DIONEIA DOBROWOLSKI KOV ALSKI

UMA ABORDAGEM CONTEXTUALIZADA DE PROBABILIDADE

NO ENSINO MEDIO

Monografia apresentada como requisitopara obtenQao de certificado de Especialistano curso de Pas GraduaQ30 em Educacr30Matematica da Universidade Tuiuti doParana.

Orientadora: Prof!. Mestre Maria Eugenia deCarvalho e Silva Sampaio,Co-Orientador:Prof. Rui Alberto EckeTavares.

/ccS '<'J'I<l-~

'~'\.)\ -

CURITIBA

2001

PENSAMENTO

.. quando a escola promove uma condigao

de aprendizado em que ha entusiasmo nos

fazeres e paixao nos desafios, esta

construindo a cidadania em sua pratica"

(PCN,!999).

DEDICATORIA

Dedico esle Irabalho aos meus pais Luis

Dobrowolski e Teresa de Jesus Dobrowolski

como gratidao per nao terem medido

esforqos na minha educaqao.Oferec;o ao meu esposo Iverson e filhas

Karine e Aline Kovalski como prova de

carinho e afeto.

iii

AGRADECIMENTOS

Agradego

A Deus , que permitiu a conclusao desta

obra e a todos as meus professores do

curso de p6s-graduagao em Educagao

Matematica, pais me mostraram uma nova

concepc;;:ao de trabalho, e me orientaram

num conceito mais ample com uma maior

perspectiva para a atualidade.

SUMARIO

LlSTA DE ILUSTRA<;:OES

1 INTRODU<;:Ao ...

1.1 CONSIDERA90ES INICIAIS

1.2 ASPECTOS HISTORICOS

1.3 OBJETIVOS DO TRABALHO .

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO .

2 NO<;:OES DE PROBABILIDADE 04

04

04

21 N090ES INICIAIS .............................•..

2.2 ESPA90 AMOSTRAL .

2.3 EVENTOS ...

2.4 PROBABILIDADE DE UM EVENTO ELEMENTAR 05

2.5 PROBABILIDADE DE UM EVENTO OUALOUER. 06

2.6 PROBABILIDADE DE UM ESPA90 AMOSTRAL EOUIPROVAVEL... 06

2.7 PROBABILIDADE DE NAo OCORRER UM EVENTO.... 07

2.8 EVENTOS INDEPENDENTES .

2.9 PROBABILIDADE DE OCORRER UNIAo DE EVENTOS .

2.10 PROBABILIDADE CONDICIONAL .

2.11 DISTRIBUI9AO BINOMIAL ...

3 APLlCA<;:OES DE PROBABILIDADE NA GENETICA .

3.1 MULTIPLlCA9Ao DE PROBABILIDADE ...

3.2 DISTRIBUI9Ao BINOMIAL. ......................................•....•

3.3 USANDO ANALISE COMBINATORIA ...............................................•

3.4 ACONTECIMENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS ........................•..

3.5 ESPA90 AMOSTRAL EOUIPROvAvEL

vii

01

................ 01

01

03

03

05

08

08

09

09

11

11

14

15

16

17

3.6 GENETICA DE POPULA90ES .

3.7 EVOLU9Ao DAS POPULA90ES .

4 EXPERIMENTOS DE PROBABILIDADE ...

4.1 CROMOSSOMAS NA PRATICA. ..

4.2 LAN9AMENTO DE MOEDAS ...

4.3 URNA COM VOGAIS .

4.4 ATIVIDADES COM DADOS ...

S CONCLUSOES ...

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ..

17

19

21

21

22

22

. 22

24

25

LlSTA DE ILUSTRA<;:OES E TABELAS

FIGURA 1 - POSSIBILIDADES NO LAN<;AMENTO DE UM DADO ...

FIGURA 2 - ESQUEMA DE UM ESPA<;O AMOSTRAL. ...

04

08

FIGURA 3 - DISTRIBUI<;Ao DOS GAMETAS ..................................................•. 11

FIGURA 4 - COMBINA<;Ao ENTRE SOLIDOS GEOMETRICOS ILUSTRANDO

A RECOMBINA<;Ao GENETICA ... 21

12

15

18

TABELA 1 -GENOGRAMA .

TABELA 2 - COMBINA<;OES NO JOGO DE 3 MOEDAS ...

TABELA 3 - RECOMBINA<;Ao GENETICA ...

TABELA 4 - FREQUENCIA DE UMA RECOMBINA<;Ao GENETICA GERA<;Ao

P ... 20

TABELA 5 - FREQUENCIA DE UMA RECOMBINA<;Ao GENETICA GERA<;Ao

F1 ..

TABELA 6 - PONTOS EM ARREMESSO DE DOIS DADOS ...

20

23

vii

INTRODU<;AO

1.1 CONSIDERA<;OES INICIAIS

Busca-S8 hoje, como professores, formas dinamicas e praticas de ensinar

aos alunos as conceitos abstratos da matemalica. Percebe-se que quando 0

aluno pode utilizar estes conceitos no seu dia a dia, a aprendizagem e rna is facil e

interessante.Pensa-se que uma abordagem envolvendo probabilidade neste contexte e

de grande utilidade para alunos e professores.

1.2 ASPECTOS HISTORICOS

Nesta S89ao apresentam-se alguns aspectos hist6ricos do estudo de

probabilidades abordados em BOYER,1974.

Foi no seculo XVII que a teoria das probabilidades adquiriu sua fonma

atual. Tendo como responsaveis tres franceses: 0 cavaleiro de Mere, Blaise

Pascal e Pierre de Fermat. Nem Pascal, nem Fermat escreverarn seus resultados,

par sua vez Huygens em 1657 publicou urn pequeno folheto "De Raliociniis in

ludo Aleae" (sobre 0 raciocinio em jogos de dad os) que foi estimulado pela

correspond en cia que existia entre Pascal e Fermat.

