View
223
Download
2
Category
Preview:
Citation preview
A Série e a Transformada de
Fourier Discretas
A Transformada de Fourier de seqüências periódicas
Vimos que seqüências podem ser escritas como uma soma ponderada de exponenciais complexas por meio da T.F. inversa na forma:
Se x[n] for uma seqüência periódica com período N, ou seja:
Observe que a freqüência angular correspondente a N é
Portanto, só pode ter componentes com freqüências que sejam múltiplos inteiros de ou seja,
Para K>N as freqüências começam a se repetir.
Pode-se escrever então:
Para tal conjunto de seqüências viu-se anteriormente que a T.F. de Fourier é formada por impulsos:
A expressão anterior mostra uma T.F. que contem informação redundante, uma vez que o somatório é infinito em K.
Para descreve-la completamente basta conhecer o valor de N e de a0,a1,...,aN-1. Por convenção, define-se como a série de Fourier discreta da seqüência periódica:
Exemplo gráfico:
A Série Discreta de Fourier - DFS(do inglês, Discrete Fourier Series)
Os impulsos de se repetem periodicamente com período .
Os coeficientes da DFS se repetem periodicamente com período N.
Cálculo dos coeficientes:
Portanto:
Exemplo:
Neste Exemplo N=10.
Resultado Gráfico
Relação entre a DFS e a TF de um período de .
Claramente, conclui-se que:
Convolução Periódica
A Transformada Discreta de Fourier - DFT (“Discrete Fourier Transform”)
Sabemos que:
Podemos escolher
Analogamente ao caso da DFS, pode-se mostrar que DFT inversa pode ser calculada por:
Propriedade: Deslocamento circular
Situação de equivalência entre deslocamento circular e deslocamento circular.
Convolução Circular
Convolução Circular: Definição
Cálculo da saída de SLID através da DFT
A Transformada Rápida de Fourier - FFT (“Fast Fourier Transform”) - Dizimação no tempo.
Dizimação no Tempo: implementação do primeiro estágio
FFT: Segundo estágio -
FFT: terceiro estágio -
Implementação da convolução linear: superposição com soma.
Implementação da convolução linear: superposição com armazenagem.
Recommended