Raciocinio Lógico

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RESUMO DE RACIOCÍNIO LÓGICO

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ÍNDICEÍNDICEÍNDICEÍNDICE

ÍNDICE:

I Objetivos pg 3II Decifrando os editais pg 4III Lógica proposicional pg 15IV Estruturas lógicas pg 31V Diagramas Lógicos pg 32VI Associação lógica pg 33VII Verdades e mentiras pg 36VIII Matrizes e determinantes pg 38IX Sistemas lineares pg 48X Análise combinatória pg 50XI Probabilidades pg 57XII Trigonometria pg 63XIII Sequências e criptografia pg 70XIV Lógica de situações pg 73XV Geometria pg 76XVI Progressões pg 83XVII Matemática Básica pg 88XVIII Problemas com figuras pg.89XIX Raciocínio crítico pg.105




OBJETIVO DO TRABALHOOBJETIVO DO TRABALHOOBJETIVO DO TRABALHOOBJETIVO DO TRABALHOObjetivamos com este resumo fazer uma abordagem básica dos diversos assuntos que são cobrados pelas bancas examinadoras de concursos públicos no que se refere à matéria “Raciocínio Lógico”. Abordaremos os seguintes assuntos: lógica (incluindo diagramas lógicos, associação lógica e estruturas lógicas), matrizes, determinantes e sistemas lineares, análise combinatória e probabilidades, progressão aritmética e geométrica, sequências e criptografia, trigonometria e geometria, matemática básica e raciocínio crítico.

Abordaremos os “macetes” usados para agilizar a resolução dos exercícios, procurando dar uma visão geral dos diversos assuntos cobrados nesta matéria, bem como as diferentes formas de cobrança desta matéria pelas bancas examinadoras..

Didática pressupõe “saber explicar na medida certa”. Trabalhamos para expor os assuntos na medida certa, sem nos alongarmos em muitos exercícios, para que haja uma visão geral de forma otimizada. Esperamos ser bem didáticos nas explicações para que sejam desmistificados os segredos do assunto que as bancas chamam de “Raciocínio Lógico”.

Aconselhamos, porém, que sejam feitos muitos exercícios desta matéria, pois somente com muitos exercícios o concursando terá condições de enfrentar as questões das provas. Organizando a teoria de forma objetiva esperamos contribuir para que o concursando tenha sucesso na fixação do conteúdo. A leitura deste resumo facilitará bastante o concursando a se interar do conteúdo cobrado pelas bancas examinadoras nos editais de concursos públicos no que se refere à matéria “raciocínio lógico”.




DECIFRANDO OS EDITAIS DE CONCURSOS PÚBLICOS: - O QUE É RACIOCÍNIO LÓGICO PARA AS

BANCAS EXAMINADORAS?

DECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAIS




DECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISVerificando os diversos editais de concursos notamos que cada banca tem uma forma peculiar de cobrança desta matéria. Abaixo falaremos sobre estes diversos enfoques. Afinal: o que as bancas chamam de “raciocínio lógico”?. Há uma tendência de inovação de cobrança pelas bancas examinadoras?. Sim!, e iremos expor estas mudanças, de forma que o concursando também busque pelo aprendizado destas inovações.

1) CESPE – com a forma tradicional de cobrança na forma “certo ou errado” o Cespecostuma apresentar textos introdutórios longos nas questões, mas que normalmente nãosão fundamentais para a resolução da questão já que a informação principal se encontraem poucas linhas em forma de assertivas e perguntas e não na introdução da questão

A cobrança mais intensa nas provas é do assunto “lógica” (itens 1, 2, 3 e 4 abaixo) .

Veja abaixo o texto de um de seus editais referente ao concurso do Ministério da Saúde):




Exemplo de questão do Cespe de raciocínio lógico. notem que a introdução até o fim da tabela não é fundamental para a resolução da questão:





DECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAIS2) FCC – Esta banca examinadora tem cobrado raciocínio lógico de forma diferenciada conforme o concurso público. Recentemente, verificamos a cobrança de questões que envolvem a relação arbitrária entre pessoas. lugares, objetos ou eventos fictícios -conforme podemos verificar no edital abaixo-, em provas de analista e técnico de tribunais:

Edital do concurso para analista e técnico do TRT 16 - 2014 : www.concursosfcc.com.br/concursos/trt16113/edital_abertura_de_inscricoes_versao_final.pdf




DECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISExemplo de questão de raciocínio lógico cobrada atualmente pela FCC que envolve relações arbitrárias com circunstâncias, pessoas. Lugares, objetos ou eventos fictícios. Notem que em questões deste tipo são cobradas situações diferentes em cada problema, não há uma “receita de bolo” única.




DECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISDECIFRANDO OS EDITAISNos concursos de nível superior em nível máximo de cobrança a FCC tem se utilizado de inovações, como a cobrança de raciocínio crítico, que nada mais é do que a avaliação de situações através da interpretação lógica de textos.

Nas palavras do professor Weber Campos:“O programa de raciocínio crítico apresentado no edital do ICMS SP / 2013 é inédito na FCC, contudo esse raciocínio é composto por partes conhecidas para quem já fez algum curso de raciocínio lógico. pode-se afirmar que o raciocínio crítico é composto das seguintes partes: lógica proposicional, problemas lógicos, raciocínio aritmético e interpretação de textos”.

Edital do ICMS SP – Conteúdo programático da matéria Raciocínio lógico:





Exemplo de questão de raciocínio crítico (que envolve interpretação de textos):





3) ESAF – Veja abaixo o conteúdo programático de raciocínio lógico do edital de AFRFB – 2013. Notem o conteúdo “tradicional e aprofundado” de cobrança desta banca enfatizando bastante matemática em nível avançado:

Note que o edital está envolvendo também outras matérias como estatística, matemática financeira e matemática simples. Abordaremos somente as questões relacionadas à raciocínio lógico.





4) FGV - Apresentamos também o edital recente da FGV para o TJ-RJ. Vejam que o conteúdo do edital não difere muito dos demais.

RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO: Raciocínio Lógico Matemático - Lógica: proposições, valor-verdade, negação, conjunção, disjunção, implicação, equivalência, proposições compostas. Equivalências lógicas. Problemas de raciocínio: deduzir informações de relações arbitrárias entre objetos, lugares, pessoas e/ou eventos fictícios dados. Conjuntos e suas operações. Números naturais, inteiros, racionais, reais e suas operações. Representação na reta. Unidades de medida: distância, área, volume, massa e tempo. Álgebra básica: equações, sistemas e problemas do primeiro grau. Porcentagem, proporcionalidade direta e inversa, regras de três, juros simples e compostos. Sequências e reconhecimento de padrões. Princípios de contagem e noção de probabilidade. Tratamento da informação: noções básicas de estatística, tabelas e gráficos.




ASSUNTOS DESTACADOS NO SUPERPROVASASSUNTOS DESTACADOS NO SUPERPROVASASSUNTOS DESTACADOS NO SUPERPROVASASSUNTOS DESTACADOS NO SUPERPROVAS

Abaixo demonstramos os diversos assuntos mais recorrentes em provas de concursos públicos na exigência do Raciocínio Lógico. É esta a divisão de assuntos que encontraremos no Superprovas:




LÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL- “A LÓGICA PURA/BOOLEANA”




SIMBOLOGIASIMBOLOGIASIMBOLOGIASIMBOLOGIA

Simbologia:

Sendo as proposições: P = ocorreu um incêndio e Q = o prédio desabou.

1) Negação : ~ P

Lê-se : “não p” = não ocorreu um incêndio..

2) Conjunção: P ^ Q (ou P.Q)

Lê-se: P e Q = ocorreu um incêndio e o prédio desabou.

Mnemônico: lembre que o símbolo ^ acima se parece com “e” escrito à mão

3) Disjunção : P v Q

Lê-se: P ou Q = ocorreu um incêndio ou o prédio desabou.




SIMBOLOGIASIMBOLOGIASIMBOLOGIASIMBOLOGIA

4) Condicional: P Q ( note que a simbologia é uma seta para a direita)

Lê-se: se P então Q. Ou seja: se ocorreu um incêndio, então o prédio desabou.

5) Bicondicional: P <=> Q (note que a simbologia é uma seta dupla para esquerda e direita)

Lê-se : se e somente se P então Q. Ou seja: se e somente se ocorreu um incêndio o prédio desabou.

6) Disjunção exclusiva: P V Q. (note que a simbologia é um V com um traço debaixo).

Lê-se: ou P ou Q. Ou o prédio desabou ou ocorreu um incêndio.




QUANTIFICADORESQUANTIFICADORESQUANTIFICADORESQUANTIFICADORES

Quantificador universal: é indicado pelo símbolo: que se lê “qualquer que seja” ou “para todo”.

Quantificador existencial: indicado pelo símbolo que se lê: “existe pelo menos um” ou “para algum.

Quantificador existencial de unicidade: que se lê: “existe um único”.

Negação do quantificador universal: a negação do quantificador universal P(x) é representado pela expressão:

Negação do quantificador existencial: a negação do quantificador existencial é representado pela expressão:




DEFINIÇÕES BÁSICASDEFINIÇÕES BÁSICASDEFINIÇÕES BÁSICASDEFINIÇÕES BÁSICAS

Proposições são sentenças (declaradas por meio de palavras ou símbolos) cujo conteúdo pode ser declarado verdadeiro ou falso.

