Ufpr - Introdução a Cosmologia

8/18/2019 Ufpr - Introdução a Cosmologia

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Cosmologia Básica

Laerte Sodré Jr.

April 15, 2009

Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica

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objetivos:

abordagem rápida da cosmologia, focando no modelocosmológico padrão

uma abordagem mais completa requeriria aulas sobre a Teoriada Relatividade Geral

veremos como interpretar e calcular algumas quantidadesimportantes




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Figure: A composição do universo no modelo ΛCDM.Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica

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O modelo de trabalho atual: ΛCDM

o universo é plano e dominado por energia escura e matériaescura fria (Cold Dark Matter )

a matéria bariônica constribui com apenas ∼4% do conteudode matéria e energia do universo

a constante cosmológica Λ é a forma mais simples de energiaescura

a energia escura é necessária para explicar a aceleração douniverso, descoberta a partir da observação de supernovasdistantes


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O modelo de trabalho atual: ΛCDM

a matéria escura fria (CDM) explica as galáxias e asestruturas em grandes escalas

CDM- principais propriedades:

ela é escura, não interage com os fótons ela só interage gravitacionalmente ela é não-bariônica ela é fria ela é estável

(algumas dessas propriedades podem ser relaxadas...)


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A Teoria da Gravitação

Teoria da Relatividade Geral (TRG) (Einstein, 1915)

Porquê a gravitação ? em grandes escalas é a gravitação que determina a dinâmica

dos objetos no universo apenas as interações gravitacionais e eletromagnéticas são de

longo alcance como a matéria é em média eletricamente neutra, em grandes

distâncias apenas a gravitação é cosmologicamente relevante




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TRG: matéria+energia determinam a geometria do ET equações de Einstein:

G µν = 8πG

c 4 T µν

G µν : tensor de Einstein- depende da geometria doespaço-tempo através de g µν , o tensor métrico

T µν : o tensor de energia-momentum- depende da distribuiçãode matéria+energia

lado esquerdo: depende apenas da geometria lado direito: distribuição de matéria+energia a distribuição de matéria e energia pode distorcer a geometria




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Figure: A matéria distorce o espaço-tempo, como neste exemplo de lente gravitacional.


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testes da TRG: sistema solar; pulsar binário; lentes gravitacionais mal testada no limite de campos fortes (como buracos negros)

ou muito fracos (halo das galáxias)

limitação da TRG: não incorpora efeitos quânticos incompleta em escalas menores que a escala de Planck:

r Pl =

Gh

c 3

1/2= 4.0× 10−33 cm.

ou antes do tempo de Planck:

t Pl =

Gh

c 5

1/2= 1.3× 10−43 s.

precisamos de uma teoria quântica da gravitação


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O Prinćıpio Cosmológico

em escalas suficientemente grandes o universo é homogêneo e

isotr´ opico

homogêneo: todos os lugares são equivalentes

isotrópico: todas as direções são equivalentes evidências:

em escalas muito grandes (centenas de Mpc), a distribuição degaláxias é bastante uniforme(a uniformidade aumenta com a escala)

homogeneidade da radiação cósmica de fundo:

as flutuações de temperatura têm uma amplitude muitopequena


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O Prinćıpio Cosmológico

Figure: Mapa com as flutuações de temperatura da radiação cósmica de fundo medida pelo satélite WMAP.Este mapa é notavelmente uniforme; a amplitude média das flutuações é ∼ 10−5.


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A cosmologia newtoniana

modelo cosmológico baseado na gravitação newtoniana

as equações que descrevem a dinâmica do universo são muito

parecidas com as da Cosmologia Relativ́ıstica modelo proposto por Milne e McCrea em 1934

problema: aparecem algumas dificuldades conceituais que nãosão comportadas pela f́ısica newtoniana


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vamos supor que o universo é ocupado por um fluido:o fluido cosmológico

as part́ıculas deste fluido seriam, por exemplo, as galáxias

esse fluido obedece ao Prinćıpio Cosmológico: deve estar emrepouso ou em expansão ou contração isotrópica - observamosa expansão

os observadores que estão localmente em repouso com ofluido, que o acompanham em sua expansão, são chamados deobservadores comóveis


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para que as leis de Newton sejam válidas, os referenciaisusados devem ser inerciais

suponha que nossa galáxia seja um referencial inercial

PC: todos os observadores que participam da expansão (osobservadores comóveis) têm a mesma visão do universo

Logo, todos os observadores comóveis são inerciais, emborapossam apresentar acelerações entre si!


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Cosmologia Newtoniana: o universo deve ser infinito, casocontrário o PC não seria válido (nos bordos, por exemplo)

mas em um universo infinito e isotrópico, qual é a direção daaceleração gravitacional g ?

lei de Gauss:a aceleração da gravidade produzida por uma região esféricahomogênea de massa M centrada num ponto O é

g = G

r 2 ρdV = GM

r 2

se g = 0 em todos os lugares, então ρ = 0: o único universoque satisfaz o PC é um universo completamente vazio!


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Regra de Birkhoff :a velocidade (radial) v de qualquer galáxia vista por umobservador em O a uma distância r depende apenas da

atração gravitacional das galáxias dentro da esfera de raio r centrada em O

não tem justificativa na teoria newtoniana, mas permite odesenvolvimento de uma cosmologia newtoniana...


A l i i

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O fator de escala

galáxias A e B: num certo instante t 1 elas estão separadas poruma distância r 1 e, num outro instante t , a separação entreelas é r

fator de escala R (t ):

r =

R (t )

R (t 1) r1

mede as variações nas escalas produzidas pela expansão(ou contração) do universo.


