PROF. ALAN CRISPIMCONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAISNÚMEROS NATURAIS
Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.
NÚMEROS NATURAIS
A representação matemática deste conjunto é:
IN = {0,1, 2, 3, 4, 5, ... }
NÚMEROS INTEIROS
Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtração de 3 - 4 era impossível.
A ideia do número negativo, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas.
A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.
NÚMEROS INTEIROS
A representação matemática deste conjunto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
NÚMEROS RACIONAIS
Entretanto...surgiu outro tipo de problema:
“ “ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “
Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.
Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar, ou seja, estás a usar alguns elementos do conjunto dos números inteiros
Apartamento 4
Escritórios 3
Cabeleireiro 2
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio ?
Garagem ?
LavagemAutomática
?
Apartamento 4
Escritórios 3
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio ?
Garagem ?
LavagemAutomática
?
Cabeleireiro ?2
A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no botão ...
Apartamento 4
Escritórios 3
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio ?
Garagem ?
LavagemAutomática
?
Cabeleireiro 2
-1
Qual te parece ser o andar do ginásio?
14 de fevereiro de 201410
Apartamento 4
Escritórios 3
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio -1
Garagem ?
LavagemAutomática
?
Cabeleireiro 2
-2
E o andar da garagem?
Apartamento 4
Escritórios 3
Restaurante 1
Boutique 0
Ginásio -1
Garagem -2
LavagemAutomática
?
Cabeleireiro 2
-3
E o andar das lavagens automáticas?
REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem
ser representados numa recta por meio de pontos.
Consideremos uma recta r e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem.
Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita).
Desta maneira obtemos um eixo ou reta numérica.
O r1
+-
REPRESENTAÇÃO NA RETA
Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O.
Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.
+- O +1 +5
A
+- O +1-3
B
REPRESENTAÇÃO NA RETAO número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto.
+5A
+- O +1-3
B
A abcissa de A é +5A abcissa de B é -3
A origem tem abcissa zero.
ORDENAÇÃO
Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados.
Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.
2 3 4 50 1-1-2-3
Cada vez maior
ORDENAÇÃO
Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos:
2 3 4 50 1-1-2-3
+ 5 > + 2
Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:
+ 2 < + 5
Isto é, se a > b então b < a
• •
ORDENAÇÃODa observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes:
•Qualquer número positivo é maior do que zero.
•Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo.
+ 0,012 > 0
0 > - 35
+1 > - 35 + 0,5 > - 100;
•Zero é maior que qualquer número negativo.
VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)
Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.
A distância do ponto B à origem é 2.
A distância do ponto A à origem é 3.
2 3
A
4 50 1-1-2
B
-3
2 3
A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.
VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)
Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:
Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número.
Portanto, temos ainda que
+3 = 3
-2 = 2
0 = 0
Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:
NÚMEROS SIMÉTRICOS
Relativamente à origem da reta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância.
1 2 3 4-1 0-2-3-4
Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja,
- 4 = 4
Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.
NÚMEROS SIMÉTRICOS
Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto.
Exemplos de números simétricos:
- 0,3 = 0,3- 0,3 e 0,3 porque
1 e - 1 porque 1 = -1
Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:
0 = 0
NÚMEROS SIMÉTRICOSObservação
1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem).
Exemplos:
+ 100 > + 40
+ 0,5 > + 0,1
2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem).
Exemplos:
- 0,01 > - 10
- 3 > - 50
Números Simétricos
Simplificação da escrita
Na reta também se escreve 1, 2, 3,..., em vez de +1,+2,+3,...
+ (- 8) = - 8+ (+ 8) = + 8
Também:
1 2 3 4-1 0-2-3-4
Não é obrigatório escrever o sinal +
NÚMEROS SIMÉTRICOS
Na reta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor.
1 2 3 4-1 0-2-3-4
-2 é maior que - 4 - 2 > - 4
2 é maior que - 1 - 1 é menor que 2
2 > - 1 - 1 < 2
> maior < menor
ou