Introdução às Equações Diferenciais (Apostila 03 2010)

Introduo s Equaes Diferenciais

Um roteiro para estudo

Luiz Fernando Provenzano UFMT Verso 03/2010

Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

ndice Equaes Diferenciais - Um Pouco de Histria ...............................................................3 A Natureza das Equaes Diferenciais ...........................................................................8

Definio e Notaes...................................................................................................8 Resoluo de uma Equao Diferencial ....................................................................10 Tipos de Solues de uma Equao Diferencial........................................................11 Interpretao Geomtrica da Soluo de uma Equao Diferencial..........................12 Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno..............................13 Teorema de Existncia e Unicidade ..........................................................................14

Equaes Diferenciais Ordinrias de 1a Ordem e 1o Grau ............................................18 Classificao..............................................................................................................18

1o Tipo: Equaes Diferenciais de Variveis Separveis .......................................18 Sobre a Curva Tractriz ...........................................................................................20 2o Tipo: Equaes Diferenciais Homogneas ........................................................21 3o Tipo: Equaes Diferenciais Redutveis s Homogneas ou s de Variveis Separveis .............................................................................................................25 4o Tipo: Equaes Diferenciais Exatas...................................................................27 Fator Integrante......................................................................................................30 Pesquisa de um Fator Integrante ...........................................................................30 5o Tipo: Equaes Diferenciais Lineares................................................................32

Algumas Aplicaes das Equaes Diferenciais Ordinrias ......................................35 de 1a Ordem e 1o Grau ..............................................................................................35

Exerccios Gerais de Aplicaes ............................................................................39 Equaes Diferenciais Ordinrias de Ordem Superior Primeira.................................43

Tipos Especiais de Equaes Diferenciais de 2a Ordem ...........................................43 Problema de Perseguio (Uma aplicao) ..........................................................47

Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N ............................................................52 Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogneas e de Coeficientes Constantes.................................................................................................................53 Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N, No-Homogneas e de Coeficientes Constantes.................................................................................................................57 Determinao de uma Soluo Particular Experimental (yp) .....................................58 Mtodo dos Coeficientes a Determinar (ou Mtodo de Descartes)............................58

Famlia de uma funo...........................................................................................58 Construo de uma Soluo Particular Experimental (yp)......................................59

Aplicaes de Equaes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes.................................................................................................................64

Vibraes Mecnicas e Eltricas............................................................................64 Sistemas de Equaes Diferenciais ..............................................................................73

Exerccios ..................................................................................................................77 Noes de Equaes Diferenciais Parciais ...................................................................82

Sobre a Resoluo ....................................................................................................83 Determinao de uma Equao Diferencial Parcial a partir de uma Soluo dada. ..84 O Problema de Conduo de Calor e o Mtodo de Separao de Variveis ............86

Anexos ..........................................................................................................................90 Frmulas Bsicas ..........................................................................................................91 Sistemas de Unidades...................................................................................................93 Bibliografia.....................................................................................................................95

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Equaes Diferenciais - Um Pouco de Histria De vrias maneiras, as equaes diferenciais so o corao da anlise e do

clculo, dois dos mais importantes ramos da matemtica nos ltimos 300 anos. Equaes diferenciais so uma parte integral ou um dos objetivos de vrios cursos de graduao de clculo. Como uma ferramenta matemtica importante para cincias fsicas, a equao diferencial no tem igual. Assim amplamente aceito que equaes diferenciais so importantes em ambas: a matemtica pura e a aplicada. A histria sobre este assunto rica no seu desenvolvimento e isto que estaremos olhando aqui. Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuies de um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a histria deste assunto comea e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificao grosseira do seu desenvolvimento. Existem vrios contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessrios para que ele pudesse entender o clculo e a anlise necessrios para desenvolver muitas das idias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram idias inteiramente novas, inacessveis perspectiva do sculo XVIII de Euler e sofisticadas alm do entendimento de apenas uma pessoa.

Esta a histria do desenvolvimento das equaes diferenciais. Daremos uma pequena olhada nas pessoas, nas equaes, nas tcnicas, na teoria e nas aplicaes. A histria comea com os inventores do clculo, Fermat, Newton, e Leibniz. A partir do momento que estes matemticos brilhantes tiveram entendimento suficiente e notao para a derivada, esta logo apareceu em equaes e o assunto nasceu. Contudo, logo descobriram que as solues para estas equaes no eram to fceis. As manipulaes simblicas e simplificaes algbricas ajudaram apenas um pouco. A integral (antiderivada) e seu papel terico no Teorema Fundamental do Clculo ofereceu ajuda direta apenas quando as variveis eram separadas, em circunstncias muito especiais. O mtodo de separao de variveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. Assim estes pesquisadores iniciais do sculo 17 focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e tcnicas para aqueles que os seguiram.

Ao redor do incio do sculo XVIII, a prxima onda de pesquisadores de equaes diferenciais comeou a aplicar estes tipos de equaes a problemas em astronomia e cincias fsicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equaes diferenciais para o movimento planetrio, usando os princpios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenria e o uso de coordenadas polares. Nesta poca, as equaes diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemtica e cincias para resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princpios para analisar a trajetria de um cometa que hoje leva seu nome. O irmo de Jakob, Johann Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemtico a entender o clculo de Leibniz e os princpios de mecnica para modelar matematicamente fenmenos fsicos usando equaes diferenciais e a encontrar suas solues. Ricatti (1676--1754) comeou um estudo srio de uma equao em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiais da equao que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equao de Ricatti tambm. Na poca, Taylor usou sries para "resolver" equaes diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas sries para

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vrios propsitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenas finitas comeou um novo ramo da matemtica intimamente relacionado ao desenvolvimento das equaes diferenciais. No incio do sculo XVIII, este e muitos outros matemticos tinham acumulado uma crescente variedade de tcnicas para analisar e resolver muitas variedades de equaes diferenciais. Contudo, muitas equaes ainda eram desconhecidas em termos de propriedades ou mtodos de resoluo. Cinqenta anos de equaes diferenciais trouxeram progresso considervel, mas no uma teoria geral.

O desenvolvimento das equaes diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os mtodos existentes e criar novas e mais poderosas tcnicas para atacar grandes famlias de equaes. Muitas equaes pareciam amigveis, mas tornaram-se decepcionantemente difceis. Em muitos casos, tcnicas de solues iludiram perseguidores por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou cena das equaes diferenciais. Euler teve o benefcio dos trabalhos anteriores, mas a chave para seu entendimento era seu conhecimento e percepo de funes. Euler entendeu o papel e a estrutura de funes, estudou suas propriedades e definies. Rapidamente achou que funes eram a chave para entender equaes diferenciais e desenvolver mtodos para suas resolues. Usando seu conhecimento de funes, desenvolveu procedimentos para solues de muitos tipos de equaes. Foi o primeiro a entender as propriedades e os papis das funes exponenciais, logartmicas, trigonomtricas e de muitas outras funes elementares. Euler tambm desenvolveu vrias funes novas baseadas em solues em sries de tipos especiais de equaes diferenciais. Suas tcnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. Em 1739, desenvolveu o mtodo de variao de parmetros. Seu trabalho tambm incluiu o uso de aproximaes numricas e o desenvolvimento de mtodos numricos, os quais proveram "solues" aproximadas para quase todas as equaes. Euler ento continuou aplicando o trabalho em mecnica que levou a modelos de equaes diferenciais e solues. Ele era um mestre que este assunto necessitava para se desenvolver alm de seu incio primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemtica aplicada moderna.

Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das idias de Euler. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os mtodos de Euler para ajud-lo a estudar oscilaes e as equaes diferenciais que produzem estes tipos de solues. O trabalho de D'Alembert em fsica matemtica envolveu equaes diferenciais parciais e exploraes por solues das formas mais elementares destas equaes. Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados em mecnica, especialmente equaes de movimento (problema dos trs corpos) e energia potencial. As maiores contribuies de Lagrange foram provavelmente na definio de funo e propriedades, o que manteve o interesse em generalizar mtodos e analisar novas famlias de equaes diferenciais. Lagrange foi provavelmente o primeiro matemtico com conhecimento terico e ferramentas suficientes para ser um verdadeiro analista de equaes diferenciais. Em 1788, ele introduziu equaes gerais de movimento para sistemas dinmicos, hoje conhecidas como equaes de Lagrange. O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avanos, incluindo tcnicas numricas melhores e um melhor entendimento de integrao. Em 1799, introduziu as idias de um laplaciano de uma funo. Laplace claramente reconheceu as razes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia Euler, ele nosso mestre". O trabalho de Legendre sobre equaes diferenciais foi motivado pelo movimento de projteis, pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como resistncia do ar e velocidades iniciais. Lacroix foi o prximo a deixar sua marca. Trabalhou em avanos nas equaes diferenciais parciais e incorporou muito dos avanos, desde os tempos de Euler, ao seu livro. A contribuio principal de Lacroix foi

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resumir muitos dos resultados de Euler, Lagrange, Laplace, e Legendre. O prximo na ordem foi Fourier. Sua pesquisa matemtica fez contribuies ao estudo e clculos da difuso de calor e soluo de equaes diferenciais. Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analtica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele fez uso extensivo da srie que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilaes. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a teoria matemtica desta srie, a qual era bem conhecida anteriormente por Euler, Daniel Bernoulli, e Lagrange. As contribuies de Charles Babbage vieram por uma rota diferente. Ele desenvolveu uma mquina de calcular chamada de Mquina de Diferena que usava diferenas finitas para aproximar solues de equaes.

