MECÂNICA DOS FLUIDOS - Capitulo 02 - 1a Parte

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MECÂNICA DOS FLUIDOSCapítulo 02 – ESTÁTICA DOS

FLUIDOS - 1ª PARTE

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS

Prof. Eliane Justino

2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS

� Classe dos problemas da MecânicaMecânicaMecânicaMecânica dosdosdosdos FluidosFluidosFluidosFluidos onde o fluidofluidofluidofluido está em repousorepousorepousorepouso ouououounumnumnumnum tipotipotipotipo dededede movimentomovimentomovimentomovimento quequequeque nãonãonãonão obrigaobrigaobrigaobriga asasasas partículaspartículaspartículaspartículas dededede fluidosfluidosfluidosfluidos adjacentesadjacentesadjacentesadjacentes aaaaapresentarapresentarapresentarapresentar movimentomovimentomovimentomovimento relativorelativorelativorelativo....

� As tensõestensõestensõestensões dededede cisalhamentocisalhamentocisalhamentocisalhamento nas superfícies das partículas dos fluidos são nulasnulasnulasnulas;

� As únicas forçasforçasforçasforças que atuam nestasnestasnestasnestas superfíciessuperfíciessuperfíciessuperfícies são as provocadas pela pressãopressãopressãopressão.

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2.1 – PRESSÃO NUM PONTO

� O termo pressão indica a força normal por unidade de área que atua sobre umponto do fluido num dado plano.

� Para entendermos a EstáticaEstáticaEstáticaEstática dosdosdosdos FluidosFluidosFluidosFluidos é preciso responder a duas questões:

� QUESTÃOQUESTÃOQUESTÃOQUESTÃO 01010101 –––– ComoComoComoComo variavariavariavaria aaaa pressãopressãopressãopressão numnumnumnum pontopontopontoponto comcomcomcom aaaa direção?direção?direção?direção?

� OuOuOuOu sejasejasejaseja aaaa pressãopressãopressãopressão variavariavariavaria comcomcomcom aaaa orientaçãoorientaçãoorientaçãoorientação dodododo planoplanoplanoplano quequequeque passapassapassapassa pelopelopelopelo ponto?ponto?ponto?ponto?

� Para entendermos consideremos o diagrama de corpo livre de uma figuraconstruída removendo-se arbitrariamente um pequeno elemento de fluido comforma de uma cunha triangular, de um meio fluido.


� Força em um elemento fluido arbitrárioForça em um elemento fluido arbitrárioForça em um elemento fluido arbitrárioForça em um elemento fluido arbitrário:

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2 – PRESSÃO NUM PONTO

� TensõesTensõesTensõesTensões dededede CisalhamentoCisalhamentoCisalhamentoCisalhamento sãosãosãosão nulas,nulas,nulas,nulas, poispoispoispois nãonãonãonão háháháhá deslocamentodeslocamentodeslocamentodeslocamento entreentreentreentre osososos fluidosfluidosfluidosfluidosadjacentesadjacentesadjacentesadjacentes;;;;

� AsAsAsAs forçasforçasforçasforças dededede superfíciessuperfíciessuperfíciessuperfícies que atuam na cunha são devidas as PressõesPressõesPressõesPressões que o fluidofluidofluidofluidoadjacentesadjacentesadjacentesadjacentes fazem sobre o ponto considerado;

� AAAA forçaforçaforçaforça dededede corpocorpocorpocorpo considerada é a força devido o PesoPesoPesoPeso dodododo pontopontopontoponto considerado.

� Para simplificação, as forças na direção x não estão mostrada e o eixo z é tomadocomo o eixo vertical, onde o PesoPesoPesoPeso atua no sentidosentidosentidosentido negativonegativonegativonegativo deste eixo.

� Apesar de estarmos interessados, principalmente, na situação onde o fluidofluidofluidofluido estáestáestáestáemememem repousorepousorepousorepouso, faremos uma AnáliseAnáliseAnáliseAnálise GeralGeralGeralGeral e admitiremos que o elemento de fluidoapresenta um MovimentoMovimentoMovimentoMovimento AceleradoAceleradoAceleradoAcelerado.

2.1 – PRESSÃO NUM PONTO� A hipótese de TensõesTensõesTensõesTensões dededede CisalhamentoCisalhamentoCisalhamentoCisalhamento ser nulanulanulanula será adequada enquanto o

movimento do elemento do fluido for igual aquele de um CorpoCorpoCorpoCorpo RígidoRígidoRígidoRígido, ou seja, oselementos adjacentes não apresentarem MovimentoMovimentoMovimentoMovimento RelativoRelativoRelativoRelativo.

� Pela Segunda Lei de Newton, as equações do movimento na direção y e z são:

� ps; py e px – são as pressões médias na superfícies da cunha.

� γ é o peso específico do fluido;

� ρ é a massa específica do fluido;

� ay e az são as acelerações nas direções y e z, respectivamente.

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2.1 – PRESSÃO NUM PONTO� Analisando a geometria da Figura.

δδδδy = δδδδs.cos θθθθ e δδδδz = δδδδs . sen θθθθ


� As Equações do movimento podem ser reescrita do seguinte modo:

� Como estamos interessados no que acontece num ponto, é interessante analisarmos o caso limite onde δx, δy e δz tendem a zeroa zeroa zeroa zero, mas mantendo o ângulo mas mantendo o ângulo mas mantendo o ângulo mas mantendo o ângulo θθθθconstanteconstanteconstanteconstante. Assim;

py = ps e pz = ps

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� Então px = py = pz, com θ arbitrário.

� CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:

� A pressão num ponto de um líquido em repouso ou movimento onde as tensões decisalhamento é nula, éééé independenteindependenteindependenteindependente dadadada direçãodireçãodireçãodireção.

� Este Resultado importante é conhecido como LeiLeiLeiLei dededede PascalPascalPascalPascal (Blaser Pascal,matemático francês que contribuiu significativamente no campo hidrostática 1623 –1662).