A l i i



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lei de Hubble:

v = d r

dt = r1

R (t 1)

dR (t )

dt = R (t )

R (t 1) r1

1

R (t )

dR (t )

dt

Sendo

H (t ) = 1

R (t )

dR (t )

dt =

Ṙ

R

temosv = H (t )r

nesta formulação, H não é constante, mas uma função dotempo: o parâmetro de Hubble

H mede a taxa de expansão no instante t t 0: idade do universo; H 0 = H (t 0) fator de escala normalizado em relação ao valor atual:

a(t ) = R (t )

R (t 0) a(t 0) = 1


A l i i

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A densidade da matéria o fluido cosmológico é não-viscoso:

caracterizado pelo campo de velocidades v(r, t ) e pelasdistribuições de densidade, ρ(r, t ), e pressão, p (r, t )

homogeneidade em grande escala (PC): ρ(r, t ) e p (r, t ) devem

ser os mesmos para todos os observadores comóveis em umtempo t - ρ(r, t ) = ρ(t )- p (r, t ) = p (t )

na cosmologia newtoniana assumimos p (t ) = 0:os efeitos dinâmicos da pressão da matéria são muitopequenos hoje


A l i t i

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evolução da densidade de matéria com o tempo:devido à expansão comóvel, uma certa quantidade de matéria,M , que num instante t 0 ocupava uma esfera de raio r 0, numinstante t ocuparia uma esfera de raio r

ρ(t

0) = 3M

/4πr 3

0

ρ(t ) = 3M /4πr 3

ou ρ(t ) = ρ0[r 0/r (t )]3

ou, em termos do fator de escala:

ρ(t ) = ρ0

R 0

R

3= ρ0 a(t )

−3


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A equação de evolução do universo

regra de Birkhoff: a dinâmica de uma galáxia de massa m,observada a uma distância r de um observador comóvel numponto O , depende apenas da massa dentro da esfera de raio r centrada em O :

M (r ) =

4

3 πr 3

ρ força de atração gravitacional que essa massa exerce sobre a

galáxia:

F = mr̈ =

−

GmM (r )

r 2

=

−

4π

3

Gmρr

ou,

r̈ = −4πG ρr 3





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Introduzindo o fator de escala

r = R (t )

R 0r 0 = a(t )r 0

vem

r̈ = ä(t )r 0e temos que

ä = −4πG 3

ρa

nessa equação não aparece r : a dinâmica da expansão,descrita pelo fator de escala a(t ), é determinada apenas peladensidade de matéria ρ(t )(na cosmologia relativ́ıstica depende também da pressão)



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Conservação de energia e o futuro da expansão

a gravitação tende a desacelerar a expansão. Mas será a

gravitação suficientemente forte para interromper a expansãoe revertê-la?

newtonianamente, o universo é gravitacionalmente ligado?



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galáxia de massa m a uma distância r de O energia total dessa galáxia (que deve se conservar durante aexpansão):

E = 1

2

mv 2

− GMm

r

= constante

E 0: o universo não é gravitacionalmente ligado e a

expansão será perpétua E = 0: caso cŕıtico, onde a expansão diminuirá sempre mas

sem entrar numa fase de contração



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E = 0:v 2

2 =

GM

r ou

H 2r 2

2 =

G

r ρ0

4

3πr 3

ou

ρ = 3H 28πG

densidade cŕıtica ρc : a densidade que o universo deveria terpara que E = 0

ρc = 3H 208πG

= 1.88× 10−29h2g cm−3

onde h ≡ H 0/(100 km/s/Mpc) ρ0 > ρc , então E 0



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equação de conservação de energia:

E = 1

2mv 2 − GMm

r = constante

como v = (ȧ/a)r , M = 4πr 3ρ/3 e r = r 0 a,

ȧ2 = 8πG

3 ρ(t )a2 − K

onde K é uma constante



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resumo: equações básicas da cosmologia newtoniana:

ä = −4πG

3 ρa

ȧ2 = 8πG

3 ρ(t )a2 − K


Cosmologia Relativ́ıstica

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Cosmologia Relativıstica

equações de Einstein: estabelecem uma relação entre ageometria do espaço-tempo e a distribuição de mat́eria eenergia

G µν = 8πG c 4 T µν

a geometria é caracterizada pelo tensor de Einstein, G µν , quedepende dos coeficientes da métrica e de suas derivadas atésegunda ordem


Métrica e curvatura de superf́ıcies

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Metrica e curvatura de superfıcies

métrica de superf́ıcies bi-dimensionais

métrica: distância entre dois pontos vizinhos, num dadosistema de coordenadas

por exemplo, numa superf́ıcie plana

ds

2

= dx 2

+ dy 2

= dr 2

+ r 2

d φ2

= ...

(em coordenadas cartesianas, polares, ...)

coordenadas (x 1, x 2):

ds 2 =

ij g ij (x 1, x 2)dx i dx j

ds 2 não depende do sistema de coordenadas: é um invariante



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coordenadas (x 1, x 2):

ds 2 =

ij

g ij (x 1, x 2)dx i dx j

g ij : são as componentes do chamado “tensor métrico”, quecaracteriza a geometria e depende da curvatura

superf́ıcie esférica de raio R : superf́ıcie de curvatura constantee positiva

coordenadas esféricas:

ds 2 = R 2d θ2 + R 2 sin2 θd φ2





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superf́ıcie esférica de raio R : superf́ıcie de curvatura constantee positiva

coordenadas esféricas:

ds 2 = R 2d θ2 + R 2 sin2 θd φ2

sistema de coordenadas onde A = R sin θ:

ds 2

= dA2

1− A2R 2

+ A2

d φ2





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p

reescrevendo como

ds 2 = R 2

d σ2

1− k σ2 + σ2d φ2

vale para qualquer superf́ıcie de curvatura constante! k = 0: plano; k = +1: superf́ıcie esférica k = −1 superf́ıcie de curvatura constante negativa

não ”cabe” num espaço tri-dimensional, mas podemos

projetá-la sobre um plano





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p

Figure: Superf́ıcies de curvatura nula, positiva e negativa.





