CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE

Condições variam com o tempo problema transiente ocorre quando as

condições de contorno variam.

Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no

interior do sólido começa a variar

Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de

temperatura estacionária

A energia é transferida por convecção e radiação na superfície do

sistema e condução no interior do sistema

O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises

considerando:

1. A variação de temperatura no interior do sólido desprezível (variação

com a posição) e somente há variação com o tempo: T(t)

2.A variação da temperatura do sólido com a posição e o tempo: T(x,t)

O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posição no

sólido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e

resfriamento:

- tratamento térmico

- lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma

corrente de ar frio

- produção de novos materiais com propriedades melhoradas

- congelamento de alimentos

1) MÉTODO DA CAPACITÂNCIA GLOBAL - T(t) (sólido com resistência interna desprezível)

Sólido submetido a uma variação térmica repentina

Ex:

Em t=0 uma peça metálica aquecida e na temperatura Ti é imersa em

um banho líquido na temperatura T (Ti>T)

Para t>0 a temperatura do metal diminui até alcançar T.

Isto se deve à convecção na interface sólido-líquido

Considerando que:

1) a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer

instante durante o processo, o que implica que o gradiente de

temperatura dentro do sólido é desprezível

2) da Lei de Fourier um gradiente desprezível implica a existência

de uma condutividade térmica, k, infinita.

Admite-se que:

A resistência interna à transferência de calor por condução dentro do

sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a superfície e

o meio (convecção).

Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área

superficial e o volume, ex: placas finas e fios.

Desprezando os gradientes de temperatura no interior d sólido a análise não

pode ser feita com a equação do calor.

A resposta transiente da temperatura é determinada por:

BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA NO SÓLIDO

Taxa de perda de calor do sólido = Taxa de variação da energia interna

acsai EE

Ws

J

s

K

kgK

Jm

m

kg

p

WKmKm

W

sdt

)t(dTVc)T)t(T(hA

3

3

2

2

Por conveniência se define:

T)t(T)t(

Substituindo resulta:

tlnhA

Vc i

Esta equação é usada para determinar o tempo em que um sólido leva para

atingir a temperatura T.

Também pode ser usada para calcular a temperatura do sólido no tempo t.

Vc

hAtexp

TTi

T)t(T

i

O termo

Vc

hA

1

massa do sólido

onde é denominada de constante de tempo térmica, em s, e representa

o tempo que levará um objeto à responder a qualquer variação no seu

conteúdo térmico.

1texp

TTi

T)t(T

i

Por analogia:

RhA

1

Resistência à T.C. por convecção

e

CmcVcρ == Capacitância térmica do sólido

então =RC

Qualquer aumento de R ou C causará uma resposta mais lenta do sólido às

mudanças no ambiente térmico e aumentará o tempo para alcançar o

equilíbrio térmico.

- A temperatura cai exponencialmente com o tempo, até alcançar T∞.

- Quanto maior a massa do corpo e seu calor específico, maior e, por

tanto, mais tempo leva para aquecer ou resfriar.

A energia total transferida Q é:

t0

t0 dthAqdtQ

substituindo

dt)tVc

hAexp(hAQ t

0 i

t

Vc

hAexpVcQ i

1 (J)

ou

–Q=Eac Q é + se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna

Q é – se a energia interna aumenta (sólido é aquecido)

Validade do método – para que condições o método pode ser aplicado

O método apresentado caracteriza-se por sua simplicidade e conveniência

para a solução de problemas transientes de aquecimento ou de

resfriamento.

A questão que surge é: quais as condições em que o método pode ser

aplicado com precisão satisfatória?

Para uma placa com uma superfície mantida à T1 e de temperatura T2 outra

exposta a um fluido com T. Fazendo um balanço na superfície:

)TT(hA)TT(L

kA 221

Bik

hL

R

R

hA/

kA/L

TT

TT

conv

cond

12

21

Número adimensional de Biot – Bi:

Razão entre as resistências interna e externa.

Dá a medida do decréscimo de temperatura no sólido relativo à

diferença de temperatura entre a superfície e o fluido.

Bi=hL/k

Se:

Bi<<1 é razoável assumir uma distribuição de temperatura uniforme

no sólido em qualquer tempo durante o processo transiente.

(T(x,t)T(t))

Aumentando o Bi o gradiente de temperatura dentro do sólido é

significativo T(x,t).

Bi>>1 o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre

a superfície e o fluido.