Tabela da verdade: é a representação dos resultados verdadeiros e falsos das diversas proposições simples fundamentais da lógica (disjunção, conjunção, condição, bi-condicional, negação e ou - exclusivo).

Conectivos: são os símbolos usados na lógica (^, v, v, ~, e <->)

Estruturas lógicas : alguns problemas de lógica podem ser resolvidos pela análise de suas tabelas de verdade.

Argumento: é a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em outra proposição final, que será consequência das primeiras. Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p chamadas premissas do argumento a uma proposição c chamada de conclusão do argumento.

Exemplo de Argumento:P1= Todas crianças gostam de doce (premissa)P2= José não é uma criança (premissa) Conclusão = Portanto, José não gosta de doce.




ARGUMENTO VÁLIDO X INVÁLIDO (SOFISMA)ARGUMENTO VÁLIDO X INVÁLIDO (SOFISMA)ARGUMENTO VÁLIDO X INVÁLIDO (SOFISMA)ARGUMENTO VÁLIDO X INVÁLIDO (SOFISMA)

Argumento Válido: as premissas são consideradas provas da verdade obtida na conclusão.

Exemplo: Todos cães são vegetarianos. Dálmatas são cães. Logo, dálmatas são vegetarianos.

Apesar da primeira premissa e da conclusão serem absurdas, o raciocínio é válido, pois tem uma forma na qual, caso todas as premissas fossem verdadeiras, a conclusão também seria verdadeira. Basta substituir todas as ocorrências de “são vegetarianos” por “comem carne”, que teremos um raciocínio com premissas verdadeiras e uma conclusão verdadeira:Todos cães comem carne. Dálmatas são cães. Logo, dálmatas comem carne.

Engana-se quem pensa que todo raciocínio válido que contenha premissas falsas terá uma conclusão necessariamente falsa

Argumento Inválido ou Sofisma: a veracidade das premissas não é suficiente para garantir a veracidade da conclusão (possui estrutura falaciosa ou sofismática). Quanto à invalidade, podemos facilmente determinar que um raciocínio é inválido se suas premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.

Exemplo: Todos cães comem carne. Nenhum cão é peixe. Logo, nenhum peixe come carne (falso).




TABELAS DA VERDADETABELAS DA VERDADETABELAS DA VERDADETABELAS DA VERDADE

1) Negação:

2) Conjunção:

A Não A

V F

F V

P Q P . Q

V V V

V F F

F V F

F F F

Na conjunção ambas as proposições devem ser verdadeiras para que o resultado P . Q seja verdadeiro.

Neste caso basta negar a proposição. O resultado será o inverso da proposição..

P “e” Q

Não P

AMBAS V = V





3) Disjunção:

4) Condicional:

P Q P ou Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Na tabela condicional se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa o resultado será falso. É como se fosse um contrato P em que se a condição Q for cumprida o resultado será V. Se não cumprida teremos F. Se não for feito o contrato P então também o resultado será V.

P Q P Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Na disjunção basta uma proposição ser verdadeira para o resultado ser verdadeiro.

P ou Q

SE ... ENTÃO...

Se V, F resultado Falso

CONTRATO





5) Bicondicional

6) Ou exclusivo:

P Q P Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Na tabela da verdade “ou exclusiva” ambas as proposições devem ser diferentes (VF ou FV) para que o resultado seja verdadeiro. Ou então guarde que nesta tabela somente uma proposição poderá ser verdadeira de forma exclusiva para o resultado ser verdadeiro.

P Q P V Q

V V F

V F V

F V V

F F F

Na tabela da verdade bi-condicional para ser verdadeiro o resultado é necessário que ambas as proposições sejam verdadeiras ou ambas falsas.

Se e somente se

Ou... ou

“Verdade exclusiva”.

P , Q iguais = V

P , Q diferentes= V




NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕESNEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕESNEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕESNEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES

Uma das maneiras de resolver questões de raciocínio lógico é simplificar as proposições compostas. Em algumas questões torna-se necessário negar “duas vezes”as proposições de forma a se obter uma equação equivalente:

Propriedades da negação:

Proposição Negação da proposição

Observação

A e B ~ A ou ~ B (1ª lei de Morgan)

Troque o “e” por “ou” e negue ambas

A ou B ~ A e ~ B(2ª lei de Morgan)

Troque o “ou” por “e” e negue ambas

A B A e ~ B Troque a seta por “e” e negue a segunda

A B (A e ~B ) ou ( B e ~ A) Memorize a fórmula

Todo A é B Algum A não é B Para negar “todo” basta algum não ser. A negação de todo não é nenhum.

Nenhum A é B Algum A é B Basta algum A ser B.

Algum A é B Nenhum A é B A negação de algum é nenhum.

Algum A não é B Nenhum A não é B A negação de “algum não é” é “nenhum não é”.




EQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕESEQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕESEQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕESEQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕES

Relacionamos abaixo algumas equivalências de proposições. Na prova poderá ser dada uma proposição lógica e as respostas poderão estar em forma do equivalente lógico da proposição composta:

Proposição EQUIVALENTE

A B B A

A B (A B e B A)

A B ~ B ~ A (basta inverter e negar os dois) = teoria do contra-recíproco

A B * ~ A ou B (na equivalência nega-se o primeiro e muda-se a seta por “ou”.) = “nega-nega”

* Note que nesta equivalência aplicamos a dupla negação pois: ~ ~(A B) = ~(A e ~B), e negando-se novamente temos: ~ A ou B.

Melhor explicando: aplicamos a primeira negação em A B. Neste caso como vimos no slide anterior basta substituir a seta por “e” e negar a segunda proposição (obtemos ~(A e ~B)), . Depois em uma nova negação aplicamos a regra de negação do “e” em que substituímos o “e” por “ou” e negamos ambas as proposições (obtemos ~A ou B).




EXPRESSÕES EQUIVALENTESEXPRESSÕES EQUIVALENTESEXPRESSÕES EQUIVALENTESEXPRESSÕES EQUIVALENTES

Algumas questões usam expressões lógicas variadas para apresentar questões de raciocínio lógico, principalmente as que envolvem expressões condicionais ou bi-condicionais. Apresentaremos a seguir algumas destas expressões:

1)Expressões equivalentes ao “ se ... então” = condicional:

•Se A então B equivale a dizer que A é condição suficiente para B (lembrar letras SN) pois se A B então A é condição Suficiente para B e B é condição Necessária para A).•A B (A é condição Suficiente para B e B é condição Necessária para A).•A implica B = Todo A é B•Quando A, B = A somente se B.

2) Expressões equivalentes ao “se e somente se” = bicondicional:

•Se A então B e se B então A•A somente se B e B somente se A•Todo A é B e todo B é A.•A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A•B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.




ALGUM X TODO X NENHUMALGUM X TODO X NENHUMALGUM X TODO X NENHUMALGUM X TODO X NENHUM

É equivalente dizer que:

1) Nenhum x todo (tem que ter o não é para ser equivalente)

•“Todo A não é B” é logicamente igual a “nenhum A é B”

•“Nenhum A é não é B” é logicamente igual a “todo A é B”.

Nota: veja as negações no próximo slide.

2) Nenhum x nenhum e algum x algum (é só inverter):

•“Nenhum A é B” é logicamente igual a “nenhum B é A”

•“Algum A é B” é logicamente igual a “algum B é A”.

3) Algum A não é B (basta inverter levando o “não”):

•“Algum A não é B” é logicamente igual a “algum A é não B” e também a “algum não B é A”.




ALGUM X TODO X NENHUMALGUM X TODO X NENHUMALGUM X TODO X NENHUMALGUM X TODO X NENHUM

Porém NÃO é equivalente dizer que:

•“Algum A não é B” seja equivalente a “algum B não é A”•“Todo A é B” seja equivalente a “Todo B é A”.

Negações ( Todo com “algum não é” e algum com nenhum):

A negação de “todo A é B” é “algum A não é B” (e vice-versa) e não nenhum!!.A negação de “algum A é B” é “nenhum A é B” (e vice-versa).

Notem que a negação de “todo” não é “nenhum” e sim “algum não é” e a negação de algum é nenhum:

Resumindo: Quando a equivalência envolver o “TODO A é B” não se pode inverter para se ter a equivalência dizendo que “TODO B é A” A equivalência possível é quando ocorrer Todo A NÂO é B que equivale a “nenhum A é B” Observe que há uma regra para equivalência e outra para negação com o “TODO”.




TAUTOLOGIA X CONTRADIÇÃO X CONTINGÊNCIATAUTOLOGIA X CONTRADIÇÃO X CONTINGÊNCIATAUTOLOGIA X CONTRADIÇÃO X CONTINGÊNCIATAUTOLOGIA X CONTRADIÇÃO X CONTINGÊNCIA

1) Tautologia : uma proposição composta será considerada tautologia se ela sempre forverdadeira, independente dos valores lógicos das proposição P, Q, R, Z ...Exemplo: P(p) = ~(p ˄ ~p)

2) Contradição: uma proposição composta será considerada contradição se ela sempre forfalsa, independente dos valores lógicos das proposição P, Q, R, Z ...Exemplo: P(p) = p ˄ ~p

3) Contingência: caso a proposição composta não for nem uma contradição e nem uma tautologia será, neste caso, uma contingência.