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p

Figure: Obra de Escher, representando a projeção de uma superf́ıcie de curvatura negativa constante sobre umplano.


A métrica de Robertson-Walker (MRW)

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( )

Teoria da Relatividade Restrita: métrica de Minkowski,

ds 2 = c 2dt 2 − (dx 2 + dy 2 + dz 2)

separação entre dois eventos (pontos no espaço-tempo, ET)próximos

TRG: distribuição arbitrária de matéria pode levar a umespaço de curvatura arbitrária

PC: espaços de curvatura constante

métrica de Robertson-Walker:

ds 2 = c 2dt 2 − R (t )2

d σ2

1− k σ2 + σ2(d θ2 + sin2 θd φ2)


A métrica de Robertson-Walker

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MRW:

ds 2 = c 2dt 2 − R (t )2

d σ2

1− k σ2 + σ2(d θ2 + sin2 θd φ2)

t : tempo R (t ): fator de escala σ,θ,φ: coordenadas comóveis k : “sinal da curvatura” (-1, 0, +1)

R (t ) determina como a distância entre 2 observadores

comóveis varia com o tempo observadores comóveis: em repouso em um sistema de

coordenadas comóveis



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Figure: Coordenadas comóveis.



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tempo próprio τ : ds ≡ cd τ observador comóvel:

d σ = d θ = d φ = 0 −→ ds = cdt −→ dt = d τ o tempo t é o tempo próprio dos observadores comóveis

TRG: as trajetórias das part́ıculas livres são geodésicas no ET

Geodésicas: linhas de comprimento ḿınimo (ou máximo)entre 2 eventos no ET

a luz segue “geodésicas nulas”, ds 2 = 0, enquanto que

part́ıculas com massa seguem trajetórias time-like : ds 2 > 0


O desvio espectral

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desvio espectral observado no espectro das galáxias:uma medida direta da expansão do universo

coordenadas comóveis: observador O : na origem - (σG , θG , φG ) = (0, 0, 0) galáxia G : (σG , θG , φG ) = (σG , 0, 0)

t 0: o observador recebe um fóton que foi emitido por G notempo t

t 0 + ∆t 0: o observador recebe um outro fóton que foi emitido

por G no tempo t + ∆t


O desvio espectral

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Figure: Linhas de mundo de fótons emitidos por uma galáxia G.


O desvio espectral

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como a luz viaja por geodésicas nulas (ds 2 = 0):

c dt

R (t ) = d σ√ 1− k σ2

e, portanto,

σG

0

d σ

√ 1− k σ2 = c

t 0

t

dt

R (t ) para o segundo fóton emitido em t + ∆t e recebido em

t 0 + ∆t 0:

σG 0

d σ

√ 1− k σ2 = c t 0+∆t 0

t +∆t

dt

R (t ) .

logo, t 0t

dt

R (t ) =

t 0+∆t 0t +∆t

dt

R (t )


O desvio espectral

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vamos supor que ∆t e ∆t 0 são muito menores que t e t 0:

∆t

R (t ) ∆t 0

R (t 0)

vamos associar a ∆t e ∆t 0

o peŕıodo da radiação emitida erecebida

os comprimentos de onda correspondentes sãoλe = c ∆t e λ0 = c ∆t 0

Então,

λ0λe

= R (t 0)R (t )

= R 0R

= 1a(t )


O desvio espectral

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temosλ0λe

= R (t 0)

R (t ) =

R 0

R =

1

a(t )

desvio espectral:

z ≡ λ0 − λe λe

portanto,

a(z ) = R

R 0

= 1

1 + z


O desvio espectral

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relação entre desvio espectral e fator de escala:

1 + z = 1

a

z depende apenas da razão entre os fatores de escala quandoa luz foi emitida e quando foi recebida e, portanto, é uma

medida de quanto o universo se expandiu desde que a luz foiemitidaEx.: z = 1 −→ a = 1/2 - as escalas no universo eram metadedo que são hoje

universo em expansão: R (t 0) > R (t ) (ou a 0 eλ0 > λe −→ a radiação sofre redshiftHoje (a = 1): z = 0Big-Bang (a = 0): z = ∞


Equações de Friedmann - Lemâıtre (EFL)

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as equações de evolução do fator de escala que derivamos na

cosmologia newtoniana são, na forma, parecidas com a que seobtém das equações de campo da TRG, com a MRW

tensor de energia-momentum: depende da distribuição dematéria e energia (ρ(t ) e p (t ))

(note que na TRG p contribui para a energia!) Equações de Friedmann - Lemâıtre:

ȧ

a2

= 8πG

3 ρ− Kc

2

a2

ä

a = −4πG

3

ρ +

3p

c 2


Equações de Friedmann - Lemâıtre

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Equações de Friedmann - Lemâıtre (EFL):

ȧ

a

2=

8πG

3 ρ− Kc

2

a2

ä

a = −4πG

3

ρ +

3p

c 2

K = k /R 20 dessas equações vem que:

d dt

(ρa3) = − p c 2

d dt

(a3)