O prximo avano importante neste assunto ocorreu no incio do sculo XIX, quando as teorias e conceitos de funes de variveis complexas se desenvolveram. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gauss e Cauchy. Gauss usou equaes diferenciais para melhorar as teorias das rbitas planetrias e gravitao. Gauss estabeleceu a teoria do potencial como um ramo coerente da matemtica. Tambm reconheceu que a teoria das funes de uma varivel complexa era a chave para entender muitos dos resultados importantes das equaes diferenciais aplicadas. Cauchy aplicou equaes diferenciais para modelar a propagao de ondas sobre a superfcie de um lquido. Os resultados so agora clssicos em hidrodinmica. Inventou o mtodo das caractersticas, o qual importante na anlise e soluo de vrias equaes diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a definir completamente as idias de convergncia e convergncia absoluta de sries infinitas e iniciou uma anlise rigorosa de clculo e equaes diferenciais. Tambm foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemtica para nmeros complexos e a desenvolver a transformada de Fourier para prover solues algbricas para equaes diferenciais.

Depois destas grandes contribuies de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar estas teorias poderosas e aplic-las a vrios ramos da cincia. Os trabalhos iniciais de Poisson em mecnica apareceram em Trait de mcanique em 1811. Aplicou seu conhecimento de equaes diferenciais a aplicaes em fsica e mecnica, incluindo elasticidade e vibraes. Muito de seu trabalho original foi feito na soluo e anlise de equaes diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de Green em fundamentos matemticos de gravitao, eletricidade e magnetismo foi publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism. A matemtica de Green proveu a base na qual Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construram a teoria atual do magnetismo. Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equaes diferenciais astronomia. Seu trabalho sobre funes de Bessel foi feito para analisar perturbaes planetrias. Posteriormente estas construes foram usadas para resolver equaes diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava equaes diferenciais para desenvolver teorias sobre a conduo do calor. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo equaes integrais equivalentes, um mtodo refinado por Fredholm e Hilbert no incio da dcada de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funes elementares foi uma contribuio substancial para solues de equaes diferenciais. As investigaes tericas e experimentais de Stokes cobriram hidrodinmica, elasticidade, luz, gravitao, som, calor, meteorologia e fsica solar. Ele usou modelos de equaes diferenciais em todos os campos de estudo.

Na metade do sculo XIX, uma nova estrutura era necessria para atacar sistemas de mais de uma equao diferencial. Vrios matemticos vieram em socorro. Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformaes em uma ferramenta poderosa para avaliar integrais mltiplas e resolver equaes diferenciais. A estrutura do

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jacobiano foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito hbil e um perito numa variedade de campos aplicados. Cayley tambm trabalhou com determinantes e criou uma teoria para operaes com matrizes em 1854. Cayley era um amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos para lecionar na Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas reas da matemtica, dinmica terica e astronomia. Cayley criou a noo de matrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de matrizes nas dcadas posteriores. Josiah Gibbs fez contribuies termodinmica, ao eletromagnetismo e mecnica. Por seu trabalho nos fundamentos de sistemas de equaes, Gibbs conhecido como o pai da anlise vetorial.

medida que o final do sculo XIX se aproximava, os principais esforos em equaes diferenciais se moveram para um plano terico. Em 1876, Lipschitz (1832--1903) desenvolveu teoremas de existncia para solues de equaes diferenciais de primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funes e solues de equaes. medida que a teoria se desenvolveu, as seis funes trigonomtricas bsicas foram provadas transcendentais, assim como as inversas das funes trigonomtricas e as funes exponenciais e logartmicas. Hermite mostrou que a equao de quinta ordem poderia ser resolvida por funes elpticas. Enquanto seu trabalho era terico, os polinmios de Hermite e as funes de Hermite se mostraram posteriormente muito teis para resolver a equao de onda de Schrdinger e outras equaes diferenciais. O prximo a construir fundamento terico foi Bernhard Riemann. Seu doutorado foi obtido, sob a orientao de Gauss, na teoria de variveis complexas. Riemann tambm teve o benefcio de trabalhar com o fsico Wilhelm Weber. O trabalho de Riemann em equaes diferenciais contribuiu para resultados em dinmica e fsica. No final da dcada de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergncia e o "fenmeno de Gibbs" da srie de Fourier. O prximo contribuinte terico importante foi Kovalevsky, a maior matemtica antes do sculo XX. Depois de vencer dificuldades considerveis por causa da discriminao de seu gnero, ela teve oportunidade de estudar com Weierstrass. No incio de sua pesquisa, completou trs artigos sobre equaes diferenciais parciais. No seu estudo da forma dos anis de Saturno, ela se apoiou no trabalho de Laplace, cujo trabalho ela generalizou. Basicamente, o trabalho de Kovalevsky era sobre a teoria de equaes diferenciais parciais e um resultado central sobre a existncia de solues ainda leva seu nome. Ela publicou vrios artigos sobre equaes diferenciais parciais. Posteriormente, no sculo XX, trabalhos tericos de Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas classificaes para o entendimento posterior de algumas das mais complicadas famlias de equaes diferenciais.

O prximo impulso foi no desenvolvimento de mtodos numricos mais robustos e eficientes. Carl Runge desenvolveu mtodos numricos para resolver as equaes diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atmico. Estes mtodos numricos ainda so usados hoje. Ele usou tanta matemtica em sua pesquisa que fsicos pensaram que fosse matemtico, e fez tanta fsica que os matemticos pensaram que fosse fsico. Hoje seu nome est associado com os mtodos de Runge-Kutta para resolver equaes diferenciais. Kutta, outro matemtico aplicado alemo, tambm lembrado por sua contribuio teoria de Kutta-Joukowski de sustentao de aeroflios em aerodinmica, baseada em equaes diferenciais. Na ltima metade do sculo XX, muitos matemticos e cientistas da computao implementaram mtodos numricos para equaes diferenciais em computadores para dar solues rpidas e eficientes para sistemas complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforo.

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Equaes no lineares foram o prximo grande obstculo. Poincar, o maior matemtico de sua gerao, produziu mais de 30 livros tcnicos sobre fsica matemtica e mecnica celeste. A maioria destes trabalhos envolveu o uso e anlise de equaes diferenciais. Em mecnica celeste, trabalhando com os resultados do astrnomo americano George Hill, conquistou a estabilidade das rbitas e iniciou a teoria qualitativa de equaes diferenciais no lineares. Muitos resultados de seu trabalho foram as sementes de novas maneiras de pensar, as quais floresceram, tais como anlise de sries divergentes e equaes diferenciais no lineares. Poincar entendeu e contribuiu em quatro reas principais da matemtica - anlise, lgebra, geometria e teoria de nmeros. Ele tinha um domnio criativo de toda a matemtica de seu tempo e foi, provavelmente, a ltima pessoa a estar nesta posio. No sculo XX, George Birkhoff usou as idias de Poincar para analisar sistemas dinmicos grandes e estabelecer uma teoria para a anlise das propriedades das solues destas equaes. Na dcada de 1980, a teoria emergente do caos usou os princpios desenvolvidos por Poincar e seus seguidores. Fonte: http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htm em setembro de 2008.

......................................................................

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A Natureza das Equaes Diferenciais Muitas das leis gerais da natureza, na fsica, na qumica, na biologia, na astronomia encontram a sua expresso mais natural na linguagem das equaes diferenciais. Aplicaes tambm surgem na matemtica em si, especialmente na geometria, na engenharia, na economia, e em muitos outros campos da cincia aplicada. fcil de entender as razes que esto por detrs desta grande utilizao de equaes diferenciais. Para tanto, bom relembrar que se ( )y f x= uma dada funo, e to a sua derivada dy pode ser interpretada como a taxa (ou razo) de variao de

e

y

egre

c

c

ina

fi

e D D

n

dx

m relao a x . Em qualquer processo natural, as variveis envolvidas e suas taxas de variao

sto interligadas com uma ou outras por meio de princpios bsicos cientficos que overnam o processo. Quando esta relao expressa em smbolos matemticos, o sultado freqentemente uma equao diferencial.

Para ilustrar estas observaes vejamos o exemplo que se segue. De acordo com a Segunda Lei de Newton do movimento, a acelerao a de um

orpo de massa m proporcional fora total F agindo sobre ele, com 1m

como a

onstante de proporcionalidade, assim, Fam

= ou m a. F= (1) Suponhamos, por hiptese, que um corpo de massa m cai livremente sobre a

fluncia da gravidade. Nesse caso a nica fora que age sobre ele m.g onde g a celerao devido gravidade. Se y(t) a distncia abaixo do corpo para alguma altura

xada, ento sua acelerao 2

2

d ydt

, e (1) torna-se 2

2 .d ym mdt

= g ou 2

2

d y gdt

= (2) Se ns alterarmos a situao assumindo que o ar exerce uma fora de resistncia proporcional velocidade, ento a fora total

exercida sobre o corpo . dym g kdt

e (1) torna-se

2

2 .d y dym m g k

dtdt= ou

2

2 .d y dym k

dtdt+ = m g (3)

As equaes (2) e (3) so as equaes diferenciais que xpressam as atribuies essenciais dos processos fsicos considerados.

efinio e Notaes

efinio: Uma equao envolvendo as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais

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variveis dependentes em relao a uma ou mais variveis independentes chamada de equao diferencial. Exemplos:

1. 13 = xdxdy ; 6. ( ) ( ) xyyyyy 5''3'' 35 =++ ;

2. ; 7. 0.. = dxydyx yxdtdy

dtdx +=+ 2 ;

3. 06522

=+ ydxdy

dxyd ; 8. 2

11'x

yx

y =+ ;

4. 122

2

2

=

+dxdy

dxyde y ; 9. u v

y x = ;

5. 32

22 4. . 8. 0

d s dst s sdtdt

+ = ; 10. 02

2

2

2

=+

y

zx

z .