Outra contribuic;:ao imporlante foi fornecida pela familia Bernoulli. 0 pai dos

irmaos Bernoulli, Nicolaus (1623 - 1708), havia tido pianos bem definidos para 0

futuro de seus filhos, e tinha posta obstaculos a tornarem-se matematicos.

Jaques, 0 mais velho, tinha side destinado a ser ministro religioso, e Jean deveria

tornar-se comerciante ou medico, mas nao foi 0 que ocorreu, suas contribui90es

ocorreram na matematica e se encontram principalmente em artigos e revistas.

Jaques Bernoulli escreveu urn tratado classico chamado liArs Conjectandi", ou

seja, Arle de Conjeturar; publicado em 1713, oito anos apos a morle do autor.

Jean Bernoulli conservou um zelo pela matematica lao vivo quanto sua

persistencia em controversias. Alem disso, foi pai de tres filhos, Nicholas (1695-

1726), Daniel ( 1700 - 1782 ) e Jean II ( 1710 - 1790 ) e todos em alguma

ocasiilo ocuparam a fun980 de professores de matematica.

Condorcet, contribuinte fil6sofo e enciclopedista, pertencia ao circulo de

Voltaire e d'Alembert. Ele era um bom matematico que publicara livres sobre

probabilidades e calculo integral, mas tambem era um idealista inquieta que se

interessava per tudo que se relaciona com 0 bem estar da humanidade.

Condorcet e lembrado sobre 0 ponto de vista matematico como pioneiro em

matematica social, especialmente pela aplica9ao de probabilidade e estatistica a

problemas socia is.

Outro nome que merece ser recordado e 0 de Laplace, conforme salienta

Carl Boyer "A teoria das probabilidades deve mais a Laplace que a qualquer

outro mate matico". A partir de 1774 ele escreveu muitos artigos sobre 0 assunto,

cujos resultados ele incorporou no classico "Theorie Analytique des Probabilites"

de 1812. Ele considerou a teoria em todos os aspectos e em todos os nrveis, e

seu "Essai Philosophique des Probabilites" de 1814 e uma exposi<;aointredutoria

para 0 leitor comum.

Laplace escreveu que "no fundo a teoria das probabilidades e apenas 0

sensa comum expresso em numeros" Mas sua "The6rie Analytique" (que contem

a transformada de Laplace, usada em equa90es diferenciais) mostra a mao de um

mestre da analise que conhece calculo avan9ado.

Algumas observayoes do mundo contemporaneo mostram que, depois da

Segunda Guerra Mundial, surgiu uma nova era matematica. A teoria dos

conjuntos e a teoria da medida durante 0 seculo XX invadiram sempre uma parte

sempre maior da matematica e poucos ramos foram tao influenciados quanto a

teoria das probabilidades. Borel contribuiu com seus "Elements de la The6rie des

Probabilites" (1909). 0 primeiro ano do novo seculo foi auspicioso para as

probabilidades tanto na fisica quanto na genetica, pois, em 1901, Gibbs publicou

seus "Elementary Principles in Statistical Mechanicsn, e no mesma ana a

"Biometrik" foi fundada por Karl Pearson (1857 -1936).

A probabilidade e a estatistica no seculo XX e XXI estao intimamente

relacionadas nao 56 com a matematica pura, mas tambem com a denominada

matematica aplicada e computacional.

1.3 OBJETIVO DO TRABALHO

o presente trabalho justifica-se, entre Qutros motivQs, pelo que estacontide nos Parametros Curriculares Nacionais:

"0 aluno deve perceber a matematica como urn sistema de c6digos e

regras que a tornam uma linguagem de comunicac;ao de ideias e permite modelar

a realidade e interpreta-Ia" (peN, 1999).

Foi dentro desse contexto que decidiu-se desenvolver este trabalho sabre

probabilidade aplicada a genetica como uma contribuic;ao ao estudo desse

assunto, ajudando a aluno a aplicar seus conhecimentos matematicos a situac;6es

divers as, utilizando-os na interpretac;ao da ciencia.

1A ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho foi dividido em 5 capitulos, incluindo esta introduyao.

o segundo capitulo apresenta no,6es de probabilidade, utilizadas no

ensina media, na disciplina de matematica.

o terceiro capitulo traz aplicac;oes na genetica, contextualizando os

principais conceitos de probabilidade.

o quarto capitulo apresenta experimentos para serem desenvolvidos

pelos professores do ensino medio.

o quinto capitulo mostra as conclus6es da autora referentes ao trabalho e

apresenta sugestoes de trabalhos futuros.

NO<;:OES DE PROBABILIDADE

2.1 NO<;:OES INICIAIS

Segundo TROTTA, 1988, a teoria das probabilidades estuda os chamados

experimentos aleat6rios. Experimentos aleatorios, repetidos em identicas

condic;:6es, podem fornecer resultados diferentes. Isto acorre, par exemplo,

quando langamos urn dado nao-viciado e observamos sua face superior.

Embora nao S8 possa determinar com exatidaa 0 resultado desta

experiencia, tern sentido tentar-se descobrir qual e a chance de que 0 numero

observado na face do dado seja cinco.

2.2 ESPA<;:O AMOSTRAL

A primeira questao que surge, no estudo das probabilidades, e descrever

matematicamente urn certo experimento. No lanc;:amento de urn dado comum

(todas as faces tern a mesma chance) e observac;:ao da face superior, as

possiveis resultados sao descritos pelo conjunto S={1,2,3,4,5,6}, que

corresponde as possibilidades mostradas na Figura 1:

FIGURA 1 - POSSIBILIDADES NO LAN<;:AMENTO DE UM DADO

1-- --;;1 r'--"-~l l~·~1I. i i •• j

No lanc;amento de uma moeda e observaC;ao da face superior, pod em os

apresentar 0 conjunto S:::{ k,c } para os resultados possiveis ( k representa "cara"

e c "coroa" ).