EXERĆICIO: MOSTRAR ISSO


A equação de estado

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relação entre a pressão e a densidade: p = p (ρ) com a relação

d

dt (ρa3) = − p

c 2d

dt (a3)

temos, por exemplo: matéria (“poeira”, p = 0): ρm ∝ a−3 radiação (p = ρr c

2/3): ρr ∝ a−4 vácuo: p = −ρv c 2, ρv = Λ/(4πG ) (pressão negativa) modelo simples para energia escura:

p = w ρc 2, com w constante

diferentes equações de estado −→ diferentes modelos ecomportamentos para a(t )


A constante cosmológica

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universo onde, além de matéria e radiação (com densidade epressão ρ e p ), tem também a energia do vácuo (w =

−1)

ρ → ρ + ρv e p → p + p v com p v = −ρv c 2,

ȧ

a2

= 8πG

3 ρ− Kc

2

a2 +

Λ

3

eä

a = −4πG

3

ρ +

3p

c 2

+

Λ

3

onde

Λ ≡ 4πG ρv é a chamada constante cosmológica

note que, se p e ρ são positivos, não existe solução estáticadas EFL sem constante cosmológica





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proposta por Einstein (1919) para se obter uma soluçãoestática (isto é, independente do tempo)

a lei de Hubble só seria descoberta em 1929

Einstein: “o maior erro de sua vida” hoje é associada à “energia do vácuo” (equação de estado

com pressão negativa)

vácuo: o estado de menor energia de um certo campo f́ısico

é a “explicação ” mais simples para a “energia escura”



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mas w pode depender do desvio espectral z !

modelo simples:

w == w 0 + w a[1− a(z )] = w 0 + w az

1 + z ,

com w 0 e w a constantes

este tipo de modelo deverá ser testado nos surveys dospróximos anos


Parâmetros cosmológicos

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parâmetro de Hubble:

H (t ) = ȧ

a

parâmetro de densidade:

Ω = ρ(t )

ρc (t )

onde

ρc (t ) = 3H 2

8πG

é a densidade cŕıtica





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Quando se tem várias espécies simultaneamente, pode-sedefinir um parâmetro de densidade para cada espécie,Ωi = ρi (t )/ρc (t )

Por exemplo, para os bárions:

Ωb = ρb (t )

ρc (t )





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parâmetro de densidade do vácuo (ou constante cosmológica):

Ωλ = Λ

3H 2

parâmetro de curvatura:

Ωk ≡ − kc 2H 2R 2

parâmetro de desaceleração:

q = − äaȧ2 = − äaH 2 todos esses parâmetros dependem do tempo



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valores atuais desses parâmetros, de acordo com a equipe doWMAP (Hinshaw et al. 2008; assumindo Ωk = 0): H 0 =70.1 km s

−1 Mpc−1

ρc ,0 = 1.88× 10−29

h2

g cm−3

= 9.2× 10−30

g cm−3

Ωm,0 = 0.28 Ωλ = 0.72 Ωb ,0 = 0.0462


Dinâmica dos universos de Friedmann

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modelos de Friedmann: dominados pela matéria (ρ = ρm),com constante cosmológica e pressão nulas

nesse caso, q = Ω/2 (EXERĆICIO: MOSTRAR ISSO)

3 soluções posśıveis: se q > 12 ou Ω > 1, então k = +1

universo fechado e oscilante se q = 12 ou Ω = 1, então k = 0

universo aberto em expansão perpétua se q < 12 ou Ω < 1, então k = −1

universo aberto em expansão perpétua


Dinâmica dos universos de Friedmann

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Figure: Evolução do fator de escala nos modelos de Friedmann: (i) k=-1; (ii) k=0; (iii) k=+1.


O modelo de Einstein-de Sitter

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modelo cosmológico muito simples: universo “plano”, apenascom matéria: k = 0, Λ = 0, p = 0 ρ = ρm = ρ0a

−3

a primeira das EFL fica:ȧ

a

2=

8πG

3 ρ =

8πG

3 ρ0a

−3

esta equação é fácil de resolver e dá

a(t ) = (6πG ρ0)1/3 t 2/3

logo,

ρ(t ) = 1

6πGt 2

H (t ) = 2

3t

ρc (t ) = 3H 2

8πG =

1

6πGt 2 = ρ(t ) −→ Ω = 1

EXERĆICIO: verifique essas equações


As 4 eras do Universo

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O paradigma cosmológico atual sugere que o universo passoupor 4 etapas distintas: o Big-Bang e a inflação a era da radiação a era da matéria a era da energia escura


A inflação



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Big-Bang: t = 0 e a = 0 singularidade nas equações possivelmente vai requerer uma nova f́ısica (do tipo gravitação

quântica)

inflação : fase muito curta, de expansão muito rápida (exponencial) teria ocorrido logo após o Big-Bang, talvez logo após a quebra

espontânea de simetria da grande unificação t ∼ 10−34 s (num certo cenário)


A inflação

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dinâmica do universo inflacionário: durante um breve intervalo de tempo o universo pode

ser considerado dominado pela energia do vácuo de um campoescalar (o inflaton), agindo como uma constante cosmológica

ρ ρI = cte ρr então,

ȧ2 ≈ 8πG 3

ρI a2

e, portanto,a

∝exp(H I t )

onde H I = (8πG ρI /3)1/2 (parâmetro de Hubble) é constante

EXERĆICIO: MOSTRAR ISSO


A inflação

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o problema da ”planura” (flatness ): WMAP: o universo tem curvatura nula, Ω = 1 para se ter Ω entre 0.95 e 1.05 hoje, na época da

recombinação (z ∼ 103) se deveria ter Ω entre 0.99995e 1.000005, a menos que a curvatura seja estritamente nula(k = 0)


A inflação

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a inflação produz um universo localmente plano

Figure: Esfera inflada por um fator 3 entre 2 imagens sucessivas


A inflação

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o problema do horizonte a informação viaja no máximo à velocidade da luz:há uma distância limite a que se tem acesso causal:raio do horizonte (∼ ct )

radiação cósmica de fundo: notavelmente uniforme na época em que ela foi emitida (z

∼1000), o

tamanho do horizonte era muito menor que o universoobservável hoje

nem todo o universo observável estava dentro de uma regiãocausalmente conexa e, portanto, não seesperaria que os fótons da radiação de fundo vindo de regiões

diferentes do céu tivessem essencialmente amesma temperatura!