PROPRIEDADES DAS CONJUNÇÕES E DISJUNÇÕESPROPRIEDADES DAS CONJUNÇÕES E DISJUNÇÕESPROPRIEDADES DAS CONJUNÇÕES E DISJUNÇÕESPROPRIEDADES DAS CONJUNÇÕES E DISJUNÇÕES

Propriedades das proposições conjuntivas e disjuntivas:

Comutativa: p ^ q = q ^ p Nota: o mesmo ocorre com a disjunção, ou seja, as expressões são equivalentes se invertemos a ordem de q e p.

Associativa: p ^ (q ^ r) = (p ^ q) ^ r = p ^ q ^ r Nota: o sinal ^ equivale ao sinal “.” de multiplicação, ou à expressão “e” , da mesma forma que na multiplicação estes conectivos lógicos obedecem à propriedade associativa.

Distributiva em relação à disjunção : p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r) Nota: o mesmo ocorre com relação à uma proposição composta com símbolos de conjunção “^” e disjunção “v”.




ESTRUTURAS LÓGICASESTRUTURAS LÓGICASESTRUTURAS LÓGICASESTRUTURAS LÓGICAS

Questões de estruturas lógicas envolvem proposições lógicas ou simbologias lógicas. Abaixo um exemplo deste tipo de questão em que foram usadas proposições lógicas:

(ESAF/CGU/2008) Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria tem certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é verdade que:a)Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.b)Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise.c)Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.d) Se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise.e)Se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise.

Vejam que esta questão pode ser resolvida transformando os textos em simbologia lógica:

P = Ana é prima de BeatrizQ= Carina é prima de DeniseComo João sempre mente: P ^ Q = Falso (lógica proposicional da questão).

Negando a proposição acima temos: ~ (P ^ Q ). Usando a 1ª lei de Morgan (negação)temos que: ~(P ^ Q) = ~P v ~Q (Reposta letra C, pois a equação equivalente encontrada é traduzida pela frase: “Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise”).




DIAGRAMAS LÓGICOSDIAGRAMAS LÓGICOSDIAGRAMAS LÓGICOSDIAGRAMAS LÓGICOS

Outro assunto bastante cobrado em raciocínio lógico é “diagrama lógico”, que consiste em identificar os conjuntos (diagramas lógicos) correspondentes ao texto da questão, verificando-a existência ou não de intersecções entre os conjuntos formados (geralmente existem as expressões “algum”, “nenhum” ou “todo” na questão).

Exemplo: (ESAF - TCU / 2009) Se é verdade que “alguns escritores são poetas”, e que “nenhum músico é poeta”, então, também é necessariamente verdade que:a)Nenhum músico é escritorb)Algum escritor é músicoc)Algum músico é escritord)Algum escritor não é músicoe)Nenhum escritor é músico.

Ao fazer os diagramas (conjuntos) percebemos que não há intersecção entre os conjuntos dos músicose poetas, porém nada é dito com relação à intersecção formada entre escritores e músicos, gerando apossibilidade de que algum escritor não seja músico (gabarito letra D) . Perceba que a alternativa“D” satisfaz as duas situações . A alternativa “B” não satisfaz a primeira situação pois o escritor poderá ou não ser músico, mas algum escritor sempre não será músico nas duas situações (alternativa D). Situação 1: Situação 2

escritores Poetas

músicos

escritores

Poetas

músicos




ASSOCIAÇÃO LÓGICAASSOCIAÇÃO LÓGICAASSOCIAÇÃO LÓGICAASSOCIAÇÃO LÓGICA

Questões de raciocínio lógico resolvidas por associação lógica são aquelas em que fazemos uma tabela de correspondência entre os dados da questão, cuja resolução depende da correlação entre as informações.

Exemplo: (AFTM 96 – ESAF) Os carros de Arthur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde e o outro é azul. O carro de Arthur é cinza, o carro de César é o Santana, o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, do Parati e do Santa são, respectivamente:a)cinza, verde e azul d) cinza, azul e verdeb)Azul, cinza e verde, e) verde, azul e cinza.c)Azul, verde e cinza

Resolução: Vejam que as tabelas deverão cruzar as seguintes informações: Modelo de carro x proprietário e cor do carro x proprietário. Juntando estas informações teremosas seguintes tabelas:

ARTHUR BERNARDO CÉSAR

BRASÍLIA

PARATI

SANTANA


CINZA

VERDE

AZUL





Macete: ao resolver questões de associação lógica, se determinada afirmação for verdadeira, deve-se preencher na célula correspondente da tabela um “V” de verdadeiro e as demais afirmações da mesma linha e da mesma coluna com um “F” de falso, pois se a informação é verdadeira em determinada célula da tabela , nas demais celulas de mesma linha e coluna serão falsas.

Exemplificando e continuando a resolução:

1)1ª afirmação: o carro de Arthur é cinza. Note que anotamos V na tabela correspondente à 1ª afirmação e F nas demais células de mesma coluna e mesma linha:

2)2ª afirmação: o carro de César é o Santana. Anotamos um “V” na linha e coluna correspondente ao proprietário Cesar e ao modelo de automóvel “Santana” e um “F “ nas demais alternativas de mesma linha e coluna.


BRASÍLIA F

PARATI F

SANTANA F F V


CINZA V F F

VERDE F

AZUL F





3ª afirmação: “o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília”. Continuamos com as anotaçõesNas células da tabela. Desta vez usamos um segundo macete: anotamos “V” na célula vazia que sobrouJá que a frase desta 3ª afirmação é negativa e não irá sobrar outra alternativa na linha restante queNão seja ela ser verdadeira pois a linha só tem afirmativas falsas.

1)*Anotamos o F* correspondente à 3ª afirmação, que por consequência tornou a célula ao ladoverdadeira V ** já que na mesma linha só existem alternativas falsas.

2) Na sequência anotamos F** pois ao se inserir V** temos que colocar F nas demais células de mesma linha e coluna de V**.

3) Por último sobrou somente V*** já que não existem células verdadeiras na mesma linha e coluna.

Como a 3ª alternativa diz também que o carro de Bernardo não é a Brasília e procedendo de forma análoga temos:


BRASÍLIA V F F

PARATI F V F

SANTANA F F V


CINZA V F F

VERDE F F * V**

AZUL F V*** F**

Conclusão: 1) Arthur tem uma Brasília cinza2) Bernardo tem uma Parati azul e 3) César tem um Santana verde Gabarito letra D




VERDADES E MENTIRASVERDADES E MENTIRASVERDADES E MENTIRASVERDADES E MENTIRAS

Exemplo de questão sobre verdades e mentiras cobrada pela ESAF: notem que este tipo de questão é resolvida pela simples observação do seu enunciado:

(AFC 2002 ESAF) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei que era um pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram: Bebelim: Cebelim é inocente, Cebelim: Dedelim é inocente, Dedelim: Ebelim é culpado, Ebelim: Abelim é culpado .

O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:

a) Abelim d) Dedelim b) Bebelim e) Ebelim c) Cebelim




VERDADES E MENTIRASVERDADES E MENTIRASVERDADES E MENTIRASVERDADES E MENTIRAS

Resolução:. Siga o raciocínio: se quatro dos inocentes mentiram e somente um culpado disse a verdade temos no quadro abaixo duas informações conflitantes: as duas primeiras pois se ambas mentem não poderia haver dois culpados!!!. Então somente um dos dois que disseram que são inocentes está correto. Desta forma se acha o culpado!. Como consequência os outros últimos estão mentindo pois há 4 inocentes que mentem. Testemos quem é o culpado:

D

Hipótese 1: Supondo que quem diz a verdade é B e disse que Cebelin é inocente (e que pela questão todo inocente mente) conclui-se que Dedelin é culpado (Cebelin mente) . Na terceira linha vemos que Dedelim mente (veja a coluna da hipótese 1). Isto não pode acontecer (dizer que D é culpado e a tabela na hipótese dizer que mente).

Hipótese 2: Bedelin mente e C é culpado (que diz a verdade sempre), desta forma pela segunda linha da tabela D é inocente. Se D é inocente e mente então E é inocente e se E é inocente e mete então A é inocente. Sendo assim, o culpado é C (Cebelin).Gabarito letra C.

Acusados Disseram.... Hipótese 1 Hipótese 2

Bedelin (B) C é inocente Verdade Mentira

Cebelin (C) D é inocente Mentira Verdade

Dedelim (D) E é culpado Mentira Mentira

Ebelin (E) A é culpado Mentira MentiraMacete: não pode haver dois inocentes que mentem pois só poderá haver um culpado!. Demais podem mentir que são culpados!.




MATRIZES E DETERMINANTES




MATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTES

Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas. Cada um dos itens de uma matriz é chamado de elemento.

Ordem de uma matriz: uma matriz é forma por linhas e colunas. A ordem de uma matriz A i, j é a representação do número de linhas e colunas, como por exemplo, uma matriz de ordem 3 possui três linhas e três colunas = ordem (3,3).

