Universidade do Vale do Rio dos Sinos – UNISINOS Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

Modelagem matemática

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Definição inicial do sistema

Geometria e configuração do sistema

Diferentes componentes ou subsistemas que constituem o sistema

Interação entre os vários componentes

Quantidades dadas ou fixadas no sistema

Valores iniciais das variáveis de projeto

1 2 3 4

5 6 7 8

1 Processo físico, sistemas e componentes

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• Definir as características físicas dos

componentes de cada sistema e como eles se combinam, em termos de material, fluxos de calor e fluido, etc.

• O comportamento do sistema pode ser representado graficamente (qualitativa e idealizada)

• Variações de T, p e V com z e t podem indicar a natureza do processo

• Os números e detalhes quantitativos são obtidos através de cálculos analíticos e numéricos.

Sistema de refrigeração por compressão de vapor

Sistema de refrigeração por absorção

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2 Modelagem

• É o processo de simplificar um dado problema de modo que possa ser

representado em termos ou de um sistema de equações, para análise, ou de um arranjo físico, para experimentação (modelo);

• MODELO: idealização da realidade que retém suas principais característica e que é matematicamente tratável;

• Procedimentos analíticos e experimentais são empregados para modelar o sistema.

• Modelamento: entender e predizer o comportamento e características dos sistemas térmicos.

Entradas: variedade de condições operacionais

Saída: caracteriza o comportamento do sistema

• Precisão e validade do modelo

1 2

3 4

5 6 7 8

5

Modelos Descritivos: descrevem e explicam vários fenômenos físicos.

Ex: modelos de um motor de combustão interna, um trocador de calor, ou uma bomba de água, construídos em plástico transparente ou com um corte, são usados para explicar como o dispositivo funciona internamente e os mecanismos básicos.

Modelos de Predição: permitem prever o desempenho de um

sistema. São de interesse para projeto.

Ex: A equação que rege o resfriamento de uma esfera de metal imersa em um banho de água fria.

T=f(r,t, Ti, propriedades, propriedades da água e do material)

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Na Modelagem de Sistemas Térmicos

Deve-se considerar variações de espaço e tempo, mecanismos não lineares, complicadas condições de contorno, processos de transferência combinados, geometrias complexas, propriedades variáveis.

e os Modelos

São governados por equações dependentes do tempo, multidimensionais, diferenciais parciais não lineares com complicados domínios e condições de contorno.

- Ter percepção física do problema:

- base para simplificação e obtenção de um modelo

- resultado da experiência com sistemas térmicos.

- Ser um processo inovador, baseado na experiência, conhecimento e originalidade.

- Usar técnicas de análise dimensional e similitude

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Importância dos experimentos e dados

- Ajudam a análise dimensional para determinar parâmetros adimensionais importantes

- Validação dos modelos matemáticos ou numéricos

- Estabelecer a precisão dos resultados obtidos

Ajuste de curvas:

- para obter correlações apropriadas para caracterizar os dados

- representar dados numéricos de forma compacta e conveniente

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Tipos de modelos de predição

a. Modelo de Analogia e Similaridade

Ex:

1. Condução através de parede multicamadas

Analogia com circuito elétrico:

Resist. elétrica Resist. Térmica

I fluxo de calor

V T

2. Similaridade: Analogia Transferência de Calor e Transferência de Massa

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b. Modelo matemático

Representa o desempenho e as características de um sistema por equações matemáticas

Modelo pode ajudar na compreensão física ou na curva de ajuste de dados experimentais ou numéricos

1. Teórico (ou Analítico): Utiliza os princípios da física e da química para obter as equações diferenciais que regem o processo a ser modelado; 2. Empírico (ou Experimental): Usa a observação direta dos dados operacionais do processo para obter as equações que o descreve.

Ex: correlações de transferência de calor na convecção

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Um modelo matemático analítico de um sistema dinâmico é gerado em duas etapas: 1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico cujo comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real. Simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída escolhidas. 2. Derivar um modelo matemático para representar o modelo físico, isto é, escrever as equações do modelo físico. Leis físicas e/ou químicas apropriadas são aplicadas para gerar um conjunto de equações (diferenciais ordinárias) para as variáveis de entrada e de saída.

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Modelo físico: assemelha-se ao sistema real em suas características mais importantes, mas é mais simples. É usado para obter dados experimentais do comportamento do sistema

Escoamento de fluido sobre um carro

Estudos em túnel de vento para verificar a força de arraste agindo no corpo ou a transferência de calor

Transferência de calor de um corpo

aquecido

A habilidade para simplificar a ponto de não invalidar o modelo é o ponto crucial em sua elaboração. • Aproximações possíveis: – Desprezar pequenos efeitos; – Assumir que o ambiente em torno do sistema não seja afetado por ele; – Substituir características distribuídas por concentradas; – Assumir relações lineares entre as variáveis físicas; – Assumir que os parâmetros físicos não variem com o tempo; – Desprezar incertezas e ruídos.