2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO� QUESTÃOQUESTÃOQUESTÃOQUESTÃO 02020202 –––– ComoComoComoComo varia,varia,varia,varia, pontopontopontoponto aaaa pontopontopontoponto aaaa pressãopressãopressãopressão numanumanumanuma certacertacertacerta quantidadequantidadequantidadequantidade dededede

fluidofluidofluidofluido quequequeque nãonãonãonão apresentaapresentaapresentaapresenta tensõestensõestensõestensões dededede cisalhamento?cisalhamento?cisalhamento?cisalhamento?

� Considere um pequeno elemento de fluido:

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2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO

� Existe doisdoisdoisdois tipostipostipostipos dededede forçasforçasforçasforças que atuam no elemento de fluido: asasasas superficiais,superficiais,superficiais,superficiais, devidadevidadevidadevidaaaaa pressãopressãopressãopressão e a dededede campocampocampocampo, neste caso, é igual o pesopesopesopeso dodododo elementoelementoelementoelemento.

� A Pressão no centro geométrico do elemento é designada por pppp.

� As pressões médias na várias faces do elemento é expressa em função de pppp e desuassuassuassuas derivadasderivadasderivadasderivadas.

� Na verdade é utilizada uma ExpansãoExpansãoExpansãoExpansão emememem SérieSérieSérieSérie dededede TaylorTaylorTaylorTaylor, baseada no centro doelemento.

� As forças superficiais na direção x não são considerada para melhor visualização dafigura.


� A Força Resultante na direção y é dada por:

� ou

� De modo análogo, as forças resultantes na direção x e z são dadas por:

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� A forma vetorial da força superficial resultante que atua no elemento é;

OuOuOuOu

� Onde i,i,i,i, jjjj eeee kkkk são vetoresvetoresvetoresvetores unitáriosunitáriosunitáriosunitários do sistemasistemasistemasistema dededede coordenadascoordenadascoordenadascoordenadas.

� O grupo entre parêntese representa a formaformaformaforma vetorialvetorialvetorialvetorial dodododo GradienteGradienteGradienteGradiente dededede PressãoPressãoPressãoPressão epode ser escrito como:


� Onde

� Onde o Símbolo ∇ representa o operador gradiente. Assim:

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� Como o eixo z é vertical, o peso do elemento de fluido é dado por:

� OOOO sinalsinalsinalsinal negativonegativonegativonegativo indicaindicaindicaindica quequequeque aaaa forçaforçaforçaforça devidadevidadevidadevida aoaoaoao pesopesopesopeso apontaapontaapontaaponta paraparaparapara baixobaixobaixobaixo (sentido(sentido(sentido(sentidonegativonegativonegativonegativo dodododo eixoeixoeixoeixo z)z)z)z)

� A Segunda Lei de Newton, aplicada ao elemento de fluido, pode ser escrita daseguinte forma:

ΣδΣδΣδΣδFFFF ==== δδδδmamamama

� Onde ΣδF representa a força resultante que atua no elemento;

� a é aceleração do elemento; e

� δma é a massa do elemento fluido, que pode ser escrito como ρρρρ.... δδδδxxxx .... δδδδyyyy ....δδδδzzzz, assim:


ou

Dividindo por δδδδx . δδδδy .δδδδz, obtém-se

Esta é a Equação Geral doMovimento válida para casos ondeas Tensões de Cisalhamento nofluido são nulas.

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2.3 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO EM REPOUSO

� Em Fluido em repouso tem-se:

� Aceleração nula (a = 0);

� Assim

� Os componentes da Equação anterior são;


� SIGNIFICADOSIGNIFICADOSIGNIFICADOSIGNIFICADO::::

� IstoIstoIstoIsto mostramostramostramostra quequequeque aaaa pressãopressãopressãopressão nãonãonãonão éééé funçãofunçãofunçãofunção dededede xxxx eeee y,y,y,y, istoistoistoisto é,é,é,é, nãonãonãonão háháháhá variaçãovariaçãovariaçãovariação nononono valorvalorvalorvalor dadadadapressãopressãopressãopressão quandoquandoquandoquando mudamosmudamosmudamosmudamos dededede umumumum pontopontopontoponto paraparaparapara outrooutrooutrooutro situadasituadasituadasituada nononono mesmomesmomesmomesmo planoplanoplanoplanohorizontalhorizontalhorizontalhorizontal (qualquer(qualquer(qualquer(qualquer planoplanoplanoplano paraleloparaleloparaleloparalelo aoaoaoao planoplanoplanoplano xxxx----y)y)y)y)

� Então pppp é apenas função de zzzz....

� Reescrevendo como uma Equação Diferencial ordinária, tem-se:

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� Esta Equação é fundamental para o Cálculo da distribuição de pressão no casoonde o fluido está em repouso. É utilizada para determinar como a pressão variacom a elevação.

� Indica o gradiente de pressão na direção vertical é negativo, ou seja, a pressãodescrece quando nos movemos para cima num fluido em repouso.

� Como não há restrições em relação ao peso específico, a equação é válida para oscasos onde o fluido apresenta γ constante (por exemplo os líquidos ) e também paraos casos onde o peso específico varia (por exemplo, o ar e outros gases).

� Portanto, é necessário especificar como o peso específico varia com z para que sejapossível integrar a Equação Resultante para Fluidos Estáticos.

2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL

� A variação do peso específico de um fluido é provocada pelas variações de suamassa específica e da aceleração da gravidade.

� γγγγ ==== ρρρρ .... gggg

� Como as variações de g na maioria dos problemas das aplicações da engenhariasão desprezíveis, temos somente que analisar as possíveis variações da massaespecífica.

� Nos líquidos as variações da massa específica pode ser desprezada, mesmoquando as distâncias verticais envolvidas sejam significativas.

