11. IntroduoGeometria Descritiva

2006/2007

Geometria DescritivaPrograma

1. Introduo 2. Projeces

2.1 Sistemas de projeco plana 2.2 Propriedades das projeces cnicas e

cilndricas 2.3 Mtodos de representao plana

2Geometria DescritivaPrograma

3. Mtodo da dupla projeco ortogonal(Mtodo de Monge) 3.1 Nomenclatura e convenes 3.2 Representao do ponto 3.3 Representao da recta 3.4 Representao do plano 3.5 Posies relativas

3.5.1 Paralelismo 3.5.2 Perpendicularidade

3.6 Interseco de rectas e planos 3.7 Mtodos auxiliares 3.8 Problemas mtricos

Geometria DescritivaPrograma

4. Estudo das superfcies e dos slidosgeomtricos 4.1 Classificao das superfcies e dos slidos

geomtricos 4.2 Representao das superfcies geomtricas

utilizando o mtodo da dupla projeco ortogonal 4.3 Seces planas de superfcies e slidos 4.4 Interseco de rectas com slidos 4.5 Sombras de slidos geomtricos

3Geometria DescritivaPrograma

1. Introduo

2. Projeces

2.1. Sistemas de projeco plana

2.2. Propriedades das projeces cnicas e cilndricas

2.3. Mtodos de representao plana

3. Mtodo da dupla projeco ortogonal (Mtodo de Monge)

3.1. Nomenclatura e convenes

3.2. Representao do ponto

3.3. Representao da recta

3.4. Representao do plano

3.5. Posies relativas

3.6. Interseco de rectas e planos

3.7. Mtodos auxiliares

3.8. Problemas mtricos

4. Estudo das superfcies e dos slidos geomtricos

4.1. Classificao das superfcies e dos slidos geomtricos

4.2. Representao das superfcies geomtricas utilizando o mtodo de Monge

4.3. Seces planas de superfcies e slidos

4.4 Interseco de rectas com slidos

4.5. Sombras de slidos geomtricos

Geometria Descritiva

Cincia que estuda os mtodos de representao rigorosa de figuras tridimensionais num plano

Permite resolver no plano problemas de geometria em que se consideram trs dimenses

4Resenha histrica Euclides (300 a.C.): algumas regras da

prespectiva Vitrvio (I a.C.): Cortes horizontais e verticais de

edifcios Leonardo da Vinci (XV): estudos para a

representao plana de objectos tridimensionais Gaspard Monge (XVIII): Geometria Descritiva

5

6

7

82. ProjecesGeometria Descritiva

2005/2006

9Sistemas de projeco Uma projeco fica definida pelos seguintes

elementos: Superfcie de projeco

Superfcie, normalmente plana (sistema de projeco plana), onde se forma a imagem (projeco) da figura do espao.

Origem de projeco ponto do espao, exterior superfcie de projeco, onde

concorrem todas as linhas projectantes. Linha projectante

recta que, passando pela origem de projeco e por um ponto da figura do espao, intersecta a superfcie de projeco segundo um ponto, que a imagem do referido ponto da figura.

Projeco

A

B

C

A1

B1

C1

O (Origem da projeco)

Superfcie de projeco

Pontos objecto

Linha projectante

Projeco de A sobre o plano

10

Tipos de projeco Projeco central ou cnica

A origem de projeco est situada a uma distncia finita

As rectas projectantes so concorrentes Projeco paralela ou cilndrica

A origem de projeco est situada a uma distncia infinita

As linhas projectantes so paralelas

Tipos de projeco Projeco central ou cnica

A

B

C

A1

B1

C1

O (Origem da projeco)

11

Tipos de projeco Projeco paralela ou cilndrica

Oblqua As linhas projectantes so oblquas ao plano de

projeco Ortogonal

As linhas projectantes so perpendiculares (ou ortogonais) ao plano de projeco

Tipos de projeco Projeco paralela ou cilndrica

A

B

C

A1

B1

C1

A

B

C

A1

B1

C1

Projeco paralela ou

cilndrica ortogonal

Projeco paralela ou

cilndrica oblqua

12

Tipos de projeco - Propriedades Projeco central ou cnica

Em geral, no mantm o paralelismo de rectas Excepo: mantm o paralelismo de rectas paralelas ao plano

de projeco Em geral, no mantm a perpendicularidade de rectas

Excepo: mantm a perpendicularidade de rectas paralelas ao plano de projeco

Em geral, os segmentos no so representados na sua verdadeira grandeza

A projeco de uma circunferncia no , geralmente uma circunferncia, mas sim uma elipse A projeco de uma circunferncia apenas ser uma

circunferncia se esta for paralela ao plano de projeco.