Observao: A notao de Leibniz dxdy , 2

2

dxyd , 3

3

dxyd , ... ,

xw , 2

2

yz

, ... , nos parece ser

mais vantajosa sobre a notao , ... , pois, explicita claramente as variveis dependentes e as independentes.

''' ,'' ,' yyy

Ordem de uma Equao Diferencial A ordem de uma equao diferencial dada pela ordem da derivada de mais alta ordem que nela aparece.

Grau de uma Equao Diferencial O grau de uma equao diferencial, admitindo-se a mesma escrita na forma racional inteira em relao s derivadas, dado pelo grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece, ou seja, o maior dos expoentes a que est elevada a derivada de mais alta ordem contida na equao. Exemplo:

1

3

33

3

=dx

ydy

dxyd 3

32

3

3

dxydy

dxyd =

3a ordem e 2o grau.

Preencha o quadro abaixo, com respeito ordem e o grau, dos dez exemplos apresentados anteriormente:

Exemplo Ordem Grau Exemplo Ordem Grau 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10

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Classificao das Equaes Diferenciais As equaes diferenciais so classificadas em: a) Equaes Diferenciais Ordinrias: so aquelas cuja(s) funo(es) incgnita(s)

depende(m) de uma nica varivel, e portanto, s apresentam derivadas ordinrias (os oito primeiros exemplos);

b) Equaes Diferenciais Parciais: so aquelas cuja(s) funo(es) incgnita(s) depende(m) de mais uma varivel, e portanto, as derivadas so parciais (os dois ltimos exemplos).

Resoluo de uma Equao Diferencial Resolver ou integrar uma equao diferencial significa determinar todas as funes que substitudas conjuntamente com as suas derivadas na equao diferencial dada, a verificam identicamente. Tais funes chamam-se solues, primitivas ou integrais da equao. Exemplos:

1) A funo , onde xsencxcy cos 21 += 21 , cc , so ditas constantes arbitrrias, soluo da equao diferencial 0=2

2

+ ydx

yd , pois,

xcxsencdxdy cos 21 += e xsencxcdx

yd cos 2122

= . Substituindo na equao diferencial dada vem,

0 cos cos?

2121 =++ xsencxcxsencxc 00 = (Verdade a igualdade se verificou).

2) A funo soluo da equao diferencial 22 yxz += 0=

yzx

xzy , pois,

xxz 2= e y2

yz = . Substituindo estas derivadas parciais na equao dada vem,

022?= xyxy

00 = (Verdade).

3) J a funo no soluo da equao diferencial 2xy = 32 += xdxdy , pois,

xdxdy 2= e substituindo na equao diferencial dada vem, 2 32 + xx . Logo, no se verificou a igualdade.

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Tipos de Solues de uma Equao Diferencial Uma equao diferencial pode ser abordada de trs maneiras diferentes: a analtica, a qualitativa e a numrica. A forma analtica aquela tradicional onde a soluo, uma funo explcita ou implcita, encontrada pelo uso direto do clculo diferencial e integral. Num primeiro curso de Equaes Diferenciais, geralmente, dado prioridade a este processo analtico na busca da soluo de uma equao diferencial.

Aqui, j comea a ficar claro que por este processo analtico no sempre possvel encontrar a soluo de todas as equaes diferenciais, pois com j sabemos, existem muitas funes que no so integrveis. J pelo processo qualitativo, discute-se o comportamento das solues e os aspectos das curvas integrais descritos por meio de campos de direes, isto , graficamente. Este procedimento, no estudo das equaes diferenciais ordinrias de 1a ordem, no envolve clculos complicados e baseado na interpretao da derivada. Finalmente, na abordagem numrica, mtodos numricos so utilizados para aproximar solues de problemas de valor inicial de equaes diferenciais de 1a ordem.

No caso das equaes diferenciais ordinrias, a soluo analtica pode ser dos seguintes tipos: a) Soluo Geral: uma soluo que contm tantas constantes arbitrrias essenciais

quantas forem as unidades da ordem da equao considerada.

Exemplo: (onde xsencxcy cos 21 += 21 , cc ) soluo geral da equao diferencial

022

=+ ydx

yd , pois, o nmero de constantes arbitrrias essenciais 2, igual s unidades

da ordem da equao diferencial considerada. b) Soluo Particular: a soluo que se obtm atribuindo-se valores particulares s

constantes arbitrrias, que figuram na soluo geral.

Exemplo: xy cos= uma soluo particular da equao 022

=+ ydx

yd ,pois, uma

soluo obtida da soluo geral acima, quando 11 =c e .02 =c c) Soluo Singular: uma soluo desprovida de constantes arbitrrias e que no

pode ser obtida da soluo geral. Tambm so chamadas de solues perdidas. Sendo assim, apenas alguns tipos de equaes diferenciais apresentam essa soluo.

Exemplo: Seja a equao de Clairaut

=dxdy

dxdyxy ln

y ln1

. Ela possui soluo geral

dada por e soluo singular dada por ccxy ln= x += (verifique!). fcil notar que a soluo singular no pode ser obtida da soluo geral.

No caso das equaes diferenciais parciais as solues analticas so dos seguintes tipos: a) Soluo Geral: uma soluo que contm funes arbitrrias.

Exemplo: Dada a equao diferencial parcial 0=

yzx

xzy , a funo arbitrria

soluo geral da equao diferencial, pois, f uma funo de argumento u x , isto ,

)( 22 yxfz +=2 y= + 2 )(ufz = , sendo u , e derivando z em relao a 22 yx +=

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x e a y, tem-se xufxz 2).('= e yuf

yz 2).('= . Substituindo-se na equao

diferencial dada vem,

0=02).('2).('. ?= yuxfxufy 0 (Verdade). b) Soluo Completa: uma soluo que contm constantes arbitrrias.

Exemplo: Dada a equao diferencial parcial yz

xz

yzy

xzxz

+

+= . ,

a funo , onde e b so constantes arbitrrias, soluo completa da equao dada (Verifique).

baybxaz ... ++= a

c) Soluo Particular: a soluo obtida da soluo completa, atribuindo-se valores s constantes arbitrrias. d) Soluo Singular: uma soluo que no resulta nem da soluo geral, nem da soluo completa.

Assim, uma das mais importantes diferenas entre as solues das equaes diferenciais ordinrias e as solues das equaes diferenciais parciais, aquela que, enquanto a soluo geral de uma equao diferencial ordinria de ordem n contm n constantes arbitrrias de integrao, a soluo geral de uma equao diferencial parcial contm funes arbitrrias.

Outra particularidade que existe, de que nem sempre o nmero de funes arbitrrias ou de constantes arbitrrias traduz a ordem da equao diferencial parcial. Interpretao Geomtrica da Soluo de uma Equao Diferencial Sob o ponto de vista geomtrico a soluo geral de uma equao diferencial ordinria representa uma famlia de curvas. Estas curvas chamam-se curvas integrais. Uma soluo particular representada por uma curva desta famlia.

Exemplo: Seja a equao diferencial xdxdy 2= , cuja soluo geral dada por

. cxy += 2Esta soluo geral nada mais do que uma Famlia de Parbolas, todas de concavidade voltada para cima e simtricas em relao ao eixo y, conforme mostra a figura abaixo, para alguns valores de .3 , 5,1 ,1 ,0 ,1 , 54321 ===== cccccc

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Observao: Existem infinitas parbolas nesta famlia, onde cada uma delas representa uma soluo particular (uma para cada determinado valor de

). c Exemplos:

1) Verifique se y soluo da equao diferencial 321 ).( cexccx ++=

02 22

3

3

=+dxdy

dxyd

dxyd .

Soluo:

2) Dado cxxy +=2

3 2 determine a equao diferencial de menor ordem possvel

que no contenha nenhuma constante arbitrria. Soluo: 3) Dado determine a equao diferencial de menor ordem

possvel que no contenha nenhuma constante arbitrria. xsencxcy 2 2 cos 21 +=

Soluo: Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno

Na resoluo de equaes diferenciais, estamos interessados no somente nas

suas solues gerais, mas tambm naquelas solues que satisfazem certas condies.

Aqui trataremos daquelas condies que so conhecidas como condies iniciais e condies de fronteira (contorno) de equaes diferenciais ordinrias. Uma condio inicial uma condio, na soluo de uma equao diferencial, em um nico ponto; condies de fronteira (contorno) so condies, na soluo de uma equao diferencial, em dois ou mais pontos. A equao diferencial com condio inicial ser chamada de um Problema de Valor Inicial; aquela que envolve suas condies de fronteira (contorno) ser chamada de um Problema de Valores de Fronteira (contorno).

