UNIVERSIDADE TUIUTi DO PARANA

FACULDADE DE CIENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

POS-GRADUAQAO EM EDUCAQAO MATEMATICA

RAZAOAuREA

Monografia apresentada como requisitoparcial il obten,il.o do titulo de Especialistaem Educa,il.o Matematica, Curso de P6s-Graduayao em Educayao Matematica,Universidade Tuiuti do Parana.

Orientador: Prof. Ms. CARLOS PETRONZELLI

CURITIBA

2004

SUMARIO

L1STA DE ILUSTRAC;:OES

RESUMO

1. INTRODUc;:AO... . pag.l

2. UMA PROPOR<;:AO DIVINA pag.2

2.1 COMO DIVIDIR UMA RETA NA SEcyAo AUREA. ...pag.6

22 OS CINCO SOLIDOS PLATONICOS pag.7

2.3 ANALISE DA BELEZA .. ..pag.9

3. A ARTE E RETANGULO AUREO .. .. pag.ll

3.1 QUADRADOS SOMATORIOS pag.14

4. A BELEZA DA MATEMATICA

5. LEONARDO DA VINCI .

5.1 MONA LISA ..

6. FIBONACCI E A NATUREZA

............... pag.16

.. pag.19

...pag.20

....................................... pag.21

7. CONCLUSAO .

REFERENCIAS .

.. pag.28

.. pag.29

RESUMO

Neste trabalho a objetivo principal, e urn visJumbre sabre a desenvolvimento do ser

humano, comparando-a com a evoluc;:ao daquilo que temos conhecido e utilizado da

matematica. Buscaremos nas mais variadas areas do conhecimento humana encontrar

referencias aDs elementos matematicos aqui abordados. Assim, procuraremos

encontrar a chamada razao aurea DU elementos que dela advem, na pintura, na

arquitetura, em organismos biologicos, etc .. Procuraremos mostrar a estreita rela<;:ao

entre 0 que e agradavel a perceplfao do ser humane e algumas estruturas matematicas

com a objetivo de mostrar que a matematica pode ser vista como agradavel e nao he.

razao para a anguslia que a grande parte de nossos estudantes sentem quando tem

que se dedicar a ela.

Palavras-chave: Razao aurea, Retangulo aurea, Sequencia de Fibonacci.

1. INTRODU9AO

o estudo da matematica e as suas aplica~6es leve inicio no perfodo das

antigas civilizayoes, bern como influenciou e continua influenciando, todos os setores

do conhecimento e atividade humanas, ate 0 presente momento. De tato, esle trabalho

busca mostrar a importancia, a beleza estatica e a aplicabilidade deste campo do

conhecimento matematico evidenciando que durante seculos, a secyao aurea foi sendo

usada por pintores e arquitetos. A prop6sito, ressaltamos que esle padrao matematico

tambem e detectado sob diferentes aspectos na natureza.

Convem salientar, tarn bam que detectamos estas medidas aureas em

diferentes tipos de conchas e mais especificamente no Nautilus I marinho. Como

tarn bam observamos estas medidas aureas em diferentes tipos de pinhas, na tlor do

girassol e em muitos outros representantes da natureza.

2. UMA PROPOR9AO DIVINA

Se fizermos uma fapida viagem atraves dos tempos, quando S8 come'tou a

explorar a natureza e S8 fez necessaria enlende-Ia e que 0 homem iniciou um longo

processo com 0 intuito de exercer 0 seu dominic sabre a natureza. 5e espreitarmos

nossos distantes antepassados vivendo ainda em cavernas veremos que eles fcram S8

dando conla da necessidade de registrar 0 numero de animals observados, ou abatidos

e par intermedio de riscos feitos nas paredes destas cavernas fato esse, facilmente

comprovado nos mais diversos sftios arqueologicos inclusive os do Brasil.

A proposito, viajando pelo tempo, alguns milenios alras, come9amos a nos

organizar e chegamos entao as primeiras sociedades nas quais ja existiam algumas

leis a serem obedecidas, estamos na velha Babilonia onde, devido a devo<:ao aos

fen6menos celestes foram, antes dos gregos, os que mais se aproximaram dessa

ci€mcia. Como tambem podemos nos direcionar as terras do nosso misterioso e

fantastico Egito - 0 perfodo dos faraos, tidos como divindades, neste periodo

detectamos inumeras regras mate mati cas que possibilitaram a resoluvc3.o de muitos

problemas aritmeticos e algabricos grande parte deles associ ados a constru<:ao das

piramides.

As circunstancias nos remetem tambam as terras da maravilhosa Gracia e

dela retiraremos os fundamentos deste trabalho. A palavra matematica inclusive

originou-se do grego "mat he mat ike" e do latim "matematica", cujo senti do geral e a

ciencia que se ensina. Durante a inlcio da idade media, ocorreu a paralisa<:ao da

matematica teerica. Mais tarde, os arabes adotaram 0 sistema de numera98.0 escrita

dos hindus e utilizaram, tarnbam, na trigonometria 0 seno e tangente. Com 0 surgimento

da renascenva, novas metodologias apareceram e acentuou-se 0 papel da matematica

no pensamento da civiliza9ao contemporanea.

Podemos, entao agora pensar a matematica como sendo 0 conjunto de

disciplinas legicas que tratam das rela90es existentes entre grandezas e opera90es,

reune metodos pelos quais essas relavoes sao deduHveis de outras conhecidas au

j Vcr p.27 (Mollogr;lfia)

supostas. E, em suma, a ciencia das relaC{oes de grandeza, de ordem, de fonna, de

espayo e continuidade.