Lei de formação: caso uma matriz A (i,j) tenha lei de formação dada por: A (i,j) = i+j a matriz resultante desta lei de formação terá os seguintes elementos A (1,1) = 2 ; A (1,2) = 3; A (2,1) =3 ; A (2,2) = 4, ou seja: a matriz abaixo:

A (i,j) = 1 23 4




MATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESTipos de matrizes:

1)Matriz coluna: é a matriz formada por apenas uma coluna e várias linhas2)Matriz linha: é a matriz formada por apenas uma linha e várias colunas.3)Matriz quadrada: é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas.4)Matriz diagonal: é a matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonalprincipal são zero.

diagonal principal

5) Matriz triangular: é a matriz quadrada em que todos os elementos acima ou abaixo dadiagonal principal são iguais a zero.6) Matriz identidade: é a matriz onde todos os elementos da diagonal principal são iguaisa 1 (um) e os demais são iguais a zero.7) Matriz transposta: matriz transposta A’ de uma matriz A é uma nova matriz em quesuas linhas são as colunas de A. 8) Matriz simétrica: uma matriz é simétrica quando ela é igual à sua transposta (A= At)

1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5




MATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESExemplo de matriz simétrica:

Matriz inversa: a matriz inversa A-1 de uma matriz quadrada (A) é aquela que, multiplicada por esta, resulta na matriz identidade. Assim: A . A -1 = I

Macete: Para achar a matriz inversa de uma matriz de ordem 2 é só:1)Trocar de lugar os elementos da diagonal principal;2)Multiplicar por -1 os elementos da diagonal secundária;3)Dividir os elementos pelo determinante de A:

A = A -1 =

1 2 3 42 3 5 63 5 4 44 6 4 7

X Y

Z K

K -Y

-Z X1 / DET A .




MATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESOperações com matrizes:

1)Soma ou subtração: a soma de duas matrizes é feita pela soma dos elementos, um a um, de mesma LINHA e mesma COLUNA das duas matrizes:

+ =

2) Multiplicação da matriz por um número real: basta multiplicar cada elemento da matriz por este número

A = 5 A =

1 23 4

1 23 4

2 46 8

X Y

Z K

5X 5 Y

5Z 5K




MATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMultiplicando matrizes: só possível quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.

Cada elemento da matriz resultante da multiplicação de duas matrizes deve obtido pela soma da multiplicação dos elementos respectivos re cada linha de uma matriz pelos elementos da respectiva coluna da outra matriz .

Exemplo: o elemento R (1,1) da matriz resultado deve ser obtido pela soma da multiplicação dos elementos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos da primeira coluna da outra matriz. Já R (1,2) pela soma da multiplicação dos elementos respectivos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos respectivos da coluna 2 da outra matriz. O mesmo ocorrerá com R(2,1) e R(2,2), neste caso os elementos serão obtidos pela soma da multiplicação dos elementos da segunda linha pelas respectivas colunas 1 e 2, da mesma forma Veja o exemplo abaixo (A.B= R):

Note que R (1,1) = 8; R (1,2)=10; R (2,1)=10 e R (2,2) = 16.





Determinante: é uma função que associa um número a uma matriz. Somente matrizes quadradas podem ter determinantes.

Determinante de uma matriz quadrada (2x2): é obtido pela diferença do produto da diagonal principal pela diagonal secundária.

Se A = então o det A = X.K – Y.Z

Determinante de uma matriz (3x3): repetimos à direita da matriz as duas primeiras colunas e multiplicamos os elementos das três diagonais principais em vermelho e obtemos o somatório1. Posteriormente obtemos o somatório 2 dos valores encontrados pela multiplicação dos elementos da diagonal segundária. A diferença entre o somatório 1 e o somatório 2 será o determinante da Matriz: Det A = somatório 1 – somatório 2 = (-2-6-0) + (-5+0+0) = 8-5= 3

X Y

Z K





PROPRIEDADE DOS DETERMINANTES:

1)Determinante de uma matriz triangular: será o produto de sua diagonal principal. Note: matriz triangular: é a matriz quadrada em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.2)Determinante de uma matriz com linhas ou colunas paralelas proporcionais: será igual a zero.3)Determinante de uma matriz com linhas ou colunas que sejam combinação linear de outras será igual a zero.4)Determinante de uma matriz onde houve troca de linhas ou colunas: uma nova matriz formada trocando de ordem as linhas e colunas terá seu determinante multiplicado por (-1) quantas vezes forem as trocas.5)Quando multiplicamos uma matriz por uma constante o seu determinante será multiplicado por esta constante.6)Determinante de um produto de matrizes: o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto de seus determinantes.7)Determinante de uma transposta: o determinante de uma transposta é igual ao determinante da matriz original.8)Determinante da inversa: é igual ao inverso do determinante da matriz original.




SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARES

Pela regra de Cramer é possível resolver sistemas lineares com o uso de matrizes e determinantes (dado o sistema achamos as incógnitas x, y e z)

Nota: só pode ser usado este teorema quando o número de equações e o número de incógnitas forem iguais:

Dado o sistema linear:

Os valores de X, Y e Z será obtido pela razão dos determinantes das matrizes incompletas e determinantes das matrizes x,y e z conforme a seguir:

Matriz incompleta:

É a matriz obtida pelos coeficientes das variáveis X, Y e Z (sem os valores de resultado das equações).




SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESMatrizes de X, Y e Z : substituindo os valores de resultado das equações do sistema na respectiva coluna dos coeficientes de X, Y ou Z na matriz incompleta anterior teremos as matrizes de X, Y e Z:

O segundo passo é achar o determinante de cada matriz Ax, Ay, Az e A (matriz incompleta) Após o cálculo aplicamos o teorema de Cramer que diz o seguinte: que os valores de X, Y e Z que solucionam o sistema linear é obtido pela divisão dos determinantes de Ax, Ay e Az pelo determinante da matriz incompleta. Após calculados os determinantes de cada uma destas matrizes teremos as respostas para X, Y e Z:




SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESExemplo de questão de matrizes e determinantes cobrada pela ESAF:

(ATRF 2012) Dada a matriz o determinante de A5 é igual a a) 20.b) 28.c) 32.d) 30.e) 25.

RESOLUÇÃO:

Encontrando o determinante da matriz A e elevando-o à quinta potência:

Det A = (2 1) − (0 1) = 2 − 0 = 2 . Logo: det A⋅ ⋅ 5 =25 = 32.

Gabarito: Letra C.




SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESExemplo de questão de matrizes e determinantes em prova pela ESAF:

(AOF-ESAF-2009) O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se multiplicarmosos três elementos da 1ª linha por 2 e os três elementos da 2ª coluna por -1, o determinante será:a) -x2b) -2x2c) -2xd) x2e) 4x2

Solução: vejam a 5ª propriedade dos determinantes comentada anteriormente:Quando multiplicamos uma matriz por uma constante o seu determinante será multiplicado por esta constante. Sendo assim: Multiplicando os 3 elementos da 1ª linha por 2 temos: 2X e se multiplicarmos os três elementos da 2ª coluna por -1 temos:-1 . 2X = -2x

Resposta: C




ANÁLISE COMBINATÓRIA.




ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAAnálise combinatória em concursos públicos é basicamente o estudo das permutações, dos arranjos e das combinações ou seja, a enumeração das maneiras de formação de subconjuntos originários de um conjunto . Conforme os dados do problema daremos o tratamento como arranjo, combinação ou permutação.

Princípio Fundamental de contagem (PFC): consiste em resolver questões de análise combinatória sem fórmulas, apenas multiplicando o número de ocorrência de possibilidades em diversas situações:

Exemplo: Em uma urna existem bolas vermelhas, azuis e pretas. Uma bola é retirada, observada e devolvida à urna. Qual o número de resultados possíveis em 3 extrações sucessivas?:

Resposta: notamos que há três possibilidades na primeira etapa, 3 possibilidades para a segunda etapa e 3 possibilidades para a terceira etapa. O princípio fundamental de contagem enuncia que para saber o número de resultados possíveis (números de subconjuntos formados) devemos multiplicar o número de possibilidades em cada etapa.

Sendo assim:

Número de possibilidades = 3 x 3 x 3 = 27 possibilidades no total (27 subconjuntos possíveis) ex: vermelha, azul, preta ; azul, preta, vermelha ; azul, azul, azul. etc




ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA

Arranjo: importa a ordem.

Exemplo: o mais clássico exemplo de arranjo é o pódio: em uma competição de 20 jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? Note que, neste problema, queremos dispor 20 jogadores em 3 lugares, onde a ordem importa, afinal o pódio formado por João, por Marcos e por Pedro não é o mesmo formado por Pedro, por Marcos e por João. Outro exemplo é o número de possibilidades de se formar uma foto com n pessoas.

Fórmula:

Macete: : nas questões de arranjos prefira usar o Princípio fundamental decontagem do que a fórmula acima. Agindo assim você poupará tempo na resolução dasquestões.




ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA

Combinação: NÃO importa a ordem e sim a natureza:Um exemplo clássico é quando queremos formar uma comissão de 3 pessoas

escolhidasentre 10 pessoas. Diferentemente do pódio do exemplo anterior, uma comissão

formada por João, por Pedro e por Maria é a mesma comissão formada por Maria, por Pedro e por João (não importa a ordem)

Fórmula:

Macete: ao invés de decorar a fórmula acima utilize o seguinte macete para resolver questões de combinações . Tomemos por exemplo a combinação C (6,3):

1)Monte uma fração e coloque no denominador o fatorial! do menor número expandido: C (6,3) = ---------------- 3.2.12) Expandir o fatorial! do número mais alto no numerador até o total de vezes do número de fatores no denominador (no caso iremos expandir o fatorial de 6! até o 3º elemento=4 pois há três elementos no denomidor).

