1

ESTUDO DA CONDUÇÃO DE CALOR OBJETIVOS

- Determinar a distribuição de temperatura em um meio - Calcular o fluxo de calor usando a Lei de Fourier

Aplicações: - Conhecer a integridade estrutural de um meio em alguns pontos e em determinados momentos: expansão térmica, estresse térmico, expansões e deflexões. - Otimizar a espessura de um material isolante - Compatibilidade entre matérias, revestimentos especiais ou adesivos usados com o material COMO CONHECER A DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA 1. Formulação matemática do problema: - definir um volume de controle - aplicar o balanço de energia - identificar os processos de transmissão de calor no volume de controle - introduzir as equações das taxas de calor - obter uma equação diferencial 2. Solução geral da equação diferencial 3. Aplicação das condições de contorno 4. Solução do problema: distribuição de temperatura

2

A especificação da temperatura requer a definição de um sistema de coordenadas

A temperatura em um ponto no tempo é expressa como:

T (x,y,z,t) ou T(r,z,, t) ou T(r, ,,t) - tridimensional e transiente T (x) ou T(r) – unidimensional e permanente

1. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA

1) Definir um volume de controle

2) Identificar os processos de transferência de energia no volume

de controle

3) Aplicar um Balanço de Energia no volume de controle

a) Retangulares

(x,y,z)

b) Cilíndricas

(r,z,)

c) Esféricas

(r,,)

3

dt/dEqqq gse

Calor que entra ou sai do volume de controle: por condução Geração de calor: transformação de energia mecânica, elétrica, química ou nuclear em calor, no volume de controle Taxa de variação da quantidade de energia no volume de controle, ou energia acumulada: função da variação da energia interna, cinética ou potencial

Taxa de calor que entra no V.C.

Taxa de calor que sai do V.C.

- Taxa de geração de calor no V.C.

Taxa de variação da quantidade de energia no V.C.

+ =

Fenômenos de superfície Fenômenos de volume

4

Equação da condução de calor unidimensional A- Parede plana

Para um elemento de espessura x:

t

Eqqq elem

elem,gxxx

(1)

onde:

)TT(xcA)TT(mcEEE tttptttptttelem

xAqVqq gelemgelem,g

Substituindo:

t

TTcxA)xA(qqq ttt

pgxxx

(2)

qx qx+x

elemento de

volume, x

qg

5

A área A=y z para superfície plana é constante

Dividindo por Ax e aplicando o limite quando x0 e t 0, resulta em:

t

Tcq

x

q

A

1 )t,x(pg

x

(3)

Para sistemas sem geração e regime estacionário:

0x

qx=

d

d indica que a taxa de condução de calor não é

função de x

substituindo a Eq. da condução (Lei de Fourier) x

TkAq

)x(x

na Eq (3)

t

Tcq

x

TkA

xA

1 )t,x(pg

)x(

(4)

Como a área A para parede plana é constante, a equação do calor, ou equação da difusão unidimensional é:

t

Tcq

x

Tk

x

)t,x(pg

(5)

6

Casos: 1) Condutividade térmica, k, constante

t

T1

k

q

x

T g

2

2

onde pc

k

é a difusividade térmica do material (m2/s ou ft2/h)

Esta propriedade do material é associada à propagação do calor no meio durante as variações de temperatura e tempo.

2) Regime Transiente, k constante e sem geração de calor

t

T1

x

T

2

2

3) Regime permanente e k constante

0k

q

x

T g

2

2

=+d

d

4) Regime permanente, k constante e sem geração de calor

0dx

Td

2

2

7

Equação da condução de calor para um cilindro longo (unidimensional)

Elemento: Camada fina de espessura r e área A=2rL

t

TTrAcrAqqq ttt

pgrrr

t

Tcq

r

Trk

rr

1 )t,r(pg

1) k constante: t

T1

k

q

r

Tr

rr

1 )t,r(g

2) regime permanente: 0k

q

r

Tr

rr

1 g

3) regime transiente sem geração: t

T1

r

Tr

rr

1 )t,r(

4) regime permanente sem geração: 0dr

dTr

dr

d

r

1

qr

qr+r elemento de

volume, r

qg

8

Equação da condução de calor para uma esfera (unidimensional)