A razao (ou divisao) aurea, tambam denominada de numero de Duro a urn

numero irracional, misterioso e enigmatica que detectamos numa infinidade de

elementos da natureza, sendo considerado par muitos como uma oferta especial de

Deus a humanidade. Certamente, ela representa a harmonia e beleza eslatica da

matematica. Alias, no ensino da matematica esta busca do prazer estatica passa pela

confrontayao com outras referencias de beleza, passa tambam pela necessaria

instrumentayao matematica e apreciayao dos resultados obtidos. A matematica dita

pura e uma linguagem e deve ser vista como uma forma de poesia e quando aplicada

deve ser vista como prosa, e a habilidade ao emprega-Ia quando S8 busca resolver

problemas gera satisfa9ao.

Existem obstaculos nesla busca, tais como: a necessidade de

concentrayao mental por longos perfodos; os desapontamentos e as fruslrayoes, a

solidao (pois poucos apreciarao ou entenderao esle esfor90); finalmente, os resultados

podem ser poucos se comparados aos esforyos. Hci que se ter queda pela 16gica

matematica, mas ao final 0 estudo serio pod en} haver especulayoes filos6ficas e a

apreciayao esletica, criando fascfnio pelo seu desenvalvimento.

Para Pitageras, per exemplo, a explicayao da ordem e da harmonia iria ser

encontrada na ciencia dos numeros.

A historia deste enigmatico numero perde-se na antiguidade. No Egito as

piramides da planieie de Gize foram construfdas levanda-se em conla a razao au rea : a

razao entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande piramide e

igual aa numera de auro. 0 papiro de Rhind refere-se a uma razao sagrada que se ere

seja 0 numero de ouro. Os pitagoricas usaram tambem a secC{8.o de ouro na eonstruyao

da estrela pentagonal; nao conseguiram exprimir como quociente entre dais inteiros, a

razao entre 0 lado do pentagono regular estrelado (pentaculo) e 0 lado do pentagono

regular inscritos numa circunferencia. Espantados, po is esle resullado era contra a

logiea que eonheeiam e defendiam chamararn-no de irracional. Foi 0 primeiro numero

irracional que se teve consciencia de que 0 era. Este numero era a numero au secc;:ao

de ouro, embora esta denominayao 56 Ihe ser atribuida uns dais mil anos depois.

Posteriormente, os gre90s consideraram que 0 retangulo cujos lados

apresentavam esta rela't8o, apresenta uma especial harmonia estetica que Ihe

chamaram de retimgulo aureo, por sinal a designa,ao adaptada para este n"mero, $

(phi) e a inicial de Fidias 0 arquiteto do Partenom, em Atenas. Endoxus urn matematico

grego que se tornou conhecido devido a sua teo ria das proporc;:oes e ao metodo de

exaustao, criou uma serie de teoremas gerais de geometria e aplicou 0 metodo da

analise para estudar a secC;:80 que se acredita ser a sec\=ao aurea.

Uma contribui\=80 preciosa foi~nos dada par Leonardo de Pisa ou Fibonacci;

no fim da idade media havia duas escolas matematicas: uma influenciada pela igreja e

voltada para os assuntos teol6gicos e com um ambito mais teerico. A outra com uma

finalidade mais pratica e objetiva, a escola do comercio e dos mercadores a qual

pertencia Fibonacci. A sua contribuiy80 para 0 numero de ouro esta relacionada com a

soluc;:ao do problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, problema este que

abordaremos mais adiante, na sequemcia de numeros de Fibonacci. Outro mate matico

que contribuiu para 0 estudo e divulgac;:ao do numero de ouro foi Luca Pacioli, que

publicou em 1509 uma edi,ao que teve pouco sucesso, um trabalho com 0 titulo de

Divina Proportione sabre polfgonos regulares, solidos e a razao de ouro. Leonardo Da

Vinci, nao pode neste momenta deixar de ser citado po is a excelencia dos seus

desenhos revela os seus conhecimentos matematicos bem como a utilizac;:ao da razao

aurea como garantia de uma perieic;:ao, beleza e harmonia unicas. Da Vinci afirmava

que a arte deveria se manifestar por ela propria num movimento continuo expressando

a beleza.

a problema de se determinar a divisao aurea, esta resolvida em Euclides II,

11. Este tem sido, um ponto de interesse para os matematicos, durante mais de vinte

seculos.

Vejamos 0 processo de construc;:8.o geometrica: tomemos uma linha AB de

comprimento I, dividida em dois segmentos pelo ponto C (Fig.01). Tomemos a e b como

comprimento dos segmentos AC e CB, respectivamente. Se C e um ponto tal que ba

assim como ab, C e a "sec9ao aurea u ou divisao aurea de AB.

Fig. 1 - Divisao Aurea.

A razao b/a ou alb, e chamada razao aurea. Na terminologia dos

mate maticos antigos, AS esla dividida em C em "extrema e media raz6es" . Parsee nao

haver duvida de que os escultores gregos incorporaram esla razao em suas obras.

Ffdias 0 escultor grego, USDu-a em suas obras como S9 pode ver por, exemplo nas

propon;6es do Partenom. Sugeriu-se entao no inicio do secula XX, que a letra grega $,

inicial do nome de Ffdias fosse adotada para designar a razao aurea.