Chama-se espac;o amostral (S) de um experimento aleatorio ao conjunto

de todos os resultados possiveis desse experimento.

2.3 EVENTOS

Ao S8 fazer uma experiemcia, pode-s8 estar interessado em resultados

particulares a ela assaciados.

Por exemplo, no lan~amento de um dado comum e observa~ao da face

superior, podem interessar fates como estes:

a) saif urn multiple de dais; teria-se entao 0 conjunto E1={ 2, 4. 6 };

b) sair urn numero maior que tres; teria-se entao E2={ 4, 5, 6 };

c) saif 0 numero urn; teria-se entao E3={ 1 };

d) Saif urn numero maior que 6; teria-se entao E4={ }.

Defini<;ao:

Chama-se evento ( E ) associ ado a um experimento aleatorio a qualquer

subconjunto do espago amostral (S).

Urn subconjunto unitario de S e chamado evento elementar; 0 pr6prio

conjunto S e chamado evento certo; 0 subconjunto vazio e chamado evento

impasslvel.

2.4 PROBABILIDADE DE UM EVENTO ELEMENTAR

Considerando urn experimento aleat6rio, a cada evento elementar de seu

espa<;o amostral S pode-s8 associar urn numero real que expressa as chances de

ocorrencia desse evento.

Considere-se 0 lanc;amento de uma moeda e observaC;ao da face

superior. Seja S igual E1={ k, C } 0 espaC;o amostral, onde k representa "cara" e C

"coroa" Os numeros um meio e um meio podem representar as chances de

ocorrencia dos eventos elementares { k }e { c }, pois e razoavel esperar que num

grande numero de lanc;amentos, em aproximadamente ocorra cara e na outra

metade ocorra coroa. Com isso, indica-se entao: p ({ k })= Y2 e p({ c })= Y2

Seja 0 exemplo de um dado com duas faces com numero cinco e onde

nao aparece face alguma com numero tres. Nessas condic;6es, 0 espac;o amostral

para a experiencia, lanc;ar 0 dado e observar sua face superior, e dado por: S= {1,

2, 4, 5, 6 }. Eo razoavel admitir que, num grande numero de lan~amento 0 cinco

ecerra mais freqi..ientemente, peis ha duas faces com a numero cinco. Case se

atribuisse numeros para indicar as chances de ocorrencia de cada face, poderia-

se escrever 0 seguinte: p ({ 1 }); 1/6; p({ 2 i); 1/6; p({ 4 });1/6, p({ 6 });1/6

e p({ 5 });2/6.

Logo, sendo S= { e1 , e2 , e3 , ... 1 en } um espa<;o amostrai finito, com n

elementos, a cada evento elementar {e,} associa-se urn ntimero real p( { e, })

chamado probabilidade do evento elementar {e, }, que satisfaz as seguintes

condi<;6es: p({ e,}) e urn numero nao-negativo p({ e,}) ,,0; e a soma das

probabilidades de todos as eventos elementares e unitaria, au seja, p({ e1 }) +

p({ e, })+ ... +p({ eo)); 1

2.5 PROBABILIDADE DE UM EVENTO OUALOUER

Para GIOVANNI, 1986, tendo definido a probabilidade de lim evento

elementar, pode-se definir a probabilidade de um evento E qualquer em urn

espa<;o S finito.

Seja E um evento com k elementos:

E= { e, 1 e2, e3, ... , e" }

p(E); p({ e,}) + p({ e,}) + ... + p({ e,})

Note-se ainda que:

a} se E;S entao p(E);p(S};1;

b) se E;{} , entao p(E);O;

c) para qualquer evento E de S, temos 0 $ p(E) $ 1

2.6 PROBABILIDADE DE UM ESPA<;O AMOSTRAL EOOIPROvAvEL

Um espa<;o arnostral e chamado eqOiprovavel quando seus eventos

elementares tem iguais probabilidades de ocorrencia. Observe-se a seguinte

situa<;ao: no lan<;amento de um dado nao-viciado e observa<;ao da face superior,

temos os eventos possiveis S;{1 ,2,3,4,5,6). Como 0 dado nao e viciado, pode-se

considerar esses eventos eqOiprovaveis, eu seja, tem a mesma probabilidade de

ocorrer. Assim a prebabilidade de observar-se, per exemple, 0 numero cinco e

urn sexto, isto e, urna chance ern seis. Ern urn experirnento aleatorio com espa90

amostral eqOiprovavel, a probabilidade de ocarrer um evento qualquer, indicada

por prE), sera dado por: P(E)=(numero de possibilidades)/(numero total de

possibilidades)=n(E)/n(S). Onde: n(E) e 0 numero de eventos de E n(S) numero

de eventos de S.

No exemplo anterior, encontrou-se p(E)=1/6, isto nao significa que

efetuando seis lan9amentos com um dado nao - viciado, ocarrera uma vez, e

apenas uma, 0 resultado cinco. Significa que efetuando um numero muito grande

de lan9amentos, 0 resultado ocarrera aproximadarnente urn sexto desses

lan9amentos.

Par exemplo, considere na lan9amento de urn dado, a probabilidade de se

obter: a) 0 numero dois; b) um numero par; c)urn numero multiplo de tres.

Tem-se que 0 espa~o amostral e S={ 1,2, 3, 4, 5, 6 ) portanto n(S) = 6

No primeiro caso, a ocorrencia do numera dais e descrita par: El ={ 2 },

portanto n(E,) = 1. Logo p(E,) = n(E, )In(S) = 1/6 = 0,1666 ou prE,) = 16,66%.

No segundo caso, a ocorrencia de urn numero par, e expressa por: E2 ={2,

4, 6), portanto n(E,) = 3. Logo prE,) = n(E,)/n(S) = 3/6 = Y, = 0,5 ou prE,) = 50%.

