Prática de Ensino em Matemática II

Aula 3Curso de Licenciatura em Matemática

Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreirafabricio@fafica.br

A divisão envolvendo números decimaisUm ponto nevrálgico na aprendizagem das operações matemáticas trata-se da divisão. Isto ocorre, provavelmente, pois tal operação envolve um algoritmo baseado:• quantificar quantas vezes o divisor está contido no dividendo;• multiplicar o quociente pelo divisor;• verificar a diferença entre o produto obtido e o dividendo.

Para facilitar a execução do algoritmo é fundamental que o trabalho envolvendo as tabuadas de multiplicação tenha sido feito de forma eficaz. Outros empecilhos envolvendo a divisão com mais de um algarismo no divisor também são citados em pesquisas e pelos próprios estudantes.

Quanto a divisão envolve números na forma decimal, sugere-se que o algoritmo deve ser trabalho sistematicamente, de forma progressiva em grau de dificuldade, levando o professor e aluno a construírem um arcabouço de estratégias que potencializem tal operação e que sejam uteis no dia-a-dia do cidadão.

Divisão de números naturais envolvendo números decimais no quociente (1)Exemplo 1) Calcule 26 : 4.

26 4 • primeiramente, dividimos 26 unidades por 4, resultando em 6 unidades e sobrando 2 unidades;624

2• em seguida, explicitamos que 2 unidades equivalem

a 20 décimos. Para expressar este fato, escrevemos um zero à direita do 2 do resto e, para indicar que estamos trabalhando com décimos, no quociente escrevemos uma vírgula;

0,

• continuamos a efetuar a operação normalmente, dividindo 20 décimos por 4 resultamos em 5 décimos e resto zero. Logo 26 : 4 = 6,5.

5

200

Divisão de números naturais envolvendo números decimais no quociente (2)Exemplo 2) Calcule 3 : 4.

3 4028

20,7

200

• Dividindo 30 décimos por 4 temos 7 décimos e restam 2 décimos;

0

• Nota-se, inicialmente, que não é possível dividir 3 inteiros por 4. Por isso é necessário reescrever 3 inteiros como sendo 30 décimos. Para isso é necessário escrevermos um 0 à direita do 3. No quociente, para indicarmos que não haverá nenhum inteiro, também escrevemos um 0 e, em seguida escrevemos uma vírgula para indicar que estamos trabalhando com décimos;

• Novamente, nos deparamos com a situação de não ser possível dividir 2 décimos por 4. Logo é necessário reescrever 2 décimos como sendo 20 centésimos. Para isto, basta escrever um zero à direita do 2;

• Dividindo 20 centésimos por 4 temos 5 centésimos e resto 0. Logo 3 : 4 = 0,75.

5

Uma contextualização interessante da divisão entre naturaisExemplo 3) Transforme as seguintes frações em números decimais.45

123150∙ 22=

810=0,8 :3

:3=4150 ∙

22=

82100=0,82

Relembrando que toda fração indica a divisão do numerador pelo denominador, temos:45

4 5040

0,8

0 123150 123 150

01200300

,8

3000

02

Esta também é uma boa oportunidade para que o professor faça uma analogia entre

as frações próprias (valem menos que 1 unidade) e as frações impróprias (valem 1 unidade ou mais).

Números decimais exatosExemplo 4) Efetue as seguintes divisões:14

92

381 4

082

,20

05

200

9 248

1,5

0100

3 8024

6,3

0

07

5640

5

400

Em todas estas divisões o resto foi zero. Logo os quocientes são chamados números decimais exatos.

Para que uma divisão resulte num número decimal exato oDIVISOR DEVE SER COMPOSTO APENAS POR FATORES 2 e 5.

Dízimas Periódicas (1)Exemplo 5) Efetue as seguintes divisões:23

27110

432 3

0182

,60

06

182

27 1100220

50,2

044060

4 313

1,3

03

910

3

91

0

6

182

04

0

5

550500

4

440600

5

55050

091

Observe que nestas divisõeso resto nunca será zero e alguns algarismos no quociente ficam se

repetindo indefinidamente.