� Sendo o peso específico constante, pode se integrar diretamente a Equação devariação de pressão, isto é:

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� NotaçãoNotaçãoNotaçãoNotação paraparaparapara aaaavariaçãovariaçãovariaçãovariação dedededepressãopressãopressãopressão numnumnumnum fluidofluidofluidofluidoemememem repousorepousorepousorepouso eeee comcomcomcomsuperfíciesuperfíciesuperfíciesuperfície livrelivrelivrelivre


Onde p1 e p2 são pressões nos planos com cota z1 e z2, respectivamente

Onde h é igual a distância z2 – z1 (profundidade medida a partir do plano queapresenta p2)

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� A pressão num fluido incompressível em repouso varia linearmente com aprofundidade, que é denominada PRESSÃOPRESSÃOPRESSÃOPRESSÃO HIDROSTÁTICAHIDROSTÁTICAHIDROSTÁTICAHIDROSTÁTICA.

� A pressão precisa aumentar com a profundidade para que exista equilíbrioequilíbrioequilíbrioequilíbrio.

� A diferença entre as pressões de dois pontos é especificada pela distância, h, ouseja:

� h é denominada “carga”“carga”“carga”“carga” e é interpretada como:

� AAAA alturaalturaalturaaltura dadadada colunacolunacolunacoluna dededede fluidofluidofluidofluido comcomcomcom oooo pesopesopesopeso específicoespecíficoespecíficoespecífico γγγγ necessárianecessárianecessárianecessária paraparaparapara provocarprovocarprovocarprovocar umaumaumaumadiferençadiferençadiferençadiferença dededede pressãopressãopressãopressão pppp1111 ---- pppp2222....


� Exemplo:

� Para provocar a diferença de pressão de ∆p = 69 kPa.

� ParaParaParaPara águaáguaáguaágua - γ = 9,8 kN/m3 - h = 7.09 m de coluna de H2O

� ParaParaParaPara mercúriomercúriomercúriomercúrio - γ = 133,41 kN/m3 - h = 519 mm Hg = 0,519 mHg.

� Sempre existe uma superfície livre quando se trabalha com líquido, e é convenienteutilizar o valor da pressão nesta superfície como referência.

� Assim, a pressão de referência, p0, é a pressão que atua na superfície livre,normalmente é igual a pressão atmosférica.

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� Se p2 = pO, tem-se que a pressão em qualquer profundidade, h, medida a partir dasuperfície livre é dada por:

� pppp ==== γγγγ....hhhh ++++ pppp0000

� A distribuição de pressão num fluido homogêneo incompressível e em repouso éfunção apenas da profundidade (em relação a algum plano de referência) e não éinfluenciada pelo tamanho ou forma do tanque ou recipiente ou tanque que contémo fluido.


� Equilíbrio de um fluido num recipiente de forma arbitrária.

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� A pressão é a mesma em todos os pontos da linha AB, mesmo que , a forma dorecipiente seja um tanto irregular.

� O valor real da pressão ao longo de AB depende apenas da profundidade h, dapressão na superfície livre, pO, e do peso específico do fluido contido no recipeinte.

� EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 2222....1111 –––– págpágpágpág.... 30303030

� A Figura abaixo mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo degasolina. Se a densidade da gasolina é 0,68, determine a pressão na interfacegasolina-água e no fundo do tanque.


� SOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃO::::

� A distância de pressão será hidrostática porque os dois fluidos estão em repouso.

� Assim, a variação de pressão pode ser calculada com a Equação.

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� p = p0 + γ.h

� Se p0 corresponde a pressão na superfície livre da gasolina, a pressão na interfaceé:

� Se estivermos interessados na pressão relativa temos que p0 = 0 é:

� Aplicando a mesma relação para determinar a pressão no fundo do tanque tem-se:


� ParaParaParaPara transformartransformartransformartransformar osososos resultadosresultadosresultadosresultados obtidosobtidosobtidosobtidos emememem pressõespressõespressõespressões absolutasabsolutasabsolutasabsolutas bastabastabastabasta adicionaradicionaradicionaradicionar oooovalorvalorvalorvalor dadadada pressãopressãopressãopressão atmosféricaatmosféricaatmosféricaatmosférica locallocallocallocal aosaosaosaos resultadosresultadosresultadosresultados....

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2.3.2 –FLUIDO COMPRESSÍVEL

� Fluidos Compressível são aqueles em que as massas específicas variam de modosignificativo com as alterações de pressão e temperatura.

� Deve-se considerar a possibilidade da variação do peso específico do fluido antesde integrar a pressão em relação ao eixo vertical.

� O peso específico dos gases comuns são pequenos em relação aos líquidos.

� ParaParaParaPara 15151515ºººº CCCC aoaoaoao nívelnívelnívelnível dodododo marmarmarmar....

� γγγγ arararar==== 1111,,,,2222 xxxx 101010101111 N/mN/mN/mN/m3333....

� γγγγ água=água=água=água= 9999,,,,8888 xxxx 101010103333 N/mN/mN/mN/m3333....


� O gradiente de pressão na direção vertical é pequeno porque o peso específico dosgases é normalmente baixo.

� Em tanques e tubulações que apresentam dimensões moderadas, pode-sedesprezar o efeito de variação de elevação sobre a pressão do gás.

� Para os caso onde a variação de altura é grande, da ordem de milhares de metros,deve-se considerar a variação do peso específico do fluido nos cálculos dasvariações de pressão.

� Considerando um gás perfeito.

� pppp ==== ρρρρ .... RRRR .... TTTT (1)

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� Substituindo (2) em (4), tem-se:

� Separando as vaiáveis:


� Onde g e R foram mantidos constante no intervalo de integração.

� Com isto é necessário especificar como a temperatura varia com a a elevação.

� Admitindo que a temperatura é constante e igual a T0 no intervalo de integração (dez1 a z2), tem-se:

� Esta equação fornece a relação entre a pressão e a altura numa camada isotérmicade um gás perfeito.