No ultimo caso, a ocorrencia de um numero multiplo de tres, corresponde

a: E3 ={ 3, 6 }, portanto n(E,) = 2. Com isso, prE,) = n(E,)/n(S) = 2/6 = 1/3 =0,3333 ou prE,) = 33,33%.

2.7 PROBABILIDADE DE NAo OCORRER UM EVENTO

A probabilidade de ocorrer um evento E, foi definida como sendo prE) =

(numero de possibilidades desfavoraveis)/(numero total de possibilidades). A

probabilidade de nao ocorrer um evento E, pode ser definida como p(-E) =

(nurnero de possibilidades desfavoraveis - numero total de possibilidades

favoraveis)/(numero total de possibilidades), observemos que: p(-E) ,~ (numero

total de possibilidades desfavoraveis )/(numero total de possibilidades) - (numero

de possibilidades favoraveis)/(numero total de possibilidades). Logo p(-E) =

possibilidades favoraveis)/(numero total de possibilidades). Conclul-se, portanto,

que a formula da probabilidade de nao oeorrer um evento e: p(-E) ; 1 - prE).

Por exemplo: se prE) ; 0,37, entao p(-E) ; 1 - 0,37 ; 0,63.

2.8 EVENTOS INDEPENDENTES - MUL TIPLlCAC;;Ao DE PROBABILIDADES

Em analise combinatoria, estuda-se 0 principia fundamental da contagem;

por sua vez em probabilidades ha uma regra analoga, denominada regra do

produto. Seja a seguinte enunciado: Se urn acontecimento e composto por varios

eventos sucessivos e independentes, de tal modo que: 0 primeiro evento e El e a

sua probabilidade e prE,); 0 segundo evento e E, e a sua probabilidade e prE,); 0

terceiro evento e E3 e a sua probabilidade e P(E3), e assim sucessivamente, a

probabilidade de oeorrer todos os eventos prE, n E, n E3 n...n E,) e obtida pelo

produto prE,)· prE,)· p(E3) ... ·p(E,). Por exemplo, no lan,amento de duas moedas

nao-viciadas, qual e a probabilidade de ocorrerem duas caras? Para resolver esse

problema pode-se chamar de El 0 evento "ocorrer cara na 1a moeda" e de E2 a

evento "oeorrer eara na 2' moeda". Aplieando a formula de probabilidades de

eventos independentes, tem-se: prE, n E,) ; prE,)· p(E,); 1/2·1/2 ; 1/4.

2.9 PROBABILIDADE DE OCORRER A UNIAo DE EVENTOS

Sendo El e E2 eventos do mesmo espago amostral S, tern-se que

p(E1 n E2 n E3 n.. n En). Pod em os demonstrar tomando-se algumas

consideragoes. Sejam as conjuntos El , E2 e S descritos na figura 2:

FIGURA 2 - ESQUEMA DE UM ESPAC;;O AMOSTRAL

Sabe-se que n(E, v E,) = n(E,) +n(E,) - n(E, n E,). Dividindo-se por n(S) vem:

n(E, v E,)I n(S) = n(E,)1 n(S) + n(E,)1 n(S) - n(E, n E,)I n(S). Logo pela defini<;ilo

de probabilidade, P(E, v E,) = P(E,) + P(E,) - P(E, n E,).

Pode-s8 conc1uir que a probabilidade do evento El au E2 e igual a soma

das probabilidades do evento El (J E2 Observa-s8 que S8 El (1 E2 ;; 0 entao

P(E, n E,) = P(0) = O. Obtem-se com isso: P(E, v E,) = P(E,) + P(E,).

Por exemplo, qual e a probabilidade de jogar um dado e obter 0 numero

tres ou n"mero impar? 0 espa<;o amostral e S={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} logo n(S) = 6.

Os eventos sao: a ocorrencia do numero tres :::::? El = { 3 } :. n(E1} = 1 e a

ocorrencia do numero impar => E, = { 1, 3, 5} :. n(E,) = 3.

Tem-se que E, n E, = {3 ) .. n(E, n E,) = 1. Por sua vez P(E, v [,) = P(E,)

+ P(E,) - P(E, n E,). Disso conclui-se que P(E, v E2) = n(E,)1 n(S) + n(E,)1 n(S) -

n(E, n E,)I n(S). Logo P(E, v E,) = 1/6 + 3/6 -1/6 = 316 = %, ou seja, P(E,) =

50%.

2.10 PROBABILIDADE CONDICIONAL

Sejam E, e E2 dais eventos de urn espac;o S, com P(Ez) * O. Denomina-

S8 probabilidade de E, condicionada a E2 a probabilidade de ocorrencia do evento

El, sabendo-se que vai ocorrer au ja ocorreu 0 even to Ez. A probabilidade

condicional e definida por: P(E,1 E,) = n(E, n E,)/n(E,).

Seja 0 exemplo exemplo: Numa cia sse de 60 alunos, 40 estudam 56

matematica, 10 estudam 56 fisica e 5 estudam matematica e ffsica. Pede-58 para

determinar a probabilidade de urn aluno que estuda matematica estudar tambem

fisica. Tem-se que:

n(MnF) = 5, n(M) = 40 + 5, com isso P(FI M) = n(M n F)/n(M) = 5145 = 1/9

2.11 DISTRIBUI<;Ao BINOMIAL

Seja a seguinte situayao: uma prova consta de dez testes com cinco

alternativas cada um, sendo apenas uma delas correta. Um a[uno que nada sabe

10

a respeito da materia avaliada, "chuta" uma resposta para cad a teste. Qual e a

probabilidade de ele acertar apenas cinco testes?

Observa-s8 que, para que 0 aluno acerte apenas cinco testes, enecessario que erre os cinco demais. A probabilidade de 0 aluno acertar urn "no

chute" e urn quinto (uma alternativa correta nurn total de cinco alternativas), e a

probabilidade de ele errar um teste "no chute" e quatro quintos ou seja 1-1/5).