A inflação

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”solução ”: com a inflação o horizonte também cresceexponencialmente e todo o universo observável hoje estaria

dentro de uma região causalmente conexa antes da inflação


A inflação

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flutuações primordiais de densidade: a inflação produz flutuações quânticas que são amplificadas:

as amplitudes dessas flutuações são aproximadamenteindependente da escala

a gravidade amplifica estas flutuações , produzindo galáxias,aglomerados, etc.

este cenário ajusta bem as observações


A era da radiação

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logo após o Big-Bang (e a inflação ) o universo éextremamente quente

sua dinâmica é regida pela radiação: p = ρc 2/3

nesse caso,

ρ ∝a−4

No expoente, 3 é devido à variação na densidade de fótons e 1é devido à variação da energia de cada fóton

considera-se que a radiação está em equiĺıbrio termodinâmico:

o espectro da radiação é planckiano e depende apenas datemperatura T


A era da radiação

densidade de radiacão em erg cm−3:

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densidade de radiaçao, em erg cm :

u = aT 4 = 7.566×

10−15T 4 erg cm−3 K−4

em g cm−3:

ρ = 4σSB

c 3 T 4 = 8.4× 10−36T 4 g cm−3 K−4

logo, a temperatura varia com o fator de escala como:

T ∝ a−1

fator de escala:

ȧ2 8πG

3 ρa2

pois no começo do universo, a densidade é muito grande. Dáı,

a ∝ t 1/2


A origem da matéria

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supõe-se que a matéria seja formada a partir do campo deradiação :interconversão de part́ıculas

pares de part́ıcula e antipart́ıcula de massa m estão emequiĺıbrio termodinâmico se kT >> mc 2:

p + p̄ 2γ

quando a temperatura cai abaixo de kT ∼ 2mc 2, o par se“desacopla” do campo de radiação : p e p̄ se aniquilam e aspart́ıculas que sobrevivem constituem as reĺıquias


A nucleośıntese primordial e a abundância dos bárions

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abundâncias t́ıpicas (em massa) observadas no universo hoje:H: ∼75%; He ∼25%; o resto: ∼1%

abundância do hélio: ∼25% estrelas: a nucleośıntese estelar só pode converter ∼5% da

massa em He Gamow (anos 40)- nucleośıntese primordial: nucleośıntese do

He no começo do universo


A nucleośıntese primordial

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depois da aniquilação sobra mais matéria que anti-matéria(porquê?)

p e n que sobram ficam em equiĺıbrio, via interações fracas:

p + e − n + ν

n + e + p + ν̄

a densidade relativa de p e n é dada pelo fator de Boltzmannbaseado na diferença de massa ∆m = mn −mp :

r = nn/np = exp(−∆mc 2/kT ) exp(−1.5× 1010K /T )



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os n livres são instáveis (tempo de decaimento = 890 s):

a razão pela qual os n existem é que estas interações fracasdesacoplam logo e a nucleośıntese primordial ocorre poucosminutos depois disso, de modo que a maior parte delestermina no núcleo de He e de outros elementos leves

série de reações nucleares: p e n se combinam para formar

núcleos atômicos mais pesados que o do 1H

têm o deutério D como intermedíario:

p + n D + γ

D + D 3He + n 3H + p

3H + D 4He + n





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deutério: pode ser formado via n + p −→ D é frágil: facilmente destrúıdo acima de ∼ 109K por

fotodissociação : D + γ −→ n + p mas abaixo de ∼ 109K o D pode sobreviver

abundância em massa do He prevista: Y 0.24 além do 4He e do D, na nucleośıntese primordial forma-se um

pouco de 3He, 7Li, 7Be

elementos mais pesados não se formam porque não há núcleosestáveis com massa atômica 5 e 8

quando t ∼ 3 min a nucleośıntese primordial termina



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Figure: Śıntese dos elementos leves no universo primordial.



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parâmetro η: número de bárions sobre o número de fótons

η ≡ np + nnnγ

densidade numérica de fótons para um corpo negro:

nγ = 2ζ (3)

π2

k B

c

3

T 3 20.2× T 3 cm−3

ζ (x ): função zeta de Riemann

dáı,η 2.74× 10−8(T /2.73K)−3Ωb h2

Ωb : parâmetro de densidade dos bárions


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Figure: Abundância dos elementos leves produzidos na nucleośıntese primordial em função da abundância debárions (e de η).