Para aplicá-lo testar se:

Bi = hLct/k < 0,1

onde Lct é o “comprimento da condução ou comprimento característico”,

que é definido para considerar outras formas geométricas, Lct=V/A

Se essa condição for satisfeita, o erro associado à utilização do método da

capacitância global é pequeno.

Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria

geométrica e térmica

- Parede plana de espessura 2L:

Lct = L

- Cilindro longo: Para um cilindro de raio r e altura

H o eixo de simetria está também em r = 0

Lct = r/2

- Esfera:

Para uma esfera de raio r, o eixo de simetria está em

r = 0:

Lct = re/3

Número adimensional de Fourier – Fo

Denominado tempo relativo

2ctL

tFo

Difusividade térmica pc

k

(m²/s)

Assim a equação pode ser escrita em função de Bi e Fo:

Fo.BiexpTTi

T)t(T

i

A equação escrita com estes dois números generaliza a equação para

diversos tipos geométricos.

Os números de Bi e Fo caracterizam a análise transiente.

Exemplo:

Em um processo de fabricação esferas de bronze de 50 mm de diâmetro estão

inicialmente a 120ºC e são submetidas a um processo de têmpera, que consiste em fazê-

las passar através de um banho de água a 50ºC por um período de 2 min a uma taxa de

110 esferas por minuto. Se o coeficiente de transferência de calor convectivo é de 240

W/m²K, determine:

a) A temperatura das esferas após o processo.

b) A taxa de calor que deve ser removida do banho de água para manter sua

temperatura em 50ºC.

c) A temperatura na superfície das esferas é diferente da temperatura no centro?

R:

Bi=0,023 – método Capacidade concentrada (T(t))

Fo=44,32

Lc=0,0083

Se as esferas fossem de aço inoxidável (cp=502 J/kgK, k=14,5 W/mK, =8003 kg/m³,

=3,6x10-6m²/s) e 150 mm de diâmetro, calcule os mesmos parâmetros.

Bi=0,41- método espacial (T(r,t)

Lc=0,025

Fo=?

Esferas 120ºC

Banho de água 50ºC

Análise geral do MCG

Outros processos induzem a condição térmica transiente no interior do

sólido:

- sólido pode estar separado da vizinhança por um gás ou pelo vácuo

se a temperatura do sólido e da vizinhança forem diferentes a

radiação pode causar variação da energia interna no sólido e na sua

temperatura

- fluxo térmico na superfície

- início de um processo de geração de calor no interior do sólido (passagem

de corrente elétrica por exemplo)

dt

dTVcρA)"q"q(qA"q )r,c(sradconvg)a(ss =++

dt

dTVcρA)]TT(εσ)TT(h[qA"q )r,c(s

4viz

4g)a(ss =++ ∞

Vizinhança

Tv

-

- - -

Solução: 1) ou por diferenças finitas

2) ou solução exata para condições simplificadas:

Exemplo 1: sem q”, sem qg, sem convecção

dt

dTVcρA)TT(εσ r,s

4viz

4

T

Ti44

viz

t

0

r,s

)TT(

dTdt

Vcρ

σAε

vizvizviz

viz

viz

viz

vizrs T

Ti

T

T

TiT

TiT

TT

TT

TA

Vct 11

__3

,

tantan2lnln4

Exemplo 2: sem q” e sem qg, mas com convecção e radiação

dt

dTVcρA)]TT(εσ)TT(h[ s

4viz

4 =+∞

RradRconv

RcondBi

+=

- - -

C)RradRconv(τ +=

Gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis

- Determinação da distribuição de temperatura no interior do sólido como

uma função do tempo e da posição

Problema da condução transiente unidimensional adimensionalizado

Equação diferencial cuja solução envolve: séries infinitas e equações

transcendentais.

Parede plana de espessura 2L: unidimensional, k constante e sem geração

Equação diferencial

)t,x(t

T

x

T

1

2

2

Condições inicial e de contorno

Condição inicial t=0 T(x,0)=Ti

Cond. de contorno x=0 0

x

T (simetria)

x=L ]T)t,L(T[hdx

dTk

T=T(x,t,Ti,T,L,k,,h)

Parede exposta a um meio a T∞<Ti em t=0

Transferência de calor da parede para o meio

Gradiente de temperatura na parede

-L x +L

Simetria em x = 0 basta analisar: 0 x L

Adimensionalizar as equações e condições permite:

diminuir a dependência da temperatura

arranjar as variáveis em grupos

Temperatura adimensional

TTi

TT

i

*

0 θ* 1

Coordenada espacial ou posição adimensional

L

xx* L = semi-espessura da parede plana 0 x* 1

Tempo adimensional: nº de Fourier, Fo 2

*

L

tFot

Equação diferencial torna-se:

Fox

*

*

*

2

2

Condição inicial: 10 ),x( **

Condições de contorno: 0x

)Fo,0(*

*

)Fo,1(Bi

x

)Fo,1( **

*

)Bi,Fo,x(f **

Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma

função de x*, Fo e Bi. A solução não depende de valores particulares.