Entao a probabilidade de 0 aluno acertar, par exemplo, as cinco primeiras

quest6es e errar as outras cinco e (1/5)' .(4/5)5 Como 0 problema nao exige que

o aluno acerte necessariamente as cinco primeiros testes, bastando que acerte

cinco quaisquer, tem-S8 C'O.5 (combina90es simples) possibilidades. Portanto a

possibilidade solicitada e: P, = C1Q,' , (1/5)' (4/5)'

Chamando de E 0 evento "acertar urn determinado teste", a probabilidade

de que E ocorra, independente do teste, e prE) = 1/5. E a probabilidade de que E

nao ocorra e: P(-E) = 1 - prE) = 4/5, Lembrando que C1Q,' = (101) 1 [(10 - 5)1,5']

= (10·9·8·7·6·5')/(51,5') = (10·9,8.J.6)/(5A·3·2·1), pode-se escrever que a

probabilidade de 0 aluno acertar apenas cinco testes e: P, = C1Q,S P[(E)]',

P[(-E)]'

Generalizando, S8 em cada uma das n alternativas de urn fenomenoaleatorio a probabilidade de ocorrer um evento e sempre prE), a probabilidade de

que este evento ocorra em apenas k das n tentativas e dada per:

P, = CO," P[(E)], P[(-E)t'

Esta formula, semelhante a expressao do termo geral do Bin6mio de

Newton, e chamada de formula da distribui9ao binomial.

II

3 APLlCAC;:OES DE PROBABILIDADE NA GENETICA

Neste capitulo, observa-s8 a caracteristica interdisciplinar do estudo das

probabilidades. No ensino media a genetica, ramo da biologia, pode mostrar-se

como campo para a contextualiza<;ao da teoria de probabilidades.

3.1 MUL TIPLlCAc;:Ao DE PROBABLIDADE

As regras de multiplica<;ao de probabilidade pod em ser aplicadas a muitos

problemas de genetica (CARVALHO,1982). Considere-se que a queratose

(anomalia hereditaria em que a indivfduo revela espessamento da camada

c6rnea da pele com rachaduras dolorosas) seja devida a urn gene dominante N

(S8 0 gene dominante e N, cnde aparecer 0 N aparece a doen<;a). Uma mulher

com queratose, cujo pai era normal, casa-58 com urn homem com queratose, cuja

mae era normal. Se esse casal vier a ter quatro filhos, qual e a probabilidade que

todos eles (independente do sexo) nao apresentem a queratose?

Seja a distribui,ao de gametas apresentada na figura 3:

FIGURA 3- DISTRIBUIc;:Ao DOS GAMETAS

Pais 6blon

N n

Gametas

12

Fazendo as combina90es, encontra-se 0 genograma apresentado na tabela 1.

TABELA 1 - GENOGRAMA

~ 0 (00 NN Nn

(0 Nn Nn

Dos filhos, 75% possuirao queratose (send a que 25% seraa NN,

homozigotos dominantes, e 50% serao nn, homozigotos recessivos, au seja seraa

normais.

Logo, a probabilidade de nascer urn tilhe sem queratose e de 25%. Como 0

problema indaga a probabilidade de que tal problema oeorra repetitivamente

quatro vezes (quatro filhos sem queratose), tem-se entao: Probabilidade igual a

1/256.

Como 5e conclui, a chance de ocorrer 0 que 0 problema indaga e muito

pequena, ou seja, 1/256 ou 0,39%

Contudo quando se estuda a hist6ria de uma (lnica familia, esse padrao

de heranr;:a, de urn em dais nao e sempre tao claro. Para iS50 existem varias

raz6es.

As probabilidades de urn gene especifico unico, possufdo pDr urn genitor,

ser herdado par determinado filho sao de uma em duas - exatamente como as

probabilidades de uma moeda lan9ada ao ar cair com a cara para cima sao de

uma em duas. Contudo, e muito possivel que uma moeda caia com a cara para

cima tres, quatro ou mais vezes em seguida, embora centenas de lances resultem

em numero aproximado igual de caras e coroas.

E assim tambem que a probabilidade atua na transmiss80 a crian9a de

defeito de nascen9a da especie de gene dominante unieo. A familia que tem esse

gene defeituoso pode ter dois, tres ou mais filhos, sem que qualquer deles reeeba

ogene defeituoso, outra familia pode ter 0 mesmo numero de filhos, sendo todos

13

afetados.

de outros genes sobre 0 dominante).

Segundo APGAR & BECK, 1980, pode-se elencar outros exemplos: a)

Osteogeneses imperfecta e um defeito de nascenc;:a causado par urn unieo gene

dominante. Seus sintomas caracterfsticos sao osso quebradic;:o que S8 fraturam

facilmente, surdez e colorac;:ao azulada na parte branca dos olhos. b) Na

"Sfndrome de Marfan" , defeito de nascenc;:a que Abraham Lincoln talvez tenha

sido portador, as sintomas caracterfsticos sao aracnodatilia (dedos de aranha);

brac;:os, pernas, dedos e pes excess iva mente longos; juntas frouxas; rna

musculatura; deslocamento do cristalino dos olhos; ausencia de camada

gordurosa sabre a pele, fazendo a individuo parecer ossudo e magro; e anomalias

do corayao e vasas sangOineos.

o Dutro grande grupo de disturbios geneticos resulta de genes recessivos

defeituosos localizados em cromossomos autossomicos. Para que a doenc;a se

apresente e preciso urn par desse gene; assim indivfduos (Aa, AA) serao normais

e somente (aa) doentes.

Tratam-se dos seguintes exemplos:

a) Fibrose Cistica (mucoviscidose, que e urn erro inato de metabolismo,

devido a falta de enzima essencial ao funcionamento normal do corpo, tambem

um gene recessiv~, a doenc;a afeta as gltmdulas ex6crinas que controlam a

praduc;ao de muco, saliva e suor);

b) Fenilcetonuria ( defeito num gene que controla controla a produc;ao

da enzima que transforma a fenilalanina em tirasina, a fenilalanina que a corpo e

incapaz de utilizar acumula-se logo que 0 bebe tom a leite, comec;ando danificar 0

cerebra, a lesao cerebral e severa em individuos com fenilcetonuria, que nao sao

tratados e pelo men as 90% precisam ser internados durante a vida em

instituic;6es para tratamento mental). Esta doenc;a e prevenida pelo teste do

pezinho.

