Metodologia do Ensino da

Matemática – Aula 15

IMES – FaficaCurso de Pedagogia – 3º Ano

Prof. MSc. Fabricio Eduardo Ferreirafabricio@fafica.br

Operações com fraçõesAs operações básicas da matemática envolvendo frações amparam-se, essencialmente, no conceito de frações equivalentes e/ou classes de equivalência.

As ideias principais associadas a cada operação matemática são essenciais para que o aluno compreenda adequadamente as operações envolvendo frações. Por exemplo, se o aluno compreende que uma das ideias associada à multiplicação é a adição de parcelas iguais, isto favorece que o mesmo compreenda que basta adicionar os numeradores e conservar o denominador para que a soma das frações ocorra.

A representação gráfica (pictórica) é um fator importante no auxílio da compreensão das operações envolvendo frações.

Devemos ressaltar que a compreensão correta das operações envolvendo frações é fundamental para estudos posteriores envolvendo álgebra, justificando inclusive as operações envolvendo números racionais na forma decimal.

Adição de frações com denominadores iguaisExemplo 1) Quanto é ?Um erro muito comum entre alunos é acreditarem que . Quais é o principal motivo que leva o aluno a cometer tal erro?Algumas evidências indicam que o erro referido ocorre pois o aluno não compreende que a fração é a representação de um número (número racional), interpretando erroneamente seus termos como números “separados por um traço”. Qual deveria ser a postura do professor neste caso?

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Utilizando a representação pictórica o aluno tem condições de rever a ideia de fração (como parte de um todo) além de facilmente concluir que na adição de frações com denominadores iguais basta que ele adicione os numeradores e conserve o denominador.

Subtração de frações com denominadores iguaisExemplo 2) Quanto é ?

Alguns alunos afirmam que . Quais é o principal erro na operação apresentada?

Mais uma vez o aluno apoia-se no fato de pensar os termos da fração como números isolados. Para piorar há a presença do denominador zero, um erro conceitual grave considerando uma divisão com divisor zero.

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Para auxiliar o aluno o professor pode apoiar-se novamente na resolução pictórica para levar o aluno à conclusão de que, neste caso, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Adição e subtração de frações com denominadores diferentesExemplo 3) Quanto é ?Fica redundante afirmar que muitos alunos solucionam esta operação como . Mais uma vez isto ocorre pois a ideia de fração não foi trabalhada adequadamente junto aos alunos.Para que o aluno perceba que tal resolução é errada, utilizando a resolução pictórica o aluno pode observar que as partes possuem tamanhos diferentes, logo não podem ser reunidas. A solução será encontrar partes

comuns entre as partes que estão sendo consideradas para poder adicioná-las.

𝟐𝟑=

𝟒𝟔

𝟏𝟐=

𝟑𝟔

𝟏𝟐+

𝟐𝟑=

𝟑𝟔 +

𝟒𝟔=

𝟕𝟔

Adição e subtração de frações com denominadores diferentesExemplo 4) Quanto é ?Às vezes o professor pode encontrar entre seus alunos resoluções do tipo . Como você explicaria tal resultado obtido por um aluno?Primeiramente o aluno está pensando nos termos da fração de forma isolada (fato constatado pela subtração 3 – 1 = 2 nos numeradores). Como o aluno não pode realizar a subtração 2 – 4 utilizando números naturais ele realiza 4 – 2 = 2.A utilização das classes de equivalência ou da redução ao denominador comum torna a operação muito mais rápida e eficaz.

C( 32 )={32 ,𝟔𝟒 , 96 , 128 , 1510 ,⋯ }C( 14 )={𝟏𝟒 , 28 , 312 , 416 , 520 ,⋯ }

32−

14=

64 −

14=

54

32−

14→m.m.c .

(2,4 )=4→ ?4 −

?4=

64 −

14=

54

Multiplicação de uma fração por um número naturalExemplo 5) Quanto é ?Para alunos que tenham compreendido que uma multiplicação pode ser entendida como uma adição de parcelas iguais eles podem concluir que a multiplicação solicitada equivale a:

3 ∙ 27=27 +27 +27=

67

Caso o aluno não consiga chegar a conclusão esperada pode-se utilizar a representação pictórica da operação:

27

27

27

67

3 ∙ 27=31 ∙27=

67

Reescrevendo a operação e observando o resultado, o aluno pode notar que, neste caso, basta multiplicar os numeradores e, depois, multiplicar os denominadores entre si.