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2.3.2 –FLUIDO COMPRESSÍVEL� EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 4444....2222 –––– pagpagpagpag.... 41414141

� O Empire State Building de Nova York, uma das construções mais altas do mundo,apresenta altura aproximadamente de 381 m. Estime a relação entre as pressõesno topo e na base do edifício. Admita que a Temperatura é uniforme e igual a 15º C.Compare este resultado com aquele que é obtido modelando o ar comoincompressível e com peso específico igual a 12,01 N/m3 (valor padrão americanode 1 atm).

� SOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃO

� Modelando o ar como um fluido compressível:


� Modelando o ar como incompressível:

� A análise utilizando tanto o modelo de fluido compressível como de fluidoincompressível fornecem resultados praticamente igual porque a diferença depressão entre o topo e a base do edifício é pequena, isto é, a variação da massaespecífica do fluido também pequena.

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2.4 –ATMOSFERA PADRÃO

� Foi desenvolvida para ser utilizada no projeto de aviões e espaçonaves e tambémpara comparar o comportamento destes equipamento numa condição padrão.

� É uma representação ideal da atmosfera terrestre e foi avaliada numa latitudemédia e numa condição ambiental anual média.

� São apresentadas em Tabela as propriedades importantes da atmosfera padrãorelativas ao nível do mar.

� Também é ilustrado em Gráfico o perfil de temperatura adotado na atmosferapadrão.


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� Nota-se que a temperaturatemperaturatemperaturatemperatura decrescedecrescedecrescedecresce com aaaa altitudealtitudealtitudealtitude na região próxima da Terra,TroposferaTroposferaTroposferaTroposfera, fica aproximadamenteaproximadamenteaproximadamenteaproximadamente constanteconstanteconstanteconstante nananana EstratosferaEstratosferaEstratosferaEstratosfera e aumentaaumentaaumentaaumenta nananana próximapróximapróximapróximacamadacamadacamadacamada....

Variação daTemperatura com aaltitude na atmosferaPadrão Americana


� EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO:::: Na troposfera (a região que se estende até a altura aproximadamenteigual a 11 km), a distribuição de Temperatura é dado por:

� T = Ta - β z (1)

� Onde Ta – temperatura ao nível do mar (z = 0)

� β - a taxa de decaimento da temperatura. Nesta região, β é igual a 0,00650K/m.

� Aplicando (1) em:

(2)

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� Onde pa é pressão absoluta em z = 0. Com pa, Ta e g são obtidos da Tabela dePropriedades da Atmosfera Padrão Americano no Nível do Mar e Com R = 286,9J/kg .K, a variação de pressão na Troposfera pode ser determinada com a Equaçãoanterior. O cálculo mostra que a temperatura e a pressão na interface Troposfera-Estratosfera são iguais a -55,6º C e 23 kPa.

� É importante ressaltar que os jatos comerciais modernos voam nesta região.

2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO

� Vários dispositivos e técnicas foram desenvolvidos e são utilizados para medição dapressão.

� A pressão num ponto do Sistema Fluido pode ser designada em termo – AbsolutoAbsolutoAbsolutoAbsoluto eeeeRelativosRelativosRelativosRelativos....

� PressõesPressõesPressõesPressões AbsolutasAbsolutasAbsolutasAbsolutas – São medidas em relação ao vácuo perfeito (pressão absolutanula).

� PressãoPressãoPressãoPressão RelativaRelativaRelativaRelativa – É medida em relação a pressão atmosférica local.

� PressãoPressãoPressãoPressão RelativaRelativaRelativaRelativa NulaNulaNulaNula – Corresponde a uma pressão igual a pressão atmosféricalocal.

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� PressõesPressõesPressõesPressões RelativasRelativasRelativasRelativas NegativasNegativasNegativasNegativas – Conhecida como Vácuo, são as Pressões menoresdo que a pressão atmosférica local.

� Pressões Absolutas são sempre positivas, mas as pressões relativas podem sertanto positivas (pressão maior do que a atmosférica local), quantonegativa(pressões menores do que a pressão atmosférica local).

� EXEMPLO – A pressão de 70 kPa (abs) pode ser expressa como -31,33 kPa (relativa)se a pressão atmosférica local é de 101,33 kPa.

� Pabs = Prelativa + P atm

� Prelativa = Pabs – Patm

� P relativa = 70 – 101,33

� P relativa = -31,33 kPa

� VácuoVácuoVácuoVácuo dededede 31313131,,,,33333333 kPakPakPakPa


� RepresentaçãoRepresentaçãoRepresentaçãoRepresentação gráficagráficagráficagráfica dasdasdasdas PressõesPressõesPressõesPressões RelativaRelativaRelativaRelativa eeee AbsolutasAbsolutasAbsolutasAbsolutas....

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� Unidade e Referência utilizados na Medição de Pressão.

� P = F/A = Força/Área

� UnidadesUnidadesUnidadesUnidades UsuaisUsuaisUsuaisUsuais paraparaparapara PressãoPressãoPressãoPressão....

� No SI – N/m2 = Pa

� Pela altura de uma coluna de líquido (em metros, milímetros, etc) e pelaespecificação do líquido da coluna (água, mercúrio, etc)

� EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO: A pressão atmosférica padrão pode ser expressa com 760 mmHg (abs).

Graça a relação de que P = γh, ou seja, h =P/γ


� A medição da pressão atmosférica é normalmente realizada com o barômetro deMercúrio.

Barômetro de Mercúrio Simples

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� ConstituídoConstituídoConstituídoConstituído porporporpor::::

� Um tubo de vidro com uma extremidade fechada e outra aberta imersa em umrecipiente que contém mercúrio.

� Inicialmente, o tubo estava repleto com mercúrio e então foi virado de ponta acabeça (com a extremidade aberta lacrada) e inserido no recipiente de Mercúrio.

� O equilíbrio da coluna de mercúrio ocorre quando o peso da coluna mais a forçaprovocada pela pressão de vapor (que se desenvolve no espaço acima da coluna) éigual a força devida a pressão atmosférica.