C (6,3) = 6. 5.4 = 120/6 = 20 3.2.1




ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAPermutação simples : já no caso de permutação não estamos querendo um subconjunto e sim ver o número de vezes que é possível transmudar os elementos do conjunto.

Exemplo1: O número de ANAGRAMAS da palavra LIVRO é uma permutação de 5 elementos, calculada através de 5+ = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, pois para a primeira posição você pode colocar 5 letras; para a segunda, restaram 4, para a terceira, 3 e assim por diante;

Exemplo 2: O número de filas que podem ser formadas com 25 pessoas é 25!, pois para o primeiro lugar da fila temos 25 possibilidades, para o segundo 24 e assim por diante.

Fórmula: P = n!, onde n é o número de elementos da permutação.

Permutação com repetição: Exemplo: quantos ANAGRAMAS possui a palavra ARARAQUARA (n=10 letras)?:

No caso de permutação com repetição basta dividir o fatorial de n! da permutação simples pelo fatorial dos casos em que há repetição. No caso da palavra ARARAQUARA temos a repetição do A cinco vezes e do R, três vezes:

Fórmula:




ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAPermutação circular: se quisermos saber de quantos modos podemos colocar n objetos distintos em n lugares espaçados ao redor de um círculo estamos lidando com uma questão que envolve permutação circular.

Fórmula: (Pc ) n = (n-1)!

Exemplo: seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experiência sem que haja repetição das posições?

Resposta: calculando a permutação circular:

P(10) = (n-1)! = (10-1)! = 9! = 362880 vezes.

Note: fatorial é o número obtido pela multiplicação do número pelos seus antecessores. Exemplo: 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1.




ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIAExemplo de questão de análise combinatória cobrada pela FGV:

(FGV-SEFAZ/RJ-2011) Quantas combinações existem para determinar o primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa).

(A)18.000 (B) 90 (C) 19 (D) 680 (E) 18.000

Resolução: A ordem importa, pois o resultado em que um candidato “A” fique em primeiro, e um candidato “B” fique em segundo, é diferente do resultado em que “B” fique em primeiro, e “A” em segundo. Aplicaremos a fórmula do arranjo, para contar o número de arranjos que podemos fazer com os dois primeiros lugares “p = 2”:

An,p= A10,2= 10 ! / (10-2)! = 10!/8!= 90 possibilidades.

Porém, seguindo o macete para arranjos utilizem o PFC (fundamental de contagem: 10 x 9 = 90 (multiplicamos o número de possibilidades do primeiro lugar (10) x número de possibilidades do segundo lugar (9) = 90.

Resposta, letra B.




PROBABILIDADE




PROBABILIDADEPROBABILIDADEPROBABILIDADEPROBABILIDADEEspaço amostral: Para cada experimento – por exemplo, o lançamento de um dado – definiremos o espaço amostral como sendo o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.

Evento: é todo o subconjunto do espaço amostral.

Definição de probabilidade: probabilidade é o número de casos FAVORÁVEIS (evento) dividido pelo número de casos POSSÍVEIS (espaço amostral).

Probabilidade = número de casos favoráveis número de casos possíveis

Exemplo: no lançamento de. um dado qual a probabilidade de: (a) um número primo ficar aparecer no dado na face voltada para cima? ou (b) deste número ser um quadrado perfeito , ou (c) de sair o número 4 ?.

Respostas: (a) como o conjunto de números primos é: 2, 3, 5 ... A probabilidade de sair um número primo na face superior no lançamento de dados é 3/6 = 1/2;(b) como o conjunto de quadrados perfeito é: 1,4, 9, 16 ... A probabilidade de sair um quadrado perfeito (1,4) no lançamento de dados é: 2/6 = 1/3;(c) Já de sair o número 4 (que aparece só uma vez no lançamento do dado) é 1/6.




PROBABILIDADEPROBABILIDADEPROBABILIDADEPROBABILIDADEProbabilidade de evento união: caso a probabilidade pedida na questão for da probabilidade de ocorrência de ambas as situações (união) então neste caso teremos a fórmula:

P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A B), onde a probabilidade da união é a soma das probabilidades dos eventos A e B menos a probabilidade da sua intersecção.

Notem no conjunto abaixo. Quando queremos a união das probabilidades de A e B temosque descontar a intersecção para que não haja contagem dupla dos elementos daintersecção e o resultado seja a soma dos dois conjuntos, obtendo-se a probabilidade daUnião.

P (A) P(B)Caso A e B sejam eventos mutuamente excludentes então : P (AUB) = P(A) + P(B) e = 0




PROBABILIDADEPROBABILIDADEPROBABILIDADEPROBABILIDADEExemplo: No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de sair um número par ou maior que 2?

Resposta: notem que há 3 números pares, 4 números maiores que dois e o número de elementos do conjunto intersecção destes dois conjuntos é 2 (somente os números 4 e 6). Como se trata de um dado, então o espaço amostral é 6. (número de casos possíveis).

Traduzindo em termos de probabilidade temos:




PROBABILIDADEPROBABILIDADEPROBABILIDADEPROBABILIDADEProbabilidade condicional: trata-se da probabilidade de ocorrência de determinado evento a posteriori, ou seja, após a ocorrência de outro evento.

Fórmula:

Lê-se: a probabilidade de ocorrência de B após ter ocorrido A é igual à probabilidade daintersecção de B com A dividido pela probabilidade de A.

Note que: Exemplo: caso seja anunciado o sorteio para uma platéia de 100 pessoas de um carro zeroquilômetros teremos a seguinte probabilidade: 1/100. Porém se posteriormente sejaconstatado que existem 20 mulheres nesta platéia e que a próxima sorteada será umamulher teremos a PROBABILIDADE CONDICIONAL “a posteriori” de 1/20. Veja que o espaçoamostral é menor, deixando de ser U (união dos conjuntos A e B) para ser somente A (subconjunto de mulheres).

P (B/A) = 1/2020 mulheres

80 homens

O novo espaço amostral deixa de ser U (união de pessoas da platéia para ser A.

A B




PROBABILIDADE E ANÁLISE COMBINATÓRIAPROBABILIDADE E ANÁLISE COMBINATÓRIAPROBABILIDADE E ANÁLISE COMBINATÓRIAPROBABILIDADE E ANÁLISE COMBINATÓRIAAlgumas questões de concursos envolvem os dois temas: análise combinatória e probabilidade.

Exemplo: (ESAF/SUSEP/2010) considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente uma das pessoas escolhidas ser um estrangeiro?a)45/91 , b) 1/3, c) 4/9, d) 2/9, e) 42/81.

1)Número de casos possíveis: escolher 3pessoas em um grupo de quinze. De quantasformas pode isto ser feito?. Como não importa a ordem temos um caso de combinação de15 tomada 3 a 3 !.

C(15,3) = 15.14.13 = 5.7.13 = 455 3.2.1

2) Caso favorável: escolher 1 entre 5 estrangeiros junto com 2 nacionais: C (5,1) . C (10,2) = 5 . 45 = 225

3)Probabilidade: é a divisão entre os casos favoráveis e possíveis P = 225/455 = 45/91




TRIGONOMETRIA




TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIARelações trigonométricas: apresentaremos as definições de seno, cosseno e tangente:




TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIARelações notáveis: construindo a tabela abaixo temos os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos mais conhecidos como os seguintes: 0, 30 , 45 e 60 graus.

Definições de secante, cossecante e cotangente:

sec A = 1 / cos Acossec A = 1 / sen Acotg A = 1/ tg A = cos A / sen A




TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAIdentidades de Pitágoras:1) sin 2 A + cos 2 A = 12) tg 2 A + 1 = sec 2 A3) 1 + cotg 2 A = cossec 2 A

Identidades de sinal1) sin ( A) = sin A2) cos ( A) = cos A3) tg ( A) = tg A4) cossec ( A) = cossec A5) sec ( A) = sec A6) cotg ( A) = cotg A

identidades complementares

Identidades suplementares:




TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAFórmulas de adição:

1) sin (A + b) = sin A . cos B + cos A . sin B2) cos (A + b) = cos A . cos B sin A . sin B3) tg (A + b) = (tg A + tg B) / (1 – tg A.tg B)4) sin (A – b) = sin A . cos B cos A . sin B5) cos (A – b) = cos A . cos B + sin A . sin B6) tg (A – b) = (tg A tg B) / (1 + tg A.tg B)

Fórmulas de ângulo duplo:

Fórmulas do ângulo metade:

Transformação em produto:1) sin A + sin B = 2 sin (( A+B)/2). Cos ((A – B)/2)2) sin A sin B = 2 sin (( A B)/2). Cos ((A + B)/2)3) cos A + cos B = 2 cos ((A+B)/2). Cos ((A B)/2)4) cos A cos B = 2 sin ((A+B)/2). sin ((A B)/2)5) tg A + tg b = sin (A+B) / (cos A cos B)6) tg A tg b = sin (A B) / (cos A cos B)

Transformação do produto:1) sen A sen B = [cos(A B) cos(A+b)]/22) cos A cos B = [cos(A B)+cos(A+B)]/23) sen A cos B = [sen(A B)+sen(A+B)]/24) cos A sen B = [sen(A+B) sen(A B)]/2

Onde:sin = sen =senocotg = cotangentecos= cossenotg =tangente




TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

Leis dos senos e lei dos cossenos:




TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

Exemplo de questão de trigonometria cobrada pela ESAF:(AFC 2005 ESAF) O sistema dado pelas equações:x.sen a - y.cos a = -cos 2ax.cos a + y.sen a = sen 2ª

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual aa) 1b) 2c) 4d) sen ?e) cos ?