Se na Fig.1, prolongarmos SA ate 0, onde AD = a, serao validas as

rela90es a seguir:

BO/BA ~ BNAO, de modo que A e a divisao au rea de BO, 0 valor

numerico pode ser calculado.

Na Fig. 1, tomemos AC ~ x, CB ~ 1, desta forma temos que AC/CB ~ x ~

~, portanto AB/AC ~ AC/CB => (X+ 1)/x ~ x/1 , isto e, x2 -x-1 ~ o.A solu<;ao positiva desta equa<;ao e x~ (1+.)5) / 2~ 1,61803, 0 valor de ~ ate cinco casas

decimais. Chamaremos a soluyao positiva de $ e a soluyao negativa de $'.

Se, ao inves de CB ~ 1, tomarmos AC ~ 1 e CB ~ x', entao

(x+l)/l = l/x', isl0 e:,' + x' -1= 0.

A solU/;ao posiliva desta equa9ao e x' = (-VH)/2 = 0,61803, valor que precedido do

sinal negativQ, chamamos de <jJ'.

Assim, curiosamente, verificar-se-a que </>' e 0 recfproco negativo de $, ista

e, $.$' = -1. Pois:

1/$ = 2/(1 +~5) = (~5 - 1 )/2 = - $'

o <p e 0 unico numero com esta propriedade; e 0 unico nurnero que,

diminuido em uma unidade torna-S8 0 seu proprio recfproco:

$+1 = (11$'), isto e,

Assim, $ e <I>' sao as solu,oes de x'-x-l = $. Tomaremos $ como solu9aO

positiva de (1+~5 )/2 e $' como solu9aO negativa de (1-,5 )/2. Fica evidente que, a partir

daf, assim como tambern fica a partir das propriedades das rafzes da equa9aoquadratica, que:

$+$'= 1 e $,$'=-1

2.1 COMO DIVIDIR UMA RETA NA SEc<;:Ao AUREA

Tomemos AB (Fig. 2) como reta dada, tra9amos BD= AB/2 perpendicular a

AS; unimos AD. Com centro em 0 raio AE, trac;amos urn areo cortando AS em C.

D

Fig.2. Conslru~aogeometrica.

Entao, C e a seCfYao aurea de AB, AC/CB e a raz30 aurea.

2.2 OS CINCO SOUDOS PLATONICOS

Os cinco s61idos regulares (Fig. 3), foram discutidos per Euclides no livro XIII

dos Elements, mas estao associ ados ao nome de Platao. 0 primeiro aspecto a S8 nolar

'a respeito destes s61idos e que eles sao em numero de cinco. Urn pouco de reflexao

revela que, enquanto S8 pode desenhar urn numero infinite de polfgonos em uma

superiicie plana, nflO e passive I construir mais que cinco poliedros regulares em espac;:o

tridimensional. A supertfcie de urn poliedro regular esla limitada per poligonos

regulares congruentes. as poligonos mais simples que podem campor a supertfcie sao

o triangulo equilatera, 0 quadrado e 0 pentagono. Fica claro que nao podemos formar 0

vertice de um poliedro com menDS de tres faces e que um vertice pode ser formado

com a jun<tao de tres, quatro ou cinco triimgulos equilateros. Com seis desses

triangulos, 0 vertice achata-se em urn plano. 0 mesmo acontecera se unirem-se quatro

quadrados. Mas as hexagonos e os polfgonos com mais de cinco lados estao todos

exclufdos. Este raciocfnio ace rca da limita<tao a cinco s61idos regulares e a fonte da

f6rmula de Euler, V+F=E+2, onde as letras correspond em ao numero de vertices,

faces e ladas, respectivamente. 0 segundo ponto de interesse e que dois pares dos

s61idos platonicos sao reciprocos e a quinto apresenta auto-reciprocidade neste

sentido: se unidos, as centros dos lados dos cubos formam um octaedro, enquanto que

a uniao dos centr6ides das superficies do octaedro forma um cubo. Rela<tao

semelhante verifica-se entre 0 icosaedro e 0 dodecaedro. E a junyao dos quatro

centr6ides dos lad os do tetraedro forma com outro tetraedro. Uma terceira

caracterlstica digna de nota e a relaC;ao dos pares de poliedros reciprocos com a

retangulo aureo.

Icosaedro - as doze vertices do icosaedro regular sao divisfveis em tres grupos

coplanares de quatro. Eles situam-se nos cantos de Ires retangulos aureos que acham-

se colocados simetricamente em relayao urn ao outro, sendo mutua mente

perpendiculares e tendo como ponto comum 0 centr6ide do icosaedro.

Octaedro - pode-se inscrever um icosaedro em um octaedro de modo que cada vertice

do primeiro divida um lado do segundo na seC;ao aurea.

Dodecaedro - os centr6ides dos doze lados pentagonais do dodecaedro sao divisfveis

em tres grupos coplanares de quatro. Esses quadrangulos situam-se nos cantos de tres

retangulos Bureos colocados simetricos e mutuamente perpendiculares, tendo como

ponto comum 0 centroide do dodecaedro.

~~

~\t7lcrnAFtl}l.O

(X:"ll\l:ORO

Fig. 3 - Solidos plalonicos

2.3 ANALISE DA BELEZA

Consideremos uma sequencia de inteiros form ados de acordo com a regra a

seguir:

Uno' + Un:;; Un+1 ,

Esta sequencia e:

1,3,4,7, 11, 18... on de U,==1 e U2=3 e assim por diante, ela e conhecida como

sequencia de Lucas.