Em todas essas doenc;as em urn casamento entre dois portadores do

mesmo gene recessiv~, cada filho tera uma possibilidade em duas de receber 0

gene defeituoso da mae. Isso representa uma possibilidade em quatro de a

crian<;a receber dois genes defeituQsos, urn de cada genitor e ter a doent;:a; a

mesma de ser normal e duas possibilidades em quatro de ser normal portadora.

14

3.2 DISTRIBUI<;:AO BINOMIAL

Seja 0 exemple:

Urn casal tern cite filhos, sendo que nao ha gemeos entre eles. Qual e a

probabilidade de esses filhes serem:

a) oito homens?

b) sele homens e uma mulher?

c) seis homens e duas mulheres?

d) cinco homens e tres mulheres?

e) quatro homens e quatro mulheres?

Admita que as probabilidades de nascimento de urn me nino e de uma

menina sao iguais.

Para responder as indagac;oes apliea-se a formula de distribui9ao

binomial e obtem-se:

a) a probabilidade de que ocorram oilo homens:

p. = C.,.,(1/2)'.(1/2)o = 1/256

b) Probabilldade de que ocarram sete homens e uma mulher :

P, = C.,r(1I2)',(1/2)' = 8/256

c) a probabilidade de que ocorram seis homens e duas mulheres :

P,= C., •.(1/2)'.(1/2)' = 28/256

d) a probabilidade de que ocorram cinco homens e tres mulheres

P, = C.,,.(1/2)'·(1/2)3 = 56/256

e) a probabilidade de que acorram quatro homens e quatro mulheres .

P, = C',4·(1 12)'.(1 12)4 = 70/256

15

3.3 USANDO ANALISE COMBINATORIA

Em certos casos 0 ernprego do calculo de probabilidade pode irnplicar

conclusoes erradas.Qual seria a possibilidade de, numa jogada de tres moedas, abter-s8 duas

caras e uma coroa? 0 raciocfnio imediato poderia levar a uma conclusao errada,

pais a possibilidade de dar cara e de urn meio , a mesma ocorrendo para a corea.

Ora, para dar duas vezes e uma vez corea, deveria-se, entaD, fazer a seguinte

rnultiplica,ao: 112·1/2·1/2 = 1/8

o resultado final urn oitavo seria errado, pais existem tres

possibilidades isoladas e diferentes de se obter duas caras e uma corea:

1') CARA - CARA - COROA

2') CARA - COROA - CARA

3') COROA - CARA - COROA

o resultado urn oitavo corresponde a cada uma dessas possibilidades

isoladamente. Logo, S8 existem tres possibilidades diferentes de dar duas vezes

cara e uma corea, e igualmente validas, tern-se que levar 0 raciocinio anterior a

rnais urna etapa, que seria: probabilidade conjunta = 1/8 +1/8+1/8 = 318

Recai·se, portanto, naquele casa de acontecimentos com mais de uma

possibilidade de ocorrencia.

Observa-se pela tabela 2 que existem tres maneiras de se obter duas

caras e uma corea, num total de oito combinag6es diferentes entre cara e corea,

quando se usam tres moedas.

TABELA 2 - COMBINACOES NO JOGO DE 3 MOEDAS

Moeda 1 Moeda2 Moeda3

Cara car. car.Cara car. coroaCara coroaCara coroa coroaCoroa coroa coroaCoroa coroa car.Coroa car.Coroa car. car.

16

No jogo de tres moedas existem oito combina<;oes passive is entre cara e

corca, mas em apenas tres delas pode-s8 abter duas caras e uma coroa.

o importante e saber quantas possibilidades isoladas e "somativas"podem ocorrer englobando 0 evento desejado. As vezes, 0 numero de

combina<;6es e grande, e torna-se dificil fazer urn grafico como 0 das tres

maedas, acima. Entaa aplica-se a seguinte f6rmula: C,.,= n!1 p!(n - p)!

Nesta formula, n e 0 numero de elementos que entram no "jogo", isto e, no

calculo, e p e uma das alternativas.

Este exemplo pode ser aplicado em problemas geneticos. Veja 0 seguinte

exemplo: numa familia que pretende ter cinco filhos, qual e a probabilidade de

tres serem homens e dois mulheres?

Neste casa, n=5; p=3 (hamens), uma das alternativas; n - p

carrespandera a dais (mulheres), que e a autra alternativa.

Desta farma: Cs., = 5'13 !(5 - 3)! = (5-4·3·2·1 )/(32·1·21) = 120/12 = 10

Logo, ha dez combinayoes diferentes entre cinco mhos, e igualmente para

cad a filho, a probabilidade e de um meio , tendo-se entao: P = % . % . % . % . Y2

= 1/32.

Como existem dez possibilidades isoladas de se obter essa combina<;:c3o,

deve-se, entao, somar 1/32 dez vezes ou simplesmente, multiplicar 1/32 por 10.

E chegar-se-a , assim aa resultada final de 10/32.

Conclui-se que nos calculos de probabilidade deve-se distinguir duas

hipoteses: a) acontecimentos com variantes opcionais que tern mais de uma

passibilidade de acarrencia, ande a calcula e feita pela sam a das prababilidades

isoladas: b) acontecimentos auto-exclusivos (simultaneos ou repetitivos) 0 calculo

pe dada pela prod uta das probabilidades isaladas.

3.4 ACONTECIMENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Seja 0 seguinte exemplo:

Da cruzamenta de individuas heterozigatas Aa x Aa, qual a probabilidade

de nascer urn individuo:

a) hamazigata recessiva (aa);

17

b) heterozigoto (Aa);

a) com pelo menos um gene A.