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Exemplos de Problemas de Valor Inicial: a)

==

2)0(y

kydxdy ,

b)

==

=

3)0('0)0(

0.2'''

yy

yyy

Exemplo de Problema de Valores de Fronteira (Contorno):

2

2 4. 0

(0) 1

' 22

d y ydxy

y

+ = = =

Teorema de Existncia e Unicidade

sempre importante ter-se alguns teoremas bsicos que nos habilitem a determinar se uma dada equao diferencial com condies iniciais tem ou no uma soluo nica. Afortunadamente, existem teoremas que nos ajudaro (nem sempre, contudo) a responder estas questes. Aqui ns abordaremos os Teoremas da Existncia para equaes diferenciais ordinrias de 1a e 2a ordem, sem nos preocuparmos com as demonstraes dos mesmos. Teorema 1: Sejam as funes f e

yf contnuas num domnio D do plano xy contendo

o ponto (xo , yo). Ento, existe um intervalo Io : 0x x h < , (h>0) [ou xo h < x < xo + h ], no qual h uma soluo nica , y = y(x), satisfazendo a equao diferencial ),( yxf

dxdy =

e a condio inicial y(xo) = yo.

Exemplo: Dado o problema de valor inicial 2.

(1) 1

dy xdxy

= = .

Seja uma regio (cinza) no plano D xy que contm o Fig. I

ponto ( , . Como 0 0 ) (1,1)x y = ( , ) 2.f x y x= e 0fy = so

contnuas em , existe algum intervalo ID o : 1x h < , (h>0), no qual h uma soluo nica , satisfazendo a equao diferencial 2(y x= ) 2.dy x

dx= e a condio inicial (1) 1y =

(Fig.I). Teorema 2: Sejam as funes f,

yf e

zf contnuas num domnio tridimensional D

contendo o ponto (xo , yo , zo). Ento, existe um intervalo Io : 0x x h < , (h>0) , no qual

14


h uma soluo nica , y = y(x), satisfazendo a equao diferencial e as condies iniciais y(x

)',,('' yyxfy =o) = yo e 00 )(' zxy = .

ky

yxf = ),(

yf

0 1x x x h = 0). Soluo:

Aqui, f(x,y) = ky e .

Claramente, ambas as funes f e satisfazem a hiptese do Teorema 1 em todo

plano xy. Em particular, podemos aplicar este teorema em qualquer domnio D contendo o ponto (xo ,yo) = (1,ek). Assim, existe um intervalo Io : , no qual h uma nica soluo, y(x), satisfazendo a equao diferencial e sua condio inicial. A soluo geral dada por y = c.ek.x onde c uma constante arbitrria. Desde que y = ek em x = 1, ns encontramos c = 1. Assim, y = ek.x a nica soluo do problema de valor inicial no intervalo Io : 1x h < . Neste exemplo, esta nica soluo existe sobre o intervalo < x <

2) Mostre que o problema de valor inicial:

=+=0)0(

4' 2

yyy

tem uma nica soluo no intervalo Io : x h< . Soluo:

Aqui, f(x,y) = 4+ y2 e yy

yxf 2),( = .

As funes f(x,y) e y

yxf

),( , satisfazem a hiptese do Teorema 1 em qualquer ponto do plano xy. Para um domnio D contendo o ponto (xo,yo) = (0,0) asseguramos, pelo teorema, a existncia de um intervalo Io : 0 0x x x x h = = < , onde h uma nica soluo y(x) satisfazendo o problema de valor inicial. A soluo para este problema y = 2.tg 2x (observe grfico acima). Assim, esta funo a nica soluo do problema de valor inicial no intervalo Io: x h< .

15


Neste exemplo, a soluo nica realmente existe sobre o intervalo 44


f) xxx eececy 223

1 31+= xey

dxdy

dxyd 22

2

32 = ;

g) tsenttsenctcx 3 .213 3 cos 21 ++= txdt

xd 3 cos3922

=+ .

2) Verifique se as funes u = x2 y2 , u = ex.cos y e u = ln (x2+ y2) so solues da equao diferencial de Laplace 02

2

2

2

=+

yu

xu .

3) Dadas as curvas abaixo, determine para cada uma delas, a equao diferencial de menor ordem possvel que no contenha nenhuma constante arbitrria.

a) Resp.: cyx =+ 22 0=+ ydyxdx ; b) Resp.: xcey = 0= y

dxdy ;

c) Resp.: )22 y.(3 xcx =dxdyxyxy 222 =3 ;

d) Resp.: 321 )( cexccyx ++= 02 2

2

3

3

=+dxdy

dxyd

dxyd ;

e) Resp.: xx ececy += 221 0222

= ydxdy

dxyd .

4) Mostre que y = ex+1 3.(x+1) a nica soluo do problema de valor inicial

para algum intervalo I

=+=

1)1(3'

yyxy

o : 1x h+ < .

5) Mostre que x

xxxysen1

cos)cos2(++=

x

a nica soluo do problema de valor inicial

, para algum intervalo I

==+

1)0( cos sec.'

yxyy

o : x h< . 6) Encontre uma funo de modo que ( )r x (ln )y sen x= , , seja soluo da equao diferencial ordinria:

0x >[ ( ). '] 0d yr x y

dx x+ = .

....................................................

17


Equaes Diferenciais Ordinrias

de 1a Ordem e 1o Grau Como j foi citado anteriormente, nem todas as equaes diferenciais possuem soluo analtica [podemos at afirmar que no so muitos os tipos (classes) de equaes diferenciais que as possuem].

Assim sendo, aqui vamos abordar somente alguns poucos tipos de equaes diferenciais ordinrias de 1a ordem e 1o grau, para os quais foram criados procedimentos analticos para se encontrar as suas respectivas solues.

Muitos desses procedimentos foram descobertos pela necessidade de se conhecer a soluo de uma determinada equao diferencial, a qual, na realidade, era o modelo matemtico de um problema real, outros procedimentos, foram criados por mera curiosidade matemtica.

A habilidade para se encontrar a soluo analtica (exata) de uma equao diferencial depende da habilidade em se reconhecer a que tipo (classe) a equao diferencial em questo se enquadra e da aplicao de um mtodo especfico para o clculo da soluo, pois, o mtodo que se aplica para resolver um tipo de equao diferencial, no necessariamente serve para resolver outro.

Definio: Diz-se que uma Equao Diferencial Ordinria de 1a Ordem e 1o Grau se a mesma pode ser escrita na forma

),( yxFdxdy = ou 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM .

Classificao

Comearemos agora nosso estudo sobre a metodologia de resoluo de algumas classes ou tipos de equaes diferenciais ordinrias de 1a Ordem e 1o Grau:

1o Tipo: Equaes Diferenciais de Variveis Separveis

a) Equaes Diferenciais de Variveis Separadas: So aquelas equaes diferenciais que podem ser expressas da forma

0)()( =+ dyyNdxxM . Se as funes M e N so integrveis, obtemos imediatamente a soluo geral da

equao diferencial proposta aplicando-se o operador integral (que um operador linear) a ambos os membros da equao diferencial.

Assim, resulta [ =+ cdyyNdxxM )()( ] =+ cdyyNdxxM )()( . Observe que o c representa a soma algbrica de todas as constantes de integrao. Exemplo: Determine a soluo geral da equao diferencial . 0.. =+ dyydxxSoluo:

18


b) Equaes Diferenciais Redutveis s de Variveis Separveis:

Uma equao diferencial da forma 0).().().().( 2211 =+ dyyNxMdxyNxM , pode ser reduzida a uma equao diferencial de variveis separadas, mediante a

multiplicao da equao pela expresso 1 2

1( ). ( )N y M x

chamada fator de

integrao.

Assim, temos 0)()(

)()(

1

2

2

1 =+ dyyNyNdx

xMxM , que uma equao diferencial de

variveis separadas.

Observao: Este tipo de equao diferencial pode tambm aparecer escrito na

forma de derivada, isto , )().( yhxgdx

=dy . Assim, multiplicando-se ambos os

membros da equao por )(yh

1 e a seguir por (por definio, dx xdx = o acrscimo da varivel independente, ento, seu valor constante e diferente de zero), tem-se

dxxgdxdxdy

yh)(

)(1 = (4)

Como dydxdxdy = (ou , isto , a diferencial da varivel dependente

igual ao produto da derivada da funo pela diferencial da varivel

independente) de (4) resulta,

dxxfdy ).('=

dxxgdy )(=yh )(

1 0)(

1)( =+ dyyh

dxxg , que

uma equao diferencial de variveis separadas, cuja soluo poder ser obtida

por integrao, se as funes e )(xg)(

1yh

forem integrveis.

Exemplos: Resolva as seguintes equaes diferenciais: 1) 0=+ xdyydx ; Soluo:

2) 13 += xdxdy ;

Soluo:

3) 04 = dyy

xxdx ;

Soluo:

19


4) yx

ydxdy

).1(1

2

2

++= .

Soluo:

Sobre a Curva Tractriz Suponhamos que um ponto P arrastado aocomprimento constante a, ou seja, T desloca-se a do eixo x e P arrastado a partir do ponto caminho percorrido pelo ponto P ?

0 ,(a

A curva descrita pela trajetria deste ponto tractum que significa arrastar) ou curva EquitangencO Modelo matemtico: Das condies do problema e observando a sua representao grfica ao lado, conclui-se que o segmento de reta PT tangente curva no ponto P, e portanto, sua inclinao dada por

QPQT

dxdy = ou

2 2 dy a xdx x

=

que uma equao diferencial de variveis separveis em x e y. A Resoluo: Separando-se as variveis, integrando e usando o fato de que quando 0=y ax = [condio inicial ], obtemos 0)( =ay

2 2

2.ln a a xy a a xx

= 2 ou y

que a equao da Tractriz.

longo do plano xy por um fio PT de partir da origem na direo positiva

. Nestas condies, determinar o )

P chamada de Tractriz (do latim ial.