A partir daf obteremos:

U3,JU,,=5781196/3570847 (a)

Tomemos ao acaso qualquer outra sequencia formada de acordo com a mesma regra:

-3,4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, ..

A partirdai,

Uz,lU" = 160996/99501 (b)

A primeira razao (a) e 1,618.. mas a Segunda (b), que deriva de um par inicial

escolhido ao acaso, tambem e 1,618.. De fato, para todo os valores de n

suficientemente grandes, qualquer sequencia formada de acordo com a regra dada

produz as mesmos resultados ate a terceira casa decimal:

Un+,/Un = 1,618.

Fibonacci

Na sequencia de Fibonacci, assim chamada par Edward Lucas em 1877 :

0,1,1,2,3,5,8,13,21 ..

as resultados de Un+,/Un se aproximam cada vez mais da razao aurea a medida que

usamos elementos mais avanctados da sequencia. Estudaremos a sequencia de

Fibonacci, de forma detalhada, mais adiante.

10

3. A ARTE E 0 RETANGULO AUREO

o retangulo cujos lados estao em proporqao aurea e chamado de retangulo

aurea. Ele e reconhecido como forma visualmente mais equilibrada e harmoniosa. Seu

formate pareee exercer atra<;oes esteticas superiores as de Quiros retangulos. 0

numero de curo traduz a propontao geometrica mais conhecida e usada na pintura,

eSGultura e arquitetura classicas, renascentistas e pos-modernistas que S8 baseiam no

seguinte principio: "secionar urn segmento de reta de tal forma que a parte menor

esteja para a maior como esle esla para 0 todo", 0 retangulo de auro esta presente em

multiplos lacaist desenhando-se urn retitngulo a volta da face resulla urn retangulo de

auro, dividindo-se esle retangulo por uma linha que passe nos olhos, 0 novo retangulo

obtido e tambem de oura. Parece nao haver duvidas de que os arquitetos gregos

ulilizavam·se desse formato em seus projetos. Pode-se ver um exemplo na

represenla(fao do Partenom.

Na busca do discernimento que pode desvendar a beleza latente

matematica elementar, mas dentra dos limites dos t6picos relacionados a divisao aurea,

encontraremos exemplos que confirmarao a rela(fao entre a matematica e a estatica.

Consideraremos certas figuras geometricas simples, tais como 0 retangulo

au reo como na Fig. 4 . Subtraindo-se dele urn quadrado, sabra um residua que e outro

retangulo aureo, e que este processo pode ser repetido indefinidamente ate que .:::e

chegue a um "ponto retangular". Esle exemplo facil de entender sugere que resulta,

inesperados, combinadas com 0 prazer de descobrir algo ate entao desconhecidL

constitui parte do fascfnio da matematica. Vejamos como construir a retangulo au reo,

figura esteticamente agradavel e de ape 1oclaro e simples ao gosto matematico.

II

I',,,i,,\

,,\,

1I l. ..

Fig.4 . Construc;:ao do retangulo aureo

A construr;ao do retangulo aureo e uma questao simples. 0 ponto E e d

bissetriz do lado AB do quadrado ABCD. Com 0 centro em E e raio EC. desenhe um

arco de circulo que corte AB prolongado ate F. Desenhe FG perpendicular AF

encontrando DC prolongado ate G. AFGD e entao 0 retangulo aureo.

A prova e igualmente simples.

Tomemos AS = 2 unidades de comprimento .

Entao EC = EF = €unidades. AF/FG = (AE+EF)/FG = (1+{5)/2. AF esta divido par B e

as vazes chamado de "corte au reo". Ele esta associ ado a ideia da "media proporciona!'"

AB e a media proporcional de AF e BF:

AB = t,E .BF AB

isto e AB' = AF.BF

12

A razao que fascinava os gregos era a razao aurea, as proporc,;:oes do

Partenorn (Fig. 5 ), prestam testemunho da influencia que 0 retangulo aureo exerceu

sabre a arquitetura grega. Os sabias supersticiasas da idade media, hom ens da estirpe

dos alquirnistas e astrolagas, eram fascinados por ela. Kepler a chamava de "divina

propor,ii.o".

Fig. 5 - 0 Partenom, em Atenas, construfdo no seculo V a.C., uma das eslruturas mais famosas do

mundo . Quando seu frontao Iriangular ainda estava intacto, suas dimensoes podiam ser encaixadas

quase exalamente em um relangulo aureo, conforrne se ve acima. Ele represenla, portando oulro

exemplo do valor estelico desse formato especffico.

Gustav Fechner iniciou a primeira pesquisa seria sobre 0 fato de 0 retangulo

au reo possuir efeito estetico especial, Fechner fez, literalmente, milhares de

mensurac.;:oes da razaa de retangulos vistos rotineiramente: cartas de baralho, jane Ias,

blocos de papel, capas de livros, testou as preferencias pessoais e finalmente

determinou que a rnaioria absaluta das pessoas prefere urn certa retangula cuja.

proporc,;:oesestaa entre as do aurea.

o interessante e que 0 formata do retangulo preferido aproxima~se bastante

de um farmato que revela~se economicamente uti I. Um comite alemao para a

padronizac,;:ao, ao padronizar as formatos e tamanhos de folhas de papel para a

impressaa, datilografia e manuscrito, abjetivava a econornia de papel. Ele rninirnizou 0

desperdfcio no corte do papel a tamanhos menores, atraves da divisao contfnua em

duas partes iguais, escolhendo urn formato original que perrnanecesse semelhante

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apos a bisse'tao. Uma folha para datilografia, por exemplo, quando dividida em duas

partes iguais, resultaria em folhas geometricamente similares proprias para cartas

pessoais. Somente uma forma retangular obtem este resultado. Se 0 comprimento e a

largura desse papel de tamanho padronizado sao as unidades x e y, entao, depois de

uma dobra;

x:y = y/2:x, islo e, y = xE ou y=1,4x

Assim, esse retangulo e ao mesmo tempo util, econ6mico e agradavel, pois nao difere

seriamente em formato do retangulo au reo, que a familiar para 0 olho do artista.