Resposta:x.sen a - y.cos a = -cos 2ax.cos a + y.sen a = sen 2ª

“Quadrando” cada uma das equações e somando-as, teremos:x².sen² a - 2 x*y*sena*cosa + y².cos² a = cos² 2ax².cos² a + 2 x*y*sena*cosa + y².sen² a = sen² 2a---------------------------------------------------------x² + y² = 1 (gabarito letra A)




CRIPTOGRAFIA E SEQUÊNCIAS




SEQUÊNCIAS E CRIPTOGRAFIASEQUÊNCIAS E CRIPTOGRAFIASEQUÊNCIAS E CRIPTOGRAFIASEQUÊNCIAS E CRIPTOGRAFIAQuestões de sequências e criptografia são classicamente pedidas pela FCC. Normalmente as questões obedecem a uma lei de formação:

Abaixo exemplificamos questões típicas destes assuntos:

a)Sequências:

(TRT MS 2006 – FCC) considere a seguinte sequência: (16,18, 9, 12, 4, 8, 2, X). Se os termosdesta sequência obedecem a uma lei de formação, então o termo x deve ser igual a:

(a)12, (b) 10, (C) 9, (d) 7, (e) 5

Resolução: a lei de formação é soma –se 2 e divide-se por 2, posteriormente soma-se 3 e divide-se por 3, posteriormente soma-se 4 e divide-se por 4 e posteriormente soma-se 5.

1)Soma e divisão por dois: 16 + 2 = 18 e 18/2=92)Soma e divisão por três: 9+ 3 = 12 e 12/3 =43)Soma e divisão por quatro: 4+4=8 e 8/4=2 4)Soma por cinco ; achamos o número final: 2+5=7 (gabarito letra D)




SEQUÊNCIAS E CRIPTOGRAFIASEQUÊNCIAS E CRIPTOGRAFIASEQUÊNCIAS E CRIPTOGRAFIASEQUÊNCIAS E CRIPTOGRAFIAb) Questões de criptografia criam novas formas de leitura de determinado código. Vejam o exemplo abaixo:

(Prefeitura de Paraopeba) Eliminando-se, no sentido de leitura, as vogais e as consoantes que aparecem aos pares na sequência de letras a seguir obtém-se o nome de um(a )

U I C A T R E A P I M S V A T S B L R A T L (a) animal, (b) fruta, (c) meio de comunicação, (c) substância. (d) peça de roupa.

Resposta: notem que se eliminarmos as vogais que aparecem juntas e as consoantes que aparecem juntas formamos a palavra: CAPIVARA. Vejam abaixo:

U I C A T R E A P I M S V A T S B L R A T L

Sendo assim, o gabarito é letra A.




LÓGICA DE SITUAÇÕES




LÓGICA DE SITUAÇÕESLÓGICA DE SITUAÇÕESLÓGICA DE SITUAÇÕESLÓGICA DE SITUAÇÕESQuestões de lógicas de situações estudam a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações das relações fornecidas e avaliando as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Um exemplo clássico deste tipo de questão são as questões que exigem “raciocínio espacial”. Vejam abaixo:




LÓGICA DE SITUAÇÕESLÓGICA DE SITUAÇÕESLÓGICA DE SITUAÇÕESLÓGICA DE SITUAÇÕESResolução da questão:

Graficamente temos:

Onde:A – B = WA – C = X A – D = YA – E = Z Vejam que as distâncias das setas são as mesmas no problema. Porém...1) a distância de A a C e A a E são iguais (X=Z). Pois a inclinação de AB é de 45 graus e trata-se de um quadrado.

2) Além disto X>Y pois a distância de A até C é maior que de A até D. Isto porque a reta AB vai um pouco além do centro do quadrado formado pelos vértices BCDE. Gabarito letra C : Y=Z<X<Z.

A

B C

D E

A questão cobra raciocínio espacial.Exige que o candidato faça o desenho em escalae imagine as distâncias solicitadas.




GEOMETRIA




GEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICASegue abaixo algumas informações interessantes sobre geometria básica, fundamentais para um conhecimento mínimo de geometria:

1)Cálculo do número de diagonais e ângulos de um polígono (nota: lados iguais):




GEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICARelações de um triângulo retângulo:

Relações de um triângulo qualquer (lei dos senos e lei dos cossenos):




GEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAÁrea e perímetros de uma circunferência:

Áreas do trapézio, do quadrado, do losango, do paralelogramo e do hexágono:




GEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAÁreas e volumes de figuras 3D:

1)Paralelepípedo (de lados a,b,c):

Área = 2 (ab+bc+ac)Volume = área da base x altura = a.b.c

2) Cubo : (de lado a)

Área = 6.a 2

Volume = área da base x altura = a3

3) Cilindro reto

Área = 2.π.r 2 + 2. π.r.h = 2. π.r.(r + h)Volume = área da base x altura = π.r 2 .h

Área Lateral = 2. π.r.h Área da Base = π.r 2




GEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAÁreas e volumes 3 D:4) Esfera:

Área = 4.π.r 2

Volume = 4/3π r2

5) Prisma:

Volume = 1/3 h π.r 2

r= raio da baseh= alturaÁrea lateral = π.r (r2+h2) 1/2

6)Prisma retangular:

Área = (a + b + c).h + a.h2 Área Lateral = (a + b + c).h

Volume = 1/2. a.h. h2.

h= altura do prisma triangular h2 = altura da base

h2




GEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAGEOMETRIA BÁSICAQuestão de geometria da ESAF:(MTE - 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:a)11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18

Sendo x o número de diagonais do hexágono, temos que:

Número de diagonais de um hexágono = ½.x. (x-3) = ½. 6 (6-3) = 9, ou seja, um hexágonopossui 9 diagonais .

Dado da questão: número de diagonais do hexágono (x) é igual ao número de lados dopolígono (L) . O polígono terá, portanto 9 lados (mesmo número de diagonais dohexágono) . Pede-se, porém o número de diagonais deste polígono (n):

n=número de diagonais de um polígono:Número de lados (L) = (n – 3) =nova fórmula.

9 = n-3

n= 12 (gabarito letra b).




PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICA




PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAProgressão aritmética:Progressões aritméticas seguem a regra abaixo:a n = a 1 + (n – 1) . r Termo Geral da PA ⇒n termo de ordem n (n-ésimo termo) ⇒r razão ⇒a 1 primeiro termo ⇒Exemplos: a 2 = a 1 + 1.r a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2r) + r = a 1 + 3r (...)

Propriedades:I.Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.PA : (m, n, r, s, t) m + t = n + s = r + r = 2r ⇒ II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. Exemplo: Soma dos n primeiros termos de uma PAConsidere a seguinte PA = (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n-1 , a n )S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n-1 + a n = (a1 + an)n /2




PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAExemplo de questão de progressão aritmética cobrada pela F CC: (MPU 2007 FCC) Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo.

Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número a)2326 ; b) 2418 ; c) 2422 ; d) 3452 ; e) 3626

Resposta:Os números da terceira coluna forma uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a 3 e a razão é igual a 7. Assim, o termo de ordem 346 é dado por:

a346 = a1+ 345 r = 3+ 345.7=2.418

Gabarito letra B.




PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICA E ARITMÉTICAProgressão geométrica: Seja a PG (a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...) de razão r. a n = a 1 . q n-1 Termo Geral da PG ⇒n termo de ordem n (n-ésimo termo) ⇒q razão ⇒a 1 primeiro termo ⇒De acordo com a definição: a 2 = a 1 . q a 3 = a 2 . q = (a 1 . q) . q = a 1 . q 2a 4 = a 3 . q = (a 1 . q 2 ) . q = a 1 . q 3(...)

Propriedades:I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos vizinhos deste. PG: (x, y, z) ⇒

II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. Exemplo: PG : (m, n, r, s, t) m . t = n . s = r . r = r 2⇒

III . Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finitaA soma dos ݊termos iniciais de uma progressão geométrica é:




PROGRESSÃO GEOMÉTRICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICAPROGRESSÃO GEOMÉTRICAExemplo de questão de progressão geométrica cobrada pela ESAF:(PECFAZ 2013/ESAF) Em uma progressão geométrica, tem-se a1 = 2 e a2=162. Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a:a) 26b) 22c) 30d) 28e) 20A fórmula é a seguinte: Em que a1 é o primeiro termo, q é a razão da progressão e an é o termo de ordem n (n-ésimo termo). No nosso caso, n=5.

q=3Como a razão é igual a 3, os termos vão triplicando e obtemos: (2, 6, 18, 54, 162).A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: 2 + 6 + 18 = 26 (gabarito D).