Elemento: Fina camada esférica de espessura r e área A=4r2

t

Tcq

r

Tkr

rr

1 )t,r(pg

2

2

1) k constante: t

T1

k

q

r

Tr

rr

1 )t,r(g2

2

2) regime permanente com geração: 0k

q

r

Tr

rr

1 g2

2

3) regime transiente sem geração: t

T1

r

Tr

rr

1 )t,r(2

2

4) regime permanente sem geração: 0dr

dTr

dr

d

r

1 2

2

qr

qr+r

elemento de

volume, r

qg

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EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR

EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR Aplicações:

- Fluxo de calor nas proximidades de um canto onde 2 ou 3 paredes se encontram

- Taxa de calor transferida através das paredes de um cilindro curto de parede espessa

- Taxa de calor perdida por um tubo enterrado

1) Coordenadas cartesianas

Equação de Fourier-Biot

t

T1

k

q

z

T

y

T

x

T )t,z,y,x(g

2

2

2

2

2

2

1) Regime permanente – Equação de Poisson

0k

q

z

T

y

T

x

T g

2

2

2

2

2

2

2) Regime Transiente e sem geração – Equação da Difusão

t

T1

z

T

y

T

x

T )t,z,y,x(

2

2

2

2

2

2

Elemento

de volume

zΔyΔxΔqg

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3) Regime Permanente e sem geração – Equação de Laplace

0z

T

y

T

x

T

2

2

2

2

2

2

2) Coordenadas cilíndricas

Áreas perpendiculares a r: (dz r d), z: (dr r d), : (drdz)

Para k constante:

t

T1

k

qT

r

1

z

T

r

Tr

rr

1 )t,z,,r(g

2

2

22

2

Componentes:

r – radial

z – axial

- circunferencial

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3) Coordenadas esféricas

Áreas perpendiculares a:

r: d.d.senrd.r.d.rsen 2 : dr.d.rsen e : dr.d.r

Comprimentos : r : .rsen

Para k constante

t

T1

k

qT

senr

1Tsen

senr

1

r

Tr

rr

1 )t,,,r(g

2

2

222

2

2

Equação geral para qualquer sistema de coordenadas:

t

T1

k

qT

g2

T2 - Laplaciano da temperatura

Componentes:

r – radial

- circunferencial

- angular

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Exemplos:

Determine a equação diferencial que descreve a variação de temperatura para cada um dos exemplos abaixo, listando as considerações feitas:

1. Considere uma panela de aço com água colocada em cima de um fogão elétrico. O fundo da panela possui 0,4 cm de espessura e 18 cm de diâmetro. Uma boca do fogão consome 800 W de potência durante o cozimento e 80 % do calor gerado é transferido uniformemente para a panela. Assumir que a condutividade térmica é constante. 2. A resistência de um aquecedor de 2 kW usado para ferver água é um fio com condutividade térmica de k=15 W/mK, diâmetro de 0,4 cm e comprimento de 50 cm. Supor que a variação da condutividade térmica do fio em função da temperatura é desprezível. 3. Uma esfera metálica de raio r é aquecida em um forno até a temperatura de 600 ºF, retirada do forno e deixada para resfriar em

temperatura ambiente T=75ºF por convecção e radiação. A condutividade térmica do material que compõe a esfera varia linearmente com a temperatura. Considerar que a esfera é resfriada uniformemente por toda a superfície externa. 4. Um pequeno lingote metálico de formato cilíndrico de raio R e altura h é aquecido em forno até 600 °F, retirado do forno e deixado para resfriar a temperatura ambiente de 65 °F por convecção e radiação. Assumindo que o lingote é resfriado uniformemente por toda sua superfície externa e que a variação da condutividade térmica do material em função da temperatura é desprezível, obtenha a equação diferencial que descreve a variação de temperatura do lingote durante o processo de resfriamento.