3.1 QUAD RADOS SOMATORIOS

Pode-se obter 0 retangulo aureo de maneira aproximada at raves de outrv

metodo intuitivo. Do mesmo modo que se poderiam obter aproxima'toes cada vez mais

exatas da razao aurea a partir de qualquer serie somatoria (das quais Fibonacci e um

exemplo) come'tando-se com dois termos quaisquer arbitrariamente escolhidos , de

uma sarie somatoria de quadrados resultam aproxima'toes cad a vez mais exatas do

retangulo aurea. Em cada casa, quanta mais longa a sarie, mais exata a aproxima'-';:;""

da divisao e do triangulo aureo ,respectivamente, independentemente da magnlll

dos dais termos iniciais. Iniciemos a sarie com os dois quadrados escolhidc\

arbitrariamente (Fig. 06); somamos entao, sucessivamente, os quadrados dos numerc.

3,4,5,6,7 ... e obtemos a aproxima<;ao do retangulo aureo apresentado. Nesta figura, a

razao dos lados a 47/29 = 1,620 .. Mas se continuarmos 0 processo ate 0 quadrado

numere 13, a razao sera 521/322 = 1,6180 ..

14

Fig. 6 - Quadrados somat6rios

15

4. A BELEZA DA MATEMATICA

Hi!. urn 905to cientffico do mesmo modo que ha urn 90510 litera rio e artistico, 0

prazer que deriva da atividade mental que 0 estudo da matematica gera pode significar

a sensac;8.o estatica evocada, par exemplo, per um teorema matematico que par causa

desta sensac;ao, e considerado urn objeto de beleza. Afinal como caloeDu G. H. Hardy.

" pode ser diffcil definir a beleza matematica, mas pode-s8 dizer 0 mesma da beleza de

qualquer tipo."· ( HARDY,1983,p.24).

Geralmente aceita-se a ideia de que na maternatica, uma associac;ao Intima

entre a verdade e a beleza. De fato, ha aqueles que identificariam uma como a Dutra,

como Keats em sua "Ode sabre um tumulo grego":

" A beleza e a verdade, a verdade e a beleza, e e tudo

que sabes de fato, e tudo que precisas saber'. ( KEATS, apud

HUNTLEY,H. E.,1985,p.42)

E hi!. 0 ponto de vista muito popular de que em matematica, nunca sabemos

sobre 0 que estamos falando, nem se 0 que estamos dizendo a verdade.

Como na apreciacrao da musica, 0 prazer do exercicio matematica provam

das camadas profundas da psique humana ao se terem desenvolvido nos primordios da

evoluc;ao e permanecem sepultadas sob os extratos mentais do desenvolvimento

posterior. A opiniao aceita de que ha uma ligac;ao definitiva entre a apreciac;ao musical

e gosto pela matematica, baseia-se nao apenas na observac;ao de que muitos

matematicos talentosos apreciaram ardentemente a musica, mas tam bam na

semelhanc;a entre a estrutura profunda da forma musical e a das idaias matematicas.

Possivelmente existam ata rna is pessoas realmente interessadas el"'.

matematica do que em musica. Talvez muita gente aprecie a musica porque percell'"'

intuitivamente sua base matematica. Assim como 0 inconsciente pode manifestar-se na

musica e na matematica. Nao a posslvel na a musica e ate mesmo na matematica,

assumir qualquer forma arbitraria que tenha de ser inteligfvel para a mente. Uma

sucessao de notas faz tao pouco sentido quanto uma sarie aleat6ria de sfmbolos

matematicos. Nao ha linguagem do inconsciente mais expressiva que a musica, mas a

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sintaxe e a gramatica desta linguagem nao sao caprichosas De fato esta linguag?m editada, em suas linhas mais gerais, pela constitui<;ao e organiza<;ao dos ni•.••eis

profundos da mente em sua estrutura atual no homo sapiens. A lingua [...] e a parte da

linguagem, exterior ao individuo, que por si s6, nao pode nem cria-Ia nem modifica-Ia;

ela nao existe senao em virtude duma especie de contrato estabelecida entre os

membros de uma comunidade. Por outro lado, 0 individuo tern necessidade de uma

aprendizagem para conhecer-Ihe 0 funcionamento; somente pouco a pouco a crianc;a a

assimila [...] (SAUSSURE, apud MESQUITA, 1999 p.16). 0 mesmo oeorre eom a

matemalica, enquanto sabemos algo do ambiente ffsieo do homem pre-hist6rico e

podemos especular ace rca das tens6es mentais que no decorrer de longos perfodos de

tempo, desenvolveram uma mentalidade definida e que encontra satisfac;ao em certas

linguagens matematicas e nao as que deteeta em outras linguagens. Pareee, de fato,

que as formas de musica e as formas de matematica que atraem nossas mentes sao

controladas por uma estrutura mental que e produto das necessidades humanas.