2 22 2.ln a a xa a x

x

+ =

20


Esta curva de considervel importncia, pois, sua revoluo em torno do eixo y gera a superfcie que um modelo para a verso da geometria no-Euclidiana de Lobachevski. Soluo Singular (ou Soluo perdida): Dada uma equao diferencial de variveis separveis, digamos ( ). ( )dy g x h y

dx= , devemos ter cuidado quando estivermos

separando as variveis, uma vez que os divisores podem se anular em um ou mais pontos. Especificamente, se r for um zero da funo , substituir ( )h y y r= em

( ). ( )dy g x h ydx

= torna nulo ambos os membros; em outras palavras, uma soluo constante na equao diferencial. Mas, aps a separao das variveis, o primeiro

membro da equao

y r=

( ).( )dy g x dx

h y= fica indefinido em r. Conseqentemente, y r=

pode no aparecer na famlia de solues (soluo geral) obtidas aps a integrao e simplificao. Lembre-se que essa soluo chamada de soluo singular.

Exemplo: Resolver 2 4dy ydx

= .

Soluo: Separando as variveis temos 2 4dy dx

y= ou

1 14 4 .

2 2dy dx

y y = + e

integrando vem 11 1ln 2 ln 24 4

y y + = +x c 2ln 4.2

y x ky = ++

4.22

x ky ey

+ = + 4.2 .

2xy c e

y =+

4.

4.

1 .2.1 .

x

x

c eyc e

+= (Soluo Geral).

Agora, se fatorarmos o segundo membro da equao diferencial 2 4dy ydx

= , teremos

( 2).( 2dy y ydx

= + ) e fcil verificar que 2y = e 2y = so duas solues constantes. A soluo uma soluo particular, pois, pode ser obtida a partir da soluo geral, atribuindo-se para a constante arbitrria c o valor zero. J, a soluo

2y =2y =

uma soluo singular, pois, no pode ser obtida a partir da soluo geral, mediante a atribuio de um valor constante arbitrria c. Isto indica que esta soluo foi perdida no incio do processo de soluo. A inspeo da equao diferencial

1 14 4 .

2 2dy

y y + dx = indica claramente que precisamos omitir nessas etapas. 2y =

2o Tipo: Equaes Diferenciais Homogneas a) Funo Homognea: Diz-se que uma funo, digamos, uma funo

homognea de grau de homogeneidade n, para algum n , em relao s variveis x e y, se tiver para todo

),( yxf

*+

),(.).,.( yxfyxf n =

21


Exemplos: Verifique se as funes abaixo so homogneas e d o grau de homogeneidade:

1) 22),( yxyxf +=

2) yxyxyxf

.),(

33 =

3) x

yxyxg25),( +=

4) xy

eyyxh .),( =

5) )1 ln .(ln),( 3 = yxxyxf b) Equao Diferencial Homognea: toda equao diferencial que pode ser escrita

da forma 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM , onde M e N so funes homogneas e de mesmo grau, em relao a x e y.

Assim, se a equao diferencial homognea ela pode ser transformada, mediante a substituio xvy .= (ou yvx .= ), em uma equao diferencial de variveis separveis em v e x (ou v e y), que depois de encontrada a sua soluo geral faz-se

a substituio xyv = (ou

yx=v ) para se obter a soluo geral da equao

diferencial inicial. Observao: Uma equao diferencial tambm pode ser identificada como

homognea se ela puder ser escrita da forma

=xyF

dxdy ou

=

yxF

dxdy .

Exemplos: Encontre a soluo geral de cada uma das equaes diferenciais dadas abaixo:

a) 0).()..(2 22 =+++ dyyxdxyxxSoluo:

22


b) dxdyyx

dxdyxy .22 =+

Soluo:

23


Exerccios

I) Achar a soluo geral de cada uma das seguintes equaes diferenciais:

a) R: 0).3().2( =+ dyxdxy cxy =+ )3).(2( b) R: c y0).1(. 2 =+ dyxdxxy 2 2. 1 x= + c) R: 0).32.().3.( =++ dxxydyxx . .( 3)y c x x= + d) 0.1.1 22 =+ dxydyx R: 21.(ln xxcysenarc ++= e) 0. . =+ dtgd R: cos.c= f) ( R: 0).1 2 = dxydyx 1)1.( ln. = xcy g) ( 2 R: ). (2 3 ).x y dx x y dy+ + 0= cyxyx =+ 22 34h) ( R: ( 0).64().53 =+++ dyyxdxyx cyxyx =++ )2.()2

i) R: 0.).(2 =++ dyydxyx cx

yxtgarcyxyx =+++ 22 22ln21

j) R: 0).75().108( =+++ dyxydxxy cyxyx =++ 32 )2.()(k) ( R: 0).3().2 =+++ dyyxdxyx cyxyx =++ 22 322l) 0).21().13.(2 =++ dzwdwzz R: ( zczw .)31).(12 =+ m) dxzxdxzdzx .4.2. 22 +=2 R: 1 04 22 =+ xcczn) ( R: 0.2).4 =++ dyxdxyx cyxx =+ 23 6

o) 21.ln.

+=x

ydydxxy R: cyyyxxx +++= ln2

21

91ln

31 233

II) Achar a equao da curva que passa pelo ponto e cujo coeficiente angular

, em qualquer ponto igual a

)0,1(

xxy+1

2 . R: xxy =+ 1)1.(

III) Achar a soluo particular que determinada pelos valores de x e y dados.

a) 04 =+x

dyy

dx , , 4=x 2=y R: 324 22 =+ yx

b) , , dyxydxyx .2).( 22 =+ 1=x 0=y R: xxy = 22

.....................................................

24


3o Tipo: Equaes Diferenciais Redutveis s Homogneas ou s de Variveis Separveis

So as equaes diferenciais da forma

++++=

222

111

cybxacybxaF

dxdy , onde

e c so constantes. 22111 ,,,, bacba 2 Para este tipo de equaes temos a consideram dois casos:

a) Se det a equao diferencial se reduzir a uma outra equao

diferencial homognea.

022

11

baba

Para tanto, forma-se o sistema , cuja soluo admitamos ser

=++=++

00

222

111

cybxacybxa

=x e =y . A seguir, realizamos na equao diferencial considerada as seguintes substituies , com as quais vamos obter uma equao

diferencial homognea em u e v.

=+==+=

dvdyvydudxux

Esta mudana de variveis, geometricamente, equivale a uma translao dos eixos coordenados para o ponto ( ), , que a interseo das retas do sistema acima. Desse modo, as retas com variveis u e v se interceptaro na origem ( ).021 == ccExemplo: Resolver a equao diferencial

23132

+=

yxyx

dxdy

Soluo:

25


b) Se det , a equao diferencial se reduzir a uma outra de variveis

separveis.

022

11 =

baba

Para tanto, faz-se tybxa =+ 11 (ou tybxa =+ 22 ), sendo t uma funo de x. Ento, derivando-se em relao a x vem,

= 11

1 adxdt

bdxdy

Substituindo estes resultados na equao diferencial dada, obtm-se uma equao diferencial de variveis separveis em t e x.

Exemplo: Resolva a equao diferencial 13612+=

yxyx

dxdy .

Soluo:

26


Exerccios Calcular a soluo geral de cada uma das seguintes equaes diferenciais:

1) 0).13().32( = dyyxdxyx R: cxyxy =

+

22

732

72.

73.6

72

2) 0).232().132( =++++ dyyxdxyx R: 3 3 9.ln 2 3 7x y x y c+ = + +

3) 0).52().42( =+++ dxyxdyyx R: ( )3.()1 3 +=+ yxcyx

4) 342

12++++=

yxyx

dxdy R: cxyyx =+++ 48584 ln

5) 0).56().34( = dyyxdxyx R: )23.()12( 2 = yxcyx

6) 0).32().42( =++ dyyxdxyx R:

+=37.)1 3 yxcyx(

7) yxyx

dxdy

++=

1331 R: cyxyx =+++ 1ln.23

................................................

4o Tipo: Equaes Diferenciais Exatas Uma equao diferencial ordinria de 1a ordem escrita da forma 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM (5) dita exata se o 1o membro for uma diferencial total (ou exata), isto ,

dyyUdx

xUdU

+= (6)

de uma funo U . ),( yx Neste caso a equao diferencial (5) pode ser escrita e mediante integrao obteremos a soluo geral de (5) que da forma U(x,y) = c.

0=dU Comparando (5) e (6) vemos que (5) uma diferencial exata se existe uma

funo U(x,y) tal que, xUM= (I) e

yUN = (II),

ento, xy

Uy

M

= 2 e

2N Ux x y

=

27


e pelo Teorema de Schwartz como 2 2

U Uy x x y = x

Ny

M=

(Condio necessria para que a equao diferencial 0).,( =).,(+ dyyxM yxNdx seja uma equao diferencial exata). Para calcularmos a expresso de U(x,y) vamos integrar (I) em relao a x. Portanto, U , onde Q(y) uma funo s de y (III) += )(.),( yQdxMyxPara determinarmos Q(y), derivamos (III) em relao a y e usamos (II).

Assim, ( ) NyQdxMyy

U =+=

)('. ( )= ).)(' dxMyNyQ (funo s de y). Fazendo , = PdxM . yPNyQ =)(' dyyPNyQ

= .)( e substituindo em (III)

vem, ( , ) .y M dx N= + .P dyy

PU x , onde = dxM .Como U(x,y) = c, ento a soluo geral da equao diferencial exata

0).,().,( =+ dyyxNdxyxM ser dada por cdyyPNdxM =

+ .. .