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dos elementos leves formados na nucleośıntese primordial,qual é o melhor bariˆ ometro ? que isótopo é melhor para se determinar η? a abundância do 4He é pouco senśıvel a η

3

He: sua formação e destruição em estrelas é pouco conhecida a abundância do D parece ser a melhor opção pois apresenta

forte dependência com η, além dele não ser produzido emestrelas

7Li: apresenta um comportamento com η não-monotônico



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Estimativas de abundâncias primordiais deut́erio

observações no UV (Ly-α); espectroscopia de alta resolução isótopo frágil: só é destrúıdo: sua abundância deve decrescer

com o tempo

meio interestelar local: D /H = (1.32± 0.08)× 10−

5 nuvem protosolar (4.6 Ganos atrás):

D /H = (2.1± 0.5)× 10−5

linhas de absorção em quasares (produzidos em ”nuvensLy-α”)D /H = (2.6± 0.4)× 10−5 (Kirkman et al. 2003)



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Figure: Observação de uma linha do D no espectro do quasar 1937-1009.



ĺıtioi i i d ” l d S i ”

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estimativas a partir do ”plateau de Spite”(Li/H vs metalicidade): 7Li /H = (2.6

±0.4)

×10−5

(em número; Ryan et al. 2000)

Figure: Abundância do Li (em massa) em função da metalicidade (abundância do Fe).



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Figure: Observações de uma linha do Li em 5 estrelas do aglomerado globular NGC6397, com modelossobrepostos.



4He

b d HII

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83/127

observações de regiões HII

extrapolação de Y

em função da metalicidade Y p = 0.2429± 0.0009 (Izotov & Thuan 2004)

Figure: Relação entre a abundância do 4He com a metalicidade de regiões HII. A abundância do He foideterminada a partir da intensidade das linhas λλ4471, 5876 e 6678 Å do He I.



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84/127

abundância dos bárions, obtida pela determinaçãodas abundâncias dos elementos leves(Kneller & Steigman, 2004):

4He: Ωb h2 = 0.0103± 0.0025

D: Ωb h2 = 0.0221

±0.0025

7Li : Ωb h2 = 0.0118± 0.0016 se Ωb h

2 0.022 e h = 0.7, temos que Ωb 0.045 note que Ωm 0.3, ou seja, a maior parte da matéria é não

bariônica!

É a matéria escura.


A era da matéria

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depois da era radiativa segue-se a era dominada pela matéria num universo dominado pela matéria:

p ∼ ρv 2 v é a velocidade t́ıpica das gaĺaxias v c −→ p ρc 2 e pode ser desprezado nas EFL

então,ρm ∝ a−3


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86/127

A época da recombinação


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Figure: Definição da época da igualdade.

Laerte Sodré Jr Cosmologia Básica

A época da recombinação

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durante a era radiativa, como o universo era muito quente, amatéria era ionizada

após o começo da era da matéria a temperatura cai abaixo dopotencial de ionização do hidrogênio e torna posśıvel aformação de átomos:

é a época da recombinação: z rec 1100 o universo, que era opaco aos fótons, fica transparente e a

matéria bariônica fica praticamente neutra

para z

∼10

−30 a “reionização ” ocorrerá, quando as

primeiras estrelas começarem a se formar


A era da energia escura

observações de SNs tipo Ia distantes levaram à descoberta deque o universo está se acelerando (ä < 0)

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89/127

que o universo esta se acelerando (a


90/127

modelo canonico : ΛCDM

um universo dominado por matéria escura fria com umaconstante cosmológica

com a equação de Friedmann

ȧa2

=

8πG

3 ρ− Kc 2

a2

é fácil verificar que num universo com matéria, radiação econstante cosmológica temos

Ωm + Ωr + Ωλ + Ωk = 1

EXERĆICIO: MOSTRE ISSO


O modelo padrão: ΛCDM

seja H( ) H E ( )

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91/127

seja H (z ) = H 0E (z )

E (z ) caracteriza a dependência em redshift do parâmetro deHubble

vamos reescrever o parâmetro de densidade de cada espécie:

Ωm

= ρm

ρc =

8πG ρm

3H 2

Como ρm = ρm0(R 0/R )3 = ρm0(1 + z )

3 e H = H 0E (z ),temos:

Ωm = 8πG ρm0(1 + z )3

3H 20 E 2 = Ωm0(1 + z )

3

E (z )2



Analogamente,

Ω = Ωr 0(1 + z )

4

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92/127

Ωr =E (z )2

,

Ωλ = Ωλ0E (z )2

,

Ωk = Ωk 0(1 + z )

2

E (z )2 ,

de modo que fica fácil ver que

E (z ) = [Ωm0(1 + z )3 + Ωr 0(1 + z )

4 + Ωλ0 + Ωk 0(1 + z )2]1/2

observações do WMAP e SNIa mais as considerações teóricasda inflação sugerem que o universo tem curvatura nula

(k = 0, Ωk = 0) e é dominado por matéria escura, Ωm0 0.3,e energia escura, Ωλ0 0.7

Ωr 0 é muito pequeno e a radiação pode ser desprezada(exceto na era radiativa, claro!)



modelo para o universo atual:k = 0, matéria e constante cosmológica

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93/127

g

a =

Ωm0Ωλ0

1/3

sinh2/3

3H 0Ω1/2λ02

t

Figure: Expansão para diferentes valores de Ωm e Ωλ. De cima para baixo as curvas descrevem(Ωm, Ωλ) = (0.3, 0.7), (0.3, 0), (1, 0), (4, 0).



o universo passou a maior parte de sua vida em expansãod l d i t t t t

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94/127

desacelerada mas, mais recentemente, a constante

cosmológica sobrepujou a densidade de matéria, produzindouma fase de expansão acelerada

inflexão desaceleração - aceleração : ä = 0

aI = Ωm0

2Ωλ01/3

isso acontece em

t I =

2

3H 0Ω1/2λ0

arcsinh 1

2

t 0/t I 1.84; z I 0.7



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95/127

num universo com k = 0, a densidade da energia escura (Ωλ)domina a da matéria (Ωm) para z


