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Lista 4 ECT1303 – Computação numérica – Sistemas Lineares
1- Responda verdadeiro ou falso:
a) Um sistema linear Ax = b pode ter exatamente três soluções distintas.
b) A eliminação de Gauss pode falhar somente quando a matriz de coeficientes é mal-
condicionada ou singular.
c) Se uma matriz tem zero na diagonal principal, então ela é necessariamente singular.
d) Para qualquer vetor x, 𝑥 1 ≥ 𝑥 ∞ .
e) Em matrizes densas usam-se métodos exatos já que os iterativos não convergem.
f) Existem sistemas lineares que convergem para a solução exata quando qualquer valor
real é dado como aproximação inicial em métodos iterativos.
g) Métodos exatos para solução de sistemas lineares estão sujeitos a erro de
truncamento.
2- Para os sistemas abaixo, obtenha uma solução utilizando métodos gráficos, se possível.
Explique os resultados do ponto de vista geométrico.
a) 𝑥1 + 2𝑥2 = 3
𝑥1 − 𝑥2 = 0
b) 𝑥1 + 2𝑥2 = 3
2𝑥1 + 4𝑥2 = 6
c) 𝑥1 + 𝑥2 = 3
−2𝑥1 − 4𝑥2 = 6
3- Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se
possível, e determine se são necessárias trocas de linhas.
a) 𝑥2 − 2𝑥3 = 4
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1 − 𝑥3 = 2
b) 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 6
𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 5
𝑥4 = 5
𝑥3 − 𝑥4 = 3
4- Dado o sistema linear,
2𝑥1 − 6𝛼𝑥2 = 3
3𝛼𝑥1 − 𝑥2 =3
2
a) Encontre o(s) valor(es) de α para o(s) qual(is) o sistema não tem solução.
b) Encontre o(s) valor(es) de α para o(s) qual(is) o sistema tem um número infinito de
soluções.
c) Suponha que existe uma única solução para o sistema, encontre esta solução em
função de α.
5- Dado o sistema linear abaixo e utilize a aritmética flutuante com precisão de dois
algarismos.
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 012𝑥2 − 𝑥3 = 4
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
a) Encontre as trocas de linhas que são exigidas para resolver o sistema utilizando Gauss
e pivotação parcial.
b) Encontre a solução utilizando Gauss e pivotação com dimensionamento.
c) Qual a ordem em que as variáveis 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3, seriam encontradas caso utilizemos
Gauss com pivotação completa?
6- Resolva o seguinte sistema linear utilizando apenas substituição direta e inversa.
2 0 0
−1 1 03 2 −1
1 1 10 1 20 0 1
𝑥1𝑥2𝑥3
= −130
7- Dado o sistema linear abaixo,
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 012𝑥2 − 𝑥3 = 4
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
a) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que todos os elementos da diagonal
principal de L sejam 1 e LU=A. (Decomposição de Doolittle)
b) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que os elementos da diagonal
principal de U sejam iguais a 1 e LU=A. (Decomposição de Crout)
c) Encontre a solução do sistema utilizando as matrizes encontradas com a
decomposição de Crout.
8- Uma matriz A possui a decomposição LU a seguir (notação compacta),
2 −1/2 04 1 2
−6 −1 2
a) Calcule det(𝐴).
b) Resolva o sistema linear 𝐴𝑥 = 𝑏, em que 𝑏 = −2 14 12 𝑇.
9- Encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas
lineares, utilizando 𝑥0 = 0 0 0 . Verifique a convergência.
a) 3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 13𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 = 04𝑥1 + 3𝑥2 + 7𝑥3 = 4
b) 10𝑥1 − 𝑥2 = 9
−𝑥1 + 10𝑥2 − 2𝑥3 = 7−2𝑥2 + 10𝑥3 = 6
10- Para os sistemas da questão anterior, encontre as duas primeiras iterações e o erro
relativo, utilizando o método de Gauss-Seidel.
11- Dada a matriz de coeficientes,
A= 𝑥 5 29 11 17 𝑥 17
a) Quais valores inteiros e positivos que x pode assumir para que a matriz seja diagonal
estritamente dominante?
b) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de Jacobi e
não seja comprovada a convergência de Gauss-Seidel? Justifique com um exemplo.
c) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de Gauss-
Seidel e não seja comprovada a convergência de Jacobi? Justifique com um exemplo.