-se que a funo
() menor
que zero para todos os pontos do domnio e que, por consequncia,
a funo () decrescente para qualquertempo.
Todas as geladeiras produzidas a partir de 1 de Janeiro de 1990
devem ter um consumo mximo padro de
energia de , definido pela Lei Nacional de Manuteno de
Aparelhos. Uma geladeira York satisfazessa exigncia?
Justifique.
Mostrou-se que em ( ) o consumo de energia de uma geladeira York
era de . Mostrou-setambm que a funo que mede este consumo de
energia decrescente. Logo conclu-se que no haver nenhum
momento, a partir de , em que esta funo assumir um valor maior
que o mximo padro.Outra maneira de responder esta questo procurando
os pontos crticos. Ao fazer isso, nota-se que para esta
funo nao h pontos crticos (A derivada da funo nunca zera, ela
sempre negativa!). Sendo assim, sabe-se que
os pontos de mximo e de mnimo ocorrem nos extremos da funo (Nos
pontos ou ) e basta mostrarque o mximo entre esses dois pontos no
supera o consumo mximo padro de energia.
Questo 5. A velocidade da propagao do som atravs do oceano com
salinidade de 25 partes por milhar foi
modelada pela equao
Onde a velocidade do som (em metros por segundo) e a temperatura
(em graus Celsius). Um mergulhadorcomea um mergulho tranquilo nas
guas ocanicas e a temperatura da gua ao redor registrada no grfico
a
seguir. Estime a taxa de variao (em relao ao tempo) da
velocidade do som atravs do oceano experimentada
pelo mergulhador 20 minutos aps o incio do mergulho. Interprete
os resultados.
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Pela regra da cadeia,
Como conhecido ( ), ento
Para Logo,
precisa ser estimada a partir do grfico. Como no temos condies
de tirar a variao instantnea do grfico,podemos estim-la pela variao
mdia:
Sendo assim, como as derivadas foram estimadas, o resultado
final tambm uma estimao dada por:
()
Isso significa que naquele momento, cada aumento de 1C na
temperatura, causa um aumento de navelocidade de propagao do som
neste meio.