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Condições de contorno e iniciais

- A solução da equação da equação diferencial passa por um

processo de integração que envolve constantes.

- A solução só vai ser única quando forem especificadas as

condições existentes nas fronteiras do sistema com o meio.

As expressões matemáticas destas condições são chamadas

de condições de contorno.

Exemplo: Considere a variação de temperatura na espessura de uma

parede de tijolos de uma casa durante o inverno.

A temperatura em qualquer ponto da parede depende: das condições

nas duas superfícies da parede (x=0 e x=L), tais como a temperatura

do ar dentro da casa, a velocidade e a direção do vento e a incidência

de energia solar na superfície externa.

Duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada

direção do sistema de coordenadas, na qual a transferência

de calor é significativa.

Condição inicial: Expressão matemática da distribuição inicial

da temperatura no meio.

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A temperatura em qualquer ponto em um determinado

momento depende da condição no início do processo de

condução de calor (t=0).

Uma só condição inicial deve ser especificada (primeira

ordem em relação ao tempo).

Tipos de condição de contorno: - 1ª espécie: Temperatura especificada

- 2ª espécie: Fluxo de calor conhecido

x = 0 T(0,t) = T1

x = L T(L,t) = T2

x = 0 x∂

)t,0(T∂k=q

_o

"

x = L L"_

q=x∂

)t,L(T∂k

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Casos especiais: - fronteira isolada

- simetria térmica Imposta pelas condições térmicas nas superfícies Distribuição de temperatura em uma metade da placa é a mesma na outra metade (em relação ao plano central x=L/2). Não há fluxo de calor no plano central (superfície isolada).

x = 0 x∂

)t,0(T∂k=0=q

_o

" ou 0=x∂

)t,0(T∂

x = L T(L,t)=T

x = L/2 0=x∂

)t,2/L(T∂

Distribuição de

Temperatura

(simétrica em relação

ao plano central)

plano central

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- 3ª espécie: Troca de calor por convecção na superfície Condição mais comum encontrada na prática. Baseada no balanço de energia na superfície.

- Troca de calor por radiação na superfície

- Condições de contorno generalizadas

Condução de calor na

superfície em uma direção

escolhida

Convecção na superfície na

mesma direção =

x = 0 ))t,0(TT(h=x∂

)t,0(T∂k _

1∞1_

x = L )T)t,L(T(h=x∂

)t,L(T∂k 2∞

_2

_

x = 0 ))t,0(TT(=x∂

)t,0(T∂k 4_4

viz1_

x = L )T)t,L(T(=x∂

)t,L(T∂k 4

viz_4

2_

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Exemplos: Expresse as condições de contorno e inicial para cada caso:

1. Considere uma panela de alumínio com água para cozimento em um fogão elétrico. O fundo da panela possui espessura de 0,3 cm e diâmetro de 20 cm. A boca do fogão elétrico consome 800 W de potência durante o cozimento e 90% do calor gerado é transferido para panela. Durante a operação em regime permanente, a temperatura da superfície interna da panela é 110ºC.

2. Vapor flui através de uma tubulação a uma temperatura média de 200°C. Os raios interno e externo são 8 e 8,5 cm, respectivamente, e a superfície externa da tubulação está bem isolada. Se o coeficiente de transferência de calor convectivo na superfície interna da tubulação é de 65 W/m²°C, expresse as condições de contorno nas superfícies interna e externa da tubulação durante os períodos transiente.

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3. Uma bola metálica de raio ro é aquecida em um forno até alcançar 600°F, sendo então retirada do forno e colocada para resfriar à temperatura ambiente de 78°F. A condutividade térmica da bola é de 8,3 Btu/(hft°F) e o coeficiente convectivo médio na superfície externa é de 4,5 Btu/(hft²°F). A emissividade da superfície externa é de 0,6 e a temperatura média da vizinhança é 525 R. Considerando que a bola é resfriada uniformemente a partir de sua superfície externa, expresse as condições inicial e de contorno para o processo de resfriamento.

c.c.:

x=0

x=L