Dízimas Periódicas (2)Dizemos que o resultado de tais divisões são chamados de dízimas periódicas. A palavra dízima deriva da palavra DEZ (trata-se de um tipo de número decimal), enquanto que a palavra periódica refere-se ao PERÍODO (algo que se repete).23=0,666…=0 ,𝟔 27

110=0,24545…=0,2𝟒𝟓 43=1,333…=1 ,𝟑

Para que uma divisão resulte numa dízima periódica oDIVISOR DEVE SER COMPOSTO POR ALGUM FATOR QUE NÃO SEJA 2

OU 5.Basicamente as dízimas periódicas dividem-se em Dízimas Periódicas SIMPLES ou COMPOSTAS:a) as Dízimas Periódicas SIMPLES são aquelas em que o período apresenta-

se logo após a vírgula.Exemplos: 0,666... ; 1,333... ; 0,151515....

b) as Dízimas Periódicas COMPOSTAS são aquelas em que entre a vírgula e o período existe uma parte não periódica. Exemplo: 0,24545... ; 1,5333...

Divisão de número decimal por número natural (1)Exemplo 6) Calcule 9,84 : 3.

9,84 3 • Primeiramente, dividimos 9 unidades por 3, resultando em 3 unidades e resto 0;39

0• em seguida, explicitamos que iremos dividir a parte

decimal, escrevendo a vírgula no quociente. Dividindo 8 décimos por 3 temos 2 décimos e restam ainda 2 décimos (que equivalem a 20 centésimos);

8,

• 20 centésimos mais 4 centésimos são 24 centésimos. Para expressar isto escrevemos o 4 à direita do 2 e continuamos a divisão.;

2

62

• 24 centésimos divididos por 3 resulta em 8 centésimos e resto 0. Logo a divisão 9,84 : 3 = 3,28.

4

8

240

Divisão de número decimal por número natural (2)Exemplo 7) Calcule 2,7 : 5.

2,7 5 • Notamos que não é possível dividir 2 unidades por 5. Logo transformamos 2 unidades em 20 décimos. Juntando 20 décimos com 7 décimos temos 27 décimos (que é possível dividir por 5);

02502

,5

200

4• Para indicar que iremos dividir décimos escrevemos

um zero no quociente seguindo da vírgula à direita. 27 décimos divididos por 5 são 5 décimos e restam 2 décimos;

0

• Como não é possível dividir 2 décimos por 5, reescrevemos 2 décimos como sendo 20 centésimos adicionando um 0 à direita do 2;• 20 centésimos divididos por 5 resultam em 4 centésimos e resto 0. Logo 2,7 : 5 = 0,54.

Divisão de por 10, 100, 1000Exemplo 8) Observe as seguintes multiplicações.

1,46 ∙10=14,6 8,394 ∙100=839,4 0,873 ∙1000=873Reescrevendo tais operações como sendo divisões, temos:14,6 :1𝟎=1 ,4⏟ 6 839,4 :1𝟎𝟎=8 ,39⏟ 4 873 :1𝟎𝟎𝟎=0 ,873⏟Observando os resultados, pode-se concluir que: Para dividir um número por 10, 100 ou 1000, basta deslocar a vírgula uma,

duas ou três casas, respectivamente para a ESQUERDA. Acrescenta-se zeros quando necessário.Professor esta é uma boa oportunidade de

utilizara calculadora em sala de aula.

Os P.C.N.s recomendam a utilização neste caso,

para, por exemplo, a verificação de resultados.

Uma propriedade importanteExemplo 8) Observe as seguintes divisões.

6 :3=2

24 :12=2

×4 ×4

15 :5=3

30 :10=3

×2 ×2

8 :2=4

80 :20=4

×10 ×10

2 :5=0,4

6 :15=0,4

×3 ×3

Se o dividendo e o divisor de uma divisão forem multiplicados por um mesmo número,

diferente de zero, a nova divisão terá o mesmo quociente.Utilizando a regra da divisão por 10, 100 ou

1000 juntamente com a propriedade citada para a multiplicação podemos elaborar uma regra prática

para divisão envolvendo números decimais.

Divisão envolvendo números decimaisExemplo 9) A mãe de Josefa queria saber qual era o consumo de gasolina de seu carro na estrada. Para isso anotou a quilometragem e encheu o tanque antes e depois de uma viagem. Ela verificou que seu carro percorreu 92,8 km com 7,25 litros. Qual é o consumo do carro da mãe de Josefa??

?

×100 ×1009280 725

17252030

,2

14505800

8

58000

92,8 7,250Igualando as casas

decimais e excluindo a vírgula.

Resposta: O carro da mãe de Josefa percorre 12,8 km com 1 litro de combustível.

Mais exemplosExemplo 10) Efetue as seguintes divisões:

6 :1,6=¿ 0,3 : 0,008=¿ 2,34 : 9,9=¿

60 16348

12,7

1128

50

60 :16=¿

0800

3,75 300 :8=¿

300 8324

6,7

564

50

0400

37,5 234 : 990=¿

234 99001980

360,

2970630

20

05940360

036

...

...

0,236…