Exemplos: Calcular a soluo geral de cada uma das equaes dadas:

1) ( 0).46().63 3222 =+++ dyyyxdxxyxSoluo: 2) 0.2).( 22 = dyxydxyxSoluo:

28


Exerccios I) Calcular a soluo geral de cada uma das seguintes equaes diferenciais: 1) 0).23().12( =++ dyyxdxyx R: cyyxxyx =++ 22 34222 2) R: 0).2.(. =+ dyyexdxe yy cyex y = 2.

3) R: 0). cos2().( 23 =+++ dyyxydxyx cysenxyx =++ 4

24

4) 0.1.2)( cos..)( cos. =

+++

+ dyy

xxyxdxx

yxyy R: cyxyxysen =++ ln.2)(

5) yxy

xyxdxdy

2

2

++= R: cyyx =++ 222 )1.(

6) 0). cos1(). .1( =++ dyxdxxseny R: cxyyx =+ cos.

7) 032 422

3 =+ dyyxydx

yx R: c

yyx = 13

2

8) R: 0).2 cos..2(). cos.( 22 =++ dyyxyxexdxxyye yy 2 2. yx e sen xy y c + = 9) R: 0).42().32( 22 =++ dyyxdxxy cyxyx =+ 4322

10) 22 . 6xdyx x e y xdx

= + R: cxeexxy xx =+ 322.2 II) Resolva os problemas de valor inicial (determine a soluo particular):

1) ( ) 0. .. cos.2 2 = dyysenxdxeyx x , 0=x R: 1 cos.2 = yeyx 2)

2

2

cos . .(1 )

dy xy x sen xdx y x

= , 2)0( =y R: cxxy =222 cos)1.(

3) eydyyxxsenydxxyxxy ==++ )0( , 0). ln .2().23 cos.( 322 R: 2 3 2. .ln y sen x x y x y y y 0 + =

...............................................................

29


Fator Integrante

Quando multiplicamos uma expresso dyyxNdxyxM ).,().,( + , que no diferencial exata, isto ,

xy NM , por uma funo ),( yx e ela se transforma em uma

expresso diferencial exata, a esta funo chamamos de Fator Integrante.

Exemplo: Seja a equao diferencial 0.. = dyxdxy , onde yyxM =),( e , tem-se, xyxN =),( 11 =

= xy NM , e portanto, a equao no uma equao

diferencial exata.

Porm, se multiplicarmos essa equao diferencial por 21x

ou 21y

ou 221

yx + , ela se converter em uma equao diferencial exata (Verifique!).

Logo, 21x

, 21y

e 221

yx + so fatores integrantes da equao diferencial dada.

Pesquisa de um Fator Integrante Vamos supor que ( y),x seja um fator integrante da equao diferencial

. Se multiplicarmos ambos os membros desta equao por 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM),( yx , temos 0.... =+ dyNdxM (7)

Como por suposio, fator integrante da equao (7), ento, ela uma equao diferencial exata e, portanto,

xN

yM

=

)()( .

Calculando as derivadas parciais temos x

NxN

yM

yM

+

=+

=

y

MxN

xN

yM . (8)

A equao (8) uma equao diferencial de derivadas parciais de 1a ordem em , e por enquanto a sua soluo no pode ser calculada. Assim, para simplificar esta equao vamos supor que apenas uma funo de x ou . y Supondo que seja uma funo apenas de x , 0=

y e (8) se transforma em

=

yM

xN

xN . (9)

Dividindo ambos os membros de (9) por N. , temos

=

xN

yM

Nx11

(10)

A equao (10) s ter sentido se o 2o membro for funo s de x . Desse modo,

)(1 xdxd = dxx

d ).( = = dxxd ).(

= dxx).(ln . = dxxe ).( 30


Analogamente, supondo que seja uma funo apenas de , y 0=

y e (8) se

transforma em

=

yM

xN

My11

, que s ter sentido se o 2o membro for funo

s de . Desse modo, y )(1 ydyd = dyy).( = = dxx).( d d

= dyy).(ln . = dyye ).( Observemos que, pelo processo adotado, podemos determinar um fator integrante e no todos os fatores, de modo que as restries adotadas no prejudicam a pesquisa desse fator. Exemplos: Resolver as seguintes equaes diferenciais, transformando-as em equaes diferenciais exatas, atravs da multiplicao por um fator integrante.

1) 0).1(.2 =++ dyxydxySoluo:

2) ( 0.2).22 =+ dyxydxyxSoluo:

31


Exerccios I) Verifique se cada uma das equaes diferenciais dadas no exata. A seguir, pesquise um fator integrante e calcule a soluo geral de cada uma delas.

1) R: dxexdxydyx x .... 2= xexxcy .. +=2) R: dyxdxydyy ..2 =+ 2 .y x c+ = y3) 0). ln( 3 =+ dyxydx

xy R: ycyx .ln. 3 =+2

4) ( R: 0). 22 =+ dyxdxxyx ln yx cx

=

5) ( R: dyxxdxy ).().1 22 +=+ cx

xytg ++= 1 ln arc

Nota: Nesta ltima equao no possvel encontrar, por este processo, um fator integrante que seja funo apenas de x ou de y. Identifique a qual tipo esta equao diferencial pertence e resolva-a.

II) Resolva o problema de valor inicial dado encontrando um fator integrante:

, 0).4(. 2 =++ dyyyxdxx 0)4( =y R: 20)4( 22 =+xe y

.........................................................

5o Tipo: Equaes Diferenciais Lineares

So aquelas que podem ser escritas na forma QyPdxdy =+ . , onde P e Q so

funes de x . Se Q = 0, denominada a equao diferencial linear homognea ou incompleta. Observao: Aqui o sentido de homognea diferente daquele descrito nas equaes

diferenciais do 2o tipo. Encontra-se a soluo geral de uma equao deste tipo, utilizando-se o Mtodo da Substituio (ou Mtodo de Lagrange) ou transformando-a, em uma equao diferencial exata, por meio da multiplicao de um fator integrante. Mtodo da Substituio ou Mtodo de Lagrange

Seja a equao diferencial QyPdxdy =+ . (11)

Antes vamos examinar dois casos particulares:

1o) Se P = 0 Qdxdy = dxQdy .= += cdxQy .

32


2o) Se Q = 0 0. =+ yPdxdy dxP

ydy .= cdxPy += . ln

.P dx cy e += . .P dx cy e e= . = dxPeky ..Em cada um destes casos percebe-se que a equao diferencial resultante sempre uma equao diferencial de variveis separveis. Agora, vamos nos ater para o caso geral, quando P e Q so ambas funes no nulas. Neste caso, pelo Mtodo da Substituio, vamos fazer , onde z e t so funes de x, sendo z a nova funo incgnita e t a funo a determinar.

tzy .=

Assim, dxdzt

dxdtz

dxdy .. += e substituindo em (11) vem QtzP

dxdzt

dxdtz =++ ....

QdxdzttP

dxdtz =+

+ .. (12)

Se conseguirmos obter os valores de z e t, obviamente teremos a soluo geral de (11) que uma equao diferencial linear dita completa, j que . Assim, pesquisaremos em (12) um modo de calcular estas duas funes, z e t. Isto pode ser feito impondo-se as seguintes condies, em (12):

tzy .=

==+

Qdxdzt

tPdxdt 0.

Resolvendo a equao diferencial 0. =+ tPdxdt , resulta t e levando-se este

resultado em

= dxPek .1.

Qdxdz =t temos Q

dxdzek

dxP = .. .1 Qekdxdz dxP ..1

.

1

=

Qdxek

dzdxP

..1.

1

=

e integrando, 2.

1

..1 kdxQek

zdxP += .

Como, tzy .=

+= dxPdxP ekkdxQeky .12.1 ....

1

+= cdxQeey dxPdxP ... ..que a soluo geral de (11).

Exemplos: Resolva as equaes diferenciais:

1) xxy

dxdy = ;

Soluo:

33


2) 0 cot =+x

xgxy

dxdy .

Soluo:

Exerccios

1) Resolver as seguintes equaes diferenciais:

a) 2= xxy

dxdy R: ) ln.2.( cxxxy +=

b) xsenxtgydxdy . = R:

+= cxsenxy

2 . sec

2

c) xyxtgdxdy cos). ( += R: 1 1 2 .sec

2 4y x sen x c = + + x

d) 44' xyx

y =+ R: 54 91 x

xcy +=

e) R: 0.5' = yy xecy 5.= 2) Resolva os problemas de valor inicial:

a) 0=+ xeydxdyx , R: bay =)(

xeabey

ax +=

b) , xsenyy ' =+ 1)( =y R: ( )xxseney x cos 21 +=

3) Pesquise um fator integrante para a equao diferencial linear QyPdxdy =+ . . A

seguir resolva o exerccio 1) a) por este processo.