MATEMÁTICA BÁSICA




MMC e MDCMMC e MDCMMC e MDCMMC e MDC

Máximo divisor comum: Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do primeiro. Para se calcular o máximo divisor comum de número basta se fazer a fatoração simultânea dos números.Exemplo: qual o máximo divisor comum dos números : 210 e 90. Fatorando obtemos: 23. 32

36,24 218,12 29,6 33,2 31,2 2

Mínimo múltiplo comum: O MMC de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.O mmc de 36 e 24 é: 23. 32=72 .

Observem que o conjunto de múltiplos de 36 é: 36, 72, 108, etc. Já o conjunto de múltipos de 24 é: 24, 48, 72, 96 etc. Notem que o mínimo múltiplo comum deste conjunto é: 72.Notem: caso aparecesse um número não comum na fatoração acima mesmo assim ele seria multiplicado no cálculo do MMC já que se pede no MMC os números fatorados comuns e não comuns.

Os fatores comuns são: 2, 3, então o MDC. , é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente ou seja: 2.3 = 6 ( comuns de menor expoente).




MMC e MDCMMC e MDCMMC e MDCMMC e MDC

Exemplo de questão de MMC cobrada pela FCC:

(Técnico Administrativo TRT 24ª Região 2011/FCC) Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência. NÃO ocorrerá em

(A) 18 de maio. (B) 24 de abril. (C) 31 de março. (D) 10 de fevereiro. (E) 18 de janeiro.

Resolução: o intervalo das coincidências é calculado a partir do mmc dos períodos 6 e 8:mmc= 23. 3 = 24 dias, ou seja: os plantões coincidem a cada 24 dias. Verificando no calendário teremos a partir de 25 de dezembro a coincidência em janeiro no dia 18 e em fevereiro no dia 11. Note que devemos assinalar a assertiva D pois no dia 18 de janeiro haverá coincidência (não deverá ser assinalada).

Resposta: 10 de fevereiro. Gabarito letra D.




REGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊSRegra de três simples: para resolver problemas deste tipo devemos agrupar as grandezas de mesma espécie em colunas e verificar se são direta ou indiretamente proporcionais. Caso sejam diretamente proporcionais a proporção entre as grandezas da tabela sserá feita na ordem direta, se forem inversamente proporcionais deve-se inverter a fração, conforme abaixo.

Montando a proporção:

TEMPO VELOCIDADE

X = 1/3020 1/50

Nota: se a grandeza for inversamente proporcional inverte-se a proporção!. Veja que os números estão invertidos na fração.

Perceba que velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.




REGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊSRegra de três composta: no caso da regra de três composta deve-se proceder da mesma maneira que a regra de três simples, com a diferença que a proporção será feita entre a fração que possui a incógnita e a fração obtida pela multiplicação entre as demais proporções. Também devemos observar que na análise entre as frações direta ou indiretamente proporcionais deve-se ter como referência inicial a fração que possui a incógnita para se dizer se é ou não direta ou indiretamente proporcional.

Exemplo: (FCC/TCE-SP/2010) Diariamente, Cacá vai de sua casa ao trabalho em seu automóvel fazendo sempre o mesmo percurso. Ao optar por fazer um itinerário 20% mais longo, ele observou que poderia ganhar tempo, pois, por ser o tráfego melhor, poderia aumentar a velocidade média de seu carro em 26%. Assim sendo, a opção pelo itinerário mais longo diminuiria o tempo de viagem de Cacá em(A) 5%.(B) 6%.(C) 7%.(D) 8%.(E) 9%.

T i= itI =1/vel inicial Ti = itinerário x 1/Vi Ti = 1,26 ou seja:Tf itf 1/ vel final Tf 1,20 itinerário 1/1,26 Vi Tf 1,20

Tf = 1,20 Ti/ 1,26 Tf= 0,95 Ti, ou seja: Tf= -5 % menor que Ti (gabarito letra A).

Onde it = itinerárioVel= velocidadeT = tempoNota: a velocidade é inversamente proporcional ao tempo final (incógnita)




ÁLGEBRAÁLGEBRAÁLGEBRAÁLGEBRAMonômios: um monômio ou termo algébrico é um número ou um produto de números que são multiplicados por letras (incógnitas). A parte literal são as letras e os números que multiplicam as letras são os coeficientes. Ex: 2.X3 (coeficiente=2 e parte literal = X3

Polínômios: é um monômio ou uma soma de monômios não semelhantes.Exemplo: 5 a 2 + 6 b

Produtos notáveis:

1)Quadrado da soma de dois termos: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

2) Quadrado da diferença de dois termos (a-b)2 =a2 - 2ab +b2

3) Produtos da soma pela diferença de dois termos:(a+b).(a-b) = a2 – b2

4) Cubo da soma de dois termos:(a+b)3 = a3 + 3.a2.b+ 3.a.b2+b3

5) Cubo da diferença de dois termos:(a-b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 - b3




FUNÇÕESFUNÇÕESFUNÇÕESFUNÇÕESFunção pronomial de primeiro grau: f(x) =ax+b

Função pronomial de segundo grau: f(x) = ax2+ bx+c

onde: a fórmula de Báskara é:

Função exponencial: f(x) = a x

Função logarítima: f(x) = log b a

Função com sentenças abertas:f(x) = 3, para x < 0f(x) = x + 6, para 0 ≤ x < 5f(x) = 15, para x ≥ 5

Função modular: F(x) = lx-2l qualquer função que tenha o símbolo de módulo.




FUNÇÕESFUNÇÕESFUNÇÕESFUNÇÕESExemplo de cobrança do tema “funções” em concursos públicos:

(ESAF - AFRFB 2014) Considere a função bijetora f, de R em R definida por f(x) = (x 2 -1), sex ≥ 0 e f (x) = (x - 1), se x < 0, em que R é o conjunto de números reais. Então os valoresda função inversa de f, quando x= -8 e x = 8 são, respectivamente, iguais a:

(A)-7 ; 3 , (B)-7 ; -3 , (C) 1/9; 1/63 , (D)-1/9; -1/63 ,(E)-63 ; 9

Resolução:Para determinar as inversas, troca-se y por xa) Para x<0x = y – 1, cuja inversa é: y = x + 1Para x = -8 teremos y=– 7

b) para x > ou igual a zero:x = y2 -1y = (x + 1) 1/2

Raiz quadrada de (x + 1), então para x = 8 teremos raiz quadrada de 9 que será 3

Gabarito letra A : (-7,3)




CONJUNTOSCONJUNTOSCONJUNTOSCONJUNTOSFunção Injetora: ocorre quando elementos distintos do domínio estão associados aelementos distintos do contradomínio, ou seja, dois elementos no domínio não podem tera mesma imagem no contradomínio. Não há correspondência biunívoca.

Função Sobrejetora: ocorre quando o conjunto imagem for o contradomínio, ou seja,não podem sobrar elementos no contradomínio. Há correspondência biunívoca

Função Bijetora: ocorre quando a função for, simultaneamente, injetora e sobrejetora.

Simbologia:

∩ = intersecção, = união, = contido, =contém, =qualquer que seja (para todo), =∪ ⊂ ⊃ ∀ ∈pertence, |: tal que

Propriedades importantes:I)Elemento Neutro: A = A∪ ∅II) Comutativa: A B= B A∪ ∪IV) Associativa: (A B) R =A (B R)∪ ∪ ∪ ∪




NÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOSNúmeros Complexos:

Os números complexos podem ser representados por meio de uma expressão algébrica:Z=a+bi., sendo a e b números reais e i a unidade imaginária.a é a parte real do número complexo z e bi é a sua parte imaginária.

Definimos o conjunto dos números complexos como: conjunto dos números reais ( R ) e o conjunto dos números imaginários ( i ) são subconjuntos do conjunto dos números complexos ( C ). Em função disto um número complexo pode ser imaginário, imaginário puro oureal.

Exemplo de Números Imaginários PurosPara a = 0 e b ≠ 0 temos um número imaginário puro:Z= 0 + 5i z= 5i

Exemplo de números reais:Para a ≠ 0 e b = 0 temos um número real:Z=3 + 0t z= 3

Exemplos de Números ImagináriosPara a ≠ 0 e b ≠ 0 temos um número imaginário:Z = 4 +5 i




NÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOSNúmeros Complexos:No diagrama abaixo observamos que o conjunto dos números reais ( R ) é um subconjunto do conjunto dos números complexos ( C )..




NÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOSNÚMEROS COMPLEXOSSegue uma questão de números complexos cobrada pela banca FCC:

FCC-BA) O número complexo 1 – i é raiz da equação x2 + kx + t = 0 (k, t R ) se, e somente se:a) k = t = – 2 d) k = 2 e t = – 2b) k = t = 2 e) k + t = 1c) k = –2 e t = 2

Resolução:

Se (1 – i) é raiz, temos: (1 – i)2 + k(1 – i) + t = 01 – 2i – 1 + k – ki + t = 0(k + t) + (–2 – k)i = 0 + 0i

Logo:

k+t=0 = t=2-2-k=0 k=-2Gabarito letra C.




RAZÕES E PROPORÇÇÕESRAZÕES E PROPORÇÇÕESRAZÕES E PROPORÇÇÕESRAZÕES E PROPORÇÇÕES

Razão e proporção: embora seja um assunto simples tem sido bastante cobrado pelas bancas de concursos.