A resolução envolve várias técnicas analíticas e numéricas, incluindo:

- transformada de Laplace; - método de separação de variáveis; -método

das diferenças finitas e dos elementos finitos.

1) Soluções analíticas: parede plana, cilindro longo e esfera

Fox

*

*

*

2

2

Método de separação de variáveis: consiste em expandir a função

arbitrária da série de Fourier.

A variável dependente é o produto de uma série de funções, cada uma

sendo função de uma única variável independente reduz a equação

diferencial parcial em uma série de equações diferenciais ordinárias.

*(x*,Fo) = f(x*)g(Fo) equações diferencias ordinárias uma função

de x* e outra de Fo

A solução exata é na forma de uma série infinita:

∑=∞

=1n

*1

21n

* )xξcos()Foξexp(Cθ

O coeficiente Cn é:

)ξ2(senξ2

ξsen4C

nn

nn +

=

e n são os valores discretos (autovalores) (raízes da equação

característica ou auto função).

Biξtanξ nn

A solução exata da equação é válida para qualquer tempo, 0 Fo ∞.

- n n

Primeiras 4 raízes da equação transcendental Biξtanξ nn para a

condução transiente em parede plana

Solução aproximada: para Fo > 0,2 a solução pode ser aproximada pelo

primeiro termo da série (erro menor que 2%)

Considerando o comprimento característico: Lct=V/A

Parede Plana de espessura 2L: Lct= L

Cilindro longo: raio externo: Lct = re

Esfera: raio externo: Lct=re

k

hLcBi 2Lc

tFo

A) Parede plana

- Temperatura

)xcos()Foexp(C **1

211

ou )xcos( **o

*1 onde

TTi

TTo)Foexp(C*

o2

11

C1 e 1 (em rad) são constantes tabeladas para cada geometria em função de

Bi

- Quantidade total de energia que deixou a parede até um dado instante de

tempo t

*o

o

sen

Q

Q

1

11

Qo - Energia interna inicial da parede em relação à temperatura do fluido

ou quantidade máxima de transferência de calor para tempo infinito.

)TTi(cVQo

B) Cilindro infinito – raio re

Idealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na

direção radial. Razoável para L/re 10

Solução exata:

1n

*n

2nn

* )rξ(Jo)Foξexp(Cθ

2r

tαFo

)ξ(J)ξ(J

)ξ(J

ξ

2C

n2

1n2

o

n1

nn

Bi

)ξ(J

)ξ(Jξ

n0

n1n

Solução aproximada – 1º termo da série

)rξ(Jo)Foξexp(Cθ *1

211

*

Jo= função de Bessel tabelada e re

rr*

ou )r(Jo **o

*1 onde

TTi

TTo)Foexp(C*

o2

11

)(JQ

Q*o

o11

1

21

J1= função de Bessel tabelada

C) Esfera – raio re

)rsen(r

)Foexp(C *

*

*1

1

211

1

ou )rsen(r

*

*

*o

*1

1

1

onde

TTi

TTo)Foexp(C*

o2

11

re

rr*

)cos()sen(Q

Q*o

o1113

1

31

Coeficientes usados nas soluções aproximadas (um termo das soluções em

série) para condução transiente unidimensional

Parede plana Cilindro longo Esfera

Bi = hL/k para parede plana e Bi=hre/k para cilindro e esfera

Funções de Bessel de primeiro tipo

Exemplos:

1. No estágio de reaquecimento do processo de têmpera uma

placa de aço de 100 mm de espessura que está inicialmente

a 200ºC deve ser aquecida até a temperatura máxima de

550ºC.

O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde

os produtos de combustão a 800ºC e mantêm um coeficiente

de transferência de calor de 250 W/m²K em ambas as

superfícies da placa.

a) Quanto tempo a placa deve ser deixada no forno?

b) Qual a energia total transferida, por unidade de área?

2. Um eixo cilíndrico longo de 30 mm de diâmetro

inicialmente a 1000 K, é subitamente resfriado pela imersão

em um grande banho de óleo que se encontra a uma

temperatura constante de 350 K.

k=1,7 W/mK, c=1600 J/kgK e =400 kg/m³.