� AssimAssimAssimAssim::::

� ppppatmatmatmatm ==== γγγγ....hhhh ++++ ppppvaporvaporvaporvapor


� A contribuição da pressão de vapor, na maioria dos casos, pode ser desprezadaporque é muito pequena, a pressão de vapor do mercúrio a 20º C é igual a 0,16 Pa(abs)

� Portanto:

� patm = γ.h

� É comum expressar patm em função da altura de uma coluna de mercúrio.

� patm padrão = 101,33 kPa = 0,76 mHg = 10,36 mH2O.

� Barômetro foi atribuído a Evangelista Torricelli.

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� EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 2222....3333 –––– pgpgpgpg.... 44444444....

� A água de um lago localizado numa região montanhosa apresenta temperaturamédia iguala 10º C e a profundidade máxima do lago é 40 m. Se a pressãobarométrica local é igual a 598 mmHg determine a pressão absoluta na região maisprofunda do lago.


� A pressão na água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação:

� p = p0 + γh

� Onde p0 é a pressão na superfície do lago.


� Como estamos interessados na pressão absoluta, p0 será a pressão barométricalocal. Portanto:

� p0= γHg .h = (133 kN/m3) (0,598 m) = 79,5 kN/m2.

� O peso específico da água a 10º C pode ser obtida em Tabela de Propriedades doFluido (γHg =9,804 kN/m3).

� Assim:

� P = 79,5 + (9,804 kN/m3) x 40 = 472 kPa (abs)


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� Técnicas utilizadas na medição de pressão que envolve o uso de colunas de líquidosverticais ou inclinados.

� Os dispositivos para a medida de pressão baseados nestas técnicas sãodenominados MANÔMETROSMANÔMETROSMANÔMETROSMANÔMETROS.

ExemploExemploExemploExemplo:::: BarômetroBarômetroBarômetroBarômetro dededede MercúrioMercúrioMercúrioMercúrio....

TiposTiposTiposTipos UsuaisUsuaisUsuaisUsuais dededede ManômetrosManômetrosManômetrosManômetros::::

� Tubo Piezométrico;

� Manômetro em U;

� Tubo Inclinado.

2.6 – MANOMETRIA

� É o mais simples manômetro que existe, consiste em um tubo vertical aberto no topo, e conectado ao recipiente no qual desejamos conhecer a pressão.

2.6.1 – TUBO PIEZOMÉTRICO

Tubo Piezométrico

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� Como a coluna líquida está em equilíbrio a pressão pode ser expressa por:

� p = p0 + γh

� Esta equação fornece o valor da pressão gerada por qualquer coluna de fluidohomogêneo em função da pressão de referência, p0, e da distância vertical entre osplanos que apresentam p e p0.

� LembreLembreLembreLembre----sesesese quequequeque::::

Pressão Caminhamento na Coluna de Fluido considerando a superfície

livre como referência.

Pressão Caminhamento na Coluna de Fluido considerando a superfície

livre como referência.


� No tubo piezométrico esquematizado, tem-se:

� pA = γ1 h1

� p0 foi igualada a zero (o tubo é aberto no topo) eisto implica que estamos lidando com a pressõesrelativas.

� pA = p1 - apresentam a mesma elevação.

� RESTRIÇÕESRESTRIÇÕESRESTRIÇÕESRESTRIÇÕES DEDEDEDE UTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃO DODODODO PIEZÔMETROPIEZÔMETROPIEZÔMETROPIEZÔMETRO

1) Só é adequado nos casos onde a pressão norecipiente é maior do que a pressão atmosférica,visto que, se não ocorreria sucção de ar para ointerior do recipiente.

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2.6.1 – MANÔMETRO COM TUBO EM U

2) A pressão no reservatório não pode ser muito grande (para que a altura da colunaseja razoável).

3) Só é possível utilizar este dispositivo se o fluido do recipiente for um líquido.


Manômetro com Tuboem U Simples

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� Para determinar a pressão pA em função das alturas das várias colunas, aplica-se:

� pA = p0 +γ.h

� Nos vários trechos preenchidos com o mesmo fluido.

� A pressão no ponto A e no ponto (1) são iguais.

� pA = p1

� A pressão no ponto (2) é igual a:

� p2 = p1 + γ1.h1


� A pressão no ponto (2) é igual a pressão no ponto (3), porque as elevações sãoiguais.

� p2 = p3

� Note que não se pode saltar diretamente do ponto (1) para o ponto de mesmaelevação no outro tubo porque existem dois fluidos diferentes na região limitadapelos planos horizontais que passam por estes pontos.

� Como conhecemos a pressão no ponto (3), vamos nos mover para a superfície livreda coluna onde a pressãopressãopressãopressão relativarelativarelativarelativa éééé nulanulanulanula.

� Quando nos movemos verticalmente para cima a pressão decrescedecrescedecrescedecresce de um valorγ2.h2.

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� Estes vários passos podem ser resumidos por:

� pA + γ1.h1 - γ2.h2 = 0

ou seja:

� pA = γ2.h2 - γ1.h1

� VANTAGENSVANTAGENSVANTAGENSVANTAGENS DODODODO MANÔMETROMANÔMETROMANÔMETROMANÔMETRO COMCOMCOMCOM OOOO TUBOTUBOTUBOTUBO EMEMEMEM UUUU::::

� É que o fluido manométrico pode ser diferente do fluido contido no recipiente ondea pressão deve ser determinada.

� EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO:::: O fluido do recipiente do manômetro em tubo em U simples pode sertanto um gás como um líquido.


� Se o recipiente contém um gás, a contribuição da coluna de gás, γ1.h1,normalmente é desprezada de modo que:

� pA ≈ p2

� pA = γ2.h2

� A altura da coluna (carga), h2, é determinada unicamente pelo peso específico dofluido manométrico (γ2) para uma dada pressão. Isto permite utilizar um fluidomanométrico pesado, tal como o mercúrio, para obter uma coluna com alturarazoável quando a pressão pA é alta.

� Por outro lado, pode-se utilizar um fluido mais leve, tal com a água, para obter umacoluna de líquido com uma altura adequada se a pressão pA é baixa.