Vejam abaixo a questão sobre este assunto cobrado no último AFRFB:

(ESAF - AFRFB 2014) Duas estudantes de química, Sara e Renata, estão trabalhandocom uma mistura de amônia e água. Renata está trabalhando com a mistura de amôniae água, na Proporção de 5:9, ou seja: 5 partes de amônia para 9 partes de água.Sabe-se que Sara está trabalhando com a mistura de amônia e água na proporçãode 8:7, ou seja: 8 partes de amônia para 7 partes de água. Desse modo, para seobter uma mistura de amônia e água na proporção de 1:1, as misturas de Sara eRenata devem ser misturas, respectivamente, na proporção:

(A) 8:15 , (B) 7:35 , (C) 30:7 , (D) 35:7a

Proporção da mistura de Renata: 5/14 de amônia + 9/14 de água (de um total = 14 partes)Proporção da mistura de Sara : 8/15 de amônia e 7/15 de água.

Se misturarmos X partes da mistura de Renata e Y partes da mistura de Sara teremos:5/14 X + 8/15Y = 9/14X+7/15Y (mistura de amônia = mistura de água).1/15 Y = 4/14 XY/X=30/7 Gabarito letra C.




PORCENTAGEMPORCENTAGEMPORCENTAGEMPORCENTAGEM

Porcentagem: exemplo de questão de porcentagem cobrada pela FCC:

(Técnico - MPU/2007) No refeitório de certa empresa, num dado momento, o número demulheres correspondia a 45% do de homens. Logo depois, 20 homens e 3 mulheres retiraram-se do refeitório e, concomitantemente, lá adentraram 5 homens e 10 mulheres,ficando, então, o número de mulheres igual ao de homens. Nessas condições, o total de pessoas que havia inicialmente nesse refeitório é:

a)46, b) 48, c) 52, d) 58, e) 60

M - número de mulheresH - número de homensM = 0,45 x H

H - 20 + 5 = M - 3 + 10H + M = ?

Reescrevendo a equação II: H - M = 22.Somando membro a membro à equação I, H = 0,45 x H + 22, H = 22/0,55 = 40.Substituindo H em qualquer das equações, M = 18Assim, H + M = 58.

Alternativa D.



PROBLEMAS COM FIGURAS


PROBLEMAS COM FIGURASPROBLEMAS COM FIGURASPROBLEMAS COM FIGURASPROBLEMAS COM FIGURASProblemas com figuras avaliam o raciocínio espacial e a habilidade do candidato de identificar detalhes geométricos, sequências e códigos. Apresentaremos abaixo uma questão típica:.

Questão 5 - (Técnico - BACEN - 2006 / FCC) Na sequência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão. Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será: a)101 b) 99 c) 97 d) 83 e) 81


PROBLEMAS COM FIGURASPROBLEMAS COM FIGURASPROBLEMAS COM FIGURASPROBLEMAS COM FIGURASResolução:

1)quadrados pretos: - da figura I para a figura II: aumentou de 4 para 8 quadrados pretos; - da figura II para a figura III aumentou de 8 para 12 quadrados pretos; - da figura III para a figura IV aumentou de 12 para 16 quadrados pretos.- Assim, da figura IV para a figura V aumentará de 16 para 20 quadrados pretos

(esta é a lei de formação). O total de quadrados brancos em cada figura é igual ao total de quadrados

menos o total de quadrados pretos.

1) quadrados brancos: - Figura I total de quadrados = 9, total de quadrados brancos = 9 - 4 = 5. - Figura II total de quadrados = 25 total de quadrados brancos = 25 - 8 = 17.- Figura III, total de quadrados = 49 ; total de quadrados brancos = 49 - 12 = 37 . -Figura IV total de quadrados = 81, total de quadrados brancos = 81 - 16 = 65 . - Figura V , total de quadrados = 121, total de quadrados brancos = 121 - 20 = 101 .

Gabarito letra "a“.


RACIOCÍNIO CRÍTICO


RACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICOQuestão de raciocínio crítico: apresentamos a seguir questões de raciocínio crítico que foram cobradas no último ICMS SP.

1) (ICMS SP – 2013) Nos últimos cinco anos, em um determinado país, verificou-se uma queda significante nas vendas de cigarros. Essa queda coincidiu com a intensificação das campanhas públicas de conscientização acerca dos malefícios à saúde provocados pelo fumo. Portanto, a queda nas vendas de cigarro deve ter sido causada pelo receio daspessoas em relação aos graves prejuízos que o fumo traz para a saúde. Qual dos fatos a seguir, se for verdadeiro, enfraquecerá consideravelmente o argumento apresentado?

(A) Nos últimos anos, a indústria tabagista tem oferecido mais opções de cigarros aos consumidores, como os com sabores especiais e teores reduzidos de nicotina.(B) O preço dos cigarros subiu consideravelmente nos últimos cinco anos, devido a uma praga que afetou as plantações de tabaco ao redor do mundo.(C) A procura por produtos ligados a tratamentos antifumo, como os chicletes e adesivos de nicotina, cresceu muito neste país nos últimos cinco anos.(D) O consumo de outros tipos de fumo, como o charuto e o cachimbo, caiu 30% nos últimos cinco anos.(E) De acordo com dados do Ministério da Saúde do país, o número de fumantes caiu40% nos últimos cinco anos.


RACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORESOLUÇÃO:Devemos buscar a afirmação que enfraquece a ideia de que a redução nas vendas de cigarro foi devida ao aumento das campanhas de conscientização.

(A) ERRADO. Esse aumento de opções (inclusive opções mais “saudáveis”, com menos nicotina) não explica a redução do consumo de cigarros, mas ajudaria a explicar um eventual aumento neste consumo. (B) CORRETO. Se houve uma forte alta no preço dos cigarros, talvez este fator tenha sido mais importante para a redução do consumo de cigarro que as campanhas de conscientização. Isto certamente enfraquece o argumento. (C) ERRADO. A maior busca por tratamento não garante que esses tratamentos estejam sendo eficazes, isto é, o consumo de cigarro por viciados esteja diminuindo. (D) ERRADO. A queda no consumo de outros tipos de fumo não fornece uma explicação alternativa para a queda no consumo de cigarro. Continuamos podendo acreditar que as responsáveis pela queda no consumo sejam as campanhas de conscientização. (E) ERRADO. A queda do número de fumantes pode ter ocorrido justamente devido à intensificação das campanhas de conscientização nos últimos 5 anos, e assim propiciado também a queda nas vendas de cigarro. Resposta: B


RACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICO2)FCC-ICMS/SP/2013) Há 2 anos, a Universidade Delta implantou um processo em que os alunos da graduação realizam uma avaliação da qualidade didática de todos os seus professores ao final do semestre letivo. Os professores mal avaliados pelos alunos em três semestres consecutivos são demitidos da instituição. Desde então, as notas dos alunos têm aumentado: a média das notas atuais é 70% maior do que a média de 2 anos atrás. A causa mais provável para o aumento de 70% nas notas é:

(A)a melhoria da qualidade dos alunos que entraram na Universidade Delta nos últimos 2anos, atraídos pelo processo de avaliação dos docentes.

(B) a demissão dos professores mal avaliados, que são substituídos por professores mais jovens, com mais energia para motivar os alunos para o estudo.

(C) o aumento da cola durante as avaliações, fenômeno que tem sido observado, nosúltimos anos, nas principais instituições educacionais brasileiras.

(D) uma diminuição no nível de dificuldade das avaliações elaboradas pelos professores, receosos de serem mal avaliados pelos alunos caso sejam exigentes.

(E) a melhoria da qualidade das aulas em geral, o que garante que os alunos aprendam os conteúdos de maneira mais profunda, elevando a média das avaliações.


RACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORACIOCÍNIO CRÍTICORESOLUÇÃO: antes de avaliar as alternativas, repare que um aumento de 70% significa que, se a nota média dos alunos anteriormente era 6 (em 10 pontos), após o aumento a nota média passou a ser 10 (nota máxima!). Isto é, estamos diante de um aumento muitoexpressivo das notas.

(A) ERRADO. Pode até ser que alunos melhores tenham sido atraídos pelo processo mais rigoroso de avaliação dos docentes, mas é improvável que isto justifique um aumento tão grande nas notas. Seriam necessários alunos MUITO melhores. (B)ERRADO. Note que a medida foi implementada há apenas 4 semestres (2 anos), e são necessários pelo menos 3 semestres completos para que os professores mal avaliados começassem a ser demitidos. Isto é, é improvável acreditar que os efeitos da substituição de professores estivessem sendo sentidos de maneira tão intensa em tão pouco tempo. (C) ERRADO. Se de fato houve aumento da cola, é provável que isso tenha influenciado um aumento das notas, mas um aumento tão expressivo como o citado no item A (de 6 para 10 pontos) exigiria um aumento massivo da cola. (D) CORRETO. É possível acreditar que uma redução na dificuldade das provas seja capaz de gerar um aumento expressivo nas notas dos alunos. Basta cobrar os tópicos mais básicos e/ou mais intuitivos de cada disciplina. Esta tese é mais crível que as demais. (E)ERRADO. Ainda que os professores, com medo da demissão, tenham melhorado a qualidade de suas aulas, é improvável que esta melhoria de qualidade seja responsável por uma variação tão expressiva nas notas. Resposta: D


MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA

FIM DO RESUMOWWW.SUPERPROVAS.COM

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Raciocinio Lógico