96/127

¸ p

H = H 0E (z )

E (z ) =

Ωm0(1 + z )3 + Ωk 0(1 + z )

2 + Ωλ01/2

(onde desprezamos a radiação)

como H = ȧ/a e a = (1 + z )−1, temos

H = − ż 1 + z

ou,dt = − dz

(1 + z )H


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97/127

A idade do universo


98/127

idade do universo no redshift z :

t (z ) = τ H

∞

z

dz

(1 + z )E (z )

look-back time de um objeto no redshift z :

t l (z ) = t 0 − t (z ) = τ H z

0

dz

(1 + z )E (z )


A idade do universo

universo de curvatura nula:

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99/127

t (z ) = 23

τ H Ω−1/2λ0 arcsinh

Ωλ0

Ωm0(1 + z )3

1/2

no intervalo de interesse (0.1


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revisão: Demarque, 1997, The ages of globular star clusters -tem no Level 5 turn-off (TO): a estrela termina de queimar H no núcleo e vai

para o ramo das gigantes no diagrama HRlimite de Schemberg-Chandrasekhar (1942): a queima do Htermina quando

∼10% da massa da estrela é convertida em

He t TO : depende principalmente da massa da estrela, mas

também de Y , Z , convecção , rotação ...

t TO ∝ M −2

Maeder (XEAA): modelos com rotação aumentam asestimativas de idade dos AG até 25%!


A idade do universo

Chaboyer et al. (1998): t AG = 11.5± 1.3 Ganos t 0: depende da época de formação dos AGs

P k t t´ t 12 16 G

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101/127

Peacock: t 0 esta entre 12 e 16 Ganos

Figure: Isócronas superpostas ao diagrama cor-magnitude do aglomerado globular M15.


A idade do universo

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102/127

Figure: Estimativas de idade do universo e dos objetos mais velhos da galáxia (Lineweaver, 1999, Sci. 284,1503; tem no Level 5).


A idade do universo

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103/127

Figure: Idade do universo e lookback time (em unidades do tempo de Hubble) em função do redshift paravários modelos cosmológicos (Ωm0, Ωλ0). Linha sólida: (1,0); pontilhada: (0.05,0); tracejada: (0.2,0.8).


Distâncias

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104/127

Hogg (1999): Distance Measures in Cosmology ,astro-ph/9905116

o conceito de distância não é único em um espaço-tempodinâmico

medidas de distância relacionam 2 eventos em geodésicasseparadas que estão em um mesmo cone de luz; podem sercaracterizados pelos tempos t e e t 0 de emissão e observação,ou pelo fator de escala nesses tempos, R (t e ) e R (t 0), ou pelosredshifts correspondentes, z e e z 0


Distância própria e comóvel

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distância própria entre dois eventos ao longo de umageodésica, D p note que não se mede D p !

elemento de distância própria: dD p = cdt

como dt =−

dz /[(1 + z )H ], é fácil verificar quedD p = D H dz /[(1 + z )E (z )], onde

D H = c

H 0 3000 h−1 Mpc

é a distância de Hubble



distância própria entre dois eventos em z 1 e z 2:

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106/127

D p = D H

z 2

z 1

dz

(1 + z )E (z )

toda a cosmologia está embutida em E (z )

distância comóvel D c

dD p = (R /R 0) dD c

distância comóvel entre z 1 e z 2:

D c = D H z 2

z 1

dz

E (z )


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108/127

note que não se pode medir diretamente nem as distânciaspróprias nem as distâncias comóveis

entre as distâncias que se medem, as mais importantes são asde luminosidade e de diâmetro



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109/127

Figure: Distância comóvel entre O e G, D c , sobre um ćırculo.


Distância de luminosidade

D l : medida por métodos baseados na luminosidade aparente

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classicamente, fluxo, luminosidade e distância estãorelacionados como

f = L

4πD 2

elemento de área (hoje) na métrica de RW:

dA = R 20 σ2 sin θd θd φ = R 20 σ

2d Ω

área de uma esfera de “raio” σ hoje é

A = 4πR 20 σ2



L(ν, t )d ν : energia emitida por uma galáxia G por segundocom frequência ν entre ν e ν + d ν no instante t

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111/127

esses fótons são recebidos com energia menor, devido aoredshift:

hν 0 = hν

1 + z

além disso, essa energia é recebida em um intervalo de tempo

maior:∆t 0 = (1 + z )∆t

energia recebida por cm2 por s (fluxo) no intervalo[ν 0, ν 0 + d ν 0]:

f (ν 0, t 0)d ν 0 = L(ν, t )d ν

4πR 20 σ2(1 + z )2

= L(ν, t )d ν

4πD 2l



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f (ν 0, t 0)d ν 0 = L(ν, t )d ν

4πR 20 σ2(1 + z )2

= L(ν, t )d ν

4πD 2l

onde

D l = R 0σ(1 + z )

D l é denominada distância de luminosidade



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113/127

Figure: Distância de luminosidade normalizada em função do redshift para três modelos de mundo:(Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha sólida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.


Distância de diâmetro

distância de diâmetro (D A; “A” de aperture ): obtida pelosmétodos baseados no tamanho aparente

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sendo ∆θ o tamanho aparente de um corpo de diâmetro D , adistância de dîametro D A é tal que

∆θ = D

D A

dîametro próprio:D = R σ∆θ

como 1 + z = R 0/R , temos

D A = R 0σ1 + z

= D l

(1 + z )2



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em estudos de lentes aparece a distância de diâmetro entre oredshift z 1 e z 2 (z 1


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em um universo dominado apenas por matéria, vale a relação de Mattig (1959):

D A(z ) = 2c

H 0Ω2m0(1 + z )2 [Ωm0z + (Ωm0− 2)( 1 + Ωm0z − 1)]



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Figure: Distância de diâmetro normalizada em função do redshift para três modelos de mundo:(Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha sólida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.