34


Algumas Aplicaes das Equaes Diferenciais Ordinrias de 1a Ordem e 1o Grau

Com freqncia, desejamos descrever o comportamento de algum sistema ou fenmeno do mundo real em termos matemticos, quer sejam eles fsicos, econmicos, sociolgicos e mesmo biolgicos. A representao idealizada deste sistema ou fenmeno envolvendo smbolos matemticos chamada de modelo matemtico ou simblico. A construo de um modelo matemtico que represente o comportamento de um sistema ou fenmeno pode no ser uma tarefa fcil, pois, o mesmo deve envolver um grande nmero de variveis, e cabe a quem estiver modelando identificar quais delas so realmente significativas ao comportamento do sistema, bem como, saber qual a relao que deve existir entre elas. s vezes, tambm se faz necessrio que certas imposies sejam agregadas para facilitar a construo do modelo, bem como a sua resoluo. Assim, podemos concluir que, aqueles que quiserem se dedicar a esta tarefa de modelar devero possuir muita experincia e uma boa capacidade de anlise e sntese, qualidades estas que podem comear a ser adquiridas a partir do estudo de alguns modelos clssicos. 1) Problemas de Variao de Temperatura: A lei emprica de variao de temperatura de Newton afirma que a taxa de variao de temperatura de um corpo diretamente proporcional diferena de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente (constante).

Ento, a taxa de variao da temperatura do corpo em relao ao tempo dtdT , e a lei

de Newton relativa variao de temperatura de um corpo pode ser formulada como

)( mTTkdtdT = , onde k uma constante de proporcionalidade. Exemplo: Coloca-se uma barra de metal temperatura de 100C em um quarto com temperatura constante de 0C. Se, aps 20 min a temperatura da barra de 50C, determine:

a) o tempo necessrio para a barra chegar temperatura de 25C e, b) a temperatura da barra aps 10 min.

Soluo:

35


2) Problemas de Crescimento e Decrescimento: Seja N(t) a quantidade de substncia (ou populao) sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento. Se

admitirmos que dtdN , taxa de variao da quantidade de substncia proporcional

quantidade de substncia presente, ento NkdtdN .= , onde k a constante de

proporcionalidade. Observao: Uma das primeiras tentativas de modelagem matemtica para o crescimento populacional humano foi realizada pelo economista ingls Thomas Malthus, em 1798. O modelo por ele criado foi este descrito acima, mas no se mostrou confivel para se estimar o crescimento de populaes humanas em longos intervalos de tempo. So raras as populaes que crescem segundo esse modelo; entretanto, pode ser usado para o crescimento de pequenas populaes em um curto intervalo de tempo, por exemplo, crescimento de bactrias. Exemplos: 1) Sabe-se que a massa de certa substncia radioativa diminui a uma taxa proporcional quantidade de massa presente. Se, inicialmente, a quantidade de massa de material radioativo de 50 mg, e observa-se que, aps 2 horas, perderam-se 10% da massa original, determine: a) a funo para calcular a massa de substncia restante em qualquer tempo t; b) a massa restante aps 4 horas; c) o tempo necessrio para que a massa inicial fique reduzida metade. Soluo: 2) Sabe-se que a populao de um bairro cresce a uma taxa proporcional ao nmero de habitantes existentes. Se no segundo ano de existncia do bairro a populao o dobro da inicial, e no terceiro ano de 20.000 habitantes, determine a populao inicial. Soluo:

36


3) Problemas de Diluio: Consideremos um tanque, como na figura abaixo, com uma quantidade inicial de Vo litros de salmoura contendo a gramas de sal. Despeja-se no tanque uma outra soluo de salmoura com b gramas de sal por litro, taxa (razo) de e litros por minuto, enquanto, simultaneamente, a soluo resultante, bem misturada, se escoa do tanque taxa de f litros por minuto. O problema consiste em determinar a quantidade de sal presente no tanque no instante t. Seja Q a quantidade de sal (em gramas) presente no tanque em um instante qualquer. A taxa de variao

de Q, dtdQ , igual taxa a qual o sal entra no tanque,

menos a taxa a qual o sal se escoa do tanque. Ora, o sal entra no tanque taxa b.e litros por minuto. Para determinar a taxa de sada do sal, devemos primeiro calcular o volume de salmoura presente no tanque no instante t, que o volume inicial Vo mais o volume adicionado e.t menos o volume escoado, f.t. Assim, o volume de salmoura no instante t V tfte ..0 + A concentrao de sal no tanque, em um instante qualquer, dada por

tfteVQ

..0 + e,

portanto, o sal sai do tanque taxa de tfteV

Qf..

.

0 + gramas por minuto.

Logo, tfeV

QfebdtdQ

).(.

0 += , cuja soluo Q(t) determina a quantidade de sal

presente no tanque em qualquer instante t. Exemplo: Um tanque contm inicialmente 100 litros de salmoura com 20 gramas de sal. No instante t = 0, comea-se a deitar (derramar) no tanque gua pura taxa de 5 litros por minuto, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. Soluo:

37


4) Circuitos Eltricos: Seja um circuito simples do tipo RL (Fig. I), consistindo de uma resistncia R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma fora eletromotriz (f.e.m) E (em volts). Aplicando-se a segunda lei de Kirchhoff obteremos a equao diferencial que rege a quantidade de corrente I (em ampres) neste circuito

LEI

LR

dtdI =+ Fig. I

Seja um circuito do tipo RC consistindo de uma resistncia R, um capacitor C (em farads), uma fora eletromotriz E, e sem indutncia (Fig. II), ligados em srie. Pela

segunda lei de Kirchhoff temos que ECqRI =+ . Como a relao entre q e I dada

por dtdqI = , substituindo-se este resultado na equao anterior obteremos a equao

diferencial que rege a quantidade de carga eltrica q (em coulombs) no capacitor

REq

RCdtdq =+ 1 Fig. II

Exemplo: Um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistncia de 50 ohms e indutncia de 1 henry. A corrente inicial zero. Determine a corrente no circuito no instante t.

Soluo:

38


Exerccios Gerais de Aplicaes 1) Um corpo temperatura de 50F colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente de 100F. Se aps 5 min a temperatura do corpo de 60F, determine: a) o tempo necessrio para a temperatura do corpo atingir 75F; R: 15,4 min. b) a temperatura do corpo aps 20 min. R: 79,5 F. 2) Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido temperatura constante de 30F. Se, aps 10 min, a temperatura do corpo 0F e aps 20 min 15F, determine a temperatura inicial. R: 30F. 3) Sabe-se que certa substncia radioativa diminui de massa a uma taxa proporcional quantidade presente. Se, inicialmente, a quantidade de material 50 mg, e aps 2 horas se observa a perda de 10% da massa original, determine: a) a expresso para a massa de substncia restante em um tempo arbitrrio t; b) a massa restante aps 4 horas; R: a) ; R: b) . 0,053.( ) 50. tN t e= mgN 5,40=c) o tempo necessrio para que a massa restante fique reduzida metade. R: 13 horas. 4) Sabe-se que uma cultura de bactrias cresce a uma taxa proporcional quantidade presente. Aps 1 hora, observaram-se 1.000 ncleos de bactrias na cultura, e aps 4 horas, 3.000 ncleos. Determine: a) uma expresso para o nmero de ncleos presentes na cultura no tempo arbitrrio t; b) o nmero de ncleos inicialmente existentes na cultura. R: a) . 0,366.( ) 694. tN t e= R: b) 694. 5) Um tanque contm inicialmente 100 litros de salmoura com uma grama de sal. No instante , adiciona-se outra soluo de salmoura com 1 grama de sal por litro, razo de 3 litros por min, enquanto a mistura resultante se escoa mesma taxa. Determine:

0=t

a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t; R: Q t . 0,03.( ) 100 99. te= b) o instante em que a mistura restante no tanque conter 2 gramas de sal. R:0,338 min 6) Um tanque de 50 gales de capacidade contm inicialmente 10 gales de gua pura. Quando , adiciona-se ao tanque uma soluo de salmoura com 1 libra ( ) de sal por galo, razo de 4 gales por min, enquanto que a mistura se escoa razo de 2 gales por min. Determine:

0=t gramas453,95

a) o tempo necessrio para que ocorra o transbordamento; R: 20 min. b) a quantidade de sal presente no tanque por ocasio do transbordamento. R: 48 libras 7) Um circuito eltrico RL tem f.e.m. (em volts) dada por , resistncia de 10 ohms, indutncia de 0,5 henry e corrente inicial de 6 ampres. Determine a corrente no

circuito no instante t. R:

tsen .2 .3

20. 30101

t609 3 2. cos 2.101 101

I e s= + en t t . 8) Um circuito RC tem f.e.m. (em volts) dada por , resistncia de 100 ohms e capacitncia de 10

t.2 cos.400-2 farad. Inicialmente, no existe carga no capacitor. Determine a

corrente no circuito no instante t. R: tsente t .2 58.2 cos

516

54 += tI )( .

39


9) Coloca-se um corpo temperatura de de 0F em um quarto mantido temperatura constante de 100F. Aps 10 min a temperatura do corpo de 25F, determine: a) o tempo necessrio para que a temperatura do corpo atingir 50F; R: 23,9 min. b) a temperatura do corpo aps 20 min. R: 44F. 10) Um corpo com temperatura desconhecida colocado em um refrigerador mantido temperatura constante de 0F. Se aps 20 min a temperatura do corpo 40F e aps 40 min 20F, determine a temperatura inicial do corpo. R: T(0 )= 80F. 11) Um corpo temperatura de 50C colocado em um forno cuja temperatura mantida a 150C. Se aps 10 min a temperatura do corpo 75C, determine o tempo necessrio para o corpo atingir a temperatura de 100C. R: 23,9 min. 12) Certa substncia radioativa decresce a um taxa proporcional quantidade presente da substncia. Se, para uma quantidade inicial de substncia de 100 mg, se observa um decrscimo de 5% aps dois anos, determine: a) uma expresso para a quantidade restante no tempo t; R: . 0,026.( ) 100. tN t e=b) o tempo necessrio para uma reduo de 10% da quantidade inicial. R: 4,05 anos 13) Certa substncia radioativa decresce a uma taxa proporcional quantidade presente. Observa-se que aps uma hora, houve uma reduo de 10% da quantidade inicial da substncia, determine a meia-vida da substncia. R: 6,6 horas. Observao: Meia-vida o tempo necessrio para que a massa da substncia se

reduza pela metade. 14) Sabe-se que a populao de uma determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao nmero de habitantes existentes. Se, aps 10 anos, a populao triplica, e aps 20 anos de 150.000 habitantes, determine a populao inicial.