Quanto a linguagem matematiea, freqlientemente nos eneontramos com as seguintes

ideias a respeito: a pessoa que compreende e manipula a simbologia matematica

normal mente e eonsiderada genio, formula e simbolos sao tidos como coisas

complicadas, dificeis e indecifraveis. Convem lembrar que islo nao ocorre somente com

a matematica. Uma partitura musical, por exemplo, pode parecer desta forma para

quem nao a eonhece. Qualquer que seja 0 objeto de estudo, se forem definidos os

elementos descritivos anteriores, que possibilitem a comunicac;ao, e possivel

estabelecer uma comunicac;ao eficiente. A matematica e uma area do saber com uma

"gramatica" propria com registros orais e escritos e como qualquer tipo de linguagel""'

apresenta diversos niveis de elaborac;ao de acordo com os interlocutores; a lingu~,

matematica usada por mate maticos mais experientes e de alto nfvel e certamente m"'.I....

eXigente do que a utilizada em sala de aula. 0 uso excessivo de simbolos pode gerar

dificuldades desnecessarias aos alunos 0 que e oposto ao objetivo da linguagem

matematica que foi criada para facilitar a comunica9ao do conhecimento entre as

pessoas.

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A fonte maxima de sensibilidade estetica as varias manifesta95es de beleza

na matematica deve ser buscada no inconsciente coletivo, grac;as ao qual 0 homem

legatario de todas as eras. Os processos menta is evocados nos homens por seu

ambiente estao soJidamente plantados. As experiencias de todas as gerac;oes de

ancestrais repetidas milh6es de vezes e registradas como estruturas de memoria no

cerebro, sao gravadas cad a vez mais protundamente a medida que sao transmitidas de

gera9ao para gera9ao. A mente de um recem-nascido antes mesmo de desenvolver urn

censciente ja esta dotada destas estruturas de mem6ria heredilaria. Per exemple, uma

das primeiras atividades mentais a impele a procurar 0 seio da mae.

E nas experiencias ernocionalrnente carregadas de milhares de gerac;oes

de nossos ancestrais que devemos procurar as tontes do prazer estetico, seja na arte,

na poesia, na musica, na malematica e em outras formas de arte.

A beleza da matematica e encontrada em padroes. A apreciac;ao dos

padroes e mais antiga do que por exemplo a dan,a, Hardyescreveu:

"0 mate matico como 0 pintor ou 0 poeta, e um fabricante de pad roes. Se os seu

pad roes sao mais permanentes que os deles, e sao feites de ideias ... as pad roes do

matematicos, como os do pintor ou os do poeta, devem ser beles; as ideias como as

cores ou as palavras, devem combinar de modo harmonioso ..." (HARDY,1983,p27).

Anteriormente aludimos 0 fato de que a pr6pria natureza esla familiarizada

com a razao au rea e com sua quase parente sequencia de Fibonacci. Alguns exemplos

podem ser citados: as conchas dos moluscos, as flores das famflias das compostas

como 0 girassol e a filotaxia. Assim a estrutura da malematica pode ser detectada na

natureza e pode ser invocada em nome da beleza.

E irnportante ter em mente que a beleza superficial da natureza nao faz rna!

que sugerir 0 encanto oculto por dentro. A matematica nao esta 'a tlor da pele, ela ter.

de ser descoberta. 0 que significa muito trabalho, os poetas em sua maioria, nao

con segue levar isto em conta 0 que na verdade e urn equivoco. Ninguem teve maier

habilidade que 0 poeta ingles Wordsworth para comunicar cenas e sons da natureza a

pr6pria emo9ao pela palavra escrita. A esse proposito, Wordsworth acentua:

18

" Meu cora<;ao pula quando contemplo

No eeu urn areo-iris ..." (WORDSWORTH,apud HUNTLEY,H.E.,1985, p.48)

Para aqueles que tem cultura cientftica, um escritor inspirado poderia

esc rever ate mesmo um livro sobre os mecanismos que produzem 0 arco~fris. Sabre as

que nao contam com uma cultura cientifica, entretanto, as regras simples da reflexao da

luz e da difracrao, as leis de Snell aplicadas aos pingos de chuva em queda, a geometria

bela de sua forma esferica e outros t6picos relativos ao arco-iris, nao exercem apelo

algum. Mesmo para 0 matemcltico com dotes mais modestos existem belezas na

matematica cuja contempla<;ao pod em leva~lo a sensacrao de que ele esta tendo as

ideias de Deus depois d'Ele. Neste contexto, verificamos que Newton estava atento

para exemplos da beleza natural, quando notamos a petiei<;ao do formato circular do

halo da lua ou a forma da parabola formada por um jato d'agua, a cicl6ide descrita por

um ponto de uma roda, au ainda muitas outras curvas que ocorrem naturalmente,

encontramos a satisfayao que 0 proprio Newton deve ter encontrado nestas formatos

curvilineos tamiliares.

5. LEONARDO DA VINCI

A excel€mcia dos seus desenhos revela 0 conhecimento matematico ber

como a utilizayao da razao aurea como garantia de petieic;ao, beleza e harmonia.