Cálculo das distâncias

”distância comóvel transversal”: D M R 0σ



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≡então, D l = (1 + z )D M e D A = D M /(1 + z ) logo, se conhecermos D M (z ) podemos calcular D l (z ) e D A(z )

distância comóvel de um objeto no redshift z :

D c = D H z

0

dz

E (z ) = R 0S (σ)

então, se k = +1: D M = R 0 sin(D c /R 0) k = 0: D M = D c k = −1: D M = R 0 sinh(D c /R 0)


Cálculo das distâncias

2 2 2

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Ωk 0 = −kc /(H 0 R 0 ), de modo que, se k for diferente de zero,R 0 = D H /

|Ωk 0|

juntando tudo, temos:

k = +1: D M = D H / |Ωk 0| sin |Ωk 0|D c /D H

k = 0: D M = D c k = −1: D M = D H /

|Ωk 0| sinh

|Ωk 0|D c /D H

onde D c /D H =

z

0 dz /E (z )


Volumes

espaço euclidiano: o elemento de volume é dV = r 2d Ωdr

espaços curvos, com a MRW,

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dV = R 2σ2d ΩRd σ√

1− k σ2

substituindo Rd σ/√

1

−k σ2 por cdt =

−cdz /[(1 + z )H ], o

elemento de volume fica:

dV = D H D

2Ad Ωdz

(1 + z )E (z )

elemento de volume comóvel:

dV c = (1 + z )3dV


Volumes

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121/127

contagem de objetos: qual é o número de objetos dentro ded Ω e dz ?

dN = n(z )dV

onde n(z ) é a densidade de objetos no redshift z


Volumes

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122/127

Figure: Elemento de volume comóvel normalizado,(1/d H )3(dV c /dz ), em função do redshift para três modelosde mundo: (Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha sólida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.


Exerćıcios

1. Mostre que, com a constante cosmológica, é posśıvel obter-se uma

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solução estática para o universo: o “universo de Einstein”. ComoΛ se relaciona com ρ? Em termos de curvatura, que tipo deuniverso é esse? Qual é seu “raio”?

2. Um quasar em z = 1 varia com uma escala de tempo observada de

1 ano. Qual é a escala de tempo de variabilidade no referencial doquasar? Esse resultado depende do modelo cosmológico?

3. Suponha que k = 0 e Λ = 0. Calcule H (t ) para um universodominado apenas por radiação e apenas por matéria.

4. Suponha que a densidade de energia e a pressão estão relacionadascomo p = w ρc 2, com w constante. Mostre que ρ ∝ R −3(1+w ).


Exerćıcios

M k2

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5. Mostre que, se k = 0 e p = w ρc , com w constante, entãoR ∝ t 23(1+w ) .

6. Mostre que η 2.74× 10−8(T /2.73K)−3Ωb h2.7. Suponha que o modelo de Einstein-de Sitter esteja correto e que os

aglomerados globulares tenham pelo menos 12 Ganos. O que vocediria sobre H 0?

8. Calcule t l e t (z ) para o modelo de Einstein-de Sitter. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessas quantidades emz = 1 e z = 15.


Exerćıcios9. Mostre que

t (z ) = 2

3τ H Ω

−1/2λ0 arcsinh

Ωλ0Ωm0(1 + z )3

1/2

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é a idade do universo num redshift z para um universo decurvatura nula com matéria e constante cosmológica. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessa quantidade emz = 1 e z = 15. Compare com Einstein-de Sitter.

10. Friaça, Alcaniz & Lima (2005) estudaram o quasarAPM08279+5255, em z = 3.91. A razão de abundância Fe/Oobservada é 3.3 em unidades solares. Usando um modelo deevolução qúımio-dinâmico do quasar, concluem que sua idade ét q =2.1 Ganos. Discuta as implicações disso para a constante deHubble, supondo um universo plano com Ωm0 = 0.3 e Ωλ0 = 0.7.

11. Mostre que num universo de Einstein-de Sitter, o diâmetroaparente em função do redshift tem um ḿınimo. Determine oredshift onde isso ocorre.


Exerćıcios

12. Use Einstein-de Sitter para estimar a quanto corresponde, emminutos de arco, um diâmetro de 1Mpc em z igual a 0.5, 1., 1.5 e

2

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2.13. Faça um programa para reproduzir as figuras que mostram as

idades, e as distâncias de luminosidade e diâmetro em função doredshift.

14. Use o site icosmo (www.icosmo.org) para estudar um modelo ondea energia escura pode ser descrita como

w = w 0 + w a(1− a)

Suponha que w 0 = −1 e w a = ±0.1. Que variação isso produz nasdistâncias de diâmetro e luminosidade em z = 0.8 em relação aomodelo ΛCDM convencional ( w 0 = −1 e w a = 0)?


Referências

Hi h G t l 2008 Xi 0803 0732

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Hinshaw, G. et al., 2008, arXiv:0803.0732Hogg, D.W., 1999, astro-ph/9905116Kneller, J.P., Steigman, G., 2004, astro-ph/0406320Peacock, J.A., 1999, Cosmological Physics , CUPSteigman, G., 2007, arXiv:0712.1100

um site muito útil é o Level 5:A Knowledgebase for Extragalactic Astronomy and Cosmology

http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/

http://find/

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Ufpr - Introdução a Cosmologia