R: 16.620 habitantes. 15) Um tanque contm inicialmente 10 gales de gua pura. No instante , comea-se a adicionar ao tanque uma soluo de salmoura com 0,5 libra de sal por galo, razo de 2 gales por min, enquanto a mistura se escoa do tanque mesma taxa. Determine:

0=t

a) a quantidade de sal no tanque no instante t; R: Q t . 0,2.( ) 5. 5te= +b) a concentrao de sal no tanque no instante t. R: ( )0,2.1 12 tQ eV = . 16) Um tanque contm inicialmente 80 gales de soluo de salmoura com 1/8 libra de sal por galo. No instante ,comea-se a adicionar ao tanque outra soluo de salmoura com 1 libra de sal por galo, a taxa de 4 gales por min, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque taxa de 8 gales por min. Determine a quantidade de sal no tanque quando este contm exatamente 40 gales de soluo.

0=t

R: Q libras. 5,22)10( = 17) Um circuito RC tem f.e.m. de 5 volts, resitncia de 10 ohms, capacitncia de 10 2 farad e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine:

a) a corrente transitria; R: 10.992

te . b) a corrente estacionria. R: 0 .

40


18) Um circuito RL sem fonte de f.e.m. tem uma corrente inicial dada por Io. Determine

a corrente no instante t. R: .

.R tL

oI I e= .

19) Um circuito tem f.e.m. dada (em volts) por , resistncia de 100 ohms, indutncia de 4 henries, e corrente inicial zero. Determine a corrente no instante t .

tsen .4

R: ( )ttsene t cos .256261 .25 + .

20) Um indivduo encontrado morto em seu escritrio pela secretria, que afirma ter ligado imediatamente para a polcia. Quando a polcia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadver. Uma hora depois o detetive prende a secretria. Por qu? Dados: A temperatura do escritrio era de 20C. Quando a polcia chegou, mediu a temperatura do defunto, achando 35C; uma hora depois, mediu novamente obtendo 34,2C. E por ltimo suponhamos que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de 36,5C. 21) Uma cidade abastecida de gua por um lago cujo manancial de 108 litros e que alimentado por um rio cuja vazo de 200 litros por minuto. Algumas fbricas localizadas beira desse rio o poluem (h muito tempo) na ordem de 60 gramas por litro. A quantidade mxima de poluente admissvel, por deciso das autoridades sanitrias, da ordem de 25g/l. O Prefeito Municipal, muito preocupado com as constantes reclamaes da populao que coloca em xeque a sua reeleio, pede ao engenheiro responsvel pelo abastecimento de gua da cidade, que resolva este grave problema em um prazo mximo de 4 meses (para que no ultrapasse o dia das eleies). O engenheiro resolve desviar o curso de outro rio (considerando-se que condies impeam que seja desviado o curso rio poludo) cujas guas esto com um grau de poluio de 10 g/l, fazendo com que o mesmo alimente o lago com uma vazo de 800 l/min. Desprezando-se a evaporao, chuvas e outros fatores que viessem a alterar o volume do manancial (considerando-o, portanto, constante), pergunta-se: O Prefeito se reeleger? R: 144 dias. 22) A populao de uma cidade de 1.000.000 habitantes. Houve uma epidemia e 10% da populao contraiu o vrus. Em sete dias esta porcentagem cresceu para 20%. O vrus se propaga por contato direto entre os indivduos enfermos e sos (logo proporcional ao nmero de contatos). A partir destes dados e supondo que o modelo seja fechado, isto , a populao mantendo-se constante, sem nascimento, morte ou migrao, e os indivduos tendo toda a liberdade de interagir, calcule: a) a proporo de indivduos enfermos e sos, como uma funo do tempo; b) o tempo necessrio para que a porcentagem de indivduos enfermos seja de 50%. Sugestes: x proporo de indivduos enfermos proporo de indivduos sos y totalidade da populao 1 =+ yx 23) Um ator de cinema que pesa 120 Kg precisa fazer um severo regime para emagrecer, em virtude do seu num novo filme a ser rodado. O diretor exige que ele perca a tera parte do seu peso no mximo em trs meses, segundo uma dieta racional que o emagrea proporcionalmente ao peso de cada dia. Nestas condies, sabendo-

41


se que, iniciada a dieta, o artista emagreceu 20 Kg em 40 dias, quanto tempo ser necessrio para que ele comece a atuar no filme? R: 87 dias. 24) Um investidor aplicou na bolsa de valores determinada quantia que triplicou em 30 meses. Em quanto tempo essa quantia estar quadruplicada, supondo-se que o aumento proporcional ao investimento feito, e continuando neste mesmo ritmo? R: 37,8 meses. 25) Uma conta bancria ganha juros continuadamente a uma taxa de 5% do crdito corrente, por ano. Suponha que o depsito inicial foi de R$ 1.000,00 e que no foram feitos outros depsitos ou retiradas. a) Escreva a equao diferencial satisfeita pelo crdito em conta; b) Resolva a equao diferencial e faa um grfico da soluo. 26) O cido valprico uma droga usada para controlar epilepsia; sua meia-vida no corpo humano de cerca de 15 horas.

a) Use a meia-vida para achar a constante k na equao diferencial QkdtdQ .= .

b) Qual o tempo para que restem 10% da droga? 27) O birtartarato de hidrocondone usado para suprimir a tosse. Depois que a droga foi completamente absorvida, a quantidade da droga no corpo decresce a uma taxa proporcional quantidade que resta no corpo. A meia-vida do birtartarato de hidrocondone no corpo de 3,8 horas e a dose 10 mg. a) Escreva uma equao diferencial para a quantidade Q da droga no corpo no tempo t, desde que a droga foi completamente absorvida; b) Resolva a equao dada no item (a); c) Use a meia-vida para achar a constante de proporcionalidade k; d) Quando da dose de 10 mg resta no corpo aps 12 horas? 28) A morfina uma droga que alivia a dor. Use o fato de ser a meia-vida da morfina no corpo de 2 horas para mostrar que a magnitude da constante de proporcionalidade para a taxa qual a morfina deixa o corpo 347,0k . 29) O corpo de uma vtima de assassinato encontrado, ao meio dia, numa sala com temperatura constante de 20C; 2 horas depois a temperatura do corpo de 33C. Quando o corpo foi encontrado, ao meio dia, a sua temperatura era de 35C. a) Ache a temperatura T do corpo como funo de t, o tempo em horas desde que foi encontrado; b) Esboce um grfico de T(t); c) O que acontece com a temperatura do corpo ao longo do tempo? Mostre isto no grfico e algebricamente; d) hora do assassinato o corpo da vtima tinha a temperatura normal, 37C. Quando ocorreu o crime? 30) Foi encontrado um osso fossilizado que contm um milsimo da quantidade original de C14 (istopo carbono 14). Faa uma estimativa para a idade deste osso. Dado: A meia-vida do C14 de aproximadamente 5.600 anos. R: 55.800 anos.

............................................................

42


Equaes Diferenciais Ordinrias de Ordem Superior Primeira

Tipos Especiais de Equaes Diferenciais de 2a Ordem

a) Equao Diferencial do Tipo: )(22

xfdx

yd = Para encontrar a soluo geral de uma equao diferencial que pode ser escrita

desta forma, faz-se a substituio dxdyp = , sendo p uma funo de x .

Assim, 22

dxyd

dxdp = e substituindo na equao diferencial dada vem )(xf

dxdp =

que uma equao diferencial de 1a ordem e de variveis separveis em p e x. Portanto,

1)( ).( ).( cxFpdxxfdpdxxfdp +=== , se for integrvel. )(xf Substituindo

dxdyp = no resultado anterior, obtm-se 1)( cxFdx

dy += que tambm uma equao diferencial de 1a ordem e de variveis separveis em y e x. Resolvendo esta equao diferencial tem-se [ ] [ ] 2111 .).( .)( cxcF(x).dxydxcxxFdydxcxFdy ++=+=+= .

Exemplo: Resolver a equao diferencial 2

22 cos 2

xd y e xdx

= + . Soluo:

43


b) Equao Diferencial do Tipo:

=dxdyxf

dxyd ,2

2

Aqui tambm, para se encontrar a soluo geral de uma equao diferencial que

pode ser escrita desta forma, faz-se a substituio dxdyp = , sendo p uma funo de x .

Assim, 22

dxyd

dxdp = e substituindo na equao diferencial dada vem ),( pxf

dxdp =

que uma equao diferencial de 1a ordem em p e x. Exemplo: Resolver cada uma das equaes diferenciais:

a) 2

2

2

4

=dxdy

dxyd

Soluo:

b) 0)1 22

=++dxdy

dxydx(

Soluo:

44


c) Equao Diferencial do Tipo: )(22

yfdx

yd = Aqui, para se encontrar a soluo geral de uma equao diferencial que pode

ser escrit

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Introdução às Equações Diferenciais (Apostila 03 2010)