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2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U� EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 2222....4444 –––– pagpagpagpag.... 46464646

� Um tanque fechado esboçado na Figura abaixo, contém ar comprimido e um óleoque apresenta densidade 0,9. O fluido manométrico utilizado no manômetro em Uconectado ao tanque é mercúrio (densidade igual a 13,6). Se h1 = 914 mm, h2 =152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura no manômetro localizado no topo dotanque.



� Seguindo o procedimento geral utilizado nesta seção, nós iniciaremos a análise nainterface ar-óleo localizada no tanque e prosseguiremos até a interface fluidomanométrico-ar atmosférico onde a pressão relativa é nula. A pressão no ponto (1)é:

� Esta pressão é igual a pressão no ponto (2) porque os dois pontos apresentam amesma elevação e estão localizados num trecho de tubo ocupada pelo mesmofluido homogêneo e que esta em equilíbrio.

� A pressão no ponto (2) é igual a pressão na interface fluido manométrico-aratmosférico somada àquela provocada pela coluna com altura h3.

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� Se nós admitirmos que a pressão relativa é nula nesta interface (note que estamostrabalhando com pressões relativas).

� ou

� Aplicando os valores fornecidos no enunciado do exemplo.


� Como o peso específico do ar é muito menor que o peso específico do óleo, apressão medida no manômetro localizado no topo do tanque é muito próxima dapressão na interface ar comprimido-óleo. Deste modo:

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2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR DIFERENÇA DE PRESSÃO

� Muito utilizado para medir diferença de pressão em sistema de fluidos.

� Considere o manômetro conectado entre os recipientes A e B.

Manômetro diferencial em U


� A diferença de pressão entre A e B, utilizando o procedimento de Manômetro comTubo em U:

� pA = p1

� p2 = pA + γ1.h1 = p3

� p4 = p3 - γ2.h2

� p5 = p4 - γ3.h3 = pB

� Resumindo:

� pA + γ1.h1 - γ2.h2 - γ3.h3 = pB

� E a diferença de pressão é dada por:

� pA – pB = γ2.h2 + γ3.h3 - γ1.h1

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� Geralmente os efeitos da Tensão Superficial nas várias interfaces do fluidomanométrico não são considerados.

� Os efeitos de capilaridade se cancelam, pois se admite que as tensões superficiaise os diâmetros dos tubos de cada menisco são iguais.

� No manômetro em Tubo U Simples que possui diâmetro grande (em torno de 12mm, ou maiores), o efeito do bombeamento capilar pode ser consideradodesprezível.


� EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 2222....5555 –––– pgpgpgpg.... 48484848

� A Figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado para medir a vazão emvolume em tubos, Q, o bocal convergente cria uma queda de pressão pA – pB noescoamento que está relacionada com a vazão em volume através da equação Q =K(pA – pB) ½ (onde K é uma constante que é função das dimensões do bocal e dotubo). A queda de pressão normalmente é medida com um manômetro diferencialem U do tipo ilustrado na Figura. (a) Determine uma equação para pA – pB emfunção do peso específico do fluido que escoa, γ1, do peso específico do fluidomanométrico, γ2, e das várias alturas indicadas na figura. (b) Determine a queda depressão se γ1 = 9,80 kN/m3, γ2 = 15,6 kN/m3, h1 = 1,0 m e h2 = 0,5m.


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� (a) apesar do fluido no tubo esta escoando, o que está contido no manômetro estáem repouso e, assim as variações de pressão nos tubos do manômetro sãohisdrostáticas.

� Deste modo, a pressão no ponto (1) é igual a pressão no ponto A menos a pressãocorrespondente a coluna de fluido com altura h1 (γ1 .h1).

� A pressão no ponto (2) é igual aquela no ponto (1) e também é igual aquela noponto (3).

� Já a pressão no ponto (4) é igual no ponto (3) menos a pressão correspondente acoluna de fluido manométrico com a altura h2 (γ2 .h2).


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� A pressão no ponto (5) é igual a pressão no ponto (4).

� E a pressão no ponto B é igual a pressão no ponto (4) mais a pressãocorrespondente a coluna de fluido com altura (h1 + h2).

� Note que apenas uma altura de coluna de fluido manométrico (h2) é importanteneste manômetro, ou seja, este dispositivo pode ser instalado com h1 igual a 0,5 ou5,0 m acima do tubo e a leitura do manômetro (o valor h2) continuaria a mesma.

� Observe também que é possível obter valores relativamente grandes de leituradiferencial, h2, mesmo quando a diferença de pressões é baixa pois basta utilizarfluidos que apresentem pesos específicos próximos.


� (b) O valor da queda de pressão para os valores fornecidos é:


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� Freqüentemente utilizado para medir pequenaspequenaspequenaspequenas variaçõesvariaçõesvariaçõesvariações dededede pressãopressãopressãopressão.

� Uma perna do manômetro é inclinada, formando um ângulo θ com o planohorizontal e a leitura diferencial l2 é medida ao longo do tubo inclinado, nestacondição a diferença de pressão pA – pB é dado por:

2.6.3– MANÔMETRO COM TUBO INCLINADO

� pA + γ1.h1 - γ2 .l2.senθ - γ3.h3 = pB

� pA –pB = γ2 .l2.senθ + γ3.h3 - γ1.h1

� Note que a distância vertical entre os pontos (1) e (2) é l2senθ. Assim, para o ângulorelativamente pequeno, a leitura diferencial ao longo do tubo inclinado pode serfeita mesmo que a diferença de pressão seja pequena.

� O manômetro de tubo inclinado é sempre utilizado paraparaparapara medirmedirmedirmedir pequenaspequenaspequenaspequenas diferençasdiferençasdiferençasdiferençasdededede pressãopressãopressãopressão emememem umumumum sistemasistemasistemasistema quequequeque contémcontémcontémcontém gásgásgásgás....

� Neste caso;

� pA – pB = γ2 .l2.senθ

� ou


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� Porque as contribuições das colunas de gases podem ser desprezadas.