O coeficiente de transferência de calor convectivo é de 50

W/m²K.

a) Qual o tempo necessário para que a superfície do cilindro

atinja 400 K? Qual seria a temperatura no centro e na

metade do raio neste tempo?

b) Represente a variação de temperatura da superfície do

cilindro no intervalo de tempo 0 <=t<= 300 s. Se o óleo

fosse agitado, fornecendo um coeficiente convectivo de

200 W/m²K como ficaria a variação de temperatura no

cilindro com o tempo de resfriamento?

Sólido semi-infinito

- Idealização útil para muitos problemas

práticos: simples superfície plana que se

estende ao infinito em todas as outras

direções

- Pode ser usado para determinar a resposta transiente perto da superfície

do solo ou a resposta transiente aproximada de um sólido finito onde

nos instantes iniciais a temperatura no interior do sólido ainda não foi

afetada pelas alterações superficiais

Por curtos períodos de tempo, a maioria dos corpos pode ser modelada

como sólidos semi-infinitos, já que o calor não tem tempo suficiente para

penetrar profundamente no corpo, e a espessura do corpo não entra na

análise de transferência de calor.

Por exemplo: - uma peça de aço de qualquer forma pode ser tratada como

um sólido semi-infinito quando é submetido a um tratamento térmico

(têmpera) rápido;

- um corpo cuja superfície é aquecida por um pulso de laser.

Considere um sólido semi-infinito com propriedades termofísicas

constantes, sem geração interna de calor, condições térmicas uniformes em

sua superfície exposta, e inicialmente uma temperatura uniforme de Ti por

toda parte.

A transferência de calor neste caso ocorre apenas na direção normal à

superfície (a direção x) e, portanto, é unidimensional.

Equações diferenciais são independentes das condições de contorno e

condições iniciais, portanto, para condução transiente unidimensional em

coordenadas cartesianas:

)t,x(t

T

x

T

1

2

2

Condição inicial t=0 T(x,0)=Ti

Condições de contorno

No interior do sólido: a profundidade do sólido é grande (x∞) em

comparação com a profundidade que o calor pode penetrar, e esses

fenômenos podem ser expressos matematicamente como uma condição de

contorno como:

T (x∞, t) = Ti

Na superfície:

Caso 1 - Temperatura constante na superfície: T(0,t)=Ts

Temperatura aumenta gradualmente dentro do sólido a medida que o calor

penetra mais fundo no sólido

Caso 2 – Fluxo de calor constante na superfície: dx

dTkq

Calor é continuamente fornecido ao sólido aumentando a Ts e do interior

do mesmo

Caso 3 – Convecção na superfície: ))t,(TT(hdx

dTk 0 e T(,t)=Ti

Soluções analíticas aproximadas: resposta dentro do sólido diferente para

cada situação:

Para resolver: )t,x(t

T

x

T

1

2

2

a técnica de separação de variáveis não funciona neste caso, uma vez que a

meio é infinito. Se utiliza uma abordagem que converte a equação

diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária, combinando as

duas variáveis independentes x e t em uma única variável , chamada de

variável de similaridade:

De modo que a equação diferencial ordinária é expressa somente em

função somente da variável .

E:

Obs: todo o desenvolvimento para encontrar as soluções desta equação se

encontram nas referências bibliográficas.

Caso 1 - Temperatura constante na superfície

t

xerf

TsTi

Ts)t,x(T

2 t em segundos e x em metros

erf é função erro de Gauss

e

t

)TiTs(kq

Caso 2 - Fluxo de calor constante na superfície

t

xerfc

k

qx

t

xexp

k

/tqTi)t,x(T

24

2 2

Sendo erfc(w)=1-erf(w) função erro complementar de erf (w)

Caso 3- Convecção

k

Th

t

xerfc

k

th

k

hxexp

t

xerfc

TiT

Ti)t,x(T

22 2

2

ou

Exemplo:

Na instalação de adutoras deve haver a preocupação com a possibilidade de

ocorrer congelamento durante períodos de baixa temperatura ambiente, em

locais de clima frio.

Considerando a temperatura da superfície constante ao longo de um

período prolongado de tempo frio, qual é a profundidade mínima que seria

recomendado para evitar o congelamento em condições nas quais o solo

está a uma temperatura inicial uniforme de 20ºC e é submetido a uma

temperatura constante na superfície de -15ºC por 60 dias?