Multiplicação de um número natural por uma fraçãoExemplo 6) Quanto é ?Como a propriedade comutativa da multiplicação é válida para os números racionais, basta aplica-la neste caso:5

9 ∙ 4=4 ∙59=

41 ∙59=

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A contextualização das operações envolvendo frações é importantíssima para que o aluno compreenda adequadamente as mesmas e possa aplica-las sempre que julgar necessário.Problema 1) Metade das laranjas de Júlia estão podres. Sabendo que Júlia possui 32 laranjas, quantas estão impróprias para o consumo?

12 de  32=

12 ∙32=

322 =16 laranjas

Multiplicação entre fraçõesExemplo 7) Quanto é ?

Utilizando a representação pictórica o aluno pode representar a sentença da seguinte forma:• primeiramente ele representa o segundo fator (no caso um quarto);• em seguida ele determina a parte solicitada no primeiro fator (neste caso

metade do que possui).

Quanto é metade de um quarto ?

Compreendendo que uma multiplicação pode ser entendida como uma sentença escrita o aluno pode reescrever a operação solicitada da seguinte forma:

14

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Desta forma o aluno observa que mais uma vez basta que ele multiplique os numeradores entre si e, depois, os denominadores para obter o produto desejado.1

2 ∙14=

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A técnica do “cancelamento”

Muitos alunos não compreendem quando podem utilizar uma técnica conhecida por “cancelamento”, causando erros abomináveis tipo .Esta técnica baseia-se na utilização de operações inversas. Se um número é multiplicado por um fator x (não nulo) e, em seguida, o produto é dividido pelo mesmo fator x, o resultado é o próprio número. Como toda fração pode ser entendida como uma divisão entre o numerador e o denominador, a operação mais adequada para utilizar o cancelamento é a multiplicação.Na operação o fator 15 pode ser reescrito como , enquanto o fator 8 pode ser reescrito como . Logo temos um fator 3 multiplicando os numeradores e um fator 3 dividindo o produto, podendo serem “cancelados”. O mesmo ocorre para o fator 2 no numerador e no denominador.

23 ∙158 =

23 ∙3 ∙52∙ 4=

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Frações inversas

Perguntados sobre frações inversas muitos alunos afirmam que tratam-se de frações onde o numerador de uma é o denominador da outra, e vice-versa.Apesar deste fato constatar-se, esta é uma consequência da definição formal de frações inversas.Solicitando ao aluno multiplicar frações que apresentam esta característica, os mesmos notarão que os produtos sempre resultam na unidade.

57 ∙75=

3535=1

14 ∙41=

44=1 7 ∙ 17=

77=1

Quando questionados sobre qual seria o inverso de 10, muitos alunos confundem a pergunta e respondem 5 (metade), 20 (dobro) ou – 10 (oposto). Isto mostra que a definição de fração inversa não foi bem apresentada aos alunos.

Desta forma duas frações são consideradas inversas quando multiplicadas entre si resultam sempre em 1.

Divisão de uma fração por um número naturalExemplo 8) Quanto é ?A ideia de repartir é a ideia mais comum quando nos referimos a divisão. Utilizando esta ideia associada a representação pictórica temos:

23

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Considerando a divisão como sendo a operação inversa da multiplicação, podemos reescrever a divisão solicitada como sendo uma multiplicação pelo inverso do segundo fator. 2

3 : 2=23 ∙12=

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Divisão entre fraçõesExemplo 9) Quanto é ?Estendendo a ideia de operações inversas e associando a definição de frações inversas o aluno conclui que para dividirmos frações bastas conservar a primeira fração e multiplicar (operação inversa da divisão) pela fração inversa do divisor.

54 :

𝟑𝟕=

54 ∙

𝟕𝟑 =

3512

910320

=910: 𝟑𝟐𝟎=

910∙𝟐𝟎

𝟑 =3∙𝟑𝟏𝟎 ∙

2∙𝟏𝟎𝟑 =6

Para Pensar e Refletir1. Quais os principais pré-requisitos para que o professor possa trabalhar

adequadamente as operações com frações com seus alunos?2. Qual outra alternativa o professor possui para desenvolver as operações

com frações sem a utilização da representação pictórica?3. Qual a importância da aprendizagem correta das operações envolvendo

frações?4. Qual é o erro mais comum nas operações envolvendo frações? Por quê ele

ocorre?5. Cite um exemplo de como as ideias fundamentais associadas às operações

influenciam na aprendizagem das operações com as frações.6. Elabore e resolva situações problemas que contextualizem cada caso das

operações envolvendo frações.7. Elabore uma multiplicação entre frações e tente representa-la

pictoricamente. Faça o mesmo para a divisão de uma fração por um número natural.

8. Quando pode-se utilizar a chamada “técnica do cancelamento” envolvendo frações e por quê?