Tipos de projeco - Propriedades Projeco central ou cnica

13

Tipos de projeco - PropriedadesProjeco paralela ou cilndrica

Mantm o paralelismo de rectas Em geral, no mantm a perpendicularidade de rectas

Excepes: A projeco paralela ortogonal mantm a perpendicularidade quando uma das

rectas for paralela ao plano de projeco A projeco paralela oblqua mantm a perpendicularidade quando ambas as

rectas forem paralelas ao plano de projeco Em geral, os segmentos no so representados na sua verdadeira

grandeza Excepo: Um segmento paralelo ao plano de projeco representado

em verdadeira grandeza A projeco de uma circunferncia no , geralmente uma

circunferncia, mas sim uma elipse A projeco de uma circunferncia apenas ser uma circunferncia se

esta for paralela ao plano de projeco.

Mtodos de representao plana

Num sistema de projeco plana (O,) A cada ponto corresponde uma s projeco Mas o inverso no verdadeiro

A cada ponto projeco corresponde uma infinidade de pontos pertencentes mesma recta projectante

Se considerarmos uma figura tridimensional, a projeco no define a posio, a grandeza nem a forma do objecto.

14

Mtodos de representao plana

A

B

C

A1

B1

C1

G

D

E

H

I

F

LK

J Uma projeco no traduz univocamente o objecto projectado

Mtodos de representao plana Mtodo das projeces estereoscpicas Consiste em adoptar dois sistemas de

projeco com um plano comum de projeco. Por exemplo:

Uma projeco cnica e uma projeco cilndrica ortogonal (usada na Perspectiva Central, Cnica ou Rigorosa)

15

Mtodos de representao plana Mtodo das projeces estereoscpicas

A B

A1 B1

A1 B1

OO

Mtodos de representao plana Mtodo das projeces cotadas Os objectos so representados por uma

s projeco ortogonal num plano de projeco, sendo acompanhados da distncia do ponto sua projeco (cota). A cota pode ser positiva ou negativa

consoante o ponto se situa num dos semi-planos em que o plano de projeco divide o espao.

16

Mtodos de representao plana Mtodo das projeces cotadas

A

B

A1(3)B1 (2)

C

C1 (-1,5)

112126

114

Mtodos de representao plana Mtodo da dupla projeco ortogonal Utilizam-se simultaneamente dois

sistemas de projeco paralela ortogonal Se os planos de projeco escolhidos

forem perpendiculares (mtodo mais usual) este mtodo designado por mtodo de Monge ou geometria de Monge

17

Mtodos de representao plana Mtodo da dupla projeco ortogonal

A

A1

Eixo X

Linha de terra

0

A2

0

X

z

y

y ordenada ou afastamento

Plano horizontal (0 )

Plano frontal (0 )

z cota ou altura

A1 Projeco horizontal

A2 Projeco frontal

Mtodos de representao plana Mtodo da mltipla projeco ortogonal

18

Mtodos de representao plana Mtodo da mltipla projeco ortogonal

a) Alado principal

b) Planta

c) Alado lateral esquerdo

d) Alado lateral direito

e) Alado posterior

f) Vista superior

Mtodos de representao plana Axonometria

O objecto a projectar considerado solidrio a um sistema de trs eixos coordenados ortogonais;

Faz-se a projeco desses elementos, associados aos eixos, sobre um nico plano.

19

Mtodos de representao plana e Desenhos

Mtodo de

representao Desenhos

Mtodo da mltipla

projeco ortogonal Desenho de vistas

Projeco cilndrica Perspectivas rpidas /

Axonometria

Perspectiva Anisomtrica

Perspectiva Dimtrica

Perspectiva Isomtrica

Perspectiva Cavaleira

Perspectiva Area

Perspectiva Militar

Projeco cnica Perspectiva rigorosa

Geometria Cotada Desenho topogrfico