E lembrado como matematico, apesar de sua mente irrequieta nao se

concentrar na aritmetica, algebra ou geometria 0 tempo suficiente para tazer uma

contribuic;ao significativa. Foi um genio de pensamento original que usou seus

conhecimentos mate maticos, especificamente 0 numero de ouro. Nas suas obras de

arte. Vejamos um de seus quadros mais celebres. (Fig. 7)

19

5.1 MONA LISA

"... 0 sentido da beleza das proporyoes perfeitas nurn roslo angelical e bern

maior, pois estas propor(foes S8 produzem em sintonia harmoniosa, tocando a vista

assirn como urn acorde toca 0 ouvido." ( DA VINCI,apud HUNTLEY,H.E., 1985,p.75)

Assim, Leonardo da Vinci referencia sua obra Mona Lisa.

o retangulo de DUro esta presente em varios locals nesta obra

Desenhando-se urn retangulo it volta da face a retangulo resultante e urn

retangulo de ouro.

Dividindo-se este par uma linha que passe nos olhos. 0 novo retangulo

obtido tambem e 0 de DUro.

Alern do que, 0 proprio quadro e urn retangulo aureo.

Fig. 7- Mona Lisa

20

6. FIBONACCI E A NATUREZA

o problema da fun9ao da beleza no cotidiano do homem Ii dificil, mas, se

pergunta 0 que ele realiza, parte da resposta e que ela serve de chamariz para induzir a

mente a entrar em atividade criadora. A beleza e uma isca. Este ponto de vista pareee

implicar a exist en cia de uma beleza "absoluta", pareee exigir que as especimes belos

sejam anteriores a sua percepcrao palos homens , embora a beleza, em seu sent:

subjetivD, passe a existir somente no momento de sua apreciacrao. 0 que contradiz UITlGl.

opiniao amplamente aceita par exemplo, par Morris Kline, que escreve, a respeito da

beleza da matematica:

" A matematica pareceria ser a criacrao de mentes humanas faliveis e nao

corpo de conhecimento de exist€mcia permanente e elema. 0 assunto pareee depender

demais de um criador'(KLlNE, 1962,p.671).

Kline cita A. N . Whitehead para sustentar este ponto de vista ."F

declarar que a ciemcia da pura matematica e a criacrao mais original do e__•

humano".

E diHcil conciliar esla opiniao com a de Sir James Jeans, que pareee ter

afirmado que a matematica e, na verdade, " urn corpo de conhecimento de existencia

eterna" quando proferiu seu conhecimento aforismo de que "Deus e urn matematico".

Encontramos exemplos da ocorrencia da sequencia de Fibonacci em rnuitas

situa90es e elas ja eram fato a milhares de an as antes de Fibonacci nascer, nenhum

matematico as criou, alguem as descobriu e as representou com sfmbolos mate maticos,

uma vez mais "tendo as ideias de Deus depois dele".

Em 1202, Leonardo de Pisa (Fibonacci, isla e, filho de Bonacci) maternatica

e comerciante da idade media, escreveu um livro sabre a abaco, denominado Lire~

Abacci, livro este que chegou a nos grayas a sua Segunda ediyao datada de 122(...

Este livro contem uma grande quantidade de assuntos relacionados com a aritmetica e

algebra da epoca e realizou um papel importante no desenvolvimento mate matico na

Europa nos seculos seguintes pais foi at raves deste livro que as europe us vieram a

conhecer os algarismos hindus, tambem denominados arabicos. A teoria contida nesta

"

obra e ilustrada com muitos problemas, urn deles e a problema dos pares de coelhos.

Quantos pares de coelhos pod em ser gerados de urn par de coelhos em urn ano? Urn

homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos

saber quantos pares de coelhos podern ser gerados deste par em urn ano, se de um

modo natural a cada mes ocorre a produ~ao de um par e um par corne~a a produzir

coelhos quando completa dois meses de vida.

Soluc;ao:

Como 0 par adulto produz um novo par a cada 30 dias, no infcio do segundo

rnes existirao dois pares de coelhos, sendo urn par de adultos e outros e outro de

coelhos jovens, assim no infcio do mes n01 existirao 2 pares: 1 par adulto + 1 par recem

nascido.

No infcio do terceiro mes 0 par adulto tera produzido novamente mais um

par, enquanto que a par jovem tera completado 1 mes de vida e ainda nao estara apt('l

a produzir, assim no infcio do terceiro mes existirao tres pares de coelhos, sendo: 1 par

adulto + 1par com um mes de idade + 1 par recem nascido.

No infcio do quarto mes existirao dois pares adultos sendo que cada urn ja

produziu um novo par e um par novo que completou 1 rnes, logo teremos 5 pares: 2

pares adultos + 1 par com 1 mes + 2 pares recem nascidos.

No infcio do quinto mes, existirao tres pares adultos sendo que cada um ja

produziu urn novo par e dois pares novas que completaram 1 mes de vida, assim

teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares com 1 mes + 3 pares de recem nascidos.

No infcio do sexto mes, existirao cinco pares adultos sendo que cada urn ja

produziu um novo par e tres pares novas que completaram 1 mes, assim existirao 13

pares: 5 pares adultos + 3 pares com 1 mes + 5 pares recem nascidos.

Tal processo continua atraves dos diversos meses ate completar urn ano.

Observa-se esta forma~ao na fig. 7, mas tambem pode-se perceber que a sequencia

numerica, conhecida como sequencia de Fibonacci indica a numero de pares ao final

de cada mes:

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, .

Esta sequencia de numeros tern uma caracterfstica muito especial

denominada recursividade:

somando 0 primeiro com 0 segundo obtemos 0 terceiro

somando 0 segundo com 0 terceiro obtemas 0 quarto

somando 0 terceiro com 0 quarto obtemos 0 quinto

e assim par diante ...