Este e 0 caso da cor dos olhos; ( aa) olhos azul e AA ou Aa olhos

castanho. Do cruzamento Aa x Aa podem nascer quatro filhos dos genotipos AA,

Aa, aA e aa.

Ha apenas uma hipotese favoravel ao nascimento de um indivlduo

homozigoto recessive em quatro cases possfveis: Portanto P(aa) = "X.

Dais cases mutuamente exclusivos sao favoraveis (0 segundo e 0

terceiro) ao evento ser heterozigoto, em quatro possibilidades: P(Aa) = P(Aa) +

P(aA) = Y. + Y. = 1/2

o acontecimento "individuo com pelo men os um gene A" 1 ocorre tanto

no primeiro, no segundo, e no terceiro case, portanto p(com pelo menos um gene

A)=.X+% +% =%

3.5 ESPAt;;O AMOSTRAL EQOIPROVAvEL

o exemplo abaixo mostra uma aplicayao num espatyo amostral

eqOiprovavel:

Num grupo de 100 pessoas, 31 tem 0 grupo sanguineo A, 42 0 grupo B,

22 a grupo AB e as restantes tern 0 grupo sangOineo O.

Calcular a probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso tenha.

a) grupo sanguineo A;

b) grupo sangOineo O.

Se E, representa 0 evento "Ter grupo sanguineo A", entao P(E,) =

31/100. Por sua vez, 0 numero de pessoas que tem 0 grupo sanguineo 0 e:

100 - 31 - 42 - 22 = 5, portanto chamando-se de E, 0 evento "Ter grupo

sanguineo 0", conc1ui-se que_P(E,) = 5/100 = 1/20.

3.6 GENETICA DE POPULAt;;OES

Em 1908, 0 matematico britimico G. H. Hardy e 0 medico alemao, W.

Weinberg, independentemente desenvolveram um conceito matematico

18

relativamente simples, hoje chamado de Principia de Hardy - Weinberg para

descrever 0 equilibrio genetico [SOARES,1999J.

Tal principio e 0 fundamento da genetica de popula,oes e, em essencia,

diz que na ausencia de rnigra9c3.0,mutac;ao e selec;ao as frequemcias geneticas e

genotipicas permanecem constantes dentro de limites estreit05, determinaveis,

gera,ao apos gera,ao, em uma popula,ao grande com reprodu,ao aleatoria.

Hardy e Weinberg encontraram numa equa930 matematica a maneira de

calcular as variac;:oes genicas de uma populac;ao ou entao, comprovar 0 seuequilibrio genetico. IS50 pode ser conseguido com a aplicac;ao do bin6mio de

Newton: ( p + q )' = 1.

Nessa expressao. p caracteriza 0 gene dominante de determinado par de

alelo, e q representa 0 alelo recessivQ do mesmo.

Como a expressao (p + q )2 pade ser desmembrada, tem-S8 entaD:

(p + q)' = p' + 2pq + q'

Pode-s8 encontrar uma perfeita concordancia dessas express6es

matematicas com as combinag6es geneticas possiveis em um par de alelos,

quando se consideram cruzamentos de uma populac;:ao panmitica (aleat6ria).

TABELA 3 - RECOMBINA\:Ao GENETICA

Gametas Gametas Individues valor SimboloMasculinos Feminines

C9 C9 AAA' .... p'

C0 0) Aa

C0 C0 2AaAa .... 2pq

C0 C0 aa a' .... q'

A sensibilidade ao PTC (feniltiocarbomida), substancia de sabor

profundamente amargo, e flagrantemente acusada por algumas pessoas. Outras

nao distinguem 0 saber dessa substancia. Sabe·se que a sensibilidade ao PTe e

condicionada pela agao de urn gene autossomico dorninante. Assirn, do

19

casamento de pessoas insensiveis com outras iguais resultam sempre

descendentes insensiveis ao PTC.

Numa popula~ao, verificou-se que a frequemcia de pessoas insensiveis

aD PTC era de 9%. Que freqOencia de pessoas insensiveis pede-s8 esperar

nessa popula9~1O?

Considerando que os insensiveis iao PTC sao homozigotos recessivDs,

eles representam 0 q2 no bin6mio de Newton. Oessa forma: q2 = 9%. Ora, S8 q2 =

0,09, entao q= 0,3 ou 30%.Com isso, 0 gene dominante tera freqO"mcia p = 0,7

ou 70%.

Sabe-S8 entaD que nessa popula<;ao a freqOencia do gene dominante

(para sensibilidade ao PTC), e de 0,7 ou 70%. Considerando que, na expressao

p'+2pq+q', os individuos heterozigoticos (incognita do problema) estao

representados por 2pq, e ja sabidos os valores de p e q, tem-se: 2pq = 2·(0,7·0,3)

= 0,42 ou 42%.

Conclui-se que, nessa popula<;ao, as indivfduos sensiveis ao PTC, porem

heterozigotos, encontram-se na freqOemcia de 42%. Isto ressalta que, quando a

freqOemcia de uma doenc;:a recessiva numa populayao e conhecida, a frequencia

dos portadores (heterozigotos) e do gene anormal pode ser calculada.

3.7 EQUILiBRIO GENETICO E EVOLU~i\O DAS POPULA~6ES

o desenvolvimento do teorema de Hardy e Weinberg permite observar

que as mesmas frequencia genotipicas encontradas nos ;ndividuos da gerac;:ao

parental (P) voltam a ser encontradas nos individuos da gera,ao-filho F1, desde

que respeitadas as condic;:5es para a manutenc;:ao do equilibria genetico.

Se ocorrerem desvios geneticos, em func;:ao de uma populay8o pequena

au cruzamentos nao aleat6rios implica na quebra do equilibria.