� A Equação acima mostra que para uma dada diferença de pressão, a leituradiferencial l2 do manômetro de tubo inclinado é 1/semθ vezes maior que àquela domanômetro com tubo em U.

� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....32323232 –––– 76767676

� O Manômetro inclinado da Figura abaixo indica que a pressão no ponto A é de 0,6psi. O fluido que escoa nos tubos A e B é igual e o fluido manométrico apresentadensidade 2,6. Qual é a pressão no tubo B que corresponde a condição mostradana Figura a seguir. Sendo 1 psi = 7x103 Pa e γH20 = 9980 N/m3.



� pA = 0,6 psi = 0,6 x 7x 103 = Pa = 4200 Pa

� pA + 0,076 x γH2O – 0,203 x sen 30º x SG x γH2O - 0,076 x γH2O = pB

� pB = 4200 + 0,O76 x 9980 – 0,203 x sem 30º x 2,6 x 9980 – 0,076 x 9980 =

� pB = 1 566,28 Pa


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DESVANTAGENSDESVANTAGENSDESVANTAGENSDESVANTAGENS DADADADA UTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃOUTILIZAÇÃO DEDEDEDE MANÔMETROSMANÔMETROSMANÔMETROSMANÔMETROS COMCOMCOMCOM COLUNACOLUNACOLUNACOLUNA DEDEDEDE LÍQUIDOLÍQUIDOLÍQUIDOLÍQUIDO

� Inadequado para medir pressões muito altas ou que variam rapidamente com otempo;

� Envolve a medição do comprimento de uma ou mais colunas de líquidos;

� Consome um tempo significativo;

� Os dispositivosdispositivosdispositivosdispositivos mecânicosmecânicosmecânicosmecânicos eeee elétricoselétricoselétricoselétricos dededede mediçãomediçãomediçãomedição dadadada pressãopressãopressãopressão é baseado no princípiode que todas asasasas estruturasestruturasestruturasestruturas elásticaselásticaselásticaselásticas deformamdeformamdeformamdeformam quandoquandoquandoquando submetidassubmetidassubmetidassubmetidas aaaa umaumaumauma pressãopressãopressãopressãodiferencialdiferencialdiferencialdiferencial e que estaestaestaesta deformaçãodeformaçãodeformaçãodeformação pode ser relacionadarelacionadarelacionadarelacionada com oooo valorvalorvalorvalor dadadada pressãopressãopressãopressãoimpostaimpostaimpostaimposta nononono elementoelementoelementoelemento.

2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A MEDIÇÃO DA PRESSÃO

� O dispositivo mais comum deste tipo é o MANÔMETRO DE BOURDON.

(a)(a)(a)(a) Manômetro de Bourdon para várias faixas de pressão.

(b)(b)(b)(b) Correspondentes do manômetro de Bourdon – Esquerda: Tubo de Bourdon comformato “C” – Direita: Tubo de Bourdon “mola de torção” utilizado para medirpressões altas.


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� MANÔMETROMANÔMETROMANÔMETROMANÔMETRO DEDEDEDE BOURDONBOURDONBOURDONBOURDON....


� ConstituídoConstituídoConstituídoConstituído porporporpor::::

� Elemento essencial é o tubo elástico curvado, conhecido por tubo de Bourdon queestá conectado à fonte de pressão.

� MecanismoMecanismoMecanismoMecanismo dededede FuncionamentoFuncionamentoFuncionamentoFuncionamento::::

� O tubo curvado tende a ficar reto quando a pressão no tubo (interna) aumenta, adeformação apesar de pequena, pode ser transformada num movimente de umponteiro localizado num mostrador.

� A pressão indicada no manômetro de Bourdon é relativa, pois o movimento doponteiro está relacionada com a diferença entre pressão interna do tubo e a domeio externo (pressão atmosférica).


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� Deve ser calibrado em psi ou em Pascal.

� A leitura nula indica que a pressão medida é igual a pressão atmosférica.

� Mede pressões negativas (vácuo) e positiva.

BARÔMETROBARÔMETROBARÔMETROBARÔMETRO ANAERÓIDEANAERÓIDEANAERÓIDEANAERÓIDE

� Utilizado para medir pressões atmosférica.

� Como a pressão atmosférica é especificada como uma pressão absoluta, o medidorde Bourdon não é indicado para este tipo de medição


� ConstituiçãoConstituiçãoConstituiçãoConstituição eeee FuncionamentoFuncionamentoFuncionamentoFuncionamento

� Um elemento elástico localizado num recipiente evacuado de modo que a pressãointerna no elemento é praticamente nula.

� Quando a pressão atmosférica muda, o elemento deflete e altera a posição deelemento indicador (por exemplo, um ponteiro).

� O indicador pode ser calibrado para fornecer a pressão atmosférica diretamente emmilímetros de mercúrio.


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DISPOSITIVOSDISPOSITIVOSDISPOSITIVOSDISPOSITIVOS QUEQUEQUEQUE CONVERTECONVERTECONVERTECONVERTE OOOO SINALSINALSINALSINAL DEDEDEDE PRESSÃOPRESSÃOPRESSÃOPRESSÃO NUMANUMANUMANUMA SAÍDASAÍDASAÍDASAÍDA ELÉTRICAELÉTRICAELÉTRICAELÉTRICA

� Monitoramento Contínuo da Pressão num Processo Químico

� Indicado para medir a pressão com um dispositivo que converta o sinal de pressãonuma saída elétrica.

� Este tipo de dispositivo é denominado TRANSDUTORTRANSDUTORTRANSDUTORTRANSDUTOR DEDEDEDE PRESSÃOPRESSÃOPRESSÃOPRESSÃO.

� Um tipo destes dispositivos é o Tubo de Bourdon conectado a um transformadorlinear diferencial variável. O núcleo do transformador é conectado a extremidadelivre do tubo de Bourdon.