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Ex: Tanque para aquecimento de uma dada substância (Sistema Real) Modelo Físico:

• Hipóteses:

– O tanque é termicamente isolado; – Não há armazenamento de calor no isolamento; – O líquido no tanque está perfeitamente misturado, isto é, a T é uniforme e igual a temperatura de saída.

• Variáveis utilizadas:

– Temperatura: T(t) [°C]; - Calor armazenado em um corpo: Q [kJ] – Taxa de calor: q [kW]

• Processo:

- Em um intervalo de tempo dt, entra no tanque uma massa dm à temperatura Te < Ts. - A massa m recebe calor do aquecedor e transfere calor para a massa dm. - Como dm é muito pequena quando comparada a m, a temperatura de dm varia de Te a Ts no intervalo de tempo dt.

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Então, para a substância de saída (quente), aplicando balanço:

Mas,

Logo:

• Da equação:

– Parâmetros do sistema: C (capacidade calorífica, mcp) e R resistência térmica

– Variáveis externas a serem fornecidas

em função do tempo para que a equação tenha solução: qe(t) e Te(t) – Incógnita: Ts(t) – Condição inicial: Ts em t=0 – Caso dTs(t)/dt = 0, tem-se o modelo em regime estacionário.

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Modelo numérico: baseados em modelos matemáticos onde as equações que descrevem o processo (algébricas, ordinárias, diferenciais parciais, integrais) são discretizadas

- Métodos de solução: diferenças finitas, elementos finitos, volumes finitos

- Exige validação

Os modelos podem também ser classificados como: 1. Permanente ou dinâmico Permanente ou estacionário: propriedades ou variáveis de operação não variam com o tempo Dinâmico ou transiente: aspectos dependentes do tempo Ex: desenvolvimento de sistemas de controle para processos térmicos e dispositivos, materiais, tratamento térmico

tempo

tem

pera

tura

Estado estacionário

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2. Determinístico ou probabilístico Determinístico: envolve certezas (análise de sistemas térmicos) Probabilístico: envolve incertezas, que podem ser consideradas como randômicas ou representados por distribuições de probabilidade (modelos para fornecimento e demanda)

3. Concentrado ou distribuído

Concentrado: envolve valores médios em dado volume

Ex: Temperatura considerada uniforme

- Em regime permanente equações algébricas são obtidas, invés de equações diferenciais. Equipamentos de AC e refrigeração, motores de combustão interna, plantas de potência...

- Em transiente a mudança de variáveis somente com o tempo, T(t), resulta em equações diferenciais ordinárias, invés de parciais.

- Distribuído: dá informações na variação espacial, T(x,t)

tem

pera

tura

tempo

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4. Discretos ou Contínuos Discretos: foca em itens individuais (estudo do transporte e variação de temperatura de um corpo) Contínuos: diz respeito ao fluxo de matéria no contínuo (o escoamento de gases quentes e energia térmica)

Considerações na modelagem Dimensões espaciais: número de dimensões espaciais para modelar um sistema - uni, bi e tridimensional Ex: cilindro longo unidimensional em r, parede plana de espessura L Simplificação das condições de contorno: Aproximar as fronteiras como lisas, desprezando a rugosidade, com geometria mais simples (placa plana, cilindro e esfera) e condições uniformes. Ex: corpo humano pode ser aproximado por um cilindro vertical longo

distribuição de velocidade não é importante para um canal longo, já que o

escoamento se desenvolve rapidamente.

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Efeitos que podem ser desprezados: efeito da radiação em relação à convecção a baixas temperaturas variação do volume de um material na mudança de fase

Idealizações: sistemas reais podem ser considerados em termos de seu comportamento ideal e o desempenho dado em termos de eficiência, COP ou efetividade. Ex: dispositivos termodinâmicos como turbinas, trocadores de calor, compressores, etc., idealizar quanto às perdas de energia, atrito, vazamento de fluidos processo isoentrópico trocador de calor isolado

Propriedades dos materiais: dependem de variáveis como temperatura e concentração.

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Leis de Conservação: massa, momento e energia formam a base das equações que governam sistemas e processos térmicos. Ex: considerando sistemas termodinâmicos em regime permanente e o modelo concentrado: - Balanço de energia na superfície interna da parede de um forno sob condições de regime permanente: equação não linear que requer método iterativo de solução; - Condução em uma parede unidimensional e transiente: k constante

- Equação da energia tridimensional em regime permanente:

)TT(L

k)TT(h)TT( ses is iq

4si

4q

x

Tk

xt

TC

2

2

x

T

t

T

0z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

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EXEMPLOS Planta de potência

W

W

q q

q

W

q

Sistema de refrigeração

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Suposições para cada componente: Condições de regime permanente ( dependência do tempo desprezada) Modelo de fluxo e temperatura concentrados (condições uniformes assumidas) Para o sistema de refrigeração, os balanços de energia são: No condensador: No evaporador: No compressor: Então o desempenho do sistema é dado por:

)hh(mq 32cond

)hh(mq 41evap

)hh(mW 12

12

41

evap hh

hh

q

WCOP