Por exemplo, seja uma popula,ao com 25 milhoes de habitantes, onde 9

milh5es sao homozig6ticos, 12 milh5es sao heterozig6ticos e 4 milh6es sao

recessivos, conforme a tabela 4.

20

TABELA 4 - FREOOENCIA DE UMA RECOMBINA<;AO GENETICA GERA<;AO p

9 AA ( 9/25 ou 36% ) 12 Aa ( 12125) ou 48% 4aa (4125) ou 16%

AA AA AA Aa Aa Aa aa aaAA AA AA Aa Aa Aa aa aa

P AA AA AA Aa Aa AaAa Aa Aa

1BA 12A 12a Ba

30 A ( 3~/50 ou 3/5 ) 20 a ( 20/50 ou 215 )

Os filhos VaG obedecer a distribui\'iio gamica conforme tabela 5.

TABELA 5 - FREOOENCIA DE UMA RECOMBINA<;Ao GENETICA, GERA<;AOF1

2 2 =Jl 9/25 ou 36% AAxA 5 5 25 A

I2 ·2 = 6

F1 xa 5 5 25 12/25 ou 48% Aa12145 a

xA.£ . 3 = 6

I 5 5 25

, 22 =..1. 4/25 ou 16% aa

a x a15 5 25 a

As gerat;oes S8 sucedem, mas as freqOencias gemicas e dos genotiposcontinuam constantes. Quando isso ocorre a populaQao esta em equilibrio

genetico.

21

4 EXPERIMENTOS DE PROBABILIDADES

Neste capitulo apresenta-se sugest6es de experimentos que podem ser

leitos em sal a de aula para 0 ens ina de probabilidades e que foram abordados em

(SOARES,1999).

4.1 CROMOSSOMAS NA PRATICA

1') Sugere-se que a professor leve para a sala de aula dais cubos de

cores diferentes e duas piramides de cores diferentes. Como ilustra a figura 5.

FIGURA 4 - COMBINAC;Ao ENTRE SOU DOS GEOMETRICOS ILUSTRANDO A

RECOMBINAC;Ao GENETICA

A disjun9ao cromoss6mica (combinagao diferente de gens sem

preferencia) tern 0 masma fundamento que conjuntos em analise combinatoria.

Quando S9 tern dais cubos diferentes e duas piramides diferentes, pode-

se obter quatro combina9oes de cubos com piramides.

Sugare-s8 a seguinte sequencia didatica:

a) Mostrar para as alunos as diferentes combina9oes;

b) Fazer uma analogi a dessas figuras com pares de cromossomas;

c)

"d) Pedir aDs alunos que imaginem que essas figuras poderiam

representar caracteres como cor dos olhos, pele, tipo de cabelo;

e) Acrescentar mais uma figura, per exemplo urn cilindro que

represente mais urn par.

f) Analisar as possibilidades.

4.2 LAN~AMENTO DE MOEDAS

o aluno devera jogar 20 vezes a meeda e observar a possibilidade de

cara ou corca. 0 estudante devera justificar as respostas. Pode-se ampliar para

duas au mais moedas ao mesma tempo, de lanc;amento.

4.3 URNA COM VOGAIS

Num saco plastico colocar papeis com as letras A, E, I, 0, U, fazer urn

quadro das possibilidades dessas vogais serem tiradas.

4.4 ATIVIDADES COM DADOS

A atividade seguinte consiste nos procedimentos a seguir descritos:

a) pedir que os alunos tragam dais dados au construi-Ios de maneira

correta;

b) dividir a sala em 11 equipes (numeradas de 2 a 12);

c) jagar as dados dez rodadas, explicando que marca ponto a equipe que

somar as resultados dos dados;

d) Indagar qual e a razao da vitoria de determinada equipe, questionando

se 0 jogo depende da sorte da equipe e pedindo que os alunos

justifiquem;

e) repetir 0 jogo e mostrar aos alunos que sempre ganham estas equipes

(6,7 e 8);

f) calcular as possibilidades do jogo em questao, confonme descreve a

tabela 6.

TABELA 6 - PONTOS EM ARREMESSOS DE 2 DADOS.

Equipes Acertos no arremesso dos 2 dados Numero de acertospor equipe

01 0

02 11

03

1

22

1

04 32 3 1

05 44 1 2 3

06 53 4 5 1 2

07 51 2 6 5 4

08 54 5 2 6 3

09 43 4 6 5

10 35 4 6

11 26 5

12 16

23

24

5 CONCLUSOES

Este trabalho procurou apresentar uma aplicac;ao contextualizada para a

ensina media, atraves de t6picos da genetica. Despertando assim interesse para

o estudo da vida, ampliando 0 universo de compreensao. Alem disso, apresentou

sugestoes de experimentos didaticos para 0 ensina de probabilidade.

Hoje acredita-se que, com 0 avanc;o da tecnologia e com excelentes

programas computacionais sendo desenvolvidos e apresentados no campo da

matematica, muito a;nda se pade tazer e pensar em trabalhos futuros, nao 56 no

topico de probabilidade. mas na geometria, nas fun<;6es, nos numeros complexos,

na estatistica, e Qutros. A interdisciplinaridade da matematica com Qutras areas

de conhecimento precisa ser a cad a dia explorada, para que 0 aluno aprenda a

relacionar os conceitos matematicos com sua vida diiuia.

25

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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BECK, Joan. 0 Bebe Perfeito. Sao Paulo: Editora

BOYER,Carl. Boyer. Historia da Maternatiea. 6. ed. Sao Paulo: Editora EdgardBlusher LTOA, 1974.

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GIOVANNI, Jose Ruy. BONJORNO Jose Roberto. Maternatiea 2° Grau v2. SaoPaulo: Editora FTO,1986.

SOARES, Jose Luis. Biologia no Terceiro Milimio 2. Sao Paulo: EditoraScipione,1999.

TROTTA, Fernando. Matematica por Assunto 4. Sao Paulo: Editora Scipione,1988.