� Assim a deformação neste tubo, provocada pela pressão move a bobina e entãoobtém-se uma tensão entre os terminais de saída do transformador.



Transdutor de pressão que combina um transformador linear diferencial variável com um tubo de Bourdon

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� A relação entre a tensão de saída e a pressão é linear e os valores da tensão podemser armazenados num oscilógrafo ou digitalizado para armazenamento eprocessamento em um computador.

� DESVANTAGENSDESVANTAGENSDESVANTAGENSDESVANTAGENS::::

� Desvantagem do transdutor de pressão que utiliza o tubo de Bourdon como sensorelástico é que a sua utilização está limitada as aplicações onde a pressão é estávelou que não apresente variações bruscas ao longo do tempo, devido ao fato de que ainércia é relativamente grande no tubo de Bourdon.


TRANSDUTORTRANSDUTORTRANSDUTORTRANSDUTOR DEDEDEDE PRESSÃOPRESSÃOPRESSÃOPRESSÃO QUEQUEQUEQUE UTILIZAUTILIZAUTILIZAUTILIZA UMUMUMUM DIAFRAGMADIAFRAGMADIAFRAGMADIAFRAGMA FINOFINOFINOFINO EEEE ELÁSTICOELÁSTICOELÁSTICOELÁSTICO COMOCOMOCOMOCOMOELEMENTOELEMENTOELEMENTOELEMENTO SENSORSENSORSENSORSENSOR

� FuncionamentoFuncionamentoFuncionamentoFuncionamento::::

� Quando a pressão varia, o diafragma deflete e esta deflexão é convertida num sinalelétrico.

� Um modo de realizar esta conversão é instalar um extensômetro na superfície dodiafragma que não está em contato com o fluido ou elemento solidário aodiafragma.

� Os tradutores muito sensíveis são utilizados para medir com boa precisão, pressõespequenas ou grandes , e tanto pressões estáticas quanto variáveis.


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(a)(a)(a)(a) Dois tipos de transdutores de pressão com extensômetro (Spectramed P10EZ EP23XL) utilizado para medir pressões fisiológicas. Os domos de plástico sãopreenchidos com um fluido conectados a o vasos sanguíneos através de umaagulha ou catéter.


(b)(b)(b)(b) Diafragma do transdutor P23XL com domo removido. A deflexão do diafragma,provocada pelo diferencial de pressão, é medida com um extensômetro conectadoao eixo de silício.


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� EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO:::: utilizado para medir pressões sanguíneas arteriais, que são pequenas evariam periodicamente com uma frequência próxima a 1 HZ), o transdutor énormalmente conectado a artéria por meio de um tubo de diâmetro pequeno(cateter) e que está preenchido com um líquido fisiológico.

� Os transdutores com extensômetros podem ser projetados para apresentarem boaresposta em frequência de até 10 kHZ, mas o seu comportamento deteriora nasfrequências mais altas porque o diafragma precisa ser mais rígidos para alcançaruma resposta em frequência mais alta.

� Uma alternativa para medir pressão em frequências mais altas é utilizar um cristalpiezoelétricopiezoelétricopiezoelétricopiezoelétrico como elemento elástico e sensor, porque quando aplicamos umapressão num cristal piezoelétricopiezoelétricopiezoelétricopiezoelétrico, este deforma-se e como resultado, uma tensãoelétrica, diretamente relacionada com a pressão aplicada é desenvolvida.


� Pode ser utilizado para medir tanto pressões muito altas (até 6900 bar) quantobaixa e também nos casos onde as taxas de variação da pressão é alta.

1 bar = 101 bar = 101 bar = 101 bar = 105555 PaPaPaPa


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EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE

� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....29292929 –––– pagpagpagpag.... 76767676 - O pistão mostrado na Figura abaixo apresenta pesodesprezível e área de seção transversal igual a 0,28 m2. O pistão está em contatocom óleo (SG=0,90) e o cilindro esta conectado a um tanque pressurizado, quearmazena ar, óleo e água. Observe que a Força P atua sobre o pistão para que hajaequilíbrio. (a) Calcule o valor de P. (b) determine a pressão no fundo do tanque emmetro de coluna d’água. Sendo ρH2O = 1000 kg/m3 e γ H2O = 9810 N/m3.


� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....5555 –––– pagpagpagpag.... 73737373 – Os manômetro do tipo Bourdon são muito utilizados nasmedições de pressão. O manômetro conectado ao tanque mostrado na Figuraabaixo indica que a pressão é igual a 34,5 kPa. Determine a pressão absoluta no arcontido no tanque sabendo que a pressão atmosférica local é igual a 101,3 kPa.Sendo γH2O = 9980 N/m3.

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EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....26262626 –––– págpágpágpág.... 75757575 – Considerando o arranjo mostrado na Figura abaixo.

Sabendo que a diferença entre as pressões em B e A é igual a 20 kPa, determine opeso específico do fluido manométrico. Sendo γ H2O = 9980 N/m3 , ρH2O = 998 N/m3

e g = 10 m/s2.


� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....45454545 –––– pagpagpagpag.... 79797979– Determine a nova leitura diferencial no manômetro demercúrio mostrado na figura abaixo se a pressão no tubo A for diminuída de 10 kPae a pressão no tubo B permanecer constante. O fluido contido no tubo A apresentadensidade igual a 0,9 e o contido no tubo B é água. Sendo γ H2O = 9980 N/m3 .

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� Quando pA diminui a coluna da esquerda move uma distância, a, para cima, e acoluna da direita move a mesma distância, a, para baixo, como mostra a figuraabaiixo.

EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 2222....43434343 –––– pagpagpagpag.... 78787878 ---- Determine a relação entre as áreas A1/A2 das pernas

do manômetros mostrado na Figura abaixo se uma mudança na pressão no tubo Bde 3,5 kPa provoca uma alteração de 25,4 mm no nível do mercúrio na perna direitado manômetro. A pressão no tubo A é constante.1111

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MECÂNICA DOS FLUIDOS - Capitulo 02 - 1a Parte