Se chamarmos par Un 0 numero de pares de coelhos ao final do mes n,

poderemos escrever :

U, + U2 = U,

U2 + U3 = U4

U3 + U4 = Us

que e uma propriedade recursiva, isla El, que cada termo pode ser obtido em funyau ;;;

termos anteriores. No final do mes 12, 0 numero de pares de coelhos devera ser de

144.

Aplica(foes das sequencia de Fibonacci

Poderfamos relacionar uma grande quantidade de situayoes nas quais esla

sequemcia numerica aparece, relacionamos a seguir alguns exemplos:

comportamento da luz

crescimento de plantas

probabilidade e estatistica

oscila\=ao em bolsa de valores

comportamento de atomos

espirais ..

De que forma ocorre a conexao com a razao de ouro? Na verdade a

sequencia de Fibonacci dada per: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,. e os termos

desta sequencia sao denominados numeros de Fibonacci. Pode-se tomar a defini9ao

desta sequencia para todo n natural, como:

Pelo que se observa, esta sequencia nao e limitada superiormente, mas

existe urn fato excepcional: se tomarmos as raz6es de cada termo pelo seu antecessor,

obteremos uma outra sequencia numerica cujo termo geral e dado por:

fn;::; Un+1 fUn

que e limitada. Quando n tende ao infinito 0 limite e exatamente <p,0 numero de ouro.

Consideremos a sequencia de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) e a divisao de cada

elemento pelo seu antecessor, obtemos a sequencia:

1/1=1; 2/1=2; 3/2=1,5; 5/3=1,666 ... ; 8/5=1,6;

E tacil perceber 0 que ocorre quando colocamos estas raz5es em urn grafico em funyao

dos numeros de Fibonacci:

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Fig. 8 - Grafico dos numeros de Fibonacci

ObselVe que as razoes vao se aproximando de urn valor particular, 0

numera de oura (~)

$ = 1,618033988749895

Notas:

1) - existem muitas outras sequemcias que tern as mesmas propriedades, como por

exemplo a sequimcia de Lucas dada por: 1, 3, 4, 7, 11, 18,29, 47, 76, ..

2) - juntando-se dois quadrados unitarios (Iado I = 1 u.c.), teremos urn retangulo de

comprimento 2 u.c.(soma dos lados dos quadrados anteriores) e altura de1 u.c. De

novo anexamos outro quadrado com lado I = 2 u.C. (0 maior dos lados do retangulo

anterior) e teremos urn retangulo de comprimento 3 u.c. e base 2u.c. Continuando 0

juntar sucessivamente quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos

retangulos obtidos antes percebemos a seqOencia dos lados dos proximos

quadrados e: 3, 5, 8, 13, ... que e a sequencia de Fibonacci. (Fig. 9)

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Fig.9 - Rela9ao do Retangulo Aurea com a sequencia de Fibonacci

3) Com um compasso, trace um quarto de circunferencia no quadrado de ,

I = 13 U.C., trace quartos de circunferencias nos quadrados de lado I = 8, I = 5, I = 3,

1=2, 1= 1,1=1,conforme a Fig.10.

Fig.10 - Arcos de um quarto de circunferencia no retangulo Aureo

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4) Concordando as curvas, obtemos uma espiral semelhante a um caracol (Fig.11).

Fig. 11 - caracol (nautilus marinho)

7. CONCLUSAO

TOdDS os fatas apontados neste trabalho S8 daD conta de urna intima

relalfao entre a matematica, e nosso parecer sabre 0 que e belo sob 0 ponto de vista da

estetica. Ora 0 ser humano sempre buscou algo al9m de sua vida terrena e esla divina

propor9ao parece ser uma resposta para essa busca. 0 que justificaria esta propor9ao

ser tao famasa e lao usada, seja pela natureza, neste mundo, seja pelo ser humane

nas suas expressoes artisticas mais elaboradas? Esta e urna pergunta diHcil de S8

responder, mas e fato que ela existe enos acompanha par toda a nossa historia, nos

acompanha no dia a dia, esta presente nos diversos campos das cienclas, na arte, na

arquitetura e na busca de design de pradutos visualmente atrativos.

Torna-s8 diffcil, no entanto, separar a interminavel procura par relac;oes com

as divindades, iniciadas pelos gregos, com relac;oes matematicas concretas. Em muitas

situac;6es ficamos sem uma resposta clara para perguntas sobre 0 surgimento da razao

aurea. Mas, relacionando-se a razao aurea com estes questionamentos ela torna-se urn

assunto ainda mais interessante, enigmatico e fascinante.

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REFERENCIAS

BOS, H.J.M. Curso de Historia da Matematica ~ Origens e Desenvolvirnento doCalculo. Editora Editora da Universidade de Brasilia, 1985.

EVES, H. Introdu~iio il Historia da Matematica, 2' edi~ao. Campinas-SP: Editora daUnicamp, 1997.

HUNTLEY, HE A Divina Propor~iio - Um Ensaio sobre a Beleza na Matematica,Brasilia: Editora da Universidade de Brasilia, 1985.

HARDY, G.H. A Mathematican s Apology (Cambridge University Press,1983).

KLINE, M. Mathematics Cultural Approach (Addison-Wesley, 1962)

PAC lOll, Luca. La divina proporcion. Buenos Aires: Editorial Losada, 1946.

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